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  • 抽样函数的傅里叶变换
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    2021-07-09 21:23:57

    6.抽样信号的傅里叶变换

    1.时域采样

    先直接给出结论:

    ​ 信号 f ( t ) f(t) f(t) p ( t ) p(t) p(t)时域抽样后得到 f s ( t ) f_s(t) fs(t) f s ( t ) f_s(t) fs(t)频谱 F s ( ω ) F_s(\omega) Fs(ω)是连续信号 f ( t ) f(t) f(t)频谱 F ( ω ) F(\omega) F(ω)的形状以抽样频率 ω s \omega_s ωs为间隔的周期性重复而得到,重复过程中,幅度被 p ( t ) p(t) p(t)所加权。 F ( ω ) F(\omega) F(ω)在重复过程中形状不会发生变化。

    (1)冲激采样

    ​ 求冲激采样有两种方法

    第一种方法:

    ​ 先推导时域采样的公式,得到:
    F s ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ P n F ( ω − n ω s ) F_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}P_nF(\omega-n\omega_s) Fs(ω)=n=PnF(ωnωs)
    ​ 得到冲激采样的表达式:
    F s ( w ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) F_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) Fs(w)=Ts1n=F(ωnωs)
    第二种方法:

    利用卷积定理以及冲激采样函数的傅里叶变换
    f s ( t ) = δ T ( t ) f ( t ) f_s(t)=\delta_T(t)f(t) fs(t)=δT(t)f(t)
    则有
    F s ( ω ) = 1 2 π δ ω s ( ω ) ∗ F ( ω ) F_s(\omega)=\frac{1}{2\pi}\delta_{\omega_s}(\omega)*F(\omega) Fs(ω)=2π1δωs(ω)F(ω)
    得到冲激采样表达式:
    F s ( w ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) F_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) Fs(w)=Ts1n=F(ωnωs)
    (2)矩形脉冲抽样

    同样通过两种方法计算:

    第一种方法:
    F s ( ω ) = E τ T s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω s τ 2 ) F ( ω − n ω s ) F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) Fs(ω)=TsEτn=Sa(2nωsτ)F(ωnωs)
    第二种方法:
    F s ( ω ) = 1 2 π E τ ω s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω 1 τ 2 ) δ ( ω − n ω s ) ∗ F ( ω ) = E τ T s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω s τ 2 ) F ( ω − n ω s ) \begin{aligned} F_s(\omega)&=\frac{1}{2\pi}E\tau\omega_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_1\tau}{2})\delta(\omega-n\omega_s)*F(\omega)\\ &=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) \end{aligned} Fs(ω)=2π1Eτωsn=Sa(2nω1τ)δ(ωnωs)F(ω)=TsEτn=Sa(2nωsτ)F(ωnωs)
    结论一致。

    2.频域采样

    对于一个重要的变换,冲激采样变换对
    ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ← → 2 π T s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω s ) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\leftarrow\rightarrow\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s) n=δ(tnTs)Ts2πn=δ(ωnωs)
    则有
    ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω s ) F ( ω ) ← → 1 ω s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ∗ f ( t ) ← → 1 ω s ∑ n = − ∞ ∞ f ( t − n T s ) \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s)F(\omega)&\leftarrow\rightarrow\frac{1}{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)*f(t)\\ &\leftarrow\rightarrow\frac{1}{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t-nT_s) \end{aligned} n=δ(ωnωs)F(ω)ωs1n=δ(tnTs)f(t)ωs1n=f(tnTs)

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    引言

    首先我们要知道什么是抽样信号,抽样信号对于信号的分析和处理有什么作用?我们能用它解决什么样的问题?这些是我们要学习的重点。


    什么是抽样?


    抽样就是指利用所谓的抽样脉冲序列 gif.latex?p%28t%29 从连续信号 gif.latex?f%28t%29 中“抽取”一系列的离散样值,我们把这种离散信号称为抽样信号,以 gif.latex?f_%7Bs%7D%28t%29 表示。如下图所示:

    watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5NTMwNjky,size_16,color_FFFFFF,t_70

     

    对于我们而言,我们经常把gif.latex?Sa%28t%29%3D%5Cfrac%7Bsint%7D%7Bt%7D 称为抽样函数,与这里所指的“抽样”或者“抽样信号”具有完全不同的含义。此外,这里的抽样也称为“采样”或“取样”。

    抽样用来做什么?

    我们通常对一个连续的信号进行抽样,使其变为抽样信号,然后再经量化、编码变成数字信号。这种数字信号经传输,然后进行上述过程的逆变换就可以恢复出原连续信号。

    20210524131733621.png

    就是说我们对模拟信号进行采样,就可以变成抽样信号,对抽样信号进行量化,就可以变成数字信号。

    抽样信号的作用

    假设一个模拟信号如下图所示:

    20210524132418107.png

    我们知道自然界的信号都是模拟信号,但计算机不能直接处理模拟信号,计算机只能处理数字信号,并且只能处理有限长度的数据。因此,我们需要将模拟信号转换成数字信号,这就需要对其进行采样。

    一般来说,采样越多,则与原信号与接近,但是我们要在尽可能获取少的值得同时又使其能恢复到原信号,这里面就牵扯到失真的问题。对于在不同的采样率下,信号的幅值是不同的,采样率越高,信号幅值失真越小。

     

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  • 抽样信号的傅里叶变换——信号与系统小结(2)

    万次阅读 多人点赞 2020-02-18 22:36:29
    1 典型函数傅里叶级数、傅里叶变换 1.1 单位冲激函数 单位冲激函数记作δ(t)\delta(t)δ(t)。定义为: {∫−∞∞δ(t)dt=1δ(t)=0(t≠0)(1.1) \left\{\begin{array}{l} {\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \...

    1 典型函数的傅里叶级数、傅里叶变换

    1.1 单位冲激函数

    单位冲激函数记作 δ ( t ) \delta(t) δ(t)。定义为:

    { ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 δ ( t ) = 0 ( t ≠ 0 ) (1.1) \left\{\begin{array}{l} {\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t=1} \\ {\delta(t)=0} \end{array} \quad(t \neq 0)\right. \tag{1.1} {δ(t)dt=1δ(t)=0(t=0)(1.1)

    如果冲激出现在 t = t 0 t=t_0 t=t0,则定义为:

    { ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) d t = 1 δ ( t − t 0 ) = 0 ( t ≠ t 0 ) (1.2) \left\{\begin{array}{l} {\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) \mathrm{d} t=1} \\ {\delta\left(t-t_{0}\right)=0} \end{array} \quad\left(t \neq t_{0}\right)\right. \tag{1.2} {δ(tt0)dt=1δ(tt0)=0(t=t0)(1.2)

    单位冲激函数的抽样特性(或称之为 筛选特性):

    ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t 0 ) d t = f ( t 0 ) (1.3) \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f\left(t_{0}\right) \mathrm{d} t=f\left(t_{0}\right) \tag{1.3} δ(tt0)f(t)dt=δ(tt0)f(t0)dt=f(t0)(1.3)

    1.2 周期冲激函数序列的傅里叶级数

    用符号 δ T ( t ) \delta_{T}(t) δT(t)来表示周期单位冲激序列,即

    δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) (1.4) \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{1.4} δT(t)=n=δ(tnTs)(1.4)

    展开成傅里叶级数

    δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n ω s t (1.5) \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_s t} \tag{1.5} δT(t)=n=δ(tnTs)=n=Fnejnωst(1.5)

    其中

    F n = 1 T s ∫ − T s 2 T s 2 δ T ( t ) e − j n ω s t d t = 1 T s ∫ − T s 2 T s 2 δ ( t ) e − j n ω s t d t = 1 T s (1.6) \begin{aligned} F_{n} &=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} \delta_{T}(t) \mathrm{e}^{-jn \omega_{s} t} \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} \delta(t) \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{T_{s}} \end{aligned} \tag{1.6} Fn=Ts12Ts2TsδT(t)ejnωstdt=Ts12Ts2Tsδ(t)ejnωstdt=Ts1(1.6)

    那么

    δ T ( t ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ e j n ω s t (1.7) \delta_{T}(t)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j n \omega_s t} \tag{1.7} δT(t)=Ts1n=ejnωst(1.7)

    δ T ( t ) \delta_{T}(t) δT(t)的傅里叶变换为

    F [ f ( t ) ] = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F n δ ( ω − n ω s ) (1.8) \mathscr{F}[f(t)]=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{1.8} F[f(t)]=2πn=Fnδ(ωnωs)(1.8)

    F n = 1 T 1 F_n=\frac{1}{T_1} Fn=T11代入式 1.8 {1.8} 1.8,得

    F ( ω ) = F [ δ T ( t ) ] = ω s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω s ) (1.9) F(\omega)=\mathscr{F}\left[\delta_{T}(t)\right]=\omega_{s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{1.9} F(ω)=F[δT(t)]=ωsn=δ(ωnωs)(1.9)

    1.9 {1.9} 1.9式可见,周期单位冲激序列的傅里叶变换中,只包含位于 n ω s n\omega_s nωs处的冲激函数,强度是相等的,均等于 ω s \omega_s ωs

    2 抽样信号的傅里叶变换

    主要看时域抽样。

    令:

    连续信号 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换为

    F ( ω ) = F [ f ( t ) ] (2.1) F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)] \tag{2.1} F(ω)=F[f(t)](2.1)

    抽样脉冲序列 p ( t ) p(t) p(t)的傅里叶变换为

    P ( ω ) = F [ p ( t ) ] (2.2) P(\omega)=\mathscr{F}[p(t)] \tag{2.2} P(ω)=F[p(t)](2.2)

    抽样后信号 f s ( t ) f_s(t) fs(t)的傅里叶变换为

    F s ( ω ) = F [ f s ( t ) ] (2.3) F_s(\omega)=\mathscr{F}[f_s(t)] \tag{2.3} Fs(ω)=F[fs(t)](2.3)

    采用均匀抽样,抽样周期为 T s T_s Ts,抽样频率为 ω s = 2 π T s \omega_s=\frac{2\pi}{T_s} ωs=Ts2π

    一般情况下,抽样过程是抽样脉冲序列 p ( t ) p(t) p(t)和和连续信号 f ( t ) f(t) f(t)相乘,即:

    f s ( t ) = f ( t ) p ( t ) (2.4) f_s(t)=f(t)p(t) \tag{2.4} fs(t)=f(t)p(t)(2.4)

    因为 p ( t ) p(t) p(t)是周期信号,那么 p ( t ) p(t) p(t)的傅里叶变换等于

    P ( ω ) = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ P n δ ( ω − n ω s ) (2.5) P(\omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} P_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.5} P(ω)=2πn=Pnδ(ωnωs)(2.5)

    其中

    P n = 1 T s ∫ − T s 2 T s 2 p ( t ) e − j n ω s t d t (2.6) P_{n}=\frac{1}{T_{s}} \int_{-\frac{T_{s}}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}} p(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{s} t} \mathrm{d} t \tag{2.6} Pn=Ts12Ts2Tsp(t)ejnωstdt(2.6)

    根据频域卷积定理 F [ f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) \mathscr{F}\left[f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega) F[f1(t)f2(t)]=2π1F1(ω)F2(ω),可知

    F s ( ω ) = 1 2 π F ( ω ) ∗ P ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ P n F ( ω − n ω s ) (2.7) F_{s}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} F(\omega) * \mathrm{P}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} P_{n} F\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.7} Fs(ω)=2π1F(ω)P(ω)=n=PnF(ωnωs)(2.7)

    如果抽样脉冲序列 p ( t ) p(t) p(t)为冲激序列,称之为“冲激抽样”或者“理想抽样”。那么:

    p ( t ) = δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) (2.8) p(t)=\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{2.8} p(t)=δT(t)=n=δ(tnTs)(2.8)

    f s ( t ) = f ( t ) p ( t ) = f ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) (2.9) f_{s}(t)=f(t) p(t)=f(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right) \tag{2.9} fs(t)=f(t)p(t)=f(t)n=δ(tnTs)(2.9)

    由上面的分析可得冲激抽样信号的频谱为:

    F s ( ω ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) (2.10) F_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(\omega-n \omega_{s}\right) \tag{2.10} Fs(ω)=Ts1n=F(ωnωs)(2.10)

    2.10 {2.10} 2.10式可以看出,经过冲激序列抽样后的信号傅里叶变换为原信号的傅里叶变换以 ω s \omega_s ωs为周期重复,幅度被 1 T s \frac{1}{T_s} Ts1加权。

    在实际中,可以近似认为是冲激抽样。

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  • 正弦函数及其傅里叶变换(一)

    千次阅读 2021-04-20 00:53:31
    在MATLAB中想要画一个sin函数是很容易的。...应该借鉴数字信号处理里的抽样思想:想生成函数x(t) = a*sin(2*pi*f0*t+ψ),就应该考虑到抽样定理:以等时间间隔进行抽样,即x[n] = x[n*Ts] 其中Ts = ...

    在MATLAB中想要画一个sin函数是很容易的。

    比如:首先定义t = 0:0.01:10,然后画出y = sin(2*pi*t)就可以了,最多再加相角啊之类的参数。

    但如果在C语言中应该如何自己制造一个sin函数呢?

    应该借鉴数字信号处理里的抽样思想:

    想生成函数x(t) = a*sin(2*pi*f0*t+ψ),就应该考虑到抽样定理:以等时间间隔进行抽样,即x[n] = x[n*Ts] 其中Ts = 1/fs(fs是抽样频率)。

    这时候想生成的函数x(t)就变成了x(t) = x(n*Ts) = x(n) = a*sin(2*pi*f0*n/fs+ψ) = a*sin(w*n+ψ),其中w是数字角频率,这就将模拟时间信号转化成了数字信号。

    举个例子,想生成函数y = sin(20*pi*t),用matlab直接生产的图形如下所示(取t=0:0.001:1)

    matlab程序为

    t = 0:0.001:1;

    y = sin(20*pi*t);

    plot(t,y);

    02073e5a6312b007d4a4fe48e7bc66d0.png

    如果想用C语言来实现怎么办呢?

    从原函数y = sin(20*pi*t)可知:

    f0 = 10,设fs = 40,n = 0:10(这里的n都是整数)来看看,此时x(n) = sin(2*pi*f0*n/fs),matlab程序为

    clear all;

    f0=10;

    fs=40;

    N=10;

    n=0:N-1;

    y=sin(2*pi*n*f0/fs);

    画出来的图形如下图:

    394069de8598a5b848336d35759efa69.png

    现在函数式为x[n] = sin(n*pi/2),周期是4

    为什么看着不像以前的正弦函数了?因为这是对原函数抽样后得到的,而且它的横坐标已经变成了n而不是t。为了让抽样后的x[n]看起来更像x[t]那么方法只有一个,就是增加抽样率fs。当抽样率为80时x[n] = sin(n*pi/4),

    f0=10;

    fs=80;

    N=10;

    n=0:N-1;

    plot(n,y);

    c70faf597273ac119c895727279203fd.png

    看着更像x(t)了!这是因为抽样点更密了。

    所以产生x(t)=a*sin(2*pi*f0*t+ψ)的正弦波步骤:

    对x(t)进行以fs为抽样频率的抽样后得到

    x(n)=a*sin(2*pi*f0*n/fs+ψ)=a*sin(w*n+ψ)

    画的时候指明a,f0,fs,ψ就可以对任意sin函数进行画图

    那么,如何知道现在画出来的x(n)就是以前的x(t)呢?以前是T = 0.1S,现在变成了T = 8,在这种情况下如何换算呢?就有FFT了!

    下一篇文章我们再继续。

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    傅里叶变换是一种函数在空间域和频率域的变化,从空间域到频率域的变换傅里叶变换,而从频率域到空间域的变换傅里叶的反变化。 频域:是指在对函数或信号进行分析时,分析其和频率有关 部分,而不是和时间有关...
  • 函数傅里叶级数不含正弦项,F(nw1)为实函数 偶函数傅里叶级数不含余弦项,F(nw1)为虚函数 周期信号傅里叶变换 非周期信号傅里叶变换 注: 理论上只有满足绝对可和条件的非周期信号才能傅里叶变换,而周期信号...
  • DFT:(Discrete Fourier Transform)离散傅里叶变换傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列...
  • 东北电力大学信号与系统课程专题报告-基于傅里叶变换的电力系统谐波分析,电气工程及其自动化专业。
  • 从前面我们已经知道,非周期连续函数傅里叶变换如下 F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt F(\omega)=\int ^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−iωtdt 单位冲激函数的傅里叶变换如下 $$ $$...
  • f ( t ) ← → F ( j ω ) f(t) \leftarrow \rightarrow F(j \omega) f(t)←→F(jω) 矩形脉冲取样: s ( t ) s(t) s(t)是周期为 T s T_s Ts​的矩形脉冲信号 (或称为开关函数) 周期信号的频谱是脉冲序列。...
  • 傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用,...
  • 基于MATLAB去更形象直观地其学习理解傅里叶级数和傅里叶变换,观察频谱的变化,相位的变换,通过例子来明白傅里叶变换与FFT的区别,以及掌握常用的信号处理MATLAB函数
  • 傅里叶变换算法

    千次阅读 2022-05-04 08:40:55
       傅里叶变换的核心在于,“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”,在这个基础上对信号的中特定频率的正弦波进行分解或者重组,基于频率方面分析波形。 一、傅里叶变换的意义    近似周期性的方...

空空如也

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抽样函数的傅里叶变换