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  • 071 定积分基本性质及积分中值定理定积分基本公式N-L

    071 定积分基本性质及积分中值定理;定积分基本公式N-L



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  • §5.1 定积分的概念 一、从阿基米德的穷竭法谈起 【引例】从曲线与直线,, 所围图形的面积。  如图:在区间 上插入 个等分点 ,得曲线上点 ,过这些点分别向轴,轴引垂线,得到阶梯形。它们的面积分别...

    §5.1  定积分的概念

    一、从阿基米德的穷竭法谈起

    【引例】从曲线与直线 所围图形的面积

     如图:在区间  上插入  个等分点 ,得曲线上点 ,过这些点分别向轴,轴引垂线,得到阶梯形。它们的面积分别为:

     

     

     

    故可得到面积值为  

    为了便于理解阿基米德的思想,我们先引入曲边梯形的概念。

    所谓曲边梯形是指这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条是平行的,第三条与前两条垂直叫做底边,第四条边是一条曲线弧叫做曲边,这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。

    根据这一定义,引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。

    二、曲边梯形的面积计算

    设连续函数,求由曲边,直线及 轴所围成的曲边梯形的面积

    如图,在区间上任意地插入个分点

    区间分划成  个小区间 ,且记小区间的长度为

    过每个分点作平行于轴的直线段,这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形,用记第  个窄小的曲边梯形的面积。

    (由于曲边梯形的高在上是连续变化的,在很短小的一段区间上它的变化也很小,即可近似地视为不变。因此,在每个小区间上,可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高,用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)

    具体地

    对第  个窄小曲边梯形,在其对应区间上任意地取一点,以作为近似高,以矩形面积近似

    即     

    于是,

    很明显地

    小区间的长度越小,近似程度就越好;要使得近似程度越好,只需都越来越小。因此,为了得到面积的精确值,我们只需将区间无限地细分,使得每个小区间的长度都趋向于零。

    若记   ,则每个小区间的长度趋向于零价于 

    从而                                 (1)

    三、变速直线运动的路程

    设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的连续函数,且,求物体在时间间隔内所经过的路程。

    在时间间隔内任意地插入个分点

    将分划成个时间区间

    各时间区间的长度依次为

    记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为

    在时间间隔, 物体所经过的路程的近似值为

      

    即:将物体在上的速度视为不变的,以来近似代替。很自然地,当这一时间间隔段很短时,这种近似是合理的。

    于是可给出的近似值     

    为得到的精确值, 只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零。

    若记  

    则                                      (2)

    上述两例, 尽管其实际意义不同, 但有两点是一致的。

    1、曲边梯形的面积值由高的变化区间来决定;

    变速直线运动的路程由速度的变化区间来决定。

    2、计算的方法、步骤相同,且均归结到一种结构完全相同的和式极限。

    抛开这些问题的具体实际意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括, 我们可给出定积分概念

    四、定积分的定义

    设函数上有界, 在中任意插入个分点

    把区间分划成  个小区间

    各区间的长度依次为

    在每个小区间上任取一点 

    作函数值与小区间长度的乘积  

    作和式 

    若不论对区间上怎样的分法,

    也不论对小区间上的点怎样的取法,

    只要当时, 和总趋向于确定的值

    我们称这个极限值为函数在区间上的定积分。

    记作   

    即  

    其中叫做被积函数叫做被积表达式

       叫做积分变量;    叫做积分区间

       叫做积分下限;        叫做积分上限

     叫做上的积分和式

    如果上的定积分存在,我们就说上可积。

    对定积分的定义, 我们给出两点重要的注解:

    1、定积分的几何意义

    上,时,表示由曲线,直线轴所围成的曲边梯形的面积。

    上,时,表示该曲边梯形面积的负值。

    因此,定积分是一个数值。

    2、定积分与积分变量无关

    由定积分的几何意义可知:

    定积分与被积函数及积分区间有关。

    如果既不改变被积函数,也不改变积分区间 ,而只是将变量改写成其它字母,如,这时定积分的值仍不变。即有

    五、定积分的存在定理

    【定理一】设在区间上连续, 则上可积。

    【定理二】设在区间上有界, 且只有有限个间断点, 则上可积。

    六、用定义求定积分的典型例子

    【例1】  求 

    解:是连续的,故 存在。

    为便于计算, 将区间上分划成等分 , 即取分点为

    这样,小区间的长度为 ,再取 

    积分和式为

    将表达式写成一个紧凑的形式:

    从而

    此例告诉我们这样的信息:

    1、用定积分定义来计算定积分的确不方便,有必要寻找简捷而有效的计算方法;

    2、,也反映了定积分几何意义的正确性。






    §5.2  定积分的性质、中值定理

    规定:

    1、时,

    2、时,

    这两条规定的意义较直观。

    时,曲边梯形退缩成一段线, 故其面积应该为零;

    时,区间所对应的分点成为

    相应的小区间的长度 

    此时,相对于的符号应相反。

    声明:在下面的讨论中, 对积分上下限的大小均不加以限制,并假定各性质中所列出的定积分均存在。

    【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。

    即:   

    证明:

    显然,性质一对于任意有限个函数也是成立的。

    【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。

    即:       ( 是常数因子 )

    证明:

    性质三】如果将积分区间分成两部分, 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。

     即:   ( * )

    这一性质的几何意义十分明显。如图,曲边梯形的面积有:

    此性质表明,定积分对于积分区间具有可加性。其实,无论三个数的相对位置如何,等式( * )总是成立的。

    例如:当时, 有

    性质四】如果在区间上,,则

    性质五】如果在区间上,,则 

    据定积分几何意义,它是一个曲边梯形真正的面积值,故它应为非负的。

    【推论一】如果在区间上,,则

    事实上, 由 , 据 性质五 与 性质一 有

    【推论二】

    证明

    由推论一有: 

    即:   

    性质六】设分别是函数在区间上的最大值及最小值,

    则     

    证明:

    则  

    这一性质可用来估计定积分值的范围,它也具有鲜明的几何意义。

    性质七】( 定积分的中值定理 )

    如果函数在闭区间上连续, 则在上至少存在一点

    使得   

    证明:据性质六有

    数值 介于连续函数上的最小值与最大值之间, 再由闭区间上连续函数的介值定理, 在  上至少存在一点 ,使得

    积分中值公式的几何解释

    利用计算机编写程序gs0502.m对定积分

    进行数值计算试验,我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时,注意建立被积函数的函数文件f.m






    §5.3  微积分基本公式

    一、积分上限的函数及其导数

    设函数在区间上连续,并设上的一点,考察在部分区间上的积分

    这一特殊形式的积分有两点应该注意:

    其一、因连续,该定积分存在。此时,变量“ 身兼两职 ”,既是积分变量,又是积分的上限。

    为了明确起见,将积分变量改用其它符号如来表示,这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式

    其二、若上限上任意变动,则对应于每一个取定,该定积分有一个对应值。所以,它在上定义了一个新的函数, 记作

    为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。

    是否确有这类函数?

    观察一个例子,正态曲线上的变上限函数为

    它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m,可分别作出上的图象

    这表明,确实是一个新的函数。

    【定理一】如果函数在区间上连续, 则变上限函数

    上具有导数,且它的导数是

    证明:当上限获得增量时, 处的函数值为

    由此得函数的增量

    据积分中值定理:

      之间

    即: 

    定理一表明:的一个原函数。因此,我们便有下面原函数的存在性定理。

    【定理二】如果函数在区间上连续, 则函数

    就是上的一个原函数。

    定理二的重要意义在于:

    其一、肯定了连续函数的原函数的存在性。

    其二、揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。

    二、牛顿-莱布尼兹公式

    【定理三】上连续, 上的任一原函数

    则    

    证明:均是上的原函数

    则       (  为常数,   )

    令  ,  

    而 

    故 

    从而 

    即 

    若令, 得: 

    为了方便,今后记 或 

    最后,我们提醒一句,微积分基本公式时,一定要注意条件:

    在区间上的原函数。

    【例1】计算  与  

    解:  

    注:当初阿基米德用穷竭法计算定积分,可是费了不少功夫,可如今变得简单多了,这得益于微积分基本公式。

    【例2】设内连续,且,证明函数

    内为单调增加函数。

    证明:

       

    由假设, 在 上 , , 故

     ,      ,

    从而, 在 上是单增的。

     

    【例3】求极限  

    解:这是一个型的不定式,可用罗必达法则来计算,分子可写成

    它是以为上限的函数, 作为的函数, 它可视作以为中间变量的复合函数, 故

     

    注明:试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为不具有有限形式的原函数。

    公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法,而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨, 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。

    这一事实表明:一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此,列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。

    定积分的符号 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是:定积分的实质是求积分和式的极限,英文中求和一词是Sum,将S拉长变成了。显然,符号从外形到含义均表达了“求和”的涵义,堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统:

    彼此之间有联系,又各自表达不同的意义,可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的,由这一点可看出先进的符号体系是重要的。

    我国古代数学尽管历史悠久,但发展缓慢,其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成:勾三股四弦五,即:

    在计算机编程中,合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。




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  • 本节介绍了积分上限函数,通过积分上限函数证明了微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式),牛顿-莱布尼茨公式表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量。 由于牛顿-莱布尼茨...

    一、引言

    在《人工智能数学基础—定积分1:定积分的概念以及近似计算》介绍了利用定积分的定义进行定积分的近似计算方法,但这种方式比较复杂,如果被积函数复杂困难更大,那么定积分是否有其他计算方式呢?答案是肯定的,这个方法其实就是通过不定积分来求定积分,这也是为什么二者的表示形式和概念有这么大的相似度的原因。

    二、关于积分上限的函数及其导数

    在介绍定积分的计算方法前,我们先介绍积分上限的函数及其导数。

    2.1、积分上限函数的概念

    设函数f(x)在区间[a,b]上连续,设x为区间[a,b]上的一点,则f(x)在区间[a,x]上的定积分一定存在,其形式为:
    在这里插入图片描述
    在此定积分表达式中,x既表示积分上限,又表示了积分变量,由于定积分的值只与积分区间和被积函数相关,与积分变量无关,所以可以把上述积分表示为:
    在这里插入图片描述
    如果x在区间[a,b]上任意变动,则对于每个给定的x值,上述定积分有个对应值,所以该定积分在区间[a,b]上定义了一个函数,记该函数为Φ(x),则有:
    Φ(x)
    该函数称为积分上限函数

    2.1、积分上限函数的性质

    2.1.1、定理1

    如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么积分上限的函数:
    在这里插入图片描述
    在区间[a,b]上可导,并且它的导数:
    在这里插入图片描述
    证明思路:

    1. 设x∈(a,b),通过ΔΦ = Φ(x)- Φ(x+Δx),即可得ΔΦ为区间[x,x+Δx]上函数f(t)的定积分,应用积分中值定理可得:ΔΦ = f(ε)Δx,当Δx趋于0时,f(ε)的极限即为f(x),而根据ΔΦ /Δx= f(ε),因此在Δx趋于0时,对两边取极限即可得:lim ΔΦ /Δx = Φ’(x) = f(x)。
    2. 如果x=a取Δx>0,同理可证 Φ(x)在a点的右导数等于f(a),如果x=b取Δx<0,可证 Φ(x)在b点的左导数等于f(b)。
    2.1.2、定理2

    如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么积分上限的函数:
    在这里插入图片描述
    就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

    定理2肯定了连续函数的原函数是存在的,且初步揭示了函数的定积分与原函数之间的关系。

    三、牛顿-莱布尼茨公式

    定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,那么:
    在这里插入图片描述
    对于a>b的情况,该公式同样适用。公式2-4又可以记为:
    在这里插入图片描述
    公式(2-4)叫做牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式,也称为微积分基本公式

    证明思路:根据定理可知 Φ(x)是f(x)的一个原函数,而F(x)也是一个原函数,两者的差为一个常数C,即:

    F(x) - Φ(x) = C

    由于Φ(a)=0,F(a) - Φ(a)= C,则F(a)=C。即可得:
    在这里插入图片描述
    当x=b时,定理得证。

    牛顿-莱布尼茨公式表明

    一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量,因此可以通过原函数来计算定积分。

    四、微积分基本公式的应用举例

    例1

    在这里插入图片描述

    通过这个案例,我们应该特别注意:公式(2-4)中的函数F(x)必须是f(x)在其积分区间[a,b]上的原函数。

    例2

    在这里插入图片描述

    例3

    在这里插入图片描述
    本例的结论与《人工智能数学基础—定积分2:定积分的性质》所述积分中值定理稍有不同,将ε的取值区间变为了开区间(a,b)。

    通过本例可以看到,积分中值定理和微分中值定理之间是有紧密的关系的,二者的内在逻辑是一致的。

    例4

    在这里插入图片描述

    五、小结

    本节介绍了积分上限函数,通过积分上限函数证明了微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式),牛顿-莱布尼茨公式表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量。

    由于牛顿-莱布尼茨公式表明了定积分和不定积分的关系,因此可以用于定积分的精确计算。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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    1. 主要内容(基本积分公式、积分基本计算方法、特殊函数的积分性质)

     

    2. 例题讲解

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    2020-11-21 11:41:00
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空空如也

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