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  • 推导抛物线插值的拉格朗日插值公式 发现历程 ​ 在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少...

    推导抛物线插值的拉格朗日插值公式

    发现历程

    ​ 在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式。数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现,不久后(1783年)由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起。

    拉格朗日插值法

    ​ 一般地,若已知 在互不相同 n+1 个点 处的函数值(即该函数过 这n+1个点),则可以考虑构造一个过这n+1个点的、次数不超过n的多项式 ,使其满足:

    ​ 要估计任一点ξ,ξ≠xi,i=0,1,2,…,n,则可以用Pn(ξ)的值作为准确值f(ξ)的近似值,此方法叫做“插值法”。
    称式(*)为插值条件(准则),含xi(i=0,1,…,n)的最小区间[a,b],其中a=min{x0,x1,…,xn},b=max{x0,x1,…,xn}。

    ​ 满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。

    举个栗子

    在平面上有在这里插入图片描述

    共n个点,现作一条函数f(x) 使其图像经过这n个点。

    作法:设集合D(n)是关于点(x,y)的角标的集合,D(n)={0,1,2,…,n-1}作n个多项式Pj(x),j属于D(n)

    对于任意k都有在这里插入图片描述

    使得
    在这里插入图片描述
    Pk(n-1)是n-1次多项式,且满足在这里插入图片描述并且Pk(Xk)=1

    最后可得在这里插入图片描述

    形如上式的插值多项式Ln(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。

    例如:当n=4时,上面的公式可简化为:
    在这里插入图片描述

    这是一个过4个点的唯一的三次多项式。

    抛物插值

    抛物插值就是通过3个采样点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),即只要确定出3个插值基函数即可。

    代入三个点到上述的拉格朗日插值定理即可得:

    ,(x1,y1),(x2,y2),即只要确定出3个插值基函数即可。

    代入三个点到上述的拉格朗日插值定理即可得:
    在这里插入图片描述

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  • lucene评分推导公式

    2014-08-06 09:49:00
    在进行Lucene的搜索过程解析之前,有必要单独的一张把Lucenescore公式推导,各部分的意义阐述一下。因为Lucene的搜索过程,很重要的一个步骤就是逐步的计算各部分的分数。Lucene的打分公式非常复杂,如下:在推导...

    在进行Lucene的搜索过程解析之前,有必要单独的一张把Lucene score公式的推导,各部分的意义阐述一下。因为Lucene的搜索过程,很重要的一个步骤就是逐步的计算各部分的分数。

    Lucene的打分公式非常复杂,如下:



    在推导之前,先逐个介绍每部分的意义:

    t:Term,这里的Term是指包含域信息的Term,也即title:hello和content:hello是不同的Term 
    coord(q,d):一次搜索可能包含多个搜索词,而一篇文档中也可能包含多个搜索词,此项表示,当一篇文档中包含的搜索词越多,则此文档则打分越高。 
    queryNorm(q):计算每个查询条目的方差和,此值并不影响排序,而仅仅使得不同的query之间的分数可以比较。其公式如下: 



    tf(t in d):Term t在文档d中出现的词频 
    idf(t):Term t在几篇文档中出现过 
    norm(t, d):标准化因子,它包括三个参数: 
    Document boost:此值越大,说明此文档越重要。 
    Field boost:此域越大,说明此域越重要。 
    lengthNorm(field) = (1.0 / Math.sqrt(numTerms)):一个域中包含的Term总数越多,也即文档越长,此值越小,文档越短,此值越大。 




      

    各类Boost值 
    t.getBoost():查询语句中每个词的权重,可以在查询中设定某个词更加重要,common^4 hello 
    d.getBoost():文档权重,在索引阶段写入nrm文件,表明某些文档比其他文档更重要。 
    f.getBoost():域的权重,在索引阶段写入nrm文件,表明某些域比其他的域更重要。 
    以上在Lucene的文档中已经详细提到,并在很多文章中也被阐述过,如何调整上面的各部分,以影响文档的打分,请参考有关Lucene的问题(4):影响Lucene对文档打分的四种方式一文。

    然而上面各部分为什么要这样计算在一起呢?这么复杂的公式是怎么得出来的呢?下面我们来推导。

    首先,将以上各部分代入score(q, d)公式,将得到一个非常复杂的公式,让我们忽略所有的boost,因为这些属于人为的调整,也省略coord,这和公式所要表达的原理无关。得到下面的公式:



    然后,有Lucene学习总结之一:全文检索的基本原理中的描述我们知道,Lucene的打分机制是采用向量空间模型的:

    我们把文档看作一系列词(Term),每一个词(Term)都有一个权重(Term weight),不同的词(Term)根据自己在文档中的权重来影响文档相关性的打分计算。 

    于是我们把所有此文档中词(term)的权重(term weight) 看作一个向量。 

    Document = {term1, term2, …… ,term N} 

    Document Vector = {weight1, weight2, …… ,weight N} 

    同样我们把查询语句看作一个简单的文档,也用向量来表示。 

    Query = {term1, term 2, …… , term N} 

    Query Vector = {weight1, weight2, …… , weight N} 

    我们把所有搜索出的文档向量及查询向量放到一个N维空间中,每个词(term)是一维。 



    我们认为两个向量之间的夹角越小,相关性越大。 

    所以我们计算夹角的余弦值作为相关性的打分,夹角越小,余弦值越大,打分越高,相关性越大。 

    余弦公式如下:



    下面我们假设:

    查询向量为Vq = <w(t1, q), w(t2, q), ……, w(tn, q)>

    文档向量为Vd = <w(t1, d), w(t2, d), ……, w(tn, d)>

    向量空间维数为n,是查询语句和文档的并集的长度,当某个Term不在查询语句中出现的时候,w(t, q)为零,当某个Term不在文档中出现的时候,w(t, d)为零。

    w代表weight,计算公式一般为tf*idf。

    我们首先计算余弦公式的分子部分,也即两个向量的点积:

    Vq*Vd = w(t1, q)*w(t1, d) + w(t2, q)*w(t2, d) + …… + w(tn ,q)*w(tn, d) 

    把w的公式代入,则为

    Vq*Vd = tf(t1, q)*idf(t1, q)*tf(t1, d)*idf(t1, d) + tf(t2, q)*idf(t2, q)*tf(t2, d)*idf(t2, d) + …… + tf(tn ,q)*idf(tn, q)*tf(tn, d)*idf(tn, d)

    在这里有三点需要指出:

    由于是点积,则此处的t1, t2, ……, tn只有查询语句和文档的并集有非零值,只在查询语句出现的或只在文档中出现的Term的项的值为零。 
    在查询的时候,很少有人会在查询语句中输入同样的词,因而可以假设tf(t, q)都为1 
    idf是指Term在多少篇文档中出现过,其中也包括查询语句这篇小文档,因而idf(t, q)和idf(t, d)其实是一样的,是索引中的文档总数加一,当索引中的文档总数足够大的时候,查询语句这篇小文档可以忽略,因而可以假设idf(t, q) = idf(t, d) = idf(t) 
    基于上述三点,点积公式为:

    Vq*Vd = tf(t1, d) * idf(t1) * idf(t1) + tf(t2, d) * idf(t2) * idf(t2) + …… + tf(tn, d) * idf(tn) * idf(tn)

    所以余弦公式变为:



    下面要推导的就是查询语句的长度了。

    由上面的讨论,查询语句中tf都为1,idf都忽略查询语句这篇小文档,得到如下公式



    所以余弦公式变为:



    下面推导的就是文档的长度了,本来文档长度的公式应该如下:



    这里需要讨论的是,为什么在打分过程中,需要除以文档的长度呢?

    因为在索引中,不同的文档长度不一样,很显然,对于任意一个term,在长的文档中的tf要大的多,因而分数也越高,这样对小的文档不公平,举一个极端的例子,在一篇1000万个词的鸿篇巨著中,"lucene"这个词出现了11次,而在一篇12个词的短小文档中,"lucene"这个词出现了10次,如果不考虑长度在内,当然鸿篇巨著应该分数更高,然而显然这篇小文档才是真正关注"lucene"的。

    然而如果按照标准的余弦计算公式,完全消除文档长度的影响,则又对长文档不公平(毕竟它是包含了更多的信息),偏向于首先返回短小的文档的,这样在实际应用中使得搜索结果很难看。

    所以在Lucene中,Similarity的lengthNorm接口是开放出来,用户可以根据自己应用的需要,改写lengthNorm的计算公式。比如我想做一个经济学论文的搜索系统,经过一定时间的调研,发现大多数的经济学论文的长度在8000到10000词,因而lengthNorm的公式应该是一个倒抛物线型的,8000到 10000词的论文分数最高,更短或更长的分数都应该偏低,方能够返回给用户最好的数据。

    在默认状况下,Lucene采用DefaultSimilarity,认为在计算文档的向量长度的时候,每个Term的权重就不再考虑在内了,而是全部为一。

    而从Term的定义我们可以知道,Term是包含域信息的,也即title:hello和content:hello是不同的Term,也即一个Term只可能在文档中的一个域中出现。

    所以文档长度的公式为:



    代入余弦公式:



    再加上各种boost和coord,则可得出Lucene的打分计算公式。



    本文来自CSDN博客,转载请标明出处:http://blog.csdn.net/forfuture1978/archive/2010/03/07/5353126.aspx

    转载于:https://www.cnblogs.com/fabaoyi/p/3893784.html

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  • 牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2...

    牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度

    设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2+bx+c$,则应该有

    $a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=f(x_0+\Delta x)$-------(A)

    $ax_0^2+bx_0+c=f(x_0)$-------(B)

    $a(x_0-\Delta x)^2+b(x_0-\Delta x)+c=f(x_0-\Delta x)$-------(C)

    其中$lim_{\Delta x->0}$

    这道方程组是有解的。首先(A)-(B)得到:

    $a(\Delta x^2+2x_0\Delta x)+b\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$----(D)

    (B)-(C)得到

    $a(-\Delta x^2+2x_0\Delta x)+b\Delta x=f(x_0)-f(x_0-\Delta x)$----(E)

    (D)-(E)得到

    $$\begin{aligned}2\Delta x^2 a=[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]-[f(x_0)-f(x_0-\Delta x)] \\ \Rightarrow \\ a=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}}{2\Delta x} \\ =lim_{\Delta x->0}\frac{f'(x_0)-f'(x_0-\Delta x)}{2\Delta x} \\ =lim_{\Delta x->0} \frac{f''(x_0-\Delta x)}{2}=\frac{f''(x_0)}{2}\end{aligned}$$

    即是$a=\frac{y_0''}{2}$,进而有:$b=y_0'-y_0''x_0$,$c=y_0-y_0'+\frac{y_0''x_0^2}{2}$

    至此,我们已经求出了任意函数$y=f(x)$的切抛物线方程,利用其可以有效地逼近原来函数的零点。设$y=f(x)$,令上述抛物线方程等于0,解这道方程:

    $$x=x_0-\frac{y_0'}{y_0''}+-\sqrt{(\frac{y_0'}{y_0''})^2-\frac{2y_0}{y_0''}}$$

    一般地,这是比$x_0$更接近方程零点的值(这里$+-$待定,一般取的是正号),我们可以取这个解继续求切抛物线,继续进行上述步骤,于是得出递推公式为:

    $$x_{n+1}=x_n-\frac{y_n'}{y_n''}+-\sqrt{(\frac{y_n'}{y_n''})^2-\frac{2y_n}{y_n''}}$$

    不可否认,这比牛顿法计算量大了很多;但也有一定优点,收敛更快,$x_0$的取值范围更广一些。

    上面是从纯几何的角度来推导出这种方法的,几何意义明显。从泰勒级数可以更方便推出。根据泰勒级数有:

    $$f(x)=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\frac{f''(x_n)}{2!}(x-x_n)^2 +\frac{f'(x_n)}{3!}(x-x_n)^3 +...$$

    牛顿法是取$f(x)=f(x_n)+(x-x_n)f'(x_n)$作为$f(x)=0$的近似方程,而“切抛物线”则是取$f(x)=f(x_n)+(x-x_n)f'(x_n)+(x-x_n)^2 \frac{f''(x_n)}{2!}$,这是关于x的二次方程,于是可以得出:

    $$x_{n+1}=x_n-\frac{y_n'}{y_n''}+-\sqrt{(\frac{y_n'}{y_n''})^2-\frac{2y_n}{y_n''}}$$

    过程是不是简单了很多?可为什么一开始就从复杂的几何角度来推导呢?其实,这样推导,正是体现了解析几何的要点——代数与几何相结合,有助于我们理解一个方法的几何含义,进而推导出更多的方法来。例如我们可以不用“切抛物线”,我们可以用“切双曲线”、“切椭圆”等等的方法,进而取得更多的成果。例如函数“切双曲线”的结果则是

    $$\begin{aligned}y=k/x+b \\ k=-y_0'x_0^2 \\ b=y_0+y_0'x_0\end{aligned}$$

    递推公式为:$x_{n+1}=\frac{y_n' x_n^2}{y_n+y_n' x_n}$

    (这是“弱切双曲线”,收敛比牛顿法慢;完整切双曲线应该是$y=k/{x-l}+b$形式的,需要用到二阶导数。)

    更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

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    苏剑林. (Mar. 06, 2010). 《(原创)切抛物线法解方程 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/504

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