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  • 卡方分布卡方检验

    万次阅读 多人点赞 2016-08-22 20:18:38
    1.卡方分布卡方分布(chi-square distribution, χ2\chi ^2-distribution)是概率统计里常用的一种概率分布,也是统计推断里应用最广泛的概率分布之一,在假设检验与置信区间的计算中经常能见到卡方分布的身影。...

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    1.卡方分布

    卡方分布(chi-square distribution, χ 2 \chi ^2 χ2-distribution)是概率统计里常用的一种概率分布,也是统计推断里应用最广泛的概率分布之一,在假设检验与置信区间的计算中经常能见到卡方分布的身影。

    我们先来看看卡方分布的定义:
    k k k个独立的随机变量 Z 1 , Z 2 , ⋯   , Z k Z_1,Z_2,\cdots,Z_k Z1,Z2,,Zk,且符合标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则这 k k k个随机变量的平方和
    X = ∑ i = 1 k Z i 2 X = \sum_{i=1}^k Z_i^2 X=i=1kZi2
    为服从自由度为 k k k的卡方分布,记为:
    X ∼ χ 2 ( k ) X \sim \chi^2(k) Xχ2(k)
    也可以记为:
    X ∼ χ k 2 X \sim \chi_k^2 Xχk2

    卡方分布的期望与方差分为为:
    E ( χ 2 ) = n E(\chi^2) = n E(χ2)=n D ( χ 2 ) = 2 n D(\chi^2) = 2n D(χ2)=2n,其中 n n n为卡方分布的自由度。

    2.卡方检验

    χ 2 \chi^2 χ2检验是以 χ 2 \chi^2 χ2分布为基础的一种假设检验方法,主要用于分类变量。其基本思想是根据样本数据推断总体的分布与期望分布是否有显著性差异,或者推断两个分类变量是否相关或者独立。
    一般可以设原假设为 H 0 H_0 H0:观察频数与期望频数没有差异,或者两个变量相互独立不相关。
    实际应用中,我们先假设 H 0 H_0 H0成立,计算出 χ 2 \chi^2 χ2的值, χ 2 \chi^2 χ2表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据 χ 2 \chi^2 χ2分布, χ 2 \chi^2 χ2统计量以及自由度,可以确定在 H 0 H_0 H0成立的情况下获得当前统计量以及更极端情况的概率p。如果p很小,说明观察值与理论值的偏离程度大,应该拒绝原假设。否则不能拒绝原假设。

    χ 2 \chi^2 χ2的计算公式为:
    χ 2 = ∑ ( A − T ) 2 T \chi^2 = \sum \frac{(A-T)^2}{T} χ2=T(AT)2
    其中,A为实际值,T为理论值。

    χ 2 \chi^2 χ2用于衡量实际值与理论值的差异程度,这也是卡方检验的核心思想。 χ 2 \chi^2 χ2包含了以下两个信息:
    1.实际值与理论值偏差的绝对大小。
    2.差异程度与理论值的相对大小。

    3.卡方检验做特征选择

    卡方检验经常被用来做特征选择。举个网络上的例子,假设我们有一堆新闻标题,需要判断标题中包含某个词(比如吴亦凡)是否与该条新闻的类别归属(比如娱乐)是否有关,我们只需要简单统计就可以获得这样的一个四格表:

    组别属于娱乐 不属于娱乐 合计
    不包含吴亦凡 192443
    包含吴亦凡 341044
    合计533487 

    通过这个四格表我们得到的第一个信息是:标题是否包含吴亦凡确实对新闻是否属于娱乐有统计上的差别,包含吴亦凡的新闻属于娱乐的比例更高,但我们还无法排除这个差别是否由于抽样误差导致。那么首先假设标题是否包含吴亦凡与新闻是否属于娱乐是独立无关的,随机抽取一条新闻标题,属于娱乐类别的概率是:(19 + 34) / (19 + 34 + 24 +10) = 60.9%

    理论值的四格表为:

    组别属于娱乐 不属于娱乐 合计
    不包含吴亦凡 43 * 0.609 = 26.243 * 0.391 = 16.843
    包含吴亦凡 44 * 0.609 = 26.844 * 0.391 = 17.244

    显然,如果两个变量是独立无关的,那么四格表中的理论值与实际值的差异会非常小。

    χ 2 \chi^2 χ2值为:
    χ 2 = ( 19 − 26.2 ) 2 26.2 + ( 34 − 26.8 ) 2 26.8 + ( 24 − 16.8 ) 2 16.8 + ( 10 − 17.2 ) 2 17.2 = 10.00 \chi^2 = \frac{(19-26.2)^2}{26.2} + \frac{(34-26.8)^2}{26.8} + \frac{(24-16.8)^2}{16.8} + \frac{(10-17.2)^2}{17.2} = 10.00 χ2=26.2(1926.2)2+26.8(3426.8)2+16.8(2416.8)2+17.2(1017.2)2=10.00

    标准的四格表 χ 2 \chi^2 χ2值可以用以下方式进行计算:
    χ 2 = N ∗ ( A D − B C ) 2 ( A + B ) ( C + D ) ( A + C ) ( B + D ) \chi^2 = \frac{N * (AD-BC)^2}{(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)} χ2=(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)N(ADBC)2
    其中, N = A + B + C + D N = A+B+C+D N=A+B+C+D

    得到 χ 2 \chi^2 χ2的值以后,怎样可以得知无关性假设是否可靠?接下来我们应该查询卡方分布的临界值表了。

    首先我们明确自由度的概念:自由度v=(行数-1)*(列数-1)。
    然后看卡方分布的临界概率,表如下:
    这里写图片描述

    一般我们取p=0.05,也就是说两者不相关的概率为0.05时,对应的卡方值为3.84。显然10.0>3.84,那就说明包含吴亦凡的新闻不属于娱乐的概率小于0.05。换句话说,包含吴亦凡的新闻与娱乐新闻相关的概率大于95%!

    总结一下:我们可以通过卡方值来判断特征是否与类型有关。卡方值越大,说明关联越强,特征越需要保留。卡方值越小,说明越不相关,特征需要去除。

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  • 总体分布卡方拟合优度检验

    千次阅读 2013-12-02 17:34:54
    1. 概率分布检验2. 如何验证分布服从正态分布 1 概率分布检验 筛子是否均衡的检验 考虑如下问题: 一枚骰子, 投掷600次, 出现1点到6点的次数如下 Table 1: 骰子投掷次数数据 1 ...


    1 概率分布的检验

    1. 筛子是否均衡的检验

      考虑如下问题: 一枚骰子, 投掷600次, 出现1点到6点的次数如下

      Table 1: 骰子投掷次数数据
      1 2 3 4 5 6
      100 112 123 87 90 88

      试问骰子是否均匀

    2. 检验问题
      • 设骰子点数记为随机变量  Y  , 取值为  1,2,,6  的概率分别为  p1,,p6
      • 检验如下假设: 原假设:  H0:p1=p2=p6=1/6
      • 对立假设为:  p1,,p6  不全相等
      • 采用哪个统计量来度量
    3. 卡方拟合优度检验
      • npi  为 n 次抛掷中 出现  i  点的理论频数
      • 记  ni  为n次抛掷中出现  i  点的次数
      • 取检验统计量为
        χ2=i=16(ninpi)2npi
      • 可以证明在原假设成立的条件下, 当样本量趋近于   时, 有
        χ2χ2(61)
      • 上述检验方法可以推广到概率不均等的情况
    4. 简单情形下定理的验证
      • 对于(0,1) 分布, 检验  Y  取值为1 的概率是否为  p
      • 此时卡方统计量为
        χ2=(Ynp)2np+((nY)n(1p))2n(1p)=(Ynp)2(1np+1n(1p))=(Ynp)2np(1p)=(Ynpnp(1p))2χ2(1)
    5. 卡方拟合优度的应用 -彩票数据
      • 彩票0-9 出现概率是否相同
      • 分布拟合
      Table 2: 近100期 6+1 彩票开奖号码-部分数据
      12112 2 6 2 3 9 8 3
      12113 0 5 0 1 7 8 1
      12114 9 2 9 2 4 1 9
      12115 7 9 6 6 2 9 1
      12116 8 2 2 1 9 1 9

      file: data/caipiao.csv

    6. 数据读取和检验结果
      • 在R软件中采用 chisq.test 函数进行卡方拟合优度检验
      • 首先给出 0-9 的频数统计
      caipiao<-as.matrix(read.table("data/caipiao.csv",header=F,sep=","))
      sj<-as.numeric(caipiao[,-1])
      a<-table(sj);names(a)<-0:9
      t(a)
      
            0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
      [1,] 71 71 71 59 79 69 76 69 67 68
      
    7. 彩票数字均匀性检验
      chisq.test(a)
      
              Chi-squared test for given probabilities
      
      data:  a
      X-squared = 3.6571, df = 9, p-value = 0.9325
      

    2 如何验证分布服从正态分布

    1. R 和matlab中的专门函数
      • 在R有专门的函数对数据的正态性进行检验,如
        • ‘shapiro.test’ which performs the Shapiro-Wilk test for normality.
        • 'ks.test' Perform a one- or two-sample Kolmogorov-Smirnov test.
      • 在Matlab中也有专门的函数
        • jbtest 实现 Bera-Jarque 检验
        • lillietest 实现Lilliefors 检验
        • kstest 实现了Kolmogorov-Smirnov 检验,可以检验分布和位置参数
    2. R 中正态分布检验举例
      set.seed(1314)
      x<-rnorm(200)
      y<-runif(200)
      shapiro.test(x)
      shapiro.test(y)
      
      	Shapiro-Wilk normality test
      
      data:  x
      W = 0.99, p-value = 0.1797
      
      	Shapiro-Wilk normality test
      
      data:  y
      W = 0.9506, p-value = 2.136e-06
      
    3. matlab进行lillietest检验
      x=normrnd(0,1,200,1);
      lillietest(x)
      y=unifrnd(0,1,200,1);
      lillietest(y)
      
      x=normrnd(0,1,200,1);
      lillietest(x)
      
      ans =
      
           0
      y=unifrnd(0,1,200,1);
      lillietest(y)
      
      ans =
      
           1
      

      ans=0 表示接受原假设, ans=1 表示拒绝原假设



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  • 点击蓝字 关注我们在介绍卡方检验之前,我们...01卡方检验的定义卡方检验是一种极为典型的对总体分布进行检验的非参数检验方法。用于检验数据是否与某种概率分布的理论数字相吻合,进而推断样本数据是否来自该分布的...
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    在介绍卡方检验之前,我们先了解一下非参数检验

    非参数检验是指在母体不服从正态分布或分布情况不明确时,即不依赖母体分布的类型,用以检验数据是否来自同一个母体假设的一类检验方法,又称分布自由检验。

    那么什么是卡方检验呢?

    01

    卡方检验的定义

    卡方检验是一种极为典型的对总体分布进行检验的非参数检验方法。用于检验数据是否与某种概率分布的理论数字相吻合,进而推断样本数据是否来自该分布的问题。

    卡方检验可以检验属于每一类别对象或反响的观测数目与根据零假设所得的期望数目之间是否有显著差异。卡方检验的目的是根据样本所在母体分布(各类别所占比例)是否与已知母体不相同,是一种单样本检验。

    02

    卡方检验的基本思想

    如果从一个随机变量X中随机抽取若干个观察样本,这些样本落在X的k个互不相交的子集中的观察频率服从一个多项分布,当k趋于无穷大时,这个多项分布近似服从卡方分布。卡方检验的零假设为:总体X服从某种分布,这里的样本认为是来自总体X。

    03

    卡方检验的SPSS操作

    1. 在数据编辑窗口中,执行菜单栏中的【分析】→【非参数检验】→【旧对话框】→【卡方】命令,打开如图1所示的【卡方检验】对话框。

    c72172e5d66de5c6fa297de9260a3dfc.png

    图1

    【期望全距】栏用于确定检验值的取值范围,在此范围之外的取值将不进入分析。

    【期望值】栏用于指定母体的各分类构成比,即期望频率npi的值。

    2. 在主对话框中,单击【选项】按钮,打开图2所示的【卡方检验:选项】对话框。

    ca9c734a137a240d7838a84628e68a8a.png

    图2

    在该对话框中可以定义所输出的统计量和缺失值的处理方式。

    【统计量】栏,可从此栏内选择输出的统计量,包括【描述性】和【四分位数】选项。

    【缺失值】栏,可在此栏内设置处理默认值的方式:【按检验排除个案】为系统默认选项,指在进行检验时,只排除参与检验的变量的默认值;【按列表排除个案】选项,表示剔除所有含有缺失值的个案。

    3. 在主对话框中单击【精确】按钮,打开图3所示的【精确检验】对话框。

    46e00e0f81db46728209f5bc57fd580f.png

    图3

    选择计算显著性水平Sig.值的几种方法,包括以下三个选项:

    ▪ 仅渐进法,这是系统默认的计算显著性水平的方法。计算显著性水平是基于检验统计量的渐进分布假设,如果显著性水平为0.05,检验结果被认为存在显著性差异。要求数据量足够大,如果数据量比较小,或者频率过低,则检验结果可能会失效。

    ▪ Monte Carlo,指蒙特卡洛估计方法,即精确显著性水平的无偏差估计。蒙特卡洛方法是利用给定样本集通过模拟方法重复取样来计算显著性水平,该方法不要求渐进方法中的假设。对于处理不满足渐进假设的巨量数据,同时由于数据的巨量而无法得到精确(精确)的显著性水平时,可以选择该方法。

    ▪ 精确,指精确计算显著性水平的方法。该方法得到精确的显著性水平,不需要渐进方法的假设,不足之处是计算量和所需内存太大。选择该选项后,可以选择【每个检验的时间限制为】复选框,即设置计算时间限制,默认时间限制为5分钟,超过该时间,系统会自动停止运算并给出计算结果。

    所有设置结束后,单击【确定】按钮,即可开始进行统计分析过程。

    04

    卡方检验实例

    下面以一个实例来简单说明卡方检验的运用,以及对其结果的解读。

    在一个正20面体的各面上分别标上0-9十个数字。每个数字在两个面上标出。为了检验其均匀性,现将它投掷805次,得出各数字面上的次数。依据此数据,建立数据文件frequency.sav,数据如图4所示。

    a3e58e48f2ca63363595b0b6348b4103.png

    图4

    为了检验该20面体是否均匀,即要检验每个数字出现的概率是否大致相同,每个数字出现的概率应大致为10%。在该例中,卡方检验的原假设为10个数字出现的概率之间无显著性差异。

    操作步骤

    (1) 打开数据文件。

    (2) 对数据进行加权,从菜单栏选择【数据】→【加权个案】命令,打开【加权个案】对话框。在该对话框中,以frequency为加权变量,选择对其数据进行加权。

    (3) 执行菜单栏中的【分析】→【非参数检验】→【旧对话框】→【卡方】命令。

    (4) 将变量Number作为检验变量选入【检验变量列表】框中。

    (5) 单击【选项】按钮,选择【描述性】和【四分位数】复选框,单击【继续】返回主对话框。

    (6) 单击【确定】按钮。

     结果解读

    表1 描述性统计量表

    0b343e705e0aa542a10c203233d067f1.png

    表2 期望频率和观测频率表

    939c6a9332824de627598bc71ffee69b.png

    表2显示出各个分组的观测频率和期望频率以及两者之间的差值,从表中可以看出,期望频率为80.5,Residual代表的是残差,最大残差为10.5。

    表3 卡方检验表

    63d6b25eaeef2cdb009f1c4bf3689479.png

    表3中x2=4.627,渐进方法的概率p值为0.866,远大于显著性水平0.05,因此可以接受原假设,证明该20面体是均匀的。

    f886c60208ba3a8089e1ff8205388677.gif

    参考资料

    时立文.SPSS 19.0统计分析从入门到精通[M].北京:清华大学出版社,2012.

    34f20451252f09cda786a4d374486213.png

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    图文:陈楼琪

    排版:陈楼琪

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  • 其主要应用于分类变量,根据样本数据推断总体分布与期望分布是否有显著差异或推断两个分类变量是否相关或相互独立。卡方检验分类卡方检验步骤卡方检验可以参照一般假设检验步骤:设置原假设与备择假设设置显著性水平...

    什么是卡方检验

    卡方检验是一种用途很广的基于卡方分布的假设检验方法,其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。其主要应用于分类变量,根据样本数据推断总体分布与期望分布是否有显著差异或推断两个分类变量是否相关或相互独立。

    卡方检验分类

    卡方检验步骤

    卡方检验可以参照一般假设检验步骤:设置原假设与备择假设

    设置显著性水平

    根据问题选择具体的假设检验方式

    计算统计量,并通过统计量获取P值

    根据P值与显著性水平,决定接受原假设还是备择假设

    一般可以设原假设为:观察频数与期望频数没有差异,或者两个变量相互独立不相关。

    卡方检验的计算公式为:

    从公式也可以看出它是利用类别变量的观测值频数与期望值频数进行构建的。

    卡方检验的应用实例应用实例--拟合优度检验

    以掷骰子为例,有一天小王同学闲来无事,发现桌上刚好有一枚骰子,身为数据分析师的他,好奇骰子是不是均匀的,于是他连着投掷了120次,并统计了各点出现的次数。由于原假设骰子是均衡的,所以每点数期望值都为20。

    第一步我们确定原假设即骰子是均衡的,第二步设置显著性水平α=0.05,在确立使用卡方检验之后

    确定上述统计值之后,并结合卡方表就可对其进行判断。

    接下来用python实现

    import pandas as pd

    import numpy as np

    from scipy import stats

    #创建上述表

    observed_pd = pd.DataFrame(['1点']*23+['2点']*20+['3点']*18+['4点']*19+['5点']*24+['6点']*16)

    expected_pd = pd.DataFrame(['1点']*20+['2点']*20+['3点']*20+['4点']*20+['5点']*20+['6点']*20)

    observed_table = pd.crosstab(index=observed_pd[0],columns='count')

    expected_table = pd.crosstab(index=expected_pd[0],columns='count')

    print(observed_table)

    print('——————')

    print(expected_table)

    #通过公式算出卡方值

    observed = observed_table

    expected = expected_table

    chi_squared_stat = ((observed-expected)**2/expected).sum()

    print('chi_squared_stat')

    print(chi_squared_stat)

    有两种实现方式

    #方法一

    crit = stats.chi2.ppf(q=0.95,df=5) #95置信水平 df = 自由度

    print(crit) #临界值,拒绝域的边界 当卡方值大于临界值,则原假设不成立,备择假设成立

    P_value = 1-stats.chi2.cdf(x=chi_squared_stat,df=5)

    print('P_value')

    print(P_value)

    # 方法二

    stats.chisquare(f_obs=observed, #Array of obversed counts

    f_exp=expected) #Array of expected counts

    可以看出P值要远大于显著性水平α,所以我们没有理由拒绝原假设,即骰子是均匀的。

    2.应用实例--交叉表卡方

    在日常的数据分析工作中,卡方检验主要用于留存率,渗透率等漏斗指标,下面我们就以留存率为例,假设平台从微博、微信、知乎渠道引流,现在我们要确定留存率是否与渠道有关。(示例数据皆为虚构)

    第一步我们先设立原假设:留存率与渠道无关;第二步设置显著性水平α=0.05,在确立使用卡方检验之后接下来用python实现

    df = pd.DataFrame(columns = ['register','stay'],index = ['weibo','zhihu','weixin'],

    data=[[11570,3173],[15113,3901],[18244,4899]])

    df['lost'] = df['register']- df['stay']

    df

    observed = df[['stay','lost']]

    stats.chi2_contingency(observed=observed)

    可以看出P值要小于我们原先定的显著性水平α,所以我们有理由拒绝原假设,即用户渠道的确影响了留存情况,两者并不是相互独立的。

    展开全文
  • 卡方检验

    2020-10-13 16:41:19
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  • 关于卡方检验

    2021-08-02 18:09:35
    是在总体分布未知或知之甚少的情况下,利用样本数据对总体分布形态等进行推断的方法。由于非参数检验方法在推断过程中不涉及有关总体分布的参数 ,因而得名为“非参数”检验。 卡方检验重要性: 适用于不知道...
  • 卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法,统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度,主要在分类数据资料统计推断中应用。在电商平台中,广告图到处可见,引起用户兴趣,为商品或者店铺带去流量。...
  • 经典的卡方检验是检验定性自变量对定性因变量的相关性。假设自变量有N种取值,因变量有M种取值,考虑自变量等于i且因变量等于j的样本频数的观察值与期望的差距,构建统计量:  这个统计量的含义简而言之就是...
  • 什么是卡方检验

    千次阅读 2019-09-05 10:43:10
    本文参考 卡方检验1 https://www.jianshu.com/p/807b2c2bfd9b 卡方检验2 https://www.cnblogs.com/wzdLY/p/9649101.html 卡方分布上侧分位数表 ...卡方检验主要用于分类变量之间的独立...
  • 卡方检验思想

    2021-03-26 15:59:32
    卡方检验思想总结 卡方检验 思想: 1.假设数据服从某种分布,或某种模型; 2.计算出符合此模型的数据,即为期望数据; 3.实际观测到的数据和2中计算得到的期望数据相比较(卡方检验的公式); 4.得到的卡方值过大,...
  • 【—–总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验——】(1)分析:建立如下假设 (2)matlab进行检验:% 调用ztest函数作总体均值的双侧检验, % 返回变量h,检验的p值,均值的置信区间muci,检验统计量的观测值...
  • 卡方检验 原理As a data science engineer, it’s imperative that the sample data set which you pick from the data is reliable, clean, and well tested for its usability in machine learning model building...
  • 在得到一批样本数据后,人们往往希望从中得到样本所来自的总体的分布形态是否和某种特定分布相拟合。... 总体分布卡方检验适用于配合度检验,是根据样本数据的实际频数推断总体分布与期望分布或理论分布是...
  • T检验 卡方检验 检验的要求

    千次阅读 2017-07-07 21:13:34
    SPSS结果: R2:方程的确定性系数,表示方程中变量X对Y的解释程度。取值在0到1之间,越接近1表明X对Y的解释能力越强。 单样本T检验:样本所在的总体均...卡方检验与t检验: 计量资料采用均数±标准差,如年龄用t...
  • 卡方检验概述

    千次阅读 2017-10-13 14:24:39
    前言、什么是卡方检验 卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴,主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比)以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际...
  • 卡方检验是一种用途广泛的假设检验方法,它属于非参数检验方法。用于比较两个及两个以上样本率( 构成比)以及两个分类变量的关联性分析。思想是比较理论频数和实际频数的吻合程度。设 $X_1, X_2, dots ,X_n$ 是来自...
  • 我们有一个标准正态分布总体,我们从其中抽一次,取该值的平方就是Q1统计量;抽两次,取两次值得平方和,就是Q2统计量;以此类推。。。 这就是自由度逐渐增加的卡方分布卡方分布 可以用于比较两组数(A和B...

空空如也

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总体分布的卡方检验