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  • 本博文源于matlab基础,主要讲述已知随机变量分布期望还有已知随机变量的概率密度期望与方差

    本博文源于matlab基础,主要讲述已知随机变量分布律求期望还有已知随机变量的概率密度求期望与方差。

    例子:设随机变量X的分布律如下表所示:

    X1030507090
    Pk1/21/31/361/121/18

    拿到题目就是随机变量乘以分布律求和即可。

    >> x=[10 30 50 70 90];
    >> p=[1/2,1/3,1/36,1/12,1/18];
    >> EX=sum(x.*p)
    
    EX =
    
       27.2222
    
    >> 
    

    例子:设随机变量X的概率密度为:

             1/2cos(x/2)         0<=x<=pai
    f(x)=   0                       其他
    
    

    求随机变量X的期望与方差,值得注意的是代码中int函数是求积分的函数
    在这里插入图片描述
    希望大家熟悉,就可以理解matlab代码如何书写了。

    >> syms x
    >> fx = 1/2 * cos(x/2);
    >> EX = int(x*fx,x,0,pi)
     
    EX =
     
    pi-2
     
     
    >> E2X=int(x^2*fx,x,0,pi);
    >> DX = E2X - EX^2
     
    DX =
     
    pi^2-8-(pi-2)^2
     
     
    >> 
    
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  • 径向分布函数

    万次阅读 热门讨论 2018-10-14 17:22:15
    径向分布函数RDF实现算法 RDF实现算法 RDF是径向分布函数的Radical distribution function的缩写,指的是给定一个空间,在此空间以一个对象为中心,去寻找周围对象的的概率。对于分子模拟的径向分布函数实则也是求解...

    径向分布函数

    RDF实现算法

    RDF是径向分布函数的Radical distribution function的缩写,指的是给定一个空间,在此空间以一个对象为中心,去寻找周围对象的的概率。对于分子模拟的径向分布函数实则也是求解粒子在周期性边界盒子的区域密度和全局密度的比值。
    区域密度实则就是每一个球壳的数密度/球壳体积
    全局密度实则就是盒子里面的粒子总数/盒子的体积

    首先我们需要知道空间每一个粒子的坐标,即xyz坐标;然后选定盒子的几何中心为研究中心,则通过去计算已知i原子得到j原子的概率。算法核心在于如何寻找每一个球壳层的粒子数目。
    C++代码演示RDF核心算法如下:

    void Calculaterdf()
    {//初始化参数
    	int num=molecules.size() ;                         %分子数目
    	double global_rho=num/a_length*b_length*c_length;  %全局密度
    	double ix,iy,iz;                                   % i分子的xyz坐标
    	double jx,jy,jz;                                   %j分子的xyz坐标
    	double dx,dy,dz;                                   %相邻分子对的xyz差值
    //遍历计算
      for(int i=0;i<num;i++)
      {
    	%遍历以i分子为中心找j的分子的概率
        ix=molecules[i]->molecule_x;         
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  • 随机变量的分布函数

    千次阅读 2018-09-23 23:44:13
    分布函数的定义: ...由定义可知,分布函数F(x)F(x)F(x)是一个定义在实数轴上的普通函数,它可以完整地描述随机变量的取值规律,也就是说,若已知随机变量的分布函数,则任意随机事件的概率就可以用分布函数...

    分布函数的定义
    X X X Ω \Omega Ω上的随机变量,对 ∀ x ∈ R \forall x \in R xR,函数 F ( x ) = P { X ≤ x } F(x)=P\{X \leq x\} F(x)=P{Xx}称为 X X X的分布函数。

    由定义可知,分布函数 F ( x ) F(x) F(x)是一个定义在实数轴上的普通函数,它可以完整地描述随机变量的取值规律,也就是说,若已知随机变量的分布函数,则任意随机事件的概率就可以用分布函数表示出来。

    随机变量 X X X的分布函数的基本性质
    (1)单调不减性。即 ∀ x 1 ≤ x 2 ∈ R , 有 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) \forall x_1 \leq x_2 \in R,有F(x_1) \leq F(x_2) x1x2RF(x1)F(x2)

    (2)有界性。即: 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \leq F(x) \leq 1 0F(x)1且有 F ( − ∞ ) = lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0 F()=xlimF(x)=0 F ( ∞ ) = lim ⁡ x → ∞ F ( x ) = 1 F(\infty)=\lim_{x \to \infty}F(x)=1 F()=xlimF(x)=1

    (3)右连续性。即对 ∀ x 0 ∈ R \forall x_0 \in R x0R有: F ( x 0 + 0 ) = F ( x 0 ) F(x_0 + 0) = F(x_0) F(x0+0)=F(x0) lim ⁡ x → x 0 + F ( x ) = F ( x 0 ) \lim_{x\to x_0^+}F(x) = F(x_0) xx0+limF(x)=F(x0)

    分布函数公式
    F ( x ) F(x) F(x)是随机变量 X X X的分布函数,对于 ∀ a &lt; b ∈ R \forall a &lt; b \in R a<bR,有:

    1. P ( X ≤ a ) = F ( a ) P(X \leq a)=F(a) P(Xa)=F(a)
    2. P ( X &lt; a ) = F ( a − 0 ) P(X &lt; a)=F(a-0) P(X<a)=F(a0)
    3. P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) − P ( X &lt; a ) = F ( a ) − F ( a − 0 ) P(X = a) = P(X \leq a) - P(X &lt; a) = F(a) - F(a-0) P(X=a)=P(Xa)P(X<a)=F(a)F(a0)
    4. P ( X &gt; a ) = 1 − P ( X ≤ a ) = 1 − F ( a ) P(X &gt; a)=1-P(X \leq a)=1-F(a) P(X>a)=1P(Xa)=1F(a)
    5. P ( X ≥ a ) = 1 − P ( X &lt; a ) = 1 − F ( a − 0 ) P(X \geq a)=1-P(X &lt; a) = 1-F(a-0) P(Xa)=1P(X<a)=1F(a0)
    6. P ( a &lt; X &lt; b ) = P ( X &lt; b ) − P ( X ≤ a ) = F ( b − 0 ) − F ( a ) P(a &lt; X &lt; b)=P(X &lt; b)-P(X \leq a)=F(b-0)-F(a) P(a<X<b)=P(X<b)P(Xa)=F(b0)F(a)
    7. P ( a ≤ X &lt; b ) = P ( X &lt; b ) − P ( X &lt; a ) = F ( b − 0 ) − F ( a − 0 ) P(a \leq X &lt; b)=P(X &lt; b) - P(X &lt; a)=F(b-0)-F(a-0) P(aX<b)=P(X<b)P(X<a)=F(b0)F(a0)
    8. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X &lt; a ) = F ( b ) − F ( a − 0 ) P(a \leq X \leq b)=P(X \leq b) - P(X &lt; a) = F(b) - F(a-0) P(aXb)=P(Xb)P(X<a)=F(b)F(a0)
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  • 概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x) “离散型随机变量”和“连续型随机变量” 离散型变量:所有取值可明确列举,如年龄、人数、房间个数等。 连续型变量:所有取值无法明确列举,如身高、长度、...

    概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

     

    离散型随机变量”和“连续型随机变量
    离散型变量:所有取值可明确列举,如年龄、人数、房间个数等。
    连续型变量:所有取值无法明确列举,如身高、长度、温度等。

    离散随机变量单值有概率,连续随机变量单值无概率
    对于离散型变量而言,可以用概率函数P(x)描述所有取值x的对应概率;
    而对于连续型变量而言,“取某个具体值的概率”的说法是无意义的,只能说“取值落在某个区间内的概率”,或“取值落在某个值领域内的概率”,因此对连续型变量提“概率函数”是不恰当的连续型随机变量取某些具体值的概率为零
    就好比说从所有的自然数中任取一个数,求这个数是1的概率?你想从所有的自然数中取一个,当然是有可能取到1的,但是自然数有无穷多个,因此取到1的概率可以认为是1/∞,因此就是0。类似的,连续型随机变量的取值是连续变化的,当然有无穷多,所以取到某个特定值的概率也为0。又例如扔飞镖,落在靶心的概率为0,虽然这是有可能发生的,因为靶盘上有无数个点。
    在连续型随机变量中:概率为0的事件是有可能发生的,概率为1的事件不一定必然发生。

    概率分布函数概率密度函数正是用于描述连续型变量的函数。

    概率分布:给出了所有取值及其对应的概率(少一个也不行),可见只对离散型变量有意义,例如:

    概率分布.png

     

    概率函数:用函数形式给出每个取值发生的概率,P(x)(x=x1,x2,x3,……),只对离散型变量有意义,实际上是对概率分布的数学描述。

    注意:概率分布和概率函数只对离散型变量有意义,那如何描述连续型变量呢?答案就是“概率分布函数”和“概率密度函数”。

    概率分布函数:给出取值小于某个值的概率,是概率的累加形式
    F(x)=P(xi<x)=sum(P(x1),P(x2),……,P(x))(对于离散型变量)或求积分(对于连续型变量,先不管积分的是啥)。且有如下性质:

    概率分布函数性质.png

     

    概率分布函数基本形状.png

     

    概率密度函数:给出了xi落在某值x邻域内的概率变化快慢,概率密度函数的值不是概率,而是概率的变化率,概率密度函数下面的面积才是概率。

    概率密度函数定义.png

     

    概率密度函数性质.png

     

    概率分布函数和概率密度函数之间的关系.png

     

    注意.png

     

    约定.png


    连续型变量概率、概率密度分布函数、概率密度函数之间的关系(以正太分布为例)如下图:
    对于正太分布而言,x落在u附近的概率最大,而F(x)是概率的累加和,因此在u附近F(x)的递增变化最快,即F(x)曲线在(u,F(u))这一点的切线的斜率最大,这个斜率就等于f(u)。X落在a和b之间的概率为F(b)-F(a),图中的红色小线段,而在概率密度曲线中是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示。

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  • R语言中之分布函数

    万次阅读 2017-08-11 23:50:20
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    用累积分布函数(CDF)计算期望
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