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  • 对称矩阵相似对角化Matlab程序,用到的朋友可以下载看看。
  • Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化。1.对角阵概念2.矩阵与对角阵相似的条件3.一般矩阵的相似对角化4.实对称矩阵相似对角化5.协方差矩阵的相似对角化(end)...

    Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程。

    1.对角矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有对角线元素是非零元素

    形状如:


    2.数量矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个数量矩阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有主对角线上元素是非零元素

    (3)主对角线上元素都相等!

    也就是:对角线元素都相等的对角矩阵是数量矩阵。

    可知单位矩阵E是数量矩阵的特殊情况

    3.正对角阵

    只有正对角线上元素为非零值时,称为正对角阵,如下所示:


    4.反对角阵

    只有副对角线上元素为非零值时,称为反对角阵,如下所示:


    5.线性相关、线性无关

    在下面理解矩阵与对角阵相似的过程中,涉及到了线性无关,记录下。

    线性相关:在一组数据中,有一个或者多个量可以被其余量表示

    线性无关:在一组数据中,没有一个量可以被其余量表示

    6.矩阵与对角阵相似的条件

    如果一个矩阵A满足如下条件,则此矩阵就可以说是对角矩阵相似:

    (1)A是一个方阵,因为对角阵是方阵

    (2)矩阵A有n个线性无关的特征向量


    如何用计算方阵A的特征值的方法来判断方阵A 是否与对角阵相似?

    答,步骤如下:

    (1)先求出方阵A的所有特征值

    (2)如果所有特征值互异,则方阵与对角阵相似

    即:如果n阶方阵A有n个互异的特征值,则方阵A与对角阵相似


    7.一般矩阵的相似对角化

    如果方阵A与对角阵相似,则一定存在一个可逆矩阵P,按照下面公式求出方阵A的相似对角矩阵

    求方阵A相似对角阵的步骤:


    8.一般矩阵对角化的练习题

    此例题来自:点我



    9.实对称矩阵的相似对角化

    方法:可以用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵

    10.实对称矩阵的相似对角化的练习题

    此例题来自:点我





    11.协方差矩阵的相似对角化

    因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以协方差矩阵的对角阵求解方法 可以按照 实对称矩阵的对角阵求解方法来计算,如上所示。

    (end)

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  • 1 ,对称矩阵 : 定于 : 1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置 2 ,那么 :A 为对称矩阵 如图 : 2 ,对角矩阵 : ...1 ,主对角线的元素不为 0 ...4 ,相似矩阵 : ...5 ,对角化 : ...2 ,则称这个过程是对角化

    1 ,对称矩阵 :

    1. 定于 :
      1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置
      2 ,那么 :A 为对称矩阵
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    2 ,对角矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,主对角线的元素不为 0
      2 ,其他元素都为 0
    2. 例如 :
      在这里插入图片描述

    3 ,正定矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,可以让非零实向量乘以他自己的转置 > 0 ,这样的矩阵叫正定矩阵
      2 ,理解 : 把它的方向正过来
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    4 ,相似矩阵 :

    1. 定义 :
      在这里插入图片描述

    5 ,对角化 :

    1. 定义 :
      1 ,如果一个矩阵的像是矩阵是一个对角矩阵
      2 ,则称这个过程是对角化
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  • 对称矩阵相似对角化

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...

    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=\Lambda,且存在正交矩阵Q,使得Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

    实对称矩阵化为对角矩阵的步骤

    1.找出全部特征值

    2.找出每个特征值对应的方程组,(\lambda_{i} E-A)x=0的基础解系,如果\lambda _{i}为k重根,那么基础解系必定有k个线性无关的特征向量。

    3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,那么就要正交化那k个向量,具体做法一般为施密特正交化(不同特征值的向量之间必定正交,而且这一条只对实对称矩阵成立)将\alpha _{i1},\alpha _{i2}...\alpha _{ik}转化为\beta _{i1},\beta _{i2}...\beta _{ik}

    4.将所有正交的特征向量单位化

    5.将n个特征向量合并为正交矩阵,记为

    Q=[\beta _{11}^{o},\beta _{12}^{o}...\beta _{1k_{1}}^{o},\beta _{21}^{o},\beta _{22}^{o}...\beta _{2k_{2}}^{o}...\beta _{r1}^{o},\beta _{r2}^{o}...\beta _{rk_{r}}^{o}]

    最终\dpi{150} Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

    注,对角矩阵里元素的顺序与Q对应,例如Q中,前三个向量对应的特征值分别为1,1,2,那么对角线上前三个元素也必定为1,1,2

     

    且对于其他n阶矩阵,如果有n个不同的特征值,或是k重特征值的k个对应的k个特征向量线性无关,则也可以相似对角化,方法与上文类似,即求出特征值,特征向量(不需要单位化,只需要内部的数没有过公约数了即可)。特征向量拼在一起组成P,\dpi{150} P^{-1}AP=\Lambda,特诊向量的顺序和特征值顺序对应

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  • 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3 (2)求特征向量α1、α2、α3 (3)改造特征向量 a. 如λi≠λj 只需要单位化 ...

    一、实对称矩阵

    实对称矩阵的几点性质:

    1.特征值必是实数

    2.不同特征值的特征向量必正交

    3.必与对角矩阵相似

    4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下

        (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3

        (2)求特征向量α1、α2、α3

        (3)改造特征向量

                  a. 如λi  ≠  λj 只需要单位化

                  b. 如λi  =  λj

                           若(αi, αj) = 0,如需单位化

                           若(αi, αj) ≠ 0,施密特正交化

                  最终得到改造好的特征向量γ1、γ2、γ3两两垂直且都是单位向量

        (4)构造正交矩阵

               Q = (γ1, γ2, γ3)

               

    二、二次型

    1、二次型及其矩阵表示

                                                                                 

    二次型的矩阵必定是实对称矩阵即 

    2、标准型:只有平方项没有混合项的二次型

    3、规范性: 平方项系数为1、-1或0的标准型

    4、正惯性指数:标准型的正平方项个数

         负惯性指数:标准型的负平方项个数

    5、二次型的秩:即二次型矩阵的秩

         r(f) = r(A)

     6、坐标变换

         

    其中 |C|≠0,即矩阵C一定要可逆,才是坐标变换

    7、合同  如,其中C为可逆矩阵,称矩阵A和B合同,记做,合同的性质:

        1. 

        2.如果,则

        3.如果,则

       合同是为了研究实对称矩阵、二次型而引入的,对一般的非实对称矩阵做合同变换意义不大。

     

    下面说明为什么 使用正交矩阵对二次型相似对角化可以将 二次型图像不改变形状的前提下 使其居正:

    如果C为正交阵,且,(即C矩阵中的每个列向量都是A矩阵的特征向量,A矩阵可以用C矩阵进行相似对角化):

    1.图形居正:

        如果C矩阵只是A矩阵的普通的特征向量组成的矩阵,那么仍然成立,但是,不一定成立,但是由于C矩阵不仅是特征向量组成的矩阵,而且是两两垂直的单位特征向量组成的矩阵,即正交阵,所以,所以一定成立,所以C矩阵进行坐标变换后,x=Cy后,

    由上式可知,经过C坐标变换之后,系数阵为对角阵,即二次型只剩下平方项系数,故图形居正;

    2.图形形状不变:

        C为正交阵,每个列向量之间相互垂直,且模长为1,x=Cy变换后只改变平面所有向量的方向,不改变长度,即x=Cy为围绕坐标原点的单纯的旋转变换,故不改变图形形状。

     

    定理 :对任意都  坐标变换x=Cy,使

      证明思路1: 因为A为实对称矩阵, 所以必定可以 用正交阵相似对角化, 所以坐标变换的C取此正交阵即可,当然C是不唯一的,也可以用配方法取得。

    定理: (惯性定理)对一个二次型经坐标变换为标准型,其正惯性指数和负惯性指数,都是唯一确定的

    三、二次型正定

     

    恒有,则成 f 为正定二次型, A为正定二次型矩阵。

    正定(充要条件)

     p=n (p为正惯性指数,n为矩阵A的阶数)

    ,  即 可逆矩阵C,使

    A特征值,全大于0

    (证明思路,相似对角化变换,无论变换的矩阵是哪一个(不唯一),只要矩阵中特征向量的顺序相同,结果都一样(即特征值分布在对角线上的对角阵),且这些矩阵中肯定有一个是正交阵,即 A合同于以特征值为对角线的对角阵,根据惯性定理,特征值全大于零,所以正惯性指数 = n,二次型正定)

    A的顺序主子式全大于0

     

     

    正定(必要条件)

     A矩阵的对角线上的元素全大于0,即 

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空空如也

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