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  • 推导前置:两之间距离公式 图一: 已知AB两坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。 过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行,两直线交点为C。 则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴) 则三角形ACB为直角三角形 由勾股...

    推导前置:两点之间距离公式

    图一:
    在这里插入图片描述
    已知AB两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。
    过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行,两直线交点为C。
    则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴)
    则三角形ACB为直角三角形
    由勾股定理得
    A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 AB2=AC2+BC2

    A B = A C 2 + B C 2 AB=\sqrt{AC^2+BC^2} AB=AC2+BC2

    已知直线方程:

    一般式
    A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0
    点斜式
    ( y 1 − y 2 ) ( x 1 − x 2 ) = k \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k (x1x2)(y1y2)=k

    过P(x0,y0)作直线L的垂线Li,垂足为D(x,y),p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d
    在这里插入图片描述

    由一般式直线方程可知,直线L的斜率为:-
    k = − A B k=-\frac{A}{B} k=BA

    由于两线垂直斜率乘积为-1,所以垂线Li的斜率为:
    k i = B A ki=\frac{B}{A} ki=AB

    代入点斜式直线方程:

    y 0 − y x 0 − x = B A \frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A} x0xy0y=AB

    即得到直线方程二:
    B x − A y + A y 0 − B x 0 = 0 Bx-Ay+Ay0-Bx0=0 BxAy+Ay0Bx0=0

    通过一般式可知:
    x = − ( c + B y ) A x=\frac{-(c+By)}{A} x=A(c+By)

    y = − ( c + A x ) B y=\frac{-(c+Ax)}{B} y=B(c+Ax)

    代入直线方程二

    B x + A C + A 2 ∗ x B + A y 0 − B x 0 = 0 Bx+\frac{AC+A^2*x}{B}+Ay0-Bx0=0 Bx+BAC+A2x+Ay0Bx0=0

    计算得到D(x,y)的坐标为:

    x = B 2 ∗ x 0 − A B y 0 − A C B 2 + A 2 x=\frac{B^2*x0-ABy0-AC}{B^2+A^2} x=B2+A2B2x0ABy0AC

    y = A 2 ∗ y 0 − A B x 0 − B C B 2 + A 2 y=\frac{A^2*y0-ABx0-BC}{B^2+A^2} y=B2+A2A2y0ABx0BC

    x − x 0 = − A ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} xx0=B2+A2A(Ax0+By0+C)

    y − y 0 = − B ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} yy0=B2+A2B(Ax0+By0+C)

    根据推导前置图一勾股定理可知:

    d 2 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 d2=(xx0)2+(yy0)2

    所以代入x-x0,y-y0得到:
    d 2 = ( − A ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 + ( − B ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2} d2=(B2+A2))2(A(Ax0+By0+C)+(B2+A2))2(B(Ax0+By0+C)

    d 2 = A 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 + B 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2A2(Ax0+By0+C)2+(B2+A2)2B2(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A 2 + + B 2 ) ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2(A2++B2)(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) d^2=\frac{(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)} d2=(B2+A2)(Ax0+By0+C)2

    得出点到直线距离公式为:

    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 Ax0+By0+C

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    谈“点到直线距离公式”的向量推导方法
    贵州省黄平县旧州中学 杨胜万

      在人教大纲版高二数学上册中, 关于点到直线距离公式的推导方法, 教材介绍了两种推导方法, 并 详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法,除上述方法之外,还有其它很多方法, 在这些方法中,向量法(利用平面向量的有关知识来推导的方法)是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到 直线的距离的具体过程,以供同行参考:

    已知直线 和点 为点 到直线 的距离。现不妨设 ,则直线 的斜率为 ,其方向向量为 ,从而易知其法向量 ,又设点 为直线 上的任一点(如图所示),于是有:

    由平面向量的有关知识,可得:

    显然,当 时,上述公式仍成立。

    上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式,这是一种比较重要有数学思想方法。我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中,如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。

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    求点C(X0,Y0) 到 点A(x1,y1)和点B(x2,y2)所在直线的距离

    1.已知任意两个点,求这两个点所在直线

          已知点A(x1,y1),点B(x2,y2)

          设直线上另外任意一个点为(x,y)

          那么  (x-x1)/(y-y1) = (x2-x1)/(y2-y1); 

         整理后得方程: (y2-y1)x + (x1-x2)y + (y1-y2)x1 +(x2-x1)y1 = 0;

        

    2. 已知一条直线Ax+By+C=0和一个点C(X0,Y0),求这个点到直线的距离

        点到直线的距离公式为:  (AXo+BYo+C)的绝对值除以根号下(A的平方加上B的平方)

       带入公式为: |(y2-y1)X0+ (x1-x2)Y0+ (y1-y2)x1 +(x2-x1)y1 |/sqrt((y2-y1)*(y2-y1)+ (x1-x2)* (x1-x2));

     转化为代码:Mathf.Abs((y2-y1)X0+ (x1-x2)Y0+ (y1-y2)x1 +(x2-x1)y1 )/Mathf.Sqrt((y2-y1)*(y2-y1)+ (x1-x2)* (x1-x2)); 

    using UnityEngine;
    using System.Collections;
     
    public class test : MonoBehaviour {
     
        private Vector2 A = new Vector2(0,1);
        private Vector2 B = new Vector2(1,0);
        private Vector2 C = new Vector2(0,0);
     
        void Start () {
            float length = Mathf.Abs((B.y-A.y)*C.x + (A.x-B.x)*C.y+(B.x-A.x)*A.y+(A.y-B.y)*A.x)/Mathf.Sqrt((B.y-A.y)*(B.y-A.y)+(A.x-B.x)*(A.x-B.x));
    		Debug.Log("距离为" + length.ToString());
        }
        
    }

     

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已知点到直线距离公式