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  • 高数——多元函数定义极限

    千次阅读 2019-10-21 10:51:33
    之前我们学习的导数、微分和积分都是针对一元函数的,也就是函数只依赖一个变量,但是在我们今后遇到的实际问题中,更多出现的却是要考虑多个变量的情况,这是我们就要用多元函数来表示它们之间的关系了。...

    之前我们学习的导数、微分和积分都是针对一元函数的,也就是函数只依赖一个变量,但是在我们今后遇到的实际问题中,更多出现的却是要考虑多个变量的情况,这是我们就要用多元函数来表示它们之间的关系了。

    比如地球表面上一点的温度 T 同时依赖于纬度 x 和经度 y,可以用一个二元函数 T=f(x,y) 来表示。

    和一元函数一样,二元函数也是有定义域和值域的,一元函数的定义域是 轴上一个“线段”上的点的集合,而二元函数的定义域是 x 和 y 取值范围所组成的一个平面区域内的点的集合。

    在这里插入图片描述
    设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.
    且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.

    一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.

    二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量,可以认为是三维的函数,空间函数。
    在这里插入图片描述
    直线y=kx趋向于坐标(0,0),当k的取值不同时,上面的极限算出的结果也不一样

    本文转载自;https://www.jianshu.com/p/a3b7a029f4e7

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  • 高等数学课本对多元函数极限的描述,用描述如下: 设二元函数 的定义域为D,是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数,总存在正数,使得当点时,都有 成立,那么就称常熟A为函数f(x,y)当的极限,记作 ...

    高等数学课本对多元函数极限的描述,用\varepsilon \mapsto \sigma描述如下:

    设二元函数

    f(P)=f(x,y)

    的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数\varepsilon,总存在正数\sigma,使得当点P(x,y)\in D\cap U(p_0,\sigma )时,都有

    \left | f(P)-A \right |=\left | f(x,y)-A \right | <\varepsilon

    成立,那么就称常熟A为函数f(x,y)当(x,y)->(x_0, y_0)的极限,记作

    \lim_{(x,y)->(x_0, y_0)}f(x,y)=A

    定义就是这个样子的,这里需要注意的是,所谓的二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋近于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P_0(x_0,y_0)时,即使f(x,y)无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在,但是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P_0(x_0,y_0)时,f(x,y)趋于不同的值,那么就可以断定这个函数的极限不存在,下面用例子来说明这种情况:

    函数

    f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2}, &x^2+y^2\neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.

    显然,当点P(x,y)沿x轴趋近于点(0,0)时,

    \lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{x->0}f(x,0)=\lim_{x->0}0=0

    当点P(x,y)沿y轴趋近于点(0,0)时,

    \lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{y->0}f(0,y)=\lim_{y->0}0=0

    虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是,\lim_{(x,y)->(0, 0)}并不存在,这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时,有

    \lim_{(x,y)->(0, 0),y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x->0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}

    显然,它是随着k的值不同而改变的.

    我喜欢用图说明问题,我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点B,就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值,可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之前变化,也就是说极限不是固定值,原函数没有极限.

     

    B点的变化曲线如下图所示:

    关于这幅图像,另外一个有意思的事情是,它竟然也是一个直纹面,三维视图中的黑颜色直线可以看成直纹面的母线,前面已经介绍过小蛮腰了.直纹面有无数种.你拿着一个棍子在空中胡乱比划,形成的三维面也是直纹面.


    结束!

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    高数篇:11.01多元函数求极限方法

    转化为极坐标

    • ρ趋于0时与θ无关
      在这里插入图片描述
      注:遇见函数式x和y都是幂函数的,都可以用这个方法。

    转化为一元函数

    在这里插入图片描述
    类似第一种转换成极坐标的形式。

    夹逼定理

    在这里插入图片描述
    注:一般应用于函数式为分子为三角函数,分母为幂函数。

    无穷小替换

    在这里插入图片描述

    定义法

    在这里插入图片描述

    证明极限不存在

    在这里插入图片描述

    转载需注明出处

    https://blog.csdn.net/qq_49710945/article/details/115487369

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    千次阅读 2019-04-10 19:40:44
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    千次阅读 2019-08-04 11:10:09
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多元函数极限的定义