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  • 多目标优化

    万次阅读 多人点赞 2018-09-14 11:40:57
    最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件;...使个目标在给定区域同时尽可能最佳,多目标优化的解通常是一组均衡解(即一组由众多 Pareto最优解组成的最优解集合 ,集合中的各个元素称为 Pareto最优解或非劣最...

    最优化问题的分类
    1)无约束和有约束条件;
    2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定);
    3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性);
    4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。


    1. 什么是多目标优化?

    使多个目标在给定区域同时尽可能最佳,多目标优化的解通常是一组均衡解(即一组由众多 Pareto最优解组成的最优解集合 ,集合中的各个元素称为 Pareto最优解或非劣最优解)。

    非劣解——多目标优化问题并不存在一个最优解,所有可能的解都称为非劣解,也称为Pareto解。
    Pareto最优解——无法在改进任何目标函数的同时不削弱至少一个其他目标函数。这种解称作非支配解或Pareto最优解。

    • 多目标优化问题的描述

    这里写图片描述

    • Pareto支配关系:

    这里写图片描述


    2. 如何实现多目标优化?有哪些方法?

    多目标优化问题不存在唯一的全局最优解 ,过多的非劣解是无法直接应用的 ,所以在求解时就是要寻找一个最终解

    (1)求最终解主要有三类方法:

    一是求非劣解的生成法,即先求出大量的非劣解,构成非劣解的一个子集,然后按照决策者的意图找出最终解;(生成法主要有加权法﹑约束法﹑加权法和约束法结合的混合法以及多目标遗传算法

    二为交互法,不先求出很多的非劣解,而是通过分析者与决策者对话的方式,逐步求出最终解;

    三是事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度,算法以此为依据,将多目标问题转化为单目标问题进行求解

    (2)多目标优化算法归结起来有传统优化算法和智能优化算法两大类。

    传统优化算法包括加权法、约束法和线性规划法等,实质上就是将多目标函数转化为单目标函数,通过采用单目标优化的方法达到对多目标函数的求解。

    线性加权求和法——对多目标优化问题中的N个目标按其重要程度赋以适当的权系数,其乘积和作新的目标函数,再求最优解。

    智能优化算法包括进化算法(Evolutionary Algorithm, 简称EA)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)等。

    两者的区别——传统优化技术一般每次能得到Pareo解集中的一个,而用智能算法来求解,可以得到更多的Pareto解,这些解构成了一个最优解集,称为Pareto最优解(任一个目标函数值的提高都必须以牺牲其他目标函数值为代价的解集)。


    3. 多目标进化算法 (MOEA )

    ①MOEA通过对种群 X ( t)执行选择、交叉和变异等操作产生下一代种群 X ( t + 1) ;
    ②在每一代进化过程中 ,首先将种群 X ( t)中的所有非劣解个体都复制到外部集 A ( t)中;
    ③然后运用小生境截断算子剔除A ( t)中的劣解和一些距离较近的非劣解个体 ,以得到个体分布更为均匀的下一代外部集 A ( t + 1) ;
    ④并且按照概率 pe从 A ( t + 1)中选择一定数量的优秀个体进入下代种群;
    ⑤在进化结束时 ,将外部集中的非劣解个体作为最优解输出。

    3.1 NSGA(非支配排序遗传算法)


    这里写图片描述

    小生境技术——将每一代个体划分为若干类,每个类中选出若干适应度较大的个体作为一个类的优秀代表组成一个群,再在种群中,以及不同种群中之间,杂交,变异产生新一代个体群。同时采用预选择机制和排挤机制或分享机制完成任务。
    基于共享机制的小生境实现方法——通过反映个体之间的相似程度的共享函数来调节群体中各个个体的适应度,从而在这以后的群体进化过程中,算法能够依据这个调整后的新适应度来进行选择运算,以维持群体的多样性,创造出小生境的进化环境。
    共享函数——表示群体中两个个体之间密切关系程度的一个函数

    共享度是某个个体在群体中共享程度的一中度量,它定义为该个体与群体内其它各个个体之间的共享函数值之和,用S 表示:
    S = (i=1,… ,M)
    在计算出了群体中各个个体的共享度之后,依据下式来调整各个个体的适应度
    F(X) =F(X) / S (i=1,… ,M)

    小生境算法的描述如下:
    (1)设置进化代数计数器;随机生成M个初始群体P(t),并求出各个个体的适应度F (i=1,2,M)。
    (2)依据各个个体的适应度对其进行降序排列,记忆前N个个体(N小于M)。
    (3)选择算法。对群体P(t)进行比例选择运算,得到P (t)。
    (4)交叉选择。对选择的个体集合P (t) 作单点交叉运算,得到P (t)。
    (5)变异运算。对P (t)作均匀变异运算,得到P (t)。
    (6)小生境淘汰运算。将第(5)步得到的M个个体和第(2)步所记忆的N个个体合并在一起,得到一个含有M+N 个个体的新群体;对着M+N个个体,按照下式得到两个个体x 和x 之间的海明距离:|| x - x ||= d,当|| x - x ||小于L时,比较个体x 和个体x 的适应度大小,并对其中适应度较低的个体处以罚函数: Fmin(x,x )=Penalty。
    (7)依据这M+N个个体的新适应度对各个个体进行降序排列,记忆前N个个体。
    (8)终止条件判断。若不满足终止条件,则:更新进化代数记忆器t = t+1, 并将第(7)步排列中的前M个个体作为新的下一代群体P(t),然后转到第(3)步:若满足终止条件,则:输出计算结果,算法结束。

    NSGA使用了非支配分层方法和适应度共享策略。非支配分层方法可以使好的个体有更大的机会遗传到下一代;适应度共享策略则使得准Pareto面上的个体均匀分布,保持了群体多样性,克服了超级个体的过度繁殖,防止了早熟收敛。

    NSGA与简单的遗传算法的主要区别在于:该算法在选择算子执行之前根据个体之间的支配关系进行了分层。其选择算子、交叉算子和变异算子与简单遗传算法没有区别。

    3.2 NSGAII(带精英策略的非支配排序的遗传算法)


    这里写图片描述

    NSGA一II算法的基本思想:
    (1)首先,随机产生规模为N的初始种群,非支配排序后通过遗传算法的选择、交叉、变异三个基本操作得到第一代子代种群;
    (2)其次,从第二代开始,将父代种群与子代种群合并,进行快速非支配排序,同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算,根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群;
    (3)最后,通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群:依此类推,直到满足程序结束的条件。

    非支配排序算法
    考虑一个目标函数个数为K(K>1)、规模大小为N的种群,通过非支配排序算法可以对该种群进行分层,具体的步骤如下:
    这里写图片描述

    通过上述步骤得到的非支配个体集是种群的第一级非支配层;

    然后,忽略这些标记的非支配个体,再遵循步骤(1)一(4),就会得到第二级非支配层;

    依此类推,直到整个种群被分类。

    快速非支配排序算法:
    这里写图片描述

    拥挤度——指种群中给定个体的周围个体的密度,直观上可表示为个体。

    拥挤度比较算子:
    这里写图片描述

    3.3 多目标粒子群算法( PSO )


    设想这么一个场景:一群鸟进行觅食,而远处有一片玉米地,所有的鸟都不知道玉米地到底在哪里,但是它们知道自己当前的位置距离玉米地有多远。那么找到玉米地的最佳策略,也是最简单有效的策略就是是搜寻目前距离玉米地最近的鸟群的周围区域。

    基本粒子群算法:
    粒子群由 n个粒子组成 ,每个粒子的位置 xi 代表优化问题在 D维搜索空间中潜在的解;
    粒子在搜索空间中以一定的速度飞行 , 这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整下一步飞行方向和距离;
    所有的粒子都有一个被目标函数决定的适应值(可以将其理解为距离“玉米地”的距离) , 并且知道自己到目前为止发现的最好位置 (个体极值 pi )和当前的位置 ( xi ) 。

    粒子群算法的数学描述 :
    每个粒子 i包含为一个 D维的位置向量 xi = ( xi1, xi2, …, xiD )和速度向量 vi = ( vi1, vi2,…, viD ) ,粒子 i搜索解空间时 ,保存其搜索到的最优经历位置pi = ( pi1, pi2, …, piD ) 。在每次迭代开始时 ,粒子根据自身惯性和经验及群体最优经历位置 pg = ( pg1, pg2, …, pgD )来调整自己的速度向量以调整自身位置。

    粒子群算法基本思想:
    (1)初始化种群后 ,种群的大小记为 N。基于适应度支配的思想 ,将种群划分成两个子群 ,一个称为非支配子集 A,另一个称为支配子集 B ,两个子集的基数分别为 n1、n2 。
    (2)外部精英集用来存放每代产生的非劣解子集 A,每次迭代过程只对 B 中的粒子进行速度和位置的更新 ;
    (3)并对更新后的 B 中的粒子基于适应度支配思想与 A中的粒子进行比较 ,若 xi ∈B , ϖ xj ∈A,使得 xi 支配 xj,则删除 xj,使 xi 加入 A 更新外部精英集 ;且精英集的规模要利用一些技术维持在一个上限范围内 ,如密度评估技术、分散度技术等。
    (4)最后 ,算法终止的准则可以是最大迭代次数 Tmax、计算精度ε或最优解的最大凝滞步数 Δt等。


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  • 粒子群算法在多目标优化问题中的应用,基于软件MATLAB实现
  • 多目标优化详解【转载】

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    欢迎大家访问我的网站发现更多内容omegaxyz.com
    多目标优化问题详解
    生活中 ,许多问题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化问题 ,也就是多目标优化问题。优化问题存在的优化目标超过一个并需要同时处理 ,就成为多目标优化问题。
    多目标优化问题在工程应用等现实生活中非常普遍并且处于非常重要的地位 ,这些实际问题通常非常复杂、困难 ,是主要研究领域之一。自 20世纪 60年代早期以来 ,多目标优化问题吸引了越来越多不同背景研究人员的注意力。因此 ,解决多目标优化问题具有非常重要的科研价值和实际意义。
    实际中优化问题大多数是多目标优化问题 ,一般情况下 ,多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的 ,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低 , 也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的 , 而只能在它们中间进行协调和折中处理 , 使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单目标优化问题的本质区别在于 ,它的解并非唯一 ,而是存在一组由众多 Pareto最优解组成的最优解集合 ,集合中的各个元素称为 Pareto最优解或非劣最优解。

    1 多目标优化问题的描述
    多目标优化问题用文字描述为 D 个决策变量参数、N 个目标函数、m + n个约束条件组成一个优化问题 ,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。在非劣解集中决策者只能根据具体问题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。多目标优化问题的数学形式可以如下描述 [1 ] :

    min y = f( x) = [ f1 ( x) , f2 ( x) , …, fn ( x) ]
    n = 1, 2, …, N
    s. t.  gi ( x) ≤0 i = 1, 2, …, m hj ( x) = 0 j = 1, 2, …, k
    x = [ x1 , x2 , …, xd , …, xD ]
    xd_min ≤xd ≤xd_max d = 1, 2, …, D

    其中: x为 D维决策向量 , y为目标向量 , N 为优化目标总数 ; gi
    ( x) ≤0为第 i个不等式约束 , hj ( x) = 0为第 j个等式约束 , fn
    ( x)为第 n个目标函数; X是决策向量形成的决定空间 , Y是目标向量形成的目标空间。gi ( x) ≤0和 hj ( x) = 0确定了解的可行域 , xd_max和 xd_m in为每维向量搜索的上下限。

    对于多目标优化问题中最优解或非劣最优解可进行如下定义 :
    定义 1 f(x)的支配关系与 x的支配关系是一致的。
    定义 2 Pareto最优解是不被可行解集中的任何解支配的
    解 ,若 x3 是搜索空间中一点 ,说 x3 为非劣最优解 ,当且仅当不存在 x (在搜索空间可行性域中 )使得 fn ( x) ≤fn ( x3 )成立 ,
    n = 1, 2, …, N。
    定义 3 给定一个多目标优化问题 f( x) , f ( x3 )是全局最优解当且仅当对任意 x (在搜索空间中 ) ,都有 f( x3 ) ≤f( x) 。
    定义 4 由所有非劣最优解组成的集合称为多目标优化问题的最优解集 ( Pareto op timal set) ,也称为可接受解集或有效解集。

    2 不同算法在多目标优化中的应用
    多目标优化问题不存在唯一的全局最优解 ,过多的非劣解是无法直接应用的 ,所以在求解时就是要寻找一个最终解。求最终解主要有三类方法 :
    a)生成法 ,即先求出大量的非劣解 ,构成非劣解的一个子集 ,然后按照决策者的意图找出最终解 ;
    b)为交互法 ,不先求出很多的非劣解 ,而是通过分析者与决策者对话的方式逐步求出最终解 ;
    c)是事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度 ,算法以此为依据 ,将多目标问题转换为单目标问题进行求解。而这些主要是通过算法来实现的 ,一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题 ,如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

    多目标进化算法
    多目标进化算法 (MOEA )是一类模拟生物进化机制而形成的全局性概率优化搜索方法 ,在 20世纪 90年代中期开始迅速发展 ,其发展可以分为两个阶段。第一阶段主要有两种方法即不基于 Pareto优化的方法和基于 Pareto优化的方法 ;第二个阶段就是在此基础上提出了外部集这个概念 ,外部集存放的是当前代的所有非支配个体 ,从而使解集保持较好的分布度。这个时期提出的多目标进化算法更多地强调算法的效率和有效性。在这两个阶段中 , 比较典型的多目标进化算法有 NS2 GA2[ 3 ]、PESA2和 SPEA2。对于这三种算法而言 ,其优点较多但是其缺点也比较明显的。如 NSGA2的优点在于运行效率高、解集有良好的分布性 ,特别对于低维优化问题具有较好的表现 ;其缺点在于在高维问题中解集过程具有缺陷 ,解集的多样性不理想。PESA2的优点在于其解的收敛性很好 ,比较容易接近最优面 ,特别是在高维问题情况下 ;但其不足之处在于选择操作一次只能选取一个个体 ,时间消耗很大 ,而且阶级的多样性不佳。SPEA2的优点在于可以取得一个分布度很好的解集 ,特别是在高维问题的求解上 ,但是其聚类过程保持多样性耗时较长 ,运行效率不高。
    多目标进化算法的基本原理描述如下 : 多目标进化算法从一组随机生成的种群出发 ,通过对种群执行选择、交叉和变异等进化操作 ,经过多代进化 ,种群中个体的适应度不断提高 ,
    从而逐步逼近多目标优化问题的 Pareto最优解集。与单目标进化算法不同 ,多目标进化算法具有特殊的适应度评价机制。为了充分发挥进化算法的群体搜索优势 ,大多数 MOEA均采用基于 Pareto排序的适应度评价方法。在实际应用中 ,为使算法更好地收敛到多目标优化问题的 Pareto最优解 ,现有的MOEA通常还采用了精英策略、小生境和设置外部集等关键技术。
    MOEA一般框架所描述的算法思想如下 : MOEA通过对种群 X ( t)执行选择、交叉和变异等操作产生下一代种群 X ( t + 1) 。在每一代进化过程中 ,首先将种群 X ( t)中的所有非劣解个体都复制到外部集 A ( t)中 ,然后运用小生境截断算子剔除A ( t)中的劣解和一些距离较近的非劣解个体 ,以得到个体分布更为均匀的下一代外部集 A ( t + 1) ,并且按照概率 pe从 A ( t + 1)中选择一定数量的优秀个体进入下代种群。在进化结束时 ,将外部集
    中的非劣解个体作为最优解输出 , 目前 , MOEA研究取得了大量成果 ,已被应用于许多领域 ,如工程领域、工业领域和科学领域。其中 ,工程领域的应用最多 ,如电子工程、水利工程、风电工程和控制等。

    多目标粒子群算法
    粒子群优化算法 ( PSO )是一种源于对鸟群捕食行为的研究而发明的进化计算技术 ,最先由 Barnhart博士和 Kennedy博士于 1995年提出 [ 7 ]。它是一种基于迭代的优化工具 ,系统初始化一组随机解 ,通过迭代搜寻最优值 ,不但具有全局寻优能力 ,而且具有较强的局部寻优能力。在基本粒子群算法 [ 8, 9 ]中 , 粒子群由 n个粒子组成 ,每个粒子的位置 xi 代表优化问题在 D维搜索空间中潜在的解。粒子在搜索空间中以一定的速度飞行 , 这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整下一步飞行方向和距离。所有的粒子都有一个被目标函数决定的适应值 , 并且知道自己到目前为止发现的最好位置 (个体极值 pi )和当前的位置 ( xi ) 。除此之外 , 每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(全局极值 pg ) , 是所有最好位置中的最优值
    粒子群算法的数学描述如下 :每个粒子 i包含为一个 D维的位置向量 xi = ( xi1 , xi2 , …, xiD )和速度向量 vi = ( vi1 , vi2 ,…, viD ) ,粒子 i搜索解空间时 ,保存其搜索到的最优经历位置pi = ( pi1 , pi2 , …, piD ) 。在每次迭代开始时 ,粒子根据自身惯性和经验及群体最优经历位置 pg = ( pg1 , pg2 , …, pgD )来调整自己的速度向量以调整自身位置。 c1、c2 是正常数 , 称之为加速因子 ; r1、r2 为 [ 0, 1 ]中均匀分布的随机数 , d为 D维中的维数 ;ω是惯性权重因子。由于粒子群算法具有高效的搜索能力 , 有利于得到多目标意义下的最优解 ;通过代表整个解集种群 ,按并行方式同时搜索多个非劣解 ,也即搜索到多个 Pareto最优解 ;同时 ,粒子群算法的通用性比较好 ,适合处理多种类型的目标函数和约束 ,并且容易与传统的优化方法结合 ,从而改进自身的局限性 ,更高效地解决问题。因此 ,将粒子群算法应用于解决多目标优化问题上具有很大的优势。
    粒子群算法思想描述如下 :初始化种群后 ,种群的大小记为 N。基于适应度支配的思想 ,将种群划分成两个子群 ,一个称为非支配子集 A,另一个称为支配子集 B ,两个子集的基数分别为 n1、n2 ,满足两个子群基数之和为 N [13 ]。外部精英集用来存放每代产生的非劣解子集 A,每次迭代过程只对 B 中的粒子进行速度和位置的更新 , 并对更新后的 B 中的粒子基于适应度支配思想与 A中的粒子进行比较 ,若 xi ∈B , ϖ xj ∈A,使得
    xi 支配 xj,则删除 xj,使 xi 加入 A 更新外部精英集 ;且精英集的规模要利用一些技术维持在一个上限范围内 ,如密度评估技术、分散度技术等。最后 ,算法终止的准则可以是最大迭代次数 Tmax、计算精度ε或最优解的最大凝滞步数 Δt等。

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  • 多目标优化算法研究及其在推荐系统的应用 摘 要 在现实生活中一些工程应用中通常会存在相互冲突的目标决策者需要通过寻找 最优值来解决问题上述优化问题普遍存在于金融投资生产制造和工程设计等领域 经过大量的学术...
  • Matlab 多目标优化

    2014-03-30 19:48:16
    Matlab 多目标优化 遗传算法 源程序 很好的应用案例 基于MATLAB
  • 该PPT主要讲述了多目标优化的一些方法,然后从应用的角度讲了一些多目标优化的实例,并且给出了一定的源代码
  • 目标优化多目标优化

    千次阅读 2020-03-10 18:24:12
    多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的 ,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低 , 也就是要同时使个子目标一起达到最优值是不可能的 , 而只能在它们中间进行协调和折中处理 , 使各个子...

    1、优化问题三要素:

    决策变量、目标函数、约束

    2、单、多目标优化的关系:

    多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的 ,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低 , 也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的 , 而只能在它们中间进行协调和折中处理 , 使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单目标优化问题的本质区别在于 ,它的解并非唯一 ,而是存在一组由众多 Pareto最优解组成的最优解集合 ,集合中的各个元素称为 Pareto最优解或非劣最优解。

    3、不同算法在多目标优化中的应用 :

    多目标优化问题不存在唯一的全局最优解 ,过多的非劣解是无法直接应用的 ,所以在求解时就是要寻找一个最终解。求最终解主要有三类方法 : 
    a)生成法 ,即先求出大量的非劣解 ,构成非劣解的一个子集 ,然后按照决策者的意图找出最终解 ; 
    b)为交互法 ,不先求出很多的非劣解 ,而是通过分析者与决策者对话的方式逐步求出最终解 ; 
    c)是事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度 即权重,算法以此为依据 ,将多目标问题转换为单目标问题进行求解。而这些主要是通过算法来实现的 ,一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题 ,如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

    4、优化问题分类:

    • 数量:

    单目标优化问题;多目标优化有多个评测函数的存在,而且使用不同的评测函数的解,也是不同的。也即是说:多目标优化问题中,同时存在多个最大化或是最小化的目标函数,并且,这些目标函数并不是相互独立的,也不是相互和谐融洽的,他们之间会存在或多或少的冲突,使得不能同时满足所有的目标函数。

    • 变量性质:

    数值优化问题:决策变量的取值往往是连续的,通常是一段连续定义域上的连续函数的函数求得最值的问题

    组合优化问题决策变量是离散的。 组合优化问题是对离散变量按照一定评价标准的排序,筛选或分类。

    组合问题首先有解的集合,但是怎样优化是重点。

    • 是否有约束:

    有约束问题:既可以是等式约束也可以是不等式约束。寻找这一组参数值的关键可是:满足约束条件和目标值要达到最优。

    无约束优化问题:初始点选择好之后,就可以按照各种不同的无约束最优化求解算法,求解最小值点了。主要的连个概念:步长和方向。https://blog.csdn.net/nocml/article/details/8287466

    • 目标函数:

    线性规划:线性规划问题是要最小化或最大化一个受限于一组有限的线性约束的线性函数。https://blog.csdn.net/fjssharpsword/article/details/53195556

    非线性优化:如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时,最优化问题叫做非线性规划问题

    https://blog.csdn.net/qjzcy/article/details/51727741

    二次规划:二次规划问题是目标函数是二次的,约束条件是线性的

    https://blog.csdn.net/fangqingan_java/article/details/49720497
     

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  • 多目标优化快速入门 多目标优化--引子 正如生活中,你想买一辆车,又想汽车的性能好,外观不错,价格还比较低,对于这同时满足这三个条件,我们应该如何进行考虑呢? 在投资的时候,我们想投入的资金最少,所付出...

    多目标优化快速入门

    多目标优化--引子

    正如生活中,你想买一辆车,又想汽车的性能好,外观不错,价格还比较低,对于这同时满足这三个条件,我们应该如何进行考虑呢?

    在投资的时候,我们想投入的资金最少,所付出的风险最小,同时收益是最大的,如何同时进行实现呢?

    在数学学习中,求求函数 f1(x1,x2,…,xn)=x1^2+x2^2 +…+xn^2 及函数 f2(x1,x2,…,xn)=(x1-1)^2+(x2-1)^2 +…+(xn-1)^2 同时达到最小的 (x1,x2,…,xn) 的取值,不存在一组 (x1,x2,…,xn) 的取值,使 f1 和 f2 同时达到最小值,这时候怎么办呢?

    帕累托最优

    帕雷托最优是指资源分配的一种理想状态。帕雷托最优的状态就是不可能再有更多的帕雷托改善的状态;换句话说,不可能再改善某些人的境况,而不使任何其他人受损。

    进化计算

    最早的是达尔文的进化论-物竞天择,适者生存

    后来是约翰.霍兰德提出的遗传算法

    1.遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型,通过模拟自然进化过程搜索最优解。

    2.该算法通过数学的方式,利用计算机仿真运算,将问题的求解过程转换成类似生物进化中的染色体基因的交叉、变异等过程。在求解较为复杂的组合优化问题时,相对一些常规的优化算法,通常能够较快地获得较好的优化结果。

    3.遗传算法已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。

    具体步骤是:

    (1)种群中个体随机初始化.

    (2)每个个体通过评价得到一个适应度值.

    (3)适应度值大的个体有更大的概率保留下来.

    (4)通过对适应度值大的个体交叉变异产生新的个体.

    不断的迭代第 (2)-(4) 步骤,经过足够多的迭代次后,最终能得到好的解.

    基本概念

    MOP

    1.求解单个函数 f1 的最小值为单目标优化问题(SOP)

    2.同时求解多个函数 f1 和 f2 的最小值为多目标优化问题(MOP)

    3.多目标优化问题的一般数学描述:

    4.对于两个个体 X1 和 X2 以及目标函数 F(X),若 X1 的每一个目标函数值 fi(X1) 都比 X2 对应的目标函数值 fi(X2) 要小,则认为 X1 要比 X2 更好,称 X1 支配(dominate) X2 ,记作 X1 ≺ X2 (它具有传递性)

    5.若存在 i 和 j 使得 fi(X1) < fi(X2) 且 fj(X1) > fj(X2), 则认为 X1 和 X2 无法比较,视为一样好,称 X1 与 X2 是非支配 (non-dominated)的,记作 X1 ⊀ X2 且 X2 ⊀ X1

    6.对于一组个体,若 Xa 不被其它任何一个个体支配,则 Xa 也称为是非支配的;Xa 也叫做 Pareto 最优解

    7.对于一个多目标优化问题,目的是求出一组 Pareto 最优解 Xi ,i=1,2,…,并使得目标函数的值尽可能地小

    根据左图中目标变量可知 ,帕累托最优解往往在左下角,值相对偏小。

    在右图中,可以看出,B支配C,D两点,在A点,B是被支配的,其余空间则是非支配

    EC

    1.想要求得多目标问题的最优解,我们利用计算机强大的计算能力,在决策空间中随机产生大量个体,并找出其中最好的(不被支配的)个体。也就是不断地“试”,来找到越来越好的个体。随机寻找个体的过程称为 搜索

    2.但无法做到遍历决策空间中每一个个体,我们需要在更短的时间里利用随机的方法找到更好的个体

    3.利用进化算法的策略,可以朝着越来越好的方向随机产生个体,而不是在决策空间中完全盲目地产生个体

    4.作为一个随机性算法,进化算法有如下 特点:

    •得到的不是问题的精确结果,而是近似的结果

    •每次得到的结果不一样

    •结果的精度随着迭代次数的增加而不断上升

    •往往以算法得到的结果的精度来评价算法的性能

                        进化算法的一般策略

    Indicator

    1.不同的算法,产生的结果是不同的,从结果可以看出各个算法性能的好坏

    2.算法产生的解集的好坏标准:

    •接近真实前沿面(收敛性)

    •在空间上分布性好(分布性)

    3.还有许多量化的评价解集的好坏的标准

    发展历程

    古典多目标时期

    传统的多目标优化方法是将各个子目标聚合成一个带正系数的单目标函数,系数由决策者决定,或者由优化方法自适应调整。

    为了获取近似Pareto最优集,一些优化方法使用不同的系数来实施动态优化。

    常见的古典方法有加权法(利用斜率来判断最优解)、约束法、目标规划法以及极大极小法等

    进化多目标时期

    最早提到可以利用EA来解决多目标优化问题的是Richard S. Rosenburg 于1967年在他的博士论文 “Simulation of genetic populations with biochemical properties”中

    David Goldberg 于1989年首次提出了Pareto Ranking的概念:MOEA中个体必须经由Pareto支配关系来选出,同时他也指出了MOEA中分布性保持的重要性,主要采取Fitness Share的策略

    Carlos M. Fonseca 和 Peter J. Fleming 于1993年提出了Multiobjective Optimization Genetic Algorithm (MOGA)。MOGA采用基于排序数的适应度赋值机制以及自适应的适应度共享的策略,风靡一时

    Kalyanmoy Deb于1994年提出了Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA),采用分层的非支配排序机制以及适应度共享机制。然而算法缺陷是计算复杂度为O(MN3),随后,Deb跟他的学生在2000年提出了NSGA的改进版本NSGA2,文章于2002年发表TEVC。NSGA2采用快速非支配排序以及拥挤距离的策略,时间复杂度在O(MN2)。由于其速度及效果上的优势,许多年来NSGA2都被作为对比算法。

    Eckart Zitzler 在1998年一个会议上提出Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA),第二年文章被TEVC收录。SPEA在算法中使用了一个外部Archive来保留搜索到的好解,称之为Elitism。Elitism的使用随后也开始流行,随后不久Zitzler等人又对SPEA进行了改进SPEA2,主要引入了较细的适应度赋值方式以及密度估计方式(Truncation Method)。

    2006年,张青富跟李辉首次提出了基于分解的多目标优化算法,MOEAD,是将MOP问题分解成SOP问题并同时对这些子问题进行优化。MOEAD不仅在速度上有优势,而且搜到的结果很规律。在MOEA领域开辟了一条新的通道。

    2014年,Deb的NSGA3分成上下两个部分发表在TEVC上。主要是用来处理高维多目标问题。采用了基于参考点以及分解的策略。是NSGA2 + MOEAD 的结合

    其中目前最经典的算法还是NSGA-II 和MOEAD,

    请持续关注,后期会总结出这些算法的文章。

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空空如也

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多目标优化的应用