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  • 拉普拉斯变换到z变换
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    2020-01-16 11:54:09

    LTI系统对复指数信号对响应

    傅里叶分析的重要价值在于:
    1)相当广泛的信号都能用复指数信号的线性组合来表示;
    2)LTI系统对复指数的响应同样是一个复指数。
    傅里叶级数与傅里叶变换可以说明第一点,现证明第2点:
    对任一输入连续信号 x ( t ) = e s t x(t) = e^{st} x(t)=est,LTI系统的输出为:
    y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e s ( t − τ ) d τ = e s t ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau y(t)=+h(τ)x(tτ)dτ=+h(τ)es(tτ)dτ=est+h(τ)esτdτ
    y ( t ) = H ( s ) e s t H ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ {\boxed{y(t) = H(s)e^{st} \qquad H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau}} y(t)=H(s)estH(s)=+h(τ)esτdτ
    同样可证,对于任一输入离散信号 x [ n ] = z n x[n] = z^n x[n]=zn
    y [ n ] = H ( z ) z n H ( z ) = ∑ k = − ∞ + ∞ h [ k ] z − k {\boxed{y[n] = H(z)z^n \qquad H(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}}} y[n]=H(z)znH(z)=k=+h[k]zk

    回顾傅里叶变换

    连续时间傅里叶变换
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( j w ) e j w t d w X ( j w ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j w t d t {\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw \qquad X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt}} x(t)=2π1+X(jw)ejwtdwX(jw)=+x(t)ejwtdt
    离散时间傅里叶变换
    x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j w ) e j w n d w X ( e j w ) = ∑ n = ∞ x [ n ] e − j w n {\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw \qquad X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}} x[n]=2π12πX(ejw)ejwndwX(ejw)=n=x[n]ejwn

    拉普拉斯变换

    连续时间傅里叶变换提供了将信号表示为形如 e s t , s = j w e^{st}, s=jw est,s=jw的线性组合,然而LTI系统对复指数信号的响应不局限于纯虚数的情况,这就导致了连续时间傅里叶变换的推广,称为拉普拉斯变换。
    回顾 H ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau H(s)=+h(τ)esτdτ
    s = j w , X ( j w ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j w t d t s=jw, X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt s=jw,X(jw)=+x(t)ejwtdt,即傅里叶变换;
    s s s为一般复变量时, X ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt X(s)=+x(t)estdt,即拉普拉斯变换。

    • 例:求信号 x ( t ) = e − a t u ( t ) x(t) = e^{-at}u(t) x(t)=eatu(t)的拉普拉斯变换
      前面已知,该信号的傅里叶变换为 X ( j w ) = 1 j w + a , a > 0 X(jw) = \frac 1{jw+a},a>0 X(jw)=jw+a1,a>0
      其拉普拉斯变换为: X ( s ) = ∫ 0 ∞ e − ( s + a ) t d t = 1 s + a = 1 σ + a + j w , R e ( s ) > − a X(s) = \int_0^{\infty}e^{-(s+a)t}dt=\frac 1{s+a}=\frac 1{\sigma+a+jw}, Re(s)>-a X(s)=0e(s+a)tdt=s+a1=σ+a+jw1,Re(s)>a
      在求拉普拉斯变换时,需要给出变换的代数表示式以及ROC(收敛域)。
      x ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d s X ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − s t d t {\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds \qquad X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st}dt}} x(t)=2πj1σjσ+jX(s)estdsX(s)=+x(t)estdt

    z变换

    上述讨论了连续时间傅里叶变换的推广称为拉普拉斯变换,而离散时间傅里叶变换的推广称为z变换。
    x [ n ] = 1 2 π j ∮ X ( z ) z n − 1 d z X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n {\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz \qquad X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}} x[n]=2πj1X(z)zn1dzX(z)=n=+x[n]zn

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  • 拉普拉斯变换Z变换

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    文章目录拉普拉斯变换 摘自 《The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing》 信号处理中常采用卷积和傅里叶分析两种方法来分析线性系统,从它的脉冲响应或频率响应两个方面去理解线性系统...

    摘自 《The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing》

    信号处理中常采用卷积和傅里叶分析两种方法来分析线性系统,从它的脉冲响应或频率响应两个方面去理解线性系统。但是考虑到脉冲响应和频率响应几乎可以是任何形状或形式,这两种方法对于分析线性系统而言有点过于通用了。在工程应用中,许多线性系统的解是与微分方程的解相一致的,这意味着它们的脉冲响应只能由指数和正弦组成。

    拉普拉斯变换

    理解公式

    为了便于理解,可以将拉普拉斯变换解释为两阶段过程(先是指数曲线相乘,然后进行傅里叶变换),但是需要明确,拉普拉斯变换实际是一个单一的变换,而不是一步一步的过程。

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    图例

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    判断系统 稳定 与否

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    使用不同的衰减因子来“探测”波形

    拉普拉斯变换可以看作是“探测”具有各种指数衰减正弦曲线的系统脉冲响应,产生抵消的探测波形称为极点和零点。
    在这里插入图片描述

    零点、极点的重要性

    极点和零点很重要是因为它们提供了s平面中任意点的值的简明表示,也就是说,我们只需使用几个参数就可以完全描述系统的特性。

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    Z变换

    S平面与Z平面

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  • 1. 拉普拉斯变换   在前面学习非周期信号的傅里叶变换的时候,对一些常见的信号进行了傅里叶变换。其实,不是任何信号都能使用傅里叶变换进行展开,能够使用傅里叶变换的信号需要满足一定的条件才可以。   信号...

    1. 拉普拉斯变换

      在前面学习非周期信号的傅里叶变换的时候,对一些常见的信号进行了傅里叶变换。其实,不是任何信号都能使用傅里叶变换进行展开,能够使用傅里叶变换的信号需要满足一定的条件才可以。
      信号能够使用傅里叶变换需要满足 狄利赫里条件
    在这里插入图片描述
      对于一些不收敛的函数,是没有办法对其进行傅里叶变换的,这个时候,就需要对傅里叶变换进行升级。也就是拉普拉斯变换。
      拉普拉斯变换的思路就是将不收敛的函数将其掰弯,让相乘之后的函数能够收敛。对原始的信号乘上一个复指数信号。
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      现在再对相乘之后的信号进行傅里叶变换。
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    拉普拉斯变换的物理意义

      傅里叶变换可以看作是一个旋转矢量在单位圆上旋转。
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      而对于拉普拉斯变换,对其在前面乘以了一个复指数,也就是相当于改变了旋转矢量的幅度。也就是在旋转矢量不在是在单位圆上进行旋转。
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    2 Z变换

      对于离散的傅里叶变换DTFT,将离散的信号分解到一些列离散的复指数信后时。但是不是所有信号都能进行DTFT,此时需要采取跟拉普拉斯变换相同的操作,对其乘一个量,让其能够衰减。
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      若是能够正常进行DTFT的变换的信号,其可以看作是一系列在单位圆上旋转的离散的旋转矢量。
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      对于不收敛的信号,也需要对其乘上一个变量让其收敛,这也就相当于改变了旋转矢量的幅度。
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      因此DTFT就可以变成Z变换了。
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    Z 变换的收敛域

      对于一个连续的信号,其旋转矢量是一个以时间t为变量的。而对于离散的旋转矢量,它只有离散的取值,它的角速度其实是一个归一化的角速度,也就是信号的原始频率相较于采样频率的归一化。
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      Z变换的收敛域就相当于将函数的收敛的圆的大小进行了改变。
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    3. Z变换在数字信号处理当中的作用

    3.1 Z 变换的性质

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    • 延时特性
        在时域中的延时,相当于在Z域中乘以一个Z的负几次方。
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    3.2 系统的表示

      对于一个离散的系统,可以有三种表示方法:

    • 时域中用卷积的方式来表:
      通过将输入的信号与系统的单位冲击响应进行卷积就能够表示输出系统,这个系统的单位冲击响应就能来表示系统。
    • 频域中用系统的傅里叶变换来表示
    • Z域中用Z变换来表示一个系统
      在这里插入图片描述
      参考:

    深入浅出数字信号处理

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    为什么要读书?

    为什么要读书?

    书本里,有几千年的哲学观点、有几百年的科学规律、几十年的技术总结。

    多读书,可以帮助看明白这个世界,看明白人。

    时域、频域、s域、z域

    大学《信号与系统》讲了四种域:时域、频域、s域、z域。

    本质上,频域、s域、z域,都是从时域变换到频域。

    时域:

    连续信号:x(t)

    离散信号:x[n]

    频域:

    连续信号:X(jw)

    离散信号:X(e^jw)

    转换关系

    时域与频域:傅里叶变换

    时域与s域:拉普拉斯变化

    时域与z域:z变换

    频域与s域:jw = s

    频域与z域:e^jw = z

    为何傅里叶变换?

    为什么时域要变化到频域?

    当信号从时域变换到频域后。可以观察到很多时域看不到的现象。特别是很多在时域看似不可能的数学操作,在频域反而so easy࿰

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