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  • max(X,Y),min(X,Y)的期望求解

    万次阅读 多人点赞 2016-11-13 11:57:21
    max(X,Y),min(X,Y)的期望求解@(概率论)核心是去max和min符号。max(X,Y)=12(X+Y+|X−Y|);min(X,Y)=12(X+Y−|X−Y|); max(X,Y) = \frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|); \\ min(X,Y) = \frac{1}{2}(X+Y- |X-Y|); 举个应用的例子: ...

    max(X,Y),min(X,Y)的期望求解

    @(概率论)

    核心是去max和min符号。

    max(X,Y)=12(X+Y+|XY|);min(X,Y)=12(X+Y|XY|);

    举个应用的例子:

    随机变量X,Y相互独立同分布,均服从正态分布 N(μ,σ2) ,求max(X,Y),min(X,Y)的数学期望。

    分析:首先可设: U=Xμσ,V=Yμσ
    则,U,V服从N(0,1)分布。

    X=μ+σU,Y=μ+σV

    因此,
    max(X,Y)=σmax(U,V)+μ

    min(X,Y)=σmin(U,V)+μ

    问题转化到求解max(U,V),min(U,V).

    E(max(U,V))=E(σmax(U,V)+μ)=σE(max(U,V))+μ;E(min(U,V))=E(σmin(U,V)+μ)=σE(min(U,V))+μ

    又由:

    max(U,V)=12(U+V+|UV|);min(U,V)=12(U+V|UV|);EU=0,EV=0

    可以得到:

    E(max(U,V))=12E|UV|

    E(min(U,V))=12E|UV|

    问题归约为求解 E|UV|

    不出所料,仍然需要用到伽马函数求解。
    再快速复习一下伽马函数:

    Γ(x)=+0tx1etdt
    tt2
    Γ(x)=2+0t2x1et2dt

    Γ(12)=π,Γ(1)=1,Γ(x+1)=xΓ(x)

    令Z = U-V,可知 ZN(0,2)
    fZ(z)=12πez24

    E|UV|=E|Z|=+|z|fZ(z)dz=2+0zfZ(z)dz=2+0z12πez24dz=12π222+0z2e(z2)2dz2=12π22Γ(1)=2π

    回代:

    E(max(X,Y))=μ+σ1π
    E(min(X,Y))=μσ1π

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  • \max\{x,y\}\end{equation} 并且: \begin{equation}I^{+}=\int_{0}^{S} (S-t)f(t)dt\end{equation} \begin{equation}I^{-}=\int_{S}^{\infty} (t-S)f(t)dt\end{equation} \begin{equation}I^{+}-I^{-}=S-\mu\end{...

    有两个性质比较重要,经常用到:

    \begin{align*} \min\{S,D\}&=S-(S-D)^{+}\\ \min\{S,D\} &\text{~~is concave function}\\ (S-D)^{+} &\text{~~is convex function} \end{align*}

    \begin{equation}\min\{x-y,0\}=x-\max\{x,y\}\end{equation}

    并且:

    \begin{equation}I^{+}=\int_{0}^{S} (S-t)f(t)dt\end{equation}

    \begin{equation}I^{-}=\int_{S}^{\infty} (t-S)f(t)dt\end{equation}

    \begin{equation}I^{+}-I^{-}=S-\mu\end{equation}

    \begin{equation}(S-D)^{+}\end{equation} 是一个凸函数。

    对于正态分布,

    \begin{equation}I^{+}=\sigma\int_{0}^{\frac{S-\mu}{\sigma}} (\frac{S-\mu}{\sigma}-t)\phi (t)dt\end{equation}

    其中, I^{-}<=0, 一阶导数的一些结论:

    \begin{equation}\big[I^{+}\big]'=\int_{0}^{S}f(x)dx\\ ~~~~~\big[I^{-}\big]'=-\int_{S}^{\infty}f(x)dx\\~~~~~\big[\min\{S, D\}\big]'=1-F(S)\end{equation}

    报童模型的订货点

    \begin{equation}\Phi(S)=\frac{p-c+\pi}{p+h+\pi}\quad or\quad \frac{p-c+\pi}{p-v+\pi}\end{equation}

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  • 首先说一下代码的功能:通过若干次随机使得随机数的和超过 RAND_MAXRAND\_MAXRAND_MAX,求这个随机次数的期望。 代码里通过 1e81e81e8 次操作,最后求随机次数的平均值的方法来得到这个期望。 #include &lt;...

    最近看到一个代码,感觉十分有趣, M a r k Mark Mark 一下,来源不太清楚了。

    首先说一下代码的功能:通过若干次随机使得随机数的和超过 R A N D _ M A X RAND\_MAX RAND_MAX,求这个随机次数的期望。

    代码里通过 1 e 8 1e8 1e8 次操作,最后求随机次数的平均值的方法来得到这个期望。

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <time.h>
    
    const int MAXN = 1e8;
    
    int main() {
        printf("rand: 0-%d:\n", RAND_MAX);
        
        long long cnt1 = 0;
        for (int i = 0; i < MAXN; i++)
            for (long long j = 0; j < RAND_MAX; j += rand())
                cnt1++;
        
        printf("%f\n", cnt1 * 1.0 / MAXN);
        
        long long cnt2;
        for (int k = 0; k < 10; k++)
        {
            cnt2 = 0;
            srand((unsigned)time(NULL));
            for (int i = 0; i < MAXN; i++)
                for (long long j = 0; j < RAND_MAX; j += rand())
                    cnt2++;
            
            printf("%d: %f\n", k, cnt2 * 1.0 / MAXN);
        }
        
        return 0;
    }
    

    这里不管通过什么样的随机种子( s e e d seed seed),最后得到的期望都是接近于 2.71828 … 2.71828… 2.71828 的,也就是接近于自然常数 e e e,充分的体现了 r a n d ( ) rand() rand() 的稳定性。

    在这里插入图片描述

    不过,我的概率论学得有些差劲,并不知道如何科学的去解释期望是 e e e 就是对的。求大佬们给一个解释……谢谢。

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  • max(X,Y),min(X,Y)的期望

    千次阅读 2019-04-09 10:50:04
    核心是去max和min符号: 举个应用的例子:

    核心是去max和min符号:

    举个应用的例子:

     

     

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空空如也

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