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[导读] 在知乎上看到一个问题，傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？我觉得这是一个非常好的问题，貌似一下子也回答不上来，所以整理学习并分享一下。

什么是数学变换？

要理解这些变换，首先需要理解什么是数学变换！如果不理解什么是数学变换的概念，那么其他的概念我觉得也没有理解。

数学变换是指数学函数从原向量空间在自身函数空间变换，或映射到另一个函数空间，或对于集合X到其自身（比如线性变换）或从X到另一个集合Y的可逆变换函数。比如(图片来源wikipedia)：

数学中还有很多其他的数学变换，其本质都可以看成是将函数f(x)利用变换因子进行的一种数学映射，其变换结果是函数的自变量有可能还是原来的几何向量空间，或许会变成其他的几何向量空间，比如傅立叶变换就从时域变换为频域。

而傅立叶变换和拉普拉斯变换的本质都是对连续或有限个第一类间断点函数的一种积分变换，那么什么是积分变换呢？

什么是积分变换？

积分变换通过对原函数对映射函数空间自变量在特定区间进行积分运算，将函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间。这样一来，其中原始函数的某些属性在映射函数空间可能比原始函数空间更容易表征或分析。通常可以使用逆变换将变换后的函数映射回到原函数空间，这样的变换称为可逆变换。

假定对于函数为自变量t的函数f(t)，通常积分变换都具有如下类似的范式：
$$(Tf)(u)={\int }_{t1}^{t2}f(t)K(t,u)dt$$
函数f(t)是该变换的输入，(Tf)(u)为变换的输出，因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数K(t,u)称为积分核函数(kernel function)。

这里有一个对称核函数的概念，这是什么意思呢？就是将函数K的两个自变量交换位置仍然相等：
$$K(t,u)=K(u,t)$$

有的变换可逆，这是什么概念呢？就是变换后通过逆变换，还能还原！
$$f(t)={\int }_{u_1}^{u_2}(Tf)(u)K^{-1}(u,t)du$$

观察正变换与逆变换，你会发现：

• 核函数刚好两个自变量交换位置
• 正变换是对原函数f(t)在时间维度上进行积分
• 逆变换是在变换后的函数在u维度上进行积分

什么是傅立叶级数？

在谈傅立叶变换之前，先谈谈傅立叶级数会更容易理解傅立叶变换。在数学中，傅里叶级数（Fourier series）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式的说法是，它能将任何周期性函数或周期性信号分解成一个（可能由无穷个频率分量组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数），从数学的定义来看：

设f(t)是一周期信号,假定其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的，就是：
$${\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|dt<\infty$$
则，可以将f(t)展开为傅立叶级数。怎么展开呢？计算如下：
$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(k\omega )e^{jk\omega t}$$

而傅立叶级数的系数由下式计算：
$$F(k\omega )=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jk\omega t}dt$$
对于f(t),利用欧拉公式还可以写成正弦函数与余弦函数的和，这里就不写了。欧拉公式如下：
$$e^{jt}=cos(t)+jsin(t)$$
公式中的k表示第k次谐波，这是个什么概念呢？不容易理解，看下对于一个方波的前4次谐波合成动图就比较好理解了。这里合成的概念是指时域上的叠加的概念，图片来源wikipedia

从上图可以直观看出，周期性方波，可以看成多次谐波的线性叠加，其幅度谱图，是一根根离散的谱线，且幅度值越来越低，从这个角度可以看出高次谐波的分量，占比越来越小。其谱线的位置为：

• 第一根为：${\omega }_1=\frac{2\pi }{T}$
• 第二根为：${\omega }_2=2\times \frac{2\pi }{T}$
• 第n根为：${\omega }_n=n\times \frac{2\pi }{T}$

其谱线的间隔为：$\omega =\frac{2\pi }{T}$

应用：这里可以联想到我们的电子系统中的时钟信号，做硬件的朋友或有经验，在做EMC的辐射测试时，发现产品电路板在某些频点超标，有经验的同学会很快定位到辐射源。其实这里大概率就是因为周期性的时钟信号造成的，从频率的角度可以看成是其基频的多次谐波的线性叠加，而某个谐波分量在电路线路尺寸满足辐射条件时，就从电路板上脱逸而出，变为电磁波能量向空间传播。所以反向去查该频率可能对应的周期性时钟信号的基频就能很快定位到辐射源，从而解决问题。

说到傅立叶级数是周期性信号可以用傅立叶级数展开，那么是不是任一周期性信号都可以进行傅立叶级数展开呢？答案是否定的，必须满足著名的狄利克雷(Dirichlet)条件：

• 在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目需要是有限个数
• 在一周期内，极大值和极小值的数目是有限个数的
• 在一周期内，信号或者函数是绝对可积分的。见前文公式。

什么是傅立叶变换？

前面说了傅立叶级数，接下来再看傅立叶变换。傅立叶变换之所以称为傅立叶变换，是由于1822年，法国数学家傅立叶(J.Fourier) 在研究热传导理论时首次证明了将周期函数展开为傅立叶级数的理论，并进而不断发展成为一个有力的科研分析工具。

假定周期性信号周期T逐渐变大，则谱线间间隔将逐渐变小，如果外推周期T无限放大，变成无穷大，则信号或者函数就变成非周期信号或函数了，此时谱线就变成连续的了，而非一根一根离散的谱线！那么傅立叶变换正是这种一般性的数学定义：

对于连续时间信号f(t)，若f(t)在时间维度上可积分，（实际上并不一定是时间t维度，这里可以是任意维度，只需在对应维度空间可积分即可），即：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|dt<\infty$$

那么，x(t)的傅立叶变换存在，且其计算式为：
$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

其反变换为：
$$f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$$
前文说傅立叶变换本质上也是一种连续函数的积分变换，那么从上面公式，可以看出傅立叶变换的核函数为：
$$K(t,\omega )=e^{j\omega t}$$
其核函数的两个自变量为t,$\omega$ ，对于$\omega$一般称为角速度(可以形象的理解为旋转运动的快慢)，是表征频率空间的。

上面这两个公式是啥意思呢？在度量空间可积可以理解成其在度量空间能量有限，也即对其自变量积分（相当于求面积)是一个确定值，那么这样的函数或者信号就可以进行傅立叶变换展开，展开得到的$F(j\omega )$就变成是频域的函数了，如果对频率$\omega$将函数值绘制出曲线就是我们所说的频谱图，而其逆变换就比较好理解了，如果我们知道一个信号或者函数谱密度函数$F(j\omega )$，就可以对应还原出其时域的函数，也能绘制出时域的波形图。

傅立叶变换公式，从理解的角度，可以看成无限多无穷小的能量之和，而傅立叶级数也是各谐波分量的加和，所不同的是，前者相对于频率变量是连续的，而后者相对于频率则是离散的！

当然，本文限定讨论时域信号是因为我们电子系统中的应用最为普遍的就是一个时域信号。推而广之，其他的多维度信号也能利用上面定义进行推广，同样在多维空间信号也非常有应用价值，比如2维图像处理、3维图像重建等等。

傅立叶级数与变换的区别？

• 傅立叶级数对应的是周期信号，而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号（不一定是周期信号）
• 傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限，而后者则要求在整个区间能量有限
• 傅立叶级数的对应$\omega$是离散的，而傅立叶变换则对应$\omega$是连续的。

故而，两者的物理含义不同，且其量纲也是不同的，$F(jk\omega )$代表周期信号的第k次谐波幅度的大小，而$F(j\omega )$则是频谱密度的概念。所以答案是这两者从本质上不是一个概念，傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交级数,它是不同的频率的波形的时域叠加。而傅立叶变换则是完全的频域分析，傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

什么是拉普拉斯变换？

1814年法国数学家Pierre-Simon Laplace在研究概率论中给出了拉普拉斯的可靠数学依据，从而发展成拉普拉斯变换理论。对于函数f(t)我们知道其傅立叶变换为：
$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$
那么如果对于函数$f(t)e^{-\sigma }$其傅立叶变换为：
$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)e^{-\sigma }]={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-\sigma }{e}^{-j\omega t}dt$$
上面的公式整理一下：
$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)e^{-\sigma }]={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-(\sigma +j\omega t)}dt$$
令$s=\sigma +j\omega$,则上面的变换
$$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

从前文我们知道，拉普拉斯本质上也是一种积分变换，那么上面公式，将$e^{-st}$看成积分变换的核函数，则其变换核函数为：
$$K(t,s)=e^{-st}$$

上面引入的因子$e^{-\sigma }$，对于函数$f(t)e^{-\sigma }$函数将变得更容易收敛，傅立叶变换的绝对可积分的限制条件也就更容易满足了。拉普拉斯变换存在的条件为：
$$\underset{x->\infty }{\lim }f(t)e^{-\sigma t}=0(\sigma >{\sigma }_0)$$

傅立叶拉氏变换联系区别

所以傅立叶变换与拉普拉斯变换的联系就比较容易联系了。

• 拉普拉斯变换，将原函数从时间维度（不一定是时间维度，只是方便理解本文以常见的时间维度信号进行描述），映射为复平面$s=\sigma +j\omega$
• 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例，也即变换核函数$\sigma =0$时，拉普拉斯变换就变成傅立叶变换了。相当于只取虚部，实部为0.
• 傅立叶变换是从原维度变换为频率维度，对于信号处理而言相当于将时域信号变换为频域进行分析，为信号处理提供了强大的数学理论基础及工具。
• 拉普拉斯变换，将原维度变换为复频域，在电子电路分析以及控制理论中，为建立系统的数学描述提供了强大的数学理论基础，学过控制理论的一天到晚都与传递函数打交道，其本质就是拉普拉斯变换对系统的一种数学建模描述。为分析系统的稳定性、可控性提供了数学工具。

什么是Z变换？

Z变换本质上是拉普拉斯变换的离散形式。也称为Fisher-Z变换。对于连续信号进行抽样变换就得到了原函数的离散序列：
$$f_s(t)=f(t)\cdot {\delta }_T(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(nT)\delta (t-nT)$$
其中T为采样周期，${\delta }_T(t)$信号与系统中称为冲激抽样。其实说人话，就是将连续信号，按等间隔理想的转为抽取离散序列样本。看下图就明白了，在电子系统中常用AD转换器进行实现。

对上式进行拉普拉斯变换：
$$F_s(S)={\int }_0^{\infty }[\sum _{n=0}^{\infty }f(nT)\delta (t-nT)]e^{-st}dt$$
该公式利用冲激函数的抽样特性，可简化为：
$$F_s(S)=\sum _{n=0}^{\infty }f(nT)e^{-snT}$$
引入$z=e^{sT}$,引入新的自变量Z，则上面的公式就变成这样了：
$$F(Z)=\sum _{n=0}^{\infty }f(nT)Z^{-n}$$

这就是Z变换了，从上面的过程描述就知道Z变换与拉普拉斯变换的关系了。因此两者的联系也就是Z变换是拉布拉斯变换的离散形式。

那么Z变换的意义在于什么呢？在数字信号处理以及数字控制系统中，Z变换提供了数学基础。利用Z变换很快就能将一个传递函数描述成差分方程形式，这就为编程实现提供了数学依据，比如一个数字滤波器知道其Z变换形式，写代码就是分分钟的事情了，同样知道一个控制算法的Z变换形式，同样编代码也是水到渠成的事情。

这里谈到Z变换的离散形式，那么这里也提一句，傅立叶变换数字落地，也即离散形式是离散傅立叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)，而大家所熟知的快速傅立叶变换FFT(Fast Fourier Transform)则是DFT的高效率实现。

总结一下

要理解三种变换的联系区别，首先要理解什么是数学变换，什么是积分变换。傅立叶变换以及拉普拉斯变换本质上都是连续或有限个第一类间断点函数的积分变换，而傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，而Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。每种变换都有其应用价值，傅立叶变换在信号处理的频域分析中提供了强大的数学工具，而拉普拉斯变换在电子学、控制工程、航空航天等领域提供了建模、分析的数学分析工具；Z变换则将这些变换进而落地为数字实现提供数学理论依据。DFT为FFT的离散化形式，而FFT是DFT的算法优化实现。

傅里叶变换具有非常广泛的应用，但是也有明显的缺点，就是对函数的要求太苛刻，主要便现在:

1. 要求函数在绝对可积，即满足, 傅里叶变换存在．这个条件要求当，,事实上，很多函数都不满足这个条件，比如,正弦和余弦函数，单位阶跃函数等．
2. 要求函数必须在整个区间有定义，对于定义在区间的函数，比如以时间t为变量的函数,则无法进行傅里叶变换．

解决这些问题的办法是引入拉普拉斯变换,拉普拉斯变换可以说是信息机电类专业本科阶段知识的极限了，控制，通信，电气，甚至机械都难逃它罪恶的魔爪,它比把大象放进冰箱复杂多了。

拉普拉斯变换的定义:

拉普拉斯变换是在傅里叶变换的基础上引入的，现在考虑对一个任意函数进行傅里叶变换，为了使之在区间有定义，给它乘以单位阶跃函数,为了容易满足绝对可积条件，再乘以衰减因子,然后对函数进行傅里叶变换．

其中，,，　拉普拉斯变换记为：

可见，的拉普拉斯变换就是的傅里叶变换，上式是函数的拉普拉斯变换的一般定义式，其中参数是一个复数，实部为正．

的拉普拉斯变换记为

称为像函数，为原函数．

的主要作用是把一个定义域内绝对不可积的函数”掰弯“，从而让它变得绝对可积，方法是乘以一个变化率比函数更大更高阶的无穷小，下图形象展示了指数函数是如何掰弯一个高次幂函数的。

可以看到，级的幂函数在n还没取到2的时候竟然已经被掰弯的不成样子了，可以看出还是蛮给力的，在指数函数绝对的实力面前，幂级数还是不堪一击的。

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相对于傅里叶变换，拉普拉斯变换存在的条件要弱的多，因为指数因子的加入使积分变得更容易收敛．绝对可积不在必要，但这并不意味着任意一个函数都存在拉普拉斯变换而无需任何条件，事实上，拉普拉斯变换存在的充分条件可以表述为：

1. 函数在区间上是分段连续的．
2. 存在正常数和,对于所有的,使得成立，则函数对于所有的,存在拉普拉斯变换，即：

证明:

例如对于下面的分段连续函数

定义域是,再区间和均连续，在点不连续．

由于上是连续的，所以在这个区间也是连续的，于是第一个积分存在．

为了证明第二个积分存在，需要利用条件．

实际问题中的大部分函数都满足laplace变换的充分条件，而不满足fourier变换中绝对可积条件的,,等函数，现在都满足上述拉普拉斯变换存在的条件：

与fourier变换类似，上面的两个条件是充分的，但不是必要的，有的函数尽管不满足上面的条件，但仍然存在拉普拉斯变换．

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拉普拉斯逆变换公式－反演积分公式推导

由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知，函数

的拉普拉斯变换,就是函数的傅里叶变换，即：

根据傅里叶逆变换公式：

两边同时乘以

当在积分区间变化时候，在上变化，所以积分式可以化为：

令, 则积分式变为：

所以：

所以，拉普拉斯变换和反变换公式总结为：

拉普拉斯反变换积分路径是复平面一条直线，它的实部为,也就是复平面上的一条直线．如果在直线上有奇点，则要求,也就是要求大于所有奇点的正实部．

如下图：

换句话说，如果,说明时域的信号如此发散，以至于必须乘以一个的衰减信号才能满足绝对可积的条件．在控制系统稳定性分析中，如果特征根的实部大于零，那就麻烦大了，说明系统存在的模态信号分量输出，系统不稳定．

由于

所以:

因为是常量，所以

反演积分公式从形式上看，是一堆堆的向量进行积分后，得到一个时域的实数信号，学过复数我们知道，概率上来讲，一堆随机的复数相加结果是实数，基本上是不可能的，虚部很难保证恰好消掉。但反演积分却必须保证消掉虚部，因为时域信号一定是实数嘛。

我们从形式上看一下为什么反演化积分结果一定是没有虚部的，根据上面的推导：

s是复数，对于函数 :

来讲，根据复数性质:

由于不变，积分虚部关于实轴对称，对于每个s的积分，都有互为共轭的两个s取值，所以积分过程中，累计虚部一定可以消去，最终的积分值是不带虚部的。

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先看一个直观一点的例子，以单位阶跃信号为例，它的拉普拉斯变换为：

拉普拉斯变换在形式上非常有特点，它把积分变成倒数，又把微分变成幂乘,　所以，有的时候也被称为拉普拉斯算子。

它的图象是：

取正实部的部分：

如果要算反变换，相当于沿着的平面与F(s)的交线取路径积分,当不断变化是，积分曲线扫过整个拉普拉斯平面。不过积分结果和积分曲线的选择没有关系，沿着任何一条线进行积分的结果都是相同的，最终都是拉普拉斯变换代表的时域信号。

可以任意取，都不会影响反变换的结果，只要积分路径在F(s)的存在域中。

时域结果为单位阶跃函数。

这个积分要用到复变函数中的留数定理来算，公式有多复杂，结果就有多让人惊讶，我一直怀疑书本在骗我，以至于多年后我很还想找一个类似于傅里叶变换圆环那样的可视化方法来说明这个结果，无奈功力还是未到，只能先借助于python mpmath(pip/pip3 install mpmath) 库的 invertlaplace函数说明，它的结果确实是1.

from mpmath import *
mp.dps = 15; mp.pretty = True
tt = [0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 9793792345]
fp = lambda p: 1/(p)
ft = lambda t: 1
print invertlaplace(fp,tt[0],method='talbot')
print invertlaplace(fp,tt[1],method='talbot')
print invertlaplace(fp,tt[2],method='talbot')
print invertlaplace(fp,tt[3],method='talbot')
print invertlaplace(fp,tt[4],method='talbot')
print invertlaplace(fp,tt[5],method='talbot')

运行结果：

可以看到，在时间点[0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 9793792345]处，积分值固定为1，猜测mpmath库里面用了数值计算方法来计算积分值，如果是这样的话，说明公式没有骗我们。

利用wolframalpha求积分工具，可以得到上式子的不定积分（定积分需要单独收费。。。）

从形式上，可以看到确实出现可以和积分式前面的额系数相抵消的情况，虽然无法得到精确结果，但我们可以大胆猜测，这个结果就是常数1.

（思考此问题有一段时间了，还是感觉无法像周期函数傅立叶变换那样画圆的方式来说明拉普拉斯变换，原因可能和对偶性有关，周期<-->离散，连续<-->非周期在时间域和频率域之间是对偶的，所以对于时间域为连续非周期的的拉普拉斯原函数，变换后一定是非周期且连续的拉普拉斯变换结果，既然频率域是连续的，当然无法表示为离散的频率点的圆周旋转了。）

Matlab绘制此函数的模曲面图，可以看到，因为是模曲面，相位为0，所以全图红色。

matlab代码：

z = cplxgrid(30);
subplot(1,1,1);
cplxmap(z,abs(z.^(-1)));%幂函数z^n
colorbar('vert');
title('复幂函数');

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和傅里叶变换的关系：

拉普拉斯变换和逆变换的公式：

对比傅里叶变换的公式：

可以看到形式上几乎完全相同，排除积分区间的因素，当拉普拉斯的积分变量中,取时，拉普拉斯变换就变为傅里叶变换．所以，我们先看一下傅里叶变换的几何意义．

周函数的傅里叶变换叫做傅里叶级数，它的复数形式是：

公式

看起来有些奇怪，是复数，也是复数，而是实信号，复述乘在一起，再做累加怎么就变成实数了？
复指数函数可以表示一个连续旋转的圆，当时，他表示一组按照不同频率旋转的单位圆，而则表示对应单位圆的幅度因子和初始相位，也可以认为是某种形式的坐标，如下图所示：

注意到,当时，代表逆时针旋转的圆，当时，表示的是顺时针旋转的圆，任意时刻，和代表的两个单位圆旋转角速度相同，旋转方向相反。

再回头看看

也就是说，互为共轭，决定了旋转元的半径系数和初始相位，互为共轭的两个负数作为和的系数，则再任意时刻和旋转速度相同，方向相反，相位相反，所以互为共轭，对于是这样，对于也都是如此，所以，综合起来的效果

代表沿着时间轴分布的无穷多个小圆的旋转的叠加，由于虚部互相抵消，只留下实数部分，实部叠加的结果，就是.

关于初始相位互为共轭的两个相同角频率的向量和，虚部消去，只剩下实部，可以用下图说明:

上图说明，和两个旋转的圆合成后只在实轴上有投影，虚轴上的投影为0.

为了解释方便，上图使用了二维坐标系展示函数的特点，实际上，由于的结果是复数，包含两个维度，再加上自变量，一共有三个维度，需要在三维坐标系中才能展示全图，在三维坐标系中，是一个螺旋曲线，如下图所示:

从不同的角度看，螺旋线在二维平面中的投影就变成了正弦或者余弦：

正弦：

你能看到上图中所有的维度么？还是你只能看到圆周上转动的点？你看不到螺旋。

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以方波信号的傅里叶分解为例，我们看一下这些无穷多个向量的叠加效果,图中每一小段就可以认为代表的一个向量（实际上只有正频率部分，复频率没有绘制出来，原因是如果加上负频率后，终点只会上下浮动了，虚部表示的转动部分再图上就看不出来了,看着附图，忽略掉虚部投影即可。我们只关心一个方向上的投影就能绘制出原图，就是因为另一个方向上的投影已经被负频率 ”中和“ 掉了).

向量的魔法：

这个就是傅里叶级数和傅里叶变换的几何直观描述。

本质上，拉普拉斯的几何描述和傅里叶变换没有区别，只是由于因子的存在，在单位圆的半径的表示上有所区别。转动的单位圆则完全一样。

将逆变换转换形式：

其中

其中分别为分子和分母关于s多项式的最高阶次,由于现实世界中任何信号都是因果信号，并且具有惯性，所以一定满足.

 则进一步化为：

是单位圆，我们很熟悉，再来看这个复杂一些的多项式分式

由于是常数， 所以整个分式可以看成是角频率的函数：

由于，当时，

所以，拉普拉斯逆变换的效果和傅里叶逆变换类似，它的时域波形也是由无数个半径逐渐减小的频域圆”组装“而成的。

---

从一个更复杂一些的例子中看傅里叶变换和拉普拉斯变换的联系：

信号

其拉氏变换为：

所以：

,当上取值时，傅里叶变换为：

其扫过的区域的三维立体曲面即是拉普拉斯变换的结果，每一条黑色轨迹都是原函数乘以衰减因子之后的傅里叶变换。

拉普拉斯变换要求取的衰减因子,所以，实际的拉普拉斯模图像为半幅，也就是的部分：

再回头看一下此函数的傅里叶变换，先看f(t)的图像：

可以看出在自变量趋大的过程中，函数的值趋于0，看上去满足绝对可积的条件，我们对其进行积分试试：

其密度谱是：

和上图的半幅拉普拉斯变换的界面曲线做一下对比，是不是很像？ 实际上它们完全一样，所以，傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换在时候的特例。

如果我们尝试把

改成

的形式，并让m值在一定范围内变化，得到如下变化的拉普拉斯图像，注意到当m=0的时候，拉普拉斯变换与yoz平面的截面出现两个尖峰，它恰好对应的是

的在s取实部为0时候的拉普拉斯变换，也就是sin(t)的傅里叶变换，而且正弦函数的傅里叶变换恰好是在正频率和负频率位置处的两个尖峰，这说明在谐振频率处，系统的输出幅值可以达到无穷大，而在其他频率点为0，说明此点没有频率分量.

这幅动图说明了拉普拉斯变换和傅里叶变换的深刻联系.

常见函数的laplace变换手搓推导：

本文受到了这篇文章的启发．

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结束！

一、基本信号

1.1信号的分类

        1.1.1确定性信号和随机信号

                对任意时刻，信号有确定的函数值，称为确定性信号。信号的取值在不同时刻随机变化则成为随机信号。

        1.1.2周期信号与非周期信号

                  按某一固定周期重复出现的信号，可表示为，其中T的取值为R。例如无电阻损耗的理想LC电路的自然响应。

        1.1.3连续时间信号与离散时间信号

                连续时间信号：在所有连续时间值上均有定义，简称为连续信号或模拟信号。

                离散时间信号：仅在一些离散时间点上才有定义，简称为离散信号。

        1.1.4因果信号与非因果信号

                因果信号：在时，,则称为因果信号。无记忆系统属于因果信号。

                非因果信号：周期信号均为非因果信号。

1.2常用的基本信号

        1.2.1直流信号

                ,属于非因果信号。

        1.2.2正弦信号

                

        1.2.3单位阶跃信号

                 

        1.2.4斜坡信号

                

        1.2.5实指数信号

                ,属于因果信号

        1.2.6复指数信号

                ,若，则f(t)为虚指数信号，若,则f(t)为实指数。

                根据欧拉公式，复指数信号又可表示为：

        1.2.7降正弦函数

                

                特点：（1）Sa(t)是偶函数；

                           （2）当t=0时，Sa(t)为最大值1；

                           （3）曲线呈震荡衰减，取无穷大时极限为0;

                           （4）;

                           （5）sinc(t)的定义：;

1.3信号的基本处理

        1.3.1相加与相乘

                相加

                相乘

        1.3.2反转与延时

                将自变量t换成-t可得到另一个函数f(-t)，称为信号的反转；

                将自变量t换成,为正的实常数，可得新信号.

        1.3.3压缩与扩展

                 将自变量t换成at可得到另一个函数f(at),a为正实数，则信号f(t)将在时间尺度上压缩或扩展。

        1.3.4微分与积分

                f(t)的一阶导数：

                f(t)的二阶导数：

                f(t)的积分表示：

1.3单位冲激函数

        1.3.1冲激函数的定义

        冲激函数是一个奇异函数，定义为,解释为在0这一刻瞬间出现又立即消失的信号，且幅值无限大；在其他时刻始终为0.

        阶跃信号与冲激信号的确切关系：单位冲激信号的积分为单位阶跃信号，单位阶跃信号的导数应为单位冲激信号。

     单位冲激函数：   ；;

        1.3.2冲激函数的性质

        1.是偶函数:

        2.具有取样性；

二、傅里叶级数

2.1傅里叶级数

        给定一个周期为T的函数x(t)，当周期信号满足狄里赫利条件时，可用傅里叶级数表示。

        狄里赫利条件：(1)在单个周期内只有有限个极大值和极小值，且只有有限个第一类不连续点;

                                 (2)在单个周期内绝对可积，即.

        表示为无穷级数：;

        基波频率为，基波周期.

        基波分量：合在一块称为基波分量或一次谐波分量。

2.2傅里叶级数的表示形式

        2.1.1三角级数表示

                 三角形式：  ;

                其中为基波角频率，称为n次谐波的频率；为直流分量。

                系数求解：     

                   

                系数的求解思路：可直接使用在单个周期内进行积分，因为cos与sin在周期内积分为0，、则可以利用三角函数的正交性进行求解，直接乘以,除自身外都可以正交积分为0， 直接乘以,除自身外都可以正交积分为0.

                傅里叶级数又可表示为余弦实函数：;

                其中 ;.

        2.1.2复指数级数表示

                使用欧拉公式将三角形式转换成复指数形式，即

                

                化简后则有,

                令,由

                可知，

                可得，

                可化简为

                其系数为.

                可视为各次谐波的函数，可表示为,为各次谐波的幅度，为其相位。

                每对频率项可合成一个余弦实数项，即.各谐波振幅为.

三、傅里叶变换

3.1傅里叶变换

        3.1.1 傅里叶变换的定义

        傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

        3.1.2傅里叶变换的分类

        非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）

        周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

        非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

        周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

        3.1.3傅里叶级数到傅里叶变换

        正变换的推导：

        已知复指数形式的周期信号有以下关系：；

        而  可视为离散值的函数，则

        当时，谱线高度和谱线间隔趋于无穷小，则可用代替，变为连续变量，且;

        即可推导出；同时,可见相当于单位频率所占的幅度，具有密度的意义，一般情况下为连续谱。

        反变换的推导：

         根据上面的公式可得又可表示为：,再代入到与的表达式中可得，同时将换成，求和变成积分

        可得：

         3.1.4连续傅里叶变换的正反变换

        正变换：;

        反变换：;

        3.1.5离散傅里叶变换的正反变换

        正变换：

        反变换：

        3.1.6的复指数表现形式

        频谱函数一般为的复函数，则可将记为,则可写成;

        为幅度频谱，是偶函数，为相位频谱，是奇函数；

        ;

        其中；

       可得  ；;

3.2常用信号的傅里叶变换

        3.2.1门信号的傅里叶变换

                门函数：幅度为1，宽度为的单个矩形脉冲，记为;

                ;

                令,则频谱为;

        3.2.2冲激信号的傅里叶变换

                ,有变换对,可见冲激信号的频谱为均匀谱。

        3.2.3直流信号的傅里叶变换

                设直流信号,则有,可推出;即;

        3.2.4指数信号的傅里叶变换

                设单边指数信号为,;

                变换对：;

        3.2.5符号信号的傅里叶变换

                符号函数定义为：,由于不满足绝对可积条件，所以只能视为双边指数函数在0这一点的极限，即,则频谱为;

        3.2.6阶跃信号的傅里叶变换

                单位阶跃函数可以用直流信号和符号函数表示为：,频谱可化为;

3.3傅里叶变换的性质

        3.3.1线性性质

                因为傅里叶变换本身就是线性变换，所以满足线性关系。

        3.3.2脉冲展缩与频带变化

                已知，则，表明了信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的的扩展；信号时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩，且展缩倍数一致。

        3.3.3延时与相位移动

                延时后，其对应的幅度频谱保持不变，但相位频谱中所有分量的相位均滞后.

        3.3.4调制与频谱搬移

                调制：乘以将信号抬升至高频区间；

                解调：乘以将信号搬移到低频区间；

                频谱搬移：

        3.3.5时-频对称性

                信号的时域变化与其频谱特性之间存在一定的对称性，若，则有;它表明了若函数的频谱为,则时间信号对应的频谱为;

        3.3.6卷积定理

                ,时域的卷积对应频域函数的相乘；

                ,时域相乘对应频域卷积。

        3.3.7时域微分

                若，则有;推广可得

        3.3.8时域积分

                若，则有;

四、拉普拉斯变换

4.1拉普拉斯变换

        4.1.1拉普拉斯变换的定义

                拉普拉斯正变换的推导：已知傅里叶变换为，乘以收敛因子,为实常数，则有;

                令复频率,则有,称为信号的双边拉普拉斯变换，简称双边拉氏变换。

                拉普拉斯反变换的推导：，利用了傅里叶变换的频谱搬移性质。再同乘以，可得,因为，且为实常数，则有,当时，有,从而

        4.1.2傅里叶到拉普拉斯

                由于傅里叶变换需要满足狄里赫利条件，但大部分函数都是不满足其绝对可积条件的，所以采用一个衰减函数使其满足其绝对可积。

4.2常用信号的拉普拉斯变换

 

4.3拉普拉斯变换的性质

        4.3.1线性性质

                满足可加性与齐次性：

        4.3.2延时性质

                

                从t=0开始的周期信号的拉氏变换等于其第一周期波形的拉氏变换乘以;

                即

        4.3.3微分定理

                若,则有;;

                若为有始函数，则,则有.

        4.3.4积分定理

                若,;

        4.2.5卷积定理

                

        4.2.6初值与终值定理

                若信号在0处不含冲激函数，则初值定理为，中值定理为.

五、附录

5.1.1傅里叶变换的性质

5.1.2周期信号的傅里叶变换

5.1.3非周期信号的傅里叶变换