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2021-05-09 16:32:49
- 夹逼准则
例一：求极限 lim x → 0 y → 0 sin ( x 2 y + y 4 ) x 2 + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}} y→0x→0limx2+y2sin(x2y+y4)
解析：因为 ∣ sin x ∣ ≤ ∣ x ∣ |\sin x| \leq|x| ∣sinx∣≤∣x∣，因为有
0 ≤ ∣ sin ( x 2 y + y 4 ) x 2 + y 2 ∣ ≤ ∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ 0 \leq\left|\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| 0≤∣∣∣∣∣x2+y2sin(x2y+y4)∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣x2+y2x2y+y4∣∣∣∣
又因为
∣ x 2 y + y 4 x 2 + y 2 ∣ ≤ x 2 x 2 + y 2 × ∣ y ∣ + y 2 x 2 + y 2 × y 2 ≤ ∣ y ∣ + y 2 → 0 \begin{aligned} \left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| & \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times|y|+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \times y^{2} \\ & \leq|y|+y^{2} \rightarrow 0 \end{aligned} ∣∣∣∣x2+y2x2y+y4∣∣∣∣≤x2+y2x2×∣y∣+x2+y2y2×y2≤∣y∣+y2→0
由夹逼准则知，极限为0例2：求极限 lim x → + ∞ y → + ∞ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} y→+∞x→+∞lim(x2+y2xy)x2
解析：注意到
0 ≤ x y x 2 + y 2 ≤ 1 2 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 1 2 0 \leq \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} 0≤x2+y2xy≤x2+y221(x2+y2)=21
所以
0 ≤ ( x y x 2 + y 2 ) x 2 ≤ ( 1 2 ) x 2 → 0 0 \leq\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}} \rightarrow 0 0≤(x2+y2xy)x2≤(21)x2→0
由夹逼准则知极限为0例三 求极限 lim x → ∞ y → ∞ x + y x 2 − x y + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty \atop y \rightarrow \infty} \frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}} y→∞x→∞limx2−xy+y2x+y
解法一：由于
∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y − 1 + y x ∣ ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ ∣ x y + y x ∣ − 1 ≤ ∣ 1 y + 1 x ∣ → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}-1+\frac{y}{x}\right|} \leq \frac{\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right|}{\left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right|-1} \leq\left|\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right| \rightarrow 0 ∣∣∣∣x2−xy+y2x+y∣∣∣∣≤∣∣∣yx−1+xy∣∣∣∣∣∣y1+x1∣∣∣≤∣∣∣yx+xy∣∣∣−1∣∣∣y1+x1∣∣∣≤∣∣∣∣y1+x1∣∣∣∣→0解法二：由于
∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ 2 ∣ x + y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x 2 + y 2 ≤ 2 ( 1 ∣ x ∣ + 1 ∣ y ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq \frac{2|x+y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2 \frac{|x|+|y|}{x^{2}+y^{2}} \leq 2\left(\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|y|}\right) \rightarrow 0 ∣∣∣∣x2−xy+y2x+y∣∣∣∣≤x2+y22∣x+y∣≤2x2+y2∣x∣+∣y∣≤2(∣x∣1+∣y∣1)→0
故由夹逼准则知极限为0解法三：
注意到 x 2 + y 2 − x y ≥ 2 x y − x y = x y x^{2}+y^{2}-x y \geq 2 x y-x y=x y x2+y2−xy≥2xy−xy=xy
由于
∣ x + y x 2 − x y + y 2 ∣ ≤ ∣ x + y x y ∣ ≤ ( 1 ∣ y ∣ + 1 ∣ x ∣ ) → 0 \left|\frac{x+y}{x^{2}-x y+y^{2}}\right| \leq\left|\frac{x+y}{x y}\right| \leq\left(\frac{1}{|y|}+\frac{1}{|x|}\right) \rightarrow 0 ∣∣∣∣x2−xy+y2x+y∣∣∣∣≤∣∣∣∣xyx+y∣∣∣∣≤(∣y∣1+∣x∣1)→0
所以极限为0- 极坐标
例题一：求极限 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} (x,y)→(0,0)limx2+y2x3+y3
解析：
令 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta x=ρcosθ,y=ρsinθ，则
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 + y 3 x 2 + y 2 = lim ρ → 0 ρ 3 ( cos 3 θ + sin 3 θ ) ρ 2 = lim ρ → 0 ρ ( cos 3 θ + sin 3 θ ) = 0 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^{3}\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)}{\rho^{2}}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \rho\left(\cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta\right)=0 (x,y)→(0,0)limx2+y2x3+y3=ρ→0limρ2ρ3(cos3θ+sin3θ)=ρ→0limρ(cos3θ+sin3θ)=0- 化为一元函数
例题一：求极限 lim x → + ∞ y → + ∞ ( x 2 + y 2 ) e − ( x + y ) \lim \limits_{x \rightarrow+\infty \atop y \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-(x+y)} y→+∞x→+∞lim(x2+y2)e−(x+y)
由于 0 < ( x 2 + y 2 ) e x + y = x 2 e x + y + y 2 e x + y ≤ x 2 e x + y 2 e y 0<\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{e^{x+y}}=\frac{x^{2}}{e^{x+y}}+\frac{y^{2}}{e^{x+y}} \leq \frac{x^{2}}{e^{x}}+\frac{y^{2}}{e^{y}} 0<ex+y(x2+y2)=ex+yx2+ex+yy2≤exx2+eyy2
易知 x 2 e x 、 y 2 e y \frac{x^{2}}{e^{x}}、\frac{y^{2}}{e^{y}} exx2、eyy2都为0，所以极限为0例题二：求极限 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)→(0,0)limx2ln(x2+y2)=0
解析：因为
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 ln ( x 2 + y 2 ) = lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) ln ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)→(0,0)limx2ln(x2+y2)=(x,y)→(0,0)limx2+y2x2(x2+y2)ln(x2+y2)
令 x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2=t
则有
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ( x 2 + y 2 ) ln ( x 2 + y 2 ) = lim t → 0 + t ln t = lim t → 0 + ln t 1 / t = lim t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)→(0,0)lim(x2+y2)ln(x2+y2)=t→0+limtlnt=t→0+lim1/tlnt=t→0+lim−1/t21/t=0例题三：求极限 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ( x 2 + y 2 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) (x,y)→(0,0)limxln(x2+y2)
解析：因为
lim x → 0 y → 0 x ln ( x 2 + y 2 ) = 2 lim x → 0 y → 0 x x 2 + y 2 x 2 + y 2 ln x 2 + y 2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} y→0x→0limxln(x2+y2)=2y→0x→0limx2+y2xx2+y2lnx2+y2
令 x 2 + y 2 = t \sqrt{x^{2}+y^{2}}=t x2+y2=t，那么
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 ln x 2 + y 2 = lim t → 0 + t ln t = lim t → 0 + ln t 1 / t = lim t → 0 + 1 / t − 1 / t 2 = 0 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t \\ &=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln t}{1 / t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / t}{-1 / t^{2}}=0 \end{aligned} (x,y)→(0,0)limx2+y2lnx2+y2=t→0+limtlnt=t→0+lim1/tlnt=t→0+lim−1/t21/t=0
所以 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x ln ( x 2 + y 2 ) = 0 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=0 (x,y)→(0,0)limxln(x2+y2)=0例题四：求极限 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} (x,y)→(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2−sinx2+y2
解析：
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 − sin x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 x 2 + y 2 = ρ ρ → 0 ρ − sin ρ ρ 3 = lim ρ → 0 ρ − ( ρ − 1 6 ρ 3 + o ( ρ 3 ) ) ρ 3 = 1 6 \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}} & \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho}{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\sin \rho}{\rho^{3}} \\ &=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho-\left(\rho-\frac{1}{6} \rho^{3}+o\left(\rho^{3}\right)\right)}{\rho^{3}}=\frac{1}{6} \end{aligned} (x,y)→(0,0)lim(x2+y2)3/2x2+y2−sinx2+y2ρ→0x2+y2=ρρ3ρ−sinρ=ρ→0limρ3ρ−(ρ−61ρ3+o(ρ3))=61更多相关内容 - 夹逼准则
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一、多元函数极限的定义
存在的问题：有两种定义方式分别以 聚点/ 去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同
用
定义证明的例题选解
二、多元函数求极限的方法
1、利用极限性质（四则运算法则、夹逼准则）
夹逼准则：多是夹为0。有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？
2、消去分母中极限为 0 的因子 —— 有理化，等价无穷小代换
3、有界函数x无穷小量=0
4、直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案
极坐标：
都可以考虑极坐标 ！注意！x和y次数相同！
整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒......
注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！
1）初步判断：三次比二次 —— 极限应为 0
利用
注：本题若用极坐标，只是恰巧和答案求得结果一样，过程是错误的！！！
因为当 ρ 趋向于 0时 ，θ 也在变，牵扯到了一致性的问题，超出了考研要求。
2）
3）
三、多元函数的极限不存在
注意：
只能最多说明极限不存在，不能说明极限存在！
强行找几条路径认为存在是逻辑错误，因为路径根本找不完。
—— 沿两种不同路径极限不同。
四、利用多重积分定义求极限
原文见
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在求二元函数的重极限时, 极坐标代换法被很多人称为"万能解法", 很多教科书上也不加证明的直接使用了极坐标代换. 但也有人认为这种方法"不严谨", 不能满足"任意路径趋近".
为什么有人说极坐标代换万能? 为什么又有人说这东西不严谨?
哪有什么严谨不严谨, 对就是对, 不对就是不对, 今天这篇文章就全给你讲明白了.
认真读完这篇文章, 你可以完全理解并掌握求解二重极限的通法, 从此求重极限就像喝水一样自然.
哪里出现了问题?
很多老师说过, 使用极坐标代换, 将二元函数的极限转换成了一元函数的极限, 非常方便求解.
我们先来看这样一道例题:
例
解
那么, 问题出在哪里了呢?
在定义里寻找答案
很多人认为极坐标代换实际上只是沿直线趋近, 没有沿曲线趋近, 不满足"沿任意路径趋近", 所以会出错.[1][2]
刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.
知乎文章《二重极限的最强解法——极坐标代换法！！！》评论区
事实真是如此吗? 什么叫"沿任意路径"?
这种说法本身就非常模糊. 我们不可能列举出所有的曲线路径, 合着重极限就不能直接求了是吧.
我们来仔细看看重极限的定义.
定义[3]
极坐标代换的使用条件
刚才的讨论得到了极坐标代换的使用条件：
显然只要满足了这个条件, 那么x就可以取到开圆里的任意一个点.
详细的证明见下图:[4]
许召春.关于利用极坐标换元法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.
小结
现在我们重新看一下开头的那道例题, 究竟是哪里出现了问题呢?
错解
练习题
练习1
方法总结
第一步, 极坐标代换, 化简.
第二步, 检查
能否任意取值, 若能, 得到答案; 若不能, 取特殊曲线得出重极限不存在.
参考
- ^刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.
- ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/143541324
- ^薛玉梅, 苑佳等. 工科数学分析(下册). [M]. 北京航空航天大学出版社, 2020.
- ^许召春.关于利用极坐标换元法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.
原文来自 ——
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