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  • 抽样函数的性质
    2021-04-21 02:52:34

    二维狄拉克(Dirac)冲激函数具有性质.ppt

    第三章??????????? 图像变换 3.1 概述 一、图像处理可用线性系统描述 其输入与输出图像的关系:   二、? 图像处理的方法  1.?直接处理----阵列运算(线性代数)  2.?间接处理---图像变换   条件:1)变换是可逆的; 2)算法不复杂   优点:1)运算速度快(快速算法)      2)便于二维数字滤波处理    3.在图像处理中广泛应用二维正交变换:   利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征:  如付氏变换后平均值(即直流项)正比于图像灰度值的平均值,高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向;   在变换的基础上,便于完成图像的变换编码。变换后的能量不变,但其分布会有变化,往往集中到少数一些项上,有利于存储和传输。 3.2 图像的线性运算 3.2.1 二维连续线性系统  设输入   ,输出   ,二维线性系统映射为  ,则   1. 线性叠加原理 其中a,b为常数 2.二维狄拉克(Dirac)冲激函数 具有性质: 1) 2)          , 为任意小的正数 3)筛选性 4)分解性   二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积 5) 3.二维冲激响应函数h(x,y) -点扩展函数(PSF)     由于h(x,y)是当系统的输入为 函数或点光源时系统的输出,是对点光源的响应,因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系统h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。 4.空间不变性 当输入的单位脉冲函数延迟了 单位后, 即对应于x,y平面中 处的点源 , 其响应满足 则该系统称为空间不变系统。 物理意义:输出仅在x,y方向移动了 单位, 函数形状不变。 5.卷积 对于二维线性位移不变系统,如果输入 , 输出 , 则 由卷积积分的对称性,也可写成: 6.相关 1)??函数 的自相关函数 定义: 2)二个函数 和 的互相关函数 定义: 3.2.2 二维连续Fourier变换 一、一维Fourier : 1.实变量函数f(x)是连续可积的, 即: ,且 是可积的, Fourier变换对一定存在: 其中 u ----频率 2.一维Fourier变换的复数形式 则 一维Fourier谱(幅值) 相角 能量谱(功率谱) 3.典型例子------门函数(矩形) 二、二维连续Fourier变换 条件: 是连续可积的,即 ,且 是可积的,Fourier变换对一定存在: 变换的复数形式 二维谱(幅值) 相角 能量谱(功率谱) 例子------二维矩形体函数 以上推导利用了尤拉公式:  再具体分析下面的付氏变换:  上式表明:图像   可以看成是由无数正弦和余弦函数加权求和得到,加权因子为  。  3.3 二维离散Fourier变换及其性质    前节所分析的二维信号是在X轴和Y轴两个方向上空间连续的信号。然而,图像处理的信号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在625条扫描行上才有取值,也就是说,该信号在Y轴方向上是离散的。为了得到二维离散信号,还要再在水平方向上抽样。  一、一维DFT  离散---对连续函数  的采样,采样间隔 ,采样点数 ,则离散函数       式中  一维DFT对: 说明几个概念: 1) 和  都是离散序列。 表示取自相应连续函数的任意N个等间隔抽样值; ,当 的值对应于在 处的连续变换的抽样值。 2)频域采样间隔 与空域采样间隔 的关系: 3)DFT总是存在的,不必考虑连续FT的绝对可积条件。 4)DFT的 和 都是周期性函数(周期为N)。在实际应用中,取一个周期,则 和 是有限长度N的序列。 二、二维DFT 由一维推广: 若M=N讨论时: 其中: 说明:  1) 和 都是离散值,且是周期性函数(二维锥体,周

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    数学的一体两面抽样函数Sa(t)辛格函数sinc(x)归一化的sinc函数非归一化的sinc函数二元归一化sinc函数 两个函数,具有同样的表达式,代表不同的意义。 抽样函数Sa(t) 抽样函数是指正弦函数和自变量之比构成的...


    两个函数,具有同样的表达式,代表不同的意义。

    抽样函数Sa(t)

    抽样函数是指正弦函数和自变量之比构成的函数,其表达式为 :
    在这里插入图片描述
    抽样函数是一个偶函数,在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减,当t =
    在这里插入图片描述
    时,函数值等于零,其函数图像为:
    在这里插入图片描述
    具有如下性质
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    辛格函数sinc(x)

    注意不是正弦函数sin(x),有两个定义,分别称为归一化的sinc函数和非归一化的sinc函数

    归一化的sinc函数

    表达式为:
    在这里插入图片描述
    主要用于数字信号处理和通讯理论中

    非归一化的sinc函数

    表达式为:
    在这里插入图片描述
    主要用于数学领域
    二者的区别在于放大系数 π

    二元归一化sinc函数

    是在一元函数上的扩展,具有x和y两个变量。
    函数表达式为:
    在这里插入图片描述
    函数图像为:
    在这里插入图片描述

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    6.抽样信号的傅里叶变换

    1.时域采样

    先直接给出结论:

    ​ 信号 f ( t ) f(t) f(t) p ( t ) p(t) p(t)时域抽样后得到 f s ( t ) f_s(t) fs(t) f s ( t ) f_s(t) fs(t)频谱 F s ( ω ) F_s(\omega) Fs(ω)是连续信号 f ( t ) f(t) f(t)频谱 F ( ω ) F(\omega) F(ω)的形状以抽样频率 ω s \omega_s ωs为间隔的周期性重复而得到,重复过程中,幅度被 p ( t ) p(t) p(t)所加权。 F ( ω ) F(\omega) F(ω)在重复过程中形状不会发生变化。

    (1)冲激采样

    ​ 求冲激采样有两种方法

    第一种方法:

    ​ 先推导时域采样的公式,得到:
    F s ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ P n F ( ω − n ω s ) F_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}P_nF(\omega-n\omega_s) Fs(ω)=n=PnF(ωnωs)
    ​ 得到冲激采样的表达式:
    F s ( w ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) F_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) Fs(w)=Ts1n=F(ωnωs)
    第二种方法:

    利用卷积定理以及冲激采样函数的傅里叶变换
    f s ( t ) = δ T ( t ) f ( t ) f_s(t)=\delta_T(t)f(t) fs(t)=δT(t)f(t)
    则有
    F s ( ω ) = 1 2 π δ ω s ( ω ) ∗ F ( ω ) F_s(\omega)=\frac{1}{2\pi}\delta_{\omega_s}(\omega)*F(\omega) Fs(ω)=2π1δωs(ω)F(ω)
    得到冲激采样表达式:
    F s ( w ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) F_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) Fs(w)=Ts1n=F(ωnωs)
    (2)矩形脉冲抽样

    同样通过两种方法计算:

    第一种方法:
    F s ( ω ) = E τ T s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω s τ 2 ) F ( ω − n ω s ) F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) Fs(ω)=TsEτn=Sa(2nωsτ)F(ωnωs)
    第二种方法:
    F s ( ω ) = 1 2 π E τ ω s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω 1 τ 2 ) δ ( ω − n ω s ) ∗ F ( ω ) = E τ T s ∑ n = − ∞ ∞ S a ( n ω s τ 2 ) F ( ω − n ω s ) \begin{aligned} F_s(\omega)&=\frac{1}{2\pi}E\tau\omega_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_1\tau}{2})\delta(\omega-n\omega_s)*F(\omega)\\ &=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) \end{aligned} Fs(ω)=2π1Eτωsn=Sa(2nω1τ)δ(ωnωs)F(ω)=TsEτn=Sa(2nωsτ)F(ωnωs)
    结论一致。

    2.频域采样

    对于一个重要的变换,冲激采样变换对
    ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ← → 2 π T s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω s ) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\leftarrow\rightarrow\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s) n=δ(tnTs)Ts2πn=δ(ωnωs)
    则有
    ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n ω s ) F ( ω ) ← → 1 ω s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ∗ f ( t ) ← → 1 ω s ∑ n = − ∞ ∞ f ( t − n T s ) \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s)F(\omega)&\leftarrow\rightarrow\frac{1}{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)*f(t)\\ &\leftarrow\rightarrow\frac{1}{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t-nT_s) \end{aligned} n=δ(ωnωs)F(ω)ωs1n=δ(tnTs)f(t)ωs1n=f(tnTs)

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    信息工程学院实验报告

    课程名称:信号与系统实验

    实验项目名称:实验4.4 信号抽样及抽样定理 实验时间:

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    班级:通信141 姓名:林志斌 学号: 一、实 验 目 的:

    本实验是综合性实验,实验目的主要为:学会运用MATLAB 完成信号抽样及对抽样信号的频谱进行分析;学会运用MATLAB 改变抽样间隔,观察抽样后信号的频谱变化;学会运用MATLAB 对抽样后的信号进行重建。进一步加深对信号采样和重建过程的理解。

    二、实 验 设 备 与 器 件

    MATLAB 软件

    三、实 验 原 理

    2.1 信号抽样

    信号抽样是连续时间信号分析向离散时间信号、连续信号处理向数字信号处

    理的第一步,广泛应用于实际的各类系统中。所谓信号抽样,也称为取样或采样,就是利用抽样脉冲序列()p t 从连续信号()f t 中抽取一系列的离散样值,通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号,用()s f t 表示。从数学上讲,抽样过程就是抽样脉冲()p t 和原连续信号()f t 相乘的过程,即:

    ()()()s f t f t p t =

    因此可以用傅里叶变换的频移卷积性质来求抽样信号()s f t 的频谱。常用的抽样脉冲序列()p t 有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。

    假设原连续信号()f t 的频谱为()F ω,即()()f t F ω?;抽样脉冲()p t 是一个周期信号,

    它的频谱为:

    ()()2()s n

    n

    s

    n n jn t

    p t P e

    P P n ωωπ

    δωω∞

    =-∞

    =-∞

    =

    ?=-∑∑

    其中,2s s

    T π

    ω=

    为抽样角频率,s T 为抽样间隔。因此,抽样信号()s f t 的频谱为:

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