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  • 辛格函数sinc(x)和抽样函数Sa(t)

    千次阅读 2020-03-19 17:54:37
    数学的一体两面抽样函数Sa(t)辛格函数sinc(x)归一化的sinc函数非归一化的sinc函数二元归一化sinc函数 两个函数,具有同样的表达式,代表不同的意义。 抽样函数Sa(t) 抽样函数是指正弦函数和自变量之比构成的...


    两个函数,具有同样的表达式,代表不同的意义。

    抽样函数Sa(t)

    抽样函数是指正弦函数和自变量之比构成的函数,其表达式为 :
    在这里插入图片描述
    抽样函数是一个偶函数,在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减,当t =
    在这里插入图片描述
    时,函数值等于零,其函数图像为:
    在这里插入图片描述
    具有如下性质
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    辛格函数sinc(x)

    注意不是正弦函数sin(x),有两个定义,分别称为归一化的sinc函数和非归一化的sinc函数

    归一化的sinc函数

    表达式为:
    在这里插入图片描述
    主要用于数字信号处理和通讯理论中

    非归一化的sinc函数

    表达式为:
    在这里插入图片描述
    主要用于数学领域
    二者的区别在于放大系数 π

    二元归一化sinc函数

    是在一元函数上的扩展,具有x和y两个变量。
    函数表达式为:
    在这里插入图片描述
    函数图像为:
    在这里插入图片描述

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  • 赵国栋+朱泰英+刘三明摘要:在概率与数理统计学的教学中,抽样分布这一概念是个重点也是个难点。如何让学生更直观地理解三大抽样分布,是這部分教学计划的重要环节。本文基于matlab软件,以卡方分布为例,用计算机...

    赵国栋+朱泰英+刘三明

    040fd5a194fd20c5590a5908209ed4b3.png

    摘要:在概率与数理统计学的教学中,抽样分布这一概念是个重点也是个难点。如何让学生更直观地理解三大抽样分布,是這部分教学计划的重要环节。本文基于matlab软件,以卡方分布为例,用计算机模拟试验的方法对其进行描述、验证, 提供一种更直观的方法。使学生对抽样分布的内涵有更深刻的理解,提高学生的学习兴趣和理解能力,而且为统计学的理论研究提供一种辅助手段。

    关键词:抽样分布;卡方分布;matlab;实验模拟

    G642

    3.计算样本统计量

    设置每次抽与样本个数n1(自由度为n1),独立重复进行S 次抽样,根据每次样本,计算一次相应统计量,得到S个样本统计量观测值。S可以进行设定。

    4.模拟样本统计量分布

    根据S个样本统计量的观测值,画出其直方图,用卡方分布的理论分布去拟合直方图。

    使用Matlab中的hist函数画出直方图,chi2pdf函数生成卡方理论分布。

    三、卡方分布的matlab实验模拟

    基于上述实验模拟思路,这部分给出了卡方分布的实验模拟验证。

    1.卡方分布实验模拟图象

    通过上述matlab,可以得出不同条件下的卡方分布模拟图形,见图:

    从图1和图2可以看出:Sn=5000的卡方统计量直方图与理论分布拟合的较好,也就是说抽样次数越多,分布拟合的越好。统计量样本均值几乎等于自由度;样本方差几乎等于自由度的2倍。对于理论卡方分布,期望为自由度n,方差为2n。

    从图2可以看出:自由度为20的卡方分布,与正态分布很近似,从直方图上,也可以明显看出这一趋势。随着抽样次数越多,卡方分布越近似于正态分布。与课本上理论卡方分布的性质相一致。

    从本文的模拟试验结果看, 重复试验的次数足够大时, 试验统计结果与理论结论非常一致。本文实验方法能有效地模拟抽样分布。

    四、总结

    利用matlab编程可增强学生对所学知识的理解,使理论问题试验化, 抽象问题具体化, 并对理论进行模拟验证,让学生对抽样分布从感性到理性的认识。

    参考文献:

    [1]彭维湘,抽样分布的模拟试验方法与应用[J]. 统计与决策,2008 年第11 期。

    [2]邢光南,赵团结,盖钧镒,生物统计教学中用SAS 程序讲解抽样分布[J].农业网络信息,2010 年第3 期。

    [3]普映娟,李祥,EXCEL 在抽样分布教学中的应用[J]. 保山师专学报,2008 年9 月第27 卷第5 期。

    [4]朱泰英,周钢,概率论与数理统计[M].北京:中国铁道出版社,2015。

    作者简介:赵国栋 1984年10月 男 汉 安徽 上海电机学院 研究生 讲师

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  • 【概率/数理统计】简单随机样本,抽样分布;卡方分布,T分布,F分布,正态总体的样本均值与样本方差分布;Γ函数(伽马函数/tao函数

    目录

    1. 简单随机样本

    2. 抽样分布

    2. 正态分布

    3. 卡方分布

    4. T分布

    5. F分布

    6. 正态总体的样本均值与样本方差分布

    7. 伽马函数


    1. 简单随机样本

    【简单随机样本】设 X 是具有分布函数 F 的随机变量,若 X1,X2,……Xn 是具有同一分布函数 F相互独立的随机变量,则称 X1,X2,……Xn 是从分布函数 F (或称总体 F,或者总体 X)得到的容量为 n 的简单随机样本,简称样本。观察值x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn称为样本值,也成为X的n个独立的观察值。(出自《概率论与数理统计》浙江大学 第四版)

    注:样本,就是指简单随机样本,必满足 ① 与总体同分布,② 相互独立。

    详见《总体与样本的理解》https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52937371

    2. 抽样分布

    【抽样分布】统计量的分布是抽样分布。如卡方分布、T分布、F分布是几个来自正态总体的统计量的常用分布。

    统计量就是不包含总体未知参数的、来自总体的样本的一个函数。

    :上一篇写的是在概率论范围内,离散型和连续型变量的分布,主要用于求分布算概率;这一篇是数理统计领域内(概率论的一个分支),抽样分布的情况,主要用于参数估计和推断统计

    下面首先重新介绍下正态分布。

    2. 正态分布

    2.1 一维正态分布

    随机变量X服从正态分布,X~N(μ,σ^2),则密度函数为:

    若服从标准正态分布,X~N(0,1),则密度函数为:

    2.2 二维正态分布

    (X, Y)~,其中 ρ 是线性相关系数。

    查看源图像

    当X,Y独立时(此条件可退化为 “X, Y不相关” ),ρ=0,此时简化为下式。

    注:此时的边缘分布是一维正态分布。

    3. 卡方分布

    设 X1, X2, ……Xn 是来自总体 N(0, 1) 的样本,则称下面的统计量服从自由度为 n 的卡方分布,即 \chi ^{2}\sim \chi ^{2}(n)

    \chi ^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+......+X_{n}^{2}

    性质:

    • 可加性:\chi_1 ^{2}\sim \chi ^{2}(n_1),\chi_2 ^{2}\sim \chi ^{2}(n_2)\therefore \chi_1 ^{2}+\chi_2 ^{2}\sim \chi ^{2}(n_1+n_2)
    • E(卡方)=n, D(卡方)=2n。

    4. T分布

    设 X~N(0, 1), Y~X^2(n),且相互独立,则统计量t服从自由度为 n 的 t 分布,记为 t~t(n)。

    t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}

    • 分位点的性质:t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)

    5. F分布

    设 U~X^2(n1), V~X^2(n2),且相互独立,则统计量F服从自由度(n1,n2)的F分布,记为 F~F(n1, n2)。

    F=\frac{U/n1}{V/n2}

    • 分位点的性质:F_{1-\alpha }(n1,n2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n2,n1)}

    6. 正态总体的样本均值与样本方差分布

    设总体X存在均值μ,方差σ^2,不管总体是什么分布,X1,……Xn 是来自X的一个样本,X拔 ,S^2 分别是样本均值和样本方差,则

    E(X拔)=μ,D(X拔)=(σ^2)/n,E(S^2)=σ^2

    并有如下定理:

    • \bar{X}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}/n)
    • \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi ^{2}(n-1)
    • X拔 与 S^2 相互独立。
    • \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)
    • \frac{S_1^{2}/S_2^{2}}{\sigma_1^{2}/\sigma_2^{2}}\sim F(n_1-1,n_2-1)
    • \sigma _1^{2}=\sigma _2^{2}=\sigma ^{2}\rightarrow \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu _1-\mu _2)}{S_w\sqrt{ \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\blacklozenge S_{w}^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}

    7. 伽马函数

    卡方分布的概率密度函数和 Γ 分布有关,但是不用掌握,不过需要区分一下两个概念。伽马分布和伽马函数是不同的,伽马函数需要记忆。

    \Gamma (x)=\int_{0}^{+\infty } t^{x-1}e^{-t}dt

    相关性质:

    • ① Γ(1)=1
    • ② Γ(x+1)= x Γ(x)
    • ③ Γ(n)=(n-1)!
    • ④ Γ(x) Γ(1-x)=pai/sin(pai x)
    • ⑤ Γ(1/2)=根号pai

    《第八章tao函数》http://www.doc88.com/p-7856207317036.html

    伽马函数也称 tao 函数,具体性质及推导可见此文。

    《伽马分布》http://www.360doc.com/content/18/0315/17/51704_737276354.shtml

    这里的伽马分布是与伽马函数不同的,注意区分。文中指出了伽马分布和其他分布的关系,公式有的无法加载。

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  • 有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用,这是因为这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布的密度函数有显式表达式,它们被称为统计中的“三...

    有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用,这是因为这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布的密度函数有显式表达式,它们被称为统计中的“三大抽样分布”。这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布F分布

    目录

    1 卡方分布(\chi ^{2}分布)

    1.1 定义

    1.2 性质

    2 t分布

    2.1 定义

    2.2 性质

    3 F分布

    3.1 定义

    3.2 性质

    4 正态总体样本均值和样本方差的分布

    4.1 正态变量线性函数的分布​

    4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布

    5 几个重要推论

    6 总结

     



    1 卡方分布(\chi ^{2}分布)

    1.1 定义

    设随机变量 X 是自由度为 n 的 χ2 随机变量, 则其概率密度函数为

    \Gamma(\cdot )表示的是一个gamma函数,它是整数k的封闭形式。gamma函数的介绍如下伽马函数的总结

    \chi _{n}^{2} 的密度函数 g_{n}(x) 形状如下图

    \chi _{n}^{2}密度函数的支撑集 (即使密度函数为正的自变量的集合) 为(0, +∞), 从上图可见当自由度 n 越大, \chi _{n}^{2} 的密度曲线越趋于对称, n
    越小, 曲线越不对称. 当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0. 当 n ≥ 3时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下降趋向于 0。

    若 X ∼ \chi _{n}^{2}, 记 P(x> c)=\alpha,则 c=\chi _{n}^{2}(\alpha ) 称为 \chi _{n}^{2} 分布的上侧 \alpha 分位数, 如下图所示。当\alphan 给定时可查表求出 \chi _{n}^{2}(a) 之值,如\chi _{10}^{2}(0.01)=23.209\chi _{5}^{2}(0.05)=12.592 等。

    1.2 性质

    χ2 变量具有下列性质:


    2 t分布

    说起t分布,首先要提一句u分布,正态分布(normal distribution)是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便,常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normaldistribution),亦称u分布。根据中心极限定理,通过抽样模拟试验表明,在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时,样本均数的分布仍服从正态分布,即N(μ,σ)。所以,对样本均数的分布进行u变换,也可变换为标准正态分布N (0,1)

    由于在实际工作中,往往σ(总体方差)是未知的,常用s(样本方差)作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换统计量t 值的分布称为t分布

    2.1 定义

    设随机变量 T ∼ t_{n}, 则其密度函数为

    该密度函数的图形如下

    t_{n}的密度函数与标准正态分布 N(0, 1) 密度很相似, 它们都是关于原点对称, 单峰偶函数, 在 x = 0 处达到极大. 但 t_{n} 的峰值低于
    N(0, 1) 的峰值, t_{n} 的密度函数尾部都要比 N(0, 1) 的两侧尾部粗一些. 容易证明:

    此处 \varphi (x)N(0, 1) 变量的密度函数。

    若T ∼ t_{n},记P(\left | T \right |> c)=\alpha,则c={t_{n}}(\alpha /2)为自由度为nt分布的双侧\alpha分位数(如上图所示). 当给定 \alpha 时, {t_{n}}(\alpha ), {t_{n}}(\alpha /2)
    等可通过查表求出. 例如 {t_{12}}(0.05)=1.782 ,{t_{9}}(0.025)=2.262等。

    t 分布是英国统计学家 W.S. Gosset 在 1908 年以笔名 Student发表的论文中提出的, 故后人称为 “学生氏 (Student) 分布” 或 “t
    布”。

    2.2 性质

    t 变量具有下列的性质:


    3 F分布

    3.1 定义

    若随机变量 Z ∼F_{m,n}, 则其密度函数为

    自由度为 m, n F 分布的密度函数如下图:

     

    注意 F 分布的自由度 m n 是有顺序的, 当 m\neq n时, 若将自由度 m n 的顺序颠倒一下, 得到的是两个不同的 F 分布. 从上图
    可见对给定 m = 10, n 取不同值时f_{m,n}(x) 的形状, 我们看到曲线是偏态的, n 越小偏态越严重。

    若 F ∼ F_{m,n}, 记 P(F> c)=\alpha, 则 c=F_{m,n}(\alpha ) 称为 F 分布的上侧 \alpha 分位数 (见上图). 当 m, n\alpha 给定时, 可以通过查表求出
    F_{m,n}(\alpha )之值, 例如F_{4,10}(0.05)=3.48,F_{10,15}(0.01)=3.80 等. 在区间估计和假设检验问题中常常用到.

    3.2 性质

    F 变量具有下列的性质:

    以上性质中 (1) 和 (2) 是显然的, (3) 的证明不难. 尤其性质 (3)在求区间估计和假设检验问题时会常常用到. 因为当 α 为较小的数,
    如 α = 0.05 或 α = 0.01, m, n 给定时, 从已有的 F 分布表上查不到 F_{m,n}(1-0.05)F_{m,n}(1-0.01) 之值, 但它们的值可利用性质(3) 求得, 因为 F_{n,m}(0.05)F_{n,m}(0.01) 是可以通过查 F 分布表求得的.


    4 正态总体样本均值和样本方差的分布

    为方便讨论正态总体样本均值和样本方差的分布, 我们先给出正态随机变量的线性函数的分布.

    4.1 正态变量线性函数的分布

    4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布

    下述定理给出了正态变量样本均值和样本方差的分布和它们的独立性.


    5 几个重要推论

    下面几个推论在正态总体区间估计和假设检验问题中有着重要应用.


    6 总结

    数据在使用前要注意采用有效的方法收集数据, 如设计好抽样方案, 安排好试验等等. 只有有效的收集了数据, 才能有效地使用数据,开展统计推断工作.获得数据后, 根据问题的特点和抽样方式确定抽样分布, 即统计模型. 基于统计模型, 统计推断问题可以按照如下的步骤进行:

    1. 确定用于统计推断的合适统计量;
    2. 寻求统计量的精确分布; 在统计量的精确分布难以求出的情形,可考虑利用中心极限定理或其它极限定理找出统计量的极限分布.
    3. 基于该统计量的精确分布或极限分布, 求出统计推断问题的精确解或近似解.
    4. 根据统计推断结果对问题作出解释

    其中第二步是最重要, 但也是最困难的一步. 统计三大分布及正态总体下样本均值和样本方差的分布, 在寻求与正态变量有关的统计量精确分布时, 起着十分重要作用. 尤其在求区间估计和假设检验问题时可以看得十分清楚

     

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