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  • 拉普拉斯变换的卷积公式
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    2020-12-24 08:13:32

    拉普拉斯变换卷积积分状态方程

    * 浙江大学电工电子教学中心 电路原理教程(下)(PPT教学软件) 2011.2 第九章 拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程 主要内容: (1) 拉氏变换的定义及基本性质; (2) 拉氏反变换方法(分解定理); (3) 运算电路及初始条件的转换; (4) 网络函数及零极点分析; (5) 卷积积分; (6) 状态方程的建立. 直流激励源, 直流稳态解. 正弦交流激励源, 正弦交流稳态解. (复数变换) 稳态电路: 3) 任意激励源, 电路全响应(动态电路). 动态电路: (时域解微分方程) (拉氏变换) 正弦交流电路 三角函数计算 设 直接计算 反变换 相量电路 变换 复数计算 1)变换域求解电路问题的讨论: 在正弦交流电路中,相量计算是 变换域求解的方法。 9.1 拉氏变换及其应用概述 利用变换域解电路问题是为了简化电路计算!! 电路微分方程 时域 (解微分方程) 拉氏正变换 拉氏逆变换 S域象函数 ?频域 运算电路 (解代数方程) 用拉氏变换解动态电路的三个要点: ①激励函数的变换(正变换) ②电路元件的变换(运算电路) ③频域响应的逆变换(逆变换) 拉氏变换解动态电路的内容: (1) 拉氏变换原函数和象函数的转换; (2) 运算电路的建立及初始条件表示; (3) 运算结果(象函数)转换为时域表达式(分解定理). 一个定义在 的函数 , 为复数。 其中 拉氏正变换为: 记作: 9.2 拉氏变换定义及基本性质 拉氏反变换为: 记作: 常见函数的拉氏变换: ①单位阶跃函数 ②单位冲击函数 式中利用了 的筛分性质,即: ③指数函数 拉氏变换的主要性质 ①线性性质 设: 则有 例9-2-1 求 、 和 的拉氏变换。 同理: 证: (分步积分) ② 微分定理 设 则 高阶导数 的拉氏变换式: 例9-2-2 已知 ,求 。 解:由于 ,由微分定理得: 同理: 由于 得 例9-2-3 求斜坡函数 解: 的拉氏变换 . ③ 积分定理 设 则 例9-2-4 求图示函数的拉普拉斯变换式。 解:由图可知: ④ 时域位移定理 设 则: 例: 求 的拉氏变换. 解:由频域位移定理 ⑤频域位移定理 设 则: ⑥卷积定理 设 则 卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式。 卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式. 例:求 的原函数. 解: 注意:当 为周期函数时,终值定理不可用。 ⑦初值定理与终值定理 设 初值定理: 终值定理: 例9-2-7.设 ,验证初值定理。 解: 又 得证 常用拉氏变换表 利用拉普拉斯反变换的定义式,将象函数代入式中进行积分,即可求出相应的原函数 但实际计算时, 直接利用拉普拉斯变换的公式. 把象函数(频域响应)利用部分分式展开的方法,将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换,可直接查表获得。 9.3 拉氏逆变换的展开定理 (从频域到时域的转换) 实际计算时,分母多项式的因式分解是重要一环。 对分母因式分解: 设有理分式函数 : 线性电路的频域响应结果一般为实系数多项式. 求系数 时,两边同乘 ,得: 令 ,得: (1)当 均为不等实根,原式可展开为: 同理,可求得各系数: 分解时系数计算公式! 逆变换式为: 求 的逆变换。 解:原式 (三个单实根) 例9-3-1: 原函数: 原式

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    卷积拉普拉斯变换Laplace transformConvolution 系统输入的拉普拉斯变换 X(t)X(t)X(t) 乘以传递函数 H(s)H(s)H(s) 等于系统输出的拉普拉斯变换 Y(s)Y(s)Y(s) Laplace transform X(s)=L[X(t)]=∫0∞X(t)e−stdt X...

    卷积的拉普拉斯变换

    系统输入的拉普拉斯变换 X ( t ) X(t) X(t) 乘以传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 等于系统输出的拉普拉斯变换 Y ( s ) Y(s) Y(s)
    在这里插入图片描述

    Laplace transform

    X ( s ) = L [ X ( t ) ] = ∫ 0 ∞ X ( t ) e − s t d t X(s) = L[X(t)]=\int_{0}^{\infty} X(t) e^{-st} dt X(s)=L[X(t)]=0X(t)estdt

    Convolution

    x ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ 0 τ x ( τ ) g ( t − τ ) d τ x(t) * g(t) = \int_0^{\tau} x(\tau) g(t-\tau) d \tau x(t)g(t)=0τx(τ)g(tτ)dτ

    证明: L [ x ( t ) ∗ g ( t ) ] = X ( s ) G ( s ) L[x(t) * g(t)]=X(s)G(s) L[x(t)g(t)]=X(s)G(s)

    L [ x ( t ) ∗ g ( t ) ] = ∫ 0 ∞ ∫ 0 t x ( τ ) g ( t − τ ) d τ    e − s t d t = ∫ 0 ∞ ∫ τ ∞ x ( τ ) g ( t − τ )    e − s t d t    d τ 令 : t − τ = u t = u + τ d t = d u + d τ = d u t ∈ [ τ , ∞ ) ⇒ u = t − τ ∈ [ 0 , ∞ ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x ( τ ) g ( u ) e − s ( u + τ ) d u    d τ = ∫ 0 ∞ x ( τ ) e − s τ d τ ∫ 0 ∞ g ( u ) e − s u d u = X ( s ) G ( s ) \begin{aligned} L[x(t)*g(t)] &=\int_{0}^{\infty} \int_0^{t} x(\tau) g(t-\tau) d \tau \; e^{-st} dt \\ &=\int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} x(\tau) g(t-\tau) \; e^{-st} dt \;d \tau \\ & 令: t-\tau = u \quad t=u+\tau \quad dt=du+d\tau=du \\ &t\in[\tau,\infty) \Rightarrow u=t-\tau \in [0,\infty) \\ &=\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x(\tau)g(u) e^{-s(u+\tau)}du\;d\tau \\ &=\int_0^{\infty}x(\tau)e^{-s\tau}d\tau \int_0^{\infty}g(u)e^{-su}du\\ &=X(s)G(s) \end{aligned} L[x(t)g(t)]=00tx(τ)g(tτ)dτestdt=0τx(τ)g(tτ)estdtdτ:tτ=ut=u+τdt=du+dτ=dut[τ,)u=tτ[0,)=00x(τ)g(u)es(u+τ)dudτ=0x(τ)esτdτ0g(u)esudu=X(s)G(s)

    在这里插入图片描述
    结论:
    L ( x ( t ) ∗ g ( t ) ) = L [ X ( t ) ] L ( G ( t ) ) = X ( s ) G ( s ) L(x(t)*g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s) L(x(t)g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s)

    原视频:
    https://www.bilibili.com/video/av26446618

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  • 微分算子法,拉普拉斯变换卷积

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    右边非齐次项仍然是函数,就等价于求一个算符的逆的问题,同时在辅助特征值与特征函数理论,可以求解非齐次项是多项式,指数(三角函数通过欧拉公式化为指数)的形式。 (B)计算中通常结合位移定理以及级数,因式分解...

    1. 微分算子法适用于求常系数线性非齐次微分方程的特解

    (A)思想是将求导运算看成线性算符。右边非齐次项仍然是函数,就等价于求一个算符的逆的问题,同时在辅助特征值与特征函数理论,可以求解非齐次项是多项式,指数(三角函数通过欧拉公式化为指数)的形式。

    (B)计算中通常结合位移定理以及级数,因式分解,短除法等方法使用。

    (C)算子法的优点是能快速得到非齐次部分的特解而不需要特殊记忆特解的形式进行待定系数运算。这种方法能快速得到整个微分方程的通解。

    注意: 算子法的题目比较简单无脑,所以近年来直接考通解的题目已经很少,逐渐变为在边界条件下求解的问题,这样算子法的优势就不如后面介绍的拉普拉斯变换方法。

     

    2. 拉普拉斯变换适用于求解带初值条件的常系数线性非齐次微分方程

    注意:常用的单边拉普拉斯变换求解的微分方程定义域只能在[0,+无穷)上

    (A)拉普拉斯变换的思想是通过一个积分变换,将方程左右两边同时进行变换,使得微分方程变成一个代数方程,求解这个代数方程在做一个反变换,就能得到原方程的解。

    (B)拉普拉斯变换的左边,形式与算子法很像,但会多出一个系数部分,为了完成非齐次项的拉普拉斯变换,需要记住常用函数的变换公式。最后还需要反变换回去。

    (C)拉普拉斯变换法的优点在于能将题目所给的初值条件直接融入到等式中,而不需要最后再来待定系数。这种方法在某些问题上具有奇效。

    例子:

    2020考研数学真题

     

    来看拉普拉斯变换的定义等式

    显然,要计算的就是F(0)

    根据拉普拉斯变化, s^2 F(s)  - sn - m + a(sF(s) - m) + F(s) = 0

    F(0) = m + am

     

    2016考研数学真题

     

     p^2 Y - p - 1 + 2(pY-1)+ kY = 0
    令p=0, 答案就是Y(0) = 3/k

     

    注意: 对这类问题拉普拉斯变换有奇效是因为巧妙的回避了反变换问题,仅在s域就解决了问题,如果要进行反变化,并不一定特别快速。但优点是反变换之后得到的就是原初值问题的解,而不需要在解线性方程确定系数。

     

    3.  格林函数与卷积法

    1. 格林函数方法的思想是非齐次项可以通过叠加原理分解为一连串的冲击响应,只要求解系统的冲击响应,那么整个响应可以通过冲击响应与输入函数卷积得到。格林函数方法可以直接给出方程的形式上的积分解。这点也可以从拉普拉斯变换看出来,两个拉普拉斯变化的乘积,返回到时域就是卷积。

    2. 直接求解系统的冲击响应并不是一件容易的事,而且格林函数的定义其实严格说来也依赖于初值条件。所以这个问题可以又转化为拉普拉斯变换。

    3. 可以这么理解,格林函数实际给出了方程的通解的形式,这种形式在特定问题下往往很有用。

     

    (1)  y = x -1, 这是可以直接观察出来或者用微分算子法快速求出来.

    所以方程的通解是Ae(-x) +x-1

     

    (2)构造一个方程的特解如下(空降)

    然后证明这是一个周期函数

     

     

    注意:实际问题中格林函数的坑(因果性)
     

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
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