精华内容
下载资源
问答
  • 微积分20-立体体积

    2016-11-30 16:39:00
    2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...

    柱壳法

    转载于:https://my.oschina.net/Bettyty/blog/796864

    展开全文
  • 微积分基础之图形面积(体积)计算一、平面图形面积1、简单图形的面积(1)长方形(2)三角形(3)平行四边形(4)梯形2、稍微复杂一点的图形面积(1)圆法1:法2:椭圆立体图形表面积和体积旋转椭球体的面积祖暅定理三分之一...

    一、平面图形面积

    积 分 的 要 领 1 : 以 长 方 形 为 基 础 来 思 考 \boxed{积分的要领1:以长方形为基础来思考} 1

    1、简单图形的面积

    (1)长方形

    × \times ×宽,不会的请离开

    (2)三角形

    × \times ×高/2,不会的请离开

    (3)平行四边形

    × \times ×高,不会的请离开

    (4)梯形

    ( ( (上底 + + +下底 ) × )\times )×高/2,不会的请离开

    2、稍微复杂一点的图形面积

    积 分 的 要 领 2 : 把 图 形 看 作 小 长 方 形 的 组 合 \boxed{积分的要领2:把图形看作小长方形的组合} 2

    (1)圆

    法1:

    用圆规在方格纸上画一个圆,接着数一数圆中的方格数
    我在边长为 1 m m 1mm 1mm的方格纸上画了一个半径为 2 c m 2cm 2cm的圆,我算(shǔ)出圆中共有 1189 1189 1189个格子,所以我们算出的圆周率是 2.9725 2.9725 2.9725
    虽然这个误差很大,但是,随着格子边长的缩小,我们的准确度就越高

    法2:

    有什么办法可以提高精度吗?有,如图,我们把圆分成细长的小条来求由于我太懒了,所以只画了3条

    每一个小条的宽度是 Δ x \Delta x Δx,表示非常小的数值
    这样,我们可以得出圆的面积 = ∫ 左 端 右 端 短 条 在 x 值 对 应 的 长 度 d x =\int_{左端}^{右端}短条在x值对应的长度dx =xdx
    d x dx dx可以理解为 lim ⁡ Δ x → 0 Δ x \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x Δx0limΔx
    我做了一个实验,计算半径为 1 c m 1cm 1cm的圆,把它分成 N N N个小条,制成一张表格

    N N N所有小条的总面积
    10 10 10 2.637049 2.637049 2.637049
    20 20 20 2.904518 2.904518 2.904518
    40 40 40 3.028465 3.028465 3.028465
    200 200 200 3.120417 3.120417 3.120417
    2000 2000 2000 3.139555 3.139555 3.139555
    20000 20000 20000 3.141391 3.141391 3.141391

    可见 N N N越来越大时,小条的总面积就会越接近圆的面积 π r 2 \pi r^{2} πr2

    椭圆

    椭圆是由圆拉伸来的,所以我们也可以把它分成细长的短条来求,这个小条的面积就是圆的小条面积的 a b \frac{a}{b} ba倍,所以,椭圆的面积就是 π a b \pi ab πab
    积 分 的 要 领 3 : 把 图 形 分 解 成 长 方 形 然 后 进 行 伸 缩 变 换 \boxed{积分的要领3:把图形分解成长方形然后进行伸缩变换} 3
    在这里插入图片描述

    立体图形表面积和体积

    祖暅定理

    积 分 的 要 领 4 : 把 图 形 看 作 被 切 割 后 的 组 合 \boxed{积分的要领4:把图形看作被切割后的组合} 4
    在外国称作卡瓦列利原理
    截面面积总是相等的两个立体图形,体积也相等

    三分之一之谜

    积 分 的 要 领 5 : 灵 活 应 用 祖 暅 定 理 \boxed{积分的要领5:灵活应用祖暅定理} 5
    大家都知道圆锥的体积公式吧?体积 = = =底面积 × \times × × 1 3 \times\frac{1}{3} ×31
    话说这个 1 3 \frac{1}{3} 31是哪来的?
    首先,我们从四棱锥说起
    我们先把C点平移到A的正上方,使得 A C ⊥ AC\perp AC平面 A B D ABD ABD(祖暅定理)
    在这里插入图片描述
                          ⇓ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow                      
    在这里插入图片描述
    这时,我们发现3个这样的椎体可以拼成一个长方形,因此,我们可以得到这个四棱锥的体积就是 1 3 × \frac{1}{3}\times 31×底面积 × \times ×
    得到了四棱锥的体积之后,我们就可以计算任意椎体的体积了
    我们把椎体的底面分成许多很小的长方形,所以每一个小四棱锥的体积相加就是椎体的体积了,也就等于 1 3 × \frac{1}{3}\times 31×底面积 × \times ×

    球的体积

    我们先做出一个立体图形,我把它称为钵体,它是一个圆柱再去掉一个圆锥后的图形
    在这里插入图片描述
    我们可以发现,它的每一个截面的面积和一个半球上的截面的面积相同,所以,根据祖暅定理,我们可以知道,球的体积 = 2 × 2 3 π R 3 = × 4 3 π R 3 =2\times\frac{2}{3}\pi R^3=\times\frac{4}{3}\pi R^3 =2×32πR3=×34πR3
    积 分 的 要 领 6 : 寻 找 “ 有 效 的 对 应 、 关 系 条 件 ” \boxed{积分的要领6:寻找“有效的对应、关系条件”} 6

    球的表面积

    积 分 的 要 领 7 : 相 比 “ 纠 结 于 细 节 ” , “ 如 何 思 考 才 能 顺 利 计 算 ” 更 优 先 \boxed{积分的要领7:相比“纠结于细节”,“如何思考才能顺利计算”更优先} 7
    我们把球的表面分成许多小的四棱锥,所以,我们可以得到球的体积 = 1 3 × R × =\frac{1}{3}\times R\times =31×R×球的表面积
    所以,我们可以得到球的表面积 = 4 π R 2 =4\pi R^2 =4πR2

    终极问题——甜甜圈的体积

    大家都知道甜甜圈吧?
    在这里插入图片描述
    我用软件画了一个甜甜圈,我们假设甜甜圈边上的圆心到中心的距离为 4 c m 4cm 4cm,半径为 2 c m 2cm 2cm,我们尝试水平切割,我们就可以得到一个个圆环
    这些圆环的外圈的半径 = 4 + 4 − x 2 =4+\sqrt{4-x^2} =4+4x2 ,内圈的半径 = 4 − 4 − x 2 =4-\sqrt{4-x^2} =44x2 ,所以这个截面的面积 = 16 π 4 − x 2 =16\pi\sqrt{4-x^2} =16π4x2 x x x代表到圆心的距离)
    由此,我们就可以表示出整个甜甜圈的体积就是 ∫ − 2 2 16 π 4 − x 2 d x \int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx 2216π4x2 dx这个积分是在不需要我们计算,我们只要画一个图就行了
    在这里插入图片描述
    积分相当于计算这个图形的面积,所以也就是 ∫ − 2 2 16 π 4 − x 2 d x = 16 π × 2 π = 32 π 2 \int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx=16\pi\times2\pi=32\pi^{2} 2216π4x2 dx=16π×2π=32π2

    相关文章:
    微积分基础之求导
    微积分之积分

    参考材料:
    《简单微积分》神永正博 著

    展开全文
  • 积分求旋转体的体积

    千次阅读 2020-04-05 23:56:57
    核心思想 1、圆柱体的体积=底面积×高 2、元法:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,最后对区间进行积分 例题 ...

    核心思想

        1、圆柱体的体积=底面积×高
        2、微元法:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,
    最后对区间进行积分

    例题

    展开全文
  • 微积分 重难点记录见微积分 重难点记录 知识点一: 知识点二: 题目三: 题目四:

    微积分 重难点记录 见 微积分 重难点记录

    知识点一:

    知识点二:

    题目三:

    题目四:

    展开全文
  • 下面这个是柱壳法,不是注,别问,问就是字写错了。
  • 在x=a,x=bx=a,x=b之间的曲线y=f(x)y=f(x)绕xx轴旋转产生一个区域,这是一个三维图像。这种对称形状的面积相对比较容易计算。这种情况如图1所示。...此圆盘的体积是我们体积dVdV的元素。因为圆盘是一个
  • 微积分是一种非常重要的“数学分析”思想(方法),在许多领域中都有应用,比如:计算平面面积、曲线长度、空间图形的体积、旋转曲面面积和物理学中的“微元法”等。而如何用好“微积分”是这部分学习的重点。要用...
  • 微积分

    千次阅读 2017-02-13 20:02:32
    微积分 说明:敬请读者搜索“无穷小微积分”关键词。 2013年8月15日,老翁发表重要短文,被CSDN非法删除,现将原文重新发表如下: 坦率地讲,我很少参阅中文维基百科的资料,经常参考英文维基网站Wikipedia的相关...
  • 积分除了计算面积外,还可以应用在计算体积上。 圆盘法  一条曲线y = f(x),如果曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积,如下图所示: 曲线绕x轴旋转一周  现在要计算体积。我们...
  • ​ ​当前,全国正在向世界科技强国迅速迈进,高校微积分教育亟待改革,不拖后退。  ​ ​菲氏微积分与Keisler微积分教材不仅是两个不同时代的微积分教材,而且两者的版权形式也不相同:一个是版权所有(纸质版...
  • 如果这个区域绕xx轴旋转,那么图中的垂直窄带生成一个圆盘,我们能够从x=0x=0到x=bx=b区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。当然,这是上篇文章中描述的圆盘法。然而,如果区域绕yy轴旋转,就像图中间的那样,那么...
  • 普林斯顿微积分读本(修订版)

    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 23:30:21
    本书不仅让学生们能有效地学习微积分,更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。 本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程,他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。 ...
  • 3D 建模:用于微积分的已知体积实体 目的 快速搜索“已知体积的实体”以找到它们的可视化效果,您会发现精美的动画和丰富多彩的设计,它们在学习方面提供了很多帮助,但是功能呢? 该工具为用于 3D 建模软件和简单...
  • 微积分学习

    2020-09-05 01:49:17
    微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数,搞数学的不会微积分就跟中学生不会“加减乘除”一样,基本上啥都干不了。牛顿是物理学界的封神人物,然而牛顿还凭借着微积分的发明,跟阿基米德、高斯并称为世界三大...
  • 积分应用——旋转体体积

    万次阅读 多人点赞 2018-09-09 22:42:08
    使用元法和套筒法旋转体体积 如题: 在这里区域D的步骤略,设出交点,两个方程两个未知数,出即可 局域D如下: 第一问用元法: 1、取元,范围高从y到y+dy,宽为两个函数之间,如下图蓝色阴影...
  • 微积分基础教程 微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括导数的运算,是一套关于变化...
  • 目前为止,我们通过逼近和的极限,得到了一个相当复杂的连续函数定积分的定义, ∫baf(x)dx=limmax Δxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\lim_{{\rm max\ \Delta x_k}\to\infty}\sum_{k=...
  • 单变量微积分笔记——积分的应用

    千次阅读 2019-06-02 17:39:44
    本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第四章,积分的应用。 4. 积分的应用 4.1 平均值和加权平均值(Averages and Weighted Averages) 4.2 二维曲线轨迹长度(Arc Length)、三维曲面面积和体积(Surface ...
  • 微积分 (数学)

    2020-04-26 21:01:46
    微积分 微积分(Calculus) 目录 [隐藏] 1微积分简介 2微积分学的建立 3微积分的基本内容 3.1微分学 3.2积分学 3.3微积分基本公式 4相关条目 [编辑] 微积分简介...
  • 在我们所讨论的三度空间(三维)中,能够出现的微分形式只有四种: 零次微分形式——函数 f 一次微分形式——线积分中出现的微分dx,dy,dz的一次式 ...三次微分形式——体积分中出现的微分dx,dy,dz的三次式 ...
  • 本文简述微积分学的基本概念、 分类、基本定理以及应用,并从中体会微积分的魅力......
  • 多角度看微积分基本定理

    千次阅读 2019-05-21 16:26:29
    微积分基本定理是联系微分学与积分学的桥梁,它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算,同时在理论上标志着微积分完整体系的形成,从此微积分成为一门真正的学科。 微积分基本定理包括:原函数...
  • 在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那正是在这里。 ——恩格斯 微积分早期的思想基础 伽利略...
  • 微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括...
  • 微积分辅导zw下.pdf

    2008-12-25 10:58:58
    德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 3,654
精华内容 1,461
关键字:

微积分求体积