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  • 实验六 多元函数的极值【实验目的】1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法.4....【实验内容】求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值【实验... 定义多元函数z =f (x ,...

    实验六 多元函数的极值

    【实验目的】

    1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法.

    4. 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

    【实验内容】

    求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值

    【实验准备】

    1.计算多元函数的自由极值

    对于多元函数的自由极值问题, 根据多元函数极值的必要和充分条件, 可分为以下几个步骤:

    步骤1. 定义多元函数z =f (x , y )

    步骤2. 求解正规方程f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0, 得到驻点

    ∂2z ∂2z ∂2z

    步骤3. 对于每一个驻点(x 0, y 0) , 求出二阶偏导数A =, B =, C =2, 2

    ∂x ∂y ∂x ∂y

    步骤4. 对于每一个驻点(x 0, y 0) , 计算判别式AC -B , 如果AC -B >0, 则该驻点是

    2

    极值点, 当A >0为极小值, A

    2

    2

    2

    如果AC -B

    2.计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值

    设函数z =f (x , y ) 在有界区域D 上连续,则f (x , y ) 在D 上必定有最大值和最小值。求f (x , y ) 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为:

    步骤1. 计算f (x , y ) 在D 内所有驻点处的函数值;

    步骤2. 计算f (x , y ) 在D 的各个边界线上的最大值和最小值;

    步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在D 内的最大值和最小值。 3.函数求偏导数的MATLAB 命令

    MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数, 用jacobian 求Jacobian 矩阵。

    可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息

    【实验方法与步骤】

    练习1 求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数

    >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)

    结果为

    ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即

    ∂z ∂z =4x 3-8y , =-8x +4y . 再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符∂x ∂y

    号解用solve 命令,当方程组不存在符号解时,solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为:

    >>clear;

    >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0', '-8*x+4*y=0', 'x' , 'y' )

    结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数:

    >>clear; syms x y;

    >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2)

    结果为

    A=2*x^2 B =-8 C =4

    由判别法可知P (-4, -2) 和Q (4, 2) 都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,

    P (-4, -2) 和Q (4, 2) 是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍

    点。

    >>clear;

    >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);

    >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z)

    >>xlabel('x' ),ylabel('y' ),zlabel('z' ) 结果如图6.1

    图6.1 函数曲面图

    可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点, 这是因为z 的取值范围为[-500,100],是一幅远景图, 局部信息丢失较多, 观测不到图像细节. 可以通过画等值线来观测极值.

    >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x' ),ylabel('y' ) 结果如图6.2

    图6.2 等值线图

    由图6.2可见, 随着图形灰度的逐渐变浅, 函数值逐渐减小, 图形中有两个明显的极小值点

    P (-4, -2) 和Q (4, 2) . 根据提梯度与等高线之间的关系, 梯度的方向是等高线的法方向, 且指

    向函数增加的方向. 由此可知, 极值点应该有等高线环绕, 而点Q (0, 0) 周围没有等高线环绕, 不

    是极值点, 是鞍点.

    练习2 求函数z =xy 在条件x +y =1下的极值.. 构造Lagrange 函数

    L (x , y ) =xy +λ(x +y -1)

    求Lagrange 函数的自由极值. 先求L 关于x , y , λ的一阶偏导数

    >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k)

    ∂L ∂L ∂L =y +λ, =x +λ, =x +y -1, 再解正规方程 ∂x ∂y ∂λ

    >>clear; syms x y k

    >>[x,y,k]=solve('y+k=0', 'x+k=0', 'x+y-1=0', 'x' , 'y' , 'k' )

    得x =

    111

    , y =, λ=-, 进过判断, 此点为函数的极大值点, 此时函数达到最大值. 222

    22

    练习3 抛物面z =x +y 被平面x +y +z =1截成一个椭圆, 求这个椭圆到原点的最

    长与最短距离.

    这个问题实际上就是求函数

    f (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2

    22

    在条件z =x +y 及x +y +z =1下的最大值和最小值问题. 构造Lagrange 函数

    L (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z ) +μ(x +y +z -1)

    求Lagrange 函数的自由极值. 先求L 关于x , y , z , λ, μ的一阶偏导数

    >>clear; syms x y z u v

    >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v)

    ∂L ∂L ∂L =2x +2x λ+μ, =2y +2y λ+μ, =2z -λ+μ ∂x ∂y ∂z

    ∂L ∂L =x 2+y 2-z , =x +y +z -1 ∂λ∂μ

    再解正规方程

    >>clear;

    >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0', '2*y+2*y*u+v=0', '2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0', 'x+y+z-1=0', 'x' , 'y' , 'z' , 'u' , 'v' )

    λ=-3±

    511-1±3, μ=-7±, x =y =, z =2 . 332

    上面就是Lagrange 函数的稳定点,求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数f 在有界闭集{(x , y , z ) :x 2+y 2=z , x +y +z =1},上连续,从而存在最大值与最小值),故由

    f (

    -1±3-1±3

    , , 2 3.) =9 53 22

    求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为9+53,最短距离为9-53。

    练习4 求函数z =x 2+y 2-4x -2y +7在上半圆x 2+y 2≤16, y ≥0上的最大值和最小值。

    首先画出等高线进行观测,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>clear;

    >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x' ),ylabel('y' )

    结果如图6.3

    观测图6.3可看出,在区域D 内部有唯一的驻点,大约位于(2, 1) 在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位于(-4, 2) 。下面通过计算加以验证。

    求函数在区域D 内的驻点,计算相应的函数值。求z 关于x,y 的偏导数

    >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y)

    结果得

    ∂z ∂z

    =2x -4, =2y -2, 解正规方程 ∂x ∂y

    >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0', '2*y-2=0', 'x' , 'y' )

    得驻点为(2,1),相应的函数值为2。

    求函数在直线边界y =0, -4≤x ≤4上的最大值和最小值。将y =0代入原函数,则二元函数变为一元函数

    z =x 2-4x +7, -4≤x ≤4.

    首先观测此函数图形,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);

    >>xlabel('x' ),ylabel('z' )

    结果如图6.4所示

    由图6.4可看出,当x =-4时函数取得最大值,x =2时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导

    >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得

    dz

    =2x -4,可知驻点为x =2,而边界点为x =±4,计算着三个点上的函数值可得当dx

    x =-4时函数取得最大值39,x =2时函数取得最小值3。

    求函数在圆弧边界线上x

    2

    +y 2≤16, y ≥0的最大值和最小值。此边界线可用参数方程

    x =4cos t , y =4sin t , 0≤t ≤π

    表示。则二元函数变为一元函数

    z =-16cos t -8sin t +23

    首先观测此函数图形,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z);

    >>xlabel('t' ),ylabel('z' )

    结果如图6.5所示

    由图6.5可看出,当t ≈0. 5时函数取得最小值,x =π时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导

    >>clear; syms t ;

    >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得

    dz

    =18sin t -8cos t , 解正规方程 dt

    >>clear;

    >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0', 't' ) >>numeric(t) %求出t 的数值

    得t =arctan

    1

    ≈0, 4636,边界点为t =0, π,计算着三个点上的函数值可得当t =0. 4636时2

    函数取得最小值0.5111,t =π, (x =-4, y =0) 时函数取得最小值39。

    综上所述,在点(2,1)处函数取得最小值2,在点(-4,0)处函数取得最大值39。

    【练习与思考】

    1. 求z =x +y -4xy +1的极值,并对图形进行观测。

    2. 求函数f (x , y )=x +2y 在圆周x +y =1的最大值和最小值。

    2

    2

    2

    2

    4

    4

    3. 在球面x +y +z =1求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。

    22

    4. 求函数f (x , y , z ) =x +2y +3z 在平面x -y +z =1与柱面x +y =1的交线上

    的最大值。 22

    5. 求函数z =x +y 在三条直线x =1, y =1, x +y =1所围区域上的最大值和最小

    值。

    222

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  • MATLAB多元函数导数求极值或最优值 实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法. 4. 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifMATLAB多元函数导数求极值或最优值

    实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法. 4. 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求函数的极值点和极值 【实验准备】 1.计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数 步骤2.求解正规方程,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数 步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; 如果,则该驻点不是极值点. 2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数在有界区域上连续,则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为: 步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值; 步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值; 步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值和最小值。 3.函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令,当方程组不存在符号解时,solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为: >>clear; >>[x,y]=solve( 4*x^3-8*y=0 , -8*x+4*y=0 , x , y ) 结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数: >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知和都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,和是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel( x ),ylabel( y ),zlabel( z ) 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel( x ),ylabel( y ) 结果如图6.2 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点. 练习2 求函数在条件下的极值构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) 得再解正规方程 >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve( y+k=0 , x+k=0 , x+y-1=0 , x , y , k ) 得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 练习3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve( 2*x+2*x*u+v=0 , 2*y+2*y*u+v=0 , 2*z-u+v=0 , x^2+y^2-z=0 , x+y+z-1=0 , x , y , z , u , v ) 得 上面就是Lagrange函数的稳定点,求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数在有界闭集,上连续,从而存在最大值与最小值),故由 求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为,最短距离为。 练习4 求函数在上半圆上的最大值和最小值。 首先画出等高线进行观测,相应的MATLAB程序代码为: >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel( x ),ylabel( y ) 结果如图6.3 图6.3 等值线 观测图6.3可看出,在区域内部有唯一的驻点,大约位于在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位于。下面通过计算加以验证。 求函数在区域内的驻点,计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果得解正规方程 >>clear; [x,y]=solve( 2*x-4=0 , 2*y-2=0 , x , y ) 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界上的最大值和最小值。将代入原函数,则二元函数变为一元函数 首先观测此函数图形,相应的MATLAB程序代码为: >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);

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  • 《MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版(9页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除...

    《MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版(9页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!实验六多元函数的极值【实验目的】1 多元函数偏导数的求法。2 多元函数自由极值的求法3 多元函数条件极值的求法.4 学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数的极值点和极值【实验准备】1计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数步骤2.求解正规方程,得到驻点步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; 如果,则该驻点不是极值点.2计算二。

    2、元函数在区域D内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续,则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为:步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值;步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值;步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值和最小值。3函数求偏导数的MATLAB命令传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x)求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用hel。

    3、p diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans =4*x3-8*yans =-8*x+4*y即再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令,当方程组不存在符号解时,solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为:clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q。

    4、(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数:clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8C =4由判别法可知和都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,和是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z。

    5、)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图6.1图6.1 函数曲面图可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.2图6.2 等值线图由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点。

    6、.传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!练习 求函数在条件下的极值.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y kl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得再解正规方程clear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagran。

    7、ge函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!再解正规方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得上面就是Lagrange函数的稳定点,求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在。

    8、最大值与最小值(因为函数在有界闭集,上连续,从而存在最大值与最小值),故由求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为,最短距离为。练习4 求函数在上半圆上的最大值和最小值。首先画出等高线进行观测,相应的MATLAB程序代码为:clear; x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2-4*X-2*Y+7;contour(X,Y,Z,100)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.3图6.3 等值线传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!观测图6.3可看出,在区域内部有唯一的驻点,大约位于在该点处汉书趣的最小值。在。

    9、圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位于。下面通过计算加以验证。求函数在区域内的驻点,计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x2+y2-4*x-2*y+7;diff(z,x)diff(z,y)结果得解正规方程clear; x,y=solve(2*x-4=0,2*y-2=0,x,y)得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界上的最大值和最小值。将代入原函数,则二元函数变为一元函数首先观测此函数图形,相应的MATLAB程序代码为:x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7;plot(x,y);xlabel(x),ylabel(z)结果如图6.4。

    10、所示图6.4 函数图由图6.4可看出,当时函数取得最大值,时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导clear; syms x ;z=x2-4*x+7; diff(z,x)得,可知驻点为,而边界点为,计算着三个点上的函数值可得当时函数取得最大值39,时函数取得最小值3。求函数在圆弧边界线上的最大值和最小值。此边界线可用参数方程传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!表示。则二元函数变为一元函数首先观测此函数图形,相应的MATLAB程序代码为:t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;plot(t,z);xlabel(t),ylabel(z。

    11、)结果如图6.5所示图6.5 函数图由图6.5可看出,当时函数取得最小值,时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导clear; syms t ;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t)得,解正规方程clear; t=solve(16*sin(t)-8*cos(t)=0,t)numeric(t) %求出t的数值得,边界点为,计算着三个点上的函数值可得当时函数取得最小值0.5111,时函数取得最小值39。综上所述,在点(2,1)处函数取得最小值2,在点(-4,0)处函数取得最大值39。【练习与思考】1. 求的极值,并对图形进行观测。2. 求函数在圆周的最大值和最小值。3. 在球面求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。4. 求函数在平面与柱面的交线上的最大值。5. 求函数在三条直线所围区域上的最大值和最小值。6. 7. 8.9. 10.11。

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  • 矩阵导数定义

    2019-01-31 21:53:15
    矩阵求导:本质上只不过是多元函数求导,仅仅是把函数的自变量以及求导的结果排列成了矩阵的形式,方便表达与计算而已。 导数定义: 矩阵/向量值函数对实数的导数 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n...

    矩阵求导:本质上只不过是多元函数求导,仅仅是把函数的自变量以及求导的结果排列成了矩阵的形式,方便表达与计算而已。

    导数定义:

    1. 矩阵/向量值函数对实数的导数
    1. 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵),且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导,∂f∂xij=fij∂x。导数可以记做∇xF或∇'F
    1. 实值函数对矩阵/向量的导数
    1. 求导结果与自变量同型,且每个元素就是f对自变量的相应分量求导,∂f∂Xij=∂fxij。导数可以记做∇Xf
    2. 这是最重要的一个类别,机器学习里一般都是求标量损失函数对向量/矩阵参数的导数。
    1. δfi,jXfi,jδXi,j=tr((Xf)TδX)。向量值函数对向量的导数(雅克比矩阵)
    1. 函数 f: RnRm(n维到m维的映射),则导数fx是一个m×n维矩阵,且fxij=fixj。也可表示为∇xf
    1. 记:认为矩阵对向量、向量对矩阵、矩阵对矩阵的导数没有定义。

     

    特殊例子:

           ∇xAx=A

           ∇xx=∇xIx=I

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