拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换在整个学习过程中一般出现在大题中，这也是信号与系统中比较重要的知识点，下来我们学习一下相关内容。

在这里主要探讨的是部分分式展开法。
$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0},m<n且为真分式$$

方程A(s)=0称为特征方程，它的根为特征根，也称为F(s)的固有频率。
n个特征根$p_i$称为F(s)的极点。

我们根据特征根可以分为三种情况。

(1)F(s)有单极点(特征根为单根)

$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{K_i}{s-p_i}+\cdots +\frac{K_n}{s-p_n}$$
又因为
$$e^{p_{i}t}\epsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{s-p_i}$$

$$f(t)={\sum }_{i=1}^n{K}_i{e}^{p_{i}t}\epsilon (t)$$

$$K_i=(s-p_i)F(s){\mid }_{s=p_i}$$
我们来举个例子,已知$F(s)=\frac{10(s+2)(s+5)}{s(s+1)(s+3)}$，求f(t)。

$$F(s)=\frac{K_1}{s}+\frac{K_2}{s+1}+\frac{K_2}{s+3}$$
$$K_1=sF(s){\mid }_{s=0}=\frac{100}{3}$$
$$K_2=(s+1)F(s){\mid }_{s=-1}=-20$$
$$K_3=(s+3)F(s){\mid }_{s=-3}=-\frac{10}{3}$$
所以F(s)=$\frac{100}{3s}-\frac{20}{s+1}-\frac{10}{3(s+3)}$

由此可得f(t)=$(\frac{100}{3}-20e^{-t}-\frac{10}{3}{e}^{-3t})\epsilon (t)$

(2)F(s)有共轭单极点(共轭单根)

A(s)=0有复数根，$p_{1,2}=-\alpha \pm j\beta$。

复数根的求解：
$$△=(4ac-2b)i^2$$
$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-2b}}{2a}$$

$$F(s)=\frac{K_1}{s+\alpha -j\beta }+\frac{K_2}{s+\alpha +j\beta }$$
$$K_1=[(s+\alpha -j\beta )F(s)]{\mid }_{s=-\alpha +j\beta }=\left|K_1\right|e^{j\theta }=C+jD$$
$$K_2=C-jD$$
$$f(t)=2e^{-\alpha t}[C\cos (\beta t)-D\sin (\beta t)]\epsilon (t)$$
$所以只需要求得复数根\alpha 与\beta ，再求K_1得到C与D可以求出f(t).$

(3)F(s)有重极点(重根)

$若A(s)=0在s=p_i处有r重根$
$$F(s)=\frac{K_{11}}{(s-p_1{)}^r}+\frac{K_{12}}{(s-p_1{)}^{r-1}}+\cdots +\frac{K_{1r}}{(s-p_1)}$$
$$K_{11}=(s-p_1{)}^{r}F(s){\mid }_{s=p_1}$$
$$K_{12}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[(s-p_1{)}^{r}F(s)]{\mid }_{s=p_1}$$
$$K_{13}=\frac{1}{(i-1)!}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{i}-1}}{\mathrm{d}{s}^{i-1}}[(s-p_1{)}^{r}F(s)]{\mid }_{s=p_1}$$
举个例子，已知F(s)=$\frac{s-2}{s(s+1{)}^3}$,求f(t)。

$$F(s)=\frac{K_{11}}{(s+1{)}^3}+\frac{K_{12}}{(s+1{)}^2}+\frac{K_{13}}{(s+1)}+\frac{K_4}{s}$$
$$F_a(s)=(s+1{)}^{3}F(s)=\frac{s-2}{3}$$
$$K_{11}=F_a(s){\mid }_{s=-1}=3$$
$$K_{12}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}{F}_a(s){\mid }_{s=-1}=2$$
$$K_{13}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{s}^2}{F}_a(s){\mid }_{s=-1}=2$$
$$K_4=sF(S){\mid }_{s=0}=-2$$
$$所以F(s)=\frac{3}{(s+1{)}^3}+\frac{2}{(s+1{)}^2}+\frac{2}{(s+1)}-\frac{2}{s}$$

已知$$\frac{1}{(n-1)!}{t}^{n-1}{e}^{p_{1}t}\epsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{(s-p_1{)}^n}$$
所以
$$f(t)=(\frac{3}{2}{t}^2{e}^{-t}+2t{e}^{-t}+2e^{-t}-2)\epsilon (t)$$
拉普拉斯逆变换一般用在大题中根据微分方程求解出y(t)以及系统函数h(t)。

s域系统分析

$$Y(s)=Y_{zi}(s)+Y_{zs}(s)=\frac{M(s)}{A(s)}+\frac{B(s)}{A(s)}F(s)$$

(1)举个例子，已知

$$y^{{}^{\prime \prime }}(t)+5y^{{}^{\prime }}(t)+6y(t)=2f^{{}^{\prime }}(t)+6f(t)$$
已知初始状态$y(0_{-})=1,y^{{}^{\prime }}(0_{-})=-1,$激励$f(t)=5\cos t\epsilon (t)$.求y(t)。

$$因为f(t)=5\cos t\epsilon (t)是因果信号，所以t<0时，f(t)=0$$
根据时域微分特性：$$s^{2}Y(s)-sy(0_{-})-y^{{}^{\prime }}(0_{-})+5[sY(s)-y(0_{-})]+6Y(s)=2[sF(s)-f(0_{-})]+6F(s)$$
$$Y(s)(s^2+5s+6)=sy(0_{-})+y^{{}^{\prime }}(0_{-})+5y(0_{-})+(2s+6)F(s)$$
$$Y(s)=\frac{sy(0_{-})+y^{{}^{\prime }}(0_{-})+5y(0_{-})}{s^2+5s+6}+\frac{2(s+3)}{s^2+5s+6}F(s)$$
之后求出F(s)的拉普拉斯变换，再通过部分分式展开法表示出Y(s)，进而可以求出y(t)。

(2)我们再以这个例题为准，假如初始值给的是$y(0_{+})=1,y^{{}^{\prime }}(0_{+})=9$

$$我们需要求出y(0_{-})与y^{{}^{\prime }}(0_{-})$$
$$y(0_{+})=y_{zi}(0_{+})+y_{zs}(0_{+})$$
$$因为y_{zs}(0_{-})=0,所以y(0_{-})=y_{zi}(0_{-}),而y_{zi}(0_{-})=y_{zi}(0_{+})$$
所以$$y(0_{-})=y_{zi}(0_{+})=y(0_{+})-y_{zs}(0_{+})$$
$$y(0_{-})=y(0_{+})-y_{zs}(0_{+})$$

所以根据题目所给的信息，我们可以得到

$$y_{zs}(t)=-4e^{-2t}\epsilon (t)+2[2\cos (t)+\sin (t)]\epsilon (t)$$
$$y_{zs}(0_{+})=-4+2\times 2=0,y_{zs}^{{}^{\prime }}(0_{+})=6$$
$$y(0_{-})=y_{zi}(0_{+})=y(0_{+})-y_{zs}(0_{+})=1-0=1$$
$$y^{{}^{\prime }}(0_{-})=y_{zi}^{{}^{\prime }}(0_{+})=y^{{}^{\prime }}(0_{+})-y_{zs}^{{}^{\prime }}(0_{+})=9-6=3$$

(3)系统函数H(s)

系统函数是指系统零状态响应的拉氏变换和激励的拉氏变换之比，它与激励，初始状态等都无关，只与系统的结构，元件参数等有关。
$$H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}$$
举个例子，已知
$$f(t)=e^{-t}\epsilon (t)$$
$$y_{zs}(t)=(3e^{-t}-4e^{-2t}+e^{-3t})\epsilon (t)$$
求冲激响应与微分方程。

$$H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}=\frac{2s+8}{s^2+5s+6}$$
$$我们可以根据H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}求解微分方程。$$
$$s^2{Y}_{zs}(s)+5s{Y}_{zs}(s)+6Y_{zs}(s)=2sF(s)+8F(s)$$
$$取逆变换可得：y_{zs}^{{}^{\prime \prime }}(t)+5y_{zs}^{{}^{\prime }}(t)+6y_{zs}(t)=2f^{{}^{\prime }}(t)+8f(t)$$
$$所以其微分方程为：：y^{{}^{\prime \prime }}(t)+5y^{{}^{\prime }}(t)+6y(t)=2f^{{}^{\prime }}(t)+8f(t)$$

【 1. 查表法 】

• 例：
  

【 2. 部分分式展开法 】

1. F(s)有单极点（特征根为单根）

• 系数 K_i 的求解：

2. F(s)有共轭单极点（特征根为共轭单根）

• 例：