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  • 文章目录恰当微分方程形式步骤例子记忆由记忆演变出的算法常用全微分积分因子思想 恰当微分方程形式 步骤 例子 记忆 由记忆演变出的算法 常用全微分 1的应用 积分因子 思想 两种寻找积分因子的情形 ...

    恰当微分方程形式

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    步骤

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    例子

    在这里插入图片描述

    记忆

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    由记忆演变出的算法

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    常用全微分

    在这里插入图片描述1的应用
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    积分因子

    思想

    在这里插入图片描述两种寻找积分因子的情形
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    直线/直线形式

    第一种形式:平行

    在这里插入图片描述

    第二种形式:平行

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    第三种形式:相交

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  • 从本节开始,我们将进入matlab的数值微积分与方程求解模块,一起学习如何利用matlab去解决微积分问题。 对于本节内容,主要分为两个部分讲解,数值微分和数值积分,那么下面,就开始今天的学习吧! 一、数值微分 在...

    从本节开始,我们将进入matlab的数值微积分与方程求解模块,一起学习如何利用matlab去解决微积分问题。
    对于本节内容,主要分为两个部分讲解,数值微分和数值积分,那么下面,就开始今天的学习吧!
    一、数值微分
    在正式开始之前,有几个新概念需要讲解一下
    (1) 数值差分与差商:
    微积分中 ,任意函数 f(x) 在x0 点的导数是通过极限定义的(如下图所示):
    在这里插入图片描述
    如果去掉极限定义中h趋向于0的极限过程,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差分、向后差分和中心差分公式(如下图):
    在这里插入图片描述
    当步长h充分小时,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差商、向后差商和中心差商公式(如下图):
    在这里插入图片描述
    函数 f(x) 在 点x0的微分接近于函数在该点的差分,而f在点x的导数接近于函数在该点的差商。
    (2)数值微分的实现:
    MATLAB 提供了求向前差分的函数diff ,其调用格式有三种:
    dx=diff(x) :计算向量x的向前差分, dx(i)=x(i+1)- x(i) , i=1,2, … ,n, n- 1 。
    dx=diff( x,n) ) : 计算向量x的n阶向前差分。例如,diff(x,2)=diff(diff(x)) 。
    dx=diff( A,n,dim) ) : 计算矩阵A的n阶差分, dim=1 时(默认状态),按列计算差分;dim=2 ,按行计算差分。
    注意 : diff 函数计算的是向量元素间的差分,故差分向量元素的个数比原向量少了一个。同样,对于矩阵来说,差分后的矩阵比原矩阵少了一行或一列。
    另外,计算差分之后,可以用 f(x) 在某点处的差商作为其导数的近似值。
    例、设f(x)=ln(x),采用上述方法绘制出[0,10]之间的其导函数的图像,求解出导函数在1处的值,对比理论值1之间的差值,看相差大不大。

    >>  x=0:0.01:10;
    y=log(x);
    f1=diff(y)./diff(x);
    plot(x(1:end-1),f1);
    

    打开matlab的工作区查看f1在100处的值,即就是导函数在1出=处的值(如图):
    在这里插入图片描述
    值为1.005,与理论值1相差0.005,可能是由于x=0:0.01:10;这一语句导致,发现当取点越多时,结果越接近1,再看图像,其符合1/x的函数图像。
    在这里插入图片描述二、 数值积分
    1、数值积分基本原理
    在高等数学中,计算定积分依靠微积分基本定理,只要找到被积函数 f(x)的原函数F(x),则可用 牛顿 — 莱布尼兹 ( Newton- - Leibniz ) 公式:
    在这里插入图片描述
    在有些情况下,应用牛顿—莱布尼兹公式有困难,例如,当被积函数的原函数无法用初等函数表示,或被积函数是用离散的表格形式给出的。这时就需要用数值解法来求定积分的近似值 。
    求定积分的数值方法多种多样,如梯形法、辛普森( Simpson )法 、高斯求积公式等。它们的基本思想都是将积分区间 [a , b] 分成n个子区间 [xi,xi+1] ,i=1 ,2 ,… ,n,其中x1 =a ,xn+1=b ,这样求定积分问题就分解为下面的求和问题。
    在这里插入图片描述
    在 每一个小的子区间上定积分的值可以近似求得, , 从而避免了 牛顿 — 莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难 。
    2、数值积分的实现
    (1)基于自适应辛普森方法:
    [ I,n ]=quad( filename,a,b,tol,trace)
    (2)基于自适应 Gauss- - Lobatto方法:
    [ I,n ]= quadl ( filename,a,b,tol,trace)
    其中, filename 是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限 [a ,b]必须是有限的,不能为无穷大( Inf ); tol 用来控制积分精度,默认时取tol =10^(- 6 ); trace 控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,默认时取 trace=0 ;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。
    例、分别用 quad 函数和 quadl 函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较被积函数的调用次数。求解在[1,10]上,sin(x)的定积分值。

    >>  format long
    f=@(x)cos(x);
    [ I,n ]=quad(f,1,10,1e-8)
    I =
      -1.385492095697597
    n =
       229
    >> [ I,n ]=quadl(f,1,10,1e-8)
    I =
      -1.385492095687089
    n =
       138
    >> sin(10)-sin(1)
    ans =
      -1.385492095697266
    

    可以看出,两种方式求出的定积分值与理论值sin(10)-sin(1)几乎一致,但两种函数求解时的被积函数的调用次数却有差别。
    (3)基于全局自适应积分方法:
    I=integral( filename,a,b )
    其中,I是计算得到的积分;filename 是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大 。
    (4)基于自适应高斯- - 克朗罗德方法
    [ I,err ]= quadgk( filename,a,b)
    其中 ,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(−Inf 或 Inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则 quadgk函数在复平面上求积分。
    上述四种积分的求解方法各有不同,同时也各有优劣,一、二两种方法要求积分上下限是有限的,不可取无穷值,三、四两种方法中积分上下限可以取无穷值,且第四种方法还可以在复平面上求积分。
    下面介绍一种特殊的积分方法:梯形积分法
    I= trapz( x,y)
    其中,向量x、y 定义函数关系y=f(x),值得注意的是,此处的x,y表示为向量形式。
    例、 5 设 x=1:10,y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2], 用 trapz函数计算定积分并且画图。

    >> x=1:10;y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2];
    >> plot(x,y);
    >> I1=trapz(x,y)
    I1 =
      43.500000000000000
    

    在这里插入图片描述三、 多重定积分的数值求解
    现将多重积分的求解函数总结如下,它们的用法和上述的一重积分用法基本一致
    求二重积分的数值解:
    在这里插入图片描述
    I=integral2( filename,a,b,c,d)
    I=quad2d( filename,a,b,c,d)
    I= dblquad( filename,a,b,c,d,tol)
    求三重积分的数值解:
    在这里插入图片描述
    I=integral3( filename,a,b,c,d,e,f) )
    I= triplequad( filename,a,b,c,d,e,f,tol)
    本节内容就讲述到这里,下节将讲述线性方程组求解,敬请期待!

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  • 通过MATLAB实现微积分的数值解法

    MATLAB数值微分与数值积分

    1数值微分

    1.1原理:用f(x)在点x0处的差商作为其导数的近似值

    1.1.1 导数

    1.1.2 差分

    1.1.3 差商

    1.2 MATLAB数值微分函数

    2数值积分

    2.1 数值积分基本定理

    2.1.1 微积分基本定理

    2.1.2 数值积分公式

    2.2 MATLAB数值积分函数

    2.2.1 基于自适应辛普森方法

    2.2.2 基于自适应Gauss-Lobatto方法

    2.2.3 基于全局自适应积分方法(推荐)

    2.2.4 基于自适应高斯-克朗罗德方法

    2.2.5 基于梯形积分法

    2.3 多重定积分的数值求解

    2.3.1 求二重积分的数值解:

    2.3.2 求三重积分的数值解:


    1数值微分

    1.1原理:用f(x)在点x0处的差商作为其导数的近似值

    1.1.1 导数

     f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} 

     f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}       

     f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h/2)-f(x_0-h/2)}{h}

    1.1.2 差分

    (h>0)

    一阶向前差分: \bg_white \fn_cm \triangle f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)

    一阶向后差分: \triangledown f(x_0)=f(x_0)-f(x_0-h)

    一阶中心差分: \delta f(x_0)=f(x_0+h/2)-f(x_0-h/2)

    1.1.3 差商

    (h>0)

    一阶向前差商:f'(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    一阶向后差商:  f'(x_0)\approx \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}

    一阶中心差商:f'(x_0)\approx \frac{f(x_0+h/2)-f(x_0-h/2)}{h}

    1.2 MATLAB数值微分函数

    dx=diff(x):计算向量x的向前差分,dx(i)=x(i+1)-x(i), i=1,2,...,n-1。

    dx=diff(x,n):计算向量x的n阶向前差分。如,diff(x,2)=diff(diff(x))。

    dx=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分,dim=1时(默认),按列计算差分;dim=2时,按行计算差分。

    注意:diff函数计算的是向量元素间的差分,故差分向量元素的个数比原向量少了一个。同样,差分矩阵比原矩阵少了一行或一列。

    eg:

    设f(x)=sin(x),求其在[0,2Π]上的f'(x)的近似值,并与理论值f'(x)=cos(x)进行比较。

    x=0:0.001:2*pi;
    y=sin(x);
    f1=diff(y)./diff(x);    %计算f'(x)近似值
    f2=cos(x(1:end-1));
    plot(x(1:end-1),f1,x(1:end-1),f2);
    d=norm(f1-f2)       %用范数计算误差大小

    运行结果如下: 

    d =
    
       0.028024955303530
    

                                              

    2数值积分

    2.1 数值积分基本定理

    2.1.1 微积分基本定理

    牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式:   \int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)

    2.1.2 数值积分公式

    基本思想:将积分区间[a,b]分成n个子区间\bg_white \fn_cm \left [x_i,x_{i+1} \right ],i=1,2,...,n,其中x1=a,x_{n+1}=b,则

                                                                     \small S=\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx

    2.2 MATLAB数值积分函数

    2.2.1 基于自适应辛普森方法

     

                                                              [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)

    2.2.2 基于自适应Gauss-Lobatto方法

     

                                                              [I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

    ps:

    • filename --> 被积函数名;
    • a,b --> 积分上下限,积分限[a,b]必须是有限的不能为无穷大(Inf);
    • tol --> 控制积分精度,默认tol=1e-6;
    • trace --> 是否展现积分过程,取非0则展现积分过程,取0则不展现,默认取trace=0,即不展现;
    • I,n --> 返回参数I为定积分的值,n为被积函数的调用次数;

    eg

    分别用quad函数和quadl函数求定积分 \int_{0}^{1}\frac{4}{1+x^2}dx 的近似值,并比较积分精度为1e-8下,被积函数的调用次数。

    demo:

    clc
    f=@(x) 4./(1+x.^2);
    [I,n]=quad(f,0,1,1e-8)
    [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8)
    (atan(1)-atan(0))*4        %准确值
    

    运行结果如下 :

    I =
        3.141592653733437
    n =
        61
    I =
        3.141592653589806
    n =
        48
    ans =
        3.141592653589793

    可以看出,quadl函数的精确度更高。

    2.2.3 基于全局自适应积分方法(推荐)

     

                                                                          I=integral(filename,a,b)

    ps:

    • I --> 积分结果
    • filename --> 被积函数;
    • a,b --> 积分上下限,积分限可以无穷大;

    eg:

    求定积分,I=\int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{1-ln^2x}}dx

    f=@(x) 1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));
    I=integral(f,1,exp(1))

    运行结果如下:

    I =
      1.570796326795570
    

    2.2.4 基于自适应高斯-克朗罗德方法

     

                                                                              [I,err]=quadgk(filename,a,b)

    ps:

    • err -->返回近似误差范围;
    • a,b --> 积分上下限,可以是无穷大(-Inf或Inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则quadgk函数在复平面上求积分;

    eg:

    求定积分,\int_{2/\pi}^{+\infty }\frac{1}{x^2}sin\frac{1}{x}dx

    demo:

    f=@(x) sin(1./x)./x.^2;
    [I,err]=quadgk(f,2/pi,+inf)

    运行结果如下:

    I =
        1.000000000000000
    
    err =
        6.179952383167375e-17

    2.2.5 基于梯形积分法

                                                                                    I=trapz(x,y)

    ps:

    • x,y --> 即向量x,y定义函数关系y=f(x);
    • trapz函数采用梯形积分法则,积分近似值为I=\sum_{i=1}^{n-1}h_i\frac{y_{i+1}+y_i}{2},其中,h_i=x_{i+1}-x_i,可以用以下语句实现:
    sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

    eg:

    设x=1:6,y=[6,8,11,7,5,2],用trapz函数计算定积分。

    demo:

    x=1:6;
    y=[6,8,11,7,5,2];
    plot(x,y,'-ko');
    grid on
    axis([1,6,0,11]);
    I1=trapz(x,y)
    I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)

    运行结果如下:

    I1 =
        35
    
    I2 =
        35
    

     

                                                    

    2.3 多重定积分的数值求解

    2.3.1 求二重积分的数值解\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy

    • I=integral2(filename,a,b,c,d)
    • I=quad2d(filename,a,b,c,d)
    • I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)

    2.3.2 求三重积分的数值解\int_{e}^{f}\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y,z)dxdydz

    • I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
    • I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)

    eg:

    分别求二重积分和三重积分。

                                          \int_{-1}^{1}\int_{-2}^{2}e^{-x^2/2}sin(x^2+y)dxdy                      \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi }4xze^{-z^2y-x^2}dxdydz

    demo:

    f1=@(x,y) exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
    I1=quad2d(f1,-2,2,-1,1)
    f2=@(x,y,z) 4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);
    I2=integral3(f2,0,pi,0,pi,0,1)

     运行结果如下:

    I1 =
        1.574498141468206
    
    I2 =
        1.732762223027684
    

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    从本节开始,我们将进入matlab的数值微积分与方程求解模块,一起学习如何利用matlab去解决微积分问题。

    对于本节内容,主要分为两个部分讲解,数值微分和数值积分,那么下面,就开始今天的学习吧!

    b62793f224668538bbbbb1928ff2f49e.png 一、数值微分

    在正式开始之前,有几个新概念需要讲解一下(1) 数值差分与差商:微积分中 ,任意函数 f(x) 在x0 点的导数是通过极限定义的(如下图所示):

    eaee08f77f7827516d449a1f90832aef.png

    如果去掉极限定义中h趋向于0的极限过程,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差分、向后差分和中心差分公式(如下图):

    8c6c83dee7361d2799cace38e6b82acf.png

    当步长h充分小时,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差商、向后差商和中心差商公式(如下图):

    2bd5eebd5a8836a899bf103c7820bc5c.png

    函数 f(x) 在 点x0的微分接近于函数在该点的差分,而f在点x的导数接近于函数在该点的差商。

    (2)数值微分的实现:

    MATLAB 提供了求向前差分的函数diff ,其调用格式有三种:

    dx=diff(x) :计算向量x的向前差分, dx(i)=x(i+1)- x(i) , i=1,2, … ,n, n- 1 。

    dx=diff( x,n) ) :计算向量x的n阶向前差分。例如,diff(x,2)=diff(diff(x)) 。

    dx=diff( A,n,dim) ) :计算矩阵A的n阶差分, dim=1 时(默认状态),按列计算差分;dim=2 ,按行计算差分。

    注意 :diff 函数计算的是向量元素间的差分,故差分向量元素的个数比原向量少了一个。同样,对于矩阵来说,差分后的矩阵比原矩阵少了一行或一列。

    另外,计算差分之后,可以用 f(x) 在某点处的差商作为其导数的近似值。

    例、设f(x)=ln(x),采用上述方法绘制出[0,10]之间的其导函数的图像,求解出导函数在1处的值,对比理论值1之间的差值,看相差大不大。

    >>  x=0:0.01:10;

    y=log(x);

    f1=diff(y)./diff(x);

    plot(x(1:end-1),f1);

    打开matlab的工作区查看f1在100处的值,即就是导函数在1处的值(如图):

    d269ce6949e64ab3404838ec52d0f200.png

    值为1.005,与理论值1相差0.005,可能是由于x=0:0.01:10;这一语句导致,发现当取点越多时,结果越接近1,再看图像,其符合1/x的函数图像。

    9a867e8c475bc6613d8594d60974039a.png b62793f224668538bbbbb1928ff2f49e.png 二、 数值积分

    1、数值积分基本原理在高等数学中,计算定积分依靠微积分基本定理,只要找到被积函数 f(x)的原函数F(x),则可用 牛顿 — 莱布尼兹 ( Newton- - Leibniz ) 公式:

    55f4ebc0fce92a80c0d6a5a6b97388a7.png

    在有些情况下,应用牛顿—莱布尼兹公式有困难,例如,当被积函数的原函数无法用初等函数表示,或被积函数是用离散的表格形式给出的。这时就需要用数值解法来求定积分的近似值 。

    求定积分的数值方法多种多样,如梯形法、辛普森( Simpson )法 、高斯求积公式等。它们的基本思想都是将积分区间 [a , b] 分成n个子区间 [xi,xi+1] ,i=1 ,2 ,… ,n,其中x1 =a ,xn+1=b ,这样求定积分问题就分解为下面的求和问题。

    4db1c6d2bb7b0052f8693055a9463575.png

    在 每一个小的子区间上定积分的值可以近似求得, , 从而避免了 牛顿 — 莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难 。

    2、数值积分的实现(1)基于自适应辛普森方法:[ I,n ]=quad( filename,a,b,tol,trace)

    (2)基于自适应 Gauss- - Lobatto方法:[ I,n ]= quadl ( filename,a,b,tol,trace)其中, filename 是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限 [a ,b]必须是有限的,不能为无穷大( Inf );tol 用来控制积分精度,默认时取tol =10^(- 6 );

    trace 控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,默认时取 trace=0 ;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。

    例、分别用 quad 函数和 quadl 函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较被积函数的调用次数。求解在[1,10]上,sin(x)的定积分值。

    >>  format long

    f=@(x)cos(x);

    [ I,n ]=quad(f,1,10,1e-8)

    I =

      -1.385492095697597

    n =

       229

    >> [ I,n ]=quadl(f,1,10,1e-8)

    I =

      -1.385492095687089

    n =

       138

    >> sin(10)-sin(1)

    ans =

      -1.385492095697266

    可以看出,两种方式求出的定积分值与理论值sin(10)-sin(1)几乎一致,但两种函数求解时的被积函数的调用次数却有差别。

    (3)基于全局自适应积分方法:I=integral( filename,a,b )其中,I是计算得到的积分;filename 是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大 。

    (4)基于自适应高斯- - 克朗罗德方法[ I,err ]= quadgk( filename,a,b)其中 ,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(−Inf 或 Inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则 quadgk函数在复平面上求积分。

    上述四种积分的求解方法各有不同,同时也各有优劣,一、二两种方法要求积分上下限是有限的,不可取无穷值,三、四两种方法中积分上下限可以取无穷值,且第四种方法还可以在复平面上求积分。

    下面介绍一种特殊的积分方法:梯形积分法I= trapz( x,y)其中,向量x、y 定义函数关系y=f(x),值得注意的是,此处的x,y表示为向量形式。例、 5 设 x=1:10,y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2], 用 trapz函数计算定积分并且画图。

    >> x=1:10;y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2];

    >> plot(x,y);

    >> I1=trapz(x,y)

    I1 =

      43.500000000000000

    562a8b12e76373683c9b7f0ffd71dd40.png b62793f224668538bbbbb1928ff2f49e.png 三、 多重定积分的数值求解

    现将多重积分的求解函数总结如下,它们的用法和上述的一重积分用法基本一致求二重积分的数值解:

    a9d772f917b2a516350188eb880dd96d.png

    I=integral2( filename,a,b,c,d)I=quad2d( filename,a,b,c,d)I= dblquad( filename,a,b,c,d,tol)求三重积分的数值解:

    269e6fbc3d78e8d0024adf4dd7097776.png

    I=integral3( filename,a,b,c,d,e,f) )I= triplequad( filename,a,b,c,d,e,f,tol)

    本节内容就讲述到这里,下节将讲述线性方程组求解,敬请期待!

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