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  • 文章目录前言多元函数微分学 前言 本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。 如有缺漏错误,...

    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    多元函数微分学

    出题角度大概分为三个类型:

    1. 对多元函数微分各个概念的掌握
    2. 对多元微分计算的掌握
    3. 极值与最值

    (一)概念掌握

    与一元函数微分学相同,学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

    既然是考查对概念的掌握,所以多为存在性题目,考察的点也多为零点,需要利用各概念的定义进行求解。

    1)讨论二重极限

    极限形式全部是分数形式,对,我还没有遇到其它形式。但是,有时候(比如判断可微时),可自己构造简单的二元函数,对选项进行排除。

    计算二重极限的思路:

    1. 首先判断二重极限是否存在,利用不同路径判断极限不同或不存在。
    2. 若判断出不存在,结束。如果第一步不能判断出不存在,继续求解。
    3. 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
    4. 夹逼原理,利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
    5. 转化或看作一元函数极限,利用一元函数极限方法求解。

    2)讨论二元函数连续性

    讨论某一点(95%为零点)连续性,利用定义,即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限,即可解出。

    3)讨论二元函数偏导数

    讨论某一点(95%为零点)对于x,y的偏导数是否存在,利用定义,求解一元函数极限,即可解出。

    讨论某一点的偏导数是否连续,求出偏导,再讨论偏导数的连续性。

    4)讨论二元函数可导性

    可导性和偏导数联系紧密,判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

    另外,在多元函数中,可导不一定连续,连续不一定可导,与一元函数中“可导一定连续,连续不一定可导”有差别。

    连续定义中的极限为二重极限,即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导,在其它方向没有要求,所以可导不一定连续

    对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法,将z = |x|视为二元函数,在(0,0)处,对x的偏导不存在,z在(0,0)处不可导。z在(0,0)处的二重极限为0,函数值为0,z在(0,0)处连续。

    5)讨论二元函数可微性

    可微性是概念中较难重点的一部分,讨论多元函数的可微性,有必要条件充分条件,但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义
    必要条件: 两个一阶偏导数在(x,y)处存在。
    充要条件: 两个一阶偏导数(x,y)处连续。
    定义:
    在这里插入图片描述

    (二)多元函数微分计算

    1)具体复合导数

    • 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
    • 如果是特定点的高阶偏导,可以在适当的阶段带入非微分变量具体值,简化计算。
    • 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续,那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论,经常在全微分证明题中使用。
    • 在全微分中,可以用第三点求解待定系数。

    2)由偏导数或微分求原函数

    • 逐步求积分,结合题中所给的条件求解。
    • 唯一需要注意的一点是求积分时,如果对y求积分,积分后的常数项应为φ(x)。

    3)抽象多元函数

    • 间接变量和直接变量直接给出的情况,分析变量之间的关系,画出树形图,利用树形图和链式法则求偏导。
    • 间接变量和直接变量没有直接给出的情况,分析各变量之间的关系,必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说,如果偏导数中对ξ,η变量进行微分,ξ,η应是树形图中的叶节点。
    • 因为是抽象微分,常常与微分方程相联系。
    • 抽象利用求偏微分公式,与题目中提供的条件一起,证明某些结论(难点)。

    4)多元隐函数

    如果F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数,多元函数类似。

    隐函数求偏导主要有以下三种方式:

    1. 利用隐函数求导公式(简洁但容易漏变量之间的关系,只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,且求解形式不涉及第4个变量,比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)
    2. 方程两段求导,解出所求偏导数(同上,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu
    3. 利用微分形式不变性,方程两端微分(相对麻烦但不容易漏掉条件,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu

    使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

    1. 如果一个等式中只涉及两个变量,那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1+f2dydx.
    2. 同理,涉及三个变量的两个等式,可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
    3. 如果变量和等式继续增多,一般性方法便是画复合函数中的树形图,帮助理解。
    4. 在抽象函数中,变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0,如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z),求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系,u分别与x,y,z有相关关系;如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u),求 d z dz dz,这种情况下x,y,u就没有相关关系,z分别与x,y,u有相关关系。

    (三)极值与最值

    1)求解无条件极值

    求多元函数无条件极值的步骤比较固定,且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式,可能为复合函数或隐函数。

    z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例

    1. f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx=0,fy=0,求得所有驻点
    2. 对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx,B=fxy,C=fyy
    3. 利用极值的充分条件,通过 A C − B 2 AC-B^2 ACB2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值(只适用于二元函数)
    4. 如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0,则利用极值的定义判断是否为极值

    2)判断特定点是否为极值点

    这种题型涉及极限多元极值的定义,利用极限可构造 f ( x , y ) = 表 达 式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=+o(p)形式,帮助判断。

    3)条件极值最值问题(拉格朗日乘数法) (重点)

    a. 直接求条件最值

    利用拉格朗日乘数法

    b. 解析几何直接求条件最值
    1. 求出所有可能极值点(驻点和一阶偏导不存在的点)的函数值
    2. 求出有界闭区域边界上的最值
    3. 第一步第二步的所有值进行比较,最大的值即为最大值,最小即为最小值
    c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

    确定目标函数,将题目中的条件与最值上靠,只要建立起函数与条件函数,接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个,并且问题本身允许极值存在,那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

    d. 条件极值证明题(最灵活、最难)

    利用拉格朗日乘数法证明不等式,难点在于证明不等式有多种方法,思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

    关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏,包括上一节常微分方程的应用题,需要进行专题复习。

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  • 多元函数微分1.偏导数1.定义2.二阶偏导数2.多元复合函数求导法则1.一元函数和多元函数复合的情形2.多元函数和多元函数复合的情形3.方向导数与梯度1.方向导数的定义2.梯度的定义3.梯度的几何意义4.多元函数泰勒公式1....

    1.偏导数

    1.定义

    函数 z = f ( x , y ) z=f\left( x,y \right) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) \left( x_0,y_0 \right) (x0,y0)关于自变量 x x x y y y的偏增量为
    Δ z x = f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) , Δ z y = f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) . \varDelta z_x=f\left( x_0+\varDelta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right) ,\\ \varDelta z_y=f\left( x_0,y_0+\varDelta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right) . Δzx=f(x0+Δx,y0)f(x0,y0),Δzy=f(x0,y0+Δy)f(x0,y0).
    函数 z = f ( x , y ) z=f\left( x,y \right) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) \left( x_0,y_0 \right) (x0,y0)关于自变量 x x x y y y的偏导数定义为
    f x ( x 0 , y 0 ) = ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 y = y 0 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ z x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f y ( x 0 , y 0 ) = ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 y = y 0 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ z y Δ y = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_x\left( x_0,y_0 \right) =\frac{\partial f}{\partial x}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\varDelta z_x}{\varDelta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x}\\ f_y\left( x_0,y_0 \right) =\frac{\partial f}{\partial y}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\varDelta z_y}{\varDelta y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y} fx(x0,y0)=xfx=x0y=y0=Δx0limΔxΔzx=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)fy(x0,y0)=yfx=x0y=y0=Δx0limΔyΔzy=Δy0limΔyf(x0,y0+Δy)f(x0,y0)偏导数的记号为:
    f x ( x 0 , y 0 ) , ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 y = y 0 , ∂ z ∂ x ∣ x = x 0 y = y 0 , f x , ∂ f ∂ x , ∂ z ∂ x ; f y ( x 0 , y 0 ) , ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 y = y 0 , ∂ z ∂ y ∣ x = x 0 y = y 0 , f y , ∂ f ∂ y , ∂ z ∂ y ; f_x\left( x_0,y_0 \right) ,\frac{\partial f}{\partial x}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{},\frac{\partial z}{\partial x}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{},f_x,\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial x};\\ f_y\left( x_0,y_0 \right) ,\frac{\partial f}{\partial y}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{},\frac{\partial z}{\partial y}\mid_{\begin{array}{c} x=x_0\\ y=y_0\\ \end{array}}^{},f_y,\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial z}{\partial y}; fx(x0,y0),xfx=x0y=y0,xzx=x0y=y0,fx,xf,xz;fy(x0,y0),yfx=x0y=y0,yzx=x0y=y0,fy,yf,yz;同理,偏导数的概念还可以推广到二元函数以上的函数.例如三元函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处对 x x x的偏导数定义为
    f x ( x , y , z ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y , z ) − f ( x , y , z ) Δ x f_x\left( x,y,z \right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x+\Delta x,y,z \right) -f\left( x,y,z \right)}{\Delta x} fx(x,y,z)=Δx0limΔxf(x+Δx,y,z)f(x,y,z)

    2.二阶偏导数

    ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ( x , y )      ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f x y ( x , y ) \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=f_{xx}\left( x,y \right) \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\left( x,y \right) x(xf)=x22f=fxx(x,y)    y(xf)=xy2f=fxy(x,y)
    ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ y ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f y x ( x , y )      ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ y ) = ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y ( x , y ) \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=f_{yx}\left( x,y \right) \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=f_{yy}\left( x,y \right) x(yf)=yx2f=fyx(x,y)    y(yf)=y22f=fyy(x,y)
    定理 若 ∂ 2 f ∂ x ∂ y 及 ∂ 2 f ∂ y ∂ x 在 f ( x , y ) 的定义域 D 内连续,则必有 \text{若}\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}\text{及}\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}\text{在}f\left( x,y \right) \text{的定义域}D\text{内连续,则必有} xy2fyx2ff(x,y)的定义域D内连续,则必有
    ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x} xy2f=yx2f

    2.多元复合函数求导法则

    1.一元函数和多元函数复合的情形

    u = φ ( t ) ,    v = ψ ( t ) u=\varphi \left( t \right) ,\,\,v=\psi \left( t \right) u=φ(t),v=ψ(t)
    z = f ( u , v ) = f [ φ ( t ) ,    ψ ( t ) ] z=f\left( u,v \right) =f\left[ \varphi \left( t \right) ,\,\,\psi \left( t \right) \right] z=f(u,v)=f[φ(t),ψ(t)]
    若 u , v 在 t 点可导, z = f ( u , v ) 在对应点处具有连续偏导数,则 \text{若}u,v\text{在}t\text{点可导,}z=f\left( u,v \right) \text{在对应点处具有连续偏导数,则} u,vt点可导,z=f(u,v)在对应点处具有连续偏导数,则
    d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}t} dtdz=uzdtdu+vzdtdv

    2.多元函数和多元函数复合的情形

    u = φ ( x , y ) ,    v = ψ ( x , y ) u=\varphi \left( x,y \right) ,\,\,v=\psi \left( x,y \right) u=φ(x,y),v=ψ(x,y)
    z = f ( u , v ) = f [ φ ( x , y ) ,    ψ ( x , y ) ] z=f\left( u,v \right) =f\left[ \varphi \left( x,y \right) ,\,\,\psi \left( x,y \right) \right] z=f(u,v)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]
    若 u , v 在 ( x , y ) 具有对 x 及 y 的偏导数, z = f ( u , v ) 在对应点处具有连续偏导数,则 \text{若}u,v\text{在}\left( x,y \right) \text{具有对}x\text{及}y\text{的偏导数,}z=f\left( u,v \right) \text{在对应点处具有连续偏导数,则} u,v(x,y)具有对xy的偏导数,z=f(u,v)在对应点处具有连续偏导数,则
    d z d x = ∂ z ∂ u d u d x + ∂ z ∂ v d v d x \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x} dxdz=uzdxdu+vzdxdv
    d z d y = ∂ z ∂ u d u d y + ∂ z ∂ v d v d y \frac{\text{d}z}{\text{d}y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}y} dydz=uzdydu+vzdydv

    3.方向导数与梯度

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    l l l:函数在某点处的方向
    cos ⁡ α \cos \alpha cosα cos ⁡ β \cos \beta cosβ:方向 l l l的方向余弦
    i , j i,j i,j:底矢,单位方向向量

    1.方向导数的定义

    函数 z = f ( x , y ) z=f\left( x,y \right) z=f(x,y)在点 P ( x , y ) P\left( x,y \right) P(x,y)处沿方向 l = { cos ⁡ α , cos ⁡ β } l=\left\{ \cos \boldsymbol{\alpha ,}\cos \boldsymbol{\beta } \right\} l={cosα,cosβ}的方向导数定义为
    ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \frac{\partial f}{\partial l}\mid_{x_0,y_0}^{}=f_x\left( x_0,y_0 \right) \cos \alpha +f_y\left( x_0,y_0 \right) \cos \beta lfx0,y0=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ

    2.梯度的定义

    函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P ( x , y ) P\left( x,y \right) P(x,y)处的梯度定义为一下向量:
    g r a d f ( x 0 , y 0 ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) i + f ( x 0 , y 0 ) j \mathbf{grad}f\left( x_0,y_0 \right) =\mathbf{\nabla }f\left( x_0,y_0 \right) =f_x\left( x_0,y_0 \right) \boldsymbol{i}+f\left( x_0,y_0 \right) \boldsymbol{j} gradf(x0,y0)=f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+f(x0,y0)j

    3.梯度的几何意义

    梯度 g r a d    f \mathbf{grad}\;f gradf是函数 f f f在点 M M M处方向导数取地最大值的方向,最大的方向导数为梯度的模,即
    ∣ g r a d   f ∣ = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 \left| \mathbf{grad\ f} \right|=\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) ^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) ^2} grad f=(xf)2+(yf)2
    用向量形式写出
    ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l = ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 ) ∣ cos ⁡ θ 其中 θ = ( ∇ f ( x 0 , y 0 ) ,    e l ^ ) \frac{\partial f}{\partial l}\mid_{x_0,y_0}^{}=\mathbf{\nabla }f\left( x_0,y_0 \right) \cdot \boldsymbol{e}_l=\left| \mathbf{\nabla }f\left( x_0,y_0 \right) \right|\cos \theta \\ \text{其中}\theta =\left( \widehat{\mathbf{\nabla }f\left( x_0,y_0 \right) ,\,\,\boldsymbol{e}_l} \right) lfx0,y0=f(x0,y0)el=f(x0,y0)cosθ其中θ=(f(x0,y0),el ) θ = 0 \theta =0 θ=0时,方向导数变化的最快.

    4.多元函数泰勒公式

    1.二元函数的泰勒展式

    f ( x 0 + h ,    y 0 + k ) = f ( x 0 ,    y 0 ) + ( h ∂ ∂ x + k ∂ ∂ y ) f ( x 0 ,    y 0 ) + 1 2    ! ( h ∂ ∂ x + k ∂ ∂ y ) 2 f ( x 0 ,    y 0 ) + ⋯ + 1 n    ! ( h ∂ ∂ x + k ∂ ∂ y ) n f ( x 0 ,    y 0 ) + R n f\left( x_0+h,\,\,y_0+k \right) =f\left( x_0,\,\,y_0 \right) +\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right) f\left( x_0,\,\,y_0 \right) +\frac{1}{2\,\,!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right) ^2f\left( x_0,\,\,y_0 \right) +\cdots +\frac{1}{n\,\,!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right) ^nf\left( x_0,\,\,y_0 \right) +R_n f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(hx+ky)f(x0,y0)+2!1(hx+ky)2f(x0,y0)++n!1(hx+ky)nf(x0,y0)+Rn
    拉格朗日余项
    R n = 1 ( n + 1 )    ! ( h ∂ ∂ x + k ∂ ∂ y ) n + 1 f ( x 0 + θ h ,    y 0 + θ k ) ,    ( 0 < θ < 1 ) R_n=\frac{1}{\left( n+1 \right) \,\,!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right) ^{n+1}f\left( x_0+\theta h,\,\,y_0+\theta k \right) ,\,\,\left( 0<\theta <1 \right) Rn=(n+1)!1(hx+ky)n+1f(x0+θh,y0+θk),(0<θ<1)

    举例说明,二元函数 f ( x 1 , x 2 ) 在 ( x 10 , x 20 ) f\left( x_1,x_2 \right) \text{在}\left( x_{10},x_{20} \right) f(x1,x2)(x10,x20)处的泰勒展式为:
    f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 10 , x 20 ) + f x 1 ( x 10 , x 20 ) Δ x 1 + f x 2 ( x 10 , x 20 ) Δ x 2 + 1 2 [ f x 1 x 2 ( x 10 , x 20 ) Δ x 1 2 + 2 f x 1 x 2 ( x 10 , x 20 ) Δ x 1 Δ x 2 + f x 1 x 2 ( x 10 , x 20 ) Δ x 2 2 ] + ⋯ f\left( x_1,x_2 \right) =f\left( x_{10},x_{20} \right) +f_{x_1}\left( x_{10},x_{20} \right) \varDelta x_1+f_{x_2}\left( x_{10},x_{20} \right) \varDelta x_2+\frac{1}{2}\left[ f_{x_1x_2}\left( x_{10},x_{20} \right) \varDelta x_{1}^{2}+2f_{x_1x_2}\left( x_{10},x_{20} \right) \varDelta x_1\varDelta x_2+f_{x_1x_2}\left( x_{10},x_{20} \right) \varDelta x_{2}^{2} \right] +\cdots f(x1,x2)=f(x10,x20)+fx1(x10,x20)Δx1+fx2(x10,x20)Δx2+21[fx1x2(x10,x20)Δx12+2fx1x2(x10,x20)Δx1Δx2+fx1x2(x10,x20)Δx22]+
    其中 Δ x 1 = x 1 − x 10 , Δ x 2 = x 2 − x 20 \varDelta x_1=x_1-x_{10},\varDelta x_2=x_2-x_{20} Δx1=x1x10,Δx2=x2x20 , f x 1 = ∂ f ∂ x 1 f_{x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1} fx1=x1f, f x 2 = ∂ f ∂ x 2 f_{x_2}=\frac{\partial f}{\partial x_2} fx2=x2f, f x 1 x 1 = ∂ 2 f ∂ x 1 2 f_{x_1x_1}=\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} fx1x1=x122f, f x 2 x 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 2 f_{x_2x_2}=\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} fx2x2=x222f, f x 1 x 2 = ∂ 2 f ∂ x 1 x 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 x 1 f_{x_1x_2}=\frac{\partial^2f}{\partial x_1x_2}=\frac{\partial^2f}{\partial x_2x_1} fx1x2=x1x22f=x2x12f,将上展开式写成矩阵形式,则有
    f ( x ) = f ( x 0 ) + ∇ f ( x 0 ) T Δ x + 1 2 Δ x T G ( x 0 ) Δ x + ⋯ f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +\nabla f\left( x_0 \right) ^T\varDelta x+\frac{1}{2}\varDelta x^TG\left( x_0 \right) \varDelta x+\cdots f(x)=f(x0)+f(x0)TΔx+21ΔxTG(x0)Δx+

    其中 Δ x = [ Δ x 1 , Δ x 2 ] , Δ x T = [ Δ x 1 Δ x 2 ] \varDelta x=\left[ \varDelta x_1,\varDelta x_2 \right] ,\varDelta x^T=\left[ \begin{array}{c} \varDelta x_1\\ \varDelta x_2\\ \end{array} \right] Δx=[Δx1,Δx2],ΔxT=[Δx1Δx2]是一次项是 Δ x \varDelta x Δx的转置, ∇ f ( x 0 ) = [ ∂ f ∂ x 1 ∂ f ∂ x 2 ] \nabla f\left( x_0 \right) =\left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\ \end{array} \right] f(x0)=[x1fx2f]是函数 f ( x 1 , x 2 ) 在 ( x 10 , x 20 ) f\left( x_1,x_2 \right) \text{在}\left( x_{10},x_{20} \right) f(x1,x2)(x10,x20)处的梯度,矩阵
    G ( x ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ] G\left( x \right) =\left[ \begin{matrix} \frac{\partial ^2f}{\partial x_{1}^{2}}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_{2}^{2}}\\ \end{matrix} \right] G(x)=[x122fx2x12fx1x22fx222f]即函数 f ( x 1 , x 2 ) 在 ( x 10 , x 20 ) f\left( x_1,x_2 \right) \text{在}\left( x_{10},x_{20} \right) f(x1,x2)(x10,x20)处的 2 × 2 2\times 2 2×2的黑塞矩阵,它是由函数 f ( x 1 , x 2 ) 在 ( x 10 , x 20 ) f\left( x_1,x_2 \right) \text{在}\left( x_{10},x_{20} \right) f(x1,x2)(x10,x20)处的所有二阶偏导数组成的方阵。由函数的二次连续性,有 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}=\frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1} x1x22f=x2x12f所以黑塞矩阵 G ( x 0 ) G(x_0) G(x0)对称矩阵.

    2.黑塞矩阵(海森矩阵)

      将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,函数 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,⋯,x_n) f(x1,x2,,xn) ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) (x_1, x_2, \cdots,x_n) (x1,x2,,xn)点的泰勒展式为
    f ( x ) = f ( x 0 ) + ∇ f ( x 0 ) T Δ x + 1 2 Δ x T G ( x 0 ) Δ x + ⋯ f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +\nabla f\left( x_0 \right) ^T\varDelta x+\frac{1}{2}\varDelta x^TG\left( x_0 \right) \varDelta x+\cdots f(x)=f(x0)+f(x0)TΔx+21ΔxTG(x0)Δx+其中,
    ∇ f ( x 0 ) = [ l ∂ f ∂ x 1 ∂ f ∂ x 2 ⋯ ∂ f ∂ x n ] \nabla f\left( x_0 \right) =\left[ \begin{matrix}{l} \frac{\partial f}{\partial x_1}& \frac{\partial f}{\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial f}{\partial x_n}\\ \end{matrix} \right] f(x0)=[lx1fx2fxnf]为函数 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,⋯,x_n) f(x1,x2,,xn) ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) (x_1, x_2, \cdots,x_n) (x1,x2,,xn)点的的梯度
    G ( x 0 ) = [ l ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] x 0 G\left( x_0 \right) =\left[ \begin{matrix}{l} \frac{\partial ^2f}{\partial x_{1}^{2}}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_{2}^{2}}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right] _{x_0} G(x0)=lx122fx2x12fxnx12fx1x22fx222fxnx22fx1xn2fx2xn2fxn22fx0为函数 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) f(x_1,x_2,⋯,x_n) f(x1,x2,,xn) ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) (x_1, x_2, \cdots,x_n) (x1,x2,,xn)点的 n × n n\times n n×n的黑塞矩阵。若函数有 n n n次连续性,则函数的 n × n n\times n n×n黑塞矩阵式对称矩阵。

    5.多元函数的极值

    1.定理1(必要条件)

    f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处取极值的必要条件   f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f\left( x,y \right) \text{在}\left( x_0,y_0 \right) \text{处取极值的必要条件} \\\ \\ f_x\left( x_0,y_0 \right) =f_y\left( x_0,y_0 \right) =0 f(x,y)(x0,y0)处取极值的必要条件 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0

    2.定理2(充分条件)

    A = f x x ( x 0 , y 0 ) ,    B = f x y ( x 0 , y 0 ) ,    C = f y y ( x 0 , y 0 )   { A C − B 2 > 0    时具有极值,且 A > 0 时具有极小值, A < 0 时具有极大值; A C − B 2 < 0    时没有极值; A C − B 2 = 0 时可能有极值也可能没有极值,需另作讨论 A=f_{xx}\left( x_0,y_0 \right) ,\,\,B=f_{xy}\left( x_0,y_0 \right) ,\,\,C=f_{yy}\left( x_0,y_0 \right) \\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} AC-B^2>0\,\,\text{时具有极值,且}A>0\text{时具有极小值,}A<0\text{时具有极大值;}\\ AC-B^2<0\,\,\text{时没有极值;}\\ AC-B^2=0\text{时可能有极值也可能没有极值,需另作讨论}\\ \end{array} \right. A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0) ACB2>0时具有极值,且A>0时具有极小值,A<0时具有极大值;ACB2<0时没有极值;ACB2=0时可能有极值也可能没有极值,需另作讨论

    3.条件极值

    要找 z = f ( x , y ) 在附加条件 φ ( x , y ) = 0 下的可能极值点,可先建立函数   L ( x , y ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y )   该函数称为拉格朗日函数,其中 λ 为参数,并建立方程组:   { f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0   由此方程组解出 x , y , λ 可获得 z = f ( x , y ) 在附加条件 φ ( x , y ) = 0 下的可能极值点 \text{要找}z=f\left( x,y \right) \text{在附加条件}\varphi \left( x,y \right) =0\text{下的可能极值点,可先建立函数} \\\ \\ L\left( x,y \right) =f\left( x,y \right) +\lambda \varphi \left( x,y \right) \\\ \\ \text{该函数称为拉格朗日函数,其中}\lambda \text{为参数,并建立方程组:} \\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} f_x\left( x,y \right) +\lambda \varphi _x\left( x,y \right) =0\\ f_y\left( x,y \right) +\lambda \varphi _y\left( x,y \right) =0\\ \varphi \left( x,y \right) =0\\ \end{array} \right. \\\ \\ \text{由此方程组解出}x,y,\lambda \text{可获得}z=f\left( x,y \right) \text{在附加条件}\varphi \left( x,y \right) =0\text{下的可能极值点} 要找z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点,可先建立函数 L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) 该函数称为拉格朗日函数,其中λ为参数,并建立方程组: fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0 由此方程组解出x,y,λ可获得z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点

    6.矩阵的求导

    注意:需要搞清楚矩阵求导后是矩阵or值?
    1. f ( x ) = A x f\left( x \right) =Ax f(x)=Ax,则 ∂ f ( x ) ∂ x T = ∂ ( A x ) ∂ x T = A \frac{\partial f\left( x \right)}{\partial x^T}=\frac{\partial \left( Ax \right)}{\partial x^T}=A xTf(x)=xT(Ax)=A

    2. f ( x ) = x T A x f\left( x \right) =x^TAx f(x)=xTAx,则 ∂ f ( x ) ∂ x = ∂ ( x T A x ) ∂ x = A x + A T x \frac{\partial f\left( x \right)}{\partial x}=\frac{\partial \left( x^TAx \right)}{\partial x}=Ax+A^Tx xf(x)=x(xTAx)=Ax+ATx

    3. f ( x ) = a T x f\left( x \right) =a^Tx f(x)=aTx,则 ∂ a T x ∂ x = ∂ ( x T a ) ∂ x = a \frac{\partial a^Tx}{\partial x}=\frac{\partial \left( x^Ta \right)}{\partial x}=a xaTx=x(xTa)=a

    4. f ( x ) = x T A y f\left( x \right) =x^TAy f(x)=xTAy,则 ∂ x T A y ∂ x = A y , ∂ x T A y ∂ A = x y T \frac{\partial x^TAy}{\partial x}=Ay,\frac{\partial x^TAy}{\partial A}=xy^T xxTAy=Ay,AxTAy=xyT

    7.参考

    1.泰勒公式和海森矩阵(Hessian-matrix)
    2.求导——向量——梯度;海森矩阵(Hessian Matrix);雅可比矩阵
    3.矩阵求导术(上)
    4.矩阵求导术(下)

    8.作业

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  • 写在前面:本学期开始所有视频均已进行降噪...一键三连刷起来~嘻嘻~前两节中我们学习了二元函数的泰勒公式其中涉及了很多充满技巧的解题方法不知道大家掌握的怎么样到此,多元函数微分学已经全部结束啦本节作为餐后...
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    写在前面:本学期开始所有视频均已进行降噪处理,但是在录制的时候由于设备原因,有一些回声,请大家谅解~TAT~同时,由于微信公众号后台消息保存时间有限,大家如果有疑问,可以关注B站账号:兆筱小分队,在B站视频下方进行评论或是B站私信,一键三连刷起来~嘻嘻~

    前两节中我们学习了二元函数的泰勒公式

    其中涉及了很多充满技巧的解题方法

    不知道大家掌握的怎么样

    到此,多元函数微分学已经全部结束啦

    本节作为餐后甜点

    再给大家对本章知识做一个梳理

    提供几道比较典型的例题

    作为本章知识的一个补充

    希望大家能够先自己做一遍例题再看视频

    大家冲鸭~~~

    提示:本学期高数难度比上学期有所提升

    建议大家不要考前突击

    在平时扎实掌握基本概念的同时

    也尽量多做一些习题

    大家新学期加油哇~~~

    号外~号外~

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    实在是手速跟不上语速(o(╥﹏╥)o)

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    大家如果有疑问

    可以关注B站账号:兆筱小分队

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    希望大家能多多三连噢~~~(*^▽^*)

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    本讲主要内容:

    第八章知识梳理以及例题补充

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    本节涉及的例题

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    下期预告:9.0 重积分先导课

    推送时间:3月20日

    欢迎大家在B站私信~

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    一起进步吖~

    文案|兆筱

    视频|兆筱

    排版|兆筱

    审校|兆筱

    展开全文
  • 多元函数微分法及其应用 由一元微分演化而来 7.1 多元函数 一、函数——极限——连续 分段函数-分片函数;趋于定点的方式;不连续点的证明方法,连续函数的性质 聚点=内点+边界 邻域(O(M,δ)O(M,\delta)O(M,...

    多元函数微分法及其应用

    由一元微分演化而来

    1 多元函数

    一、函数——极限——连续

    分段函数-分片函数;趋于定点的方式;不连续点的证明方法,连续函数的性质

    • 聚点=内点+边界

      • 邻域( O ( M , δ ) O(M,\delta) O(M,δ)) → \rightarrow 开集 内点 → \rightarrow 开集 (不带“=”)

      • 点集的所有边界点称为边界(边界是点集),边界不一定封闭(如:x ≥ \geq y)

      • 开集+连通=开区域 开区域+边界=闭区域

        P3 定义1:二元函数的定义

        模型:和式的极限

        步骤:1.分割 2.求和 3.取极限

    • 孤立点是边界点,不是聚点

      • 1.定义2 极限: P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 定 义 域 D 的 聚 点 , ∀   ϵ > 0 , ∃   δ > 0 , 当 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 时 , 恒 有 ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ϵ P_0(x_0,y_0)是定义域D的聚点,\forall\ \epsilon>0,\exists\ \delta>0,当0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta时,恒有\left|f(x,y)-A\right|<\epsilon P0(x0,y0)D ϵ>0, δ>0,0<(xx0)2+(yy0)2 <δ,f(x,y)A<ϵ

      • 2.(后者有先后) lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) ≠ lim ⁡ x → x 0 lim ⁡ y → y 0 f ( x , y ) \lim\limits_{x\to x_0 \\ y\to y_0}f(x,y) \ne \lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0} f(x,y) xx0yy0limf(x,y)=xx0limyy0limf(x,y)

      • 3. lim ⁡ x → 0 y → 0 sin ⁡ ( x 2 y ) x 2 + y 2 = lim ⁡ x → 0 y → 0 sin ⁡ ( x 2 y ) x 2 y x 2 y x 2 + y 2 ≤ 1 ⋅ ∣ x ∣ 2 = 0   × lim ⁡ x → 0 y → 0 sin ⁡ ( x 2 y ) x 2 + y 2 ≤ lim ⁡ x → 0 y → 0 x 2 y x 2 + y 2 ≤ ∣ x ∣ 2 = 0   ✓ \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}= \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{\color{Red}x^2y}\dfrac{\color{Red}x^2y}{x^2+y^2} \le 1\cdot\dfrac{|x|}{2}=0 \ \times \\ \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2} \le \lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \le \dfrac{|x|}{2}=0 \ \checkmark x0y0limx2+y2sin(x2y)=x0y0limx2ysin(x2y)x2+y2x2y12x=0 ×x0y0limx2+y2sin(x2y)x0y0limx2+y2x2y2x=0 

    • 4.例: 求 lim ⁡ x → 0 y → 0 x 3 + y 3 x 2 + y 2 {\color{blue}求\lim\limits_{x\to 0 \\ y\to 0}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}} x0y0limx2+y2x3+y3 使用极坐标
      解 : 取 x = ρ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ θ 原 式 = lim ⁡ ρ → 0 ρ ( sin ⁡ 3 θ + cos ⁡ 3 θ ) ≤ lim ⁡ ρ → 0 ρ = 0 解:取x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta \\原式=\lim\limits_{\rho\to 0}\rho(\sin^3\theta+\cos^3\theta) \le \lim\limits_{\rho\to 0}\rho=0 x=ρcosθ,y=ρsinθ=ρ0limρ(sin3θ+cos3θ)ρ0limρ=0

      • f x ( 0 , 0 ) 是 否 存 在 , 看 f_x(0,0)是否存在,看 fx(0,0),
        lim ⁡ x → 0 f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) x − 0 \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} x0limx0f(x,0)f(0,0)
    • 确定极限不存在的方法:

      • y = k x y=kx y=kx,若极限值与== k k k==有关,可断言极限不存在
    • 不同种趋近方式使 lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) \lim\limits_{x\to x_0 \\ y\to y_0}f(x,y) xx0yy0limf(x,y)存在但两者不相等,可断言极限不存在

    • P5 定义3 连续性:若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某邻域有意义,则 lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0) xx0yy0limf(x,y)=f(x0,y0)    ⟺    \iff f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续​

      • 定理3 复合函数连续性
      • 有界性定理
      • 最值定理
      • 介质定理

    二、偏导数

    • 分界点,不连续点 处的偏导数要用 定义 求(一元函数不连续必不可导,多元函数不连续可能偏导数存在)
    • 求偏导数复杂可转化为求导数: ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) = d z ( x 0 , y 0 ) d x ∣ x = x 0 \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}=\left.\dfrac{dz(x_0,y_0)}{dx}\right|_{x=x_0} xz(x0,y0)=dxdz(x0,y0)x=x0.

    例: f ( x , y ) = ∣ x y ∣ , 求 f x ( 0 , 0 ) {\color{blue}f(x,y)=\sqrt{|xy|} ,求f_x(0,0)} f(x,y)=xy ,fx(0,0)

    解:
    f ( x , y ) = { x y   一 三 象 限 − x y   二 四 象 限 0   坐 标 轴 上 则 f x ( 0 , 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 ( 0 + Δ x ) ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 Δ x = 0 f(x,y)=\begin{cases}\sqrt{xy} \ 一三象限\\ \sqrt{-xy} \ 二四象限\\ 0 \ 坐标轴上\end{cases} \\ 则 f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{\sqrt{(0+\Delta x)\cdot0}-\sqrt{0\cdot0}}{\Delta x}=0 f(x,y)=xy  xy  0 fx(0,0)=Δx0limΔx(0+Δx)0 00 =0

    • 多元函数偏导存在不一定连续

    • 高阶偏导数( 混 合 偏 导 : f x y , f y x   纯 偏 导 : f x x , f y y 混合偏导:f_{xy},f_{yx}\ 纯偏导:f_{xx},f_{yy} fxy,fyx fxx,fyy

      若两个混合偏导数连续,则 f x y = f y x f_{xy}=f_{yx} fxy=fyx.

    三、全微分

    • 全增量 ( Δ z ) (\Delta z) (Δz)=全微分 ( A Δ x + B Δ y ) (A\Delta x+B\Delta y) (AΔx+BΔy)+ o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)

      • 1.称 Δ z \Delta z Δz f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)对应于 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy全增量

        Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0).

      • 2. Δ z \Delta z Δz能分解为线性主部 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy和高阶无穷小量 o ( ρ ) ( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) o(\rho)(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) o(ρ)(ρ=(Δx)2+(Δy)2 )

        ​ 称 d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x+B\Delta y dz=AΔx+BΔy f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)全微分.

    • 三个定理:

      • 1.定理3:可微 ⇒ \Rightarrow 连续
      • 2.定理4:可微 ⇒ \Rightarrow 偏导存在
      • 3.定理5:偏导存在+偏导数连续 ⇒ \Rightarrow 可微
    • 近似计算 忽 略 o ( ρ ) 忽略o(\rho) o(ρ)): f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) = f ( x 0 , y 0 ) + f x ′ ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ′ ( x 0 , y 0 ) Δ y f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy

      例:
      ( 1 ) 求 ( 1.04 ) 2.02    ( 2 ) 求 l n ( 1.03 3 + 0.98 4 − 1 ) {\color{blue}(1)求(1.04)^{2.02}\ \ (2)求ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)} (1)(1.04)2.02  (2)ln(31.03 +40.98 1)
      解:(1)
      设 函 数 f ( x , y ) = x y , 取 x 0 = 1 , y 0 = 2 , Δ x = 0.04 , Δ y = 0.02 且 f x = y x y − 1 , f y = x y l n x . 故 f x ( 1 , 2 ) = 2 , f y ( 1 , 2 ) = 0 ( 1.04 ) 2 . 02 = 1 2 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08 设函数f(x,y)=x^y,取x_0=1,y_0=2,\Delta x=0.04,\Delta y=0.02\\ 且f_x=yx^{y-1},f_y=x^ylnx.故f_x(1,2)=2,f_y(1,2)=0\\ (1.04)^2.02=1^2+2 \times 0.04+0 \times 0.02=1.08 f(x,y)=xyx0=1,y0=2,Δx=0.04,Δy=0.02fx=yxy1,fy=xylnx.fx(1,2)=2,fy(1,2)=0(1.04)2.02=12+2×0.04+0×0.02=1.08
      ​ (2)
      设 函 数 f ( x , y ) = l n ( x 3 + y 4 − 1 ) , 取 x 1 = 1 , y 0 = 1 , Δ x = 0.03 , Δ y = − 0.02 且 f x = 1 3 x 2 3 ( x 3 + y 4 − 1 ) , f y = 1 4 y 3 4 ( x 3 + y 4 − 1 ) . 故 f x ( 1 , 1 ) = 1 3 , f y ( 1 , 1 ) = 1 4 l n ( 1.03 3 + 0.98 4 − 1 ) = 0 + 1 3 × 0.03 + 1 4 × ( − 0.02 ) = 0.005 设函数f(x,y)=ln(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1),取x_1=1,y_0=1,\Delta x=0.03,\Delta y=-0.02\\ 且f_x=\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)},f_y=\dfrac{1}{4y^{\frac{3}{4}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1)}.故f_x(1,1)=\frac{1}{3},f_y(1,1)=\frac{1}{4}\\ ln(\sqrt[3]{1.03}+\sqrt[4]{0.98}-1)=0+\frac{1}{3} \times 0.03+\frac{1}{4} \times (-0.02)=0.005 f(x,y)=ln(3x +4y 1)x1=1,y0=1,Δx=0.03,Δy=0.02fx=3x32(3x +4y 1)1,fy=4y43(3x +4y 1)1.fx(1,1)=31,fy(1,1)=41ln(31.03 +40.98 1)=0+31×0.03+41×(0.02)=0.005

    • 证明全微分存在(判断可微的步骤):( Δ z , f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) , ρ \Delta z,f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),\rho Δzfx(x0,y0)fy(x0,y0)ρ

      • 1.求出 f x ′ ( x , u ) , f y ′ ( x , y ) f'_x(x,u),f'_y(x,y) fx(x,u)fy(x,y),若偏导数 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处不连续,则不可微;计算 A = f x ′ ( x , u ) , B = f y ′ ( x , y ) A=f'_x(x,u),B=f'_y(x,y) A=fx(x,u),B=fy(x,y),若其中至少有一个不存在,则不可微;若都存在,进入第二步

      • 2.计算
        lim ⁡ ρ → 0 + Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ρ = 0   ( ? ) \lim\limits_{\rho\rightarrow0^+}\dfrac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\rho}=0\ (?) ρ0+limρΔz(AΔx+BΔy)=0 (?)
        其中
        Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)ρ=(Δx)2+(Δy)2
        若等于0,则可微(等价条件)在这里插入图片描述 解:
        ​ (1)证f(x,y)连续:即证 lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0) xx0yy0limf(x,y)=f(x0,y0)

        ​ (2)证偏导数存在:即证 f x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) x f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x} fx(x0,y0)=xx0limxf(x,y0)f(x0,y0)为定值

        ​ (3)证偏导数不连续

        ​ (4)证可微:即证 lim ⁡ ρ → 0 + f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 \lim\limits_{\rho\rightarrow0^+}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0 ρ0+lim(Δx)2+(Δy)2 f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)(AΔx+BΔy)=0
        $$

    • 叠加原理:多元函数的全微分等于其多个偏微分之和。( d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy dz=xzdx+yzdy

    • 全微分不变性:不论 u , v u,v u,v是自变量还是中间变量,对于 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v),都有 d z = f u d u + f v d v dz=f_udu+f_vdv dz=fudu+fvdv.

      例: 设 u = sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) + e x z , 求 在 ( 1 , 0 , 1 ) 处 的 全 微 分 d u . \color{blue}设u=\sin(x^2+y^2)+e^{xz},求在(1,0,1)处的全微分du. u=sin(x2+y2)+exz,(1,0,1)du.

      解:
      d u = cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) d ( x 2 + y 2 ) + e x z d ( x z ) = cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) ( 2 x d x + 2 y d y ) + e x z ( z d x + x d z ) = ( 2 cos ⁡ 1 + e ) d x + e d z . du= \cos(x^2+y^2)d(x^2+y^2)+e^{xz}d(xz) \\ =\cos(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)+e^{xz}(zdx+xdz) \\ =(2\cos1+e)dx+edz. du=cos(x2+y2)d(x2+y2)+exzd(xz)=cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exz(zdx+xdz)=(2cos1+e)dx+edz.

    四、复合函数微分法

    • 链式法则:
      d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t d z d u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u   o r   d z d w = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ w \dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}d} x}{{\color{red}d}t}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}d}y}{{\color{red}d}t} \\ \dfrac{dz}{du}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}\partial}x}{{\color{red}\partial}u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}\partial}y}{{\color{red}\partial}u}\ or\ \dfrac{dz}{dw}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{{\color{red}\partial}x}{{\color{red}\partial}w}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{{\color{red}\partial}y}{{\color{red}\partial}w} dtdz=xzdtdx+yzdtdydudz=xzux+yzuy or dwdz=xzwx+yzwy

    • 例: z = f ( u , x , y ) , 其 中 u = ϕ ( x , y ) , 求 ∂ z ∂ x 和 ∂ z ∂ y \color{blue}z=f(u,x,y),其中u=\phi(x,y),求\dfrac{\partial z}{\partial x}和\dfrac{\partial z}{\partial y} z=f(u,x,y),u=ϕ(x,y)xzyz.

      解:
      z = f ( ϕ ( x , y ) , x , y ) . 令 w = x , v = y ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ w d w d x . ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v d v d y . z=f(\phi(x,y),x,y).令w=x,v=y \\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial w}\dfrac{dw}{dx}. \\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{dv}{dy}. z=f(ϕ(x,y),x,y).w=x,v=yxz=ufxu+wfdxdw.yz=ufyu+vfdydv.
      区别: z = f ( u , x , y )   V S   z = f ( ϕ ( x , y ) , x , y ) z=f(u,x,y)\ VS\ z=f(\phi(x,y),x,y) z=f(u,x,y) VS z=f(ϕ(x,y),x,y).( ∂ z ∂ x ≠ ∂ f ∂ x = f 2 \dfrac{\partial z}{\partial x}\ne \dfrac{\partial f}{\partial x}=f_2 xz=xf=f2

    • 做题先写公式

    • 例3: w = f ( x + y + z . x y z ) , f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 , 求 ∂ w ∂ x 和 ∂ 2 w ∂ x ∂ z {\color{blue}w=f(x+y+z.xyz),f具有二阶连续偏导,求\dfrac{\partial w}{\partial x}和\dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}} w=f(x+y+z.xyz),fxwxz2w.

      解:
      令 u = x + y + z , v = x y z ( 1 ) ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x = f 1 ( u , v ) + f 2 ( u , v ) y z . ( 2 ) ∂ 2 w ∂ x ∂ z = f 11 ( u , v ) + f 12 ( u , v ) x y + y z ( f 21 ( u , v ) + f 22 ( u , v ) x y ) = f 12 ( u , v ) y ( x + z ) + f 11 ( u , v ) + f 22 ( u , v ) x y 2 z . ( ∵ f 二 阶 连 续 偏 导 ) 令u=x+y+z,v=xyz \\ (1)\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial w}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=f_1(u,v)+f_2(u,v)yz.\\ (2)\dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}=f_{11}(u,v)+f_{12}(u,v)xy+yz(f_{21}(u,v)+f_{22}(u,v)xy)\\ =f_{12}(u,v)y(x+z)+f_{11}(u,v)+f_{22}(u,v)xy^2z.(\because f二阶连续偏导) u=x+y+z,v=xyz(1)xw=uwxu+vwxv=f1(u,v)+f2(u,v)yz.