精华内容
下载资源
问答
  • 傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换笔记 最近学到工程测试技术,感到大一学的微积分真的和没学差不多,上课真的很难受,于是上找博文学习,最后总算弄懂了一点,记录下来。 首先体验一个小的实验 x=linspace(0,30,...

    傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换笔记

    最近学到工程测试技术,感到大一学的微积分真的和没学差不多,于是上找博文学习,最后总算弄懂了一点,记录下来。

    首先体验一个小的实验
    wyt

    x=linspace(0,30,1000)
    y1=8/pi*sin(pi/10*x)
    y2=8/3/pi*sin(3*pi/10*x)
    y3=8/5/pi*sin(5*pi/10*x)
    y=y1
    y4=-2*(-1).^(mod(ceil(x/10),2))
    for n=3:2:100 n 
        y=y+8/n/pi*sin(n*pi/10*x)
    end
    plot(x,y,x,y4)
    hold on
    plot([0,30],[0,0],'--')
    

    这里简单的展示了一下傅里叶级数的效果,下面详细的介绍一下三个函数

    Part1 函数的正交

    {1, s i n ( x ) sin(x) sin(x), c o s ( x ) cos(x) cos(x),·····, s i n ( n x ) sin(nx) sin(nx), c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx)}
    这里选择两个个推导

    ∫ − π π c o s n x ∗ c o s n x   d x \int_{-\pi}^\pi{cosnx*cosnx}\,dx ππcosnxcosnxdx

    = ∫ − π π 1 + c o s 2 n x 2   d x =\int_{-\pi}^\pi{\frac{1+cos2nx}{2}}\,dx =ππ21+cos2nxdx

    = π + 1 2 ∫ − π π c o s 2 n x   d x =\pi+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi{cos2nx}\,dx =π+21ππcos2nxdx

    = π =\pi =π

    ∫ − π π c o s n x ∗ s i n m x   d x \int_{-\pi}^\pi{cosnx*sinmx}\,dx ππcosnxsinmxdx

    = ∫ − π π s i n ( n + m ) x + s i n ( m − n ) x 2   d x =\int_{-\pi}^\pi{\frac{sin(n+m)x+sin(m-n)x}{2}}\,dx =ππ2sin(n+m)x+sin(mn)xdx

    = − 1 2 [ c o s ( n + m ) x m + n + c o s ( m − n ) x m − n ] ∣ − π π =-\frac{1}{2}[\frac{cos(n+m)x}{m+n}+\frac{cos(m-n)x}{m-n}]|_{-\pi}^\pi =21[m+ncos(n+m)x+mncos(mn)x]ππ

    = 0 =0 =0

    Part2 傅里叶级数推导

    通过以上的推导可以知道给出的上述函数坐标系是正交的,因此傅里叶级数可以表示为
    f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n c o s n x + ∑ n = 0 ∞ b n s i n n x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ncosnx+\sum_{n=0}^{\infty}b_nsinnx=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) f(x)=n=0ancosnx+n=0bnsinnx=a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

    这与通常书本上的会有一些区别
    f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) f(x)=a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)
    这里书本上除以2主要是为了结构上的一致,通过后面的分析就可以知道,这里先不用管

    通过推导可知
    a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x )   d x a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx a0=2π1ππf(x)dx
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x )   d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)\,dx an=π1ππf(x)cos(nx)dx
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x )   d x b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)\,dx bn=π1ππf(x)sin(nx)dx
    这里便可以看出课本上将 a 0 a_0 a0除以的原因了
    最终得到傅里叶级数
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

    Part3周期为2L的傅里叶级数的展开

    f ( t ) = f ( t + 2 L ) f(t)=f(t+2L) f(t)=f(t+2L)
    换元
    x = π L t ⇒   t = L π x x=\frac{\pi}{L}t\Rightarrow\,t=\frac{L}{\pi}x x=Lπtt=πLx
    则有
    f ( t ) = f ( L π x ) ⇒   g ( x ) f(t)=f(\frac{L}{\pi}x)\Rightarrow\,g(x) f(t)=f(πLx)g(x)
    这里 g ( x ) g(x) g(x)的周期为 2 π 2\pi 2π
    通过Part2的推导可知
    g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) g(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x )   d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx a0=π1ππf(x)dx

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x )   d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)\,dx an=π1ππf(x)cos(nx)dx

    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x )   d x b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)\,dx bn=π1ππf(x)sin(nx)dx

    逆向带回f(t)得到
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n π L t + b n s i n n π L t ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi}{L}t+b_nsin\frac{n\pi}{L}t) f(t)=2a0+n=1(ancosLnπt+bnsinLnπt)

    a 0 = 1 L ∫ − L L f ( t )   d t a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\,dt a0=L1LLf(t)dt

    a n = 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s ( n π L t )   d t a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi}{L}t)\,dt an=L1LLf(t)cos(Lnπt)dt

    b n = 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n ( n π L t )   d t b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi}{L}t)\,dt bn=L1LLf(t)sin(Lnπt)dt

    这里进一步简化,设函数的周期为T
    则有
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosn\omega t+b_nsinn\omega t) f(t)=2a0+n=1(ancosnωt+bnsinnωt)

    a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t )   d t a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt a0=T20Tf(t)dt

    a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t   d t a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cosn\omega t\,dt an=T20Tf(t)cosnωtdt

    b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t   d t b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sinn\omega t\,dt bn=T20Tf(t)sinnωtdt

    Part4 傅里叶级数&&欧拉公式

    傅里叶级数
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosn\omega t+b_nsinn\omega t) f(t)=2a0+n=1(ancosnωt+bnsinnωt)

    a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t )   d t a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt a0=T20Tf(t)dt

    a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t   d t a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cosn\omega t\,dt an=T20Tf(t)cosnωtdt

    b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t   d t b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sinn\omega t\,dt bn=T20Tf(t)sinnωtdt

    欧拉公式
    e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ

    c o s θ = 1 2 ( e i θ + e − i θ ) cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) cosθ=21(eiθ+eiθ)

    s i n θ = − i 2 ( e i θ − e − i θ ) sin\theta=\frac{-i}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) sinθ=2i(eiθeiθ)

    代入可得
    f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ c n e i n w t f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{inwt} f(t)=cneinwt

    c ( n ) = { a 0 2 , n = 0 a n − i b n 2 , n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a − n + i b − n 2 , n = − 1 , − 2 , − 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ c(n)=\begin {cases} \frac{a_0}{2}, & n=0 \\ \frac{a_n-ib_n}{2}, & n=1,2,3,···· \\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2},&n=-1,-2,-3,···· \end {cases} c(n)=2a0,2anibn,2an+ibn,n=0n=1,2,3n=1,2,3
    c 0 = a 0 2 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt c0=2a0=T10Tf(t)dt

    c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − n w t i d t c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-nwti}dt cn=T10Tf(t)enwtidt

    c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − n w t i d t c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-nwti}dt cn=T10Tf(t)enwtidt
    因此 f ( t ) = f ( t + T ) f(t)=f(t+T) f(t)=f(t+T)通过欧拉公式变换的傅里叶级数(傅里叶变换FT)为
    f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ c n e − n w t f(t)=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_ne^{-nwt} f(t)=cnenwt

    c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − n w t i d t c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-nwti}dt cn=T10Tf(t)enwtidt

    Part5 傅里叶变换(FT)

    这里贴一张图
    wyt

    我们经常可以听到傅里叶变换时将时域信号变换到频域信号
    这里引用上一小节的内容

    f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ c n e − n w 0 t f_T(t)=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_ne^{-nw_0t} fT(t)=cnenw0t

    c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − n w 0 t i d t ( w 0 = 2 π T ) c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-nw_0ti}dt \qquad(w_0=\frac{2\pi}{T}) cn=T12T2TfT(t)enw0tidt(w0=T2π)

    对于非周期函数( T → ∞ T\rightarrow \infty T)
    lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) → f ( t ) \lim\limits_{T\rightarrow \infty}f_T(t)\rightarrow f(t) TlimfT(t)f(t)
    此处频域之间的间隔 Δ ω \Delta\omega Δω随T的增大而不断变小,最终 T → ∞ T\rightarrow \infty T Δ w → 0 \Delta w\rightarrow 0 Δw0,这就是是与不连续到频域连续的变换
    于是
    f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n w 0 t d t e i n w 0 t f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-inw_0t}dte^{inw_0t} fT(t)=n=T12T2TfT(t)einw0tdteinw0t

    f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ w 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n w 0 t d t e i n w 0 t ∗ f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-inw_0t}dte^{inw_0t}\qquad * fT(t)=n=2πΔw2T2TfT(t)einw0tdteinw0t

    T → ∞ T\rightarrow \infty T
    ∫ − t 2 t 2 d t = ∫ − ∞ + ∞ d t \int_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}dt 2t2tdt=+dt

    ∑ n = − ∞ ∞ Δ w → ∫ − ∞ + ∞ d ω \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\Delta w \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}d\omega n=Δw+dω
    将上式代入 ∗ * 式得
    f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t   e i w t d w f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dt\,e^{iwt}dw f(t)=2π1++f(t)eiwtdteiwtdw
    这里截取中间的积分
    F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t ( 傅 里 叶 变 换 F T ) F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dt\qquad (傅里叶变换FT) F(ω)=+f(t)eiwtdt(FT)
    f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e i w t d w ( 傅 里 叶 变 换 的 逆 变 化 ) f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{iwt}dw\qquad (傅里叶变换的逆变化) f(t)=2π1+F(ω)eiwtdw()

    Part6离散傅里变换(DFT)

    这里应用前面推导的傅里叶级数

    f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ c n e − n w 0 t f_T(t)=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_ne^{-nw_0t} fT(t)=cnenw0t

    c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − n w 0 t i d t = 1 T ∫ 0 T f T ( t ) e − n w 0 t i d t ( w 0 = 2 π T ) c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-nw_0ti}dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_T(t)e^{-nw_0ti}dt \qquad(w_0=\frac{2\pi}{T}) cn=T12T2TfT(t)enw0tidt=T10TfT(t)enw0tidt(w0=T2π)

    c n = 1 N ∑ n = 0 N − 1 f ( T N n ) e − i 2 π k n N c_n=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(\frac{T}{N}n)e^{-{i\frac{2\pi kn}{N}}} cn=N1n=0N1f(NTn)eiN2πkn
    这里w离散,故将其换成了k
    这里进一步简化为
    c n = 1 N ∑ n = 0 N − 1 Y n W − n k c_n=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}Y_nW^{-nk} cn=N1n=0N1YnWnk
    W = e 2 π N i W=e^{\frac{2\pi}{N}i} W=eN2πi
    Y n = f ( n 2 π N ) Y_n=f(n\frac{2\pi}{N}) Yn=f(nN2π)

    离散傅里叶逆变换
    根据 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e i w t d w f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{iwt}dw f(t)=2π1+F(w)eiwtdw类似推导的
    f ( t ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 Y ( n ) e i 2 π k n N f(t)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}Y(n)e^{i\frac{2\pi kn}{N}} f(t)=N1n=0N1Y(n)eiN2πkn

    快速傅里叶变换

    是离散傅里叶变换的简化
    如果原来计算DFT的复杂度是NN次运算(N代表输入采样点的数量),进行FFT的运算复杂度是Nlg10(N)

    拉普拉斯变换(Laplace Transform)

    傅里叶变换有其固有局限性:必须满足迪利克雷条件

    • 在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;
    • 在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;
    • 在一周期内,信号是绝对可积的

    这里第三点极大的限制了傅里叶变换的应用范围
    因此laplace变换引入了一个补偿因子,使信号衰减 e − σ t e^{-\sigma t} eσt,将原本不满足迪利克雷条件的函数变换为满足
    ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − σ t e − i w t   d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-iwt}\,dt +f(t)eσteiwtdt
    此处令 s = σ + w i s=\sigma +wi s=σ+wi
    则变形为 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − s t d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt +f(t)estdt

    Z变换

    Z变换是基于拉普拉斯变换提出的,不同于拉普拉斯变换的是,Z变换用于分析离散系统,而拉普拉斯变换用于分析连续系统

    这里引入单位冲击函数

    f ( t ) σ T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n T ) σ ( t − n T ) f(t)\sigma_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)\sigma(t-nT) f(t)σT(t)=n=0f(nT)σ(tnT)

    s = i w + σ s=iw+\sigma s=iw+σ

    F s ( s ) = ∫ 0 ∞ [ ∑ n = 0 ∞ f ( n T ) σ ( t − n T ) ] e − s t   d t F_s(s)=\int_{0}^{\infty}[\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)\sigma(t-nT)]e^{-st}\,dt Fs(s)=0[n=0f(nT)σ(tnT)]estdt

    = ∑ n = 0 ∞ f ( n t ) e − s n T =\sum_{n=0}^{\infty}f(nt)e^{-snT} =n=0f(nt)esnT

    z = e s t z=e^{st} z=est
    则上式子变为
    = ∑ n = 0 ∞ f ( n t ) z − n =\sum_{n=0}^{\infty}f(nt)z^{-n} =n=0f(nt)zn

    z = e s t = e ( σ + j w ) T = e σ T e j w t = A ( c o s n w t + i s i n ( w t ) ) = A ( a + i b ) z=e^{st}=e^{(\sigma+jw)T}=e^{\sigma T}e^{jwt}=A(cosnwt+isin(wt))=A(a+ib) z=est=e(σ+jw)T=eσTejwt=A(cosnwt+isin(wt))=A(a+ib)

    e ( σ + j w ) n T = e σ n T e j w n t = A ( c o s w n t + i s i n w n t ) e^{(\sigma+jw)nT}=e^{\sigma nT}e^{jwnt}=A(coswnt+isinwnt) e(σ+jw)nT=eσnTejwnt=A(coswnt+isinwnt)

    z → z n z\rightarrow z^n zzn时相当于打碎了原来的螺旋前进

    展开全文
  • Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)(1) 傅里叶变换定义:表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。傅立叶变换是一种...

    Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)

    (1) 傅里叶变换定义:

    表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波方波锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

    f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

    式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换F(ω)叫做f(t)的像函数f(t)叫做F(ω)的像原函数F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

    ①傅立叶变换

     

    ②傅立叶逆变换

     

    2)拉普拉斯变换定义:

    拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏变换 拉氏变换是一个线性变换,可将一个有参数实数tt≥ 0)的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用,特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

    拉普拉斯变换的公式:

    拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

      

    (式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

     

    3)Z变换定义:

    Z变换(英文:z-transformation)可将时域信号(即:离散时间序列)变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位,如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具,在数字信号处理计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

    双边Z变换

    离散时间序列x[n]的Z变换定义为:

     

    式中  σ为实变数,ω为实变量,所以Z是一个幅度为  ,相位为ω的复变量。x[n]和X(Z)构成一个Z变换对。

    单边Z变换

    通常意义下的Z变换指双边Z变换,单边Z变换只对右边序列(  

    部分)进行Z变换。单边Z变换可以看成是双边Z变换的一种特例,对于因果序列双边Z变换与单边Z变换相同。

    单边Z变换定义 

     

    4)关系和区别:

    傅立叶变换是最基本得变换,由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号,把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积,因此适用范围不广。
       拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广,傅立叶变换不适用于指数级增长的函数,而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换,把频域推广到复频域,能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中,只能看到变量s,没有频率f的概念,要看幅频响应和相频响应,还得令s=j2πf
       Z变换的本质是离散时间傅里叶变换(DTFT),如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号,那Z变换就是专门分析数字信号,Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法,对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应,就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散,则频域周期”,因此离散信号的频谱必定是周期的,就是以这个单位圆为周期,Z在单位圆上不停的绕圈,就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ,单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.

     

     

    总结一下:拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展,傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例z变换是离散的傅里叶变换在复平面上的扩展。


    相关阅读:

    杀死傅里叶变换

    展开全文
  • 这是我考研整理的笔记。基本上涵盖了信号与系统三大变换所有重要的公式。 1.傅里叶变换 2.拉普拉斯变换 3.Z变换 4.三大变换的关系

    这是我考研整理的笔记。基本上涵盖了信号与系统三大变换所有重要的公式。

    1.傅里叶变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    2.拉普拉斯变换

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.Z变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4.三大变换的关系

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 从概念的角度讲了傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换的原理
  • 傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换公式和性质表格...
  • 常见时域函数的拉普拉斯变换Z变换对照表,WORD格式,可随意粘贴、编辑!很好克服了相同下载资源内容冗长收费昂贵的缺点。欢迎各位同仁下载!
  • 1、Z变换在数学和信号处理上,把一连串离散的实数或复数信号,从时域转为频域表示。   2、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换,其符号为。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有引数实数t(t...

    1、Z变换数学信号处理上,把一连串离散的实数或复数信号,从时域转为频域表示。

     

    2、拉普拉斯变换工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换,其符号为\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有引数实数tt ≥ 0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易,但若将实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往在计算上容易得多。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示。

     

    3、傅里叶变换Fourier变换)是一种线性的积分变换。在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。

     

    4、离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform,缩写为DFT),是傅里叶变换时域频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。

     

    5、离散时间傅里叶变换DTFTDiscrete-time Fourier Transform)是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT(其中n \in \mathbb{Z}T采样间隔)作为变量函数离散时间信号f(nT)变换到连续的频域,即产生这个离散时间信号的连续频谱F(e^{i \omega}),值得注意的是这一频谱周期的。

     

     

    关系:

    1、所谓的域就相当于坐标,即用某种坐标衡量系统。

    时域和频域之间使用傅里叶变换和反变换进行转换;

    时域和复频域之间使用拉普拉斯变换和反变换进行转换。

     

    2、fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域;

    laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频域(整个S复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴);

    z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散时间信号(序列)的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果(T为采样周期),所对应的域为复频域(Z平面 单位圆)。

    展开全文
  • 傅立叶变换、拉普拉斯变换Z变换最全攻略.pdf
  • 傅立叶变换和拉普拉斯变换都是积分变换,傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换拉普拉斯变换的离散形式。
  • 傅里叶变换,拉普拉斯变换Z变换

    千次阅读 2018-10-02 22:40:11
    在连续信号和系统中,为了解决这个问题,法国数学家拉普拉斯将信号先乘以一个指数衰减信号e−σte^{-σt}e−σt,然后再进行傅里叶变换。因为指数信号是自然界衰减最快的信号之一,因此将原始信号乘上指数衰减信号...
  • 通俗介绍拉普拉斯变换,傅里叶变换和z变换.pdf
  • 傅里叶、拉普拉斯z变换常用公式合集

    万次阅读 多人点赞 2019-06-27 09:51:23
    傅里叶变换 常用信号的傅里叶变换 傅里叶变换的性质 傅里叶性质—典型变换对 拉普拉斯 常用信号的单边拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 z变换 常用序列的z变换 z变换的性质 ...
  • 拉普拉斯变换z变换

    2020-01-16 11:54:09
    傅里叶级数与傅里叶变换可以说明第一点,现证明第2点: 对任一输入连续信号x(t)=estx(t) = e^{st}x(t)=est,LTI系统的输出为: y(t)=∫−∞+∞h(τ)x(t−τ)dτ=∫−∞+∞h(τ)es(t−τ)dτ=e...
  • z变换拉普拉斯变换 的关系

    千次阅读 2020-06-09 21:27:45
    z变换与拉普拉斯变换 的关系z变换的定义、典型序列的z变换z变换的定义典型序列的z变换单位样值函数单位阶跃序列斜变序列——利用间接方法求解指数序列正弦与余弦序列z变换与拉普拉斯变换 的关系z平面与s平面的映射...
  • 学生角度看傅里叶变换,拉普拉斯变换z变换(一) 学生角度看傅里叶变换,拉普拉斯变换z变换(一) 离散和连续信号的表示 信号的脉冲表示 响应与卷积 傅里叶变换 为什么需要傅里叶变换 ejwtejwte^{jwt}的...
  • 为什么要读书?为什么要读书?书本里,有几千年的哲学观点、有几百年的科学规律、几十年的技术总结。多读书,可以帮助看明白这个世界,看明白人。时域、频域、s域、z域大学《信号与系统》讲了四种域:...
  • 泰勒级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换简单梳理1、 泰勒级数2、傅里叶系列2.1连续周期信号的傅里叶级数 (FS) 时域连续,频域离散2.2 连续傅里叶变换(FT) 时域连续,频域连续2.3离散周期信号的傅里叶级数 (DFS...
  • 文章目录三大变换公式表傅里叶变换F\mathcal{F}F拉普拉斯变换L\mathcal{L}Lz变换Z\mathcal{Z}Z 傅里叶变换F\mathcal{F}F f(t)f(t)f(t) F(ω)F(\omega)F(ω) e−ate^{-at}e−at 1a+jω\frac 1 {a+j\omega}...
  • 傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换(CTFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)。 CTFT是将连续时间信号变换到频域,将频率的含义扩充...而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。(主要用于计算差分方程) 从复平.
  • 注、星标嵌入式客栈,精彩及时送达[导读] 在知乎上看到一个问题,傅里叶变换、拉普拉斯变换Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些变换?我觉得这是一个非常好的问题,貌似一下子也回答不上来,...
  • 1. 拉普拉斯变换   在前面学习非周期信号的傅里叶变换的时候,对一些常见的信号进行了傅里叶变换。其实,不是任何信号都能使用傅里叶变换进行展开,能够使用傅里叶变换的信号需要满足一定的条件才可以。   信号...
  • 通俗介绍拉普拉斯变换,傅里叶变换和z变换
  • 在复习傅里叶变换、拉普拉斯变换Z变换和卷积等知识时,我发现网上有非常非常多的大牛。他们用通俗易懂的语言来讲解这些复杂的知识,使人豁然开朗。 1、连续时间信号的傅里叶级数与傅里叶变换 如果现在还无法理解...
  • 信号与系统考研常见傅立叶变换性质_拉普拉斯变换_Z变换汇总表
  • z变换拉普拉斯变换的关系

    千次阅读 2020-01-03 14:09:38
    通过学习z变换拉普拉斯变换的关系,可以加深对z变换的理解,为进一步学习掌握数字信号处理的技术与方法奠定理论基础。
  • 拉普拉斯变换Z变换

    千次阅读 2018-08-30 17:12:48
    转载 https://wenku.baidu.com/view/22a5ebe35901020206409c2d.html

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 3,389
精华内容 1,355
关键字:

拉普拉斯变换z变换