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  • 普林斯顿微积分读本(修订版)

    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 23:30:21
    本书不仅让学生们能有效地学习微积分,更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。 本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程,他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。 ...

    编辑推荐

    对于大多数学生来说,微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分,更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。

    本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程,他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。

    作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授,并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求,甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性,而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。

    这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的人来说,本书都是极好的资源。当然,非数学专业的学生也将大大受益。

    内容简介

    本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

    媒体推荐

    对于学习微积分有困难的同学来说,这是一本难能可贵的参考书。

    ——《数学教师》杂志

    班纳的写作风格引人入胜,一点儿也不古板或令人生畏,他努力阐释解题的所有步骤。因其独到的讲解,本书成为了广大微积分教师的“得力助手”。

    ——《美国数学月刊》网络版

    本书语言平实,亲和力十足,是广大微积分学习者的良师益友。班纳的书写得非常到位,而且非常吸引读者。

    ——Gerald B. Folland,《高等微积分》作者

    作者简介

    阿德里安 · 班纳(Adrian Banner),澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士,普里斯顿大学数学博士。2002 年起任职于 INTECH 公司,现为 INTECH 公司首席执行官兼首席投资官。同时,他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

    本书内容

    译者序

    对于大多数学生来说, 微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受挫折的一门课程了. 而本书, 不仅让学生能有效地学习微积分, 更重要的是提供了战胜微积分的必备工具.

    本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳的微积分复习课程. 他激励了一些考试前想获得优秀但考试结果却平平的学生.

    对于任何单变量微积分的课程, 本书既可以作为教科书, 也可以用作学习指南, 对于全英文授课的教师来说更是一个得力助手. 作者班纳是美国普林斯顿大学的著名数学教授并担任新技术研究中心主任. 班纳教授的授课风格是非正式、有吸引力并完全不强求的, 甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性, 而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤.

    作者独创的“内心独白”方式, 即写出问题求解过程中学生们应遵循的思考过程, 为我们提供了不可或缺的推理过程以及求解方案. 本书的重点在于培养问题求解的能力, 其中涉及的例题从简单到复杂并对微积分理论进行了深入探讨. 读者会在非正式的对话语境中体会到微积分的无穷魅力.

    本书特点:

    • 可作为任何单变量微积分教科书的学习指南;

    • 非正式的、娱乐性的且非强求的对话语境风格;

    • 丰富的在线视频;

    • 大量精选例题 (从简单到复杂) 提供了一步一步的推理过程;

    • 定理和方法有证明, 还有诸多实际应用;

    • 详细探讨了诸如无穷级数这样的难点问题.

    这样的一本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起. 对于每一个想要掌握微积分的学生来说, 本书都是极好的资源. 当然, 非数学专业的学生也将大大受益.

    在翻译本书的过程中, 译者虽然尽最大努力尊重原文, 并尽可能避免直译产生的歧义, 但是由于才疏学浅, 难免存在翻译不当之处, 敬请广大读者批评指正, 以便再版时更正.

    本书能得以顺利出版, 首先要感谢人民邮电出版社图灵公司的大力支持; 同时, 首都经济贸易大学华侨学院信管系的全体教师也给予了无私的帮助, 在此一并表示衷心感谢. 最后感谢我的家人在本书翻译过程中所给予的支持与鼓励, 尤其是爱女芮绮!

    《普林斯顿微积分读本》
    微笑着面对数学的世界
    积累着超越无穷的力量
    分化出化解疑难的翅膀
    求解出优化问题的阳光
    生成了数学天空的晴朗
    秘籍 —— 放飞自己的理想

    谨以此诗献给爱女芮绮以及喜爱数学的新生代!

     杨爽

    首都经济贸易大学华侨学院信管系

    前言

    本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助.

    写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南. 以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题.

    这本书为什么这么厚? 我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述.

    阅读之前, 我需要知道些什么? 你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识.

    啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊? 接下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.

    例题的求解过程在哪里?我所看到的只是大量的文字与少量的公式. 首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来. 我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答.

    定理的证明哪儿去了? 本书中的大部分定理都以某种方式被验证了. 在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程.

    主题没有次序! 我该怎么办呢? 学习微积分没有什么标准次序. 我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送电子邮件呢? 地址是 adrian@calclifesaver.com. 你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节 (也为下一版写, 如果有的话!).

    你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的还是你的? 希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什么是对的吧.

    页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢? 本书中有一点微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书[1]吧, 那才更有趣, 而且比零零散散的几句话更值得关注.

    我们学校可以用这本书作为教材吗? 这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.

    这些录像是什么? 在网站 www.calclifesaver.com 上, 你可以找到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部) 本书的章节和例题.

    如何使用这本书备考

    如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你的处境, 因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的那张表会标出本书的要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列图标会出现在书中页边空白处, 让你快速识别什么是重要内容.

    • 例题求解过程始于此行.

    • 这里非常重要.

    • 你应当自己尝试解答本题.

    • 注意:这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限, 就请跳到下一节.

    {90%}

    两个通用的学习小贴士

    • 把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽说数学不死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自己写得出来. 好记性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加强你对所学知识的理. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因. 如果你自己做, 那将会更有价值.

    • 尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看书, 不打手机, 不发电子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完成之后, 再看看你是否可以到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮你评阅.

    考试复习的重要章节 (按主题划分)

    主题子主题
    微积分基础直线
    其他常用图像
    三角学基础
    [0, π/2] 以外的三角函数
    三角函数的图像
    三角恒等式
    指数函数与对数函数
    1:5
    1:6
    2:1
    2:2
    2:3
    2:4
    9:1
    极限三明治定理
    多项式的极限
    导数伪装的极限
    三角函数的极限
    指数函数与对数函数的极限
    洛必达法则
    极限问题的总结
    3:6
    第 4 章全部
    6:5
    7.1(跳过 7.1.5)
    9:4
    14:1
    14:2
    连续性定义
    介值定理
    5:1
    5:1:4
    微分定义
    求导法则(例如, 乘积法则/商法则/
    链式求导法则)
    求切线方程
    分段函数的导数
    画导函数图像
    三角函数的导数
    隐函数求导
    指数函数与对数函数求导
    取对数求导法
    双曲函数
    反函数
    反三角函数
    反双曲函数
    求导定积分
    6:1
    <1>
    6:2
    6:3
    6:6
    6:7
    7:2; 7:2:1
    8:1
    9:3
    9:5
    9:7
    10:1
    10:2
    10:3
    17:5
    导数的应用相关变化率
    指数增长与指数衰变
    求全局最大值与全局最小值
    罗尔定理/中值定理
    临界点的分类
    求拐点
    画图
    最优化
    线性化/微分
    牛顿法
    8:2
    9:6
    11:1:3
    11:2; 11:3
    11:5; 12:1:1
    11:4; 12:1:2
    12:2; 12:3
    13:1
    13:2
    13:3
    积分定义
    基本性质
    求面积
    估算积分
    平均值/中值定理
    基本例子
    换元法
    分部积分法
    部分分式
    三角函数的积分
    三角换元法
    积分技巧的总结
    16.2(跳过 16.2.1)
    16:3
    16:4
    16.5, 附录 B
    16:6
    17:4; 17:6
    18:1
    18:2
    18:3
    19:1; 19:2
    19.3(跳过 19.3.6)
    19:4
    运动速度与加速度
    负常数加速度
    简谐运动
    求位移
    6:4
    6:4:1
    7:2:2
    16:1:1
    反常积分基本知识
    求解技巧
    20:1; 20:2
    第 21 章全部
    无穷级数基本知识
    求解技巧
    22:1:2; 22:2
    第 23 章全部
    泰勒级数与幂级数估算和误差估算
    幂级数/泰勒级数问题
    第 25 章全部
    第 26 章全部
    微分方程可分一阶
    一阶线性
    常系数
    建模
    30:2
    30:3
    30:4
    30:5
    其他话题参数方程
    极坐标
    复数
    体积
    弧长
    表面积
    27:1
    27:2
    28:1 ~ 28:5
    29:1; 29:2
    29:3
    29:4

    除非特殊说明, 标明“节”的一栏包括其下所有小节. 例如, 6.2 节包括从 6.2.1 到 6.2.7 的所有小节.


    [1] 对微积分历史感兴趣的读者, 可参阅《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》(人民邮电出版社, 2010). —— 编者注

    致谢

    感谢所有在我写作本书过程中给予我支持和帮助的人. 我的学生们长久以来在给我教益、喜悦和快乐, 他们的意见使我受益匪浅. 特别感谢我的编辑 Vickie Kearn、制作编辑 Linny Schenck 和设计师 Lorraine Doneker, 感谢他们对我的所有帮助和支持, 还要感谢 Gerald Folland, 他的很多真知灼见对本书的改善有很大的贡献. 此外, 感谢 Ed Nelson、Maria Klawe、Christine Miranda、Lior Braunstein、Emily Sands、Jamaal Clue、Alison Ralph、Marcher Thompson、Ioannis Avramides、Kristen Molloy、Dave Uppal、Nwanneka Onvekwusi、Ellen Zuckerman、Charles MacCluer 和 Gary Slezak, 本书中的很多修正都得益于他们的意见和建议.

    感谢下列普林斯顿大学数学系的教员和工作人员对我的大力支持:Eli Stein、Simon Kochen、Matthew Ferszt 和 Cott Kenny. 我也要感谢我在 INTECH 的同事们给予的支持, 特别是 Bob Fernholz、Camm Maguire、Marie D'Albero 和 Vassilios Papathanakos, 他们提出了一些优秀的审读建议. 我还要感谢我高二、高三的数学老师 ——William Pender, 他绝对是世界上最好的微积分老师. 这本书中很多方法都是从他的教学中获得了启发. 我希望他能原谅我曲线不画箭头, 所有的坐标轴上没有标注, 以及在每一个 +C 后都没有写 “对于任意一个常数 C”.

    我的朋友和家人都给了我无私的支持, 尤其是我的父母 Freda 和 Michael、姐姐 Carly、祖母 Rena, 还有姻亲 Marianna 和 Michael. 最后, 我要特别感谢我的妻子 Amy 在我写书过程中对我的帮助和理解, 她总是陪伴在我身边. (还要感谢她为我画的 “爬山者图标”.)

    第 1 章 函数、图像和直线

    不借助函数却想去做微积分, 这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一. 如果微积分也有其营养成分表, 那么函数肯定会排在最前面, 而且是占一定优势. 因此, 本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质. 本章包含对下列主题的回顾:

    • 函数, 其定义域、上域、值域和垂线检验;

    • 反函数和水平线检验;

    • 函数的复合;

    • 奇函数与偶函数;

    • 线性函数和多项式的图像, 以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾;

    • 如何处理绝对值.

    下一章会涉及三角函数. 好啦, 就让我们开始吧, 一起来回顾一下到底什么是函数.

    1.1 函数

    函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域的集合.

    来看一些函数的例子吧.

    • 假设你写出 f (x) = x2, 这就定义了一个函数 f , 它会将任何数变为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域, 我们不妨假设它们都属于 \mathbb{R}, 即所有实数的集合. 这样, 你就可以将任何实数平方, 并得到一个实数. 例如, f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4, 将 1 变为 1. 最后一个变换根本没有什么变化, 但这没问题, 因为转变后的对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f (2) = 4 的时候, 这实际上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是, f 是一个变换规则, 而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f (x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.

    • 现在, 令 g (x) = x2, 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的数称为非负的).它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同, 因为各自的定义域不同. 例如, f (-1/2) = 1/4, 但 g (-1/2) 却是没有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 gf 有相同的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的.

    • 仍然令 f (x) = x2, f (马) 会是什么呢?这显然是无定义的, 因为你不能平方一匹马呀. 另一方面, 让我们指定 “h (x) = x 的腿的数目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来, 我们就会得到 h (马) = 4, h (蚂蚁) = 6, h (鲑鱼) = 0. 因为动物腿的数目不会是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便问一下, h (2) 会是什么呢?当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在 h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢?这个问题实际上没有任何意义. 你或许也可以认为 h (椅子) = 4, 因为多数椅子都有四条腿, 但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义域中. 也就是说, h (椅子) 是没有定义的.

    • 假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症. 它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j (x) = Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”, 其中 j 的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效, 我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜色 (假设是红色的吧). 如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的, 那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.

    现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象; 转变后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复, 但这也没什么.

    那么, 为什么值域和上域不是一回事呢?值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 下面给出上述函数的值域.

    • 如果 f (x) = x2, 其定义域和上域均为 \mathbb{R}, 那么其值域是非负数的集合. 毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数. 那你又如何知道值域是所有的非负数呢?其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所有的非负数. 例如, 平方 \sqrt2 (或 -\sqrt2), 结果都是 2.

    • 如果 g (x) = x2, 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数 \mathbb{R}, 那么其值域还是非负数的集合. 当平方每一个非负数时, 结果仍然会包括所有的非负数.

    • 如果 h (x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合. 我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动物, 以及一些有更多条腿的小动物. 如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的数加入其值域. 不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰. 要想了解真实的答案, 你或许得是一位生物学家.

    • 最后, 如果 j (x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色. 我很怕去想它们会是什么样的, 但或许亮蓝色不在其中吧.

    1.1.1 区间表示法

    在本书剩余部分, 函数总有上域 \mathbb{R}, 并且其定义域总会尽可能和 \mathbb{R} 差不多 (除非另有说明). 因此, 我们会经常涉及实轴的子集, 尤其是像 {x : 2 ≤ x < 5} 这样的连通区间. 像这样写出完整的集合有点儿烦, 但总比说 “介于 2 和 5 之间的所有数, 包括 2 但不包括 5” 要强. 使用区间表示法会让我们做得更好.

    我们约定, [a, b] 是指从 ab 端点间的所有实数, 包括 ab. 所以 [a, b] 指的是所有使得 axb 成立的 x 的集合. 例如, [2, 5] 是所有介于 2 和 5 之间 (包括 2 和 5) 的实数的集合. (它不仅仅包括 2、3、4 和 5, 不要忘记还有一大堆处于 2 和 5 之间的分数和无理数, 比如 5/2、\sqrt7 和 π.)像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.

    如果你不想包括端点, 把方括号变为圆括号就行了. 所以 (a, b) 指的是介于 ab 之间但不包括 ab 的所有实数的集合. 这样, 如果 x 在区间 (a, b) 中, 我们就知道 a < x < b. 集合 (2, 5) 表示介于 2 和 5 之间但不包括 2 和 5 的所有实数的集合. 像 (a, b) 这种形式表示的区间称作开区间.

    你也可以混和匹配:[a, b) 指的是介于 ab 之间、包括 a 但不包括 b 的所有实数的集合; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).

    还有一个有用的记号就是 (a, ∞), 它是指大于 a 但不包括 a 的所有数; [a, ∞) 也一样, 只是它包括 a. 此外还有三个涉及 -∞ 的可能性. 总而言之, 各种情况如下.

    {%}

    1.1.2 求定义域

    有时候, 函数的定义中包括了定义域. (例如, 1.1 节中的函数 g 就是如此.) 然而在大多数情况下, 定义域是没有给出的. 通常的惯例是, 定义域包括实数集尽可能多的部分. 例如 k(x)=\sqrt x, 其定义域就不可能是 \mathbb{R} 中的所有实数, 因为不可能得到一个负数的平方根. 其定义域一定是 [0, ∞), 就是大于或等于 0 的所有实数的集合.

    好了, 我们知道取负数的平方根会出问题. 那么还有什么会把问题搞糟呢?以下是三种最常见的情况.

    (1) 分数的分母不能是零.

    (2) 不能取一个负数的平方根 (或四次根, 六次根, 等等).

    (3) 不能取一个负数或零的对数. (还记得对数函数吗?若忘了, 请看看第 9 章!)

    或许你还记得 tan(90°) 也是一个问题, 但这实际上是上述第一种情况的特例. 你看,

    \tan(90\degree)=\frac{\sin(90\degree)}{\cos(90\degree)}=\frac{1}{0},

    tan(90°) 之所以是无定义的, 实际上是因为其隐藏的分母为零. 这里还有一个例子: 如果定义

    f(x)=\frac{\log_{10}(x+8)\sqrt{26-2x}}{(x-2)(x+19)},

    那么 f 的定义域是什么呢?当然, 为了使 f (x) 有意义, 以下是我们必须要做的.

    • 取 (26 - 2x) 的平方根, 所以这个量必须是非负的. 也就是说, 26 - 2x ≥ 0. 这可以写成 x ≤ 13.

    • 取 (x + 8) 的对数, 所以这个量必须是正的. (注意对数和平方根的区别:可以取 0 的平方根, 但不能取 0 的对数.) 不管怎么说, 我们需要 x + 8 > 0, 所以 x > -8. 到现在为止, 我们知道 -8 < x ≤ 13, 所以其定义域最多是 (-8, 13].

    • 分母不能为 0, 这就是说 (x - 2) ≠ 0 且 (x + 19) ≠ 0. 换句话说, x ≠ 2 且 x ≠ -19. 最后一个条件不是问题, 因为我们已经知道 x 处于 (-8, 13] 内, 所以 x 不可能是 -19. 不过, 我们确实应该把 2 去掉.

    这样就找到了其定义域是除了 2 以外的集合 (-8, 13]. 这个集合可以写作 (-8, 13] \ {2}, 这里的反斜杠表示 “不包括”.

    1.1.3 利用图像求值域

    让我们来定义一个新的函数 F , 指定其定义域为 [-2, 1], 并且 F (x) = x2 在此定义域上. (记住, 我们看到的任何函数的上域总是所有实数的集合.) 同时又是对于所有的实数 x, f (x) = x2. 那么 Ff 是同一个函数吗?回答是否定的, 因为两个函数的定义域不相同 (尽管它们有相同的函数规则). 正如 1.1 节中的函数 g, 函数 F 是由限制 f 的定义域得到的.

    现在, F 的值域又是什么呢?如果你将 -2 到 1 之间 (包括 -2 和 1) 的每一个实数平方的话, 会发生什么呢?你应该有能力直接求解, 但这是观察如何利用图像来求一个函数的值域的很好机会. 基本思想是, 画出函数图像, 然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向 y 轴水平地射入两束亮光. 曲线会在 y 轴上有两个影子, 一个在 y 轴的左侧, 另一个在 y 轴的右侧. 值域就是影子的并集; 也就是说, 如果 y 轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里, 那么它处于函数的值域中. 我们以函数 F 为例来看一下这是怎么运作的吧.

    {90%}

    图 1-1

    图 1-1 中左侧的影子覆盖了 y 轴从 0 到 4 (包括 0 和 4) 的所有点, 也就是 [0, 4]; 另一方面, 右侧的影子覆盖了从 0 到 1 (包括 0 和 1)的所有点, 也就是 [0, 1]. 右侧的影子没有贡献更多, 全部的覆盖范围仍然是 [0, 4]. 这就是函数 F 的值域.

    1.1.4 垂线检验

    在上一节中, 我们利用一个函数的图像来求其值域. 函数的图像非常重要:它真正地展示了函数 “看起来是什么样子的”. 在第 12 章, 我们将会看到绘制函数图像的各种技巧, 但现在, 我很想提醒你注意的是垂线检验.

    你可以在坐标平面上画任何你想画的图形, 但结果可能不是一个函数的图像. 那么函数的图像有什么特别之处呢?或者说, 什么是函数 f 的图像呢?它是所有坐标为 (x, f (x)) 的点的集合, 其中 xf 的定义域中. 还有另外一种方式来看待它. 我们以某个实数 x 开始. 如果 x 在定义域中, 你就画点 (x, f (x)), 当然这个点在 x 轴上的点 x 的正上方, 高度为 f (x). 如果 x 没有在定义域中, 你不能画任何点. 现在, 对于每一个实数 x, 我们重复这个过程, 从而构造出函数的图像.

    这里的关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上. 要不然, 你又将如何知道在点 x 上方的两个或多个不同高度的点中, 哪一个是对应于 f (x) 的值呢?这样就有了垂线检验:如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话, 那它就不是函数的图像; 反之, 如果没有一条垂线和图像相交多于一次, 那么你的确面对的是函数的图像. 例如, 以原点为中心, 半径为三个单位的圆的图像, 如图 1-2 所示.

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    图 1-2

    这么普通的对象应该是个函数, 对吗?不对, 让我们进行如图所示的垂线检验. 当然, 在 -3 的左边或 3 的右边都没有问题 (垂线甚至都没有击中图像), 这很好. 就连在 -3 或 3 上, 垂线和图像也仅仅有一次相交, 这也很好. 问题出在 x 落在区间 (-3, 3) 上时. 对于这其中的任意 x 值, 垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次, 这就坏事了. 你不知道 f (x) 到底是对应上方的点还是下方的点.

    最好的解决方法是把圆分成上下两个半圆, 并只选择上一半或者下一半. 整个圆的方程是 x2 + y2 = 9, 而上半圆的方程是 y=\sqrt{9-x^2}, 下半圆的方程是 y=-\sqrt{9-x^2}. 这最后两个就是函数了, 定义域都是 [-3, 3]. 你可以以不同的方式来分割. 实际上, 你不是必须要把它分成半圆 (可以分割并改变上半圆和下半圆, 只要不违反垂线检验就行了). 例如, 图 1-3 也是一个函数的图像, 其定义域也是 [-3, 3].

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    图 1-3

    垂线检验通过, 所以这确实是一个函数的图像.

    1.2 反函数

    我们假设一个函数 f , 你给了它一个输入 x. 如果 xf 的定义域中, 你就能得到一个输出, 我们称它为 f (x). 现在, 我们把过程倒过来, 并问:如果你选一个实数 y, 那么应该赋予 f 什么样的输入才能得到这个输出 y 呢?

    用数学语言来陈述这个问题就是:给定一个实数 y, 那么在 f 定义域中的哪个 x 满足 f (x) = y?首先要注意的是, y 必须在 f 的值域中. 否则, 根据定义, 将不再有 x 的值使得 f (x) = y 成立了. 如此在 f 定义域中将没有这样的 x 满足 f (x) = y, 因为值域是所有的可能输出.

    另一方面, 如果 y 在值域当中, 也可能会有很多值都满足 f (x) = y. 例如 f (x) = x2 (其定义域为 \mathbb{R}), 我们的问题是 x 取何值时会输出 64. 很显然, 有两个 x 值:8 和 -8. 另外, 如果 g (x) = x3, 对于相同的问题, 这时只有一个 x 值, 就是 4. 对于任意一个我们赋予 g 去做变换的实数, 结果都是如此, 因为任何数都只有一个 (实数) 立方根.

    所以这里的情形如下:给定一个函数 f , 在 f 的值域中选择 y. 在理想状况下, 仅有一个 x 值满足 f (x) = y. 如果上述理想状况对于值域中的每一个 y 来说都成立, 那么就可以定义一个新的函数, 它将逆转变换. 从输出 y 出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f (x) = y. 这个新的函数称为 f反函数, 并写作 f -1. 以下是使用数学语言对上述情形的总结.

    (1) 从一个函数 f 出发, 使得对于在 f 值域中的任意 y, 都只有唯一的 x 值满足 f (x)= y. 也就是说, 不同的输入对应不同的输出. 现在, 我们就来定义反函数 f -1.

    (2) f -1 的定义域和 f 的值域相同.

    (3) f -1 的值域和 f 的定义域相同.

    (4) f -1 (y) 的值就是满足 f (x) = yx. 所以,

    如果 f (x) = y, 那么 f -1 (y) = x.

    变换 f -1 就像是 f 的撤销按钮:如果你从 x 出发, 并通过函数 f 将它变换为 y, 那么你可以通过在 y 上的反函数 f -1 来撤销这个变换的效果, 取回 x.

    这会引发一些问题:你如何知道只有唯一的 x 值满足 f (x) = y 呢?如果是这样, 如何求得反函数呢, 其图像又是什么样子呢?如果不是这样, 你又如何挽救这一局面呢?在接下来的三个小节中我们会对这些问题作出回答.

    1.2.1 水平线检验

    对于第一个问题 —— 如何知道对于 f 值域中的任意 y, 只有一个 x 值满足 f (x) = y —— 最好的方法也许是看一下函数图像. 我们想要在 f 值域中选择 y, 并且希望只有一个 x 值满足 f (x) = y. 这就意味着通过点 (0, y) 的水平线应该和图像仅有一次相交, 且交点为点 (x, y). 那个 x 就是我们想要的. 如果水平线和曲线相交多于一次, 那将会有多个可能的对应 x 值, 情况会很糟. 如果是那样, 获得反函数唯一的方法就是对定义域加以限制, 我们很快会讨论这一点. 如果水平线根本就没有和曲线相交, 会怎样呢?就是 y 根本没有在值域当中, 这样也不错.

    这样一来, 就可以描述水平线检验:如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数. 如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次, 那么这个函数就没有反函数. 例如, 我们来看一下图 1-4 中 f (x) = x3g (x) = x2 的图像.

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    图 1-4

    没有一条水平线和 y = f (x) 相交多于一次, 所以 f 有一个反函数. 另一方面, 一些水平线和曲线 y = g (x) 相交两次, 所以 g 没有反函数. 这里的问题在于:如果通过 y = x2 来求解 x, 其中 y 为正, 那么就会出现两个解:x=\sqrt{y}x=-\sqrt{y}. 结果你不知道该取哪一个.

    1.2.2 求反函数

    现在来看第二个问题:如何求得函数 f 的反函数呢?其实只需写下 y = f (x), 然后试着解出 x. 在 f (x) = x3 的例子中, 有 y = x3, 所以 x=\sqrt[3]{y}. 这就意味着, f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. 如果你觉得变量 y 刺眼, 可以将它改写为 x, 写成 f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. 当然了, 求解 x 并不总是那么简单. 事实上, 求解经常是不可能的. 另一方面, 如果你知道函数图像是什么样子的, 反函数的图像就会很容易画出来. 基本思想是, 在图像上画一条 y = x 的直线, 然后将这条直线假想为一个双面的镜子. 反函数就是原始函数的镜面反射. 如果 f (x) = x3, 那么 f -1 的图像如图 1-5 所示.

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    图 1-5

    原始函数 fy = x 这面 “镜子” 中被反射, 从而得到反函数. 注意:ff -1 的定义域和值域都是整个实轴.

    1.2.3 限制定义域

    最后要处理第三个问题 : 如果水平线检验失败因而没有反函数, 那应该怎么办呢?我们面临的问题是, 对于相同的 y 有多个 x 值. 解决此问题的唯一方法是:除了这多个 x 值中的一个, 我们放弃所有其他值. 也就是说, 必须决定要保留哪一个 x 值, 然后放弃剩余的值. 正如我们在 1.1 节中看到的, 这称为限制函数的定义域. 实质上, 我们删去部分曲线, 使得保留下来的部分能够通过水平线检验. 例如 g (x) = x2, 可以删除左半边的图像, 如图 1-6 所示.

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    图 1-6

    这条新的 (实线的) 曲线将定义域缩减为 [0, ∞), 并且满足水平线检验, 所以它有反函数. 更确切地说, 定义在定义域 [0, ∞) 上的函数 h 有反函数, 其中 h (x) = x2. 让我们用镜面反射游戏来看一下它到底是什么样子的,如图1-7 所示.

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    图 1-7

    为了找到反函数的方程, 我们必须在方程 y = x2 中解出 x. 很明显, 问题的解就是 x=\sqrt{y}x=-\sqrt{y}, 但是我们需要哪一个呢?我们知道反函数的值域和原始函数的定义域是相同的, 而后者被限制为 [0, ∞), 所以我们需要一个非负的数来作为答案, 即 x=\sqrt{y}. 这就是说, h^{-1}(y)=\sqrt{y}. 当然, 也可以把原始图像的右半边删除, 将定义域限制为 (-∞, 0]. 在那种情况下, 我们得到一个定义域为 (-∞, 0] 的函数 j. 它也满足 j (x) = x2, 但只是在这个定义域上才成立. 这个函数也有反函数, 反函数是负的平方根, 即 j^{-1}(y)=\sqrt{y}.

    顺便说一下, 如果你让没有通过水平线检验的、定义域为 (-∞, ∞) 的原始函数 g(x) = x2 在镜子 y = x 中反射, 那么你会得到如图 1-8 所示的图像.

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    图 1-8

    注意到这个图像不会通过垂线检验, 所以它不是函数的图像. 这说明了垂线检验和水平线检验之间的联系, 即水平线被镜子 y = x 反射后会变成垂线.

    1.2.4 反函数的反函数

    有关反函数还有一点:如果 f 有反函数, 那么对于在 f 定义域中的所有 x, f -1 (f (x)) = x 成立; 同样, 对于在 f 值域当中的所有 y, 都有 f (f -1 (y)) = y. (记得, f 的值域和 f -1 的定义域相同, 所以对于 f 值域中的 y, 我们确实可以取到 f -1 (y), 不会导致任何曲解. )

    例如 f (x) = x3, f 的反函数由 f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} 给出, 所以对于任意的 x, f^{-1}(f(x))=\sqrt[3]{x^3}=x. 不要忘记, 反函数就像是撤销按钮. 我们使用 x 作为 f 的输入, 然后给出输出到 f -1; 这撤销了变换并让我们取回了 x 这个原始的数. 类似地, f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\bigl(\sqrt[3]{y}\bigr)^3. 所以, f -1f 的反函数, 且 ff -1 的反函数. 换句话说, 反函数的反函数就是原始函数.

    不过, 对于限制定义域的情况一定要当心. 令 g (x) = x2, 我们已经看到你需要对其定义域加以限制, 方能取得反函数. 设想我们把定义域限制为 [0, ∞), 但由于粗心大意而把函数继续看成是 g 而不是先前小节中那样的 h. 我们便会说 g^{-1}(x)=\sqrt{x}. 如果你真要计算 g (g-1 (x)), 你就会发现它是 (\sqrt{x})^2, 即等于 x, 只要 x ≥ 0. (当然,不是这样的话, 从一开始你就无法取得平方根. )

    另一方面, 如果你解出 g-1 (g (x)), 你会得到 \sqrt{x^2}, 它不是总和 x 相同. 例如, 如果 x = -2, 那么 x2 = 4, \sqrt{x^2}=\sqrt{4}=2. 所以一般而言, g-1 (g (x)) = x 不成立. 这里的问题在于, -2 没有在 g 的限制定义域当中. 而且, 从技术角度而言, 你甚至不可能计算 g (-2), 因为 -2 不再属于 g 的定义域了. 我们确实应该使用 h, 而不是 g, 以便提醒自己要更加小心. 不过在实践中, 数学家们在限制定义域时经常不会改变字母! 所以把这种情形总结如下对大家是很有帮助的.

    如果一个函数 f 的定义域可以被限制, 使得 f 有反函数 f -1, 那么

    • 对于 f 值域中的所有 y, 都有 f (f -1 (y)) = y ; 但是

    • f -1 (f (x)) 可能不等于 x ; 事实上, f -1 (f (x)) = x 仅当 x 在限制的定义域中才成立.

    在 10.2.6 节, 对于反三角函数, 我们会再次提到这些要点.

    1.3 函数的复合

    假设有一个表达式为 g(x) = x2 的函数 g. 你可以将 x 替换成任何使函数有意义的对象, 如 g(y) = y2g(x + 5) = (x + 5)2. 后一个例子需要特别注意小括号, 若写成 g(x + 5) = x + 52 就是错的, 因为 x + 25 并不等于 (x + 5)2. 所以在替换过程中如果拿不准, 可用小括号. 也就是说, 如果你需将 f (x) 写成 f (某表达式), 可将每一个 x 替换成 (某表达式), 这时一定要加小括号. 唯一不需要加小括号的情况是, 当函数是指数函数时, 如 h(x) = 3x, 你可以写成 h(x2 + 6) = 3x2 +6. 不需要加小括号是因为你已经将 x2 + 6 写成上标了.

    现在考虑定义为 f (x) = cos(x2) 的函数 f . 若给定一个数 x, 如何计算 f (x) 呢? 你会首先计算 x 的平方, 然后计算平方值的余弦. 鉴于我们可将 f (x) 的计算分解成前后相继的两个独立的计算, 我们也就可以将这些计算各描述成一个函数. 因此, 令 g(x) = x2, h(x) = cos(x). 为了模拟函数 f 是如何作用于输入值 x 的, 你可先将 x 输入到函数 g 进行求平方运算, 接着不必返回 g 的结果而直接让 g 将其结果作为函数 h 的输入, 然后 h 计算出一个最终的结果值, 该结果值当然是由函数 g 计算出的 x 平方值的余弦值. 这个过程恰恰模拟了 f , 故我们可以写出 f (x) = h(g(x)), 也可表示为 f = hg, 这里的圈表示 “与 …… 的复合”, 即 fgh复合. 换言之, fgh 的复合函数. 这里需要小心的是, 我们把 h 写在 g 的前面 (像平常一样从左向右读), 但计算时我们要先从 g 开始. 我承认这确实容易让人搞混, 但我也没办法 —— 你只能试着去接受.

    练习求两个或多个函数的复合是很有用的. 例如, 若 g(x) = 2x, h(x) = 5x4, j(x) = 2x - 1, 则函数 f = ghj 的表达式是什么? 我们只需从 j 开始, 将其代换到 h, 接着再将结果代换到 g, 可得

    f(x)=g(h(j(x)))=g(h(2x-1))=g(5(2x-1)^4)=2^{5(2x-1)^4}

    同样, 你需要练习该过程的逆过程. 例如, 假定你开始于函数

    f(x)=\frac{1}{\tan(5\log_2(x+3))}.

    如何将 f 分解为几个简单函数呢?从函数式中找到 x, 首先需要加 3, 所以设 g(x) = x + 3; 然后要对所得值取以 2 为底的对数, 所以令 h(x) = log2(x); 接着需乘 5, 则设 j(x) = 5x ; 再接着要求正切值, 因此令 k(x) = tan(x); 最后要取倒数, 于是令 m(x) = 1/x. 由上, 验证下式:

    f(x)=m(k(j(h(g(x))))).

    利用复合符号, 可以写成

    f=m\circ k\circ j\circ h\circ g.

    这并不是函数 f 的唯一分解形式. 例如, 我们可以将函数 hj 复合成另一个函数 n, 其中 n(x) = 5 log2(x). 然后你应该验证一下 n = jh

    f=m\circ k\circ n\circ g.

    或许最初 (包含 jh) 的分解较好一点, 因为它将 f 分解成更多的基本形式, 但第二种 (包含 n) 也没错, 毕竟 n(x) = 5 log2(x) 仍是关于 x 的较为简单的函数.

    注意, 函数的复合并不是把它们相乘. 例如 f (x) = x2 sin(x), f 不是两个函数的复合, 因为对任意给定的 x, 计算 f (x) 的值需要求解 x2 和 sin(x)(先求哪个值都没关系, 这与复合函数不同), 然后将这两个值乘起来. 若令 g(x) = x2, h(x) = sin(x), 则我们可以写成 f (x) = g(x)h(x) 或 f = gh. 可将它与这两个函数的复合函数 j = gh, 即

    j(x)=g(h(x))=g(\sin(x))=(\sin(x))^2

    j(x) = sin2(x) 比较一下. 函数 j 完全不同于乘积 x2 sin(x), 它同样不同于函数 k = hg. 函数 k 也是 gh 的复合函数, 不过是按另一个顺序的复合:

    k(x)=h(g(x))=h(x^2)=\sin(x^2).

    k 是另一个完全不同的函数. 这个例子说明, 函数的乘积和复合是不同的, 且函数的复合与函数顺序有关系, 而函数的乘积与函数顺序无关.

    复合函数另一个简单但重要的例子是, 将函数 fg(x) = x - a(a 是常数) 进行复合. 对复合得到的新函数 h(x) = f (x - a), 需要关注的是新函数 y = h(x) 和函数 y = f (x) 的图像是一样的, 只不过 y = h(x) 的函数图像向右平移了 a 个单位. 如果 a 是负的, 那么就是向左平移. (一种理解方式是, 向右平移 -3 个单位与向左平移 3 个单位是一样的. ) 那么如何画 y = (x - 1)2 的图像呢?就像画 y = x2 的图像一样, 只是用 x - 1 来代替 x. 所以可将函数 y =x2 的图像向右平移 1 个单位, 如图 1-9 所示.

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    图 1-9

    类似地, y = (x + 2)2 的图像是将 y = x2 的图像向左平移 2 个单位, 可把 (x + 2) 理解为 (x - (-2)).

    1.4 奇函数和偶函数

    一些函数具有对称性, 这便于对它们进行讨论. 考虑定义为 f (x) = x2 的函数 f , 任选一个正数 (我选 3) 作用于函数 f (得到 9). 现在取该数的负值, 由我选择的数可得 -3, 将其作用于函数 f (又得到 9). 不论你选择的是几, 应该跟我一样, 两次得到了相同的值. 你可将这种现象表示为, 对所有的 x, 有 f (-x) = f (x). 也就是说, 将 x 作为 f 的输入和将 -x 作为输入, 会得到一样的结果. 注意到 g(x) = x4h(x) = x6 同样具有这种性质. 事实上, 当 n 是偶数时 (n 可以是负数), j(x) = xn 具有相同的性质. 受以上讨论的启发, 我们说, 如果对 f 定义域里的所有 xf (-x) = f (x), 则 f 是偶函数. 这个等式对某些 x 值成立是不够的, 它必须对定义域里的所有 x 都成立.

    现在, 我们对函数 f (x)= x3 做相同的讨论. 选择你喜欢的任一正数 (我仍选 3) 作用于 f (得到 27). 用你选的数的负值再试一遍, 我的数的负值是 -3, 得到 -27, 你同样应该得到先前结果的负值. 可以用数学方式将其表示为 f (-x) = -f (x). 同样地, 当 n 是奇数时 (n 可以是负数), j(x) = xn 具有相同的性质. 因此我们说, 当对 f 定义域内所有 x 都有 f (-x) = -f (x) 时, f 是奇函数.

    一般而言, 一个函数可能是奇的, 可能是偶的, 也可能非奇非偶. 要记住这一点, 大多数函数是非奇非偶的. 另一方面, 只有一个函数是既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f (x) = 0(我们称之为零函数). 它为什么是唯一的既奇又偶的函数呢?我们证明一下. 若函数 f 是偶函数, 则对所有 xf (-x) = f (x); 但如果同时它又是奇的, 则对所有 xf (-x) = -f (x), 用第一个等式减去第二个等式, 得到 0 = 2f (x), 即 f (x) = 0, 这对所有 x 成立, 因此函数 f 一定是零函数. 另一个有用的结论是, 如果一个函数是奇的, 并且 0 在其定义域内, 则 f (0) = 0. 为什么呢?由于对定义域里的所有 x, f 都有 f (-x) = -f (x), 我们用 0 试一下. 我们得 f (-0) = f (0), 但 -0 等于 0, 因此 f (0) = -f(0), 化简得 2f (0) = 0, 即 f (0) = 0.

    不论如何, 对于一个函数 f , 怎么来判定它是奇函数、偶函数或都不是呢?若是奇函数或偶函数又怎样呢?我们先来看下第二个问题, 然后再讨论第一个问题. 当知道一个函数的奇偶性之后, 一个比较好的事情就是画函数图像比较容易了. 事实上, 如果你能将这个函数的右半边图像画出来, 那么画左半边图像就是小菜一碟. 我们先讨论当 f 是偶函数时的情形. 因 f (x) = f (-x), y = f (x) 的图像在 x 和 -x 坐标上方具有相同的高度, 且对所有的 x 都成立, 如图 1-10 所示.

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    图 1-10

    我们得到这样的结论:偶函数的图像关于 y 轴具有镜面对称性. 所以当你画出偶函数的右半边图像后, 就可以通过将其图像关于 y 轴反射得到它的左半边图像. 不妨用 y = x2 的图像检验一下它的镜面对称性.

    另一方面, 假设 f 是奇函数. 因 f (-x) = -f(x), y = f (x) 图像在 x 坐标上方和 -x 坐标下方具有相同的高度. (当然, 若 f (x) 是负的, 你可以调换一下 “上方” 和 “下方” 两个词.) 不论如何, 其图像如图 1-11 所示.

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    图 1-11

    现在的对称性是关于原点的点对称, 即奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性. 这就意味着, 如果你只有奇函数的右半边图像, 你可按下面的方法得到其左半边的图像. 想象该曲线是浮在纸面上, 你能够把它拿起来但不能改变它的形状. 不过, 你没有把它拿起来, 而是用大头针在原点处把曲线钉住 (回想一下, 奇函数若在 0 处有定义, 它必定通过原点), 然后将整个曲线旋转半圈, 这样就得到左半边图像的样子了. (如果曲线是不连续的, 即不是连在一起的一条, 这个方法就不那么好用了.) 可验证一下, 上面的图像和函数 y = x3 的图像都具有这样的对称性.

    现在假设 f 定义为 f (x) = log5(2x6 - 6x2 + 3), 你怎么确定 f 是奇函数、偶函数, 还是都不是呢?方法就是, 将每个 x 替换为 (-x) 并计算 f (-x), 一定要记着给 -x 加上小括号, 然后化简结果. 如果你得出了原始表达式 f (x), f 就是偶的; 如果得到原始表达式的负值 -f (x), f 就是奇的; 如果得到的结果一团糟, 既不是 f (x) 也不是 =f (x), 则 f 就非奇非偶 (或之前的化简不充分). 由上例, 可得

    f(-x)=\log_5(2(-x)^6-6(-x)^2+3)=\log_5(2x^6-6x^2+3),

    本式实际上等于 f (x) 本身, 因此函数 f 是偶的. 那函数

    g(x)=\frac{2x^3+x}{3x^2+5}h(x)=\frac{2x^3+x-1}{3x^2+5}

    的奇偶性又如何呢?对函数 g, 我们有

    g(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x}{3x^2+5}.

    现在可把负号提到前面来, 得到

    g(-x)=\frac{2x^3+x}{3x^2+5},

    注意到结果等于 -g (x), 即除了负号以外, 剩下部分就是原始函数, 因此 g 是奇函数. 那函数 h 呢?我们有

    h(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)-1}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x-1}{3x^2+5}.

    我们再次把负号提到前面来, 得到

    h(-x)=\frac{2x^3+x+1}{3x^2+5}.

    嗯, 看起来这不是原始函数的负值, 因为分子上有个+1. 它也不是原始函数本身, 所以函数 h 是非奇非偶的.

    我们再看一个例子. 若想证明两个奇函数之积是偶函数, 该怎么做呢?先给事物命名比较利于讨论, 我们就定义有两个奇函数 fg. 我们需要看一下它们的乘积, 因此定义它们的积为 h, 即定义了 h(x) = f (x)g(x), 而我们的任务是要证明 h 是偶的. 像往常一样, 我们需要证明 h(-x) = h(x). 因 fg 都是奇的, 注意到 f (-x) = -f (x), g(-x) = -g(x) 会有所帮助. 我们从 h(-x) 开始. 由于 hfg 的乘积, 有 h(-x) = f (-x)g(-x). 再利用 fg 的奇函数性质将等式右边表示为 (-f (x))(-g (x)), 负号提到前面消掉, 由此得到 f (x)g(x), 而它当然等于 h(x). 我们可以 (也应该) 把上述过程用数学式表示为

    h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=h(x).

    总之, 由 h(-x) = h(x) 可得函数 h 是偶函数. 现在你应该可以证明两偶函数之积仍为偶函数, 奇函数和偶函数之积是奇函数. 马上试一下吧!

    1.5 线性函数的图像

    形如 f (x) = mx + b 的函数叫作线性函数. 如此命名原因很简单, 因为它们的图像是直线. 直线的斜率是 m. 设想一下, 此时此刻你就在这页纸中, 这条直线就像是座山, 你从左向右开始登山, 如图 1-12 所示.

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    图 1-12

    如果像上图一样, 斜率 m 为正数, 那么你正在上山. m 越大, 这段上坡就越陡. 相反, 如果 m 为负数, 那么你正在下山. m 的数值越小 (即绝对值越大), 这段下坡也就越陡. 如果斜率为 0, 这段山路就是水平的, 你既不在上山, 也不在下山, 仅仅是在沿一条水平直线前行.

    你仅仅需要确认两个点, 就可以画出线性函数的图像, 因为两点确定一条直线. 你所要做的就是把尺子放在这两点上, 笔轻轻一连就行了. 其中一点很容易找, 就是 y 轴的截距. 设 x = 0, 很显然 y = m × 0 + b = b. 也就是说, y 轴的截距为 b, 所以直线通过 (0, b) 这点. 我们可以通过找 x 轴的截距来找另一点, 设 y 为 0, 求 x 的值. 不过, 这种方法在两种特殊情况下不适用. 情况一:b = 0, 这时函数变为 y = mx. 直线通过原点, x 轴和 y 轴的截距都为零. 为了求得另一点, 可以把 x = 1 代入, 可得 y = m. 所以直线 y = mx 通过原点和 (1, m) 这两点. 例如, 直线 y = -2x 通过原点和 (1, -2), 如图 1-13 所示.

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    图 1-13

    情况二:当 m = 0, 这时函数变为 y = b, 是一条通过 (0, b) 的水平直线.

    更有趣的例子, 可考虑函数 y=\frac{1}{2}x-1. 很显然, y 轴截距为 -1, 斜率为1/2. 为画这条直线, 我们还需要求出 x 轴的截距. 通过设 y = 0 可以得出 0=\frac{1}{2}x-1, 化简后得出 x = 2. 图像如图 1-14 所示.

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    图 1-14

    现在假设你知道平面上有一条直线, 但不知道它的方程. 如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率, 那就能很容易地找到它的方程. 你真的, 真的, 真的, 很有必要去掌握这种方法, 因为它经常出现. 这个公式叫直线方程的点斜式, 其文字表达如下:

    {%}

    如果已知一条直线通过 (-2, 5), 斜率为 -3, 如何求它的方程?方程为 y - 5 = -3(x - (-2)), 化简后结果为 y = -3x - 1.

    有时你不知道直线的斜率, 但知道它通过哪两点. 那怎样求它的方程呢?技巧是, 找出它的斜率, 再用刚才的方法去求出方程. 首先, 你需要知道:

    {%}

    例如, 通过 (-3, 4) 和 (2, -6) 的直线方程是什么?首先, 求它的斜率:

    斜率 =\frac{-6-4}{2-(-3)}=\frac{-10}{5}=-2.

    我们现在知道该直线通过 (-3, 4), 斜率为 -2, 所以它的方程为 y - 4 = -2(x - (-3)), 化简后为 y = -2x - 2. 同样, 我们也可以使用另一点 (2, -6) 和斜率为 -2, 得出方程为 y - (-6) = -2(x - 2), 化简后为 y = -2x - 2. 你会发现, 无论使用哪一个点, 最后得到的结果都是相同的.

    1.6 常见函数及其图像

    下面是你应该知道的最重要的一些函数.

    (1) 多项式 有许多函数是基于 x 的非负次幂建立起来的. 你可以以 1、xx2x3 等为基本项, 然后用实数同这些基本项做乘法, 最后把有限个这样的项加到一起. 例如, 多项式 f (x) = 5x4 -4x3 +10 是由 x4 的 5 倍加 x3 的 -4 倍加 10 而形成的. 你可能也想加中间的基本项 x2x , 但由于它们没有出现, 所以我们可以说零倍的 x2 和零倍的 x. 基本项 xn 的倍数叫作 xn 的系数. 例如, 刚才的多项式 x4x3x2x 和常数项的系数分别为 5、-4、0、0 和 10. (顺便提一下, 为什么会有 x 和 1 的形式? 这两项看上去与其他项不同, 但它们实际上是一样的, 因为 x = x1, 1 = x0.) 最大的幂指数 n(该项系数不能为零) 叫作多项式的次数. 例如上述多项式的次数为 4, 因为不存在比 4 大的 x 的幂指数. 次数为 n 的多项式的数学通式为

    p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,

    其中 anxn 的系数, an-1xn-1 的系数, 以此类推, 直到最后一项 1 的系数为 a0.

    由于 xn 是所有多项式的基本项, 因而你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的; 同样, 奇次幂的图像之间也很类似. 图 1-15 是从 x0x7 的图像.

    {95%}

    图 1-15

    一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式, 否则连 x 轴的截距都经常很难找到. 不过, 多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断. 这是由最高次数的项的系数决定的, 该系数叫作首项系数. an 就为上述多项式通式的首项系数. 例如, 我们刚才提到的多项式 5x4 - 4x3 + 10, 5 为它的首项系数. 实际上, 我们只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势了. 所以图像两端的走势共有如下四种情况, 如图 1-16 所示.

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    图 1-16

    上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 上图仅仅是为了显示图像左右两端的走势. 在这个意义上, 多项式 5x4 - 4x3 + 10 的图像同最左边的图像类似, 因为 n = 4 为偶数, an = 5 为正数.

    我们再稍微讨论一下次数为 2 的多项式, 又叫二次函数. 不写成 p(x) = a2x2 + a1x + a0, 而把系数分别写成 abc 会更简单些, 即我们有 p(x) = ax2 + bx + c. 根据判别式的符号可以判断二次函数到底有两个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母 Δ 来表示判别式 Δ = b2 - 4ac. 它共有三种可能性. 如果 Δ > 0, 有两个不同的解; 如果 Δ = 0, 只有一个解, 也可以说有两个相同的解; 如果 Δ < 0, 在实数范围内无解. 对于前两种情况, 解为

    \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

    注意到该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方. 下面举例说明. 考虑二次函数 2x2 - 3x + 10. 第一步把二次项的系数提出来, 多项式变为了 2\biggl(x^2-\frac{3}{2}x+5\biggr). 这时就得到一个二次项系数为 1 的多项式. 接下来的关键一步是把 x 的系数,这里是 -\frac{3}{2}, 除以 2, 再平方. 我们得到 \frac{9}{16} 。我们多希望常数项是 \frac{9}{16} , 而不是 5, 所以我们开动脑筋:

    x^2-\frac{3}{2}x+5=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}+5-\frac{9}{16}.

    为什么要加一次 \frac{9}{16} , 又减一次 \frac{9}{16} 呢?因为这样的话, 前三项为平方形式 \biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2 . 这时我们得到

    x^2-\frac{3}{2}x+5=\biggl(x^2-\frac{3}{2}+\frac{9}{16}\biggr)+5-\frac{9}{16}=\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+5-\frac{9}{16}.

    接下来, 只剩最后一小步, 5-\frac{9}{16}=\frac{71}{16} . 最后恢复系数 2, 我们有

    2x^2-3x+10=2\biggl(x^2-\frac{3}{2}x+5\biggr)=2\Biggl(\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+\frac{71}{16}\Biggr)=2\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+\frac{71}{8}.

    事实证明, 这个形式在许多情形中更为便利. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第 18 章和第 19 章大量运用这个技巧.

    (2) 有理函数 形如 \frac{p(x)}{q(x)} , 其中 pq 为多项式的函数, 叫作有理函数. 有理函数变化多样, 它的图像根据 pq 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身, 即 q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是 1/xn, 其中 n 为正整数. 图 1-17 是一些有理函数的图像.

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    图 1-17

    奇次幂的图像之间类似, 偶次幂的图像之间也很类似. 知道这些图像长什么样子是有帮助的.

    (3) 指数函数和对数函数 你需要知道指数函数的图像长什么样. 例如, 图 1-18 是 y = 2x 的图像.

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    图 1-18

    y = bx(b > 1) 的图像都与这图类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数; 其次, y 轴的截距为 1 并且值域为大于零的实数; 最后, 左端的水平渐近线为 x 轴. 再强调一下, 该图像非常接近于 x 轴, 但永远不会接触到 x 轴, 无论在你的图形计算器上多么接近. (在第 3 章中, 我们会再次碰到渐近线.) y = 2-x 的图像是 y = 2x 关于 y 轴的对称, 如图 1-19 所示.

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    图 1-19

    如果底小于 1, 情况会是怎样?例如, 考虑 y=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x 的图像. 注意到 \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x=1/2^x=2^{-x}, 所以图 1-19 中 y = 2-x 的图像也是 y=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x 的图像, 因为对于任意 x, 2-x\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x 均相等. 同理可得任何 y = bx(0 < b < 1) 的图像.

    由于 y = 2x 的图像满足水平线检验, 所以该函数有反函数. 这个反函数就是以 2 为底的对数函数 y = log2(x). 以直线 y = x 为镜子, y = log2(x) 如图 1-20 所示.

    {90%}

    图 1-20

    该函数的定义域为 (0, +∞), 这也印证了我之前所说的负数和 0 不能求对数的说法. 值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. logb(x)(b > 1) 的图像都很相似. 对数函数在微积分的学习中很重要, 你一定要学会怎样画它们的图像. 我们将在第 9 章学习对数函数的性质.

    (4) 三角函数 三角函数很重要, 所以下一章整章将对其作详细介绍.

    (5) 带有绝对值的函数 让我们看一下形如 f (x) = |x| 的绝对值函数. 该函数的定义为:

    {55%}

    另一个看待这个绝对值函数的方法是, 它表示数轴上 0 和 x 的距离. 更一般而言, 你应该知道如下重要事实:

    {75%}

    例如, 假设你需要在数轴上找出区域 |x - 1| ≤ 3. 我们可以将该不等式阐释为 x 和 1 之间的距离小于或等于 3. 也就是说, 我们要找到所有与 1 之间的距离不大于 3 的点. 所以我们画一个数轴并标记 1 的位置, 如图 1-21 所示.

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    图 1-21

    距离不大于 3 的点最左到 -2 最右到 4, 所以区域如图 1-22 所示.

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    图 1-22

    所以区域 |x - 1| ≤ 3 也可表示为 [-2, 4].

    同样成立的是, |x|=\sqrt{x^2}. 可以检验一下. 当 x ≥ 0, 显然 \sqrt{x^2}=x; 如果 x < 0, \sqrt{x^2}=x 这个表达式就错了, 因为左边为正, 右边为负. 正确的表达式为 \sqrt{x^2}=-x, 这次右边为正了, 负负得正. 如果你再重新看一次 |x| 的定义, 就会发现我们已经证明了 |x|=\sqrt{x^2}. 但尽管这样, 对于 |x| 这个函数, 最好还是用分段函数去定义.

    最后, 我们来看一些图像. 如果你知道一个函数的图像, 那么可以这样得到这个函数的绝对值的图像, 即以 x 轴为镜子, 把 x 轴下方的图像映射上来, x 轴上方的图像保持不变. 例如, 对于 |x| 的图像, 可以通过翻转 y = xx 轴下方的部分得到, 图 y = |x| 的图像如图 1-23 所示.

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    图 1-23

    怎样画 y = |log2(x)| 的图像呢?使用图像对称的原理, 这个绝对值函数的图像如图 1-24 所示.

    {85%}

    图 1-24

    除了三角函数要在下一章讲外, 这是我在函数部分要讲解的所有内容. 但愿你之前已经见过本章中的许多内容, 因为其中的大部分知识将在微积分中被反复使用, 所以你需要尽快掌握这些知识.

    第 2 章 三角学回顾

    学习微积分必须要了解三角学. 说实话, 我们一开始不会碰到很多有关三角学的内容, 但当它们出现的时候, 会让我们感觉不容易. 因此, 我们不妨针对三角学最重要的一些方面进行一次全面的回顾:

    • 用弧度度量的角与三角函数的基本知识;

    • 实轴上的三角函数 (不只是介于 0° 和 90° 的角);

    • 三角函数的图像;

    • 三角恒等式.

    准备开始回忆吧 ……

    2.1 基本知识

    首先要回忆的是弧度的概念. 旋转一周, 我们说成 2π 弧度而不是 360°. 这似乎有点古怪, 但这里也有一个理由, 那就是半径为 1 个单位的圆的周长是 2π 个单位. 事实上, 这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度, 如图 2-1 所示.

    {75%}

    图 2-1

    上图表示了一般情况, 但要紧的还是一些常用角的度和弧度表达. 首先, 你应该确实掌握, 90° 和 π/2 弧度是一样的. 类似地, 180° 和 π 弧度是一样的, 270° 和 3π/2 弧度是一样的. 一旦掌握了这几个角, 就试着将图 2-2 中所有的角在度与弧度之间来回转换吧.

    {%}

    图 2-2

    更一般地, 如果需要的话, 也可以使用公式

    用弧度度量的角 =\frac{\pi}{180}\times 用度度量的角.

    例如, 要想知道 5π/12 弧度是多少度, 可求解

    \frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{180}\times 用度计量的角,

    你会发现 5π/12 弧度就是 (180/π) × (5π/12) = 75°. 事实上, 可以将弧度和度的转换看成是一种单位的转换, 如英里和公里的转换一样. 转换因数就是 π 弧度等于 180°.

    到目前为止, 我们仅仅研究了角, 现在来看看三角函数吧. 显然, 你必须知道如何由三角形来定义三角函数. 假设我们有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为 θ, 如图 2-3 所示. 那么, 基本公式为

    sin (θ) = {5%} , cos (θ) = {5%} , tan (θ) = {5%}.

    {75%}

    图 2-3

    当然, 如果变换了角 θ, 那么也必须变换其对边和邻边, 如图 2-4 所示. 毫不奇怪, 对边就是对着角 θ 的边, 而邻边则是挨着角 θ 的边. 不过, 斜边始终保持不变: 它是最长的那条边, 并始终对着直角.

    {75%}

    图 2-4

    我们也会用到余割、正割和余切这些倒数函数, 它们的定义分别为

    \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)},\quad\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)},\quad\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}.

    如果你有计划要参加一次微积分的考试 (或者即便你没有), 我的一点建议是: 请熟记常用角 0, π/6, π/4, π/3, π/2 的三角函数值. 例如, 你能不假思索化简 sin (π/3) 吗?tan (π/4) 呢?如果你不能, 那么最好的情况下, 你通过画三角形来寻找答案, 从而白白浪费时间; 而最坏的情况下, 由于总是没有化简你的回答, 你白白丢掉分数. 解决的方法就是要熟记下表.

    0\frac{\pi}{6}\frac{\pi}{4}\frac{\pi}{3}\frac{\pi}{2}
    sin0\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}1
    cos1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}0
    tan0\frac{1}{\sqrt{3}}1\sqrt{3}

    表中的星号表示 tan (π/2) 无定义. 事实上, 正切函数在 π/2 处有一条垂直渐近线 (从图像上看会很清楚, 我们将在 2.3 节对此进行研究). 无论如何, 你必须能够熟练地说出该表中的任意一项, 而且来回都要掌握! 这意味着你必须能够回答两类问题. 这两类问题的例子是:

    (1) sin (π/3) 是什么?(使用该表, 答案是 \sqrt{3}/2. )

    (2) 介于 0 到 π/2, 其正弦值为 \sqrt{3}/2 的角是什么?(显然, 答案是 π/3. )

    当然, 你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题. 就算我求大家了, 请背熟这张表! 数学不是死记硬背, 但有些内容是值得记忆的, 而这张表一定位列其中. 因此, 无论是制作记忆卡片, 让你的朋友来测验你, 还是每天抽一分钟记忆, 不管用什么办法, 请背熟这张表.

    2.2 扩展三角函数定义域

    上表 (你背熟了吗?) 仅仅包括介于 0 到 π/2 的一些角. 但事实上, 我们可以取任意角的正弦或者余弦, 哪怕这个角是负的. 对于正切函数, 我们则不得不小心些. 例如, 上面我们看到的 tan (π/2) 是无定义的. 尽管如此, 我们还是能够对几乎每一个角取正切.

    让我们首先来看看介于 0 到 2π (记住, 2π 就是 360°) 的角吧. 假设你想要计算 sin (θ) (或 cos (θ) 或 tan (θ)), 其中 θ 是介于 0 到 π/2 的角. 为了看得更清楚, 我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平面, 如图 2-5 所示.

    {85%}

    图 2-5

    注意到坐标轴将平面分成了四个象限, 标记为 Ⅰ 到 Ⅳ, 且标记的走向为逆时针方向. 这些象限分别被称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 下一步是要画一条始于原点的射线 (就是半直线). 那么究竟是哪一条射线呢?这取决于角 θ. 来想象一下, 你自己站在原点上, 面向 x 轴的正半轴. 现在沿着逆时针方向转动角 θ, 然后你沿着一条直线向前走. 你的足迹就是你要找的那条射线了.

    现在, 图 2-5 (以及图 2-2) 中的其他标记就说得通了. 事实上, 如果你转动了角 π/2, 你将正面向上并且你的足迹将是 y 轴的正半轴. 如果你转动了角 π, 你将得到 x 轴的负半轴. 如果你转动了角 3π/2, 你将得到 y 轴的负半轴. 最后, 如果你转动了角 2π, 那么就又会回到了你起始的那个位置, 即面向 x 轴的正半轴. 这就好像你根本没转动过! 这就是为什么图中会有 0 ≡ 2π. 对于角度而言, 0 和 2π 是等价的.

    好了, 让我们取某个角 θ 并以恰当的方式画出它. 或许它就在第三象限的某个地方, 如图 2-6 所示.

    {85%}

    图 2-6

    注意到我们将这条射线标记为 θ, 而不是这个角本身. 不管怎样, 现在在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至 x 轴. 我们对三个量感兴趣:该点的 x 坐标和 y 坐标 (当然它们被称为 xy), 以及该点到原点的距离, 我们称为 r. 注意, xy 可能会同时为负 (事实上, 在图 2-7 中它们均为负). 然而, r 总是正的, 因为它是距离. 事实上, 根据毕达哥拉斯定理 (即勾股定理), 不管 xy 是正还是负, 我们总会有 r=\sqrt{x^2+y^2}. (平方会消除任何负号.)

    {90%}

    图 2-7

    有了这三个量, 我们就可以定义如下的三个三角函数了:

    \sin(\theta)=\frac{y}{r},\quad\cos(\theta)=\frac{x}{r},\quad\tan(\theta)=\frac{y}{x}.

    将量 xyr 分别解释为邻边、对边和斜边, 这些函数恰好就是 2.1 节中的固定公式了. 不过等一下, 如果你在那条射线上选取了另外一个点, 那会是什么样子呢? 这不要紧, 因为你得到的新的三角形和原来的那个三角形是相似的, 而上述比值不会受到任何影响. 事实上, 为方便起见, 我们常常假设 r = 1, 这样得到的点 (x, y) 会落在所谓的单位圆 (就是以原点为中心, 半径为 1 的圆) 上.

    现在来看一个例子. 假设, 我们想求 sin (7π/6). 首先, 7π/6 会在第几象限呢? 我们需要决定 7π/6 会出现在列表 0, π/2, π, 3π/2, 2π 的哪个地方. 事实上, 7/6 大于 1 但小于 3/2, 故 7π/6 在 π 和 3π/2 之间. 事实上, 图 2-8 看起来很像前面的例子.

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    图 2-8

    因此, 角 7π/6 在第三象限. 然后, 我们选取了该射线上的一点, 该点至原点的距离 r = 1, 并从该点至 x 轴做了一条垂线. 由前述公式可知, sin (θ) = y/r = y (因为 r = 1), 因此, 我们还是要求出 y. 好吧, 那个小角, 就是在 7π/6 处的射线和 x 轴的负半轴 (其为 π) 之间的角一定是这两个角的差, 即 π/6. 这个小角被称为参考角. 一般来说, θ 的参考角是在表示角 θ 的射线和 x 轴之间的最小的角, 它必定介于 0 到 π/2. 在我们的例子中, 到 x 轴的最短路径是向上, 所以参考角如图 2-9 所示. 因此, 在那个小三角形中, 我们知道 r = 1, 以及角为 π/6. 似乎答案就是 y = sin (π/6) = 1/2, 但这是错的! 由于在 x 轴的下方, y 一定为负值. 也就是说, y = -1/2. 因为 sin (θ) = y, 我们也就证明了 sin (7π/6) = -1/2. 对于余弦来说, 也可以重复这个过程, 求出 x=-\cos(\pi/6)=-\sqrt{3}/2. 毕竟, 由于点 (x, y) 在 y 轴的左侧, 因此 x 必须为负. 这样就证明了 \cos(7\pi/6)=-\sqrt{3}/2, 并且识别出点 (x, y) 即为点 (-\sqrt{3}/2,~-1/2).

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    图 2-9

    2.2.1 ASTC 方法

    上例中的关键是将 sin (7π/6) 和 sin (π/6) 联系起来, 其中 π/6 是 7π/6 的参考角. 事实上, 并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦的正值或负值! 这就使问题缩小到两种可能性上, 而且没有必要再纠缠于 x, yr 如此这般麻烦. 因此, 在我们的例子中, 只需要求出 7π/6 的参考角, 即 π/6; 这就会立即可知 sin (7π/6) 等于 sin (π/6) 或 -sin (π/6), 而我们只需从中选出正确的结果. 我们发现, 结果是负的那个, 因为 y 是负的.

    事实上, 在第三或第四象限中的任意角的正弦必定为负, 因为那里的 y 为负. 类似地, 在第二或第三象限中的任意角的余弦必定为负, 因为那里的 x 为负. 正切是比值 y/x, 它在第二和第四象限为负 (由于 xy 中的一个为负, 但不全为负), 而在第一和第三象限为正.

    让我们来总结一下这些发现吧. 首先, 所有三个函数在第一象限 (I) 中均为正. 在第二象限 (II) 中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在第三象限 (III) 中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限 (IV) 中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负. 具体如图 2-10 所示.

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    图 2-10

    事实上, 你只需要记住图表中的字母 ASTC 就行了. 它们会告诉你在那个象限中哪个函数为正. “A” 代表 “全部”, 意味着所有的函数在第一象限均为正. 显然, 其余的字母分别代表正弦、正切和余弦. 在我们的例子中, 7π/6 在第三象限, 所以只有正切函数在那里为正. 特别地, 正弦函数为负, 又由于我们已经把 sin (7π/6) 的可能取值缩小到 1/2 或 -1/2 了, 因此结果一定是负的那个, 即 sin (7π/6) = -1/2.

    ASTC 图唯一的问题在于, 它没有告诉我们该如何处理角 0, π/2, π 或 3π/2, 因为它们都位于坐标轴上. 这种情况下, 最好是先忘记所有 ASTC 的内容, 然后以恰当的方式画一个 y = sin (x) (或 cos (x), 或 tan (x)) 的图像, 并且从图像中读取数值. 我们将在 2.3 节对此进行研究.

    以下是用 ASTC 方法来求介于 0 到 2π 的角的三角函数值的总结.

    (1) 画出象限图, 确定在该图中你感兴趣的角在哪里, 然后在图中标出该角.

    (2) 如果你想要的角在 x 轴或 y 轴上 (即没有在任何象限中), 那么就画出三角函数的图像, 从图像中读取数值 (2.3 节有一些例子).

    (3) 否则, 找出在代表我们想要的那个角的射线和 x 轴之间最小的角, 这个角被称为参考角.

    (4) 如果可以, 使用那张重要的表来求出参考角的三角函数值. 那就是你需要的答案, 除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号.

    (5) 使用 ASTC 图来决定你是否需要添一个负号.

    来看一些例子. 如何求 cos (7π/4) 和 tan (9π/13) 呢?我们一个一个地看. 对于 cos (7π/4), 我们注意到 7/4 介于 3/2 和 2 之间, 故该角必在第四象限, 如图 2-11 所示.

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    图 2-11

    为了求出参考角, 注意到我们必须向上走到 2π (注意! 不是到 0), 因此, 参考角就是 2π 和 7π/4 的差, 即 (2π - 7π/4), 或简化为 π/4. 所以 cos (7π/4) 是正的或负的 cos (π/4). 根据表, cos (π/4) 是 1/\sqrt{2}. 但到底是正的还是负的呢?由 ASTC 图可知, 在第四象限中余弦为正, 故结果为正的那个:\cos(7\pi/4)=1/\sqrt{2}.

    现在来看一下 tan (9π/13). 我们发现 9/13 介于 1/2 和 1 之间, 故角 9π/13 在第二象限, 如图 2-12 所示.

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    图 2-12

    这一次, 我们需要走到 π 以到达 x 轴, 故参考角就是 π 和 9π/13 的差, 即 (π-9π/13), 或简化为 4π/13. 这样, 我们知道 tan (9π/13) 是正的或负的 tan (4π/13). 哎呀, 可是数 4π/13 没有在我们的表里面, 因此不能化简 tan (4π/13). 可我们还是需要确定它是正的还是负的. 那好, ASTC 图显示, 在第二象限中只有正弦为正, 故正切一定为负, 于是 tan (9π/13) = -tan (4π/13). 这就是不使用近似可以得到的最简形式. 在求解微积分问题的时候, 我不建议取近似结果, 除非题目中有明确要求. 一个常见的误解是, 当你计算如同 -tan (4π/13) 这样的问题时, 由计算器计算出来的数就是正确答案. 其实, 那只是一个近似! 所以你不应该写

    -\tan(4\pi/13)=-1.448~750~113,

    因为它不正确. 就应该写 -tan (4π/13), 除非有特别的要求, 让做近似. 在那种情况下, 使用约等号和更少的小数位数, 并恰当化整近似 (除非要求保留更多小数位数):

    -\tan(4\pi/13)\approx-1.449.

    顺便说一下, 你应该少用计算器. 事实上, 一些大学甚至不允许在考试中使用计算器! 因此, 你应该尽量避免使用计算器.

    2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数

    还有一个问题, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函数. 事实上, 这并不太难, 简单地加上或减去 2π 的倍数, 直到你得到的角在 0 和 2π 之间. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋转. 例如, 如果我让你站在一点面向正东, 然后逆时针方向旋转 450°, 一种自然的做法是, 你旋转一整周, 然后再旋转 90°. 现在你应该是面向正北. 当然, 另一种不那么头晕目眩的做法是, 你只逆时针方向旋转 90°, 而你面向的是同样的方向. 因此, 450° 和 90° 是等价的角. 当然, 这对于弧度来说也一样. 这种情况下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等价的角. 但为什么要止步于旋转一周呢?9π/2 弧度又如何?这和旋转 2π 两次 (这样我们得到 4π), 然后再旋转 π/2 是一样的. 因此, 在得到最终的 π/2 之前, 我们做了两周徒劳的旋转. 旋转周数无关紧要, 我们再次得到 9π/2 和 π/2 等价. 这个过程可以被无限地扩展下去, 以得到等价于 π/2 的角的一个家族:

    \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots.

    当然, 这其中的每一个角都比前一个角多一个整周旋转, 即 2π. 但这仍然还没算完. 如果你做了所有这些逆时针旋转, 并感到头晕目眩, 或许你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下. 这就相当于一个负角. 特别地, 如果你面向东, 我让你逆时针旋转 -270°, 对我这个怪异要求唯一合理的解释就是顺时针旋转 270°(或 3π/2). 显然, 你最终仍然会面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等价的. 确实, 我们将 360° 加到 -270° 上就会得到 90° . 使用弧度, 我们则看到, -3π/2 和 π/2 是等价的角. 另外, 我们可以要求更多负的 (顺时针方向) 整周旋转. 最后, 以下就是等价于 π/2 的角的完全的集合:

    \cdots,-\frac{15\pi}{2},-\frac{11\pi}{2},-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots.

    这个序列没有开端也没有结束. 当我说它是 “完全的” 时, 我用前后两头的省略号代表了无穷多个角. 为了避免这些省略号, 我们可以使用集合符号 {π/2 + 2πn}, 其中 n 可以取所有整数.

    来看一下是否可以应用它吧. 如何求 sec (15π/4) 呢?首先, 注意到如果我们能够求出 cos (15π/4), 所要做的就是取其倒数以得到 sec (15π/4). 因此, 让我们先求 cos (15π/4). 由于 15/4 大于 2, 让我们先试着消去 2. 这样, 15/4 - 2 = 7/4, 现在它介于 0 和 2 之间, 这看上去很有希望了. 代入 π, 我们看到 cos (15π/4) 和 cos (7π/4) 是一样的, 并且我们已经求出其结果为 1/\sqrt{2}. 因此, \cos(15\pi/4)=1/\sqrt{2}. 取其倒数, 我们发现 sec (15π/4) 就是 \sqrt{2}.

    最后, sin (-5π/6) 又如何呢?有很多方法来求解此问题, 但上面提到的方法是试着将 2π 的倍数加到 -5π/6 上, 直到结果是介于 0 到 2π 的. 事实上, 2π 加上 -5π/6 得 7π/6, 因此, sin (-5π/6) = sin (7π/6), 后者我们已经知道等于 -1/2. 另外, 我们也可以直接画图 2-13.

    {90%}

    图 2-13

    现在, 你必须找出图中的参考角. 不难看出, 它是 π/6, 然后一如前述.

    2.3 三角函数的图像

    记住正弦、余弦和正切函数的图像会非常有用. 这些函数都是周期的, 这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如, 我们考虑 y = sin (x). 从 0 到 2π 的图像看上去如图 2-14 所示.

    {%}

    图 2-14

    你应该做到能够不假思索就画出这个图像, 包括 0, π/2, π, 3π/2 和 2π 的位置. 由于 sin (x) 以 2π 为单位重复 (我们说 sin (x) 是 x 的周期函数, 其周期为 2π), 通过重复该模式, 我们可以对图像进行扩展, 得到图 2-15.

    {%}

    图 2-15

    从图像中读值, 可以看到 sin (3π/2) = -1, sin (-π) = 0. 正如之前注意到的, 你应该这样去处理 π/2 的倍数的问题, 而不用再找参考角那么麻烦了. 另一个值得注意的是, 该图像关于原点有 180° 点对称性, 这意味着, sin (x) 是 x 的奇函数. (我们在 1.4 节中分析过奇偶函数.)

    y = cos (x) 的图像和 y = sin (x) 的图像类似. 当 x 在从 0 到 2π 上变化时, 它看起来就像图 2-16.

    {%}

    图 2-16

    现在, 利用 cos (x) 是周期函数及其周期为 2π 这一事实, 可对该图像进行扩展, 得到图 2-17.

    {%}

    图 2-17

    例如, 如果你想要求 cos (π), 只需从图像上读取, 你会看到结果是 -1. 此外, 注意到该图像关于 y 轴有镜面对称性. 这说明, cos (x) 是 x 的偶函数.

    现在, y = tan (x) 略有不同. 最好是先画出 x 介于 -π/2 到 π/2 的图像, 如图 2-18 所示.

    {75%}

    图 2-18

    与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是 π, 而不是 2π. 因此, 上述图样可以被重复以便得到 y = tan (x) 的全部图像, 如图 2-19 所示.

    {%}

    图 2-19

    很明显, 当 x 是 π/2 的奇数倍数时, y = tan (x) 有垂直渐近线 (因而此处是无定义的). 此外, 图像的对称性表明, tan (x) 是 x 的奇函数.

    y = sec (x)、y = csc (x) 及 y = cot (x) 的函数图像也值得我们去学习, 它们分别如图 2-20、图 2-21 及图 2-22 所示.

    {%}

    图 2-20

    {%}

    图 2-21

    {%}

    图 2-22

    从它们的图像中, 可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质, 这些也都值得学习.

    {%}

    因此, 对于所有的实数 x, 我们有 sin (-x) = -sin (x), tan (-x) = -tan (x), cos (-x) = cos (x).

    2.4 三角恒等式

    三角函数间的关系用来十分方便. 首先, 注意到正切和余切可以由正弦和余弦来表示:

    \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},\quad\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.

    (有时, 根据这些恒等式, 用正弦和余弦来代替每一个正切和余切会有帮助, 但这只是你被卡住时不得已而为之的下下策.)

    所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了 (用三角函数表示),

    {55%}

    这对于任意的 x 都成立. (为什么这是毕达哥拉斯定理呢?如果直角三角形的斜边是 1, 其中一个角为 x, 自己验证三角形的其他两条边长就是 cos (x) 和 sin (x).)

    现在, 让这个等式两边同除以 cos2 (x). 你应该能够得到以下结果:

    {55%}

    该公式在微积分里也会经常出现. 另外, 你也可以将毕达哥拉斯定理等式两边同除以 sin2 (x), 得到以下等式:

    {55%}

    这个公式好像没有其他公式出现得那么频繁.

    三角函数之间还有其他一些关系. 你注意到了吗?一些函数的名字是以音节 “co” 开头的. 这是 “互余” (complementary) 的简称. 说两个角互余, 意味着它们的和是 π/2 (或 90°). 可不是说它们相互恭维. 好吧, 不玩双关了, 事实是有以下一般关系:

    三角函数 (x) = co-三角函数 \Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr).

    特别地, 有:

    \sin(x)=\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\tan(x)=\cot\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\sec(x)=\csc\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr).

    甚至当三角函数名中已经带有一个 “co” 时, 以上公式仍然适用; 你只需要认识到, 余角的余角就是原始的角! 例如, co-co-sin 事实上就是 sin, co-co-tan 事实上就是 tan. 基本上, 这意味着我们还可以说:

    \cos(x)=\sin\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\cot(x)=\tan\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\csc(x)=\sec\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr).

    最后, 还有一组恒等式值得我们学习. 这些恒等式涉及角的和与倍角公式. 特别地, 我们应该记住下列公式:

    {85%}

    还应该记住, 你可以切换所有的正号和负号, 得到一些相关的公式:

    \begin{aligned}&\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\&\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B).\end{aligned}

    对于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x, 我们就会得到另一个有用的结果. 很明显, 正弦公式是 sin (2x) = 2 sin (x) cos (x). 但让我们更仔细看一下余弦公式. 它会变成 cos (2x) = cos2 (x) - sin2 (x); 这本身没错, 但更有用的是使用毕达哥拉斯定理 sin2 (x) + cos2 (x) = 1 将 cos (2x) 表示成为 2 cos2 (x) - 1 或 1 - 2 sin2 (x) (自已验证一下它们是成立的!). 综上, 倍角公式为:

    {85%}

    那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 来表示 sin (4x) 呢?我们可以将 4x 看作两倍的 2x, 并使用正弦恒等式, 写作 sin (4x) = 2 sin (2x) cos (2x). 然后应用两个恒等式, 得到

    \sin(4x)=2(2\sin(x)\cos(x))(2\cos^2(x)-1)=8\sin(x)\cos^3(x)-4\sin(x)\cos(x).

    类似地,

    \cos(4x)=2\cos^2(2x)-1=2(2\cos^2(x)-1)^2-1=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1.

    你不用记这后两个公式; 相反, 你要确保理解了如何使用倍角公式来推导它们. 如果你能够掌握本章涉及的所有三角学内容, 就能够很好地学习本书的剩余部分了. 因此, 抓紧时间消化这些知识吧. 做一些例题, 并确保你记住了那张很重要的表格和所有方框公式.

    第 3 章 极限导论
    第 4 章 求解多项式的极限问题
    第 5 章 连续性和可导性
    第 6 章 求解微分问题(上)
    第 6 章 求解微分问题(下)
    第 7 章 三角函数的极限和导数
    第 8 章 隐函数求导和相关变化率
    第 9 章 指数函数和对数函数(上)
    第 9 章 指数函数和对数函数(下)
    第 10 章 反函数和反三角函数
    第 11 章 导数和图像
    第 12 章 绘制函数图像
    第 13 章 最优化和线性化
    第 14 章 洛必达法则及极限问题总结
    第 15 章 积分
    第 16 章 定积分
    第 17 章 微积分基本定理(上)
    第 17 章 微积分基本定理(下)
    第 18 章 积分的方法 I(上)
    第 18 章 积分的方法 I(下)
    第 19 章 积分的方法 II(上)
    第 19 章 积分的方法 II(下)
    第 20 章 反常积分:基本概念
    第 21 章 反常积分:如何解题(上)
    第 21 章 反常积分:如何解题(下)
    第 22 章 数列和级数:基本概念
    第 23 章 求解级数问题
    第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
    第 25 章 求解估算问题
    第 26 章 泰勒级数和幂级数:如何解题
    第 27 章 参数方程和极坐标
    第 28 章 复数
    第 29 章 体积、弧长和表面积
    第 30 章 微分方程(上)
    第 30 章 微分方程(下)
    附录 A 极限及其证明(上)
    附录 A 极限及其证明(下)
    附录 B 估算积分
    符号列表

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    注:本文摘自:MBA智库.百科

     

    微积分

    微积分(Calculus)

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    微积分简介

      微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

      微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。比如,子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念,子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

      极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的。直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化。

      微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

      客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

      由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。

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    微积分学的建立

      从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。

      公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

      到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

      十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

      十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。

      牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

      牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

      德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现博学多才的莱布尼茨在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

      微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。

      前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

      不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。

      其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

      应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。

      直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

      任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

      欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。

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    微积分的基本内容

      研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

      本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

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    微分学

      微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(导数或微商)。换言之,计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法,该算法又叫应用几何法,主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作「微分学的鼻祖」。

      微分学研究的是一个函数的导数的定义,性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点,在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数,可以生成一个新的函数,叫做原函数的导函数,或者导数。在数学术语中,导数是输入一个函数,输出另一个函数的线性算子。这比初等代数里的过程更抽象一些,初等代数里的函数常常是输入一个数,并输出另一个数。例如,如果在倍增函数中输入3,则输出6,和如果在平方函数中输入3,则输出9。但是,微分能把平方函数作为输入,这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数(生成的函数是倍增函数)。导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号,叫作“撇”。从而函数f的导数是f',读作“f一撇”。例如,如果f(x) = x2是平方函数,那么它的导数f'(x) = 2x是倍增函数。如果函数的输入量代表时间,那么导数就代表关于时间的变化。例如,如果f是输入时间,输出那个时间的球的位置的函数,则f的导数就是位置随着时间怎样变化,这就是球的速度。如果一个函数是线性的(也就是说,如果函数的图像是一条直线),那么这个函数可以写成y = mx + bx自变量y因变量by的纵截距,且

      m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

      这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线,那么在y上的变化量除以在x上的变化量随x改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说,设f是一个函数,并在它的定义域内取一个点a,(a,f(a))是这个函数图像中的一个点。假设h是一个接近于0的数,这时a + h是一个接近于a的数。所以(a + h,f(a + h))是节点于(a,f(a))的。这两点间的斜率是

      m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

      这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条线称为割线,所以m是(a,f(a))和(a + h,f(a + h))间割线的斜率。割线仅仅是函数在a点行为的一个近似,因为它不能解释函数在aa + h之间的情况。通过设定h为0来发现函数在a处的行为是不可能的,因为这需要除以0,而除以0也是不可能的。导数定义为h趋向于0时差商的极限,就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为,并取一个合适的值作为当h等于0时差商的值。

      \lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

      几何上,导数是函数fa点处切线的斜率。切线是割线的极限,正如导数是差商的极限。因此,导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子,就是求一个平方函数在x等于3处的导数。令这个平方函数为f(x) = x2

      f'(3)=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} =\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} =\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} =\lim_{h \to 0} (6 + h)= 6

      平方函数在点(3,9)处的切线斜率是6,也就是说,它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限,那么我们就把它定义为平方函数的导函数,也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

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    积分学

      积分学是微分学的逆运算,即从导数推算出原函数,又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和,约等于函数曲线下包含的实际面积。因此,我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。从技术上来讲,积分学是研究线性算子之间的关系。

      不定积分是导数的逆运算,即反导数。当fF的导数时,Ff的不定积分。(这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见。)

      定积分输入公式,得出数字,即给出图像与横坐标之间面积的代数解。对定积分的技术定义是矩形总面积的极限,又称黎曼积分。

      举例:在给定时间内行径的路程:

      路程 = 速度 × 时间

      如果速度是一定的,那么上述参数简单相乘既可得出结果。但如果速度为变量,那么就不得不使用更强大的公式。其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分,将每个间距中的时间乘以当时的速度,最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和。最基本的概念是,如果时长间隔很短,那么速度会近似不变。然而,黎曼和只给出行径路程的近似值。我们必须求得黎曼积分的极限,来得出精确的值。

      如果图中的f(x)代表根据时间而改变的速度,那么a时间点与b时间点之间的路程就可以用阴影区域s来表达。

      要求得区域面积的近似值,直观的办法就是将ab两点之间的路程分割为等长线段,每个线段的长度用符号Δx来标记。对于每个小线段,我们在方程上找到对应值f(x),记为h。如此,以Δx为底、h为高的矩形面积(时间Δx乘以速度h) ,就是通过该线段的路程。和每个线段相关联的是线段上方程的平均值f(x) = h。所有矩形的总和就是数轴与曲线之间面积的近似值,即总行径路程的近似值。Δx的值越小,矩形数量就越多,近似值也就越精确。而如果我们要求得精确值,就必须寻找Δx的极限,令其数值逼近零。

      积分的符号是\int \,,好像一个拉长的SS意味"求和")。定积分被记为如下:

      \int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

      求f(x)由ab的定积分。莱布尼茨的符号dx意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形,以至于他们的宽Δx变成无穷小的dx。建立在极限上的微积分,符号

      \int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x

      应被理解为输入方程公式,输出数字面积。终端微分dx不是数字,也不是与方程f(x)相乘,而是作为Δx余留的极限定义,可被视为积分运算的符号。从形式上来讲,微分代表了被积分方程的变量,并作为积分运算的尾括号。

      不定积分,或反导数,被记作:

      \int f(x)\, \mathrm{d}x.

      常数不同,导数相同的方程,可是说明一个方程的反导数实际上是一组常数不同的方程组。C是常数的方程y = x2 + C求导,得方程y' = 2x;后者的反导数可被写为:

      \int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.

      反导数中的未知常数C被称为积分常数.

      微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

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    微积分基本公式

    微积分基本公式又称微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式,证实微分和积分互为逆运算。更精确地说,它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单,微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

      微积分基本公式:如果方程f在[ab ]区间是连续的,方程F在区间(ab)的导数是f,那么,

      \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

      更进一步,对于在区间(ab)的每个x都有,

      \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).

      根据前辈伊萨克·巴罗的成果,艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发现了这一规律。这也成为他们日后数学分析硕果的重要基石。基本公式为计算定积分提供了简单的计算反导数的代数方法,而无须使用极限来穷尽。它也是解微分方程的雏形。微分方程可以给出任意方程的导数,成为科学的必备工具。

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    2019-05-18 20:30:48

    在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那正是在这里。 ——恩格斯

    微积分的发现是人类精神的最高胜利

     

    微积分早期的思想基础

    伽利略在25岁以前就开始作了一系列实验,发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实,其中最基本的就是自由落体定律。 开普勒在1619年前后归纳为著名的行星运动三大定律。这些成就对后来的绝大部份的数学分支都产生了巨大影响。伽利略的发现导致了现代动力学的诞生,开普勒的发现则产生了现代天体力学。他们在创立这些学科的过程中都感到需要一种新的数学工具,这就是研究运动与变化过程的微积分。

    有趣的是,积分学的起源可追溯至古希腊时代,但直到17世纪微分学才出现重大突破。

    积分思想的渊源

    求积问题就是求图形的面积、体积问题。该问题的历史十分悠久,可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积,比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积,以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算。这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。

    在积分思想发展的过程中,有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德,我国古代著名数学家刘徽、祖冲之父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献。

    16、17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期,其杰出的代表有意大利天文学家、力学家伽利略和德国天文学家、数学家、物理学家开普勒,卡瓦列里等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。

    微分学思想的起源

    微分学主要来源于两个问题的研究,一个是作曲线切线的问题,一个是求函数最大、最小值的问题。这两个问题在古希腊曾经考虑过,但古希腊对这两个问题的讨论远不及对面积、体积、弧长问题讨论得那么广泛和深入。

    在这两个问题的研究上作出先驱工作的是费马。费马在1629年给出了求函数极大、极小值的方法。不过这个思想直至八、九年后才较多地为人所知。

    开普勒已经观察到,一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。费马利用这一事实找到了求函数极大、极小值的方法。它的根是使函数取极小值的。费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献,被称为微积分学的先驱。

    费马处理这两个问题的方法是一致的,都是先取增量,而后让增量趋向于零。而这正是微分学的实质所在,也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。费马还曾讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素,利用矩形和曲线的解析方程,求出这些和的近似值,以及在元素个数无限增加,而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是,他没有认识到所进行的运算本身的重要意义,而是将运算停留在求面积问题本身,只是回答一个具体的几何问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念,认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算,并给予特别的名称-微积分。

    在创立这些学科的过程中,他们都感到一种新的数学工具的需要,这就是研究运动与变化 过程的微积分。有趣的是,积分学的起源可追溯至古希腊时代,但直到17世纪微分学才出现重大突破。

    费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献,被称为微积分学的先驱。

    微积分的创立

    十七世纪是从中世纪向新时代过渡的时期。这一时期,科学技术获得了巨大的发展。精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力;航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣;造船学,机器制造与建筑,堤坝及运河的修建,弹道学及一般的军事问题等等,促进了力学的发展。

    在这些学科的发展和实际生产中,迫切需要处理下面四类问题:

    1. 已知物体运动的路程和时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度。反过来已知物体的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与经过的路程。计算平均速度可用运动的路程除以运动的时间,但是17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化,对于瞬时速度,运动的距离和时间都是0,这就碰到了0/0的问题。人类第一次碰到这样的问题 。

    2. 求曲线的切线。这是一个纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义。例如在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。在运动学问题中也运到曲线的切线问题,运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向。

    3. 求函数的最大值和最小值问题。在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题,在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。

    4. 求积问题。求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积,物体的重心。这些问题从古希腊开始研究,其中的某些计算,在现在看来只是微积分的简单练习,而过去曾经使希腊人大为头痛。事实上,阿基米德所写的著作几乎都是在讨论这类问题,而他的结果就标志着希腊数学的高潮。

    正是科学和生产中面临的这些重要问题,促进了微积分的诞生与发展。

    在微积分诞生和发展时期,一批伟大的数学家做出了杰出的贡献,例如,数学家伽利略,开普勒,卡瓦列里,费马,巴罗,牛顿,莱布尼兹等等。

    科学的重大进展总是建立在许多人一点一滴工作之上,但是,常常需要有一个人完成“最后的一步”,这个人需要具有敏锐的洞察力,从纷乱的猜测和说明中整理出前人有价值的思想,需要有足够想象力,把这些孤立的“碎片”组织起来,并且能够大胆地制定一个宏伟的体系。在微积分诞生过程中,牛顿和莱布尼兹就是完成这一使命的巨人。

    在微积分诞生之后的18世纪,数学迎来一次空前的繁荣,人们将这个时代称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们的主要工作就是把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域,并获得了丰硕的成果。

    1661年,牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记,从这些笔记可以看出,就数学思想的形成而言,笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算数》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分的道路。

    1665年8月回到了家乡,在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作,这两年成为牛顿科学生涯中的黄金岁月,创立了微积分,发现了万有引力和颜色理论……可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年构思的。

    微积分的创建

    1664年秋,牛顿开始研究微积分问题。当时,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”产生了浓厚的兴趣,并试图寻找更好的方法。

    牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月又建立了“反流数术”(积分法)。1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,现在称为《流数简论》。当时虽未正式发表,但在同事中传阅。《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。

    《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”(即微商)的概念,虽然没有使用“流数”这一基本术语,但在其中提出了微积分的基本问题,用现在的数学语言可以表述如下:

    1)已知物体的路程,求物体运动速度的问题。

    2)已知物体运动的速度,求物体路程的问题。

    牛顿指出,第一个问题是微分的问题,第二个问题是第一个问题的逆运算,并给出了相应的计算方法。在此基础上所建立的“微积分基本定理”揭示了“导数和积分之间的内在联系”。当然,对微积分基本定理,并没有给出现代意义下的严格证明。在后来的著作中,对微积分基本定理,牛顿又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

    在牛顿以前,面积总是被看成是无限小不可分量之和,牛顿则从确定面积变化率入手,通过反微分计算面积。这样,牛顿不仅揭示了面积计算与求切线问题的互逆关系,并且十分明确地把它作为一般规律揭示出来,从而建立了微积分普遍算法的基础。

    正如牛顿本人在《流数简论》中所说:一旦反微分问题可解,许多问题都将迎刃而解。

    自古希腊以来,人们得到了许多求解无限小问题的各种特殊技巧,牛顿将这些特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术,即微分与积分,并证明了二者的互逆关系,进而,他将这两类运算统一成一个整体——微积分基本定理。

    这是他超越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分。在《流数简论》的其余部分,牛顿讨论了求曲线切线、曲率、拐点,求曲线长度、求曲线围成的面积,求引力与引力中心等16类问题。对这些问题的讨论,牛顿都是运用他建立的统一的算法来处理的,所有这些充分显示了牛顿创建的“微积分”算法的极大普遍性与系统性。

    从1667年起到1693年牛顿用了大约四分之一世纪的时间,从事微积分方面研究。牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说,先后写成了三篇微积分论文:

    (1)1669年完成了《运用无限多项方程的分析》,简称《分析学》;

    (2)1671年完成了《流数法与无穷级数》,简称《流数法》;

    (3)1691年完成了《曲线求积术》,简称《求积术》。

    牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎,他的大多数著作都是经朋友再三催促才拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚,其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》;《分析学》发表于1771年;而《流数法》则迟至1736年才正式发表,当时牛顿已去世。

    1687年,牛顿出版了他的力学名著《自然哲学的数学原理》,简称《原理》,在《原理》中,最早表述牛顿创立的微积分学说,因此,《原理》也成为数学史上的划时代著作。

    《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发,运用微积分工具,严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论,并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系,充分显示了这一数学工具的威力。

    牛顿的科学贡献是多方面的。在数学上,除了微积分,他的代数名著《普遍算术》,包含了方程论的许多成果,如虚数根成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等;他的几何杰作《三次曲线枚举》,首创对三次曲线的分类研究,这是解析几何发展一个新的高峰;在数值分析领域,今天任何一本教程都不能不提牛顿的名字。

    牛顿的历史功绩

    牛顿是一位科学巨人,是人类历史上最伟大的数学家之一。与牛顿一样,为数学做出杰出贡献的数学家莱布尼兹评价道:“从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中,牛顿的工作超过了一半。”

    莱布尼兹与微积分的诞生

    1646年6月21日戈特弗里德·威廉·莱布尼兹出生在德国莱比锡。1661年他入莱比锡大学学习法律 ,又曾到耶拿大学学习几何,1666年取得法学博士学位。1672年他出差到巴黎,受到C.·惠更斯的启发 ,决心钻研数学。在这之后,他迈入数学领域,开始创造性的工作。这种努力导致了许多数学的发现,最突出的是微积分学说。牛顿创立微积分主要是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑。

    从1684年起,莱布尼兹发表了很多微积分论文。这一年,他的第一篇微分学文章《一种求极大值极小值和切线的新方法》发表,这是世界上最早公开发表的关于微分学的文献。在这篇论文中,他简明地解释了他的微分学。文中给出微分的定义和基本的微分法则。

    1686年他在《学艺》杂志上发表第一篇积分学论文。莱布尼兹精细设计了一套令人满意的微积分符号。他在1675年引入了现代的积分符号∫,用拉丁字Summa(求和)的第一个字母S拉长了表示积分。但是“积分”的名称出现得比较迟,它是由J·伯努利于1696年提出的。

    莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者。他在创造微积分的过程中,花了很多时间去选择精巧的符号。他认识到,好的符号可以精确、深刻地表达概念、方法和逻辑关系。他曾说:“要发明就得挑选恰当的符号。要做到这一点,就要用含义简明的少量符号来表达或比较忠实地描绘事物的内在的本质 ,从而最大限度地减少人的思维劳动。” 现在微积分学的符号基本都是由他创造的。这些优越的符号为以后分析学的发展带来了极大的方便。

    莱布尼兹发明了一些其他符号和数学名词,例如“函数”(function)和“坐标”(coordinate)等。

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