精华内容
下载资源
问答
  • 如果已知向量(n行1列)的协方差矩阵一个矩阵(m行n列)乘以之后的协方差矩阵。 根据协方差矩阵的定义可知,的协方差矩阵定义: 即中的项为: 假设 因此 因此向量的协方差矩阵中的项为: 根据协方差...

    如果已知向量\boldsymbol{e}(n行1列)的协方差矩阵,求一个矩阵\boldsymbol{A}(m行n列)乘以\boldsymbol{e}之后\boldsymbol{Ae}的协方差矩阵。

    根据协方差矩阵的定义可知,\boldsymbol{e}的协方差矩阵定义:

    c_{e}=\begin{bmatrix} cov(e_{1},e_{1}) & cov(e_{1},e_{2})& \hdots &cov(e_{1},e_{n}) \\ cov(e_{2},e_{1})& cov(e_{2},e_{2})& \hdots&cov(e_{2},e_{n}) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ cov(e_{n},e_{1})& cov(e_{n},e_{2})& \hdots& cov(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix}

    c_{e}中的(i,j)项为:

    cov(e_{i},e_{j})

    假设

    \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_{1}}^T\\ \boldsymbol{a_{2}}^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{a_{m}}^T \end{bmatrix}

    因此

    \boldsymbol{Ae}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_{1}}^T\boldsymbol{e}\\ \boldsymbol{a_{2}}^T\boldsymbol{e}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a_{m}}^T \boldsymbol{e}\end{bmatrix}

    因此向量\boldsymbol{Ae}的协方差矩阵中的(i,j)项为:

    cov(\boldsymbol{a_{i}}^T\boldsymbol{e},\boldsymbol{a_{j}}^T\boldsymbol{e})

    根据协方差定义

    cov(\boldsymbol{a_{i}}^T\boldsymbol{e},\boldsymbol{a_{j}}^T\boldsymbol{e})=E[(\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}-E(\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}))(\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}-E(\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}))]

    ===================================================

    现在,我们假设已知

    \boldsymbol{e} \sim N(0,\sigma^2\boldsymbol{I})

    也就是

    c_{e}=\begin{bmatrix} \sigma ^2 & 0& \hdots &0 \\ 0& \sigma ^2 & \hdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0& 0& \hdots& \sigma ^2 \end{bmatrix}=\sigma^2\boldsymbol{I}

    根据这个假设,我们很容易可知

    E(e_{i}e_{j})=\left\{ \begin{array}{lr} \sigma ^2, & i=j \\ 0, & i\neq j. \end{array} \right.

    那么

    cov(\boldsymbol{a_{i}}^T\boldsymbol{e},\boldsymbol{a_{j}}^T\boldsymbol{e})=E[(\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}-E(\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}))(\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}-E(\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}))]=E[\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}]

    因为

    \boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}=\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{a_j}

    因此,

    cov(\boldsymbol{a_{i}}^T\boldsymbol{e},\boldsymbol{a_{j}}^T\boldsymbol{e})=E[\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}\boldsymbol{a_j}^T\boldsymbol{e}]=E[\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{a_j}]=E[\boldsymbol{a_i}^T\sigma ^2 \boldsymbol{I}\boldsymbol{a_j}]=\sigma ^2\boldsymbol{a_i}^T\boldsymbol{a_j}

    因此,\boldsymbol{Ae}的协方差矩阵c_{Ae}

    c_{Ae}=\sigma^2\boldsymbol{AA^T}

    因为\boldsymbol{Ae}只是原来随机变量的线性组合,因此

     E(\boldsymbol{Ae})=\boldsymbol{0}

    且仍满足正态分布。

    所以:

    \boldsymbol{Ae} \sim N(0,\sigma^2\boldsymbol{A^TA})

     

    展开全文
  • 已知两个向量,其中一个向量由另一个旋转得到,他们的旋转矩阵。 Eigen::Matrix3d rotMatrix; Eigen::Vector3d vectorBefore(x, y, z) Eigen::Vector3d vectorAfter(a, b, c); rotMatrix = Eigen::...

    已知两个向量,其中一个向量由另一个旋转得到,求他们的旋转矩阵。

     

     

    Eigen::Matrix3d rotMatrix;
    Eigen::Vector3d vectorBefore(x, y, z)
    Eigen::Vector3d vectorAfter(a, b, c);
    
    rotMatrix = Eigen::Quaterniond::FromTwoVectors(vectorBefore, vectorAfter).toRotationMatrix();
    
    
    Eigen::Vector3d axi1Before(m, n, k);
    Eigen::Vector3d axi1After(0, 0, 0);
    axi1After = rotMatrix * axi1Before;
    

     

    展开全文
  • 已知随机变量X的协方差矩阵求去X的特征值 特征向量 PCA投影矩阵 相关的知识都忘记了,去查的时候没有耐心看别人长篇大论讲解,就只简单记录了一下如果从协方差矩阵来计算特征值和特征向量。 定义:1.特征值...

    已知随机变量X的协方差矩阵求去X的特征值 特征向量 PCA投影矩阵

    相关的知识都忘记了,去查的时候没有耐心看别人长篇大论讲解,就只简单记录了一下如果从协方差矩阵来计算特征值和特征向量。

    定义:1.特征值(lambda)*E与A相等。

               2.此处A直接用协方差矩阵即可,“用X的协方差矩阵求取的特征值和用X求取的是相等的”

               3.全程不必求X是什么,求得了特征值lambda后可以用 |lambdaE-A|*V=0 来求取特征向量V

                4.PCA的投影矩阵可以直接由特征向量组成。

    (纯记住了解题思路,送给着急复习不care为什么的朋友)      

    展开全文
  • 已知基础系反有效方程(矩阵)

    万次阅读 多人点赞 2016-10-17 19:26:39
    已知基础系反求矩阵这个是很有趣的推导过程,原理需要弄清楚。 即:已知Ax = 0的基础系,由Ax = 0的系数行向量解向量的关系可以反过来求解A. 具体推导如下: 齐次方程组: ⎧⎩⎨⎪⎪a11x1+a12x2+a13x3+...+...

    已知基础解系反求有效方程(矩阵)

    @(数学)

    这个是很有趣的推导过程,原理需要弄清楚。

    即:已知Ax = 0的基础解系,由Ax = 0的系数行向量与解向量的关系可以反过来求解A.

    具体推导如下:

    齐次方程组:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=0................................an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=0

    有解 βi=[bi1,bi2,bi3,bi4,...,bin]T ,即:
    ai1bi1+ai2bi2+ai3bi3+...+ainbin=0

    αi=[ai1,ai2,ai3,...,ain] ,上面的式子可以转化为:
    αiβi=0
    转置可得: βTiαT=0 , β
    也即: βTiAT=0
    这个式子的解读为:以基础解系 βi 构成转置矩阵为该系数矩阵,该方程组的解( AT 列向量)即为A的行向量。注意到解向量一般是列向量,这里恰好对应的是A的转置,也即求得的解向量即为A的行向量。

    简单运用起来就是,把基础解系的线性无关向量,写成行向量,往下排起来,组成一个矩阵B,则去解 Bx=0 ,得到的基础解系恰好是待求的A的行向量。

    此外,更好的从第一原理推导的思路不是从完全展开思考。而是从 Ax=0 着手。比如假定 Ax=0 有i个基础解系: β1,β2,...,βi 。则:

    Aβ1=0;Aβ2=0;Aβ3=0;...Aβi=0;

    即: A(β1,β2,...,βi)=0

    现在已知基础解系,则把基础解系的组成的矩阵拿到A的左边,就可以用我们比较喜欢用的初等行变换思考了。按照上面的列式,实际上可以直接进行初等列变换求解。但是不常用。

    那么,只用注意到分块矩阵的转置是公转自转一起来,就很容易可以得到:

    βT1βT2...βTiAT=0

    和上面得到的结论一致。注意我写的字母不一定完全一致。

    上面是抽象的部分,下面是实际的应用,更加容易理解掌握。

    已知两个方程四个未知量的齐次线性方程组的通解为 X=k1[1,0,2,3]T+k2[0,1,1,1]T ,求原齐次线性方程。

    一般来说,一个过程的逆过程往往是好解的,因为只需要过程逆向即可。但也有一部分需要换新的思路才能回去。本篇中出现的逆过程实际上是新的思路。

    解:不妨令 ξ1=[1,0,2,3]T,ξ2=[0,1,1,1]T
    于是问题转成 A[ξ1,ξ2]=0,[ξ1,ξ2]TAT=0 ,变成以 [ξ1,ξ2]T 为系数矩阵的方程解的问题求解。

    这里是具体的数,可以不用管“公转自转的问题,即:

    [ξT1ξT2]AT=0

    公转:宏观的行变列,具体的行内部也转置。

    [10012131]AT=0

    通常系数矩阵的右部是一个向量,这里的右部是多个向量,只需要对 AT 列分块就是一样的了。

    因此我们只需要求得:

    [10012131]y=0

    得出:
    y1=[2,1,1,0]T,y2=[3,1,0,1]T

    解向量是列向量,对应的是A的行向量。因此:
    A=[23111001]

    由此可写出原方程组:

    {2x1+x2+x3=03x12x2+x4=0

    The End

    展开全文
  • 高数 向量矩阵回顾

    万次阅读 2019-10-22 11:39:49
    如果是矩阵的加法和数乘运算,就称为矩阵的线性运算;如果是向量的加法和数乘运算,统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式,它们满足交换律、结合律、分配律等。 2、隐函数:可以转为显函数如,...
  • 计算向量旋转矩阵的代码

    热门讨论 2010-10-15 00:28:15
    这是一个MATLAB代码。输入参数为两组不同坐标系中的向量,通过计算实现两组向量之间的旋转。组后将旋转矩阵进行分解出三个旋转角。
  • 根据旋转前后的向量旋转矩阵

    千次阅读 2014-02-27 12:30:38
    根据旋转前后的向量旋转矩阵 如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该如何这个旋转矩阵呢?本篇结合Rodrigues' rotation formula,介绍一下该旋转矩阵法。 1.旋转角度 已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q...
  • 已知伴随矩阵矩阵

    千次阅读 2020-11-08 23:18:36
    设原矩阵为 AAA ,逆矩阵为 A−1A^{-1}A−1 ,伴随矩阵为 A∗A^*A∗,则有: A=∣A∗∣n−1(A∗)−1 A=\sqrt[n-1]{| A^*|}(A^*)^{-1} A=n−1∣A∗∣​(A∗)−1
  • 颜庆津版数值分析编程作业,C语言(少量C++语法)实现矩阵的QR分解法迭代求矩阵的全部复数格式特征值,先对矩阵进行拟上三角化再迭代,迭代出全部特征值后使用列主元素高斯消元法出所有实特征值对应的特征向量
  • 如何求矩阵的特征值和特征向量

    千次阅读 2020-10-30 16:41:47
    直接举一个例子:下面矩阵M的特征值和特征向量。 M=[460−3−50−3−61] M =\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix} M=⎣⎡​4−3−3​6−5−6​...
  • MATLAB中求矩阵的特征值和特征向量

    千次阅读 2020-09-09 14:58:50
    矩阵特征值的数学定义 设A是n阶方阵,如果存在常数λ和n维非零列向量x,...eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E. [X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量。 ...
  • 深入整理了雅克比方法求解特征值和特征向量,包括公式推导,最后介绍了opencv中的算法流程和实现。
  • OpenGL ES系列一--向量矩阵

    千次阅读 2018-01-18 08:09:55
    OpenGL ES之向量矩阵 OpenGL ES是一个很强大的库,可以绘制各种酷炫的3D图形,既然涉及到3D图形,那么跟3D数学肯定是脱离不了关系的,在我们正式进行OpenGL ES之前,我们需要先搞清楚一些数学上的东西,这样在你...
  • 本博客对应我博客中的多变量微积分目录下的第一章,向量矩阵。 1.向量矩阵(Vectors and Matrices)——开启多变量函数和多变量微积分大门的钥匙 在单变量微积分中用得最多的应该只是坐标,如果想要进入三维的...
  • 经典jacobi法 求矩阵的全部特征值与特征向量
  • 2.2.1 向量的建立及拆分 1.向量的创建 (1)直接输入。 行向量:a=[1,2,3,4,5] 列向量:a=[1;2;3;4;5] ps:二者的区别,两者构造的向量是不一样的,它们的表现形式也是不一样的。 (2)用“:”生成向量。 1> a=J...
  • 矩阵特征值和特征向量

    万次阅读 2018-10-11 22:39:53
    最近项目中有一个模块需要求矩阵的最大特征值和特征值对应的特征向量,无奈,又重新将以前学习的这方面的知识重新温习了一遍,感觉还是当时学的不够深,所以谢谢感悟,顺便对知识点进行一个总结。 首先特征值和特征...
  • 本节主要知识点 1.特征向量与特征值的定义:A为n阶方阵,x为非...特征向量:对A的每一个特征值,齐次线性方程组(A-λI)x=0,得到基础系,求得特征向量。 3.相似矩阵:A左乘以P的逆矩阵,右乘P的结果若等于B...
  • 读ARToolKit源码,有一个函数始终不解,论文中也未提及,如下所示该函数算法流程,请问能否知道该算法的名字,或者能否简单描述下该算法,让我有个思路。谢谢了。 ![图片说明]...!...!...
  • 在做双目立体视觉深度图像生成的时候,遇到旋转向量(1x3)与旋转矩阵(3x3)的概念,得知二者可以通过罗德里格斯相互转化。 1.旋转的表示 处理三维旋转问题时,通常采用旋转矩阵的方式来描述旋转变换。旋转矩阵有...
  • opengl 法向量变换矩阵推导

    千次阅读 2016-05-08 22:28:52
    然而,法向量和顶点一样,每个变换矩阵不完全一样,不能简单地乘以 GL_MODELVIEW 就可以了。例如顶点vertex(0,0,0)的法向量vector(1,0,0),如果 GL_MODELVIEW 矩阵仅仅沿着y轴平移两个单元,那么顶点坐标变成了(0,...
  • 第一节 向量的内积 一.数学概念 1. 内积:设有n维向量   令 , 则称[x,y]为向量x与y的内积。 2. 范数:称 为向量x的范数(或长度)。 3. 单位向量:称 时的向量x为单位向量。 4. 当 , 时,称   为向量x...
  • 数学基础(向量矩阵

    千次阅读 2018-11-09 21:58:31
    为了深入了解变换,我们首先要在讨论矩阵之前进一步了解一下向量。这一节的目标是让你拥有将来需要的最基础的数学背景知识。如果你发现这节十分困难,尽量尝试去理解它们,当你以后需要它们的时候回过头来复习这些...
  • Matlab对向量或者矩阵进行随机排列

    千次阅读 2017-07-20 08:52:56
    输入:5X5矩阵 输出:3X5 矩阵,其中该三行数据来自于数据的前三行的随机排列 方法:(1)使用randperm生成随机序列;(2)以随机序列为index,重新组织输入矩阵中的数据 >> a=[1 1 1 0 0;0 0 0 1 1;0 1 0 1 0;1 ...
  • 稀疏表达:向量矩阵与张量

    千次阅读 2013-10-23 11:21:31
    参照向量的范数,同样可以定义矩阵的0范数,并将其松弛到矩阵的1范数的优化问题。 2. 矩阵奇异值的稀疏性,即矩阵奇异值中非0元的个数(即矩阵的秩)相对较少。仿照向量情况下0范数与1范数的关系,同样可以将其...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 37,219
精华内容 14,887
关键字:

已知解向量求矩阵