一、 模拟数据 编码为 数字信号

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模拟数据 编码为 数字信号 :

① 计算机数据形式 : 计算机内部的数据都是 二进制数据 ;

② 数字音频 : 计算机内的音频都是 数字音频 ;

③ 音频数字化 : 将 模拟信号的音频 , 通过 采样 , 量化转换 为有限个 数字表示的 离散序列 ;

二、 音频信号 PCM 编码

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模拟数据 编码为 数字信号 , 最典型的应用 , 就是将 模拟的 音频信号 进行 脉码调制 ( PCM ) 编码 , 转为 数字信号 ;

PCM 音频数据 , 就是 高保真 音频 , 没有经过压缩的原始音频数据 ; 其被存储于 WAV 格式的音频中 ; MP3 , OGG 等格式都是被压缩过的 ;

PCM 编码过程主要有三个步骤 :

① 抽象

② 量化

③ 编码

三、 抽象

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抽样 : 对 模拟信号 进行 周期性 扫描 , 将 时间上 连续的信号 , 转为 时间上 离散的信号 ;

采样定理 : 为了使所有的离散信号 , 能够 不失真地代表 被抽样的模拟数据 , 需要使用 采样定理 :

$$f_{采样频率}\ge 2f_{信号最高频率}$$

采样定理 规定了 采样频率 必须 大于等于 信号最高频率的 $2$ 倍 ;

四、 量化

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量化 :

① 抽样结果 : 抽样取得了 一系列的 电平幅值 集合 ;

② 分级标度 : 将上述 电平幅值 按照一定 分级标度 , 转为对应的数值 , 这些数值取整 ;

③ 离散数值 : 将 连续的 电平幅值 转为 离散的数值 ;

分级标度 示例 :

• 256 种分级 , 对应着每个采样需要使用 $lo{g}_{2}256=8$ 比特来表示 , 对应着 $8$ 位的音频采样 ;
• 65536 种分级 , 对应着每个采样需要使用 $lo{g}_{2}65536=16$ 比特来表示 , 对应着 $16$ 位的音频采样 ;

如 : 音频格式是 44100 Hz , 单声道 , 16 位采样 , 就意味着 , 每个采样的取值有 65536 种 ;

五、 编码

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编码 : 将 量化的结果 , 转为 二进制编码 ;

六、 采样定理

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采样定理 : 为了使所有的离散信号 , 能够 不失真地代表 被抽样的模拟数据 , 需要使用 采样定理 :

$$f_{采样频率}\ge 2f_{信号最高频率}$$

采样定理 规定了 采样频率 必须 大于等于 信号最高频率的 $2$ 倍 ;

模拟信号都是 正弦波 构成的 , 每个模拟信号都可以过滤出一个正弦波 ;

正弦波 $S$ , $1$ 秒有 $2$ 个完整的波形 , 即 $2$ 个波峰 , $2$ 个波谷 , 其周期是 $0.5$ 秒 , 频率是 $2Hz$ ;

正弦波 $B$ , $1$ 秒有 $1$ 个完整的波形 , 即 $1$ 个波峰 , $1$ 个波谷 , 其周期是 $1.0$ 秒 , 频率是 $1Hz$ ;

信号频率就是带宽 , 是 $1$ 秒钟震荡的次数 , $S$ 信号波形 频率 $2Hz$ , $B$ 信号波形 频率 $1Hz$ ;

针对 $B$ 波形 , 确定采样频率 :

• 正弦波的公式 : $y=Asin(\omega t+\varphi )$

• 已知参数 : 其中的 $\omega$ 就是频率 , $1Hz$ ;

• 未知参数 : 还剩下未知数 $A$ 和 $\varphi$ ;

• 未知参数求值条件 : 只要代入两组数据 , 就可以将该正弦函数的公式求出 , 因此采样时 , 采两组数据 , 就能完全还原该正弦函数 ;

采样定理 结论 :

• 在一个 正弦波周期内 , 采样 $2$ 次 , 就可以还原该正弦波 ;

• 如果 $1$ 秒钟有 $1$ 个完整的正弦波 , 那么采样 $2$ 次即可 ;

• 如果 $1$ 秒钟有 $2$ 个完整的正弦波 , 那么采样 $2\times 2=4$ 次即可 ;

• 因此采样定理中规定 , 采样频率 必须 大于等于 2倍信号最高频率 ;

也可以采更多的样本 , 采样频率越高 , 正弦波形恢复的更准确 , 就越不容易失真 ;

如 : 音频的采样 $44100Hz$ , $48000Hz$ , $96000Hz$ , 都非常大 ;

人耳能听到的声音是 $20Hz$ ~ $20000Hz$ , 如果让人耳能够听不出来区别 , 必须在 $20000\times 2=40000Hz$ 以上的采样率才能达到最基本 高保真 要求 ;

高频失真 , 就是高频的波形没有完整的还原出来 , 采样率不足导致的 ;

模拟信号（介绍）

模拟信号(英语：analog signal)是指在时间和数值上均具有连续性，即对应于任意时间值t均有确定的函数值u或i，并且u或i的幅值是连续取值的信号。与模拟信号对应的是数字信号，后者采取分立的逻辑值，而前者可以取得连续值。模拟信号分布于自然界的各个角落，如每天温度的变化，模拟信号的概念常常在涉及电的领域中被使用，不过经典力学、气动力学(pneumatic)、水力学等学科有时也会使用模拟信号的概念。

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信号采集

介绍下面的信号采集先明确几个重要的概念：
1. V/F转换：

V/F转换器是把电压信号转变为频率信号的器件,有良好的精度、线性和积分输入特点,他的应用电路简单,外围元件性能要求不高,对环境适应能力强,转换速度不低于一般的双积分型A/D器件,且价格较低,因此在一些非快速A/D转换过程中,V/F转换技术倍受青睐。
优点：
1. 接口简单,占用计算机硬件资源少。频率信号可输入微机的任一根I/O线或作为中断源及计数输入等。
2. 抗干扰性能好。V/F转换本身是一个积分过程,且用V/F转换器实现A/D转换,就是频率计数过程,相当于在计数时间内对频率信号进行积分,因而有转强的抗干扰能力。另外可采用光电耦合器连接V/F转换器与计算机之间的通道,实现光电隔离。
3. 易于远距离传输。可通过调制进行无线传输或光传输。基于以上这些特点由V/F转换器构造的系统可以简化电路,降低成本,提高性价比。

1. A/D转换：A/D转化电路。 亦称“模拟数字转换器”，简称“模数转换器”。将模拟量或连续变化的量进行量化（离散化），转换为相应的数字量的电路。 A/D变换包含三个部分：抽样、量化和编码。一般情况下，量化和编码是同时完成的。 抽样是将模拟信号在时间上离散化的过程； 量化是将模拟信号在幅度上离散化的过程； 编码是指将每个量化后的样值用一定的二进制代码来表示。

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   • 这里的模拟信号是指电压和电流信号，对模拟信号的处理技术主要包括模拟量的选通、模拟量的放大、信号滤波、电流电压的转换、V/F转换、A/D转换等。
   • 模拟通道—-单片机测控系统有时需要进行多路和多参数的采集和控制，除特殊情况下采用多路独立的放大、A/D外，通常采用公共的采样/保持及A/D转换电路。
   • 信号滤波—-从传感器或其它接收设备获得的电信号，往往会有多种频率成分的噪声信号，需采取滤波措施，滤除干扰噪声，提高系统的信噪比(S/N)。
   • 电流电压—-电压信号可以经由A/D转换器件转换成数字信号然后采集，但是电流不能直接由A/D 转换器转换。在应用中，先将电流转变成电压信号，然后进行转换。
   • 电压频率—-V/F转换器适用于一些非快速而需进行远距离信号传输的A/D转换过程。利用V/F变换，还可以减化电路、降低成本、提高性价比。
   • A/D转换—-A/D转换是指将模拟输入信号转换成N位二进制数字输出信号的过程。
   • 积分ADC—-积分型ADC又称为双斜率或多斜率ADC，它的应用也比较广泛。在此时间间隔内利用计数器对时钟脉冲进行计数，从而实现A/D转换。
   • 压频变换—-压频变换型ADC是间接型ADC，它先输入模拟信号的电压转换成频率与其成正比的脉冲信号，然后在固定的时间间隔内对此脉冲信号进行计数，计数结果即为正比于输入模拟电压信号的数字量。
   • 判断采样—-采样/保持器主要用于稳定信号量，实现平顶抽样。对于高频信号的采集，采样/保持器是非常必要的。
   • 选择量程—-模拟信号的动态范围较大，有时还有可能出现负电压。在选择时，待测信号的动态范围最好在A/D器件的量程范围内。以减少额外的硬件付出。
   • 选择线形—-在A/D采集过程中，线形度越高越好。但是线形度越高，器件的价格也越高。当然，也可以通过软件补偿来减少非线性的影响。
   • 输出接口—-A/D器件接口的种类很多，有并行总线接口的，有SPI、I2C、1-Wire等串行总线接口的。它们在原理和精度上相同，但是控制方法和接口电路会有很大差异。在接口上的选择，主要决定于系统要求、已经开发者对于各种接口的熟练程度。
     
     

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模拟信号和数字信号的区别

模拟信号与数字信号的区别在于：不同的数据必须转换为相应的信号才能进行传输：模拟数据一般采用模拟信号，例如用一系列连续变化的电磁波或电压信号来表示;数字数据则采用数字信号，例如用一系列断续变化的电压脉冲或光脉冲来表示。

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当模拟信号采用连续变化的电磁波来表示时，电磁波本身既是信号载体，同时作为传输介质;而当模拟信号采用连续变化的信号电压来表示时，它一般通过传统的模拟信号传输线路来传输。当数字信号采用断续变化的电压或光脉冲来表示时，一般则需要用双绞线、电缆或光纤介质将通信双方连接起来，才能将信号从一个节点传到另一个节点。

本文的主要线路是证明采样定理中的频域变换式。

其中知识框架如下：

以下将从按照拓扑序进行相关模块的设计

傅里叶级数与傅里叶展开

傅里叶级数

傅里叶级数类似于泰勒级数，是一种特殊的描述函数的方式。

傅里叶级数的定义为：

$$\begin{gathered} f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\cos (nwx)+b_n\sin (nwx)) \\ f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(a_n\cos (nwx)+b_n\sin (nwx)),b_0=0 \end{gathered}$$

它能够描述函数的原理为：傅里叶认为所有周期函数都可以展开成为若干三角函数的求和。

上面的原理我们可以描述为以下的式子：

$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{i=1}^{+\infty }{k}_i\sin (w_{i}x+b_i) \\ =\sum _{i=1}^{+\infty }{k}_i(\sin (w_{i}x)\cos (b_i)+\cos (w_{i}x)\sin (b_i)) \\ =\sum _{i=1}^{+\infty }{k}_i\cos (b_i)\sin (w_{i}x)+k_i\sin (b_i)\cos (w_{i}x) \\ =\sum _{i=1}^{+\infty }{a}_i\sin (w_{i}x)+b_i\cos (w_{i}x) \end{gathered}$$

这个是不是长得很像上面的那个式子啊 ^ _ ^，唯一不同的就是上面那个式子中$w_i$取的都是整数, 而不是像下面这样随便取值 ( 随便取值这个叫做傅里叶变换, 后面会有的 )

傅里叶展开

那傅里叶展开是啥? 傅里叶展开就是把一个函数的傅里叶级数给求出来. 可以类比泰勒展开是求泰勒级数一样, 傅里叶展开的目的就是求傅里叶级数.

这里需要用到的知识有三角函数的正交性.

具体来说的话就是对于在集合 { 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , . . . , sin ⁡ n x , cos ⁡ n x } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, ... , \sin nx, \cos nx\} {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx}中任取两个函数A(x), B(x). 则满足以下性质:

$${\int }_{-\pi }^{\pi }A(x)B(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& A(x)\ne B(x)\\ \pi ,& A(x)=B(x)\ne 1\\ 2\pi ,& A(x)=B(x)=1\end{array}$$

于是就有了求解上面的$a_n,b_n$的方法:

$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx \\ {a}_n=\frac{2}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx \\ {b}_n=\frac{2}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx \end{gathered}$$

这里需要注意一个问题, 就是关于傅里叶级数上面的$a_0$的表示方法, 这个有等价形式, 详情请看: 傅里叶级数

然后这里就完成了傅里叶级数和傅里叶展开的简单回顾.

欧拉公式

先上欧拉公式的公式

$$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$$

这个公式的证明是欧拉完成的, 但是可以有一些有趣的理解:

$-x=x\ast i^2=x\ast -1$如果放在数轴上看, 是不是可以把-x看成x逆时针旋转了180°, 那么两个$i$能让它转180°, 一个$i$自然可以让它转 90°吧? 所以啊, 这个$i$就可以看成是一个90°旋转角.

于是任何一个二维平面上的点都可以表示成 $|A|e^{\rho i}$的形式. 同样一个点经过了$x\ast 90°$的旋转, 是不是可以表示成这个点原先的位置乘了$e^{xi}$

除此之外, 这个复指数函数还满足普通指数函数满足的一些性质.

$$\begin{gathered} {\rho }_1{e}^{ai}\cdot {\rho }_2{e}^{bi}={\rho }_1{\rho }_2{e}^{(a+b)i} \\ {e}^{-ix}=\cos (x)-i\sin (x) \end{gathered}$$

剩下的一些其他性质可以看复变函数相关的资料.

时域频域关系

音符举例

先来一个看起来很形象的例子: 一个音符.

时域中的样子可能是这样的

其中横轴是时间, 纵轴是你接收到的模拟信号的强度

那么它在频域的信号可能是这样的:

它可能表示的信息就是在八分音符的这半拍里面, 它会有一个跟这个音符音高表示的音一样的频率的正弦波出现, 也就是上面那种正弦波

所以, 上图的时域上的正弦波可以用下图频域上一个音高来表示.

相互表示

在演奏会上, 音乐家手里拿的肯定是长得跟下面的"频域"上的谱子, 而不是很多音符演奏出去之后的交错的时域上的谱子(类似于下面这样?)

为啥? 是因为频域在某些时候能更精确简洁反应时域上的变化

那既然知道了从频域到时域的意义, 可是我们一般能见到的也只有时域上的谱子啊, 我们怎么搞成频域上面的?

答案是通过傅里叶变换可以将时域上的东西转化到频域上去.

又或者我们知道了频域上的信息, 怎么去还原这个时域上的信息?

答案是通过傅里叶逆变换, 可以将频域还原回时域上面去.

傅里叶变换

傅里叶变换和级数, 展开的关系

傅里叶级数假定了函数是连续的而且是周期函数, 傅里叶变换则将所有函数看成了一个周期无限大的函数, 去做这个傅里叶级数的展开.

个人感觉本质上傅里叶变换就是更强的傅里叶展开成为傅里叶级数.

从傅里叶展开说起

我们先不看傅里叶变换, 普通的傅里叶展开就可以将时域信号转化为频域的信号. 那咋做呢?

既然我们说任何函数都可以看成是多个三角函数的叠加, 那是不是我们也可以把一个函数分解成多个三角函数的和?

那必然可以, 我们这里取一个只有奇数次的三角函数相加的例子:

好, 你已经得到了离散的频域的分量.

咋得到的呢? 这就要看傅里叶变换的输入输出是啥了.

傅里叶变换的输入输出

傅里叶变换的输入是一个随时间t变化的函数 $f(t)$
傅里叶变换的输出是一个随频率w变化的函数 $F(w)$

其中这个w啊, 就是三角函数里面那个频率啊!

如果你把上面那个图的第一条线的频率看作是1, 那么因为后面的频率都是它的整数倍, 所以后面的频率也是一系列的整数.

对于每个w, 你都能知道一个它的具体形式中 $A\sin (wx)$里面的$A和w$, 那既然w是自变量, A理所应当的就成为了因变量. 也就是对应的 $F(w)=A$. (当然这只是一个形式化的理解)

等下哈, 你把这三个图放在一起看, 你看看能发现什么 >_<

是不是非常妙?

复指数形式的傅里叶级数(推导)

啥? 为啥我一开始这么明白的东西还能扯上复指数?

别急, 且听我慢慢道来.

你看那个优美的式子(w是那个最小的频率, n就是对应频谱的那个下标)

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n\cos (nwt)+b_n\sin (nwt) \\ {e}^{inwt}=\cos (nwt)+i\sin (nwt) \\ {e}^{-inwt}=\cos (nwt)-i\sin (nwt) \end{gathered}$$

是不是可以做做等价变换啊? 那就先看看三角函数怎么变换吧

$$\begin{gathered} \cos (nwt)=\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2} \\ \sin (nwt)=\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} \end{gathered}$$

然后我们就把它带到上面那个傅里叶展开式中去

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}+b_n\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} \\ =\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{a_n\cdot e^{inwt}}{2}+\frac{a_n\cdot e^{-inwt}}{2}+\frac{-i{b}_n\cdot e^{inwt}}{2}+\frac{i{b}_n\cdot e^{-inwt}}{2} \\ =\sum _{n=0}^{+\infty }{e}^{inwt}\frac{a_n-i{b}_n}{2}+\sum _{n=0}^{+\infty }{e}^{-inwt}\frac{a_n+i{b}_n}{2} \end{gathered}$$

然后我们把后半部分式子的n反过来, 也就是

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{e}^{-inwt}\frac{a_n+i{b}_n}{2}=\sum _{n=0}^{-\infty }{e}^{inwt}\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}$$

然后把它带回去原来的式子, 并且单独把n=0给拿出来

$$f(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }{e}^{inwt}\frac{a_n-i{b}_n}{2}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{e}^{inwt}\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}+\sum _{n=0}^0{e}^{inwt}{a}_0$$

然后你看它是不是都有$e^{inwt}$?那我们不如?

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwt} \\ {c}_n=\{\begin{array}{ll}{a}_0& ,n=0\\ \frac{a_n-i{b}_n}{2}& ,n>0\\ \frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}& ,n<0\end{array} \end{gathered}$$

展开说说?

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt\\ a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (nwt)dt\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (nwt)dt\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_n=\{\begin{array}{ll}{c}_n& ,n=0\\ c_n+c_{-n}& ,n>0\end{array}\\ b_n=i(c_n-c_{-n}),n>0\end{array} \end{gathered}$$

然后我们把这个ab的求法带到c里面去, 看看c长啥样?

先推导那个$c_n,n=0$

$$c_0=a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{inwt}dt,n=0$$

然后推导$c_n,n>0$

$$\begin{array}{rl}{c}_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}& =\frac{1}{2}(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (nwt)dt-i\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (nwt)dt)\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)(\cos (nwt)-i\sin (nwt))dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt\end{array}$$

然后推导$c_n,n<0$

$$\begin{array}{rl}{c}_n=\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}& =\frac{1}{2}(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (-nwt)dt+i\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (-nwt)dt)\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)(\cos (-nwt)+i\sin (-nwt))dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{i(-nwt)}dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt\end{array}$$

哎? 是不是长得非常一样啊? 那确实啊! 整理一下

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt,n\in Z$$

让我们回归本源($w$是一个常量, 表示最小的频率尺度):

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n\cos (nwt)+b_n\sin (nwt)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwt}\\ & =\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }({\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}\end{array}$$

哦对了, 这里补充一下, 为啥会从普通的实数域的$a,b$扩展到复数域的这个$c$.
我个人理解是: 原先通过两个变量$(a,b)$来确定这个函数, 现在可以认为是$(c_r,c_i)$实部和虚部来确定的

复指数形式的傅里叶变换(结论)

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwt} \\ {c}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt,n\in Z \end{gathered}$$

非周期函数傅里叶变换(推导)

你看上面那个东西是不是都有一个最小的频率w, 所有的w取值只能是离散的吧! 那能不能搞成连续的w呢?

等等, 似乎不用太麻烦, 如果我$w\to 0$足够小, 是不是说所有值都能通过$W=nw$的形式去表示出来?

那就开始推式子呗, 开始从普通的离散过渡到连续上面去

$$F(nw)=c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-inwt}dt$$

让我们取$w\to 0$, 带进去看看?

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\underset{w\to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}({\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}\\ & =\underset{w\to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{w}{2\pi }({\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}\\ & =\underset{T\to +\infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{w}{2\pi }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}\end{array}$$

我们把这个求和啊给它换成积分好吧

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\underset{T\to +\infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{w}{2\pi }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}\\ & =\underset{T\to +\infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{w}{2\pi }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}dn\end{array}$$

既然$nw$都连续了, 那要不直接用$W$来代替$nw$呗, 给这个积分换个积分变量!

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\underset{T\to +\infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{w}{2\pi }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-inwt}dt)e^{inwt}dn\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}dt)e^{iWt}dW\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}dt)e^{iWt}dW\end{array}$$

想想咱们傅里叶变换的输出是啥来着?

输出是对于某个频率的强度$F(W)$啊! 这个是不是就是中间括号里面的东西啊!

这就是傅里叶变换正变换 / 傅里叶变换

$$F(W)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}dt$$

然后还原回去的过程就是傅里叶变换逆变换 / 逆傅里叶变换

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(W)e^{iWt}dW$$

非周期函数傅里叶变换(结论)

$$\begin{array}{rl}& F(W)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}dt\\ & f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(W)e^{iWt}dW\end{array}$$

上面这个叫傅里叶变换正变换 / 傅里叶变换, 下面这个叫傅里叶变换逆变换 / 逆傅里叶变换.

冲激函数及其性质

首先, 冲激函数并不是单位冲激函数, 单位冲激函数$n=0$的时候为1, 但是冲激函数$n=0$的时候为无穷. 而且通过广义函数相关理论得到冲激函数的一些性质, 而且对于单位冲激函数, 除了第一条不同, 后两条性质相同

$$\begin{gathered} \delta (x)=\{\begin{array}{ll}+\infty & ,x=0\\ 0& ,x\ne 0\end{array} \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1 \\ \delta (x)\ast h(x)=h(x) \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)h(x)dx=h(0) \end{gathered}$$

这些性质从简单大学数学上是不好解释的.记住就好，可以去查阅广义函数、奇异函数相关内容

推奈奎斯特抽样定理式子

原始抽样序列的表示

$x_a(t)$为抽样信号, $x^{\prime }(t)$为理想抽样信号, $p(t)={\delta }_T(t)={\sum }_{m=-\infty }^{+\infty }\delta (t-mT)$为周期性的单位抽样函数. 注意, 以上函数都是在t上取值连续的函数

$$\begin{gathered} x^{\prime }(t)=x_a(t)\cdot p(t)=x_a(t)\cdot \sum _{m=-\infty }^{+\infty }\delta (t-mT) \\ =\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{x}_a(t)\delta (t-mT) \end{gathered}$$

因为$\delta (t-mT)$当且仅当$t=mT$的时候有值, 因此可以认为上式为:

$$x^{\prime }(t)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{x}_a(t)\delta (t-mT)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{x}_a(mT)\delta (t-mT)$$

求抽样完成后序列频谱与原频谱关系

$X_a(i\Omega )=F_{x_a}(\Omega )$, ${\Delta }_T(i\Omega )=F_{{\delta }_T}(\Omega )$, $X_a^{\prime }(i\Omega )=F_{x_a^{\prime }}(\Omega )$也就是对应的频谱的输出结果

$$\begin{gathered} x_a^{\prime }(t)={\delta }_T(t)\cdot x_a(t) \\ {X}_a^{\prime }(i\Omega )=\frac{1}{2\pi }[{\Delta }_T(i\Omega )\ast X_a(i\Omega )] \end{gathered}$$

(第二个式子还没学会怎么证明, 等学会了补上>_<)

那么我们就从${\Delta }_T(t)$开始求解吧

求解周期冲激函数傅里叶展开

首先明确一个事情, 就是我们这个冲激函数求出来之后会近似于原始的冲激函数.(不信你做做逆变换). 为啥要求这个傅里叶展开, 这是为了解决这个函数不好计算的问题

这个周期冲激函数是个周期函数, 所以直接用周期函数的傅里叶展开就行了${\Omega }_s$为抽样频率

$${\delta }_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k{e}^{ik{\Omega }_{s}t}dt$$

然后周期函数的$c_k$求法带进去

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\delta }_T(t)e^{-ik{\Omega }_{s}t}dt\\ (展开{\delta }_T)& =\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\delta (t-pT)e^{-ik{\Omega }_{s}t}dt\end{array}$$

发现只有$p=0$的时候, $t=0$在最靠近0的这个周期里面. 所以上面这个式子可以写成(利用一下冲激函数的性质)

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\delta (t-pT)e^{-ik{\Omega }_{s}t}dt\\ & =\frac{1}{T}{e}^{-ik{\Omega }_{s}0}=\frac{1}{T}\end{array}$$

所以啊, 原来那个周期性冲激函数就可以被展开成

$${\delta }_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{e}^{ik{\Omega }_{s}t}$$

然后这个展开式的图呢, 在最靠近0的这个区间里啊, 大概长这样(我只模拟了80层叠加, 而且是展开之后的叠加)

你看它这个趋势就是在向无穷去叠加, 也就是去模拟这个周期冲激函数.

然后我们去考虑一下把这个东西给做一下傅里叶变换.

求解周期冲激函数的频域

嗯, 列式子吧(看起来很简单!), $FT[\cdot ]$ 表示傅里叶变换

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_T(i\Omega )& =FT[\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{e}^{ik{\Omega }_{s}t}]\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }FT[e^{ik{\Omega }_{s}t}]\end{array}$$

然后我们看这个$FT[e^{ik{\Omega }_{s}t}]$, 它是不是很简单做出来

它有一条性质, 也就是结果, 是$FT[e^{ik{\Omega }_{s}t}]=2\pi \delta (\Omega -k{\Omega }_s)$

然后带进去就能得到:

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_T(i\Omega )& =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }FT[e^{ik{\Omega }_{s}t}]\\ & =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s)\\ & ={\Omega }_s\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s)\end{array}$$

什么? 你非要推出上面那个性质来? 那就单独开一节吧!

求解一个特殊的傅里叶变换(建议跳过)

求解下面这个式子

$$F(W)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{ik{\Omega }_{s}t}\cdot e^{-iWt}dt$$

然后求解一下这个问题哈:

$$F(W)=\{\begin{array}{ll}0& ,W\ne k{\Omega }_s\\ +\infty & ,W=k{\Omega }_s\end{array}$$

哎你看, 这东西是不是冲激函数啊?那我们给它搞成冲激函数一样的东西呗

$$F(W)=\delta (W-k{\Omega }_s)$$

但是这…真的对吗?

让我们利用一下逆傅里叶变换, 看看能得到些啥?

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(W)e^{iWt}dW\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (W-k{\Omega }_s)e^{iWt}dW\\ & =\frac{1}{2\pi }{e}^{ik{\Omega }_{s}t}\end{array}$$

哎?是不是少了个系数? 少了个系数$2\pi$哎, 那就搞进去呗

$$F(W)=2\pi \delta (W-k{\Omega }_s)$$

然后就得到了那个显然成立的式子.

理想抽样信号频谱

$$\begin{array}{rl}{X}_a^{\prime }(i\Omega )& =\frac{1}{2\pi }[(\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s))\ast X_a(i\Omega )]\\ & =\frac{1}{T}[\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s))\ast X_a(i\Omega )]\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }[\delta (\Omega -k{\Omega }_s)\ast X_a(i\Omega )]\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}_a(i\theta )\cdot \delta (\Omega -\theta -k{\Omega }_s)d\theta ]\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_a(i(\Omega -k{\Omega }_s))\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_a(i(\Omega -k\frac{2\pi }{T}))\end{array}$$

这不就是把原先的那个$X_a$给它左右平移$\frac{2\pi }{T}$嘛, 那就是说的延拓周期

$${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T}=2\pi f_s$$

就是抽样频率啊!

$$\begin{array}{rl}{X}_a^{\prime }(i\Omega )& =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_a(i(\Omega -k\frac{2\pi }{T}))\\ & =\frac{{\Omega }_s}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_a(i(\Omega -k{\Omega }_s))\end{array}$$