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  • python中如何利用蒙特卡洛平均值法求定积分? 二、解决方法 (1)基本理论与操作说明 1、蒙特卡洛 (Monte Carlo) 求定积分概述 蒙特卡洛方法也称统计模拟方法、随机抽样技术,是基于“随机数”、概率统计理论为基础的...

    一、提出问题:

    python中如何利用蒙特卡洛平均值法求定积分?

    二、解决方法

    (1)基本理论与操作说明

    1、蒙特卡洛 (Monte Carlo) 求定积分概述
    蒙特卡洛方法也称统计模拟方法、随机抽样技术,是基于“随机数”、概率统计理论为基础的数值计算方法。蒙特卡洛定积分主要思想就是均匀分布生成的随机数,将积分符号转化为求和,从而实现快速求解目的。主要有三种方法:随机投点法、平均值法、重要抽样法。
    2、平均值法求定积分
    计算过程如图1
    在这里插入图片描述
    其数学公式为:
    在这里插入图片描述
    3、定积分值误差检验
    方根误差(Root Square Error)是观测值与真值(理论值)偏差平方的平方根,是用来衡量观测值同真值之间的偏差。如图2,随采样数量的增加,误差逐渐降低。在达到一定数量(200)次采样之后,误差变化不大。说明采样次数提高到一定值后,对运算精度变化影响较少。进而采取改变抽样法来减小方差,从而提高积分计算的精度。(此不在本次运演范围)
    在这里插入图片描述

    三、举例说明蒙特卡洛算法

    1、要求:根据上述基本原理,用python程序验证蒙特卡洛求定积分计算过程
    2、具体代码

    import numpy as np
    import pylab as pl
    
    def fy(x):
        return x**3 + 4*x*np.cos(x)
    
    
    def dfy(x):
        return 3*x**2+4*np.cos(x)-4*x*np.sin(x)
    
    def monto(x,a,b):
        return (b-a)/len(x)*sum(dfy(x))
    
    def integral(a,b):
        return fy(b) - fy(a)
    
    a,b,n=10,15,1000
    vm=np.ones(n)
    X=np.linspace(a,b,n)
    y=np.ones(n)
    vi=integral(a,b)
    for i in range(n):
        x = np.random.uniform(a,b,i+1)
        vm[i] = monto(x,a,b)
        y[i] = dfy(X[i])
        
    pl.subplot(212)
    pl.title(" RSE ")
    pl.plot(range(n), np.sqrt((vi-vm)**2) )
    pl.xlabel("Monte Carlo sampling point")
    
    pl.subplot(211)
    pl.title("function curve")
    pl.plot(X,y,label='$y=3*x^2+4*cos(x)-4*x*sin(x)$')
    pl.legend(loc='upper left')
    pl.show()
    

    3、运行结果
    在这里插入图片描述

    以上就是本文所有内容,希望能帮到大家!!!

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  • 蒙特卡洛估算定积分的第二种方法本文首发于个人微信公众号“我将在南极找寻你”平均值法前几天,我们利用蒙特卡洛的随机投点法实现了y=x^2在0到1上的定积分的估算(传送门),今天,我们介绍另一种蒙特卡洛估算...
    蒙特卡洛估算定积分的第二种方法
    

    本文首发于个人微信公众号“我将在南极找寻你”

    平均值法
    前几天,我们利用蒙特卡洛的随机投点法实现了 y=x^201上的定积分的估算(传送门),今天,我们介绍另一种蒙特卡洛估算定积分的方法:平均值法

    原理:辛钦大数定律

    这里的大数定律,指的是伯努利大数定律,即35a85edf8db1cb13729d5415da54564e92584b3b.jpg

    绝对值里面的前者为平均观测值,后者为概率(由二点分布的的公式得到),这就是说,当n很大时,后者(概率)可以由前者(平均观测值)近似代替。而后者又可以写成期望的形式,连续型随机变量求期望就是求对应的定积分,我们由此来估算定积分

    具体的推导证明不再叙述(因为我也没看太懂),原理有点复杂,但是我们用代码来实现起来还是挺容易的。


    直接上代码,还是以y=x^2为例

    # -*- coding: cp936 -*-

    import time

    import numpy as np

    def f(x):

             return x**2

    def n(N):

             start_time=time.time()

             a=1/3.0

             x=np.random.uniform(0,1,N)#随机生成N个0-1之间的一维点

             c=f(x)#把x的值代入f(x)计算

             s=0

             for i in c:

                      s=s+i

             j=s*1.00/N

             print "蒙特卡洛估计值为: ",j

             print "与真实值之间的误差为:",abs(a-j)

             end_time=time.time()

             clap=end_time-start_time

             result=round(clap,3)

             print "程序运行耗时: ",result,"秒"


    下面进行效果测试:


    >>> n(1)

    蒙特卡洛估计值为:  0.878686797506

    与真实值之间的误差为: 0.545353464173

    程序运行耗时:  0.079 秒

    >>> n(10)

    蒙特卡洛估计值为:  0.206862514025

    与真实值之间的误差为: 0.126470819309

    程序运行耗时:  0.118 秒

    >>> n(100)

    蒙特卡洛估计值为:  0.344701364962

    与真实值之间的误差为: 0.0113680316288

    程序运行耗时:  0.073 秒

    >>> n(1000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.329302957955

    与真实值之间的误差为: 0.00403037537882

    程序运行耗时:  0.095 秒

    >>> n(10000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.334215109

    与真实值之间的误差为: 0.000881775667086

    程序运行耗时:  0.082 秒

    >>> n(100000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333468173775

    与真实值之间的误差为: 0.000134840441518

    程序运行耗时:  0.141 秒

    >>> n(1000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333231069323

    与真实值之间的误差为: 0.000102264010195

    程序运行耗时:  0.78 秒

    >>> n(10000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333309418901

    与真实值之间的误差为: 2.39144322688e-05

    程序运行耗时:  8.005 秒

    >>> n(100000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333349619401

    与真实值之间的误差为: 1.62860680264e-05

    程序运行耗时:  80.876 秒

    当N取100000000时,误差已经非常小了,只是计算时间变成了80多秒,有点耗时,但,毕竟,欲速则不达,对吧。

    从开学到现在感觉还没有睡醒,头脑昏昏沉沉的,错误难免,还望指出,睡觉,晚安。

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  • 平均值法计算定积分

    千次阅读 2015-12-11 12:56:12
    //用平均值计算定积分 //a区间左端点,b为区间右端点,n为x值取值次数 double Integration( double a, double b, int n) { static RandomNumber rnd; double y = 0 ; for ( int i= 1 ; i; i++) ...
    #include "cstdio"
    #include "time.h"
    
    using namespace std;
    
    const unsigned long maxshort = 65536L;
    const unsigned long multiplier = 1194211693L;
    const unsigned long adder = 12345L;
    
    class RandomNumber
    {
        private:
            unsigned long randSeed;  //当前种子
        public:
            RandomNumber(unsigned long s=0);  //构造函数,默认值0表示由系统自动产生种子
            unsigned short Random(unsigned long n);  //产生0:n-1之间的随机整数
            double fRandom(void);  //产生[0:1)之间的随机实数
    }
    
    RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)  //产生种子
    {
        if(s==0)
            randSeed = time(0);   //用系统时间产生种子 
        else
            randSeed = s;     //用户提供种子
    }
    
    unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)  //产生0:n-1之间的随机整数
    {
        randSeed = multiplier * randSeed + adder;
        return (unsigned short) ((randSeed>>16)%n);  //高16位随机性较好,右移16位后,映射到(0~n-1)范围内
    }
    
    double RandomNumber::fRandom(void)  //产生[0,1)之间的随机整数
    {
        return Random(maxshort)/double(maxshort);  //产生0~(maxshort-1)间的随机整数,在除以maxshort
    }
    
    double g(double x)
    {
        return x;
    }
    
    //用平均值计算定积分
    //a区间左端点,b为区间右端点,n为x值取值次数
    double Integration(double a, double b, int n)
    {
        static RandomNumber rnd;
        double y = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            double x = (b-a)*rnd.fRandom() + a;  //x位于[a,b)区间
            y += g(x);
        }
        return (b-a)*y/double(n);
    }
    
    int main() 
    {
        const long num = 50000L;  
        double s = Integration(num);
        printf("面积为%f:\n", s);
        return 0;
    }

    这里写图片描述

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  • 本文介绍了定积分的性质,包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。

    一、引言

    在《人工智能数学基础—定积分1:定积分的概念以及近似计算》介绍了定积分的概念、几何意义、用定义来求定积分的案例以及使用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分近似值的方法和案例等基础知识,根据上文的介绍,结合相关知识补充如下2条规则:
    在这里插入图片描述
    可以知道,交互积分区间的上下限,则定积分的绝对值不变但符号相反。

    二、性质

    2.1、性质1:定积分的线性运算

    设α和β为常数,函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积,则:
    在这里插入图片描述
    即定积分满足加法和数乘的线性运算规则,证明过程如下:
    在这里插入图片描述
    上述公式中λ为可积区间分成n分后的最大区间值。

    实际上,该规则对于任意有限个可积函数的线性组合同样成立

    2.2、性质2:积分区间可加性

    设函数f(x)在区间[a,b]上可积,设a<c<b,则:
    在这里插入图片描述
    这个证明很简单,根据定积分的定义及极限即可以快速证明。

    实际上,根据积分的补充规则,上述公式对于不满足a<c<b的情况只要三者在一个连续区间上,其中一个属于该区间内的一点同样成立,而不需要确认谁在前、谁在后。

    2.3、性质3:恒等于1的函数积分

    如函数f(x)在区间[a,b]上恒等于1,则:
    在这里插入图片描述

    2.4、性质4:积分保号性

    如果函数f(x)在区间[a,b]上恒大于等于0,则:
    在这里插入图片描述
    根据积分定义即可证明。

    推论1:如果在区间[a,b]上函数f(x)≤g(x)且二者可积,则:
    在这里插入图片描述

    推论2:如果在区间[a,b]上函数f(x)可积,则:
    在这里插入图片描述

    2.5、性质5:有界函数的积分

    设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,且函数f(x)可积,则:
    在这里插入图片描述
    根据这个性质,可以根据被积函数的最大值和最小值,估算积分值的范围。
    证明:
    在这里插入图片描述

    2.6、性质6:定积分中值定理

    2.6.1、定理

    如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么在区间[a,b]上至少存在一点ξ,使得:
    在这里插入图片描述
    这个公式叫做积分中值公式。其中:
    在这里插入图片描述
    称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

    证明:
    由《人工智能数学基础6:极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性》介绍可知,闭区间上的连续函数在该区间上一定有界,存在最大值M、最小值m,且有介值性。

    因此根据性质5有:
    在这里插入图片描述
    这表明,而:
    在这里插入图片描述
    一定是一个确定的值,按照连续函数介值性,则在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得:
    在这里插入图片描述
    两边乘以b-a即可得证。

    说明:无论a>b还是a<b,积分中值公式都成立。

    2.6.2、几何解释

    积分中值公式有如下的几何解释:在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得以区间[a,b]为底边、以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积(图5-5)。

    在这里插入图片描述

    三、小结

    本文介绍了定积分的性质,包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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