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  • 算法设计之多段图最小成本及路径问题 问题分析: 多段图G=(V,E)是一个有向。其问题(multistage graph problem)是求由s到t的最小成本路径。 对于每一条由s到t的路径,可以把它看成在k-2个阶段(因为路径的首尾是...

    算法设计之多段图求最小成本及路径问题
    问题分析:
    多段图G=(V,E)是一个有向图。其问题(multistage graph problem)是求由s到t的最小成本路径。
    对于每一条由s到t的路径,可以把它看成在k-2个阶段(因为路径的首尾是确定的)中作出的某个决策序列的相应结果。
    向前处理法列出求取从s到t的最小成本路径的递推公式,继而给出k段图问题的向前处理法.设P(i,j)是一条从第i段中的结点j到汇点t的最小成本路径, COST(i,j)(其中i表示这个第i段,j 表示结点)是这条路的成本,于是,向前处理法可得:
    COST(i,j)=min{c(j,l)+COST(i+1,j)}
    l∈Vi+1
    首先对于所有j∈Vk-2,计算COST(k-2,j),然后对所有的j∈Vk-3,计算COST(k-3,j),…,最后计算出COST(1,s).
    在这里插入图片描述
    代码实现:

    #include <iostream>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    #define MAX_COST 100/* 最大权重,应由用户定义 */
    #define MAXVEX 20/* 最大顶点数,应由用户定义 */
    typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
    typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
    
    typedef struct EdgeNode/* 边结点  */
    {
    int adjvex;/* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
    EdgeType weight;/* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next;/* 链域,指向下一个邻接点 */
    }EdgeNode;
    
    typedef struct VextexNode/* 顶点表结点 */
    {
    VertexType data;/* 顶点域,存储顶点信息 */
    EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
    }VextexNode,AdjList[MAXVEX];
    
    typedef struct
    {AdjList adjList;
     int numNodes,numEdges;/* 图中当前顶点数和边数 */
    }GraphAdjList;
    
    
    void CreateALGraph(GraphAdjList *Gp)  //创建有向图
    {
        int i, j, k;
        EdgeNode *pe;
        cout << "输入顶点数和边数(空格分隔):" << endl;
        cin >>Gp->numNodes >> Gp->numEdges;
    
        for(i=1;i<Gp->numNodes;i++)    //数组中下标为0不用。
        {
            Gp->adjList[i].data=i;
            Gp->adjList[i].firstedge=NULL;/* 将边表置为空表 */
        }
        cout<<"请逐行输入边(vi,vj)的顶点序号i,j和权重(空格分隔):"<<endl;
        for(k=1;k<Gp->numEdges;k++)/* 建立边表 */
        {
    
            cin>>i>>j;
            pe=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            cin>>pe->weight;
            pe->next=Gp->adjList[i].firstedge;//每次插入新的表节点时都是插在第一个位置
            Gp->adjList[i].firstedge=pe;
            pe->adjvex=j;/* 邻接序号为j */
    
        }
    }
    
    void printGraph(GraphAdjList *G)//输出邻接表
    {
        int i;
        for(i=1;i<G->numNodes;i++)
        {
            EdgeNode *p;
            p=G->adjList[i].firstedge;
            printf(" [%d]",G->adjList[i].data);
    
            while(p)
            {
                printf("----->");
                printf("[%d %d]",p->adjvex,p->weight);
                p=p->next;
    
            }
    
            printf("\n");
        }
    
    }
    
    void FGraph(GraphAdjList *G,int cost[],int pre[]){ //求多段图
        int i;
        EdgeNode *p;
        p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        for(i=G->numEdges ;i>0;i--){
            p = G->adjList[i].firstedge;//第一个Next结点
            while (p)
            {    //定位顶点表结点为i的所有next结点,从中找出最小的cost,并记录前驱。
                if(cost[p->adjvex] + p->weight < cost[i])
                {
                    cost[i] = cost[p->adjvex] + p->weight;
                    pre[i] = p->adjvex;
                }
                p = p->next;
            }
        }
    }
    
    void getWay(GraphAdjList *G,int pre[])  //获取路径
        {    int i=1;
            cout<<1;  //以1为路径的起点!
             while(i<G->numNodes)
             {
                cout<<"->"<<pre[i];
                i=pre[i];
                }
        }
    
    int main()
    {   int cost[MAXVEX],pre[MAXVEX];
        int i;
        for(i=0;i<MAXVEX;i++){//初始化pre和cost
            pre[i] = -1;
            cost[i] = MAX_COST;
        }
        GraphAdjList *G;
        G = (GraphAdjList *)malloc(sizeof(GraphAdjList));
        CreateALGraph(G);
        cost[G->numNodes] = 0;
        FGraph(G, cost, pre);
        cout<<endl;
        cout<<"用邻接表表示有向图:"<<endl;
        printGraph(G);
        cout<<"\nAll cost is "<<cost[1]<<endl;
        cout<<"最小成本路径为:";
        getWay(G,pre);
        cout<<endl;
    
        return 0;
    }
    

    效果:求出最小成本问题。并输出最小成本的路径
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 动态规划求解多段图问题

    千次阅读 2019-04-26 19:45:40
    首先,动态规划的求解思想可以归纳为两个步骤: ...接下来就是求解多段图问题 多段图G=(V, E)是一个有向。它具有如下特性: 中的结点被划分成 k³ 2个不相交的集合Vi ,1£i£k,其中V1和...

    首先,动态规划的求解思想可以归纳为两个步骤:

    1.证明问题满足最优性原理

    2.给出递推关系式

    *对于最优性原理,我们做如下的解释:

    无论过程的初始状态和初始决策是什么,其余的决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。


    接下来就是求解多段图问题

    多段图G=(V, E)是一个有向图。它具有如下特性:

    图中的结点被划分成 k³ 2个不相交的集合Vi 1£i£k,其中V1Vk分别只有一个结点 s (源点) t (汇点)

    图中所有的<u, v>均具有如下性质:

        若,则v\inVi+11<i<k,且每条边<u, v>均                                                                                                               附有成本c(u, v)

    pst的一条路径成本是这条路径上边的成本和

    p多段图问题是求st的最小成本路径


    多段图问题的最优性原理证明:

    假设s,v2,v3,.......,vk-1,t是一条由st的最短路径。

    再假设从源点s开始,已作出了到结点v2的决策,因此v2就是初始决策所产生的状态。

    如果把v2看成是原问题的一个子问题的初始状态,解决这个子问题就是找出一条由v2t的最短路径。

    这条最短路径显然是v2,v3.......,vk-1,t .

    如果不是,设v2,q3,.......,qk-1,t是由v2t的更短路径,则s,v2,q3,.......,qk-1,t是一条比路径s,v2,v3,.......,vk-1,t更短的由st的路径,与假设矛盾,因此最优性原理成立。


    多段图的递推分析:

    向前处理法(forward approach)

      从最后阶段开始,以逐步向前递推的方式,列出求解前一阶段决策值的递推关系式,即根据xi+1, ¼, xn的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。

    向后处理法(backward approach)

       从初始阶段开始,以逐步向后递推的方式,列出求解后一阶段决策值的递推关系式,即根据x1, ¼, xi-1的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。


    多段图向前处理递推关系式:

    向前处理法:从最后阶段开始,逐步向前递推,根据xi+1, ¼, xn的那些最优

    决策序列来列出求取xi决策值的关系式。

     

    P(i, j)是一条从Vi中的结点j 汇点t 的最小成本路径,

       COST(i, j)表示从结点j 汇点t这条路径的成本。

    根据向前处理方法:

        COST(i, j)= min{ c(j, l)+COST(i+1, l)}

       其中:lÎVi+1<j, l>ÎE,  c(j, l)表示该边的成本。


    多段图向前处理的计算过程:

    初始化:对于k段图,当i=k-1时,

    如果<j, t>ÎECOST(k-1, j)= c(j, t)

    如果<j, t>ÏECOST(k-1, j)=\infty


    多段图向前处理的计算过程:

    COST(i, j)=min{ c(j, l)+COST(i+1, l)}

    COST(4, 9)=c(9,12)=4

    COST(4,10)=c(10,12)=2

    COST(4,11)=c(11,12)=5

    COST(3,6)=min{c(6,9)+COST(4,9) ,

                                 c(6,10)+COST(4,10)}

                       =min{6+4, 5+2}=7

    COST(3,7)=min{c(7,9)+COST(4,9) , c(7,10)+COST(4,10)}

                      =min{4+4, 3+2}=5

    COST(3,8)=min{c(8,10)+COST(4,10) , c(8,11)+COST(4,11)}

                      =min{5+2, 6+5}=7

    COST(3,6)=7

    COST(3,7)=5

    COST(3,8)=7

     

    COST(2,2)

    =min{c(2,6)+COST(3,6),

              c(2,7)+COST(3,7),

              c(2,8)+COST(3,8)}

    =min{4+7, 2+5, 1+7}=7

     

    COST(2,3)=min{2+7,7+5}=9

    COST(2,4)=min{11+7}=18

    COST(2,5)=min{11+5,8+7}=15

     

    COST(1,1)

    =min{c(1,2)+COST(2,2),

              c(1,3)+COST(2,3),

              c(1,4)+COST(2,4),

              c(1,5)+COST(2,5)}

    =min{9+7,7+9,3+18,2+15}=16

     

    展开全文
  • 利用动态规划法快速、有效的求出一个5段图的由源点到汇点的最小成本路径。
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  • 最小生成树问题【PAT】

    千次阅读 2014-04-01 23:28:56
    畅通工程之局部最小花费问题  时间限制  10 ms 内存限制  32000 kB 代码长度限制  8000 B 判题程序  Standard  某地区经过对城镇交通状况的调查,得到现有城镇间快速...

    8-06. 畅通工程之局部最小花费问题

     时间限制  
    10 ms
    内存限制  
    32000 kB
    代码长度限制  
    8000 B
    判题程序    
    Standard    

    某地区经过对城镇交通状况的调查,得到现有城镇间快速道路的统计数据,并提出“畅通工程”的目标:使整个地区任何两个城镇间都可以实现快速交通(但不一定有直接的快速道路相连,只要互相间接通过快速路可达即可)。现得到城镇道路统计表,表中列出了任意两城镇间修建快速路的费用,以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序,计算出全地区畅通需要的最低成本。

    输入格式说明:

    输入的第1行给出村庄数目N (1<=N<=100);随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态:每行给出4个正整数,分别是两个村庄的编号(从1编号到N),此两村庄间道路的成本,以及修建状态 — 1表示已建,0表示未建。

    输出格式说明:

    输出全省畅通需要的最低成本。

    样例输入与输出:

    序号输入输出
    1
    3
    1 2 1 0
    1 3 2 0
    2 3 4 0
    
    3
    
    2
    3
    1 2 1 0
    1 3 2 0
    2 3 4 1
    
    1
    
    3
    3
    1 2 1 0
    1 3 2 1
    2 3 4 1
    
    0
    

     

     

    典型的最小生成树问题,刚开始用了普鲁姆算法,结果提示超时和段错误。超时好理解,段错误真的不知道为什么。

    贴一下代码:

    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    int a[101][102]={0};
    int visit[102]={0};
    int p[102]={0};
    int n=0;
    #define inf 0x3f3f3f3f  
    
    int prime()
    {
    	int min=0;
    	int sum=0;
    	int cnt=0;
    	int j=0,i=0,k=0;
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		min=inf;
    		for(j=2;j<=n;j++)//在候选边里面找一条最小的
    		{
    			if((visit[j]!=1)&&p[j]<min)
    			{   
    			   min=p[j];
    			   cnt=j;
    			}
    		}
    		if(min!=inf) 
    		{
    			sum+=min;
    			visit[cnt]=1;//已经访问过了
    			for(k=2;k<=n;k++)//更新权值
    			{
    				if((visit[k]!=1)&&(p[k]>a[cnt][k]))
    					
    				{
    				   p[k]=a[cnt][k];
    				}
    				
    			}
    		}
    		
    	}
    	
    	return sum;
    	
    }
    
    int main()
    {
    	int N=0;
    	int i=0,j=0,flag=0,d=0;
    	memset(a,inf,sizeof(a));
    	
    	scanf("%d",&N);
    	N=N*(N-1)/2;
    	n=N;
    	while(N--){
    
    		scanf("%d%d%d%d",&i,&j,&d,&flag);
    		a[i][j]=d;
    		if(flag==0)
    		{
    		  a[j][i]=a[i][j];
    
    		}else 
    		{
    		  a[j][i]=0;
    		  a[i][j]=0;
    			
    		}
    			
    		}
    		for(i=1;i<=n;i++)
    		{
    		  p[i]=a[1][i];
    			
    		}
    		visit[1]=1;//取1号点为生成树
    		int ans=0;
    		ans=prime();//普鲁姆算法 取点
    		
    	        printf("%d\n",ans);
    		return 0;
    }


    后来在网上找到了答案,发现他的代码也是普鲁姆算法,只不过有一些不一样。为了缩短时间和内存,他做了一点改进省略了这一段:

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
       p[i]=a[1][i];
    			
    }
    

    直接利用那个a[][]这个数组,感觉也没差多少,因为这段的时间复杂度也就O(n)和本身整体的复杂度O(n^2)相比应该是可以忽略的。后来又仔细看了一下题目时间限制:10MS,比一般的题目都要少很多,一般题目有400MS。所以这也可能是一个因素把。至于段错误真不知道错哪里了,有知道的希望可以告知,不胜感激。

     

     

    附网上的答案:

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define inf 0x3f3f3f3f
    int map[100][100];
    int s[100],vis[100];
    int n,m;
    int prim()
    {
        int i,j,t,p,min,cnt,minpos;
        int ans=0;
        cnt=0;
        vis[1]=1;
        s[cnt++]=1;
        while(cnt<n)
        {
            t=cnt;
            min=inf;
            for(i=0;i<t;i++)
            {
                p=s[i];
                for(j=1;j<=n;j++)
                {
                    if(!vis[j]&&map[p][j]<min)
                    {
                        min=map[p][j];
                        minpos=j;
                    }
                }
            }
            ans+=min;
            s[cnt++]=minpos;
            vis[minpos]=1;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        int i,sum;
        while(~scanf("%d",&n)&&n)
        {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            memset(map,inf,sizeof(map));
            int b,c,d,sta;
            m=n*(n-1)/2;
            for(i=0;i<m;i++)
            {
                scanf("%d%d%d%d",&b,&c,&d,&sta);
                if(sta==0)
                    map[b][c]=map[c][b]=d;
                else
                    map[b][c]=map[c][b]=0;
            }
            sum=prim();
            printf("%d\n",sum);
        }
        return 0;
    }


     

     

    展开全文
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  • 动态规划---->多段图

    千次阅读 2017-11-11 20:48:30
    多段图多段图问题是求由s到t的最小成本路径。中的结点被划分成 k≥ 2个不相交的集合Vi , 1≤i≤k,其中V1和Vk分别只有一个结点 s (源点) 和t ( 汇点)。多段图向前处理的算法 1、算法执行过程 COST[j]=c(j,r)+COST...


    动态规划—->多段图


    多段图

    多段图问题是求由s到t的最小成本路径。

    图中的结点被划分成 k≥ 2个不相交的集合Vi , 1≤i≤k,其中V1和Vk分别只有一个结点 s (源点) 和t ( 汇点)。

    多段图向前处理的算法

    1、算法执行过程

    COST[j]=c(j,r)+COST[r];

    第4段            COST(4,9) = c(9,12) = 4

                     COST(4,10) = c(10,12) = 2

                     COST(4,11) = c(11,12) = 5

    第3段            COST(3,6) = min{6+COST(4,9),5+COST(4,10)}= 7

                     COST(3,7) = min{4+COST(4,9),3+COST(4,10)} = 5

                     COST(3,8) =min{5+COST(4,10),6+COST(4,11)} = 7

    第2段            COST(2,2) = min{4+COST(3,6) , 2+COST(3,7), 1+COST(3,8)} = 7

                     COST(2,3) = 9

                     COST(2,4) = 18

                     COST(2,5) = 15

    第1段            COST(1,1) = min{9+COST(2,2),7+COST(2,3), 3+COST(2,4),2+COST(2,5)} = 16

    S到t的最小成本路径的成本 = 16

    2、最小路径的求取

        记 D(i,j)=每一COST(i,j)的决策 即,使c(j,l)+COST(i+1,l)取得最小值的l值。

        例:D(3,6) = 10, D(3,7)= 10 D(3,8) = 10

            D(2,2) = 7,  D(2,3) = 6,D(2,4) = 8,D(2,5) = 8

            D(1,1) = 2

        根据D(1,1)的决策值向后递推求取最小成本路径:  

            ● v2=D(1,1)=2

            ● v3 = D(2,D(1,1)) = 7

            ● v4 = D(3,D(2,D(1,1))) = D(3,7) = 10

        故由s到t的最小成本路径是:1→2→7→10→12

    3、算法描述

    多段图的向前处理算法

    procedure   FGRAPH(E,k,n,P)

    real COST(n); int  D(n-1), P(k), r, j, k, n;

    COST[n]=0;

    for j=n-1 downto 1 do

       {  寻找结点r, 满足<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)值最小

         COST[j]=c(j,r)+COST[r];

         D[j]=r ;

      }

    P[1]=1;    P[k]=n;

    for j=2 to k-1 do  P[j]=D[P[j-1]] ;

    end FGRAPH

    4、多段图向前处理的算法用邻接表表示

    邻接表是图的一种链式存储结构, 对图中的每个顶点建立一个单链表, 链表中的结点有3个域, 分别存储顶点, 边的成本和下一个结点的指针.

    多段图向后处理的算法

    1、算法的执行过程

    第2段            BCOST(2,2) = 9

                     BCOST(2,3) = 7

                     BCOST(2,4) = 3

                     BCOST(2,5) = 2

    第3段            BCOST(3,6) =   min{BCOST(2,2)+4,BCOST(2,3)+2} = 9

                     BCOST(3,7) =   min{BCOST(2,2)+2,BCOST(2,3)+7,BCOST(2,5)+11} = 11

                     BCOST(3,8) =   min{BCOST(2,4)+11, BCOST(2,5)+8} = 10

    第4段            BCOST(4,9) =min{BCOST(3,6)+6,BCOST(3,7)+4} = 15

                     BCOST(4,10) =min{BCOST(3,6)+5,BCOST(3,7)+3,BCOST(3,8)+5} = 14

                     BCOST(4,11) =min{BCOST(3,8)+6} = 16

    第5段            BCOST(5,12) =min{BCOST(4,9)+4,BCOST(4,10)+2, BCOST(4,11)+5}=16

    S到t的最小成本路径的成本= 16

    2、最小路径的求取

        记 BD(i,j)=每一COST(i,j)的决策即,使COST(i-1,l)+c(l,j)取得最小值的l值。

        例:BD(3,6) = 3, BD(3,7)= 2 ,BD(3,8) = 5

            BD(4,9) = 6,  BD(4,10) = 7, BD(4,11) = 8

            BD(5,12) = 10

        根据D(5,12)的决策值向前递推求取最小成本路径:  

            ● v4 = BD(5,12)=10

            ● v3 = BD(4,BD(5,12)) = 7

            ● v2 = BD(3,BD(4,BD(5,12))) = BD(3,7) = 2

        故由s到t的最小成本路径是:1→2→7→10→12

     

    3、算法描述  

    BCOST(j)=min{BCOST(l)+ c( l , j)}

    procedure   BGRAPH(E,k,n,P)

    real BCOST(n); int  D(n-1), P(k), r, j, k, n;

    BCOST[1]=0;

    for j=2 to n do

       {  寻找结点r, 满足<r, j>∈E且使BCOST(r)+c(r, j)值最小

         BCOST[j]= BCOST[r]+c(r, j);

         D[j]=r ;

      }

    P[1]=1;    P[k]=n;

    for j=k-1 downto  2   do  P[j]=D[P[j+1]] ;

    end BGRAPH

    4、向后处理算法多段图用反邻接表来存储

    多段图问题的应用实例

          将n个资源分配给r个项目的问题:如果把j个资源,0≤j≤n,分配给项目i,可以获得N(i,j)的净利。求效益最大的分配方案



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多段图最小成本问题