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  • 微积分,定积分导数的相关理解

    千次阅读 2015-05-04 07:55:34
    因为,在现实世界中,人们发现,在现实世界中,一个事件/情 ,并不是孤立存在的,它与其他的一个或多个事件,都有着非常紧密的联系,存在着某种函数关系,而借助于这种函数关系,那么,我们就可以通过 函数关系和自...

    (个人)

    因为,在现实世界中,人们发现,在现实世界中,一个事件/情 ,并不是孤立存在的,它与其他的一个或多个事件,都有着非常紧密的联系,存在着某种函数关系,而借助于这种函数关系,那么,我们就可以通过  函数关系和自变量,来研究 因变量。


    在学习过程中,要明白,那些是我要必须承认的???那些是我要研究的???


    我认为函数无非是体现出: 自变量和因变量之间的关系。我们所能研究的无非是因变量和自变量之间是一种什么关系?因变量是如何影响自变量的???  我们应该怎样利用这种相互的作用关系,来用于解决我们的问题。  而大多数时候,我们是要求通过自变量,来看出 我们想要的因变量的值,变化情况,以及相关的变化率,而对于二元函数而言,无非是俩个自变量,这俩个自变量是如何 影响和作用于因变量的???? 这才是我们研究的重点以及 单独的一个自变量是如何影响因变量的???俩个同时影响???

    俩个自变量之间有没有相互作用相互影响的关系???  另一方面,这种因变量与自变量反映到具体的应用上和联系现实,可以阐述为,一个事件与另一个事件或一个因素与另一个因素之间的关系???

    我暂且为其称呼为:  因事件,和自事件  ,因事件只有一个,而与影响因事件的因素不止一个,这就是二元和多元函数的出现。


    我们如果研究因变量和自变量之间的关系,我们需要解决那些问题:

    1.当因变量为某一个特定值时,那么,对应的因变量的值为多少?

    2.当自变量减少或增加时,那么,相应的因变量的值或因变量的增量是如何变化的???变化率是多少???  变化率能反映什么???

    3.当自变量取得增量x时,相应的因变量会变化多少???即改变量是多少???        (例如当人们要研究,当中国人的人口增加2亿人时,对应的人均GDP的改变量是多少?  是  属于增长,还是属于 减少???  所以,可以看出,有时也需要相应的改变量来分析问题。) 

    4.用概率密度能否求概率???如果能,为什么可以通过它求???

    5.对导函数进行积分意味着什么???         如何从导函数看出其原函数的性质???

    6.一个自变量对于因变量的影响程度是用导数来刻画的吗???

    7.偏导数反映的是什么问题???偏导数有什么局限???偏导数是是刻画单一变量对因变量的影响,如果我想看俩个自变量同时对因变量的影响,该怎么办?




    下面先 引发一个问题:


    1.一个函数和其导函数之间是什么关系???

    2.导函数到底能反映出原函数的什么特性???     如何从导函数的角度和看待概率密度???




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  • 微分和导数关系是什么?

    万次阅读 多人点赞 2017-08-21 21:44:44
    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududx \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx} ,可以理解为约去du du ...

    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可:

    • 对于导数链式法则, d y d x = d y d u d u d x \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx} dxdy=dudydxdu,可以理解为约去 d u du du,所以等式相等。但假如有 F ( x , y ) , d y d x = − ∂ F / ∂ x ∂ F / ∂ y F(x,y),\frac {dy}{dx} = -\frac {\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} F(x,y)dxdy=F/yF/x ,通过消去 ∂ F { \partial F} F,我们是否可以推出 d y d x = − d y d x \frac {dy}{dx} = - \frac {dy}{dx} dxdy=dxdy

    • ∫ a b d y d x d x    ⟹    ∫ a b d y    ⟹    y ∣ a b \int _ a^ b \frac {dy}{dx}dx \implies \int _ a^ b dy \implies y \rvert _ a^ b abdxdydxabdyyab,这里实实在在地消去了 d x dx dx

    • d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u d v + v d u + d u d v d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv d(uv)=(u+du)(v+dv)uv=udv+vdu+dudv,然后说 d u d v dudv dudv太小了,所以忽略掉,得到微分的乘法法则: d ( u v ) = u d v + v d u d(uv)=udv+vdu d(uv)=udv+vdu,难道 u d v udv udv v d u vdu vdu 不小?

    我当时脑子一片混乱,到底 d x dx dx d u du du d v dv dv是什么东西?为什么有的地方可以消去,有的地方不可以消去?其实在各个历史时期,导数和微分的定义是不一样的,要想解答上面的疑问,还得从微积分的发展历史中寻找答案。

    我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想,主要针对 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)这样的一元函数。

    1. 古典微积分

    牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分,下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明(要了解各种微积分符号,可以参看维基百科

    1.1 为什么会出现导数?

    导数不是牛顿和莱布尼兹发明的,他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面(一维函数是曲线,即一维曲面)下面积时,牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。

    在微积分出现之前,曲线下的面积是一个很复杂的问题,微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。

    这里写图片描述

    直觉告诉我们,如果 n n n越大,则这个近似越准确:

    这里写图片描述

    这时,无穷小量 d x dx dx Δ x \Delta x Δx是把曲线底分成n份的间隔长度)出现了。无穷小量 d x dx dx是建立微积分的基础,莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。

    在当时的观点下,无穷小量 d x dx dx到底是什么也是有争论的,有数学家打比喻:“无穷小量就好比山上的灰尘,去掉和增加都没有什么影响”,很显然有人认为无穷小量 d x dx dx是真实存在的。

    在具体计算曲面下面积,即我们现在所说的定积分的时候,必然会遇到导数的问题,所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

    1.2 导数的古典定义

    在曲线上取两点,连接起来,就称为曲线的割线:

    这里写图片描述

    割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降,上升了多少,但是并不精确。

    这里写图片描述

    有了切线之后,我们进一步定义导数:

    这里写图片描述

    从这张图得出导数的定义: f ′ ( x ) = d y d x f'(x) =\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy,而 d x {dx} dx d y {dy} dy 被称为 x x x y y y 的微分,都是无穷小量,所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商)。

    1.3 无穷小量导致的麻烦

    上节的图实际上是矛盾的:
    这里写图片描述

    所以就切线的定义而言,微积分的基础就是不牢固的。

    无穷小量的麻烦还远远不止这一些, x 2 x^2 x2的导数是这样计算的:
    这里写图片描述

    仔细看运算过程, 无穷小量$dx 先 是 在 约 分 中 被 约 掉 , 然 后 又 在 加 法 中 被 忽 略 , 也 就 是 说 先是在约分中被约掉,然后又在加法中被忽略,也就是说 dx$先被当作非0的量,又被当作了0。这就是大主教贝克莱(就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表)攻击的像幽灵一样的数,一会是0一会又不是0。

    无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值?难道不应该都是1吗?

    无穷小量还违反了阿基米德公理,这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过,如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

    一边是看起来没有错的微积分,一边是有严重缺陷的无穷小量,这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战,“对于数学,严格性不是一切,但是没有了严格性就没有了一切”。

    1.4 对于古典微积分的总结

    • 切线:通过割线和无穷小量定义了切线。

    • 导数:通过切线和无穷小量定义了导数,导数是曲线在某点处切线的斜率,导数的值等于微商。

    • 微分:微分是微小的增量,即无穷小量。

    2. 基于极限重建微积分

    莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦,一直想要拼命修补,但是这个问题到200年后,19世纪极限概念的清晰之后,才得到解决。解决办法是,完全摈弃无穷小量,基于极限的概念重新建立微积分。

    2.1 极限

    现在都是用 ϵ − δ \epsilon -\delta ϵδ 语言描述极限:

    这里写图片描述

    可以看到,极限的描述并没有用到无穷小量 d x dx dx

    2.2 导数的极限定义

    这里写图片描述

    用极限重新严格定义,导数已经脱离了微商的概念。此时,导数应该被看成一个整体。

    不过我们仍然可以去定义什么是微分。说到这里,真是有点剧情反转,古典微积分是先定义微分再有的导数,极限微积分却是先定义导数再有的微分。

    这里写图片描述

    Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + a Δ x \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x Δy=f(x0)Δx+aΔx得出, Δ y \Delta y Δy由两部分组成,通过图来观察一下几何意义:

    这里写图片描述

    d y = f ′ ( x ) Δ x dy=f'(x)\Delta x dy=f(x)Δx,这是 d y dy dy的定义。

    令函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个函数为 y = x y = x y=x(用线性函数去逼近原函数), f ′ ( x ) = 1 f'(x) = 1 f(x)=1 y = x    ⟹    d y = 1 Δ x    ⟹    d x = Δ x y=x \implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x y=xdy=1Δxdx=Δx,这是 d x dx dx的定义。

    最后我们得到 d y = f ′ ( x ) d x    ⟹    d y d x = f ′ ( x ) dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x) dy=f(x)dxdxdy=f(x)
    这里写图片描述

    2.3 对于极限微积分的总结

    • 导数:导数被定义为一个极限,其几何意义是曲线变化率。导数值是一个常数,是一个常量。开区间内的导数值集合起来,就成为导函数。

    • 微分:微分是函数的局部线性近似,就是一个线性函数,局部看起来很接近原函数,导数是这个线性函数的系数。其意义是变化的具体数值,是一个变量。

    • 切线:有了导数之后,就可以确定切线。

    3. 疑问的解答

    微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

    3.1 古典微积分与极限微积分的对比

    • 古典微积分是先定义微分再定义导数,极限微积分是先定义导数再定义微分。

    • 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的,极限微积分的导数是基于极限定义的。

    • 古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。

    • 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。

    • 古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。

    • 古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。

    古典微积分最大的好处就是很直观,不过也是因为太直观了,所以我们一直都无法忘记它带来的印象,也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

    3.2 疑问的解答

    之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

    • d y d x = d y d u d u d x \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} dxdy=dudydxdu ,在古典微积分中可以理解为消去,但是在极限微积分中我们应该认识到,这两个 du 实际上是不同的函数。

    • ∫ a b d y d x d x \int _a^ b \frac{dy}{dx}dx abdxdydx古典微积分中, d x dx dx确实表明是无穷多个矩形的底边,消去也是合理的,而极限微积分中, ∫ a b d x \int _ a^ b dx abdx是求黎曼和,我们可以把 ∫ a b \int _ a^ b ab当作左括号, d x dx dx当作右括号,就好比 ( 2 + 6 ) = 8 (2+6)=8 (2+6)=8 ,计算完毕之后,括号自然就消失了。

    • d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u d v + v d u + d u d v d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv d(uv)=(u+du)(v+dv)uv=udv+vdu+dudv在古典微积分中这么计算没有错误,只是 dudv 的消去也是不严谨的,而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明,这里不再列出。

    实际上,古典微积分已经被摒弃了。我们应该重新从极限的角度去认识微积分。

    3.3 古典微积分的用处

    我们应该从古典微积分,以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

    并且,莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性,他设计的微积分符号确实很符合直觉,我们可以继续借用他的符号来描述微积分。


    4. 无穷小量的逆袭

    有的数学家还是对无穷小量念念不忘,最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数,即超实数

    基于超实数,数学家又重新定义了微积分,这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析(基于没有无穷小量的实数体系的微积分,就是标准分析)。


    5. 多元函数的微分

    多元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0y0)处可微(可全微分),也就是说 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)可以在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0y0)处,找到唯一的线性函数逼近,这个线性函数就叫做全微分函数。

    全微分函数在分量上的系数叫做偏导数,是其一个属性。

    转自知乎:微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?

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  • 微分和导数关系

    千次阅读 2018-09-04 16:34:56
    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududxdydx=dydududx,可以理解为约去dudu,所以等式相等。但假如有F(x,y),dy...

    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可:

    • 对于导数链式法则, dydx=dydududxdydx=dydududx,可以理解为约去dudu,所以等式相等。但假如有F(x,y),dydx=−∂F/∂x∂F/∂yF(x,y),dydx=−∂F/∂x∂F/∂y ,通过消去∂F∂F,我们是否可以推出 dydx=−dydxdydx=−dydx?

    • ∫badydxdx⟹∫bady⟹y|ba∫abdydxdx⟹∫abdy⟹y|ab,这里实实在在地消去了dxdx。

    • d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudvd(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv,然后说dudvdudv太小了,所以忽略掉,得到微分的乘法法则:d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu,难道 udvudv和vduvdu 不小?

    我当时脑子一片混乱,到底dxdx、dudu、dvdv是什么东西?为什么有的地方可以消去,有的地方不可以消去?

    其实在各个历史时期,导数和微分的定义是不一样的,要想解答上面的疑问,还得从微积分的发展历史中寻找答案。

    我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想,主要针对y=f(x)y=f(x)这样的一元函数。

     

    1. 古典微积分

    牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分,下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明(要了解各种微积分符号,可以参看维基百科

    1.1 为什么会出现导数?

    导数不是牛顿和莱布尼兹发明的,他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面(一维函数是曲线,即一维曲面)下面积时,牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。

    在微积分出现之前,曲线下的面积是一个很复杂的问题,微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。

    这里写图片描述

    直觉告诉我们,如果nn越大,则这个近似越准确:

    这里写图片描述

    这时,无穷小量dxdx(ΔxΔx是把曲线底分成n份的间隔长度)出现了。无穷小量dxdx是建立微积分的基础,莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。

    在当时的观点下,无穷小量dxdx到底是什么也是有争论的,有数学家打比喻:“无穷小量就好比山上的灰尘,去掉和增加都没有什么影响”,很显然有人认为无穷小量dxdx是真实存在的。

    在具体计算曲面下面积,即我们现在所说的定积分的时候,必然会遇到导数的问题,所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

    1.2 导数的古典定义

    在曲线上取两点,连接起来,就称为曲线的割线:

    这里写图片描述

    割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降,上升了多少,但是并不精确。

    这里写图片描述

    有了切线之后,我们进一步定义导数:

    这里写图片描述

    从这张图得出导数的定义:f′(x)=dydxf′(x)=dydx,而 dxdx 和 dydy 被称为 xx 和 yy 的微分,都是无穷小量,所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商)。

    1.3 无穷小量导致的麻烦

    上节的图实际上是矛盾的: 
    这里写图片描述

    所以就切线的定义而言,微积分的基础就是不牢固的。

    无穷小量的麻烦还远远不止这一些, x2x2的导数是这样计算的: 
    这里写图片描述

    仔细看运算过程, 无穷小量dxdx先是在约分中被约掉,然后又在加法中被忽略,也就是说dxdx先被当作非0的量,又被当作了0。这就是大主教贝克莱(就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表)攻击的像幽灵一样的数,一会是0一会又不是0。

    无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值?难道不应该都是1吗?

    无穷小量还违反了阿基米德公理,这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过,如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

    一边是看起来没有错的微积分,一边是有严重缺陷的无穷小量,这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战,“对于数学,严格性不是一切,但是没有了严格性就没有了一切”。

    1.4 对于古典微积分的总结

    • 切线:通过割线和无穷小量定义了切线。

    • 导数:通过切线和无穷小量定义了导数,导数是曲线在某点处切线的斜率,导数的值等于微商。

    • 微分:微分是微小的增量,即无穷小量。 
       

    2. 基于极限重建微积分

    莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦,一直想要拼命修补,但是这个问题到200年后,19世纪极限概念的清晰之后,才得到解决。解决办法是,完全摈弃无穷小量,基于极限的概念重新建立微积分。

    2.1 极限

    现在都是用 ϵ−δϵ−δ 语言描述极限:

    这里写图片描述

    可以看到,极限的描述并没有用到无穷小量dxdx。

    2.2 导数的极限定义

    这里写图片描述

    用极限重新严格定义,导数已经脱离了微商的概念。此时,导数应该被看成一个整体。

    不过我们仍然可以去定义什么是微分。说到这里,真是有点剧情反转,古典微积分是先定义微分再有的导数,极限微积分却是先定义导数再有的微分。

    这里写图片描述

    从Δy=f′(x0)Δx+aΔxΔy=f′(x0)Δx+aΔx得出, ΔyΔy由两部分组成,通过图来观察一下几何意义:

    这里写图片描述

    dy=f′(x)Δxdy=f′(x)Δx,这是 dydy的定义。

    令函数f(x)f(x)的一个函数为y=xy=x(用线性函数去逼近原函数),f′(x)=1f′(x)=1, y=x⟹dy=1Δx⟹dx=Δxy=x⟹dy=1Δx⟹dx=Δx,这是dxdx的定义。

    最后我们得到 dy=f′(x)dx⟹dydx=f′(x)dy=f′(x)dx⟹dydx=f′(x): 
    这里写图片描述

    2.3 对于极限微积分的总结

    • 导数:导数被定义为一个极限,其几何意义是曲线变化率。导数值是一个常数,是一个常量。开区间内的导数值集合起来,就成为导函数。

    • 微分:微分是函数的局部线性近似,就是一个线性函数,局部看起来很接近原函数,导数是这个线性函数的系数。其意义是变化的具体数值,是一个变量。

    • 切线:有了导数之后,就可以确定切线。 
       

    3. 疑问的解答

    微积分实际上被发明了两次,古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

    3.1 古典微积分与极限微积分的对比

    • 古典微积分是先定义微分再定义导数,极限微积分是先定义导数再定义微分。

    • 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的,极限微积分的导数是基于极限定义的。

    • 古典微积分的微分是无穷小量,极限微积分的微分是一个线性函数。

    • 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和,极限微积分的定积分是求黎曼和。

    • 古典微积分的切线是可以画出来的,极限微积分的切线是算出来的。

    • 古典微积分的建立过程很直观,极限微积分的建立过程更抽象。

    古典微积分最大的好处就是很直观,不过也是因为太直观了,所以我们一直都无法忘记它带来的印象,也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

    3.2 疑问的解答

    之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

    • dydx=dydududxdydx=dydududx ,在古典微积分中可以理解为消去,但是在极限微积分中我们应该认识到,这两个 du 实际上是不同的函数。

    • ∫badydxdx∫abdydxdx古典微积分中, dxdx确实表明是无穷多个矩形的底边,消去也是合理的,而极限微积分中,∫badx∫abdx是求黎曼和,我们可以把 ∫ba∫ab当作左括号, dxdx当作右括号,就好比 (2+6)=8(2+6)=8 ,计算完毕之后,括号自然就消失了。

    • d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudvd(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv在古典微积分中这么计算没有错误,只是 dudv 的消去也是不严谨的,而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明,这里不再列出。

    实际上,古典微积分已经被摒弃了。我们应该重新从极限的角度去认识微积分。

    3.3 古典微积分的用处

    我们应该从古典微积分,以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

    并且,莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性,他设计的微积分符号确实很符合直觉,我们可以继续借用他的符号来描述微积分。

     

    4. 无穷小量的逆袭

    有的数学家还是对无穷小量念念不忘,最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数,即超实数

    基于超实数,数学家又重新定义了微积分,这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析(基于没有无穷小量的实数体系的微积分,就是标准分析)。

    5. 多元函数的微分

    多元函数f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x0,y0)处可微(可全微分),也就是说f(x,y)f(x,y)可以在(x0,y0)(x0,y0)处,找到唯一的线性函数逼近,这个线性函数就叫做全微分函数。

    全微分函数在分量上的系数叫做偏导数,是其一个属性。

    原文转载自:https://blog.csdn.net/yjk13703623757/article/details/77460905

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  • 本文分析了导数、微分不定积分之间关系,分析不一定正确,发出来请大家指正。

    在同济大学高等数学教材里,关于微分和不定积分有如下介绍:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    老猿在这里思考了很久,到底是微分与积分运算互逆,还是求导数与积分运算互逆?导数与微分是什么关系?

    查阅了各种资料,莫衷一是,有说导数是积分逆运算的,也有说微分是积分逆运算的,还有说微分和导数二者都是积分逆运算的。

    老猿认为:
    微分和导数虽然有关联,但二者肯定不是一回事。

    在一元函数中,微分是函数自变量有微小改变量时,所对应函数的微小该变量的微分,即切线的高。导数是函数自变量有微小改变量时,所对应函数点处的切线的斜率。

    求导数与积分运算的结果虽不是一对一的,但运算是互逆的,求导的结果再进行积分运算就得到原函数。

    那么微分就不应该与积分运算互逆。只是因为规定积分被积表达式为f(x)dx,使得在符号表示方面使得d[∫f(x)dx] = f(x)dx看起来是逆运算,但实际上二者不应该是逆运算。

    当然这样表示是否存在更深的原因,老猿暂时不知道,老猿暂时没复习到二元函数中的微分和求导,也许在二元函数中答案会不一样。

    小结

    本文分析了导数、微分和不定积分之间的关系,分析不一定正确,发出来请大家指正。

    说明:

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  • 导数和积分的转换关系

    千次阅读 2018-12-18 16:16:54
  • 又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。 ...
  • 导数,微分,积分! 这一部分的内容可以说是高等数学上的核心内容,如果我们把这个弄清楚了,做起题来才能心中有底。既然是学数学嘛,就要真正理解这些东西的来龙去脉。好了,话不多说,今天下午我终于把这几个概念...
  • 导数(derivative) 偏导数(partial derivative) 方向导数 (directional derivative) 梯度 (gradient) Ref 导数(derivative) 导数,是我们最早接触的一元函数中定义的,可以在 xy 平面直角坐标...
  • 因为它往往是导函数在一起出现的,所以,我大一的时候,那时没怎么理解这其中的道理,因为很多题求微分的过程就是求导,所以认为微分和导数就是没什么差别的东西。这其实并不是我一个人这样误解了,很多人都是这样...
  • 导数积分公式

    千次阅读 2020-10-28 08:51:33
    2 下列常用等价无穷小关系(x->0) 3 导数的四则运算法则 4 基本导数公式 5 高阶导数的运算法则 6 基本初等函数的n阶导数公式 7 微分公式与微分运算法则 8 微分运算法则 9 基本积分公式 ...
  • 导数积分入门

    千次阅读 2016-05-16 16:19:46
    这里讲了导数积分的入门QAQ
  • 导数

    2017-07-05 14:36:26
    导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)...
  • 导数和积分入门笔记(持续更新)

    万次阅读 2018-03-27 20:41:28
    这几天,无论是做题还是听课都听到了很多积分之类的东西 但是我才高一,学校并没有学到这里 于是一直挂机,十分难受 于是把学校的积分内容学了一下 在这里记录一下,也算是一次复习巩固吧 当然啦,我现在的理解...
  • 如果函数y=f(x)在开区间I内处处可导,则函数f(x)在开区间I内可导,导数值与x之间新的函数关系就是原函数的导函数。 导函数求法 1、常数导数为0 2、幂函数 3、三角函数 4、指数函数 5、对数函数 可导与...
  • 文章目录导数与微积分导数,偏导数方向导数一元函数的导数多元函数的偏导数方向导数Ⅱ 微分一元微分多元微分导数和微分的应用增函数与减函数介值定理中值定理隐函数的导数和偏导数反函数的导数泰勒级数Ⅲ
  • 定积分和不定积分两者有本质区别。从概念的引入就截然不同,毫无关系。所以学习过程中,不要把两者高搞混。理解定积分不需要理解不定积分,同样地,学习不定积分也不需要理解定积分。不定积分的概念引入是「导数的逆...
  • 微分 积分 一阶导数是对原函数求导 二阶导数是对一阶导数求导 混合偏导数就是二阶导数,先对x求导数,再次对y求导数 圆的曲率是K,半径是R,半径越小的圆曲率越大,直线可以看作半径为无穷大的圆 雅可比矩阵 在向量...
  • 数学笔记13——定积分

    千次阅读 2017-10-20 10:21:45
    本文主要介绍了定积分和黎曼的基本概念,并用几个示例演示如何用黎曼求解定积分
  • 方向导数和梯度

    千次阅读 2014-02-18 11:24:25
    前一段时间翻了一遍高教的《简明微积分》,对梯度概念总算有了些理解,在这记录一下。 推荐下《简明微积分》这本书,我向来对带有“简明”二字的书抱有极大的好感。偶然的机会在豆瓣上看到有人推荐这本书,作者是...
  • 本节介绍了积分上限函数,通过积分上限函数证明了微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式),牛顿-莱布尼茨公式表明一个连续函数在...由于牛顿-莱布尼茨公式表明了定积分和不定积分的关系,因此可以用于定积分的精确计算。
  • 导数相关

    2018-06-04 10:31:00
    导数运算法则 $$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$$$[f(x) * g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$$$[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} (g(x)\neq 0)$$$$[cf(x)]' = c f'(x)$$ $$(x^n...
  • 我们首先从函数的连续性开始讨论,然后逐步过渡到切线和导数的概念。 函数f(x)f(x)f(x)在具体的取值点ccc点是否连续,我们针对性的来看下面三幅图中的具体情形: 在这幅图中,我们发现在点ccc处,函数的左极限右...
  • 从定义中,深入的理解概念,以及发掘概念之间的相互联系。 导数&微分 微积分有两种定义: 1、古典微积分 这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量,那么...
  • 这里应注意定积分与不定积分之间关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!...
  • 用Python学《微积分B》(定积分

    千次阅读 2017-09-07 17:35:31
    本文主要学习《微积分B》第7章——“定积分的概念存在条件”,结合课程中的知识进行一些扩展,并用Python辅助求解课后练习题。关于定积分(Definite Integral)的概念,课本中只介绍了“黎曼积分”(Riemann ...
  • 导数的应用

    2020-07-16 10:47:05
    在工程学中,线性近似应用非常广泛,人们只需要关心输入改变量与输出改变量之间的线性关系 证明: 因为极限的定义为: 所以x0处的极限为: 用割线斜率近似切线斜率: 假设有一条曲线 y = f(x),...
  • 先从二维过渡到三维,二维是从平面上去分析图形,三维是从空间去分析,三...后来,人们发现原函数与导数的积分之间关系,发现了另外一个求面积定积分的方法. 对于反常积分,也就是区间是在负,正无穷之间,或者一个区间是
  • 漫步微积分三十——定积分的性质

    千次阅读 2016-08-28 21:04:43
    代数几何面积在前面的章节我们考虑了曲线y=f(x)y=f(x)下方x=a,x−bx=a,x-b...然而通过逼近的极限来定义定积分的公式即 ∫baf(x)dx=limmax Δxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\li
  • 数学基础——导数

    千次阅读 2017-11-12 17:37:21
    导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)...
  • §5.1 定积分的概念 一、从阿基米德的穷竭法谈起 【引例】从曲线与直线,, 所围图形的面积。  如图:在区间 上插入 个等分点 ,得曲线上点 ,过这些点分别向轴,轴引垂线,得到阶梯形。它们的面积分别...

空空如也

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定积分和导数之间的关系