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  • 1. 抽样 1.1简单随机样本 从容量为N的总体中,抽取一个容量为n的样本,如果容量为n的样本中,每一个可能的样本都以相等的概率被抽取,那么该样本为简单随机样本。 1.2随机样本 从一个无限总体中抽取一个容量为n...

    1. 抽样

    1.1 简单随机样本

    容量为N的总体中,抽取一个容量为n的样本,如果容量为n的样本中,每一个可能的样本都以相等的概率被抽取,那么该样本为简单随机样本。

    1.2 随机样本

    从一个无限总体中抽取一个容量为n的样本,如果满足:(1)每个抽取的个体都来自同一个总体;(2)每个个体的抽取都是独立的。则该样本是一个随机样本。


    2.点估计

    2.1参数

    总体的数字特征记为参数。例如总体均值、标准差、比率。

    2.2 样本统计量

    为了估计总体参数,计算相应的样本特征-----样本统计量。例如:样本均值、样本标准差。

    2.3 估计量

    2.4 点估计值

    根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值

    要估计一个班学生考试的平均分数,从中抽取一个随机样本,全班的平均分数就是参数根据样本计算的平均数就是一个估计量,假定计算出来的样本平均分数是80分,这个80分就是估计量的具体数值,称为估计值

     

    2.5 点估计


    3抽样分布

    3.1 样本均值的抽样分布

    3.1.1 样本均值的数学期望

    当点估计量的期望值等于总体参数时,我们称这个点估计量是无偏的。

     

    3.1.2 样本比率的标准差

    3.1.3 样本均值的抽样分布的形式

    总体服从正态分布    任何样本容量下样本均值的抽样分布都是正态分布。

    总体不服从正态分布  中心极限定理可以帮助我们确定样本均值的抽样分布的形状。

    中心极限定理

    从总体中抽取容量为n的简单随机样本,当本容量很大时,样本均值的抽样分布近似服从正态概率分布。

     

    样本容量多大时,才可以应用中心极限定理?

    当样本容量>=30时,样本均值的抽样分布可用正态分布近似。

    当总体是严重偏态或者出现异常点时,需要样本容量达到50。

     

    3.1.4 样本容量与样本均值的抽样分布的关系

    我们对样本均值的抽样分布感兴趣的实际原因是,它可以用来提供样本均值和总体均值的值之间差异的概率信息。

    随着样本容量的增加,均值的标准误差减少。样本容量越大,样本均值落在总体均值附近某一特定范围内的概率也越大。

     

    3.2 样本均值的抽样分布

    样本比率是总体比率p的点估计。

    3.2.1 样本比率的数学期望

    3.2.2 的标准差

    3.2.3 样本比率的抽样分布的形态

    对于一个来自容量很大的总体的简单随机样本而言,样本中具有被关注特征的个体数目x是一个服从二项分布的随机变量。

    当 np>=5 并且 n(1-p)>=5时,的抽样分布可以用正态分布来近似。

    3.3 点估计的性质

    无偏性、一致性、有效性。

     

    3.3.1 无偏性

    无偏性 上面有介绍。

    3.3.2 有效性

    有较小标准误差的点估计量比其他点估计量更相对有效。

     

    3.3.3 一致性

    随着样本容量的增大,点估计量的值与总体参数越来越接近,则称该点估计量是一致的。

     

    3.4 其他抽样方法

    分层随机抽样、整群抽样、系统抽样都是概率抽样。

    方便抽样、判断抽样是非概率抽样。

    3.4.1 分层随机抽样

    总体中的个体首先被分成称作层的组,总体中的每一个个体属于且仅属于某一层。当每一层的个体都尽可能地相似时,得到的结果最佳。

    分层以后,从每一层抽一个简单的随机样本。将每层的样本结果合并,利用公式对感兴趣的总体参数进行估计。

     

    3.4.2 整群抽样

    总体中的个体首先被分成称作群的单个组,总体中的每一个个体属于且仅属于某一群。以群为单位抽取一个简单随机样本,抽出的群的所有个体组成一个样本。当群中的个体不同质时,得到的结果最佳。

     

    3.4.3 系统抽样

    简单随机抽样的另一个替代方法是系统抽样。

    eg:希望从5000个个体的总体中选取样本容量为50的样本,我们从总体每50/5000=100个个体中选取一个为样本点。在系统抽样情形下,即为在总体清单的钱100个个体中随机选取一个,然后从第一个已选出的个体开始,依次向下,在总体清单中每隔100个个体选取一个为样本点。

     

    3.4.4 方便抽样

    非概率抽样技术。样本的确定主要基于简便。

     

    3.4.5 判断抽样

    由对研究总体非常了解的人主观确定选择总体中他认为最具代表性的个体组成样本。

    参考 商务与经济统计

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  • 抽样分布、大数定律与中心极限定理 抽样分布 抽样分布即为统计量的分布 。 抽样分布与概率分布比较 相同点:都是概率分布 不同点: 分类角度不同,常见的概率分布是从分布形态角度出发进行分类的,而抽样分布则是...

    抽样分布、大数定律与中心极限定理

    抽样分布

    抽样分布即为统计量的分布 。

    抽样分布与概率分布比较

    • 相同点:都是概率分布
    • 不同点:
      • 分类角度不同,常见的概率分布是从分布形态角度出发进行分类的,而抽样分布则是从参数角度进行分类
      • 抽样分布一般表现为分布族,随着决定参数的不同,抽样分布的形态也会随之变化

    Z分布

    • 背景:样本均值推断总体均值是最重要的推断统计学内容。样本均值的抽样分布是样本均值推断总体均值的桥梁。样本均值的抽样分布有一个重要的特性,我们称之为中心极限定理,即任意分布的总体,当样本容量n>=30时,均值的抽样分布同样服从正态分布
    • 普通正态分布可以转化为标准正态分布,我们将转化成标准正态分布的均值抽样分布成为Z分布(一般以字母命名的分布就是抽样分布)
    • 两种满足Z分布的适用条件:一是由正态分布总体的样本组成的均值抽样分布,样本容量没有要求;第二种情况是由来自任意分布总体的大样本组成的均值抽样分布,要求样本容量大于或等于30

    T分布

    • 背景:Z分布只能覆盖部分均值抽样分布的情况,它特别适合总体标准差一直的正态分布总体或样本容量大于或等于30的任意分布总体的抽样情况。对于总体标准差未知的情况,我们引入另一个重要的均值抽样分布类型-T分布
    • T分布曲线呈倒置的钟形,并且关于y=0的纵轴对称,分布曲线从负无穷到正无穷大无限延伸。当自由度等于或大于30时,T分布曲线几乎与标准正态分布曲线重合。

    卡方分布

    • 卡方统计量时一个随机变量,它能够表明样本方差和总体方差的比值关系。卡方统计量决定的抽样分布就是卡方分布
    • 卡方分布和T分布一样,是一个概率分布族,对每一个自由度都有一个具体的卡方分布于其对应。卡方分布是不对称的,长尾拖在右边。随着自由度的增加,卡方分布逐渐变成单峰,且越来越堆成,但不是关于0对称,而是关于自由度对称。

    F分布

    • F统计量时由两个独立的卡方统计量被各自的自由度相除后的比,所以F分布的分布曲线与卡方分布曲线相似。随着自由度的增加,F分布的分布曲线也越来越对称,且对称的中点为1.
    • F分布的应用:F分布能够用来推断两个总体方差之间的比值关系,是后面的方差分析的理论基础。

    大数定律

    大数定律(law of large numbers),是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到,大数定律并不是经验规律,而是在一些附加条件上经严格证明了的定理,它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理,如伯努利大数定理 。

    • 切比雪夫大数定律

    img

    ,…是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关),他们分别存在期望

    img

    和方差

    img

    。若存在常数C使得:

    img

    则对任意小的正数 ε,满足公式一:

    img

    将该公式应用于抽样调查,就会有如下结论:随着样本容量n的增加,样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

    特别需要注意的是,切比雪夫大数定理并未要求

    img

    同分布,相较于后面介绍的伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性 。

    • 伯努利大数定律

    设μ是n次独立试验中事件A发生的次数,且事件A在每次试验中发生的概率为P,则对任意正数ε,有公式二:

    img

    该定律是切比雪夫大数定律的特例,其含义是,当n足够大时,事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率,即频率的稳定性。

    在抽样调查中,用样本成数去估计总体成数,其理论依据即在于此。

    • 辛钦大数定律

    辛钦大数定律:常用的大数定律

    img

    为独立同分布的随机变量序列,若

    img

    的数学定律存在,则服从大数定律:

    即对任意的ε>0,有公式三 :

    img

    中心极限定理

    独立同分布的中心极限定理

    设随机变量X1,X2,…Xn,…独立同分布,并且具有有限的数学期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ20(k=1,2…),则对任意x,分布函数

    img

    满足

    img

    该定理说明,当n很大时,随机变量

    img

    近似地服从标准正态分布N(0,1)。因此,当n很大时,

    img

    近似地服从正态分布N(nμ,nσ2).该定理是中心极限定理最简单又最常用的一种形式,在实际工作中,只要n足够大,便可以把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。这种方法在数理统计中用得很普遍,当处理大样本时,它是重要工具。

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  • 概率论与数理统计浙大版 第五章 大数定律及中心极限定理 & 第六章 样本及抽样分布 易错题和总结

    习题五

    大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值的算术平均值;中心极限定理则是确定在什么条件下,大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。本章介绍几个大数定律和中心极限定理。——概率论与数理统计浙大版

      本章主要介绍了大数定律及中心极限定理。

    习题六

    本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念,并着重介绍几个常用统计量及抽样分布。

      本章主要介绍了总体、样本及抽样分布的相关应用。

    写在最后

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      常见分布见附录一,传送门在这里

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  • 1. 中心极限定理 如此 可怕的定理 其实这样考 定理1 定理2 2. 总体和样本 3. 统计量 4. 常用的统计量 5. 常用分布 χn2\chi^2_nχn2​ t F 性质: 设X∼Fm,n,则1X∼ Fn,m ‾.设X\...

    大二下:概率论与数理统计复习 导航页:https://blog.csdn.net/COCO56/article/details/100152856

    1. 中心极限定理

    如此可怕的定理其实这样考
    定理1
    定理2

    2. 总体和样本

    3. 统计量

    4. 常用的统计量

    5. 常用分布

    • χ n 2 \chi^2_n χn2
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    • t
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    • F
      性质:
      1. 设 X ∼ F m , n , 则 1 X ∼   F n , m   ‾ . 设X\sim F_{m,n}, 则\frac{1}{X}\sim\underline{\ F_{n,m} \ }. XFm,n,X1 Fn,m .
      2. 设 X ∼ t n , 则 X 2 ∼   F 1 , n   ‾ . 设X\sim t_n,则X^2\sim \underline{\ F_{1,n}\ }. XtnX2 F1,n .

    6. 正态总体统计量的分布

    7. 考点分布

    在这里插入图片描述

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  • 正态分布中心极限定理

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  • 中心极限定理通俗介绍

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  • *中心极限定理说的是,每次抽样后样本的均值,服从正态分布。 *大数定理说的是,随着样本量的增加,样本的均值,接近于总体的均值(切比雪夫大数定律)。还可以这样理解:当样本足够大时,事件发生的频率近似其发生...
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