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  • 完全背包问题Python代码实现
    2020-12-09 13:09:19

    上一节中,我们介绍了0-1背包问题,接下来,我们来学习一下背包问题的其他变形问题,今天要学习的是完全背包问题。

    1、简介

    有 N 种物品和一个容量为 W 的背包,每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的重量是 w[i],价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。可以看到,与0-1背包问题不同的地方时,完全背包问题允许一件物品无限次的出现。

    2、基本思路

    这个问题非常类似于 0-1 背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每 种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件„„等很多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路,令 f[i][w]表示 前 i 种物品恰放入一个容量为 w 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同 的策略写出状态转移方程,像这样:

    f[i][w]=max{f[i-1][w-kw[i]]+kw[i]|0<=kw[i]<=w}

    这跟 0-1 背包问题一样有 O(NW)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不 是常数了,求解状态 f[i][v]的时间是 O(w/w[i]),总的复杂度是超过 O(WN)的。

    将 0-1 背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明 0-1 背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图 改进这个复杂度。

    3、简单优化

    完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品 i、j 满足 w[i]<=w[j]且 v[i]>=v[j],则将物品 j 去掉,不用考虑。这个优化的正确性显 然:任何情况下都可将价值小费用高得 j 换成物美价廉的 i,得到至少不会更差 的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加快 速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据可以 一件物品也去不掉。

    这个优化可以简单的 O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题而 言,比较不错的一种方法是:首先将费用大于 V 的物品去掉,然后使用类似计数 排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以 O(W+N)地完成 这个优化.

    4、转化为0-1背包问题

    既然 0-1 背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转化 为 0-1 背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第 i 种物品最多选 W/w[i]件,于 是可以把第 i 种物品转化为 W/w[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个 0-1 背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将 完全背包问题转化为 0-1 背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品。

    更高效的转化方法是:把第 i 种物品拆成费用为 w[i]2^k、价值为 v[i]2^k 的 若干件物品,其中 k 满足 w[i]*2^k<=W。这是二进制的思想,因为不管最优策略 选几件第 i 种物品,总可以表示成若干个 2^k 件物品的和。这样把每种物品拆成 O(log(W/w[i]))件物品,是一个很大的改进。

    但我们有更优的 O(VN)的算法。

    5、O(VN)的算法

    这个算法使用一维数组,先看伪代码:

    for i=1..N

    for w=0..W

    f[w]=max{f[w],f[w-cost]+weight}

    你会发现,这个伪代码与0-1背包问题只有 的循环次序不同而已。为什么这样 一改就可行呢?首先想想为什么 0-1背包问题中要按照 w=W..0 的逆序来循环。这是因为 要保证第 i 次循环中的状态 f[i][w]是由状态 f[i-1][w-w[i]]递推而来。换句话 说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策 略时,依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 f[i-1][w-w[i]]。而现 在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第 i 种物 品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结果 f[i][w-w[i]], 所以就可以并且必须采用 w=0..W 的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立 的道理。

    6、完全背包问题Python实现

    基于上面的思路,完全背包问题Python实现代码如下:

    def solve3(vlist,wlist,totalWeight,totalLength):

    """完全背包问题"""

    resArr = np.zeros((totalWeight)+1,dtype=np.int32)

    for i in range(1,totalLength+1):

    for j in range(1,totalWeight+1):

    if wlist[i] <= j:

    resArr[j] = max(resArr[j],resArr[j-wlist[i]]+vlist[i])

    return resArr[-1]

    if __name__ == '__main__':

    v = [0,60,100,120]

    w = [0,10,20,30]

    weight = 50

    n = 3

    result = solve3(v,w,weight,n)

    print(result)

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  • dp 完全背包问题python

    2022-03-13 11:16:57
    我们今天来学习完全背包问题完全背包问题是基于0-1背包的基础,如果不明白或者忘记了可以点击下面的链接。 https://blog.csdn.net/qq_53500156/article/details/123454958?spm=1001.2014.3001.5501 为什么呢...

    我们今天来学习完全背包问题,完全背包问题是基于0-1背包的基础,如果不明白或者忘记了可以点击下面的链接。

    https://blog.csdn.net/qq_53500156/article/details/123454958?spm=1001.2014.3001.5501

     为什么呢,0-1背包问题,它是按照前一行来进行计算,而完全背包问题就可以在该行进行判断与计算。好好理解

    c = 10          #背包容量
    w = [3,4,5,7]   #物体体积
    v = [1,5,6,9]   #物体的价值
    n = len(w)
    dp = [[0 for i in range(c+1)]for j in range(1+n)]  #创建一个n*c的零矩阵
    w.insert(0,0)  #因为dp表上次和左侧各有一列0,为了索引对齐
    v.insert(0,0)  #在0位置加个0,相当于在v的0位置加个0 ,即1前加0
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,c+1):
            if w[i] <= j:       #物体体积小于背包体积时,有两种情况:
    #要么是前一个装完最大,要么是装完现在这个还可以装其他的。
                dp[i][j] = max (dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]] + v[i])  #与0-1不同的点就在这里
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    print("最大价值为",dp[n][c])
          

    我们知道,0-1背包有路径,我们完全背包也得有路径才行。

     这完全是一样的,就是我们从后面往前推,不需要前一行的值。

    c = 10                      #背包容量
    w = [3,4,5,7]               #物体体积
    v = [1,5,6,9]               #物体的价值
    n = len(w)
    dp = [[0 for i in range(c+1)]for j in range(1+n)]  #创建一个n*c的零矩阵
    w.insert(0,0)               #因为dp表上次和左侧各有一列0,为了索引对齐
    v.insert(0,0)               #在0位置加个0,相当于在v的0位置加个0 ,即1前加0
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,c+1):
            if w[i] <= j:       #物体体积小于背包体积时,有两种情况:
    #要么是前一个装完最大,要么是装完现在这个还可以装其他的。
                dp[i][j] = max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    print("最大价值为",dp[n][c])
    
    def get_path(dp,w,c):
        i = len(w)-1            #选中的物体
        j = c                   #背包的容量
        res = []
        while i != 0 and j != 0:  #上面的dp表0行和0列都等于0,所以我们只要索引到它即可
            if dp[i][j] == dp[i-1][j]:
                i -= 1
            else:
                res.append(i-1) #上边w,v都加了0,索引的时候减一,不然会出现0,会误导结果
                j -= w[i]       #背包面积减去装的物体,得到那时的背包体积
        res.sort()
        return res
    print("背包物品索引为",get_path(dp,w,c))

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  • 蓝桥杯 算法训练 完全背包问题 Python题解 这道题题目有一点问题,后续输入的两个数,应该第一个是vi,第二个是wi,不然跑不过样例。 一、问题描述 有一個背包,容量為M。有N種物品,每種物品有其體積Wi與價值Vi。...

    蓝桥杯 算法训练 完全背包问题 Python题解

    这道题题目有一点问题,后续输入的两个数,应该第一个是vi,第二个是wi,不然跑不过样例。


    一、问题描述

    有一個背包,容量為M。有N種物品,每種物品有其體積Wi與價值Vi。將這些物品的一部分放入背包,每種物品可以放任意多個,要求總體積不超過容量,且總價值最大。

    二、输入格式

    第一行為N, M。
      之後N行,每行為Wi, Vi。

    三、输出格式

    一個數,為最大價值。

    四、样例输入

    3 20
    15 16
    6 6
    7 5

    五、样例输出

    18

    六、数据规模和约定

    N, M<=1000。

    七、代码

    n, m = map(int, input().split())
    N = 1010
    w = [0] * N
    v = [0] * N
    
    for i in range(1, n + 1):
    	v[i], w[i] = map(int, input().split())
    f = [0] * N
    for i in range(1, n + 1):
    	for j in range(v[i], m + 1):
    		f[j] = max(f[j], f[j - v[i]]+w[i])
    print(f[m])
    

    总结

    这道题题目有一点问题,后续输入的两个数,应该第一个是vi,第二个是wi,不然跑不过样例,就是个很典型的完全背包。

    展开全文
  • 背包问题写在前面的话以下部分内容,来自百度背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品...

    原标题:遗传算法Python实战 009.背包问题

    写在前面的话

    以下部分内容,来自百度

    背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。

    问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学,计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V?

    背包问题里面可以附加各种限制,比如容器的大小、容量、形状等等,我们在这里不做特别复杂的设定,仅做重量限制,也就是说可以认为你放进去的物品是可以不受形状的限制,仅受重量和容积的限制,比如你要放入的是糖或者盐这类东西。

    下面是我们要放入背包中的物品:

    物品名称

    价值

    重量(kg)

    容量(L)

    面粉

    1680

    0.265

    0.41

    黄油

    1440

    0.5

    0.13

    1840

    0.441

    0.29进入算法实现部分

    首先,定义个物品类,用来记录物品的各种属性:

    cla***esource:

    def__init__( self, name, value, weight, volume):

    self.Name = name

    self.Value = value

    self.Weight = weight

    self.Volume = volume

    然后就可以设定物品信息和条件了:设定背包的最大承载重量为10kg,最大容量为4L

    items = [Resource( " 面粉", 1680, 0.265, .41),

    Resource( " 黄油", 1440, 0.5, .13),

    Resource( " 糖", 1840, 0.441, .29)]

    maxWeight = 10

    maxVolume = 4

    我们的目标是在这些限制条件下,将背包里的东西价值最大化。

    我们可以想想,如何通过完成这个目标。

    首先我们当然是希望价值与重量比和价值与体积比最优的物品优先——这样我们可以得到尽可能高的总价值。

    当我们不能再把性价比最好的资源塞进去的时候,我们就要考虑用下一个最有价值的资源填满剩余的空间,以此类推。

    一旦背包装满了,我们还需要考虑,我们是否可以用其他类型的项目组合来代替一种类型的项目,以便于最大限度的增加背包内物品的总价值。

    然后定义一个用于记录当前背包中资源信息的类:

    classItemQuantity:

    def__init__( self, item, quantity):

    self.Item = item

    self.Quantity = quantity

    def__eq__( self, other):

    returnself.Item == other.Item andself.Quantity == other.Quantity

    定义健壮性类:背包算法里面,肯定是轻、小、贵为最优,所以需要重量、容积和价值三个成员变量。在对比的时候,优先对比价值,价值相同的时候情况下,对比重量,最后对比容量。

    classFitness:

    def__init__( self, totalWeight, totalVolume, totalValue):

    self.TotalWeight = totalWeight

    self.TotalVolume = totalVolume

    self.TotalValue = totalValue

    def__gt__( self, other):

    ifself.TotalValue != other. TotalValue:

    returnself.TotalValue > other.TotalValue

    ifself.TotalWeight != other. TotalWeight:

    returnself.TotalWeight < other.TotalWeight

    returnself.TotalVolume < other.TotalVolume

    def__str__( self):

    return" 重量: {:0.2f} 容积: {:0.2f} 价值: {}".format(

    self.TotalWeight,

    self.TotalVolume,

    self.TotalValue)

    健壮性验证方法,把里面所有的值都累积起来。

    defget_fitness(genes):

    totalWeight= 0

    totalVolume= 0

    totalValue= 0

    foriq in genes:

    count= iq.Quantity

    totalWeight+= iq.Item.Weight * count

    totalVolume+= iq.Item.Volume * count

    totalValue+= iq.Item.Value * count

    returnFitness(totalWeight, totalVolume, totalValue)

    我们还需要把每个物品的数量都控制在有效的范围内:

    def max_quantity( item, maxWeight, maxVolume):

    returnmin(int(maxWeight / item.Weight)

    ifitem.Weight > 0elsesys.maxsize,

    int(maxVolume / item.Volume)

    ifitem.Volume > 0elsesys.maxsize)

    下面这个方法是用来创建初代基因的,在基因里面添加一个ItemQuantity,用来记录剩余的重量和体积,这样我们就不会出现超限的问题了。而在创建初代基因的时候,我们尽可能的多选取一些物品,这样先把我们的背包填满,如果这些物品效果不好,我们就对他们进行替换。

    def create(items, maxWeight, maxVolume):

    genes = []

    remainingWeight, remainingVolume = maxWeight, maxVolume

    fori inrange(random.randrange( 1, len(items))):

    newGene= add(genes, items, remainingWeight, remainingVolume)

    ifnewGeneis not None:

    genes.append( newGene)

    remainingWeight -= newGene.Quantity * newGene.Item.Weight

    remainingVolume -= newGene.Quantity * newGene.Item.Volume

    returngenes

    上面的创建初代基因的方法里面的内部方法add,作用就是在往背包里面增加东西的时候,计算背包信息的。里面调用了上面那个max_quantity方法,来控制背包里面的剩余空间,不至于超限。在添加一个物品的时候,尽量去选择还没有被加进来,避免同一组物品太多。

    defadd(genes,items,maxWeight, maxVolume):

    usedItems = {iq. Itemfor iq in genes}

    item= random.choice( items)

    whileitemin usedItems:

    item= random.choice( items)

    maxQuantity = max_quantity( item,maxWeight, maxVolume)

    return ItemQuantity(item,maxQuantity) ifmaxQuantity > 0elseNone

    下面是进化函数:里面代码的意义,见注释:

    def mutate(genes, items, maxWeight, maxVolume, window):

    # 滑动窗口

    window.slide

    # 首先计算传入的父本基因的健壮性

    fitness = get_fitness(genes)

    # 计算本次进化,还可以使用的剩余重量和容积

    remainingWeight = maxWeight - fitness.TotalWeight

    remainingVolume = maxVolume - fitness.TotalVolume

    # 用目前父本基因的数量+10 分之一的概率,来控制是否要进行移动窗口赋值

    removing = len(genes) > 1andrandom.randint( 0, 10) == 0

    # 如果父本基因数量大于1 ,而且随机概率90% 的话

    # 从父本基因里面随机挑选一个物品,然后把重量和容积累加给背包剩余的空间

    # 接下去把这个物品从基因库中移除掉

    ifremoving:

    index = random.randrange( 0, len(genes))

    iq = genes[index]

    item= iq.Item

    remainingWeight += item.Weight * iq.Quantity

    remainingVolume += item.Volume * iq.Quantity

    del genes[index]

    # 如果剩余空间还有,而且基因库中的物品数量已经等于0

    # 或者基因库中的物品数量小于背包里面的物品数量,

    # 并且获得百分之一的概率

    # 这个变量用于控制,是否还要往包里面增加物品的。

    adding = (remainingWeight > 0orremainingVolume > 0) and

    ( len(genes) == 0or

    ( len(genes) < len( items) andrandom.randint( 0, 100) == 0))

    # 如果背包里面还可以塞东西,则直接把物品add 到基因组中

    ifadding:

    newGene = add(genes, items, remainingWeight, remainingVolume)

    ifnewGene is notNone:

    genes.append(newGene)

    return

    # 随机在基因组里面挑选一件物品,加入到背包中

    index = random.randrange( 0, len(genes))

    iq = genes[index]

    item= iq.Item

    remainingWeight += item.Weight * iq.Quantity

    remainingVolume += item.Volume * iq.Quantity

    # 是否要改变基因库

    # 如果基因组的数量小于基因库中是数量,而且符合25% 的概率

    # 从基因库里面选择更多的物品填入背包中

    # 此过程主要是控制背包里面尽量所有的物品都要有,而不仅是一个类别的物品

    changeItem = len(genes) < len( items) andrandom.randint( 0, 4) == 0

    ifchangeItem:

    itemIndex = items.index(iq.Item)

    start= max( 1, itemIndex - window.Size)

    stop= min( len( items) - 1, itemIndex + window.Size)

    item= items[ random.randint( start, stop)]

    # 计算重量,如果还没有填满,则把这个物品加入到背包里面去

    # 否则把这个物品从背包里面删掉。

    maxQuantity = max_quantity( item, remainingWeight, remainingVolume)

    ifmaxQuantity > 0:

    genes[index] = ItemQuantity( item, maxQuantity

    ifwindow.Size > 1elserandom.randint( 1, maxQuantity))

    else:

    del genes[index]

    下面是一些初始化方法和内部默认方法:

    初始化终止条件(这里已经手动指定终止条件了,实际上你是可以通过代码修改来实现不同组合的,不过get_fiteness方法也要相应修改)

    optimal = get_fitness(

    [ItemQuantity( items[ 0], 1),

    ItemQuantity( items[ 1], 14),

    ItemQuantity( items[ 2], 6)])

    构造几个内部方法,Python支持函数指针,可以把整个方法当成参数传递过来:

    def _mutate_custom( parent, custom_mutate, get_fitness):

    childGenes = parent.Genes [:]

    custom _mutate( childGenes)

    fitness = get _fitness( childGenes)

    return Chromosome( childGenes, fitness)

    进化过程:

    _get_improvement方法的说明,见上一节魔术方块。

    defget_best(get_fitness, targetLen, optimalFitness, geneSet, display,

    custom_mutate=None, custom_create=None, maxAge=None) :

    ifcustom_mutate isNone:

    deffnMutate(parent):

    return_mutate(parent, geneSet, get_fitness)

    else:

    deffnMutate(parent):

    return_mutate_custom(parent, custom_mutate, get_fitness)

    ifcustom_create isNone:

    deffnGenerateParent:

    return_generate_parent(targetLen, geneSet, get_fitness)

    else:

    deffnGenerateParent:

    genes = custom_create

    returnChromosome(genes, get_fitness(genes))

    forimprovement in_get_improvement(fnMutate, fnGenerateParent, maxAge):

    display(improvement)

    ifnotoptimalFitness > improvement.Fitness:

    returnimprovement

    def_get_improvement(new_child, generate_parent, maxAge):

    parent = bestParent = generate_parent

    yieldbestParent

    historicalFitnesses = [bestParent.Fitness]

    whileTrue:

    child = new_child(parent)

    ifparent.Fitness > child.Fitness:

    ifmaxAge isNone:

    continue

    parent.Age += 1

    ifmaxAge > parent.Age:

    continue

    index = bisect_left(historicalFitnesses, child.Fitness, 0,

    len(historicalFitnesses))

    proportionSimilar = index / len(historicalFitnesses)

    ifrandom.random < exp(-proportionSimilar):

    parent = child

    continue

    bestParent.Age = 0

    parent = bestParent

    continue

    ifnotchild.Fitness > parent.Fitness:

    child.Age = parent.Age + 1

    parent = child

    continue

    child.Age = 0

    parent = child

    ifchild.Fitness > bestParent.Fitness:

    bestParent = child

    yieldbestParent

    historicalFitnesses.append(bestParent.Fitness)

    执行测试的方法:

    这方法里面利用了大量的函数指针,通过封装内部方法的传递的方式,封装和初始化了大量的默认参数,是Python中的一个特性,大家有兴趣的话,请自行了解Python的语法特征deffill_knapsack:

    startTime = datetime.datetime.now

    window = Window( 1,

    max( 1, int(len(items) / 3)),

    int(len(items) / 2))

    sortedItems = sorted(items, key= lambdaitem: item.Value)

    deffnDisplay(candidate):

    display(candidate, startTime)

    deffnGetFitness(genes):

    returnget_fitness(genes)

    deffnCreate:

    returncreate(items, maxWeight, maxVolume)

    deffnMutate(genes):

    mutate(genes, sortedItems, maxWeight, maxVolume, window)

    best = get_best(fnGetFitness, None, optimal, None,

    fnDisplay, fnMutate, fnCreate, maxAge= 50)

    执行:

    fill_knapsack

    输出:

    下面是我的一次执行,可以看见,不管初始化的情况怎么样,最后都能逼近达到我们给出来的终止条件。13x 糖重量: 5.73容积: 3.77价值: 239200: 00: 00

    10x 糖, 2x 面粉, 2x 黄油重量: 5.94容积: 3.98价值: 246400: 00: 00.002989

    9x 糖, 6x 黄油重量: 6.97容积: 3.39价值: 252000: 00: 00.004021

    9x 糖, 8x 黄油重量: 7.97容积: 3.65价值: 280800: 00: 00.004021

    10x 糖, 8x 黄油重量: 8.41容积: 3.94价值: 299200: 00: 00.004984

    12x 黄油, 7x 糖重量: 9.09容积: 3.59价值: 301600: 00: 00.004984

    13x 黄油, 7x 糖重量: 9.59容积: 3.72价值: 316000: 00: 00.005983

    15x 黄油, 4x 糖, 2x 面粉重量: 9.79容积: 3.93价值: 323200: 00: 00.021939

    15x 黄油, 5x 糖, 1x 面粉重量: 9.97容积: 3.81价值: 324800: 00: 00.042882

    15x 黄油, 5x 糖, 1x 面粉重量: 9.97容积: 3.81价值: 324800: 00: 00.178553

    14x 黄油, 6x 糖, 1x 面粉重量: 9.91容积: 3.97价值: 328800: 00: 00.184537

    14x 黄油, 6x 糖, 1x 面粉重量: 9.91容积: 3.97价值: 328800: 00: 00.383970

    结语

    背包问题,应该是我们到现在为止,处理的最复杂的算法问题,因为在背包中的物品,不但可以放入还可以拿出,还需要修改……也就是说我们的基因长度是可以变化的。

    另外我们还可以增加其他的条件来增加复杂程度,比如大航海时代的航运问题:船的货物与食物、淡水和船员的配比问题:

    货物运太少,亏本,运太多占用其他空间

    食物不够,到不了目的地

    淡水不够,雷同食物

    船员数量要与货物数量相关,太少,处理不了货物,太大又要消耗更多食物淡水。这四种物质相互制约,当然还可以加入航线上哪些地方可以补给食物,可以补给淡水……等等,就更加复杂了。

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空空如也

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