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  • 拉普拉斯变换积分性质
    2021-12-24 18:19:16

    信号与系统笔记

    信号与系统笔记

    拉普拉斯变换的性质

    对于信号与系统中拉普拉斯变换这一部分的知识点的一点笔记。其中,标记出的几个知识点是比较常用且重要的。

    1.线性性质

    a 1 f 1 ( t ) + a 2 f 2 ( t ) ↔   a 1 F 1 ( s ) + a 2 F 2 ( s ) , R e [ s ] > m a x ( σ 1 , σ 2 ) \colorbox{orange} {\displaystyle $a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t) \leftrightarrow\ a_{1}F_{1}(s)+a_{2}F_{2}(s) , Re[s] > max(\sigma _{1},\sigma _{2})$} a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(s)+a2F2(s),Re[s]>max(σ1,σ2)

    2.尺度变换


    f ( t ) ↔   F ( s ) , R e [ s ] > σ 0 f(t)\leftrightarrow\ F(s),Re[s]> \sigma_{0} f(t) F(s),Re[s]>σ0
    且实数 a>0,则有
    f ( a t ) ↔   1 a F ( s a ) , R e [ s ] > a σ 0 \colorbox{orange} {$f(at) \leftrightarrow\ \frac{1}{a} F(\frac{s}{a}),Re[s]> a\sigma_{0}$} f(at) a1F(as),Re[s]>aσ0

    3.时移(延时)性质


    f ( t ) ↔   F ( s ) , R e [ s ] > σ 0 f(t)\leftrightarrow\ F(s),Re[s]> \sigma_{0} f(t) F(s),Re[s]>σ0
    且有 t 0 > 0 t_{0}>0 t0>0,则
    f ( t − t 0 ) ε ( t − t 0 ) ↔ e − s t 0 F ( s ) \colorbox{orange} {\displaystyle $f(t-t_{0}) \varepsilon (t-t_{0})\leftrightarrow e^{-st_{0}} F(s)$} f(tt0)ε(tt0)est0F(s)
    与尺度变换的性质进行结合之后得到,
    f ( a t − t 0 ) ε ( a t − t 0 ) ↔ 1 a e − t 0 a s F ( s a ) f(at-t_{0}) \varepsilon (at-t_{0})\leftrightarrow \frac{1}{a} e^{-\frac{t_{0}}{a}s} F(\frac{s}{a}) f(att0)ε(att0)a1eat0sF(as)

    4.复频移特性

    f ( t ) e s 0 t ↔ F ( s − s 0 ) \colorbox{orange} {$f(t)e^{s_{0}t} \leftrightarrow F(s-s_{0})$} f(t)es0tF(ss0)
    来举一个例子,已知 f ( t ) = e − 2 ( t − 1 ) ε ( t ) f(t)=e^{-2(t-1)} \varepsilon (t) f(t)=e2(t1)ε(t),求其拉普拉斯变换:

    (1)首先,将 e − 2 ( t − 1 ) e^{-2(t-1)} e2(t1)变化为 e − 2 t ⋅ e 2 e^{-2t} \cdot e^{2} e2te2,又已知 ε ( t ) ↔ 1 s \varepsilon (t) \leftrightarrow \frac{1}{s} ε(t)s1
    (2)再根据复频移的性质将 ε ( t ) \varepsilon(t) ε(t)看作式子中的 f ( t ) f(t) f(t) e − 2 t e^{-2t} e2t看作式子中 e s 0 t e^{s_{0}t} es0t,代入得到
    e − 2 t ε ( t ) ↔ 1 s + 2 e^{-2t}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{s+2} e2tε(t)s+21
    (3)最后将多出来的 e 2 e^{2} e2补到式子右端就得到答案了。
    所以最后答案为
    e − 2 t ⋅ e 2 ε ( t ) ↔ 1 s + 2 ⋅ e 2 e^{-2t} \cdot e^{2}\varepsilon (t) \leftrightarrow \frac{1}{s+2} \cdot e^{2} e2te2ε(t)s+21e2

    5.时域微分性质


    f ( t ) ↔   F ( s ) , R e [ s ] > σ 0 f(t)\leftrightarrow\ F(s),Re[s]> \sigma_{0} f(t) F(s),Re[s]>σ0
    则有

    时域s域
    f ( 1 ) ( t ) {f}^{(1)}(t) f(1)(t) s F ( s ) − f ( 0 − ) sF(s)-f(0_{-}) sF(s)f(0)
    f ( 2 ) ( t ) {f}^{(2)}(t) f(2)(t) s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ( 1 ) ( 0 − ) s^{2}F(s)-sf(0_{-})-{f}^{(1)}(0_{-}) s2F(s)sf(0)f(1)(0)
    f ( n ) ( t ) {f}^{(n)}(t) f(n)(t) s n F ( s ) − ∑ m = 0 n − 1 s n − 1 − m f ( m ) ( 0 − ) s^{n}F(s)- \sum_{m=0}^{n-1} s^{n-1-m}{f}^{(m)}(0_{-}) snF(s)m=0n1sn1mf(m)(0)

    f ( t ) f(t) f(t)为因果信号, f ( n ) ( t ) ↔ s n F ( s ) f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^{n}F(s) f(n)(t)snF(s)

    举个例子,已知 cos ⁡ ( ω 0 t ) ↔ s s 2 + ω 0 2 \cos (\omega _{0}t)\leftrightarrow \frac{s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}} cos(ω0t)s2+ω02s,求 d d t [ cos ⁡ 2 t ε ( t ) ] \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} [\cos{2t\varepsilon (t)}] dtd[cos2tε(t)] d d t [ cos ⁡ 2 t ] \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} [\cos{2t}] dtd[cos2t]

    注意看前者是包含 ε ( t ) \varepsilon (t) ε(t)的,由于 ε ( t ) \varepsilon (t) ε(t)只有在大于零的范围值为一,所以前者为因果信号,而后者不是因果信号。
    所以根据时域微分性质,

    d d t [ cos ⁡ 2 t ε ( t ) ] ↔ s s s 2 + 4 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} [\cos{2t\varepsilon (t)}]\leftrightarrow s\frac{s}{s^{2}+4} dtd[cos2tε(t)]ss2+4s
    d d t [ cos ⁡ 2 t ] ↔ s s s 2 + 4 − f ( 0 − ) = s s s 2 + 4 − 1 = − 4 s 2 + 4 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} [\cos{2t}]\leftrightarrow s\frac{s}{s^{2}+4} -f(0_{-})=s\frac{s}{s^{2}+4}-1=\frac{-4}{s^{2}+4} dtd[cos2t]ss2+4sf(0)=ss2+4s1=s2+44

    6.时域积分性质

    f ( − 1 ) ( t ) = ∫ − ∞ t f ( x ) d x ↔ 1 s F ( s ) + 1 s f ( − 1 ) ( 0 − ) \colorbox{orange}{$f^{(-1)}(t)=\int_{-\infty }^{t} f(x)dx\leftrightarrow\frac{1}{s} F(s)+\frac{1}{s} f^{(-1)}(0_{-})$} f(1)(t)=tf(x)dxs1F(s)+s1f(1)(0)
    f ( t ) f(t) f(t)为因果信号时, ( ∫ 0 − t ) n f ( x ) d x ↔ 1 s n F ( s ) (\int_{0_{-}}^{t} )^{n}f(x)dx\leftrightarrow\frac{1}{s^{n}}F(s) (0t)nf(x)dxsn1F(s)
    注意一个知识点
    t n ε ( t ) ↔ n ! s n + 1 \colorbox{orange}{$t^{n}\varepsilon (t)\leftrightarrow \frac{n!}{s^{n+1}} $} tnε(t)sn+1n!

    7.卷积定理

    时域卷积
    f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ↔ F 1 ( s ) ⋅ F 2 ( s ) f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(s)\cdot F_{2}(s) f1(t)f2(t)F1(s)F2(s)
    s域卷积
    f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ↔ 1 2 π j [ F 1 ( s ) ∗ F 2 ( s ) ] f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\leftrightarrow\frac{1}{2\pi j} [F_{1}(s)\ast F_{2}(s) ] f1(t)f2(t)2πj1[F1(s)F2(s)]

    8.s域微分和积分

    微分
    ( − t ) n f ( t ) ↔ d n F ( s ) d s n (-t)^{n}f(t)\leftrightarrow\frac{\mathrm{d} ^{n}F(s)}{\mathrm{d} s^{n}} (t)nf(t)dsndnF(s)

    积分
    f ( t ) t ↔ ∫ s ∞ F ( η ) d η \frac{f(t)}{t}\leftrightarrow\int_{s}^{\infty } F(\eta )d\eta tf(t)sF(η)dη
    举个例子,已知 sin ⁡ ( ω 0 t ) ↔ 1 s 2 + ω 0 2 \sin (\omega _{0}t) \leftrightarrow \frac{1}{s^{2}+\omega _{0}^{2}} sin(ω0t)s2+ω021
    sin ⁡ t t ε ( t ) \frac{\sin t}{t} \varepsilon (t) tsintε(t)的拉普拉斯变换:

    根据s域积分性质,我们将 sin ⁡ ( t ) ε ( t ) \sin(t) \varepsilon (t) sin(t)ε(t)看作式子中的 f ( t ) f(t) f(t)
    得到 sin ⁡ ( t ) ε ( t ) t ↔ ∫ s ∞ 1 η 2 + 1 d η = arctan ⁡ 1 s \frac{\sin (t)\varepsilon (t)}{t} \leftrightarrow\int_{s}^{\infty } \frac{1}{\eta ^{2}+1} d\eta =\arctan \frac{1}{s} tsin(t)ε(t)sη2+11dη=arctans1

    t ε ( t ) t\varepsilon (t) tε(t)这个函数可以根据678三个性质求解出其拉普拉斯变换。

    (1)时域积分
    对于 t ε ( t ) t\varepsilon (t) tε(t)这个函数来说,它是斜升函数,是阶跃函数 ε ( t ) \varepsilon (t) ε(t)的积分。

    t ε ( t ) = ∫ 0 t ε ( τ ) d τ ↔ 1 s F ( s ) = 1 s ⋅ 1 s = 1 s 2 t\varepsilon (t)=\int_{0}^{t} \varepsilon (\tau )d\tau \leftrightarrow\frac{1}{s} F(s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s} =\frac{1}{s^{2}} tε(t)=0tε(τ)dτs1F(s)=s1s1=s21

    (2)卷积定理
    对于 t ε ( t ) t\varepsilon (t) tε(t)这个函数来说,通过卷积定理可知, t ε ( t ) = ε ( t ) ∗ ε ( t ) t\varepsilon (t)=\varepsilon (t)\ast \varepsilon (t) tε(t)=ε(t)ε(t)

    ε ( t ) ∗ ε ( t ) ↔ F ( s ) ⋅ F ( s ) = 1 s ⋅ 1 s = 1 s 2 \varepsilon (t)\ast \varepsilon (t)\leftrightarrow F(s)\cdot F(s)=\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} =\frac{1}{s^{2}} ε(t)ε(t)F(s)F(s)=s1s1=s21

    (3)s域微分

    ( − t ) ε ( t ) ↔ d F ( s ) d s = − 1 s 2 (-t)\varepsilon (t)\leftrightarrow \frac{\mathrm{dF(s)}}{\mathrm{d}s}=-\frac{1}{s^{2}} (t)ε(t)dsdF(s)=s21
    t ε ( t ) ↔ 1 s 2 t\varepsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{s^{2}} tε(t)s21

    9.初值定理和终值定理

    这一定理多用于直接求 f ( 0 + ) f(0_{+}) f(0+) f ( ∞ ) f(\infty ) f(),不用求出原函数 f ( t ) f(t) f(t)
    初值定理
    f ( 0 − ) = lim ⁡ t → 0 + f ( t ) = lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) \colorbox{orange} {$f(0_{-})=\lim_{t \to 0_{+}} f(t)=\lim_{s \to \infty} sF(s)$} f(0)=limt0+f(t)=limssF(s)
    这一性质要求函数 f ( t ) f(t) f(t)不含 δ ( t ) \delta (t) δ(t)及其各阶导数,即 F ( s ) F(s) F(s)必须为真分式。[^2]
    为什么函数 f ( t ) f(t) f(t)不能含有 δ ( t ) \delta (t) δ(t)及其各阶导数呢?

    我们举一个例子,如果这里有一个函数 f ( t ) = δ ( t ) + ε ( t ) f(t)=\delta (t)+\varepsilon (t) f(t)=δ(t)+ε(t),由于 δ ( t ) ↔ 1 \delta (t)\leftrightarrow1 δ(t)1, ε ( t ) ↔ 1 s \varepsilon (t)\leftrightarrow\frac{1}{s} ε(t)s1,则这个函数 F ( s ) F(s) F(s) 1 + 1 s = s + 1 s 1+\frac{1}{s}=\frac{s+1}{s} 1+s1=ss+1,这是一个假分式。而由于 δ n ( t ) ↔ s n \delta ^{n}(t)\leftrightarrow s^{n} δn(t)sn,所以它的各阶导数更是为假分式。

    终值定理
    f ( t ) f(t) f(t) t → ∞ t \to \infty t时的极限存在,且 f ( t ) ⟷ F ( s ) , R e [ s ] > σ 0 , σ 0 < 0 f(t)\longleftrightarrow F(s),Re[s]>\sigma _{0},\sigma _{0}<0 f(t)F(s),Re[s]>σ0,σ0<0
    则有,
    f ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \colorbox{orange} {$f(\infty )=\lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)$} f()=limtf(t)=lims0sF(s)
    注意一点,对于终值定理来说,s=0的点应在 s F ( s ) sF(s) sF(s)收敛域内。

    总结

    名称时域s域
    线性 ∑ i = 1 n k i f i ( t ) \sum_{i=1}^{n} k_{i}f_{i}(t) i=1nkifi(t) ∑ i = 1 n k i F i ( s ) \sum_{i=1}^{n} k_{i}F_{i}(s) i=1nkiFi(s)
    尺度变换 f ( a t ) f(at) f(at) 1 a F ( s a ) \frac{1}{a} F(\frac{s}{a}) a1F(as)
    时移 f ( t − t 0 ) ε ( t − t 0 ) f(t-t_{0}) \varepsilon (t-t_{0}) f(tt0)ε(tt0) e − s t 0 F ( s ) e^{-st_{0}} F(s) est0F(s)
    复频移 f ( t ) e s 0 t f(t)e^{s_{0}t} f(t)es0t F ( s − s 0 ) F(s-s_{0}) F(ss0)
    时域微分 d f ( t ) d t \frac{\mathrm{df(t)}}{\mathrm{d}t} dtdf(t) s F ( s ) − f ( 0 − ) sF(s)-f(0_{-}) sF(s)f(0)
    时域积分 ∫ − ∞ t f ( x ) d x \int_{-\infty }^{t} f(x)dx tf(x)dx 1 s F ( s ) + 1 s f ( − 1 ) ( 0 − ) \frac{1}{s} F(s)+\frac{1}{s} f^{(-1)}(0_{-}) s1F(s)+s1f(1)(0)
    卷积定理 f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) , f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) f_{1}(t)\ast f_{2}(t),f_{1}(t)\cdot f_{2}(t) f1(t)f2(t),f1(t)f2(t) F 1 ( s ) ⋅ F 2 ( s ) , 1 2 π j [ F 1 ( s ) ∗ F 2 ( s ) ] F_{1}(s) \cdot F_{2}(s),\frac{1}{2\pi j} [F_{1}(s)\ast F_{2}(s) ] F1(s)F2(s),2πj1[F1(s)F2(s)]
    s域微分和积分 t f ( t ) , f ( t ) t tf(t),\frac{f(t)}{t} tf(t),tf(t) d F ( s ) d s , ∫ s ∞ F ( η ) d η \frac{\mathrm{dF(s)}}{\mathrm{d}s},\int_{s}^{\infty } F(\eta )d\eta dsdF(s),sF(η)dη
    初值和终值定理 f ( 0 − ) , f ( ∞ ) f(0_{-}),f(\infty ) f(0)f() lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) , lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \lim_{s \to \infty} sF(s),\lim_{s \to 0} sF(s) limssF(s)lims0sF(s)

    熟悉这些知识点之后,多做练习题就能够慢慢学着活用它们。

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  • 拉普拉斯变换】2. 拉普拉斯变换性质

    千次阅读 多人点赞 2020-07-02 20:49:30
    时域的积分(积分定理) 】【 7. 卷积定理 】【 8. S域微分、积分 】【 9. 初值定理、终值定理 】 【 1. 线性 】 例: 【 2. 时域尺度变换 】 例: 【 3. 时移 】 例: 【 4. S域平移(复频移) 】 ...

    【 1. 线性 】

    在这里插入图片描述

    • 例:
      注意ROC的变化 !!
      在这里插入图片描述

    【 2. 时域尺度变换 】

    在这里插入图片描述

    • 例:
      在这里插入图片描述

    【 3. 时移 】

    在这里插入图片描述

    • 例:
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      傅里叶变换的前提是 f(t) 必须是非递增函数。 1 s − α \frac{1}{s-α} sα1 的拉斯逆变换为 e 2 t ε ( t ) e^{2t}ε(t) e2tε(t)其为增长型函数,不存在傅里叶变换。
      一个信号存在傅里叶变换,就一定存在双边拉氏变换。
      在这里插入图片描述

    【 4. S域平移(复频移) 】

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    • 例:
      在这里插入图片描述

    【 5. 时域的微分(微分定理) 】

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    • 例:
      在这里插入图片描述

    【 6. 时域的积分(积分定理) 】

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    • 例:
      在这里插入图片描述

    【 7. 卷积定理 】

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    • 例:
      先求拉氏变换,对两个原式的拉氏变换相乘即为两个原式卷积后结果的拉氏变换,最后进行逆变换,即得到原式的卷积结果。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    【 8. S域微分、积分 】

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    • 例:
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    【 9. 初值定理、终值定理 】

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    • 例:
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  • 拉普拉斯变换性质

    2022-04-07 08:17:29
    要记忆的拉普拉斯变换 例 变换例题 已知求 解: 2.位移性质 例3 性质3:微分性质 (1). (2). 例 由计算 解: 例:求 解: 积分性质: (1) 推广 到n阶 (2) ...

    线性性质:

    \pounds [f_{1}(t)]=F_{1}(S)

    \pounds [f_{2}(t)]=F_{2}(S)

    \alpha\beta为常数

    则有

    \pounds [\alpha f_{1}(t)+\beta f_{2}(t)]=\alpha F_{1}(S)+\beta F_{2}(S)

    拉普拉斯逆变换

    \pounds^{-} [\alpha F_{1}(S)+\beta F_{2}(S)]=\alpha f_{1}(t)+\beta f_{2}(t)

    要记忆的拉普拉斯变换

    \pounds[e^{rt}]=\frac{1}{s-r}单位阶跃函数移动r

    \pounds[sinRt]=\frac{R}{s^{2}+R^{2}}(sinRt的拉普拉斯逆变换)

    \pounds[cosRt]=\int_{0 }^{+\infty}cosRt\cdot e^{-st}=\frac{S}{s^{2}+R^{2}}(cosRt的拉普拉斯逆变换)

    \pounds[u(t)]=\int_{0 }^{+\infty}u(t)\cdot e^{-st}=\int_{0 }^{+\infty} e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}=\frac{1}{s}(单位阶跃函数的拉普拉斯逆变换)

    \pounds[t^{m}]=\frac{m!}{s^{m+1}}(t的m次方的拉普拉斯逆变换)

    拉普拉斯变换的例题

    已知F(S)=\frac{1}{(s-a)(s-b)}\pounds ^{-}[F(S)]

    解:

    \pounds ^{-}[F(S)]=\pounds^{-1}\frac{1}{(s-a)(s-b)}=\pounds^{-1}\frac{1}{a-b}(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b})

    =\frac{1}{a-b}\cdot e^{at}-\frac{1}{a-b}\cdot e^{bt}

    2.位移性质

    \pounds[e^{at}f(t)]=F(s-a)(f(t)函数乘e^{at}的拉普拉斯变换等于s-a的逆变换

    例3

    \pounds[e^{at}t^{m}]=\pounds[t^{m}]\mid s-a=\frac{m!}{s^{m+1}}\mid s-a=\frac{m!}{(s-a)^{m+1}}

    性质3:微分性质

    (1).\pounds[f{}'(t)]=sF(s)-f(0)(一次求导)

    \pounds[f{}''(t)]=s^{2}F(s)-sf(0)-f{}'(0)(二次求导)

    \pounds[f^{n}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f{}'(0)-....-f^{n-1}(0)(n次求导)

    (2).

    \pounds[tf(t)]=-F{}'(s)(t乘f(t)函数的拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换的求导)

    \pounds[t^{n}f(t)]=(-1)^{n}F^{n}(s)

    例 由\pounds[sinRt]计算  \pounds[cosRt]

    解:

    (cosRt){}'=-RsinRt(求导)

    \pounds[(cosRt){}']=S\pounds[cosRt]-1=\pounds[-RsinRt](借助微分性质1,求解)

    (1-\frac{R^{2}}{s^{2}+R^{2}})/s=\frac{s}{s^{2}+R^{2}}

    例:求 \pounds[te^{-2t}sint]

    解:

    \pounds[te^{-2t}sint]=-\pounds[e^{-2t}sint]{}'=\frac{2}{(s+2)^{2}+4}

    积分性质:

    (1) 

    \pounds[\int_{0}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)

    推广 到n阶

    \pounds[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}...\int_{0}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{s^{n}}F(s)

    (2)

    \pounds[\frac{f(t)}{t}]=\int_{+\infty }^{s}F(s)ds

    例 

    \pounds[\int_{0}^{t}sintdt]=\frac{1}{s}(\frac{1}{s^{2}+1})(用到上面的积分公式)

    \pounds[\int_{0}^{t}sint\cdot e^{t}dt]=\frac{1}{s}(\frac{1}{(s-1)^{2}+1})

    使用积分2性质

    \pounds ^{-}[\frac{e^{-2t}sint}{t}]=\int_{s}^{\infty }\pounds[e^{-2t}sint]ds=\int_{s}^{\infty }\frac{1}{(s+2)^{2}+1}

    5.延迟性质

    若当t<0时,f(t)=0,则对t_{0}\geq 0,有\pounds [f(t-t_{0})]=e^{-st_{0}}F(s)

    例 题

    \pounds [u(t-t_{0})]=e^{-st_{0}}\pounds[u(t)]=\frac{1}{s}e^{-st_{0}}(单位阶跃函数的拉普拉斯变换等于\frac{1}{s}

    拉普拉斯逆变换

    \pounds [f(t)]=F(s),则有

    1.逆变换的求解方法

    留数定理

    S_{1}S_{2}。。。。。S_{n}F(s)的所有奇点。且当S\rightarrow \infty时,F(S)\rightarrow 0

    \frac{1}{2\pi j}\int_{\beta+j\infty}^{\beta-j\infty}F(s)e^{st}dt=\sum_{k=1}^{n}RES[F(s)e^{st},s_{k}]

    一般地:\frac{A(s)}{B(s)}(单极点和多极点的公式)

    S_{1}是一级极点,则RES[F(s)e^{st},s_{1}]=\frac{A(S_{1})e^{s_{1}t}}{B{}'(S_{1})}

    S_{2}是m级极点,则RES[F(s)e^{st},s_{2}]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{s\rightarrow s_{2}}\frac{dm-1}{ds^{m-1}}(\frac{(A(S)e^{st})}{B(s)}(s-s_{2})^{m})

    例 ,利用留数定理求\pounds^{-}[\frac{s}{s^{2}+1}]

    其极点是S_{1}=j,S_{2}=-j

    \pounds^{-}[\frac{s}{s^{2}+1}]=RES[\frac{s\cdot e^{st}}{s^{2}+1},j]+RES[\frac{s\cdot e^{st}}{s^{2}+1},-j]

    =\frac{s\cdot e^{st}}{2s}\mid _{s=j}+\frac{s\cdot e^{st}}{2s}\mid _{s=-j}(分母求导,将极点代入)

    =\frac{e^{jt}}{2}+\frac{e^{-jt}}{2}=cost(欧拉公式转换)

    2.通过拆分部分来求解拉普拉斯逆变换

    例 求\pounds^{-}\frac{1}{s(s-1)^{2}}

    拆分部分分式(高数中有讲到)

    \pounds^{-}\frac{1}{s(s-1)^{2}}=\frac{A}{S}+\frac{B}{S-1}+\frac{C}{(S-1)^{2}}

    1=(s-1)^{2}A+(s-1)s*B+sC

    比较同次幂系数

    \left\{\begin{matrix} A+B=0\\ -2A-1B+C=0\\ A=1 \end{matrix}\right.

    得A=1,B=-1.C=1

    =\frac{1}{S}-\frac{1}{S-1}+\frac{1}{(S-1)^{2}}

    所以 f(t)=1-e^{t}+te^{t}(可以查看上面公式)

    通过卷积定理解拉普拉斯逆变换

    \pounds ^{-}[F_{1}(s)+F_{2}(s)]=f_{1}(t)*f_{2}(t)

    例 \pounds ^{-}[\frac{1}{s^{2}}\frac{1}{s+1}]

    \pounds ^{-}[\frac{1}{s^{2}}\frac{1}{s+1}]=t*e^{-t}=-1+t+e^{-t}

                                                                                                                         

    \frac{}{}

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  • 同傅里叶变换一样,拉普拉斯变换性质也可以实现对更多信号拉普拉斯变换的求解,除此之外,之前提到的求解拉普拉斯反变换的分部分式法以及留数法,也是在拉普拉斯变换具有线性和齐次性的前提下。这一部分内容将对...

    同傅里叶变换一样,拉普拉斯变换的性质也可以实现对更多信号拉普拉斯变换的求解,除此之外,之前提到的求解拉普拉斯反变换的分部分式法以及留数法,也是在拉普拉斯变换具有线性和齐次性的前提下。这一部分内容将对拉普拉斯变换的性质做简要总结。

    在讨论拉普拉斯变换的性质时,除变换本身外,要需要对变换前后收敛区间的变换加以强调。

    1. 线性:

    线性性质说明:信号的和的拉普拉斯变换,等于拉普拉斯变换的和,即“
    L { a 1 f 1 ( t ) + a 2 f 2 ( t ) } = a 1 L { f 1 ( t ) } + a 2 L { f 2 ( t ) } L\{a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\}=a_1L\{f_1(t)\}+a_2L\{f_2(t)\} L{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1L{f1(t)}+a2L{f2(t)}
    收敛区间:通常为 L { f 1 ( t ) } L\{f_1(t)\} L{f1(t)} L { f 2 ( t ) } L\{f_2(t)\} L{f2(t)}的公共部分,但是也有例外,如下面的例子:
    f 1 ( t ) = − e − t ⋅ ε ( t ) ,   f 2 ( t ) = e − t + δ ( t ) ⋅ ε ( t ) f_1(t)=-e^{-t}\cdot \varepsilon(t), \space f_2(t)=e^{-t}+\delta(t)\cdot \varepsilon(t) f1(t)=etε(t), f2(t)=et+δ(t)ε(t)
    f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)的收敛区间分别均为 R e ( s ) > − 1 Re(s)>-1 Re(s)>1,但是当两者相加后,收敛区间扩展成为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)

    适用范围:拉普拉斯变换的线性性质,对单边和双边拉普拉斯变换均适用

    2. 尺度变换特性:

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { f ( a t ) } = 1 ∣ a ∣ F ( s a ) L\{f(at)\}=\frac{1}{\vert a\vert}F(\frac{s}{a}) L{f(at)}=a1F(as)
    收敛区间:

    • a > 0 a>0 a>0时,收敛区间为 a σ 1 < R e ( s ) < a σ 2 a\sigma_1<Re(s)<a\sigma_2 aσ1<Re(s)<aσ2
    • a < 0 a<0 a<0时,收敛区间为 a σ 1 > R e ( s ) > a σ 2 a\sigma_1>Re(s)>a\sigma_2 aσ1>Re(s)>aσ2

    适用范围:

    • 若用于单边拉普拉斯变换,则要求 a > 0 a>0 a>0
    • 对于双边拉普拉斯变换,对 a a a没有要求

    3. 时延特性:

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { f ( t − t 0 ) } = F ( s ) e − s t 0 L\{f(t-t_0) \}=F(s)e^{-st_0} L{f(tt0)}=F(s)est0
    收敛区间:仍为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2

    适用范围:

    • 若用于单边拉普拉斯变换,要求 t 0 ≥ 0 t_0\geq 0 t00
    • 对于双边拉普拉斯变换没有要求。

    应用时延特性,可以求出单边周期信号,即信号 f ( t ) f(t) f(t)按照周期 T T T t > 0 t>0 t>0的部分进行周期化后的信号的拉式变换,如图所示:

    f ( t ) f(t) f(t)的拉普拉斯变换为 F ( s ) F(s) F(s),则单边周期化的信号为:
    f T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ f ( t − n T ) f_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f(t-nT) fT(t)=n=0f(tnT)
    其拉普拉斯变换为:
    L { f T ( t ) } = L { ∑ n = 0 ∞ f ( t − n T ) } = ∑ n = 0 ∞ L { f ( t − n T ) } = ∑ n = 0 ∞ F ( s ) ⋅ e − s n T = F ( s ) [ ∑ n = 0 ∞ e − s n T ] = F ( s ) 1 − e − s T \begin{aligned} L\{ f_T(t)\}&=L\{\sum_{n=0}^{\infty}f(t-nT) \} \\&=\sum_{n=0}^{\infty}L\{f(t-nT) \} \\&=\sum_{n=0}^{\infty}F(s)\cdot e^{-snT} \\&=F(s)[\sum_{n=0}^{\infty}e^{-snT}] \\&=\frac{F(s)}{1-e^{-sT}} \end{aligned} L{fT(t)}=L{n=0f(tnT)}=n=0L{f(tnT)}=n=0F(s)esnT=F(s)[n=0esnT]=1esTF(s)

    4. 复移频特性

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { f ( t ) e s 0 t } = F ( s − s 0 ) L\{f(t)e^{s_0t}\}=F(s-s_0) L{f(t)es0t}=F(ss0)
    收敛区间: σ 1 + R e ( s 0 ) < R e ( s ) < σ 2 + R e ( s 0 ) \sigma_1+Re(s_0)<Re(s)<\sigma_2+Re(s_0) σ1+Re(s0)<Re(s)<σ2+Re(s0)

    使用范围:双边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯变换均适用。

    例如:已知 L { t ε ( t ) } = 1 s 2 L\{t\varepsilon(t)\}=\frac{1}{s^2} L{tε(t)}=s21,收敛区为 R e ( s ) > 0 Re(s)>0 Re(s)>0,则
    L { t ⋅ e s 0 t } = 1 ( s − s 0 ) 2 L\{t\cdot e^{s_0t}\}=\frac{1}{(s-s_0)^2} L{tes0t}=(ss0)21
    收敛区: R e ( s ) > R e ( s 0 ) Re(s)>Re(s_0) Re(s)>Re(s0)

    5. 时域微分特性:

    在了解时域微分特性之前,首先回顾 0 + 0^+ 0+系统和 0 − 0^- 0系统:

    如果在 t = 0 t=0 t=0时刻作为对系统开始观察的时刻,比如施加激励的时刻,或系统状态发生变化的时刻等,在 t = 0 t=0 t=0之后很近的时刻称为 0 + 0^+ 0+时刻,在 t = 0 t=0 t=0之前很近的时刻称为 0 − 0^- 0时刻,如下图所示:

    0 + 0^+ 0+系统:从 t = 0 + t=0^+ t=0+开始考虑系统的激励和响应,响应的拉普拉斯变换为:
    F ( s ) = ∫ 0 + + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{0^+}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=0++f(t)estdt
    0 − 0^- 0系统:从 t = 0 − t=0^- t=0开始考虑系统的激励和响应,响应的拉普拉斯变换为:
    F ( s ) = ∫ 0 − + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{0^-}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=0+f(t)estdt
    0 + 0^+ 0+系统和 0 − 0^- 0系统的主要区别为:

    • t = 0 t=0 t=0时刻,如果激励信号存在冲激信号,则在 t = 0 t=0 t=0时刻系统可能发生跳变,使得 t = 0 − t=0^- t=0时刻的状态和 t = 0 + t=0^+ t=0+时刻的状态不同。
    • 0 + 0^+ 0+系统并没有考虑在 t = 0 t=0 t=0时刻信号加到系统时系统的状态,而是直接考虑信号加载之后的系统状态,即没有考虑系统的初始状态。 0 − 0^- 0系统则考虑了系统的初始状态,在使用拉普拉斯变换时会自动引入初始条件。因此一般都使用 0 − 0^- 0系统的拉普拉斯变换

    时域微分特性:

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { d d t f ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 − ) ,   → 0 − 系 统 L { d d t f ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 + ) ,   → 0 + 系 统 \begin{aligned} &L\{\frac{d}{dt}f(t)\}=sF(s)-f(0^-),\space \rightarrow0^-系统 \\&L\{\frac{d}{dt}f(t)\}=sF(s)-f(0^+),\space \rightarrow0^+系统 \end{aligned} L{dtdf(t)}=sF(s)f(0), 0L{dtdf(t)}=sF(s)f(0+), 0+
    收敛区间:可能会增大,但是不会减小

    适用范围:单边和双边拉普拉斯变换都适用。

    对于多阶微分,其拉普拉斯变换为:
    L { d n d t n f ( t ) } = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 − ) − s n − 2 f ′ ( 0 − ) − ⋯ − s f ( n − 2 ) ( t ) − f ( n − 1 ) ( 0 − ) L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)-s^{n-2}f'(0^-)-\cdots-sf^{(n-2)}(t)-f^{(n-1)}(0^-) L{dtndnf(t)}=snF(s)sn1f(0)sn2f(0)sf(n2)(t)f(n1)(0)
    即:
    L { d n d t n f ( t ) } = s n F ( s ) − s n − 1 ∑ i = 0 n − 1 s − i d i d t i f ( t ) ∣ t = 0 − L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}s^{-i}\frac{d^i}{dt^i}f(t)|_{t=0^-} L{dtndnf(t)}=snF(s)sn1i=0n1sidtidif(t)t=0
    若令初始状态为零,则:
    L { d n d t n f ( t ) } = s n F ( s ) L\{\frac{d^n}{dt^n}f(t)\}=s^nF(s) L{dtndnf(t)}=snF(s)
    可以用于求解零状态响应。

    6. 时域积分特性:

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { ∫ 0 − t f ( τ ) d τ } = F ( s ) s L\{\int_{0^-}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{F(s)}{s} L{0tf(τ)dτ}=sF(s)
    收敛区间:因为多引入了一个极点,因此收敛区间可能变小

    适用范围:单边和双边均适用

    推广:
    L { ∫ 0 − t ∫ 0 − τ 2 f ( τ 1 ) d τ 1 d τ 2 } = F ( s ) s 2 L\left\{\int_{0^{-}}^{t} \int_{0^{-}}^{\tau_{2}} f\left(\tau_{1}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}\right\}=\frac{F(s)}{s^{2}} L{0t0τ2f(τ1)dτ1dτ2}=s2F(s)

    7. 复频域微积分特性:

    如果 L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { t ⋅ f ( t ) } = − d d s F ( s ) L { f ( t ) t } = ∫ s + ∞ F ( p ) d p \begin{aligned} L\{t\cdot f(t)\}&=-\frac{d}{ds}F(s) \\L\{\frac{f(t)}{t}\}&=\int_{s}^{+\infty}F(p)dp \end{aligned} L{tf(t)}L{tf(t)}=dsdF(s)=s+F(p)dp
    收敛区:

    • 复频域微分:可能增加
    • 复频域积分:可能减小

    8. 参量微积分特性

    L { f ( t , a ) } = F ( s , a ) L\{f(t,a)\}=F(s,a) L{f(t,a)}=F(s,a),收敛区间为 σ 1 < R e ( s ) < σ 2 \sigma_1<Re(s)<\sigma_2 σ1<Re(s)<σ2,则:
    L { ∂ ∂ a f ( t , a ) } = ∂ ∂ a F ( s , a ) L\{\frac{\partial}{\partial a}f(t,a)\}=\frac{\partial}{\partial a}F(s,a) L{af(t,a)}=aF(s,a)

    L { ∫ a 1 a 2 f ( t , a ) } = ∫ a 1 a 2 F ( s , a ) d a L\{\int_{a_1}^{a_2}f(t,a)\}=\int_{a_1}^{a_2}F(s,a)da L{a1a2f(t,a)}=a1a2F(s,a)da

    收敛区间:不变

    9. 初值定理

    如果 f ( t ) f(t) f(t) f ′ ( t ) f'(t) f(t)存在,且 f ( t ) f(t) f(t)的拉普拉斯变换也存在,则:
    f ( 0 + ) = lim ⁡ t → 0 + f ( t ) = lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0^+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) f(0+)=t0+limf(t)=slimsF(s)
    推广:
    f ′ ( 0 + ) = lim ⁡ s → ∞ s [ s F ( s ) − f ( 0 − ) ] f'(0^+)=\lim_{s \rightarrow\infty}s[sF(s)-f(0^-)] f(0+)=slims[sF(s)f(0)]
    或:
    f ′ ( 0 + ) = lim ⁡ s → ∞ s [ s F ( s ) − f ( 0 + ) ] f'(0^+)=\lim_{s \rightarrow\infty}s[sF(s)-f(0^+)] f(0+)=slims[sF(s)f(0+)]
    或:
    f ′ ( 0 + ) = lim ⁡ s → ∞ s 2 F ( s ) f'(0^+)=\lim_{s\rightarrow\infty}s^2F(s) f(0+)=slims2F(s)

    10. 终值定理

    如果 f ( t ) f(t) f(t) f ′ ( t ) f'(t) f(t)存在,且 f ( t ) f(t) f(t)的拉普拉斯变换也存在,且 F ( s ) F(s) F(s)的极点位于s平面的左半平面,并且在 s = 0 s=0 s=0上至多存在单极点,则:
    f ( + ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) f(+\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s) f(+)=tlimf(t)=s0limsF(s)

    11. 卷积定理

    L { f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) } = L { f 1 ( t ) } ⋅ L { f 2 ( t ) } L\{f_1(t)*f_2(t)\}=L\{f_1(t)\}\cdot L\{f_2(t)\} L{f1(t)f2(t)}=L{f1(t)}L{f2(t)}

    且:
    L { f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) } = 1 2 π j L { f 1 ( t ) } ∗ L { f 2 ( t ) } L\{f_1(t)\cdot f_2(t)\}=\frac{1}{2\pi j}L\{f_1(t)\}*L\{f_2(t)\} L{f1(t)f2(t)}=2πj1L{f1(t)}L{f2(t)}

    12. 对偶特性

    如果:
    L { f ( t ) } = F ( s ) L\{f(t)\}=F(s) L{f(t)}=F(s)
    则:
    L { F ( t ) } = 2 π j ⋅ f ( − s ) L\{F(t)\}=2\pi j\cdot f(-s) L{F(t)}=2πjf(s)

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