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  • 布尔代数有称逻辑代数,在图形图像中有着广泛的应用 本文用通俗易懂的语言,介绍了布尔代数在此领域的简单应用
  • 阐述了三电平空间矢量脉宽调制( SVPWM)的原理,将 泛布尔代数应用于 SVPWM算法中,利用泛布尔代数将其化简并转化为逻辑表达式,简化了分析难度,并为进 一步的仿真研究和实际电路设计提供了逻辑基础;给出了具体的算法...
  • 选择题1(5 分 )、下列关于计算机外部设备的说法哪一个是不正确的()。A、计算机外部设备的扩展成本极有可能远远超出主机价格B、现在火热的 VR设备属于典型的显示输出设备C、计算机上有些软件必须结合相应的外部设备...

    选择题

    1(5 分 )、

    下列关于计算机外部设备的说法哪一个是不正确的()。

    A、计算机外部设备的扩展成本极有可能远远超出主机价格

    B、现在火热的 VR设备属于典型的显示输出设备

    C、计算机上有些软件必须结合相应的外部设备才能运行

    D、计算机外部设备同样要遵循相应的接口标准

    参考答案: B

    2(5 分 )、

    信息载体的人为指派这种行为以下说话哪一个是正确的()。

    A、在信息采集到人的大脑后,由人来指派信息的物质载体

    B、信息本体仍旧需要与信息载体发生直接的相互作用

    C、自动化的信息处理机器在处理信息的过程中不需要人为指派这种行为发生

    D、人为指派信息载体后,信息载体必须由人工改变状态

    参考答案: A

    3(5 分 )、

    21 世纪往往被人们称之为()时代。

    A、农业时代

    B、工业时代

    C、机械时代

    D、信息时代

    参考答案: D

    4(5 分 )、

    下列有关于计算机器采用的进制方面的说法哪一个是不正确的()。A、采用较低

    基的进制需要的信息载体的状态越少B、二进制算盘比十进制算盘要复杂

    C、电子数字式计算机比如ENIAC采用的就有十进制

    D、采用非十进制工作方式的计算机器往往在输入输出端为了方便使用要进行进制转换

    参考答案: B

    5(5 分 )、

    下列关于总线的说法哪一个不正确()。

    A、总线一般不能够被控制

    B、总线的主要作用就是信息往来的通道

    C、总线一般都要遵循一定的标准来实现

    D、总线不仅仅就是整机机箱内,也能够延伸很长,与物理距离较远的设备通讯参考答案:A

    6(5 分 )、

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  • 目前,它可以列出和等于公式的真值表,并应用一些布尔代数定理来操纵这些公式。 目标 最终目标是拥有一个命令行实用程序或解析器,它可以检查和显示布尔公式的减少量。 这样的会话可能看起来像: (B+(BC)) (B + 0...
  • 布尔代数

    2009-08-06 15:08:00
    所谓一个布尔代数,是指一个有序的四元组〈B,∨,∧,*〉,其中B是一个非空的集合,∨与∧是定义在B上的两个二元运算,*是定义在B上的一个一元运算,并且它们满足一定的条件。 布尔代数由于缺乏物理背景,所以研究...

    英国数学家G.布尔为了研究思维规律(逻辑学数理逻辑)于1847和1854年提出的数学模型。此后R.戴德金把它作为一种特殊的格。所谓一个布尔代数,是指一个有序的四元组〈B,∨,∧,*〉,其中B是一个非空的集合,∨与∧是定义在B上的两个二元运算,*是定义在B上的一个一元运算,并且它们满足一定的条件。

      布尔代数由于缺乏物理背景,所以研究缓慢,到了20世纪30~40年代才有了新的进展,大约在 1935年, M.H.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系,他还得到了现在所谓的斯通表示定理:任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域;任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等,这使布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代数在代数学(代数结构)、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用;1967年后,在数理逻辑的分支之一的公理化集合论以及模型论的理论研究中,也起着一定的作用。近几十年来,布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用。

      1835年,20岁的乔治·布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程,他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久,他就感到惊讶,这些东西就是数学吗?实在令人难以置信。于是,这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉,在孤独的研究中,他首先发现了不变量,并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后,布尔仍然留在小学教书,但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信,其中有数学家、逻辑学家德·摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论,布尔知道摩根是对的,于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告,它一问世,立即激起了摩根的赞扬,肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数,即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中,适当的材料上的“推理 ”,成了公式的初等运算的事情,这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样,就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善,布尔在此后6年的漫长时间里,又付出了不同寻常的努力。1854年,他发表了《思维规律》这部杰作,当时他已39岁,布尔代数问世了,数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样,布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西,他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。20世纪初,罗素在《数学原理》中认为,“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”此说一出,立刻引起世人对布尔代数的注意。今天,布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。

      在离散数学中,布尔代数(有时叫布尔格)是有补分配格(可参考格的定义)可以按各种方式去认为元素是什么;最常见的是把它们当作一般化的真值。作为一个简单的例子,假设有三个条件是独立的为真或为假。布尔代数的元素可以接着精确指定那些为真;那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集,和与之在一起的组合它们的方式。

      有时也被称为布尔代数的一个相关主题是布尔逻辑,它可以被定义为是所有布尔代数所公有的东西。它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成,而不管你具体的那个布尔代数。因为逻辑门和某些电子电路的代数在形式上也是这样的,所以同在数理逻辑中一样,布尔逻辑也在工程和计算机科学中研究。

      在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。代数结构要是布尔代数,这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假))。

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  • 布尔代数与网页搜索

    2013-12-06 17:47:33
    网页搜索和布尔代数 借用百科布尔代数内容如下: 基本理论 在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。 代数结构要是布尔代数,这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)...

    网页搜索和布尔代数


    借用百科布尔代数内容如下:

    基本理论

    在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。
    代数结构要是布尔代数,这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假))。亦称逻辑代数.

    与:只有两个值都是true时结果才为true
    或:只要有一个为true结果就为true
    非:取相反值


    参考《数学之美》
    现在我们看看文献检索和布尔运算的关系。对于一个用户输入的关键词,搜索引擎要判断每篇文献是否含有这个关

    键词,如果一篇文献含有它,我们相应地给这篇文献一个逻辑值 -- 真(TRUE,或 1),否则,给一个逻辑值 -- 假

    (FALSE,

    或0)。比如我们要找有关原子能应用的文献,但并不想知道如何造原子弹。我们可以这样写一个查询语句“原子能

    AND 应用 AND (NOT 原子弹)”,表示符合要求的文献必须同时满足三个条件:

    - 包含原子能

    - 包含应用

    - 不包含原子弹

    一篇文献对于上面每一个条件,都有一个 True 或者 False 的答案,根据上述真值表就能算出每篇文献是否是要找

    的。



    早期的文献检索查询系统大多基于数据库,严格要求查询语句符合布尔运算。今天的搜索引擎相比之下要聪明的多

    ,它自动把用户的查询语句转换成布尔运算的算式。当然在查询时,不能将每篇文献扫描一遍,来看看它是否满足

    上面三个条件,因此需要建立一个索引。



    最简单索引的结构是用一个很长的二进制数表示一个关键字是否出现在每篇文献中。有多少篇文献,就有多少位数

    ,每一位对应一篇文献,1 代表相应的文献有这个关键字,0

    代表没有。比如关键字“原子能”对应的二进制数是0100100001100001...,表示第二、第五、第九、第十、第十六

    篇文献包含着个关键字。注意,这个二进制数非常之长。同样,我们假定“应用”对应的二进制数是

    0010100110000001...。那么要找到同时包含“原子能”和“应用”的文献时,只要将这两个二进制数进行布尔运算

    AND。根据上面的真值表,我们知道运算结果是0000100000000001...。表示第五篇,第十六篇文献满足要求。



    注意,计算机作布尔运算是非常非常快的。现在最便宜的微机都可以一次进行三十二位布尔运算,一秒钟进行十亿

    次以上。当然,由于这些二进制数中绝大部分位数都是零,我们只需要记录那些等于1的位数即可。于是,搜索引擎

    的索引就变成了一张大表:表的每一行对应一个关键词,而

    每一个关键词后面跟着一组数字,是包含该关键词的文献序号。



    对于互联网的搜索引擎来讲,每一个网页就是一个文献。互联网的网页数量是巨大的,网络中所用的词也非常非常

    多。因此这个索引是巨大的,在万亿字节这个量级。早期的搜索引擎(比如 Alta Vista

    以前的所有搜索引擎),由于受计算机速度和容量的限制,只能对重要的关键的主题词建立索引。至今很多学术杂

    志还要求作者提供 3-5

    个关键词。这样所有不常见的词和太常见的虚词就找不到了。现在,为了保证对任何搜索都能提供相关的网页,所

    有的搜索引擎都是对所有的词进行索引。为了网页排名方便,索引中还需存有大量附加信息,诸如每个词出现的位

    置、次数等等。因此,整个索引就变得非常之大,以至于不可

    能用一台计算机存下。大家普遍的做法就是根据网页的序号将索引分成很多份(Shards),分别存储在不同的服务器

    中。每当接受一个查询时,这个查询就被分送到许许多多服务器中,这些服务器同时并行处理用户请求,并把结果

    送到主服务器进行合并处理,最后将结果返回给用户。



    不管索引如何复杂,查找的基本操作仍然是布尔运算。布尔运算把逻辑和数学联系起来了。它的最大好处是容易实

    现,速度快,这对于海量的信息查找是至关重要的。它的不足是只能给出是与否的判断,而不能给出量化的度量。

    因此,所有搜索引擎在内部检索完毕后,都要对符合要求的网

    页根据相关性排序,然后才返回给用户。




    其实布尔运算只是在搜索方面的一个应用,在电路电子方面有更多的应用(例如开关电路)
    而对于我们程序员来说最常用的也是这个布尔代数,因为我们程序中需要大量的逻辑判断(与,或,非)
    再例如我们知道的bloomfilter,不也是按位布尔操作进行的与吗

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  • 【DM】布尔代数

    2021-04-19 08:41:35
    布尔代数到布尔函数再到搜索引擎
    • 在《格:偏序格与代数格》中已经基本介绍了格作为偏序集合和代数系统各自是如何定义的,以及具有特殊性质的格:分配格、有补格以及综合两者的有补分配格
    • 有补分配格也被称为布尔格,定义一元运算 —— 补 ′ ' ,即可得到布尔代数: < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1

    布尔代数.

    • 定义】给定代数系统 < B , ∗ , ⊕ > \big<B,*,\oplus\big> B,,,其中 ∗ , ⊕ *,\oplus , 是定义在 B B B 上的二元运算,如果对于任意的 a , b , c ∈ B a,b,c\in B a,b,cB,都有下面四条性质成立: a ∗ b = b ∗ a   ;   a ⊕ b = b ⊕ a a*b=b*a~;~a\oplus b=b\oplus a ab=ba ; ab=ba a ∗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ∗ ( a ⊕ c )   ;   a ⊕ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ⊕ ( a ∗ c ) a*(b\oplus c)=(a\oplus b)*(a\oplus c)~;~a\oplus(b*c)=(a*b)\oplus(a*c) a(bc)=(ab)(ac) ; a(bc)=(ab)(ac) a ∗ 1 = 1   ;   a ⊕ 0 = a a*1=1~;~a\oplus0=a a1=1 ; a0=a ∃   a ′ ∈ B , a ∗ a ′ = 0   ;   a ⊕ a ′ = 1 \exist~a'\in B,a*a'=0~;~a\oplus a'=1  aB,aa=0 ; aa=1那么我们称代数系统 < B , ∗ , ⊕ > \big<B,*,\oplus\big> B,,布尔代数.

    • 】设 B = { 0 , 1 } B=\{0,1\} B={0,1},运算 ∗ , ⊕ , ′ *,\oplus,' ,, 由下面三表格定义:
    *01
    000
    101
    ⊕ \oplus 01
    001
    111
    a a a a ′ a' a
    01
    10
    • 上述代数 < { 0 , 1 } , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<\{0,1\},*,\oplus,',0,1\big> {0,1},,,,0,1 能够满足布尔代数的定义要求,它是一个二元素布尔代数,二元素布尔代数是哈斯图为链的唯一布尔代数。

    • 】给定非空集合 S S S ρ ( S ) \rho(S) ρ(S) 为其幂集,那么代数 < ρ ( S ) , ⋂ , ⋃ , ¬ , Φ , S > \big<\rho(S),\bigcap,\bigcup,\neg,\Phi,S\big> ρ(S),,,¬,Φ,S 能够满足布尔代数的定义,基于其特殊性,我们将其命名为集合代数。根据集合与其幂集之间的关系,我们知道如果 ∣ S ∣ = N \big|S\big|=N S=N,那么 ∣ ρ ( S ) ∣ = 2 N . \big|\rho(S)\big|=2^N. ρ(S)=2N. 下图是集合势分别为 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 时上述布尔代数的哈斯图,其偏序关系为 ⊆ . \subseteq. .
      在这里插入图片描述
    • 稍后我们会看到上述布尔代数对于有限布尔代数的重要意义。

    子布尔代数.

    • 布尔代数作为代数系统,可以使用代数系统中的抽象代数研究方法进行更多性质的发现,例如给定布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1,如果 S ⊆ B S\subseteq B SB、对于运算 ∗ , ⊕ , ′ *,\oplus,' ,, 封闭并且 0 , 1 ∈ S 0,1\in S 0,1S,那么我们称代数 < S , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<S,*,\oplus,',0,1\big> S,,,,0,1 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1子布尔代数.

    • 实际检测子集 S S S 对应的代数系统是否为子布尔代数,只需要验证该子集关于运算 { ∗ , ′ } \{*,'\} {,} { ⊕ , ′ } \{\oplus,'\} {,} 是否封闭即可。
    • 因为: a ⊕ b = ( a ′ ∗ b ′ ) ′ a\oplus b = \big(a'*b'\big)' ab=(ab) a ∗ a ′ = 0   ;   ( a ∗ a ′ ) ′ = 1 a*a'=0~;~\big(a*a'\big)'=1 aa=0 ; (aa)=1 { ∗ , ′ } \{*,'\} {,} 封闭为例, ∀   a , b ∈ S \forall~a,b\in S  a,bS,则有: a ′ , b ′ ∈ S a',b'\in S a,bS a ∗ a ′ = 0 ∈ S   ;   ( a ∗ a ′ ) ′ = 1 ∈ S a*a'=0\in S~;~\big(a*a'\big)'=1\in S aa=0S ; (aa)=1S ( a ′ ∗ b ′ ) ′ = ( a ⊕ b ) ∈ S \big(a'*b'\big)'=\big(a\oplus b\big)\in S (ab)=(ab)S即由 S S S 关于 { ∗ , ′ } \{*,'\} {,} 封闭能够推导出它关于 ⊕ \oplus 封闭,并且 0 , 1 ∈ S . 0,1\in S. 0,1S.

    • 定理】布尔代数的任一子代数都是布尔代数。
    • 定理】两个布尔代数的积代数是布尔代数。

    • 我们记 A 2 = < { 0 , 1 } , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > A_2=\big<\{0,1\},*,\oplus,',0,1\big> A2={0,1},,,,0,1,计算它和自己的积代数: A 2 × A 2 = A 2 2 = < { < 0 , 0 > , < 0 , 1 > , < 1 , 1 > , < 1 , 0 > } , ∗ ′ , ⊕ ′ , ′ ′ , < 0 , 0 > , < 1 , 1 > > A_2\times A_2=A_2^2=\Big<\{\big<0,0\big>,\big<0,1\big>,\big<1,1\big>,\big<1,0\big>\},*',\oplus','',\big<0,0\big>,\big<1,1\big>\Big> A2×A2=A22={0,0,0,1,1,1,1,0},,,,0,0,1,1任选两元素进行运算: < 0 , 1 > ∗ ′ < 1 , 1 > = < 0 ∗ 1 , 1 ∗ 1 > = < 0 , 1 > \big<0,1\big>*'\big<1,1\big>=\big<0*1,1*1\big>=\big<0,1\big> 0,11,1=01,11=0,1再计算一次积代数: A 2 × A 2 × A 2 = A 2 3 = < { 0 , a , b , c , d , e , f , 1 } , ∧ , ∨ , ¬ , 0 , 1 > A_2\times A_2\times A_2=A_2^3=\Big<\{0,a,b,c,d,e,f,1\},\wedge,\vee,\neg,0,1\Big> A2×A2×A2=A23={0,a,b,c,d,e,f,1},,,¬,0,1注意在 A 2 3 A_2^3 A23 中改变了表示元素的符号。不难发现,从 A 2 A_2 A2 A 2 2 A_2^2 A22 再到 A 2 3 A_2^3 A23 分别对应了下图中的三个布尔代数:
      在这里插入图片描述
    • 那么 A 2 n A_2^n A2n ⋯ ⋯ \cdots\cdots

    布尔同态.

    • 给定两个布尔代数: < A , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > , < B , ⋂ , ⋃ , ¬ , α , β > \big<A,*,\oplus,',0,1\big>,\big<B,\bigcap,\bigcup,\neg,\alpha,\beta\big> A,,,,0,1,B,,,¬,α,β,如果存在映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:AB ∀   a , b ∈ A \forall~a,b\in A  a,bA 满足: f ( a ∗ b ) = f ( a ) ⋂ f ( b ) f(a*b)=f(a)\bigcap f(b) f(ab)=f(a)f(b) f ( a ⊕ b ) = f ( a ) ⋃ f ( b ) f\big(a\oplus b\big)=f(a)\bigcup f(b) f(ab)=f(a)f(b) f ( a ′ ) = ¬ f ( a ) f(a')=\neg f(a) f(a)=¬f(a) f ( 0 ) = α   ;   f ( 1 ) = β f(0)=\alpha~;~f(1)=\beta f(0)=α ; f(1)=β那么称映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:AB 是一个布尔同态。

    • 基于德●摩根律, ∗ * ⊕ \oplus 能够通过 ′ ' 相互转化,因此实际只要验证了同态函数关于 { ∗ , ′ } \{*,'\} {,} { ⊕ , ′ } \{\oplus ,'\} {,} 的性质即可验证前三条。如果函数 h h h 只能保持运算 ∗ , ⊕ *,\oplus ,,那么根据在格:偏序格与代数格中所定义的, h h h 是一个格同态,它不一定能够满足 f ( 0 ) = α , f ( 1 ) = β f(0)=\alpha,f(1)=\beta f(0)=α,f(1)=β,但由于格同态是保序的: ∀   a , b ∈ A , ( a ≤ b ) ⇒ ( f ( a ) ≤ ′ f ( b ) ) \forall~a,b\in A,(a\leq b)\Rightarrow\big(f(a)\leq' f(b)\big)  a,bA,(ab)(f(a)f(b))因此原布尔代数中的上下界被映射到同态象 f ( A ) f(A) f(A) 中的上下界 —— f ( 0 ) , f ( 1 ) f(0),f(1) f(0),f(1),如果根据 f ( 0 ) , f ( 1 ) f(0),f(1) f(0),f(1) 定义补运算 ¬ \neg ¬,那么代数系统 < f ( A ) , ⋂ , ⋃ , ¬ , f ( 0 ) , f ( 1 ) > \big<f(A),\bigcap,\bigcup,\neg,f(0),f(1)\big> f(A),,,¬,f(0),f(1) 是布尔代数,映射 g : A → f ( A ) g:A\rightarrow f(A) g:Af(A) 是一个布尔同态,虽然 f : A → B f:A\rightarrow B f:AB 不是布尔同态。
    • 根据上述分析,如果格同态映射 f f f满射函数,即对于 B B B 中的任意元素 b b b 都存在 a ∈ A a\in A aA 使得 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b,再根据其保序性,那么必然有 f ( 0 ) = α , f ( 1 ) = β f(0)=\alpha,f(1)=\beta f(0)=α,f(1)=β,这一定理被称为满同态定理. 中南大学徐德智老师2019离散数学授课教案中图示如下:
      在这里插入图片描述

    原子表示.

    • 原子表示针对有限布尔代数而言,即其载体 B B B 是有限集合。有限布尔代数的一个重要性质如下:任意有限布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1 同构于某一集合代数 < ρ ( S ) , ⋂ , ⋃ . ¬ , Φ , S > . \big<\rho(S),\bigcap,\bigcup.\neg,\Phi,S\big>. ρ(S),,.¬,Φ,S.
    • 这一性质在前面讨论二元素布尔代数与集合代数,以及积代数 A 2 n A_2^n A2n 时已经初见端倪,现对其进行形式化表述。

    • 覆盖】设 a , b a,b a,b 是格中的两个元素,如果 b ≤ a b\leq a ba b ≠ a b\neq a b=a,并且不存在元素 x x x 满足 b < x < a b<x<a b<x<a,那么称元素 a a a 覆盖元素 b . b. b.
    • 原子】给定布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1。如果 a ∈ B a\in B aB 满足 a a a 覆盖 0 0 0,那么称元素 a a a 是该布尔代数的一个原子.
    • 充要条件】元素 a a a 是布尔代数的原子,当且仅当在 a ≠ 0 a\neq 0 a=0 时(这是显然的),对于任意的 x ∈ B x\in B xB 有: ( x ∗ a = a ) ∨ ( x ∗ a = 0 ) \big(x*a=a\big)\vee\big(x*a=0\big) (xa=a)(xa=0)
    • 证明充分性: 因为 a a a 是原子,所以 ( 0 ≤ a ) ∧ ( a ≠ 0 ) (0\leq a)\wedge(a\neq0) (0a)(a=0),并且 0 , a 0,a 0,a 之间没有元素,又因为 x ∗ a ≤ a x*a\leq a xaa,所以 ( x ∗ a = a ) ∨ ( x ∗ a = 0 ) . \big(x*a=a\big)\vee\big(x*a=0\big). (xa=a)(xa=0).
    • 必要性: 假设满足 ( x ∗ a = a ) ∨ ( x ∗ a = 0 ) , a ≠ 0 \big(x*a=a\big)\vee\big(x*a=0\big),a\neq 0 (xa=a)(xa=0),a=0 a a a 不是原子,那么存在一个元素 x x x 满足 0 < x < a 0<x<a 0<x<a,所以 x ∗ a = x ≠ a ≠ 0 x*a=x\neq a\neq 0 xa=x=a=0,矛盾出现,因此 a a a 是原子。
    • 基于上述充要条件可以得出推论:对于任意 x ∈ B x\in B xB a ≤ x a\leq x ax a ≤ x ′ a\leq x' ax 有且仅有一个能成立。这是因为: ( x ∗ a = a ) ⇔ ( a ≤ x ) (x*a=a)\Leftrightarrow(a\leq x) (xa=a)(ax) ( x ∗ a = 0 ) ⇔ [ ( x ∗ a ) ⊕ x ′ = x ′ ] ⇔ ( a ⊕ x ′ = x ′ ) ⇔ ( a ≤ x ′ ) (x*a=0)\Leftrightarrow\big[(x*a)\oplus x'=x'\big]\Leftrightarrow(a\oplus x'=x')\Leftrightarrow(a\leq x') (xa=0)[(xa)x=x](ax=x)(ax)
    • 上述推论的意义在于,基于原子 a a a 将集合 B B B 划分为两块,其中一块中的元素满足 a ≤ x a\leq x ax(它们与 a a a 可比较),另一块中的元素满足 a ≤ x ′ a\leq x' ax(它们的补元与 a a a 可比较). 下面的图中分别以 a 1 a_1 a1 为原子,示意对格中元素的划分:
      在这里插入图片描述
    • ( a ) (a) (a) 图中仅有两个元素,满足 a 1 ≤ a 1 , a 1 ≤ 0 ′ = 1 a_1\leq a_1,a_1\leq0'=1 a1a1,a10=1 ( b ) (b) (b) 图中有四个元素,满足: a 1 ≤ a 1   ,   a 1 ≤ 1 a_1\leq a_1~,~a_1\leq 1 a1a1 , a11 a 1 ≤ 0 ′ = 1   ,   a 1 ≤ a 2 ′ = a 1 a_1\leq 0'=1~,~a_1\leq a_2'=a_1 a10=1 , a1a2=a1 ( c ) (c) (c) 图中可自行验证。

    • 保联定理】对于有限布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1 而言,对于任意非 0 0 0 元素 x ∈ B x\in B xB,记 a i a_i ai 代表所有满足 a i ≤ x a_i\leq x aix 的原子,那么我们有: x = a 1 ⊕ a 2 ⊕ ⋯ ⊕ a k (1) x=a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_k\tag{1} x=a1a2ak(1)并且表示式 ( 1 ) (1) (1) 是唯一的。
    • 该定理的意义在于说明有限布尔代数中的任意非零元素可以唯一地表示成原子的保联.

    • 同构定理】给定有限布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1 S S S 是其中所有原子元素构成的集合,那么该布尔代数同构于集合代数 < ρ ( S ) , ⋂ , ⋃ . ¬ , Φ , S > . \big<\rho(S),\bigcap,\bigcup.\neg,\Phi,S\big>. ρ(S),,.¬,Φ,S. 其同构函数为: f : B → ρ ( S )   ,   f ( x ) = { Φ   ,   x = 0 { a ∣ a ∈ S ∧ a ≤ x }   ,   x ≠ 0 f:B\rightarrow \rho(S)~,~f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\Phi~,~x=0\\ &\{a|a\in S\wedge a\leq x\}~,~x\neq0\\ \end{aligned} \right. f:Bρ(S) , f(x)={Φ , x=0{aaSax} , x=0
    • 上述定理的重要的推论有:① 任意布尔代数载体的基数是 2 N . 2^N. 2N. 这是由集合幂集的基数决定的。
    • 元素个数相同(载体基数相同)的布尔代数必定同构. 由于两布尔代数都同构于某个集合代数,可以证明这两个布尔代数同构(实际上同构是等价关系).

    布尔函数.

    • 上面的内容都是关于布尔代数 < B , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B,*,\oplus,',0,1\big> B,,,,0,1 的,现考虑从集合 B n B^n Bn 映射到集合 B B B 的函数。设 B = { 0 , 1 } B=\{0,1\} B={0,1},下面分别是从 B 1 → B B^1\rightarrow B B1B B 2 → B B^2\rightarrow B B2B 的函数:
    < x 1 > <x_1> <x1> f f f
    01
    10
    < x 1 , x 2 > <x_1,x_2> <x1,x2> f f f
    000
    010
    111
    100
    • 定义 B B B 中的元素称为布尔常元,取值于 B B B 的变量称为布尔变元布尔表达式的定义如下:
      ① 单个布尔常元、布尔变元是布尔表达式;
      ② 若 b 1 , b 2 b_1,b_2 b1,b2 是布尔表达式,那么 ( b 1 ) ∗ ( b 2 ) , ( b 1 ) ⊕ ( b 2 ) , ( b 1 ) ′ (b_1)*(b_2),(b_1)\oplus (b_2),(b_1)' (b1)(b2),(b1)(b2),(b1) 是布尔表达式;
      ③ 除有限步应用 ① 和 ② 得到的表达式是布尔表达式以外,没有其它布尔表达式。
    • 其中符号 ∗ , ⊕ , ′ *,\oplus,' ,, 就是布尔代数中的运算,如果两个变元数相同的布尔表达式对于变元的任意赋值组合,表达式值都相同,那么称这两个布尔表达式等价。

    • 极小项】《数字电子技术》课程中有过,现定义如下:给定 n n n 个布尔变元 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,,xn,极小项表达式如下: x 1 ~ ∗ x 2 ~ ∗ ⋯ ∗ x n ~ \tilde{x_1}*\tilde{x_2}*\cdots*\tilde{x_n} x1~x2~xn~其中 x i ~ \tilde{x_i} xi~ 表示 x i x_i xi x i ′ x_i' xi 两者之一,显然对于上述极小项表达式,共有 2 n 2^n 2n 种不同的极小项,对其编号为 k ∈ [ 0 , 2 n − 1 ] k\in[0,2^n-1] k[0,2n1],记作 m k . m_k. mk. 极小项满足以下性质: m i ∗ m j = 0   ,   i ≠ j m_i*m_j=0~,~i\neq j mimj=0 , i=j ⊕ k m k = 1 \oplus_k m_k=1 kmk=1
    • 形如 ( A 0 ∗ m 0 ) ⊕ ( A 1 ∗ m 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( A 2 n − 1 ∗ m 2 n − 1 ) (A_0*m_0)\oplus(A_1*m_1)\oplus\cdots\oplus(A_{2^n-1}*m_{2^n-1}) (A0m0)(A1m1)(A2n1m2n1) 的布尔表达式称为主析取范式,其中 A i A_i Ai 为布尔常元,因为 A i A_i Ai 的取值有 ∣ B ∣ \big|B\big| B 种,上述主析取范式共 2 n 2^n 2n 项,所以主析取范式共有 ∣ B ∣ ( 2 n ) \big|B\big|^{(2^n)} B(2n) 个,任何一个 n n n 元布尔表达式可以唯一等价到一个主析取范式。

    • 对应地可以定义极大项: x 1 ~ ⊕ x 2 ~ ⊕ ⋯ ⊕ x n ~ \tilde{x_1}\oplus\tilde{x_2}\oplus\cdots\oplus\tilde{x_n} x1~x2~xn~编号为 [ 0 , 2 n − 1 ] [0,2^n-1] [0,2n1],记为 M i M_i Mi,极大项满足: M i ⊕ M j = 1   ,   i ≠ 1 M_i\oplus M_j=1~,~i\neq 1 MiMj=1 , i=1 ∗ k M k = 0 *_kM_k=0 kMk=0并且极小项与极大项存在下面的关系: ( m i ) ′ = M i   ,   ( M i ) ′ = m i (m_i)'=M_i~,~(M_i)'=m_i (mi)=Mi , (Mi)=mi对应地可以定义主合取范式。

    • 布尔函数】一个从 B n → B B^n\rightarrow B BnB 的函数如果可以用 n n n 元布尔表达式表示,那么称之为布尔函数.
    • 由于布尔表达式唯一等价于主析取范式,主析取范式有 ∣ B ∣ ( 2 n ) \big|B\big|^{(2^n)} B(2n) 个,而从 B n → B B^n\rightarrow B BnB 的函数数量如下: ∣ B ∣ ( ∣ B ∣ n ) \big|B\big|^{\big(|B|^n\big)} B(Bn)这一数字推导如下:前域共 ∣ B ∣ n \big|B\big|^n Bn 个元素,每个元素的函数值有 ∣ B ∣ \big|B\big| B 种取值。可以发现,当 ∣ B ∣ = 2 |B|=2 B=2,即 B = { 0 , 1 } B=\{0,1\} B={0,1} 时,所有的函数都是布尔函数;其它情况下的函数不一定都是布尔函数。
    • 使用最多的布尔代数即为上面 B = { 0 , 1 } B=\{0,1\} B={0,1} 的情况,在这一情况下,给定 n n n 个布尔变元,对应 2 n 2^n 2n 个极小项,有 N = 2 ( 2 n ) N=2^{(2^n)} N=2(2n) 个主析取范式,将代数系统 < B N , ∗ , ⊕ , ′ , 0 , 1 > \big<B_N,*,\oplus,',0,1\big> BN,,,,0,1 称为由 n n n 个布尔变元 x i ∣ i = 1 , 2 , ⋯   , n x_i|i=1,2,\cdots,n xii=1,2,,n 生成的自由布尔代数.

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    搜索引擎.

    • 很多文献通常在编写时会由作者给出关键词或摘要,搜索引擎对于用户输入的关键词,需要判断这篇文献是否含有该关键词(或者相近的词),如果包含,则相应地给这篇文献一个真逻辑值,否则赋假逻辑值. 关键词的组合就是我们对于一篇文献的要求,而每一篇文件对于这样的要求都会返回一个真值,根据这样的真值表,搜索引擎就能知道某一篇文章是不是我们想要的。
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    • 而搜索引擎要在海量的资源中找到符合我们要求的文献、网页,其技巧在于建立索引。最简单的索引结构是使用一个位向量,其每一位表示该文献中是否出现关键字 k k k,例如位向量 010011 010011 010011 表示第 2 , 5 , 6 2,5,6 2,5,6 篇文献是包含该关键字的,而 1 , 3 , 4 1,3,4 1,3,4 未包含,那么同时要搜索包含关键字 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2 的文献只需要对这两个位向量做与操作(对应着布尔代数中的下界运算 ∗ * ). 现代计算机进行布尔运算的速度极快,一个指令周期内可以完成 32 32 32 位的布尔运算,一秒能够进行十亿量级。这样直观来看,索引的形式就像一张表,表的每一行对应一个关键词,关键词后面是一个表示文献包含关键词情况的位向量。
    KeyBitVector
    SingleCell01001010110101010101…
    Review10101110101110111010…
    Clustering10101010101001111010…

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  • 格与布尔代数

    2014-06-20 12:06:35
    又叫晶体点阵理论。在数学中,格是其非空有限子集都有一个上确界(叫并)和一个下确界(叫交)的偏序集合(poset)。...半格包括了格,依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。
  • 布尔代数和权限管理

    千次阅读 2014-01-12 00:16:11
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  • 程序员视角的计算机系统 2.1.7 布尔代数的介绍 因为二进制的值是计算机如何编码,存储,维护信息的核心,围绕着0和1的值的研究,已经进化 出庞大的数学知识体系。这开始于乔治布尔的1850年左右的工作,因此叫做布尔...
  • 从初学者对数字设计的疑问?到什么是FPGA?什么是ASIC?在到布尔代数如何在FPGA内部实现?最后到数字设计的核心元件触发器? 本文将从简洁的角度带你认识这些数字设计的必备基础知识!
  • [随笔]布尔代数与计算机

    千次阅读 2017-02-15 19:21:24
    在大一时学习离散数学学时,就看到一句话:计算机=离散数学+微电子技术...离散数学的分支布尔代数在电子技术上的应用就是数字电路。数字电路的结构通常都可以化简为布尔代数的表达式。 而计算机就是依赖于布尔代数来构
  • 在刚开始布尔提出布尔代数时,没有什么像样的应用。直到香农在其硕士论文中提出使用布尔代数实现数字电路的开关,才使得布尔代数成为数字电路的基础。布尔代数很简单,主要包含“与、或、非”操作。 在文献检...
  • 所阐述的内容包含了互联网搜索引擎索引构造技术、网络爬虫技术及PageRank算法,涉及的数学知识涵盖了布尔代数、图论和矩阵论。 0 引言 随着科技的进步,网上冲浪已进入了千家万户。在我们畅游网络世界中,以...
  • 布尔代数和逻辑门

    千次阅读 2007-07-26 13:52:00
    下载第2章布尔代数和逻辑门数字运算是由二进制数制系统完成的,而在二进制系统中变量X的值只能为0或1。本章将采用1 9世纪英国数学家乔治·布尔发展起来的开关代数来研究二进制数的行为。此数学分支包含在布尔代数的...
  • 提出了将基于泛布尔代数理论的数据挖掘技术应用到城市交通信号控制中。针对城市单个T形交叉路口的交通流控制,利用这种新的数据挖掘技术对其进行了初步分析,采用了多相位实时控制策略;对提取的决策规则,建立起...
  • 逻辑设计工具是一个应用程序,其唯一目的是充当布尔代数和逻辑设计的求解器/计算器。 它是由PyLam团队创建的,这是第一个团队项目。 它带有一个GUI版本,使其易于使用。 它主要是指通常学习逻辑设计或布尔代数的任何...
  • 当前看的这本书《逻辑设计基础》,不得不说... 第二章: 布尔代数定律 0-1律,重叠律,还原律,互补定律,第二分布定律,德摩根定律。 化简定律 合并率,消除律,吸收率,蕴含率。 第三章 运用上面定律化简 化简例子
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  • 2.2 布尔代数 布尔代数是一种用来处理二进制变量和逻辑运算的代数方法。变量用大写字母来表示,三种基本的逻辑运算分别是与、或、非(取反)。布尔表达式(Boolean expression)是一个由二进制变量、常量0和1、逻辑...
  • 第八章 简单之美 布尔代数和搜索引擎 介绍搜索,从索引出发 德国的数学家莱布尼兹完善了二进制,用0和1表示它的两个数字,成为今天使用的二进制 布尔代数十分简单,运算元素只有1(TRUE,真)和0(FALSE,假),...
  • Google (谷歌)中国的博客网志,走近我们的产品、技术和文化数学之美系列五 -- 简单之美:布尔代数和搜索引擎的索引 2006年5月10日 上午 09:10:00发表者: 吴军,Google 研究员 <br />[建立一个...
  • 分支语句-布尔代数

    千次阅读 2010-03-31 17:59:00
    很长时间没有写blog了,自己越来觉得C语言比较重要,其实看教材也很容易。都是自己学过的东西。发现自己就是比较的懒。总是懒得做练习题。现在自己的逻辑思维很不好。...它可以有后面两个else if 作为补充应用
  • 学过离散数学的人都知道,有专门研究二进制运算的一门学科称之为布尔代数布尔代数简单得不能再简单了,运算的元素只有两个1和0 , 基本的运算也很简单。常用的有AND、 OR 和NOT ,小学一年级的小朋友都能...
  • 早期的文献检索查询系统大多基于数据库,严格要求查询语句...数学之美系列五 — 简单之美:布尔代数和搜索引擎的索引 [建立一个搜索引擎大致需要做这样几件事:自动下载尽可能多的网页;建立快速有效的索引;根据相
  • 3.9 利用布尔代数规则

    2004-12-08 14:12:00
    应用之前,一定要确定改变之后的表达式跟原来的表达式是完全等价的。
  • 世界上不可能有比二进制更简单的计数方法了,也不可能有比布尔运算更简单的运算了。尽管今天每个搜索引擎都宣称自己如何聪明、多么智能化,其实从根本上讲都没有逃出布尔运算的框框。  布尔(George Boole) 是十九...

空空如也

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布尔代数的应用