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  • 多元函数求极限
    2021-05-09 16:32:49

    • 夹逼准则
      例一:求极限 lim ⁡ x → 0 y → 0 sin ⁡ ( x 2 y + y 4 ) x 2 + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}} y0x0limx2+y2sin(x2y+y4)

    解析:因为 ∣ sin ⁡ x ∣ ≤ ∣ x ∣ |\sin x| \leq|x| sinxx,因为有
    0 ≤ ∣ sin ⁡ ( x 2 y + y 4 ) x 2 + y 2 ∣ ≤ ∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ 0 \leq\left|\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| 0x2+y2sin(x2y+y4)x2+y2x2y+y4
    又因为
    ∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ ≤ x 2 x 2 + y 2 × ∣ y ∣ + y 2 x 2 + y 2 × y 2 ≤ ∣ y ∣ + y 2 → 0 \begin{aligned} \left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| & \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times|y|+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times y^{2} \\ & \leq|y|+y^{2} \rightarrow 0 \end{aligned} x2+y2x2y+y4x2+y2x2×y+x2+y2y2×y2y+y20
    由夹逼准则知,极限为0

    例2:求极限 lim ⁡ x → + ∞ y → + ∞ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} y+x+lim(x2+y2xy)x2
    解析:注意到
    0 ≤ x y x 2 + y 2 ≤ 1 2 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 1 2 0 \leq \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} 0x2+y2xyx2+y221(x2+y2)=21
    所以
    0 ≤ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 ≤ ( 1 2 ) x 2 → 0 0 \leq\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}} \rightarrow 0 0(x2+y2xy)x2(21)x20
    由夹逼准则知极限为0

    例三 求极限 lim ⁡ x → ∞ y → ∞ x + y x 2 − x y + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty \atop y \rightarrow \infty} \frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}} yxlimx2xy+y2x+y

    解法一:由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y − 1 + y x ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y + y x ∣ − 1 ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}-1+\frac{y}{x}\right|} \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right|-1} \leq\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right| \rightarrow 0 x2xy+y2x+yyx1+xyy1+x1yx+xy1y1+x1y1+x10

    解法二:由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ 2 ∣ x + y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ( 1 ∣ x ∣ + 1 ∣ y ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{2|x+y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2 \frac{|x|+|y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2\left(\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|y|}\right) \rightarrow 0 x2xy+y2x+yx2+y22x+y2x2+y2x+y2(x1+y1)0
    故由夹逼准则知极限为0

    解法三
    注意到 x 2 + y 2 − x y ≥ 2 x y − x y = x y x^{2}+y^{2}-x y \geq 2 x y-x y=x y x2+y2xy2xyxy=xy
    由于
    ∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ x + y x y ∣ ≤ ( 1 ∣ y ∣ + 1 ∣ x ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x+y}{x y}\right| \leq\left(\frac{1}{|y|}+\frac{1}{|x|}\right) \rightarrow 0 x2xy+y2x+yxyx+y(y1+x1)0
    所以极限为0

    • 极坐标

    例题一:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} (x,y)(0,0)limx2+y2x3+y3
    解析
    x = ρ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ θ x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta x=ρcosθ,y=ρsinθ,则
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 = lim ⁡ ρ → 0 ρ 3 ( cos ⁡ 3 θ + sin ⁡ 3 θ ) ρ 2 = lim ⁡ ρ → 0 ρ ( cos ⁡ 3 θ + sin ⁡ 3 θ ) = 0 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^{3}\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)}{\rho^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \rho\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)=0 (x,y)(0,0)limx2+y2x3+y3=ρ0limρ2ρ3(cos3θ+sin3θ)=ρ0limρ(cos3θ+sin3θ)=0

    • 化为一元函数

    例题一:求极限 lim ⁡ x → + ∞ y → + ∞ ( x 2 + y 2 ) e − ( x + y ) \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-(x+y)} y+x+lim(x2+y2)e(x+y)

    由于 0 < ( x 2 + y 2 ) e x + y = x 2 e x + y + y 2 e x + y ≤ x 2 e x + y 2 e y 0<\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{e^{x+y}}=\frac{x^{2}}{e^{x+y}}+\frac{y^{2}}{e^{x+y}} \leq \frac{x^{2}}{e^{x}}+\frac{y^{2}}{e^{y}} 0<ex+y(x2+y2)=ex+yx2+ex+yy2exx2+eyy2
    易知 x 2 e x 、 y 2 e y \frac{x^{2}}{e^{x}}、\frac{y^{2}}{e^{y}} exx2eyy2都为0,所以极限为0

    例题二:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)(0,0)limx2ln(x2+y2)=0
    解析:因为
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)(0,0)limx2ln(x2+y2)=(x,y)(0,0)limx2+y2x2(x2+y2)ln(x2+y2)
    x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2 =t
    则有
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ( x 2 + y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = lim ⁡ t → 0 + t ln ⁡ t = lim ⁡ t → 0 + ln ⁡ t 1 / t = lim ⁡ t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)ln(x2+y2)=t0+limtlnt=t0+lim1/tlnt=t0+lim1/t21/t=0

    例题三:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)(0,0)limxln(x2+y2)
    解析:因为
    lim ⁡ x → 0 y → 0 x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 2 lim ⁡ x → 0 y → 0 x x 2 + y 2 x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} y0x0limxln(x2+y2)=2y0x0limx2+y2 xx2+y2 lnx2+y2
    x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2 =t,那么
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim ⁡ t → 0 + t ln ⁡ t = lim ⁡ t → 0 + ln ⁡ t 1 / t = lim ⁡ t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)(0,0)limx2+y2 lnx2+y2 =t0+limtlnt=t0+lim1/tlnt=t0+lim1/t21/t=0
    所以 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)(0,0)limxln(x2+y2)=0

    例题四:求极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin ⁡ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2 sinx2+y2

    解析
    lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin ⁡ x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 x 2 + y 2 = ρ ρ → 0 ρ − sin ⁡ ρ ρ 3 = lim ⁡ ρ → 0 ρ − ( ρ − 1 6 ρ 3 + o ( ρ 3 ) ) ρ 3 = 1 6 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} & \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho}{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\sin \rho}{\rho^{3}} \\ &=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\left(\rho-\frac{1}{6} \rho^{3}+o\left(\rho^{3}\right)\right)}{\rho^{3}}=\frac{1}{6} \end{aligned} (x,y)(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2 sinx2+y2 ρ0x2+y2 =ρρ3ρsinρ=ρ0limρ3ρ(ρ61ρ3+o(ρ3))=61

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    一、多元函数极限的定义

    存在的问题:有两种定义方式分别以 聚点/ 去心领域去定义重极限,不同的定义方式可能导致结果不同

     用 定义证明的例题选解

     

    二、多元函数求极限的方法

    1、利用极限性质(四则运算法则、夹逼准则)

    夹逼准则:多是夹为0。有界函数放缩为固定值/常用不等式?去分母?

    2、消去分母中极限为 0 的因子 —— 有理化,等价无穷小代换

    3、有界函数x无穷小量=0

    4、直接代入:先代入看看是不是未定式!如果不是那就是答案

     

     

    极坐标 都可以考虑极坐标 !

    注意!x和y次数相同!

     

    整体替换化为一元函数:可以分拆,可以整体代换的重极限可以尝试。当变成一元函数那方法就多了,如:等价,洛必达,泰勒......

    注意:多元函数洛必达教材没有,不可用!

     

     1)初步判断:三次比二次 —— 极限应为 0

           利用

          

            注:本题若用极坐标,只是恰巧和答案求得结果一样,过程是错误的!!!

          

           因为当 ρ 趋向于 0时 ,θ 也在变,牵扯到了一致性的问题,超出了考研要求。

            

     2)

          

     3)

          

     

    三、多元函数的极限不存在

    注意

    只能最多说明极限不存在,不能说明极限存在!

    强行找几条路径认为存在是逻辑错误,因为路径根本找不完。

    —— 沿两种不同路径极限不同。

     

     四、利用多重积分定义求极限

     原文见

     多元函数求极限方法总结 - 知乎

    展开全文
  • 高数篇:11.01多元函数求极限方法

    千次阅读 2021-04-07 15:40:53
    高数篇:11.01多元函数求极限方法高数篇:11.01多元函数求极限方法转化为极坐标转化为一元函数夹逼定理无穷小替换定义法证明极限不存在转载需注明出处 高数篇:11.01多元函数求极限方法 转化为极坐标 ρ趋于0时与θ...

    高数篇:11.01多元函数求极限方法

    转化为极坐标

    • ρ趋于0时与θ无关
      在这里插入图片描述
      注:遇见函数式x和y都是幂函数的,都可以用这个方法。

    转化为一元函数

    在这里插入图片描述
    类似第一种转换成极坐标的形式。

    夹逼定理

    在这里插入图片描述
    注:一般应用于函数式为分子为三角函数,分母为幂函数。

    无穷小替换

    在这里插入图片描述

    定义法

    在这里插入图片描述

    证明极限不存在

    在这里插入图片描述

    转载需注明出处

    https://blog.csdn.net/qq_49710945/article/details/115487369

    展开全文
  • 二元函数的重极限时,极坐标代换法被很多人称为"万能解法",很多教科书上也不加证明的直接使用了极坐标代换.但也有人认为这种方法"不严谨",不能满足"任意路径趋近".为什么有人说极坐标代换万能?为什么又有人说这...

    前言

    在求二元函数的重极限时, 极坐标代换法被很多人称为"万能解法", 很多教科书上也不加证明的直接使用了极坐标代换. 但也有人认为这种方法"不严谨", 不能满足"任意路径趋近".

    为什么有人说极坐标代换万能? 为什么又有人说这东西不严谨?

    哪有什么严谨不严谨, 对就是对, 不对就是不对, 今天这篇文章就全给你讲明白了.

    认真读完这篇文章, 你可以完全理解并掌握求解二重极限的通法, 从此求重极限就像喝水一样自然.


    哪里出现了问题?

    很多老师说过, 使用极坐标代换, 将二元函数的极限转换成了一元函数的极限, 非常方便求解.

    我们先来看这样一道例题:

    那么, 问题出在哪里了呢?


    在定义里寻找答案

    很多人认为极坐标代换实际上只是沿直线趋近, 没有沿曲线趋近, 不满足"沿任意路径趋近", 所以会出错.[1][2]

     刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.

     知乎文章《二重极限的最强解法——极坐标代换法!!!》评论区

    事实真是如此吗? 什么叫"沿任意路径"?

    这种说法本身就非常模糊. 我们不可能列举出所有的曲线路径, 合着重极限就不能直接求了是吧.

    我们来仔细看看重极限的定义.

     定义[3]


    极坐标代换的使用条件

    刚才的讨论得到了极坐标代换的使用条件:

    显然只要满足了这个条件, 那么x就可以取到开圆里的任意一个点.

    详细的证明见下图:[4]

     许召春.关于利用极坐标换元法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.


    小结

    现在我们重新看一下开头的那道例题, 究竟是哪里出现了问题呢?

    错解

     

     

     


    练习题

    练习1

     

     


    方法总结

    第一步, 极坐标代换, 化简.

    第二步, 检查 能否任意取值, 若能, 得到答案; 若不能, 取特殊曲线得出重极限不存在.


    参考

    1. ^刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.
    2. ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/143541324
    3. ^薛玉梅, 苑佳等. 工科数学分析(下册). [M]. 北京航空航天大学出版社, 2020.
    4. ^许召春.关于利用极坐标换元法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.

     原文来自 ——

    求二重极限时, 极坐标代换究竟该怎么用? - 知乎

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