精华内容
下载资源
问答
  • 拉普拉斯变换的实际应用
    千次阅读
    2019-10-25 17:01:48

     

     

    傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

     

    傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

     

    傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。

     

    我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话 ,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

     

    傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。

     

    对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

     

    傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波,可以合成任何你所需要的信号。

     

    想一想这个问题:给你很多正弦信号,你怎样才能合成你需要的信号呢?答案是要两个条件,一个是每个正弦波的幅度,另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧,频域上的相位,就是每个正弦波之间的相位。  

    傅里叶变换用于信号的频率域分析,一般我们把电信号描述成时间域的数学模型,而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣,而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。

     

    傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成,傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅较大(能量较高)信号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时,通过傅里叶变换做频谱分析,根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比,可以快速判断哪级齿轮损伤。

     

    拉普拉斯变换,是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

     

    引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

     

    拉普拉斯变换在工程学上的应用:应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应用。

     

    在数字信号处理中,Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中,我们往往只需要分析信号或系统的频率响应,也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么,为什么还要引进Z变换呢?

     

    Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢?傅里叶变换的物理意义非常清晰:将通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱,频谱包括幅度谱和相位谱,分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界,频率是有明确的物理意义的,比如说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆,这主要是因为女声中高频分量更多。

     

    对一个信号来说,就包含的信息量来讲,时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号主要在时域表现其特性,如电容充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机械的振动,人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号看起来可能杂乱无章,但在频域则解读非常方便。

     

    在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有任何先验信息的情况下,直觉是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的话,很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬币的两面,看起来虽然有所不同,但实际上都是同一个东西。正因为如此,在通常的信号与系统的分析过程中,我们非常关心傅里叶变换。

     

    既然人们只关心信号的频域表示,那么Z变换又是怎么回事呢?要说到Z变换,可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法,主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人,他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代,国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心,在当时众多的科学大师中,拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文,其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

     

    回到正题,傅里叶变换虽然好用,而且物理意义明确,但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻,比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界,指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一,对信号乘上指数信号之后,很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件,这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程,在18世纪计算机还远未发明的时候,意义非常重大。

     

    从上面的分析可以看出,傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式,即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广,是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中,可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果,然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法,已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。

     

    Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换,由此我们就很容易理解Z变换的重要性,也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系,z=exp(Ts)。在Z变换中,单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。

    更多相关内容
  • 拉普拉斯变换应用

    千次阅读 2019-04-26 13:59:24
    这里是关于第5章的内容,拉普拉斯变换。。。其实基本上内容和傅里叶变换差不太多,基本上傅里叶变换学到的概念都可以在修改后用在拉普拉斯变换上。大部分截图来自齐开悦博士的 课程录像 的说。 傅里叶变换是...


    这里是关于第5章的内容,拉普拉斯变换。。。其实基本上内容和傅里叶变换差不太多,基本上傅里叶变换学到的概念都可以在修改后用在拉普拉斯变换上。大部分截图来自齐开悦博士的课程录像的说。

    傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况,拉普拉斯是傅里叶变换的推广,它们之间的最大不同就是拉普拉斯实在s=σ+jωs=σ+jω,积分域不同。

    基本内容:
    1. 拉普拉斯变换定义,收敛域
    2. 拉普拉斯变换的性质(和傅里叶变换类似)(重要,能简化计算)
    3. 拉普拉斯反变换(主要是部分分式法)
    4. 拉普拉斯变换与电路分析(一定要记住元件对应的拉氏变换模型)
    5. 系统函数(挺重要的性质,求出了系统函数可以很方便地求输出)
    6. 拉普拉斯变换与傅里叶变换关系(关键词:虚轴)


    对不符合狄利克雷条件的函数无法做傅里叶变换,所以搞出来个拉普拉斯变换。
    这里写图片描述
    eSteSt

    拉氏变换和Z变换时傅里叶变换的推广,傅里叶变换是它们的特例。

    拉氏变换

    拉氏变换定义与收敛域


    从傅里叶变换到拉氏变换
    这里写图片描述

    双边拉氏变换定义:
    这里写图片描述
    最下面那个公式里面的积分极限的下限的00−是为了表示包括冲激信号(单边拉氏变换才有用)。

    这里写图片描述
    例如原信号是e2te2t,这样在总体上就是收敛的,就可以用到傅里叶变换。这样拉氏变换就可以比傅里叶变换用得更广泛。

    补充:如果一个信号是因果信号,那么单边拉氏变换和双边是一样的。

    这里写图片描述
    这里写图片描述
    记得u(t)πδ(ω)+1jωu(t)→πδ(ω)+1jω,所以没有冲激函数那部分。

    这里写图片描述

    这里写图片描述
    拉氏收敛域在解题的时候必须要写出来。
    这里写图片描述

    ROC及零极点图例子:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    具体的零极点图在上面的例题里面最下面的图已经有了。

    ROC性质
    这里写图片描述
    时限信号因为一定可以做傅里叶分析,所以ROC是整个S平面。
    第4条性质的证明:
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    第6条其实就是4、5的结合,因为双边可以分成左边和右边。

    这里写图片描述

    这里写图片描述
    如果两个域没有公共部分,那么拉氏变换不存在。

    这里写图片描述
    结合例题看比较容易理解地说:
    这里写图片描述


    常用拉氏变换

    这里写图片描述
    上面要补充定义域:
    1. Re(s)>0Re(s)>0
    后面两个可以不用写因为是整个复平面上成立的。
    上面的东东要直接当公式用

    补充:

    eatu(t)1s+aRe(s)<a−e−atu(−t)→1s+aRe(s)<−a
    信号遍历/采样(所以积分区间是无穷)原信号的过程。
    这样理解的话就可以用上面图厘米那的最后一条公式来理解拉氏变换的时移性质了。

    部分公式有对应的证明过程,ppt上面有,看看就行。


    拉氏变换的性质

    最重要的其实是时域卷积对应频域相乘,这条性质在各个变换里面通用而且贫僧觉得是信号与系统的重要工具。

    线性

    这里写图片描述
    其实线性也体现了齐次性和可加性(齐次性体现在a1x1(t)=a1(y1(t)a1x1(t)=a1(y1(t),可加性。。。就是可加性)。
    还是一样的要注意收敛域(新信号的收敛域可能会变大,因为信号合成的时候可能会把他们的极点抵消掉)。
    证明的话直接用拉氏变换的积分定义去证明。

    收敛域变大的例子:
    这里写图片描述
    上面图里面的红色结论其实和例题无关。。。无视吧。。。

    时移

    这里写图片描述
    注意上面的收敛域不变。
    用拉氏变换的积分定义也可以证明,不过贫僧更加喜欢把这个性质和σσ

    s域平移

    这里写图片描述
    注意收敛域的变化。
    时域有镜像的压缩/相位变换(旋转)对应了s域平移。
    其实就是一个域里面产生了平移,那么在另一个域里面就会有对应的压缩/旋转。
    一个例题:
    这里写图片描述

    时域尺度变换

    这里写图片描述
    注意收敛域也缩放了。

    这里写图片描述
    信号变化在两个域上产生的影响和Bfτ=1Bfτ=1的关系差不多,都是一个扩大一个减少(其实贫僧觉得也和测不准定理有关)。
    这里写图片描述
    这个是结论,要记住(结合下面的共轭对称性记)。

    共轭对称性

    这里写图片描述
    证明也还是要用回拉氏变换的积分定义。

    时域卷积性质(最重要的性质)

    这里写图片描述
    对解微分方程和避开卷积运算很有用。
    还有对称的性质:
    在频域卷积对应在时域乘积。

    微分性质

    这里写图片描述
    则后面有两个公式,如果是双边信号那么上面的公式成立,如果是单边信号的话就是下面那个公式成立。(注意收敛域可能扩大,例如拉氏变换后的信号里面分母有s,刚好乘上s把分母的s抵消掉,那么就会扩大收敛域)
    单边拉氏变换是从00−,所以不用减东西。
    高阶的看教材(注意二阶的单边的,要特别记住)。

    S域微分

    这里写图片描述

    时域积分

    这里写图片描述
    上面那个是单边的信号。
    单边的:
    这里写图片描述

    初值和终值定理

    话说这个定理在傅里叶变换里面没有。
    这里写图片描述
    证明:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    了解一下就可以了(不常用)。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    贫僧觉得这个定理可以和积分定理联系起来记忆(记住结论就行了)。

    上面这些通常用在简化计算上的说。


    拉氏反变换

    其实和傅里叶反变换差不多,只是换了个积分域所以公式有点变化。
    下面是部分分式展开法(没有用留数定理的围线积分法、数值计算法)。

    部分分式展开法

    这里写图片描述

    反变换过程(这里默认F(s)F(s)(最后还是查表方便啊。。。)

    这里写图片描述
    k1knk1…kn之类的是后面用公式确定的,怎么确定的话看下面例题就知道了。

    这里写图片描述
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    还有另外一种情况,极点是共轭复数,但是步骤是一样的。
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    最后那个结果不用纠结,大概知道原理就行了(实在是纠结的话自己动笔算。。。还是欧拉和三角函数的特性)。

    例题:
    这里写图片描述

    还有一种情况:有重根存在
    这里写图片描述
    求重根的时候就多一个求导的步骤,其他的还是差不多。
    这里写图片描述
    结果:
    这里写图片描述
    其实还可以直接拆解,并保证左右两边相等,那么就可以避免求导求系数。

    另外两种情况
    1. 非真分式(假分式),这种情况直接化成分式和多项式再直接逆变换就可以了(用多项式除法)
    2. ese−s形式出现在了分母里面)

    下面主要是关于第二种情况:

    ese−s不参与部分分式运算

    这时就直接用时移性质来解就可以了。
    这里写图片描述

    插播时移的例题:
    这里写图片描述
    注意;例一要加上定义域(>0),例二最好能够根据记住了的公式直接写出答案。

    用拉氏变换分析电路、s域原件模型

    主要内容:
    1. 用拉氏变换分析电路的步骤
    2. 微分方程的拉氏变换
    3. 利用元件的s域模型分析电路

    分析电路的步骤

    1. 列s域方程(从两方面入手)
      a. 列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换
      b. 直接按电路的s域模型建立代数方程
    2. 求解s域方程
    3. F(s)f(t)F(s)→f(t),得到时域解答

    电路元件的s域模型:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    例题:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    周期信号与抽样信号的拉氏变换

    这里写图片描述
    11esT11−e−sT,周期变成2T了。

    这里写图片描述
    注意积分对象是t,和T无关。

    系统函数

    定义:用h(t)h(t)定义为系统函数。
    系统函数主要方便在直接用输入拉氏变换后的结果乘以系统函数,再拿乘之后的结果拉氏反变换就可以得到系统的输出。
    还是很容易的概念,平时做一下题目就知道怎么用了。

    拉氏变换和傅里叶变换的联系

    这里写图片描述
    第一种情况因为不包含虚轴(jω

    展开全文
  • 拉氏变换里的S是复变函数里最为基础的一个符号,数学题做了这么多,考分也不低,但如果在多年的电路设计中用不上的话,岂不是对不起宝贵的青春了。
  • 本文介绍了在实际工程中常用到的傅里叶变换和Z变换之间的关系、各自的意义等内容。
  • 拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用,张清叶,,许多工程实际问题涉及到非稳态导热,通过对非稳态导热过程的分析,得出其数学模型为偏微分方程。偏微分方程的求解经常用到拉普拉
  • 信号与系统 MATLAB 拉普拉斯变换和拉普拉斯分析 1.所用matlab函数 2.从傅里叶变换到拉普拉斯变换 3.双边拉普拉斯收敛域 4.单边拉普拉斯 5.零极点分布系统特性 6.系统稳定性
  • 拉普拉斯变换的几何直观理解

    千次阅读 多人点赞 2021-02-22 22:05:03
    傅里叶变换具有非常广泛的应用,但是也有明显的缺点,就是对函数的要求太苛刻,主要便现在: ...拉普拉斯变换是在傅里叶变换的基础上引入的,现在考虑对一个任意函数进行傅里叶变换,为了使之在区间有定义,给它乘以单位

    傅里叶变换具有非常广泛的应用,但是也有明显的缺点,就是对函数f(x)的要求太苛刻,主要便现在:

    1. 要求函数在(-\infty,\infty)绝对可积,即满足\mathbf{\int_{-\infty}^{\infty}\left | f(x)\right |dx < \infty}, 傅里叶变换存在.这个条件要求当\left | x \right |<\inftyf(x)\rightarrow 0,事实上,很多函数都不满足这个条件,比如f(x)=a,正弦和余弦函数,单位阶跃函数等.
    2. 要求函数f(x)必须在整个区间(-\infty,\infty)有定义,对于定义在区间0\leq x<\infty的函数,比如以时间t为变量的函数f(t),则无法进行傅里叶变换.

    解决这些问题的办法是引入拉普拉斯变换,拉普拉斯变换可以说是信息机电类专业本科阶段知识的极限了,控制,通信,电气,甚至机械都难逃它罪恶的魔爪,它比把大象放进冰箱复杂多了。

    拉普拉斯变换的定义:

    拉普拉斯变换是在傅里叶变换的基础上引入的,现在考虑对一个任意函数g(t)(t\geq 0)进行傅里叶变换,为了使之在(-\infty,\infty)区间有定义,给它乘以单位阶跃函数u(t),为了容易满足绝对可积条件,再乘以衰减因子e^{-\beta t}\ (\beta > 0),然后对函数g(t)u(t)e^{-\beta t}进行傅里叶变换.

    \mathbf{\\ \int_{-\infty}^{\infty}g(t)u(t)e^{-\beta t}e^{-i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)u(t)e^{-\beta t-i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)u(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt}

    其中,s=\beta +i\omega,f(t)=g(t)u(t), 拉普拉斯变换记为:

    \mathbf{\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt}

    可见,f(t)的拉普拉斯变换就是g(t)u(t)e^{-\beta t}的傅里叶变换,上式是函数f(t)\ (t \geq 0)的拉普拉斯变换的一般定义式,其中参数s是一个复数,实部为正.

    f(t)的拉普拉斯变换记为

    F(s)\leftrightarrow f(t)

    F(s)为像函数,f(t)为原函数.

    e^{-\beta t}\ (\beta > 0)的主要作用是把一个定义域内绝对不可积的函数”掰弯“,从而让它变得绝对可积,方法是乘以一个变化率比函数更大更高阶的无穷小,下图形象展示了指数函数是如何掰弯一个高次幂函数的。

    可以看到,x^6级的幂函数在n还没取到2的时候竟然已经被掰弯的不成样子了,可以看出e^{-\beta t}\ (\beta > 0)还是蛮给力的,在指数函数绝对的实力面前,幂级数还是不堪一击的。


    相对于傅里叶变换,拉普拉斯变换存在的条件要弱的多,因为指数因子e^{-\beta t}\ (\beta > 0)的加入使积分变得更容易收敛.绝对可积不在必要,但这并不意味着任意一个函数都存在拉普拉斯变换而无需任何条件,事实上,拉普拉斯变换存在的充分条件可以表述为:

    1. 函数f(t)在区间[0, \infty]上是分段连续的.
    2. 存在正常数Ma,对于所有的t\geq 0,使得\left | f(t) \right |\leq Me^{at}成立,则函数f(t)对于所有的\beta > a,存在拉普拉斯变换,即:\left |\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt \right |<\infty

    证明:

    例如对于下面的分段连续函数

    f(t)=\left\{\begin{matrix} -x^2 \qquad \quad x > 0 \ and \ x \leq 2\\ x - 6 \qquad x > 2 \ and \ x \leq 4 \\ x^{1.5}-1 \qquad \quad \qquad x > 4 \end{matrix}\right.

    定义域是[0, \infty),再区间[0,T](T, \infty )均连续,在t=T点不连续.

    \mathbf{F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}dt+\int_{T}^{\infty}f(t)e^{-st}dt}

    由于[0,T]上是连续的,所以f(t)e^{-st}在这个区间也是连续的,于是第一个积分存在.

    为了证明第二个积分存在,需要利用条件\left | f(t) \right |\leq Me^{at}

    \\\mathbf{ \left |\int_{T}^{\infty}f(t)e^{-st}dt \right |\leq \int_{T}^{\infty}\left |f(t) \right |e^{-st}dt\leq \int_{T}^{\infty}Me^{-(s-a)t}dt\leq M\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt=\frac{M}{s-a}<\infty}

    实际问题中的大部分函数都满足laplace变换的充分条件,而不满足fourier变换中绝对可积条件的u(t),cos(t),t等函数,现在都满足上述拉普拉斯变换存在的条件:

    \mathbf{\left |u(t) \right |\leq 1\cdot e^{0\cdot t}: M=1, a = 0}

    \mathbf{\left | cos(t) \right |\leq 1\cdot e^{0\cdot t}: M=1, a = 0}

    \mathbf{\left | t \right |\leq 1\cdot e^{1\cdot t}: M=1, a = 1}

    与fourier变换类似,上面的两个条件是充分的,但不是必要的,有的函数尽管不满足上面的条件,但仍然存在拉普拉斯变换.


    拉普拉斯逆变换公式-反演积分公式推导

    由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知,函数

    f(t)

    的拉普拉斯变换F(s)=F(\beta + j\omega ),就是函数f(t)u(t)e^{-\beta t}的傅里叶变换,即:

    F(s)=F(\beta + j\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}\bigg[f(t)u(t)e^{-\beta t}\bigg]e^{-j\omega t}dt

    根据傅里叶逆变换公式:

    f(t)u(t)e^{-\beta t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{jwt}dw

    两边同时乘以e^{\beta t}

    \\ f(t)u(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot e^{\beta t} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d\omega\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(j\omega)=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)

    \omega在积分区间(-\infty, \infty)变化时候,\beta + j \omega(\beta -j\infty, \beta + j\infty)上变化,所以积分式可以化为:

    \\ f(t)u(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot e^{\beta t} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d\omega\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(j\omega)=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)

    s=\beta + j\omega, 则积分式变为:

    \\ f(t)u(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot e^{\beta t} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d\omega\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(j\omega)=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(\beta + j\omega)e^{(\beta +j\omega) t}d(\beta + j\omega)\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}d(s)

    所以:

    f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}d(s)\ (t > 0)

    所以,拉普拉斯变换和反变换公式总结为:

    \mathbf{\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt}

    \mathbf{\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds \ \ (t > 0)}

    拉普拉斯反变换积分路径是复平面一条直线,它的实部为\beta,也就是复平面上Re(s)=\beta的一条直线.如果F(s)在直线c上有奇点,则要求\beta > c,也就是要求\beta大于F(s)所有奇点的正实部.

    如下图:

    换句话说,如果c>0,说明时域的信号如此发散,以至于必须乘以一个e^{-\beta t}\ (\beta > c)的衰减信号才能满足绝对可积的条件.在控制系统稳定性分析中,如果特征根的实部大于零,那就麻烦大了,说明系统存在e^{ct}的模态信号分量输出,系统不稳定.

    由于s=\beta + j\omega

    所以:

    d(s)=d(\beta+j\omega)

    因为\beta是常量,所以

    \mathbf{d(s)=d(\beta+j\omega)=d(j\omega)=j\cdot d(\omega)}

    反演积分公式从形式上看,是一堆堆的向量进行积分后,得到一个时域的实数信号,学过复数我们知道,概率上来讲,一堆随机的复数相加结果是实数,基本上是不可能的,虚部很难保证恰好消掉。但反演积分却必须保证消掉虚部,因为时域信号一定是实数嘛。

    我们从形式上看一下为什么反演化积分结果一定是没有虚部的,根据上面的推导:

    \\ \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds \ \ (t > 0)=\frac{1}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}d\omega

    s是复数,对于函数 :

    J(s)=F(s)e^{st}

    来讲,根据复数性质:

    J(\bar{s})=F(\bar{s})e^{\bar{s}t}=\overline{F(s)e^{st}}=\overline{J(s)}

    由于\beta不变,积分虚部关于实轴对称,对于每个s的积分,都有互为共轭的两个s取值,所以积分过程中,累计虚部一定可以消去,最终的积分值是不带虚部的。


    先看一个直观一点的例子,以单位阶跃信号u(t)为例,它的拉普拉斯变换为:

    F(s)=\int_{0}^{+\infty}u(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}

    拉普拉斯变换在形式上非常有特点,它把积分变成倒数,又把微分变成幂乘, 所以,有的时候也被称为拉普拉斯算子。

    它的图象是:

    取正实部的部分:

    如果要算反变换,相当于沿着x=\beta的平面与F(s)的交线取路径积分,当\beta不断变化是,积分曲线扫过整个拉普拉斯平面。不过积分结果和积分曲线的选择没有关系,沿着任何一条线进行积分的结果都是相同的,最终都是拉普拉斯变换代表的时域信号。

    \beta可以任意取,都不会影响反变换的结果,只要积分路径在F(s)的存在域中。

    F(s)=\int_{0}^{+\infty}u(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{+\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}

    \mathbf{f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{s}e^{s t}ds =1=u(t) \ \ (t > 0)}

    时域结果为单位阶跃函数。

    这个积分要用到复变函数中的留数定理来算,公式有多复杂,结果就有多让人惊讶,我一直怀疑书本在骗我,以至于多年后我很还想找一个类似于傅里叶变换圆环那样的可视化方法来说明这个结果,无奈功力还是未到,只能先借助于python mpmath(pip/pip3 install mpmath) 库的 invertlaplace函数说明,它的结果确实是1.

    from mpmath import *
    mp.dps = 15; mp.pretty = True
    tt = [0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 9793792345]
    fp = lambda p: 1/(p)
    ft = lambda t: 1
    print invertlaplace(fp,tt[0],method='talbot')
    print invertlaplace(fp,tt[1],method='talbot')
    print invertlaplace(fp,tt[2],method='talbot')
    print invertlaplace(fp,tt[3],method='talbot')
    print invertlaplace(fp,tt[4],method='talbot')
    print invertlaplace(fp,tt[5],method='talbot')
    

    运行结果:

    可以看到,在时间点[0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 9793792345]处,积分值固定为1,猜测mpmath库里面用了数值计算方法来计算积分值,如果是这样的话,说明公式没有骗我们。

    \\f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{s}e^{s t}ds =\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{s}e^{s t}\cdot j\cdot d(\omega)=\frac{1}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{s}e^{s t}d\omega\\=\frac{1}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{s}e^{s t}d\omega=\frac{1}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{\beta+j\omega}e^{\beta t+j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{\beta+j\omega}e^{\beta t+j\omega t}d\omega\\=\frac{e^{\beta t}}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{1}{\beta+j\omega}e^{j\omega t}d\omega=\frac{e^{\beta t}}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{cos(\omega t)+jsin(\omega t)}{\beta+j\omega}d\omega\\=\frac{e^{\beta t}}{2\pi }\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{(cos \omega t+jsin\omega t)(\beta -j\omega)}{\beta^2+\omega^2}d\omega=

    \frac{e^{\beta t}}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\beta\cdot cos \omega t+\omega sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}d\omega

    利用wolframalpha求积分工具,可以得到上式子的不定积分(定积分需要单独收费。。。)

    从形式上,可以看到确实出现e^{-\beta t}可以和积分式前面的额系数相抵消的情况,虽然无法得到精确结果,但我们可以大胆猜测,这个结果就是常数1.

    (思考此问题有一段时间了,还是感觉无法像周期函数傅立叶变换那样画圆的方式来说明拉普拉斯变换,原因可能和对偶性有关,周期<-->离散,连续<-->非周期在时间域和频率域之间是对偶的,所以对于时间域为连续非周期的的拉普拉斯原函数,变换后一定是非周期且连续的拉普拉斯变换结果,既然频率域是连续的,当然无法表示为离散的频率点的圆周旋转了。)

    Matlab绘制此函数的模曲面图,可以看到,因为是模曲面,相位为0,所以全图红色。

    matlab代码:

    z = cplxgrid(30);
    subplot(1,1,1);
    cplxmap(z,abs(z.^(-1)));%幂函数z^n
    colorbar('vert');
    title('复幂函数');
    

    和傅里叶变换的关系:

    拉普拉斯变换和逆变换的公式:

    \\ F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \\f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds (t > 0)

    对比傅里叶变换的公式:

    \\F(\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-iwx}dx \quad (-\infty <\omega <\infty ) \\ \\f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{iwx}dw \quad (-\infty <\omega <\infty ) \\

    可以看到形式上几乎完全相同,排除积分区间的因素,当拉普拉斯的积分变量中s=\beta + j\omega,取\beta =0时,拉普拉斯变换就变为傅里叶变换.所以,我们先看一下傅里叶变换的几何意义.

    周函数的傅里叶变换叫做傅里叶级数,它的复数形式是:

    \\ F(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{-inx}dx \\f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{inx}

    公式

    f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{inx}

    看起来有些奇怪,F(n)是复数,e^{inx}也是复数,而f(x)是实信号,复述乘在一起,再做累加怎么就变成实数了?
    复指数函数e^{inx}可以表示一个连续旋转的圆,当n\in [-\infty, \infty]时,他表示一组按照不同频率旋转的单位圆,而F(n)则表示对应单位圆的幅度因子和初始相位,也可以认为是某种形式的坐标,如下图所示:

    注意到n \in[-\infty, \infty],当n\in[0, \infty)时,e^{inx}代表逆时针旋转的圆,当n\in(-\infty, 0)时,表示的是顺时针旋转的圆,任意时刻,e^{-i\beta x}e^{i\beta x}代表的两个单位圆旋转角速度相同,旋转方向相反。

    再回头看看

    F(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{-inx}dx=\frac{a_n-ib_n}{2}

    F(-n)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{inx}dx=\frac{a_n+ib_n}{2}

    也就是说,F(-n),F(n)互为共轭,F(n)决定了旋转元的半径系数和初始相位,互为共轭的两个负数作为e^{-i\beta x}e^{i\beta x}的系数,则再任意时刻F(-\beta)\cdot e^{-i\beta x}F(\beta)\cdot e^{i\beta x}旋转速度相同,方向相反,相位相反,所以互为共轭,对于\beta是这样,对于n \in[-\infty, \infty]也都是如此,所以,综合起来的效果

    f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{inx}

    代表沿着时间轴分布的无穷多个小圆的旋转的叠加,由于虚部互相抵消,只留下实数部分,实部叠加的结果,就是f(x).

    关于初始相位互为共轭的两个相同角频率的向量和,虚部消去,只剩下实部,可以用下图说明:

    上图说明,e^{-i\beta x}e^{i\beta x}两个旋转的圆合成后只在实轴上有投影,虚轴上的投影为0.

    为了解释方便,上图使用了二维坐标系展示e^{i\beta x}函数的特点,实际上,由于e^{i\beta x}的结果是复数,包含两个维度,再加上自变量x,一共有三个维度,需要在三维坐标系中才能展示全图,在三维坐标系中,e^{i\beta x}是一个螺旋曲线,如下图所示:

    从不同的角度看,螺旋线在二维平面中的投影就变成了正弦或者余弦:

    正弦:

    你能看到上图中所有的维度么?还是你只能看到圆周上转动的点?你看不到螺旋。


    以方波信号的傅里叶分解为例,我们看一下这些无穷多个向量的叠加效果,图中每一小段就可以认为F(n)\cdot e^{inx}代表的一个向量(实际上只有正频率部分,复频率没有绘制出来,原因是如果加上负频率后,终点只会上下浮动了,虚部表示的转动部分再图上就看不出来了,看着附图,忽略掉虚部投影即可。我们只关心一个方向上的投影就能绘制出原图,就是因为另一个方向上的投影已经被负频率 ”中和“ 掉了).

    向量的魔法:

    这个就是傅里叶级数和傅里叶变换的几何直观描述。

    本质上,拉普拉斯的几何描述和傅里叶变换没有区别,只是由于e^{\beta t}因子的存在,在单位圆的半径的表示上有所区别。转动的单位圆则完全一样。

    \\ F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \\f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds (t > 0)

    将逆变换转换形式:

    f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{P_m(s)}{Q_n(s)}e^{s t}ds

    其中

    F(s)=\frac{P_m(s)}{Q_n(s)} \ \ (m < n)

    其中m,n分别为分子和分母关于s多项式的最高阶次,由于现实世界中任何信号都是因果信号,并且具有惯性,所以一定满足m<n.

     则进一步化为:

    \\ f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}F(s)e^{s t}ds=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{P_m(s)}{Q_n(s)}e^{s t}ds\\=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{Re[P_m(\omega, \beta)]+Im[P_m(\omega, \beta)]}{Re[Q_n(\omega, \beta)]+Im[Q_n(\omega, \beta)]}e^{(\beta + j\omega)t}ds \\=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty}^{\beta +j\infty}\frac{Re[P_m(\omega, \beta)]+Im[P_m(\omega, \beta)]}{Re[Q_n(\omega, \beta)]+Im[Q_n(\omega, \beta)]}e^{\beta t} \cdot e^{j\omega t} d\omega

    e^{j\omega t}是单位圆,我们很熟悉,再来看这个复杂一些的多项式分式

    \frac{Re[P_m(\omega, \beta)]+Im[P_m(\omega, \beta)]}{Re[Q_n(\omega, \beta)]+Im[Q_n(\omega, \beta)]}e^{\beta t}

    由于\beta是常数, 所以整个分式可以看成是角频率\omega的函数:

    g(\omega)=\frac{Re[P_m(\omega, \beta)]+Im[P_m(\omega, \beta)]}{Re[Q_n(\omega, \beta)]+Im[Q_n(\omega, \beta)]}e^{\beta t}

    由于m<n,当\left | \omega \right |\rightarrow +\infty时,\left | g(\omega) \right |\rightarrow 0

    所以,拉普拉斯逆变换的效果和傅里叶逆变换类似,它的时域波形也是由无数个半径逐渐减小的频域圆”组装“而成的。


    从一个更复杂一些的例子中看傅里叶变换和拉普拉斯变换的联系:

    信号

    f(t)=e^{-t}sin(t)

    其拉氏变换为:

    \\F(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}sin(t)e^{-st}dt=-\frac{e^{-(s+1)t}((s+1)sin(t)+cos(t))}{s^2+2s+2}\bigg|_{0}^{+\infty}\\=0-(-\frac{1}{s^2+2s+2})=\frac{1}{(s+1)^2+1}

    所以:

    F(s)=\frac{1}{(s+1)^2+1}

    s=\beta + i\omega,当\beta \in R上取值时,e^{-t}sin(t)e^{-\beta t}傅里叶变换为:

    其扫过的区域的三维立体曲面即是拉普拉斯变换的结果,每一条黑色轨迹都是原函数乘以衰减因子之后的傅里叶变换。

    拉普拉斯变换要求取的衰减因子\beta >0,所以,实际的拉普拉斯模图像为半幅,也就是Re(s)\geq 0的部分:

    再回头看一下此函数的傅里叶变换,先看f(t)的图像:

    可以看出在自变量趋大的过程中,函数的值趋于0,看上去满足绝对可积的条件,我们对其进行积分试试:

    \\F(\omega)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}sin(t)e^{-j\omega t}dt=-\frac{e^{-(j\omega+1)t}((j\omega+1)sin(t)+cos(t))}{s^2+2s+2}\bigg|_{0}^{+\infty}\\=0-(-\frac{1}{(j\omega)^2+2(j\omega)+2})=\frac{1}{(j\omega+1)^2+1}

    其密度谱是:

    和上图的半幅拉普拉斯变换的界面曲线做一下对比,是不是很像? 实际上它们完全一样,所以,傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换在\beta=0时候的特例。

    如果我们尝试把

    f(t)=e^{-t}sin(t)

    改成

    f(t)=e^{-mt}sin(t)

    的形式,并让m值在一定范围内变化,得到如下变化的拉普拉斯图像,注意到当m=0的时候,拉普拉斯变换与yoz平面的截面出现两个尖峰,它恰好对应的是

    f(t)=e^{-mt}sin(t)=e^{-0t}sin(t)=sin(t)

    的在s取实部为0时候的拉普拉斯变换,也就是sin(t)的傅里叶变换,而且正弦函数的傅里叶变换恰好是在正频率和负频率位置处的两个尖峰,这说明在谐振频率处,系统的输出幅值可以达到无穷大,而在其他频率点为0,说明此点没有频率分量.

    这幅动图说明了拉普拉斯变换和傅里叶变换的深刻联系.

    常见函数的laplace变换手搓推导:

    f(t)=\left\{\begin{matrix} 0 \ \ t <0 \\ 1 \ \ t > 0 \end{matrix}\right.

    \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt=-\frac{1}{s}\bigg|_0^\infty=\frac{1}{s}

    f(t)=\left\{\begin{matrix} 0 \ \ t <0 \\ At \ \ t > 0 \end{matrix}\right.

    \\ \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}A\cdot t\cdot e^{-st}dt=-\frac{A\cdot t}{s}\cdot e^{-st}\bigg|_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\frac{-A\cdot e^{-st}}{s}dt \\=\frac{A}{s}\cdot(-\frac{1}{s}\cdot e^{-st})\bigg|_0^{\infty}=\frac{A}{s^2}

    本文受到了这篇文章的启发.


    结束!

    展开全文
  • 拉普拉斯变换中使被积函数收敛的复数域。先求传递函数的极点(Poles),再通过极点值将传递函数转化为易被逆变换的形式。 体现了经典控制工程的基本控制理念:通过设计不同的系统输入U(s),然后令U(s)乘以G(s),去...

    拉普拉斯变换的收敛域(ROC):

    定义:

            在拉普拉斯变换中使被积函数收敛的复数域。

    例题:

     用拉普拉斯变换求解线性微分方程:

    步骤:

    • 1)用拉普拉斯变换把时域(t)转化为复数域(s)上
    • 2)求解代数方程
    • 3)用拉普拉斯的逆变换把复数域(s)转化为时域(t)上

    步骤3讲解(拉普拉斯的逆变换):

            先求传递函数的极点(Poles),再通过极点值将传递函数转化为易被逆变换的形式,最后进行逆变换。

    例题1:

     例题2:

     

     例题:

     

     

    体现了经典控制工程的基本控制理念:

            通过设计不同的系统输入U(s),然后令U(s)乘以G(s),去配置这个系统的极点,让极点到我们希望的地方,从而达到控制系统输出x(t)的目的。

    系统稳定性与极点分析:

            对于一个系统,首要保持的是稳定。在分析一个系统时,首要明确分析对象。

    系统稳定概念:

            传递函数的极点在复平面的左半部分。

     系统的状态分为:

    1)不稳定;

            当t趋近无穷时,x(t)也趋近无穷。

     2)临界稳定;

             当t趋近无穷时,|x(t)|<M。

    3)稳定。

            当t趋近无穷时,x(t)趋近0。

     BIBO稳定:

            若一个系统是BIBO稳定的,那么如果系统输入是有界的,系统输出也是有界的。(临界稳定和稳定都是BIBO稳定)

     从传递函数角度分析系统稳定:

    极点配置(经典控制理论的核心设计思路):

            通过设计传递函数中的D(控制器),使得传递函数的极点在复平面的左半平面。

     

     例1:

     例2:

     

     

    总结: 根据传递函数的极点所在复平面的位置,判断系统的稳定性。

     拉普拉斯变换的应用:

    拉普拉斯变换的性质:        

    微分性质:

     

     积分性质:

     卷积定理:

    求解方法:

    • 1)对微、积分方程(组)作拉普拉斯变换(f(t)->F(s));
    • 2)把拉普拉斯变换后的方程整理为一个代数方程;
    • 3)在代数方程里求解F(s);
    • 4)对F(s)作逆变换得到f(t)。

    例1:微分方程

     例2:边界条件微分方程

     例3:变系数微分方程:

     例4:积分方程

     例5:实际应用——力学系统

     例6:方程组

    展开全文
  • 很多时候,对信号的处理是很特殊的,比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后,输出仍然是正弦信号,只是幅度和相位有一个变化(实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数,就好像矩阵的特征向量一样...
  • 拉普拉斯变换和Z变换

    2021-10-10 11:45:17
    文章目录拉普拉斯变换 摘自 《The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing》 信号处理中常采用卷积和傅里叶分析两种方法来分析线性系统,从它的脉冲响应或频率响应两个方面去理解线性系统...
  • 拉普拉斯变换与傅里叶变换

    千次阅读 2019-03-04 19:08:07
    说明:本文中的“正弦信号”泛指按照正弦(sin)函数或者余弦(cos)函数规律变化的信号,因为二者变化规律实际相同,只存在相位差异。 解释要让人听得懂,映射、空间、变换这样的数学术语,也许211、985的大神能...
  • 傅立叶变换和拉普拉斯变换都是积分变换,傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。
  • 图像的变换 正弦波的振幅 A 、 频率和相位 φ ...拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏变换。 [1] 拉氏变换是一个线性变换,可将一个有参数实数t(t≥ 0)的函数转换为一个参数为复数...
  • 拉普拉斯变换

    2022-07-15 10:08:24
    拉普拉斯变换相关知识的整理,参考书籍:《复变函数与积分变换》华中科技大学
  • 拉普拉斯变换是我们设计电路的重要数学工具,应用性非常强。前面的文章中我们介绍了傅里叶变换,现在我们来看看拉式变换的应用。 按照惯例,先从拉式变换的实际应用入手,最后再来推导它本身。这样对于一些急于应付...
  • 本文是给学物理竞赛的同学写的保角变换教程,文中的数学定义会不太严格。一. 一点点的复变函数知识鉴于很多同学并没有时间和精力去学数理方法,我们先在正式介绍保角变换前介绍一些接下来会用到的复变函数知识。复变...
  • 拉普拉斯变换和拉普拉斯分析基于matlab总结

    千次阅读 多人点赞 2020-06-29 22:38:10
    laplace(ft) 单边拉普拉斯变换 ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换 num=[1 0];den=[1 0 100]; %X=s/(s^2+100) sys=tf(num,den); %建立一个传递函数,分子为num,分母为den poles=roots(den) %求极点 pzmap(sys); %零极点...
  • 第二章 拉普拉斯变换

    千次阅读 2020-05-17 08:37:50
    文章目录Laplace 变换2.1 Laplace变换概念2.1.1 Laplace变换引入2.1.2 Laplace变换的定义2.1.3 Laplace变换的存在性定理2.1.4 常见函数的Laplace变换2.2 Laplace变换的性质2.2.1线性性质2.2.2 微分性质2.2.3 积分...
  • 一、简要描述:拉普拉斯算子是图像二阶空间导数的二维各向同性测度。拉普拉斯算子可以突出图像中强度发生快速变化的区域,因此常用在边缘检测任务当中。在进行Laplacian操作之前通常需要先用高斯平滑滤波器对图像...
  • 一. 1.1定义 在傅氏变换的基础上,去掉t<0时的实轴范围,并对于复参数s=β+jω, 则有积分: F(S) = L[f(t)]\mathscr{L}[f(t)]L[f(t)] ...我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换 反之f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换 1.2与傅...
  • 作者丨DBinary@知乎 来源丨https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211 编辑丨极市平台 作为一个资深信号狗,必须强答一波这个......篇文章带你从三角函数推导到傅里叶变换再到实际应用做出实际功能产品...
  • 拉普拉斯变换卷积积分状态方程.ppt

    千次阅读 2020-12-24 08:13:32
    拉普拉斯变换卷积积分状态方程* 浙江大学电工电子教学中心 电路原理教程(下)(PPT教学软件) 2011.2 第九章 拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程 主要内容: (1) 拉氏变换的定义及基本性质; (2) 拉氏反变换方法(分解定理)...
  • 信号与系统课件:第九章 拉普拉斯变换.ppt
  • 【十四】拉普拉斯变换——3

    千次阅读 2019-06-09 14:45:48
    傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用,很大程度上是因为相当广泛的信号都可以...拉普拉斯变换的定义 设函数,当有定义,而且积分 s为一复数变量,成为复频率。 在所确定的某一收敛域内收敛...
  • 针对工程实际中,在用积分法求解若干荷载作用下的静定梁变形时,计算过程繁琐的问题,本研究将单位阶跃函数引人梁挠曲轴近似微分方程中,再应用拉普拉斯变换方法求解梁挠曲轴近似微分方程,并用实际算例对其进行了...
  • 前言 以前有一次想把三角波,转换成矩形波,因为刚学了模电,我知道可以用微分放大电路来做。...在【反馈】传递函数(系统函数)----------来自《企业级编程与控制理论》 里有推导,拉普拉斯的系统中
  • 拉普拉斯变换是控制工程常用的数学工具,它除了可以很方便的求解微分方程外,还引出了经典控制理论的数学基础——传递函数。但这个变换对于初学者来说却十分头疼,定义复杂不说,完全看不出有什么含义。我们先来看下...
  • 1、Z变换在数学和信号处理上,把一连串离散的实数或...有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易,但若将实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实...
  • Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)(1) 傅里叶变换定义:表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。傅立叶变换是一种...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 5,924
精华内容 2,369
关键字:

拉普拉斯变换的实际应用