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  • 【2】《近世代数基础》 【3】《从一元一次方程到伽罗瓦理论》 【4】https://baike.baidu.com/item/伽罗瓦预解式/18918113 存在一个集合K,同时有加法+++和乘法⋅\cdot⋅, 1 (K,+)(K, +)(K,+)构成交换; 2 (K,...

    【参考资料】
    【1】http://www.sohu.com/a/138917230_614662
    【2】《近世代数基础》
    【3】《从一元一次方程到伽罗瓦理论》
    【4】https://baike.baidu.com/item/伽罗瓦预解式/18918113

    存在一个集合K,同时有加法 + + +和乘法 ⋅ \cdot
    1 ( K , + ) (K, +) (K,+)构成交换群;
    2 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,)构成半群;
    3 如果同时考虑 ( K , + , ⋯   ) (K, +, \cdots) (K,+,),满足左右分配率;
    我们称这个代数结构为

    如果 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,)满足交换律ab=ba,则称为交换环
    如果这个交换环中的 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,)还满足消去率,即cb=ca => b=a,则我们称之为整环

    半群是没有幺元和逆元的群

    对于整环 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,)至少有两个元,且F中每一个非零元都有逆元,则称之为

    对于非零元存在逆,本质上可以理解为域上有除法,那么域上就是一个满足了加、减、乘、除四则运算的代数结构?

    扩域

    扩域是指在某个数域上加上几个不属于该数域的元素,记为E/F。

    比如我们在有理数域Q上加上 2 \sqrt{2} 2 ,那么这个属于就称为 Q ( 2 ) Q \frac{Q(\sqrt{2})}{Q} QQ(2 )。对于新集合来说除了增加了 2 \sqrt{2} 2 外,当然也包含 2 \sqrt{2} 2 参与运算后所产生的其他数。

    注意此时我们构造了一个比有理数域Q大,但比实数域R小的新数域。

    定义: a叫作域F上的一个代数元,假如存在属于F的都不为零的元 a 0 , a 1 , a 2 , . . . . , a n a_0, a_1, a_2, ...., a_n a0,a1,a2,....,an,使得成立如下一个代数方程:
    a 0 + a 1 a + . . . + a n a n = 0 a_0 + a_1a + ... + a_n a^n = 0 a0+a1a+...+anan=0
    假如这样的 a 0 , a 1 , a 2 , . . . . , a n a_0, a_1, a_2, ...., a_n a0,a1,a2,....,an不存在,a就叫F上的一个超越元。其扩域F(a)分别称为单代数扩域和单超越数扩域

    m式扩域:在属于F中找一个数开m次方,然后加进这个数域;
    根式塔:通过m式扩域从F开始不断扩域,存在 F ⊆ F 1 ⊆ F 2 . . . F n F \subseteq F_1 \subseteq F_2... F_n FF1F2...Fn

    伽罗瓦对于根式可解的定义:如果一个方程的全部系数包含在域F中,全部根包含在E中,那么有解的情况式指E包含在F扩域形成的根式塔中。

    我们称根式塔为一个域列。

    正规扩域

    定义:E是F的一个有限扩域,且 f ( x ) ∈ F ( x ) f(x) \in F(x) f(x)F(x)是任意一个不可约多项式,则E含有f(x)的一个根,就含有其他根,称为E是F的一个正规扩域。

    例如: g ( x ) = x 2 − 2 x − 1 ∈ Q [ x ] g(x) = x^2 -2x-1 \in Q[x] g(x)=x22x1Q[x],它的一个根 1 − 2 1-\sqrt{2} 12 属于扩域
    Q ( 2 ) Q(\sqrt{2}) Q(2 ),那么另外一个根 1 + 2 1+\sqrt{2} 1+2 也同样属于这个扩域。

    具有性质:如果E是F的一个正规扩,那么E必定是F上某个多项式的根域。

    伽罗瓦群

    我们定义一个数域E的自同构映射,并把所有这个E上的自同构映射记为Aut(E), 定义一个乘法,即 σ 1 ⋅ σ 2 \sigma_1 \cdot \sigma_2 σ1σ2为其复合,即 σ 1 ( σ 2 ) \sigma_1(\sigma_2) σ1(σ2),可以证明上述代数结构是一个

    注意这里从域开始又回到群:)

    伽罗瓦群:E/F是扩域,(E是根的域、F是系数的域),我们定义Aut(E)的一个子集,E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群,称为E在F上的伽罗瓦群,记为G(E/F)。

    可解群

    设G是一个有限群,如果G存在一个子群列 G = G 0 ⊳ G 1 ⊳ G 2 . . . ⊳ G r = { e } G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 ... \rhd G_r = \{e\} G=G0G1G2...Gr={e},其中e是G的单位元,使得每个商群 G i / G i + 1 G_i/G_{i+1} Gi/Gi+1都是可换群,则称其为G的一个可解群列。

    这里 G 0 ⊳ G 1 G_0 \rhd G_1 G0G1表示 G 1 G_1 G1 G 0 G_0 G0的一个正规子群

    伽罗瓦理论针对多项式根式可解

    方程在特征为0的域上能用根式解当且仅当它的伽罗瓦群可解群

    PS: 这步的推导完全看不懂。。。。。

    例如:

    三次多项式方程的加瓦罗群G同构与 S 3 S_3 S3,又因为 G = S 3 ⊳ A 3 ⊳ { e } G=S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} G=S3A3{e}是一个可解群列。

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  • 抽象代数 01.01 -运算及关系

    千次阅读 2019-04-26 20:05:38
    http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》 ...抽象代数的研究对象是代数体系,即带有运算的集合,例如。本书假定读者已经了解集合与映射的基本知识,下面仅介绍一下映射的嵌入与开...

    http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

    第一章 群 \color{blue}{\text{第一章 群}} 第一章 

    § 1.1 运 算 及 关 系 \color{blue}{\text{\S}1.1 运算及关系 } §1.1

    抽象代数的研究对象是代数体系,即带有运算的集合,例如群、环、域。本书假定读者已经了解集合与映射的基本知识,下面仅介绍一下映射的嵌入与开拓、映射的交换图以及直积集合的概念。
    定 义 1.1.1 设 A 0 是 集 合 A 的 非 空 子 集 , 定 义 A 0 到 A 的 映 射 i 如 下 {\color{blue}{定义 1.1.1} \quad} 设A_0是集合A的非空子集,定义A_0到A的映射i如下 1.1.1A0AA0Ai
    i ( x ) = x , ∀ x ∈ A 0 \qquad i(x) = x, \forall x \in A_0 i(x)=x,xA0
    则 i 称 为 A 0 到 A 的 嵌 入 映 射 。 则i称为A_0到A的\color{blue}{嵌入映射}。 iA0A

    定 义 1.1.2 设 A 0 是 集 合 A 的 非 空 子 集 , f 是 A 0 到 集 合 B 的 映 射 , 若 有 A 到 B 的 映 射 g , 使 {\color{blue}定义 1.1.2 \quad }设A_0是集合A的非空子集,f是A_0到集合B的映射,若有A到B的映射g,使 1.1.2A0AfA0BABg,使
    g ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ A 0 . \qquad g(x) = f(x), \quad \forall x \in A_0. g(x)=f(x),xA0.
    则 称 g 为 f 的 开 拓 映 射 , 称 f 为 g 在 A 0 上 的 限 制 映 射 , 并 记 则称g为f的{\color{blue}开拓映射},称f为g在A_0上的{\color{blue}限制映射},并记 gf,fgA0,
    f = g ∣ A 0 . \qquad f = g | _{A_0}. f=gA0.
    直观上,开拓映射是把一个映射的定义域扩大;限制映射是把一个映射的定义域缩小。从这个意义上说,嵌入映射是把一个恒等映射值域所在的集合扩大。嵌入映射一定是单射,不一定是满射。开拓映射既不一定是单射,也不一定是满射。
    定 义 1.1.3 一 个 映 射 如 果 能 表 成 某 几 个 映 射 的 连 续 作 用 ( 也 称 映 射 的 乘 积 ) 的 结 果 , {\color{blue}定义 1.1.3 \quad}一个映射如果能表成某几个映射的连续作用(也称映射的乘积)的结果, 1.1.3()
    又 能 表 成 另 几 个 映 射 的 连 续 作 用 的 结 果 , 例 如 有 f 3 f 2 f 1 = g 2 g 1 , 就 可 有 下 边 的 示 意 图 : 又能表成另几个映射的连续作用的结果,例如有f_3f_2f_1 = g_2g_1,就可有下边的示意图: f3f2f1=g2g1,:
    cxts_T1.0001
    则 称 上 图 为 映 射 的 交 换 图 . 则称上图为{\color{blue}映射的交换图}. .
    例 1 设 f 是 A 0 到 B 的 映 射 , A 0 是 A 的 子 集 , i 是 A 0 到 A 的 嵌 入 映 射 , g 是 A 到 B 的 映 射 , {\color{blue}例1} \quad 设f是A_0到B的映射,A_0是A的子集,i是A_0到A的嵌入映射,g是A到B的映射, 1fA0BA0AiA0AgAB
    且 g 是 f 的 开 拓 映 射 , 则 下 面 的 图 是 交 换 图 : 即 有 g ⋅ i = f 。 且g是f的开拓映射,则下面的图是交换图:即有g \cdot i = f。 gf:gi=f
    cxts_T1.0002
    定 义 1.1.4 设 A , B 是 两 个 集 合 , 则 称 {\color{blue}定义 1.1.4 \quad } 设A,B是两个集合,则称 1.1.4AB
    A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \qquad A \times B = \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \rbrace A×B={(a,b)aA,bB}
    为 A 与 B 的 直 积 集 合 为A与B的{\color{blue}直积集合} AB
    类 似 的 , 可 以 定 义 有 限 多 个 ( k 个 ) 集 合 的 直 积 集 合 : 类似的,可以定义有限多个(k个)集合的直积集合: (k):
    A 1 × ⋯ × A k = { ( a 1 , ⋯   , a k ) ∣ a i ∈ A i , i = 1 , ⋯   , k } A_1 \times \cdots \times A_k = \lbrace (a_1, \cdots, a_k) | a_i \in A_i, i = 1, \cdots, k \rbrace A1××Ak={(a1,,ak)aiAi,i=1,,k}
    我们要研究的是带有运算的集合,对于数集中的运算,例如加法和乘法运算,我们是熟悉的。他们的本质都在于,由数集中的一个元素,可以按照某种法则唯一地确定数集中的一个元素。在线性代数中我们又学习到线性空间中的“数乘”运算,其本质在于,由数集中的一个元素和向量集中的一个元素,按照某种法则,可以唯一地确定向量中的一个元素。
    现在我们把上述本质抽象出来,利用集合、直积集合和映射的概念,来定义“代数运算”这一概念。
    定 义 1.1.5 设 A , B , D 均 是 非 空 集 合 , 则 A × B 到 D 的 任 一 映 射 f , 称 为 A 与 B 到 D 的 一 个 代 数 运 算 。 {\color{blue}定义1.1.5} 设A,B,D均是非空集合,则A \times B 到D的任一映射f,称为A与B到D的一个{\color{blue}代数运算}。 1.1.5ABDA×BDfABD
    这 就 是 说 , 若 由 a ∈ A , b ∈ B , 则 ( a , b ) ∈ A × B , f ( ( a , b ) ) = d ∈ D , 即 a 与 b 唯 一 地 确 定 d , 我 们 就 说 a 与 b 运 算 的 结 果 是 d 。 这就是说,若由a \in A, b \in B, 则(a, b) \in A \times B,f((a, b)) = d \in D,即a与b唯一地确定d,我们就说a与b运算的结果是d。 aA,bB,(a,b)A×Bf((a,b))=dDabdabd
    为 简 单 , 常 记 f ( ( a , b ) ) 为 a ∘ b , 于 是 上 面 的 运 算 就 写 成 a ∘ b = d 。 为 了 区 别 不 同 的 运 算 法 则 , 我 们 有 时 也 把 代 数 运 算 的 符 号 “ ∘ ” 改 记 为 “ + ” 或 “ × ” , 于 是 就 有 了 为简单,常记f((a,b))为a \circ b,于是上面的运算就写成 a \circ b = d。为了区别不同的运算法则,我们有时也把代数运算的符号“\circ”改记为“+”或“\times”,于是就有了 f((a,b))ab,ab=d+×
    3 + 5 = 8 和 3 × 5 = 15 \qquad 3 + 5 = 8 和 3 \times 5 = 15 3+5=83×5=15
    的 写 法 , 也 有 了 “ 加 法 ” 、 “ 乘 法 ” 以 及 “ 数 乘 ” 等 关 于 运 算 的 叫 法 。 在 乘 法 或 数 乘 等 运 算 的写法,也有了“加法”、“乘法”以及“数乘”等关于运算的叫法。在乘法或数乘等运算
    中 , 我 们 常 常 把 符 号 “ ∘ ” 省 去 , 记 a ∘ b 为 a b 。 中,我们常常把符号“\circ”省去,记a \circ b 为ab。 abab
    例 2 设 V 是 n 维 欧 氏 空 间 , R 是 实 数 集 , 则 求 V 中 两 个 向 量 α , β 的 内 积 , 就 是 V 与 V 到 {\color{blue}例2 \quad}设V是n维欧氏空间,\mathbb{R}是实数集,则求V中两个向量 \alpha, \beta 的内积,就是V与V到 2VnRVα,βVV
    R 的 一 个 代 数 运 算 。 \mathbb{R}的一个代数运算。 R
    例 3 设 A = { 1 , 2 } , B = { 1 , 2 } , D = { 奇 , 偶 } , f 是 一 个 A × B 到 D 的 映 射 如 下 : {\color{blue}例3 \quad}设A=\lbrace 1, 2 \rbrace, B = \lbrace 1, 2 \rbrace, D = \lbrace 奇, 偶 \rbrace,f 是一个A \times B 到D的映射如下: 3A={1,2},B={1,2},D={,}fA×BD:
    ( 1 , 1 ) → 奇 , ( 2 , 2 ) → 奇 \qquad (1, 1) \to 奇,(2, 2) \to 奇 (1,1)(2,2)
    ( 1 , 2 ) → 奇 , ( 2 , 1 ) → 偶 \qquad (1, 2) \to 奇,(2, 1) \to 偶 (1,2)(2,1)
    它 也 是 一 个 A 与 B 到 D 的 代 数 运 算 。 它也是一个A与B到D的代数运算。 ABD
    当 A 、 B 都 是 有 限 集 合 的 时 候 , A 与 B 到 D 的 代 数 运 算 , 我 们 常 用 一 个 表 来 说 明 , 当A、B都是有限集合的时候,A与B到D的代数运算,我们常用一个表来说明, ABABD
    叫 做 “ 运 算 表 ” 。 叫做“运算表”。
    例 3 的 运 算 表 为 ∘ 1 2 1 奇 奇 2 偶 奇 例3的运算表为 \qquad \begin{array}{l|c c} \circ & 1 & 2 \\ \hline 1 & 奇 & 奇 \\ \hline 2 & 偶 & 奇 \end{array} 31212
    ( 这 里 , 竖 行 中 的 “ 1 , 2 ” , 指 A 中 的 元 素 ; 横 行 中 的 “ 1 , 2 ” , 指 B 中 的 元 素 ) (这里,竖行中的“1, 2”,指A中的元素;横行中的“1,2”,指B中的元素) (1,2A1,2B)
    通常较多用到的代数运算,是A=B=D时的情形,即A与A到A的代数运算,也称为A中的“ 二 元 运 算 {\color{blue}二元运算} ” 或 “ 运 算 {\color{blue}运算} ”。此时也说“ 集 合 A , 对 于 该 运 算 是 封 闭 的 {\color{blue}集合A,对于该运算是封闭的} A”。一个集合中,可以有一种运算,也可以有多种运算。我们感兴趣的运算,常常是满足某种规律的运算,例如针对一种运算而言的结合律和交换律,针对两种运算而言的分配律。他们都是数集中相应运算规律的推广。
    定 义 1.1.6 设 集 合 A 中 有 一 种 二 元 运 算 “ ∘ ” , 如 果 {\color{blue}定义1.1.6 \quad}设集合A中有一种二元运算 “\circ”,如果 1.1.6A
    ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) , ∀ a , b , c ∈ A , \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c), \quad \forall a, b, c \in A, (ab)c=a(bc),a,b,cA,
    则 称 该 运 算 满 足 结 合 律 。 则称该运算满足{\color{blue}结合律}。
    定 义 1.1.7 设 集 合 A 有 一 种 二 元 运 算 “ ∘ ” , 如 果 {\color{blue}定义1.1.7 \quad}设集合A有一种二元运算“\circ”,如果 1.1.7A
    a ∘ b = b ∘ a , ∀ a , b ∈ A \quad a \circ b = b \circ a, \quad \forall a, b \in A ab=ba,a,bA
    则 称 该 运 算 满 足 交 换 律 。 则称该运算满足{\color{blue}交换律}。
    定 义 1.1.8 设 集 合 A 中 有 两 种 代 数 运 算 “ ∘ ” 和 “ + ” , 如 果 {\color{blue}定义1.1.8 \quad}设集合A中有两种代数运算“\circ”和“+”,如果 1.1.8A+
    a ∘ ( b + c ) = a ∘ b + a ∘ c , ∀ a , b , c ∈ A , \quad a \circ (b + c) = a \circ b + a \circ c, \quad \forall a, b, c \in A, a(b+c)=ab+ac,a,b,cA,
    则 称 该 运 算 满 足 “ ∘ 对 + 的 左 分 配 律 ” , 简 称 满 足 左 分 配 律 。 则称该运算满足“{\color{blue}\circ 对 + 的左分配律}”,简称满足{\color{blue}左分配律}。 +
    类 似 可 定 义 右 分 配 律 , 左 右 统 称 为 分 配 律 。 类似可定义右分配律,左右统称为分配律。
    例 4 设 Z 是 全 体 整 数 的 集 合 , Z 中 的 二 元 运 算 是 数 的 减 法 , 则 该 运 算 既 不 满 足 结 合 律 , {\color{blue}例4 \quad} 设 \mathbb{Z}是全体整数的集合,\mathbb{Z}中的二元运算是数的减法,则该运算既不满足结合律, 4ZZ,,
    也 不 满 足 交 换 律 。 也不满足交换律。
    例 5 设 C n × n 是 复 数 域 上 全 体 n ( n ≥ 2 ) 阶 方 阵 的 集 合 , C n × n 中 有 两 种 运 算 , {\color{blue}例5 \quad } 设\mathbb{C}^{n \times n} 是复数域上全体n(n \ge 2) 阶方阵的集合,\mathbb{C}^{n \times n} 中有两种运算, 5Cn×nn(n2)Cn×n
    一 种 是 矩 阵 的 加 法 , 一 种 是 矩 阵 的 乘 法 。 加 法 运 算 即 满 足 结 合 律 , 又 满 足 一种是矩阵的加法,一种是矩阵的乘法。加法运算即满足结合律,又满足
    交 换 律 ; 乘 法 运 算 满 足 结 合 律 , 不 满 足 交 换 律 ; 乘 法 对 加 法 满 足 分 配 律 , 交换律;乘法运算满足结合律,不满足交换律;乘法对加法满足分配律,
    加 法 对 乘 法 不 满 足 分 配 律 。 加法对乘法不满足分配律。
    结 合 律 的 一 个 重 要 作 用 是 使 表 达 式 a 1 ∘ a 2 ∘ ⋯ ∘ a n 有 意 义 , 因 为 这 时 无 论 怎 么 结合律的一个重要作用是使表达式 a_1 \circ a_2 \circ \cdots \circ a_n 有意义,因为这时无论怎么 使a1a2an
    样 加 括 号 , 运 算 的 结 果 都 是 一 样 的 , 这 给 我 们 带 来 了 方 便 , 抽 象 代 数 中 研 究 的 样加括号,运算的结果都是一样的,这给我们带来了方便,抽象代数中研究的 便
    运 算 都 满 足 结 合 律 。 运算都满足结合律。
    交 换 律 的 一 个 重 要 作 用 是 使 等 式 ( a b ) n = a n b n 成 立 。 抽 象 代 数 中 研 究 的 运 算 有 的 交换律的一个重要作用是使等式 (ab)^n = a^n b^n 成立。抽象代数中研究的运算有的 使(ab)n=anbn
    满 足 交 换 律 , 有 的 不 满 足 交 换 律 。 满足交换律,有的不满足交换律。
    分 配 律 的 一 个 重 要 作 用 是 使 一 个 集 合 中 的 两 种 元 素 之 间 产 生 一 种 联 系 。 分配律的一个重要作用是使一个集合中的两种元素之间产生一种联系。 使
    抽象代数在研究集合时,有时要把集合分成一些子集来讨论。这时就要用到集合的分类,而集合的分类又和“等价关系”密切相关。为了讲清楚“等价关系”,我们先来介绍“关系”的概念。
    我们知道实数集合“大于”、“小于”、“等于”这些关系,也知道n阶复方阵集合中“相等”、“相似”这些关系。下面我们把他们的本质抽象出来。
    如果有一种性质R,使集合A中任意两个元素a,b,或者有性质R,或者没有性质R,二者必居其一,我们就说“ R 给 定 了 A 中 的 一 个 关 系 {\color{blue}R给定了A中的一个关系} RA”。当a,b有性质R时,称a与b有关系,记为 a R b aRb aRb;当a,b没有性质R时,称a与b没有关系,记为 a R b a {\cancel R} b aR b
    有性质R的a,b如果记为(a, b),就是直积集合 A × A A \times A A×A 中的一个元素,全体这样的(a, b),就构成了 A × A A \times A A×A的一个子集,不妨把这个子集仍记为R,于是
    a R b ↔ ( a , b ) ∈ R . \qquad a R b \leftrightarrow (a, b) \in R. aRb(a,b)R.
    这样,我们就可以用 A × A A \times A A×A的一个子集,来刻画 A A A中的一个关系。
    定 义 1.1.9 设 A 是 一 个 非 空 集 合 , R 是 A × A 的 一 个 子 集 , a , b ∈ A , 若 ( a , b ) ∈ R , {\color{blue}定义1.1.9 \quad}设A是一个非空集合,R是A \times A的一个子集,a,b \in A,若(a,b) \in R, 1.1.9ARA×Aa,bA,(a,b)R,
    则 称 a 与 b 有 关 系 R , 记 为 a R b , 且 称 R 为 A 的 一 个 关 系 ( 二 元 关 系 ) 。 在 不 致 引 起 混 淆 则称a与b有关系R,记为aRb,且称R为A的一个{\color{blue}关系}({\color{blue}二元关系})。在不致引起混淆 abR,aRb,RA()
    时 , a R b 也 可 记 为 a ∼ b 。 时,aRb也可记为a \sim b。 aRbab
    例 6 实 数 集 R 中 的 “ ≤ ” 关 系 , 可 以 用 R × R 中 的 子 集 R 1 来 刻 画 ; 实 数 集 R 中 的 “ = ” 关 系 , 可 以 用 R × R 中 的 子 集 R 2 来 刻 画 。 {\color{blue}例6 \quad}实数集\mathbb{R}中的“\leq ”关系,可以用\mathbb{R} \times \mathbb{R}中的子集R_1来刻画;实数集\mathbb{R}中的“=”关系,可以用\mathbb{R} \times \mathbb{R}中的子集R_2来刻画。 6RR×RR1R=R×RR2
    cxts_T1.0001
    实数集中的“=”关系,可以总结推广为一般集合中的等价关系。
    定 义 1.1.10 若 集 合 A 的 一 个 关 系 R 满 足 {\color{blue}定义1.1.10 \quad}若集合A的一个关系R满足 1.1.10AR
    ① 反 身 性 : a R a , ∀ a ∈ A ; ① 反身性:aRa, \forall a \in A; aRa,aA;
    ② 对 称 性 : a R b    ⟹    b R a , ∀ a , b ∈ A ; ② 对称性:aRb \implies bRa, \forall a,b \in A; aRbbRa,a,bA;
    ③ 传 递 性 : a R b , b R c    ⟹    a R c , ∀ a , b , c ∈ A . ③ 传递性:aRb, bRc \implies aRc, \forall a,b,c \in A. aRb,bRcaRc,a,b,cA.
    则 称 关 系 R 为 A 的 一 个 等 价 关 系 。 则称关系R为A的一个{\color{blue}等价关系}。 RA
    例 7 实 数 集 中 的 “ ≤ " 关 系 不 是 等 价 关 系 , 因 为 不 满 足 对 称 性 。 {\color{blue}例7 \quad}实数集中的“\leq"关系不是等价关系,因为不满足对称性。 7"
    例 8 n 阶 复 方 阵 集 合 中 的 “ 相 合 ” 是 等 价 关 系 , “ 相 似 ” 也 是 等 价 关 系 。 {\color{blue}例8 \quad}n阶复方阵集合中的“相合”是等价关系,“相似”也是等价关系。 8n
    可 见 , 同 一 集 合 中 可 以 有 多 种 不 同 的 等 价 关 系 。 可见,同一集合中可以有多种不同的等价关系。
    定 义 1.1.11 若 将 集 合 A 分 成 一 些 非 空 子 集 , 每 个 子 集 称 为 A 的 一 个 类 , {\color{blue}定义1.1.11 \quad} 若将集合A分成一些非空子集,每个子集称为A的一个类, 1.1.11AA
    使 得 A 的 每 一 个 元 素 属 于 且 仅 属 于 一 个 类 , 则 称 这 些 类 的 全 体 为 集 合 A 使得A的每一个元素属于且仅属于一个类,则称这些类的全体为集合A 使AA
    的 一 个 分 类 , 也 称 为 A 的 一 个 划 分 。 的一个{\color{blue}分类},也称为A的一个{\color{blue}划分}。 A
    定 理 1.1.1 集 合 A 的 一 个 分 类 决 定 A 的 一 个 等 价 关 系 。 {\color{blue}定理1.1.1 \quad}{\color{green}集合A的一个分类决定A的一个等价关系。} 1.1.1AA
    证 我 们 利 用 A 的 分 类 来 定 义 A 的 一 个 关 系 R , 然 后 证 明 R 是 等 价 关 系 。 {\color{blue}证 \quad}我们利用A的分类来定义A的一个关系R,然后证明R是等价关系。 AARR
    定 义 : 当 且 仅 当 a 与 b 同 在 一 类 时 , a R b 。 据 定 义 知 这 样 的 R 是 A 的 一 个 关 系 , 定义:当且仅当a与b同在一类时,aRb。据定义知这样的R是A的一个关系, :abaRbRA
    又 因 为 a ∈ A , a 与 a 同 在 一 类 , 所 以 R 满 足 反 身 性 ; 又因为a \in A, a与a同在一类,所以R满足反身性; aA,aa,R
    a , b ∈ A , 若 a R b , 表 明 a 与 b 同 在 一 类 , 则 b 与 a 也 同 在 一 类 , 所 以 b R a , 即 R 满 足 对 称 性 ; a,b \in A,若aRb,表明a与b同在一类,则b与a也同在一类,所以bRa,即R满足对称性; a,bA,aRb,abbabRa,R;
    a , b , c ∈ A , 若 a R b , b R c , 表 明 a 与 b 同 在 一 类 , b 与 c 同 在 一 类 , 则 a 与 c 同 在 一 类 , 所 以 a R c , a,b,c \in A,若aRb, bRc,表明a与b同在一类,b与c同在一类,则a与c同在一类,所以aRc, a,b,cA,aRb,bRc,abbcac,aRc
    即 R 满 足 传 递 性 。 即R满足传递性。 R
    据 定 义 1.1.10 , R 是 A 的 一 个 等 价 关 系 。 据定义1.1.10,R是A的一个等价关系。 1.1.10RA
    在给出下一个定理之前,我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类,商集合和自然映射。
    定 理 1.1.1 集 合 A 的 一 个 分 类 决 定 A 的 一 个 等 价 关 系 。 {\color{blue}定理1.1.1 \quad}{\color{green}集合A的一个分类决定A的一个等价关系。} 1.1.1AA
    证 我 们 利 用 A 的 分 类 来 定 义 A 的 一 个 关 系 R , 然 后 证 明 R 是 等 价 关 系 。 {\color{blue}证 \quad}我们利用A的分类来定义A的一个关系R,然后证明R是等价关系。 AARR
    定 义 : 当 且 仅 当 a 与 b 同 在 一 类 时 , a R b 。 据 定 义 知 这 样 的 R 是 A 的 一 个 关 系 , 定义:当且仅当a与b同在一类时,aRb。据定义知这样的R是A的一个关系, :abaRbRA
    又 因 为 a ∈ A , a 与 a 同 在 一 类 , 所 以 R 满 足 反 身 性 ; 又因为a \in A, a与a同在一类,所以R满足反身性; aA,aa,R
    a , b ∈ A , 若 a R b , 表 明 a 与 b 同 在 一 类 , 则 b 与 a 也 同 在 一 类 , 所 以 b R a , 即 R 满 足 对 称 性 ; a,b \in A,若aRb,表明a与b同在一类,则b与a也同在一类,所以bRa,即R满足对称性; a,bA,aRb,abbabRa,R;
    a , b , c ∈ A , 若 a R b , b R c , 表 明 a 与 b 同 在 一 类 , b 与 c 同 在 一 类 , 则 a 与 c 同 在 一 类 , 所 以 a R c , a,b,c \in A,若aRb, bRc,表明a与b同在一类,b与c同在一类,则a与c同在一类,所以aRc, a,b,cA,aRb,bRc,abbcac,aRc
    即 R 满 足 传 递 性 。 即R满足传递性。 R
    据 定 义 1.1.10 , R 是 A 的 一 个 等 价 关 系 。 据定义1.1.10,R是A的一个等价关系。 1.1.10RA
    在给出下一个定理之前,我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类,商集合和自然映射。
    定 义 1.1.12 设 集 合 A 中 有 等 价 关 系 R , a ∈ A , 则 A 中 与 a 有 关 系 ( 也 称 与 a 等 价 ) 的 所 有 元 素 的 集 合 { b ∈ A ∣ b R a } , 称 为 a 所 在 的 等 价 类 , 记 为 a ˉ , a 称 为 这 个 等 价 类 的 代 表 元 。 {\color{blue}定义1.1.12 \quad}设集合A中有等价关系R, a \in A,则A中与a有关系(也称与a等价)的所有元素的集合\lbrace b \in A | bRa \rbrace,称为a所在的{\color{blue}等价类},记为\bar a,a称为这个等价类的{\color{blue}代表元}。 1.1.12AR,aA,Aa(a){bAbRa},a,aˉ,a
    从 以 上 定 义 及 等 价 类 的 传 递 性 易 知 , 若 a R b , 则 a ˉ = b ˉ , 即 等 价 的 两 个 元 素 所 在 的 等 价 类 是 同 一 个 , 因 此 , 同 一 个 等 价 类 可 以 有 不 同 的 从以上定义及等价类的传递性易知,若 aRb, 则 \bar a = \bar b,即等价的两个元素所在的等价类是同一个,因此,同一个等价类可以有不同的 aRb,aˉ=bˉ,
    代 表 元 。 这 使 我 们 在 讨 论 有 关 等 价 类 的 问 题 时 , 经 常 要 注 意 说 明 , 所 讨 论 的 内 容 代表元。这使我们在讨论有关等价类的问题时,经常要注意说明,所讨论的内容 使
    虽 然 形 式 上 与 等 价 类 的 代 表 元 有 关 , 实 质 上 却 与 之 无 关 。 虽然形式上与等价类的代表元有关,实质上却与之无关。
    定 义 1.1.13 设 集 合 A 中 有 等 价 关 系 R , 则 以 R 为 前 提 的 所 有 等 价 类 {\color{blue}定义1.1.13 \quad}设集合A中有等价关系R,则以R为前提的所有等价类 1.1.13ARR
    ( 重 复 的 只 取 一 个 ) 的 集 合 { a ˉ } , 称 为 A 对 R 的 商 集 合 , 记 为 A / R 。 (重复的只取一个)的集合 \lbrace \bar a \rbrace,称为A对R的 {\color{blue}商集合},记为A / R。 (){aˉ},AR,A/R
    我 们 注 意 到 , 等 价 类 a ˉ 是 A 的 子 集 合 , 却 是 A / R 的 元 素 。 我们注意到,等价类 \bar a 是A的子集合,却是 A / R 的元素。 aˉAA/R
    一 个 集 合 通 过 等 价 关 系 , 在 新 的 层 次 上 产 生 出 与 原 集 合 有 联 系 的 新 的 集 合 一个集合通过等价关系,在新的层次上产生出与原集合有联系的新的集合
    − − 商 集 合 , 这 也 反 映 出 等 价 关 系 不 同 于 一 般 二 元 关 系 的 重 要 性 。 {\color{blue}--商集合},这也反映出等价关系不同于一般二元关系的重要性。
    定 义 1.1.14 设 集 合 A 中 有 等 价 关 系 R , 则 映 射 π : A → A / R , {\color{blue}定义1.1.14 \quad}设集合A中有等价关系R,则映射 \pi : A \to A / R, 1.1.14AR,π:AA/R,
    π ( a ) = a ˉ , ∀ a ∈ A \qquad \pi (a) = \bar a, \forall a \in A π(a)=aˉ,aA
    称 为 A 到 A / R 的 自 然 映 射 。 称为A到 A/R的{\color{blue}自然映射}。 AA/R
    自 然 映 射 一 定 是 满 射 , 但 却 不 一 定 是 单 射 。 自然映射一定是满射,但却不一定是单射。
    定 理 1.1.2 集 合 A 的 一 个 等 价 关 系 决 定 A 的 一 个 分 类 。 {\color{blue}定理1.1.2 \quad} {\color{green}集合A的一个等价关系决定A的一个分类。} 1.1.2AA
    证 记 A 中 的 等 价 关 系 为 R , 容 易 证 明 , R 决 定 的 商 集 合 A / R , 就 是 A 的 一 个 分 类 。 {\color{blue}证 \quad} 记A中的等价关系为R,容易证明, R决定的商集合A/R,就是A的一个分类。 AR,RA/RA
    事 实 上 , 商 集 合 的 全 体 等 价 类 ( 重 复 的 只 取 一 个 ) 的 集 合 , 每 个 等 价 类 是 A 的 一 个 子 集 , 事实上,商集合的全体等价类(重复的只取一个)的集合,每个等价类是A的一个子集, ()A
    也 是 A 的 一 个 “ 类 ” , A 中 的 每 一 个 元 素 a 属 于 一 个 类 a ˉ , 以 下 证 明 a 仅 属 于 a ˉ , 便 完 成 证 明 。 也是A的一个“类”,A中的每一个元素a属于一个类 \bar a,以下证明a仅属于 \bar a,便完成证明。 AAaaˉ,aaˉ,便
    若 还 有 a ∈ b ˉ , 则 据 定 义 1.1.12 , a R b , 即 a 与 b 等 价 , 而 等 价 的 两 个 元 素 所 在 的 等 价 类 是 若还有 a \in \bar b,则据定义1.1.12,aRb,即a与b等价,而等价的两个元素所在的等价类是 abˉ,1.1.12aRb,ab,
    同 一 个 , 所 以 b ˉ = a ˉ . 同一个,所以 \bar b = \bar a. bˉ=aˉ.

    定 理 1.1.1 与 定 理 1.1.2 表 明 , 对 一 个 集 合 A , 给 定 等 价 关 系 与 给 定 分 类 , 定理1.1.1与定理1.1.2表明,对一个集合A,给定等价关系与给定分类, 1.1.11.1.2A
    是 同 一 件 事 的 两 种 不 同 表 现 形 式 。 是同一件事的两种不同表现形式。
    比 等 价 关 系 更 进 一 步 的 是 二 元 关 系 是 同 余 关 系 。 比等价关系更进一步的是二元关系是同余关系。
    定 义 1.1.15 设 集 合 A 中 有 二 元 运 算 “ ∘ ” , 如 果 A 的 一 个 等 价 关 系 R 在 该 运 算 下 仍 然 保 持 , 即 {\color{blue}定义1.1.15 \quad}设集合A中有二元运算“\circ”,如果A的一个等价关系R在该运算下仍然保持,即 1.1.15AAR
    a R b , c R d    ⟹    ( a ∘ c ) R ( b ∘ d ) , ∀ a , b , c , d ∈ A \quad aRb, cRd \implies (a \circ c) R (b \circ d), \forall a,b,c,d \in A aRb,cRd(ac)R(bd),a,b,c,dA
    则 称 R 为 A 关 于 运 算 “ ∘ ” 的 一 个 同 余 关 系 。 此 时 , a 所 在 的 等 价 类 a ˉ , 也 叫 作 a 的 同 余 类 。 则称R为A关于运算“\circ”的一个{\color{blue}同余关系}。此时,a所在的等价类 \bar a,也叫作a的{\color{blue}同余类}。 RAaaˉ,a
    例 9 设 Z 为 整 数 集 , 0 = /   m ∈ Z , 在 Z 中 定 义 关 系 R 为 {\color{blue}例9 \quad}设 \mathbb{Z} 为整数集,0 {=}\mathllap{/\,} m \in \mathbb{Z},在\mathbb{Z}中定义关系R为 9Z0=/mZ,ZR
    a R b    ⟺    m ∣ ( a − b ) , \qquad aRb \iff m | (a - b), aRbm(ab),
    则 R 关 于 Z 中 的 加 法 和 乘 法 都 是 同 余 关 系 . 则R关于\mathbb{Z}中的加法和乘法都是同余关系. RZ.
    此 例 中 的 关 系 R , 也 称 为 “ 以 m 为 模 的 模 等 关 系 ” , a R b 在 初 等 整 数 论 中 记 为 此例中的关系R,也称为{\color{blue}“以m为模的模等关系”},aRb在初等整数论中记为 Rm,aRb
    a ≡ b ( m o d m ) , 称 为 “ 对 模 m , a 与 b 模 等 ” 或 “ 模 m , a 与 b 同 余 ” a \equiv b \pmod m,称为“对模m,a与b模等”或“模m,a与b同余” ab(modm),mabmab
    例 10 {\color{blue}例10 \quad} 10 P n × n \mathbb{P}^{n \times n} Pn×n是数域 P \mathbb{P} P上所有 n ( n ≥ 2 ) n(n \geq 2) n(n2)阶方阵的集合,在 P \mathbb{P} P中定义关系R为:
    A R B    ⟺    ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \quad ARB \iff |A| = |B| ARBA=B
    则R关于 P n × n \mathbb{P}^{n \times n} Pn×n中的加法运算不是同余关系,R关于 P n × n \mathbb{P}^{n \times n} Pn×n中的乘法运算是同余关系。设R是集合A中关于运算“ ∘ \circ ”的同余关系,则因同余关系是等价关系,所以可以产生新的集合A/R,又因同余关系在运算“ ∘ \circ ”下仍然保持,所以可以在A/R中产生一种与A中运算“ ∘ \circ ”有联系的运算“ ∘ ˉ \bar \circ ˉ”:
    a ˉ ∘ ˉ b ˉ = a ∘ b ‾ , ∀ a , b ∈ A . \quad \bar a \bar \circ \bar b = \overline{a \circ b}, \forall a, b \in A. aˉˉbˉ=ab,a,bA.
    要说明上面的规定确实是A/R中的一个二元运算,就要说明等号右边的元素,确实是被等号左边有次序的两个元素 a ˉ , b ˉ \bar a, \bar b aˉ,bˉ 唯一确定的。即等价类的运算不仅归结为代表元的运算,而且不依赖于代表元的选择。这当且仅当该等价关系是同余关系时是正确的。作为提示,请读者重温定义1.1.13之前的那句话。

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  • 因子分解与的扩展 一、因子分解 我们知道,整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积; F 上每个次数大于零的可约多项式,都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数和多项式环中元素的最基本...

    因子分解与域的扩展

    一、因子分解

    我们知道,整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积; 域 F 上每个次数大于零的可约多项式,都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数环和多项式环中元素的最基本最重要的性质之一。下面我们将把整数环和多项式环的一些性质推广到更一般通用的环上去。

    1.1 唯一分解环

    环的直和分解将大环分解为小环,使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发,我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论,还需对环作一些限制。既然我们关注是因子,乘法顺序就显得多余且碍事,所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的,故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解,为简化描述,以下将忽略对零元素的讨论。

    和初等数论中一样,若 a = b c a=bc a

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  • 抽象代数——的基本定义和一些例子

    万次阅读 多人点赞 2015-08-28 14:26:33
    群论的基本概念点较多,且各概念点之间关系纵横...1、(group)、(ring)、(field)是抽象代数(abstract algebra)中基本的代数结构(algebraic structures) 2、上述这些代数结构是抽象代数(abstract algebra)的研究对

    群论的基本概念点较多,且各概念点之间关系纵横交错,学习起来颇有本科时初学线性代数时的感觉,觉得有必要整理一下,先梳理一下群的基本定义和例子。
    首先作几点说明:
    1、(group)、(ring)、(field)是抽象代数(abstract algebra)中基本的代数结构(algebraic structures)
    2、上述这些代数结构抽象代数(abstract algebra)的研究对象之一,另一个研究对象是通过研究这些代数结构间的保持运算的映射(态射(morphism))
    3、1872年,F.Klein在被聘为埃尔朗根大学的数学教授的就职演讲中阐述了几何学统一的思想:所谓几何学,就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问,或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量(《埃尔朗根纲领(Erlangen Program)》)

    〇、前置概念

    名称英文名称定义说明
    代数运算Algebra Calculation非空集合S与自己的笛卡尔积 S×S S 的一个映射 在群论中通常是指所谓的二元代数运算
    正交点变换 又称为保距变换(isometry)
    正交矩阵 Orthogonal Matrix AAT=ATA=E
    酉矩阵Unitary Matrix UUH=UHU=En 式中H为共轭转置

    这里写图片描述

    一、群的定义

    1、群的基本定义

    序号定义说明
    1代数运算定义了一个代数运算的非空几何
    2结合律 (ab)c=a(bc),a,b,cG
    3单位元存在律 sG,ea=ae=a,aG
    4逆元存在律 aG,bG,ab=e

    2、 群定义的衍生

    名称英文名称定义说明
    Group满足前述全部4条群的基本定义的非空集合
    半群Semigroup仅满足前述群的基本定义中的前2条的非空集合,即:
    1)定义了集合上的代数运算
    2)适用结合律
    但是,并不要求存在单位元和逆元
    也有地方称为仿群
    幺半群Monoid满足前述群的基本定义中的前3条的非空集合,即:
    1)定义了集合上的代数运算
    2)适用结合律
    3)存在单位元
    但是,并不要求存在逆元
    阿贝尔群Abel Group在满足前述全部4条群的基本定义的前提下,再补充一条:群元素满足交换律 ab=ba,a,bG

    二、群的例子

    1、生活中群的例子

    名称英文名称说明
    平面晶体群Plane Crystallographic Group又被称为贴墙纸群(Wallpaper Group)
    已经G.Polya在1924年完成对平面晶体群的分类:共有17种不同的平面晶体群
    空间晶体群Space Crystallographic GroupFedorov和Schonflies分别独立地证明了空间晶体群共有230个
    魔方群Rubik’s Cube grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group

    2、数集中群的例子

    名称符号定义说明
    整数加群
    实数加群
    n次单位根群 Un Un 的生成元成为复数域中的本原n次单位根(primitive n th root of unity)

    3、几何中群的例子

    中文名称英文名称符号定义说明
    欧几里得群Euclidean Group En n 维空间所有正交点变换的集合 E2 为平面欧氏群 E3 为空间欧氏群
    二面体群Dihedral Group Dn n 边形的对称(性)群,n3

    4、代数中群的例子

    中文名称英文名称符号定义说明
    模n剩余类环 Zm Zm=0,1,2,,m1 该群的生成元是 1¯(i¯=i1¯)
    Zm 的单位群 Zm ’s Group of Units U(Zm)Zm Zm=0,1,2,,m1 该群的生成元是 1¯(i¯=i1¯)
    Zp 的乘法群 Zp 当m为素数p时, Zm 中所有非零元组成的集合对于乘法构成的一个abel群该群是一个abel群
    当m为素数时,根据欧拉定理 Zp 中的所有元素都有逆元(inverse unit)
    一般线性群General Linear Group GLn(F) 域F上所有n级可逆矩阵组成的集合,对于矩阵的乘法所成的群是矩阵群(Matrix Group)的一种
    特殊线性群Special Linear Group SLn(F) 在一般线性群定义的基础上再补充定义,所有的矩阵行列式为1是矩阵群(Matrix Group)的一种
    正交群Orthogonal Group On 实数域上所有n级正交矩阵( AAT=ATA=E )组成的集合是矩阵群(Matrix Group)的一种
    特殊正交群Special Orthogonal Group SOn 在正交群定义的基础上再补充定义,所有的矩阵行列式为1是矩阵群(Matrix Group)的一种
    通常 SOn 被称为n维旋转群(Rotation Group)
    它所指定的旋转对应的旋转轴可以通过求解一个线性方程组的基础解析来计算得到
    酉群Unitary Group Un 复数域上所有n级酉矩阵组成的集合,对于矩阵乘法所成的群
    特殊酉群Special Unitary Group SUn 在酉群定义的基础上再补充定义,所有的矩阵行列式为1
    集合 Ω 的全变换群Full Transformation Group on Set Ω SΩ 非空集合 Ω 到自身的所有双射组成的集合,对于映射的乘法构成的一个群
    n元对称群Symmetric Group on n letters Sn SΩ ,当 Ω 为有限集合时 Sn 具备对称性
    这时其中的每一个元素(是一个双射)被称为 Ω 的一个置换(permutation),对于 Ω 有n个元素的情形,该置换被称为n元置换(permutation on n letters)
    Sn 中引入了r-轮换(r-cycle)的概念;特别的,当r=2时,轮换被称为对换(transposition);并且可以说明:每一个置换都可以表示成一些对换的乘积
    并且对于置换进一步引入了由其等价的对换分解式中的对换的个数的奇偶性确定的奇置换或偶置换
    n元交错群Alternating Group on n letters An Sn 中所有偶置换组成的集合

    References

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