傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换笔记
 
 
 
最近学到工程测试技术，感到大一学的微积分真的和没学差不多，于是上找博文学习，最后总算弄懂了一点，记录下来。
 
 
首先体验一个小的实验
 
 
x=linspace(0,30,1000)
y1=8/pi*sin(pi/10*x)
y2=8/3/pi*sin(3*pi/10*x)
y3=8/5/pi*sin(5*pi/10*x)
y=y1
y4=-2*(-1).^(mod(ceil(x/10),2))
for n=3:2:100 n 
    y=y+8/n/pi*sin(n*pi/10*x)
end
plot(x,y,x,y4)
hold on
plot([0,30],[0,0],'--')
 
这里简单的展示了一下傅里叶级数的效果，下面详细的介绍一下三个函数
 
Part1 函数的正交
 
{1,$sin(x)$,$cos(x)$,·····,$sin(nx)$,$cos(nx)$}
 这里选择两个个推导
 
${\int }_{-\pi }^{\pi }cosnx\ast cosnxdx$
 
$={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1+cos2nx}{2}dx$
 
$=\pi +\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx$
 
$=\pi$
 
${\int }_{-\pi }^{\pi }cosnx\ast sinmxdx$
 
$={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{sin(n+m)x+sin(m-n)x}{2}dx$
 
$=-\frac{1}{2}[\frac{cos(n+m)x}{m+n}+\frac{cos(m-n)x}{m-n}]{|}_{-\pi }^{\pi }$
 
$=0$
 
Part2 傅里叶级数推导
 
 
 
通过以上的推导可以知道给出的上述函数坐标系是正交的，因此傅里叶级数可以表示为
 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}cosnx+{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n}sinnx=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
 
 
 
 
这与通常书本上的会有一些区别
 $f(x)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
 这里书本上除以2主要是为了结构上的一致，通过后面的分析就可以知道，这里先不用管
 
 
通过推导可知
 $a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$
 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx$
 $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx$
 这里便可以看出课本上将$a_0$除以的原因了
 最终得到傅里叶级数
 $f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
 
Part3周期为2L的傅里叶级数的展开
 
$f(t)=f(t+2L)$
 换元
 $x=\frac{\pi }{L}t\Rightarrow t=\frac{L}{\pi }x$
 则有
 $f(t)=f(\frac{L}{\pi }x)\Rightarrow g(x)$
 这里$g(x)$的周期为$2\pi$
 通过Part2的推导可知
 $g(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$
 
$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$
 
$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx$
 
$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx$
 
逆向带回f(t)得到
 $f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi }{L}t+b_{n}sin\frac{n\pi }{L}t)$
 
$a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dt$
 
$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi }{L}t)dt$
 
$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi }{L}t)dt$
 
这里进一步简化，设函数的周期为T
 则有
 $f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t)$
 
$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$
 
$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn\omega tdt$
 
$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn\omega tdt$
 
Part4 傅里叶级数&&欧拉公式
 
傅里叶级数
 $f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn\omega t+b_{n}sinn\omega t)$
 
$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$
 
$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cosn\omega tdt$
 
$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sinn\omega tdt$
 
欧拉公式
 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$
 
$cos\theta =\frac{1}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })$
 
$sin\theta =\frac{-i}{2}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })$
 
代入可得
 $f(t)={\sum }_{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{inwt}$
 
$$c(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{2},& n=0\\ \frac{a_n-i{b}_n}{2},& n=1,2,3，\cdot \cdot \cdot \cdot \\ \frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2},& n=-1,-2,-3，\cdot \cdot \cdot \cdot \end{array}$$
 $c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$
 
$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-nwti}dt$
 
$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-nwti}dt$
 因此$f(t)=f(t+T)$通过欧拉公式变换的傅里叶级数(傅里叶变换FT)为
 $f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{-nwt}$
 
$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-nwti}dt$
 
Part5 傅里叶变换（FT）
 
这里贴一张图
 
 
 
 
我们经常可以听到傅里叶变换时将时域信号变换到频域信号
 这里引用上一小节的内容
 
 
$f_T(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{-n{w}_{0}t}$
 
$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-n{w}_{0}ti}dt(w_0=\frac{2\pi }{T})$
 
对于非周期函数($T\to \infty$)
 $\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T(t)\to f(t)$
 此处频域之间的间隔$\Delta \omega$随T的增大而不断变小，最终$T\to \infty$时$\Delta w\to 0$,这就是是与不连续到频域连续的变换
 于是
 $f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-in{w}_{0}t}dt{e}^{in{w}_{0}t}$
 
$f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{\Delta w}{2\pi }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-in{w}_{0}t}dt{e}^{in{w}_{0}t}\ast$
 
$T\to \infty$
 ${\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }dt$
 
$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Delta w\to {\int }_{-\infty }^{+\infty }d\omega$
 将上式代入$\ast$式得
 $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iwt}dt{e}^{iwt}dw$
 这里截取中间的积分
 $F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iwt}dt(傅里叶变换FT)$
 $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{iwt}dw(傅里叶变换的逆变化)$
 
Part6离散傅里变换（DFT）
 
这里应用前面推导的傅里叶级数
 
$f_T(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{-n{w}_{0}t}$
 
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-n{w}_{0}ti}dt=\frac{1}{T}{\int }_0^T{f}_T(t)e^{-n{w}_{0}ti}dt(w_0=\frac{2\pi }{T})$$
 
$c_n=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}f(\frac{T}{N}n)e^{-i\frac{2\pi kn}{N}}$
 这里w离散，故将其换成了k
 这里进一步简化为
 $c_n=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{Y}_n{W}^{-nk}$
 $W=e^{\frac{2\pi }{N}i}$
 $Y_n=f(n\frac{2\pi }{N})$
 
离散傅里叶逆变换
 根据$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{iwt}dw$类似推导的
 $f(t)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}Y(n)e^{i\frac{2\pi kn}{N}}$
 
快速傅里叶变换
 
 
 
是离散傅里叶变换的简化
 如果原来计算DFT的复杂度是NN次运算（N代表输入采样点的数量），进行FFT的运算复杂度是Nlg10(N)
 
 
拉普拉斯变换（Laplace Transform）
 
傅里叶变换有其固有局限性:必须满足迪利克雷条件
 
 
 
在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
在一周期内，信号是绝对可积的
 
 
这里第三点极大的限制了傅里叶变换的应用范围
 因此laplace变换引入了一个补偿因子，使信号衰减$e^{-\sigma t}$,将原本不满足迪利克雷条件的函数变换为满足
 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-\sigma t}{e}^{-iwt}dt$
 此处令$s=\sigma +wi$
 则变形为${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$
 
Z变换
 
 
 
Z变换是基于拉普拉斯变换提出的，不同于拉普拉斯变换的是，Z变换用于分析离散系统，而拉普拉斯变换用于分析连续系统
 
 
这里引入单位冲击函数
 
$f(t){\sigma }_T(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }f(nT)\sigma (t-nT)$
 
$s=iw+\sigma$
 
$F_s(s)={\int }_0^{\infty }[{\sum }_{n=0}^{\infty }f(nT)\sigma (t-nT)]e^{-st}dt$
 
$={\sum }_{n=0}^{\infty }f(nt)e^{-snT}$
 
令$z=e^{st}$
 则上式子变为
 $={\sum }_{n=0}^{\infty }f(nt)z^{-n}$
 
$z=e^{st}=e^{(\sigma +jw)T}=e^{\sigma T}{e}^{jwt}=A(cosnwt+isin(wt))=A(a+ib)$
 
$e^{(\sigma +jw)nT}=e^{\sigma nT}{e}^{jwnt}=A(coswnt+isinwnt)$
 
当$z\to z^n$时相当于打碎了原来的螺旋前进

Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)

（1） 傅里叶变换定义：
表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
①傅立叶变换
 
②傅立叶逆变换
 
（2）拉普拉斯变换定义：
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
拉普拉斯变换的公式：
拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式
  
(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。
 
（3）Z变换定义：
Z变换（英文：z-transformation）可将时域信号（即：离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。
双边Z变换
离散时间序列x[n]的Z变换定义为：
 
式中  ，σ为实变数，ω为实变量，所以Z是一个幅度为  ，相位为ω的复变量。x[n]和X(Z)构成一个Z变换对。
单边Z变换
通常意义下的Z变换指双边Z变换，单边Z变换只对右边序列（  
部分）进行Z变换。单边Z变换可以看成是双边Z变换的一种特例，对于因果序列双边Z变换与单边Z变换相同。
单边Z变换定义为 ：
 
（4）关系和区别：
傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。
   拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πf
   Z变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.
 
 
总结一下：拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例，z变换是离散的傅里叶变换在复平面上的扩展。


相关阅读：
杀死傅里叶变换

这是我考研整理的笔记。基本上涵盖了信号与系统三大变换所有重要的公式。
 
1.傅里叶变换
 

 
 
 
2.拉普拉斯变换
 
 
 
3.Z变换
 

 
 
4.三大变换的关系
 

 
1、Z变换在数学和信号处理上，把一连串离散的实数或复数信号，从时域转为频域表示。
 
 
 
 
 
2、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t ≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示。
 
 
 
 
 
3、傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
 
 
 
 
 
4、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
 
 
 
 
 
5、离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete-time Fourier Transform）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间（其中，为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。
 
 
 
 
 
 
 
 
关系：
 
 
1、所谓的域就相当于坐标，即用某种坐标衡量系统。
 
 
时域和频域之间使用傅里叶变换和反变换进行转换；
 
 
时域和复频域之间使用拉普拉斯变换和反变换进行转换。
 
 
 
 
 
2、fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；
 
 
laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频域（整个S复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；
 
 
z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散时间信号(序列)的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为复频域(Z平面 单位圆)。