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  • 拉普拉斯定理概率论
    2021-06-14 11:16:58

    验证伯努利大数定律以及相对应的强大数定律、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

    • 代码如下:
    //编程环境:Xcode
    //编程语言:C语言
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>
    #include <time.h>
    #define N 100
    #define pai 3.1415926
    //试用仿真试验方法,验证伯努利场合下,伯努利大数定律以及相对应的强大数定律、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
    //设事件A表示N个数中满足a>N/2,即P=1/2
    int main ()
    {
        srand((unsigned)time(NULL));
        double a[N];
        double p=0.5;
        double u=0,sum=0;
        double e1,e2,e3,n0=1,n1=1,n2=1;
        double b0,b1,b2,b3,b4,P_u,x_u;
        int i;
        for(i=0;i<N;i++)
        {
        a[i]=rand()%N;
        }
    //伯努利大数定律
        for(i=0;i<N;i++){
            if (a[i]>N/2)
            {
            u++;
            }
        }
        e1=fabs(u/N-p);
    //伯努利大数定律对应的强大数定律__切比雪夫大数定律
        for(i=0;i<N;i++){
           sum+=a[i];
        }
        e2=fabs(sum/N-N*p);
    //棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
    for(i=1;i<=N;i++){n0*=i;}//表示n的阶层
    for(i=1;i<=u;i++){n1=n1*i;}//n1表示U的阶层
    for(i=1;i<=(N-u);i++){n2=n2*i;}//n2表示n-u的阶层
    P_u=n0/(n1*n2)/pow(2,N);
    x_u=u-N*p/pow(N/4,0.5);
    //计算正太分布表达式
    b0=x_u;
    b1=b0*b0*(-0.5);
    b2=exp(b1);
    b3=1/(pow(2*pai,0.5));
    b4=b2*b3;
    //正太分布公式
        e3=fabs(P_u-b4/pow(N/4,0.5));
    printf("伯努利大数定理,切比雪夫大数定理,和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的误差分别e1=%lf,e2=%lf,e3=%lf",e1,e2,e3);
        return 0;
    }
    
    • 结果:
    伯努利大数定理,切比雪夫大数定理,和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的误差分别为
    e1=0.040000,
    e2=1.080000,
    e3=0.057958
    
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      通俗的来讲, 辛钦大数定理是说对于独立同分布且具有均值 μ \mu μ的随机变量 X 1 , X 2 . . . X n X_1,X_2...X_n X1,X2...Xn,当n很大时, 他们的算术平均 1 n ∑ k = 1 n X k \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k n1k=1nXk很可能趋近于 μ \mu μ
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      在这里插入图片描述
    • 弱大数定理的另一叙述:
      在这里插入图片描述
    • 伯努利大数定理:
      在这里插入图片描述

    中心极限定理

    • 定理一: 独立同分布的中心极限定理
      在这里插入图片描述
      即均值为 μ \mu μ,方差为 σ 2 > 0 \sigma^2>0 σ2>0的独立同分布随机变量 X 1 , X 2 , . . . X n X_1,X_2,...X_n X1,X2,...Xn之和 ∑ k = 1 n X k \sum_{k=1}^n X_k k=1nXk的标准化变量, 当n充分大时,有在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    • 定理二:李雅普诺夫定理
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    • 定理三:棣莫弗-拉普拉斯定理

    在这里插入图片描述

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    一、依概率收敛

    设随机变量 X X X与随机序列 { X n } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \{X_n\}(n=1,2,3,···) {Xn}(n=1,2,3,),如果对任意的 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0,有:
    lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ ≥ ϵ } = 0   或   lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ ≤ ϵ } = 1 \lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\ge \epsilon \} = 0 \ 或 \ \lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\le \epsilon \} = 1 nlimP{XnXϵ}=0  nlimP{XnXϵ}=1
    则称随机序列 { X n } \{X_n\} {Xn}依概率收敛于随机变量 X X X,记为:
    lim ⁡ n → ∞ X n = X ( P )   或   X n → P X   ( n → ∞ ) \lim_{n \to \infty} X_n = X(P) \ 或 \ X_n \xrightarrow{P} X \ (n \to \infty) nlimXn=X(P)  XnP X (n)

    二、大数定律

    1. 切比雪夫大数定律

    假设 { X n } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \{ X_n \}(n=1,2,3,···) {Xn}(n=1,2,3,)是相互独立的随机变量序列,如果方差 D X i ( i ≥ 1 ) DX_i(i\ge 1) DXi(i1)存在且一致有上界,即存在常数 C C C,使 D X i ≤ C DX_i \le C DXiC对一切 i ≥ 1 i\ge 1 i1均成立,则 { X n } \{ X_n \} {Xn}服从大数定律:
    1 n ∑ i = 1 n X i = 1 n ∑ i = 1 n E X i \frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i = \frac 1 n \sum ^n _{i=1} EX_i n1i=1nXi=n1i=1nEXi

    2. 伯努利大数定律

    假设 μ n \mu_n μn n n n重伯努利试验中事件 A A A发生的次数,在每次试验中事件 A A A发生的概率为 p ( 0 < p < 1 ) p(0<p<1) p(0<p<1),则 μ n n → P p \frac {\mu_n} {n} \xrightarrow{P}p nμnP p,即对任意 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0,有:
    lim ⁡ n → ∞ P { ∣ μ n n − p ∣ < ϵ } = 1 \lim _{n \to \infty} P \left\{ \left|\frac {\mu _n} {n} - p \right | < \epsilon \right\} = 1 nlimP{nμnp<ϵ}=1

    3. 辛钦大数定律

    假设 { X n } \{X_n\} {Xn}是独立同分布的随机变量序列,如果 E X i = μ ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) EX_i=\mu(i=1,2,···) EXi=μ(i=1,2,)存在,则 1 n ∑ i = 1 n X i → P μ \frac 1 n \sum \limits ^n _{i=1} X_i \xrightarrow{P} \mu n1i=1nXiP μ,即对任意 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0,有:
    lim ⁡ n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i − μ ∣ < μ } = 1 \lim _{n\to \infty} P \left\{ \left| \frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i - \mu \right | < \mu \right\} = 1 nlimP{n1i=1nXiμ<μ}=1

    三、中心极限定理

    1. 列维-林德伯格定理

    假设 { X n } \{X_n\} {Xn}是独立同分布的随机变量序列,如果 E X i = μ ,   D X i = σ 2 > 0   ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) EX_i = \mu,\ DX_i = \sigma ^2 >0 \ (i=1,2,···) EXi=μ, DXi=σ2>0 (i=1,2,)存在,则对任意的实数 x x x,有:
    lim ⁡ n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ≤ x } = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t = Φ ( x ) \lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {\sum \limits^n _{i=1}X_i - n \mu} {\sqrt n \sigma } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) nlimPn σi=1nXinμx=2π 1xe2t2dt=Φ(x)

    2. 棣莫弗-拉普拉斯定理

    假设随机变量 Y n ∼ B ( n , p )   ( 0 < p < 1 , n ≥ 1 ) Y_n \sim B(n,p) \ (0<p<1,n\ge 1) YnB(n,p) (0<p<1,n1),则对任意实数 x x x,有:
    lim ⁡ n → ∞ P { Y n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t = Φ ( x ) \lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {Y_n - np} {\sqrt {np(1-p)} } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) nlimP{np(1p) Ynnpx}=2π 1xe2t2dt=Φ(x)

    展开全文
  • 文章目录第六章 极限定理6.1 大数定律 Law of large numbers6.1.1 切比雪夫不等式6.1.2 大数定律6.2 中心极限定理 Central Limit Theorems 第六章 极限定理 6.1 大数定律 Law of large numbers 6.1.1 切比雪夫不等式...

    第六章 极限定理

    6.1 大数定律 Law of large numbers

    6.1.1 切比雪夫不等式

    • 切比雪夫不等式:对任意 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0
      P ( ∣ X − E ( X ) ∣ < ε ) ≥ 1 − D ( X ) ε 2 \color{red}P(|X-E(X)|<\varepsilon)\ge 1-\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2} P(XE(X)<ε)1ε2D(X)

      • 证明:设 X X X 有密度函数 f ( x ) f(x) f(x)
        P ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε ) = ∫ ∣ x − E ( X ) ∣ ≥ ε f ( x ) d x ( 放 大 被 积 函 数 ) ≤ ∫ ∣ x − E ( X ) ∣ ≥ ε [ X − E ( X ) ] 2 ε 2 f ( x ) d x ( 放 大 积 分 限 ) ≤ 1 ε 2 ∫ − ∞ + ∞ [ X − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x = D ( X ) ε 2 \begin{aligned} P(|X-E(X)|\ge \varepsilon)&=\int_{|x-E(X)|\ge \varepsilon}f(x)dx\\ (放大被积函数)&\le\int_{|x-E(X)|\ge \varepsilon}\dfrac{[X-E(X)]^2}{\varepsilon^2}f(x)dx\\ (放大积分限)&\le \dfrac{1}{\varepsilon^2}\int_{-\infty}^{+\infty}[X-E(X)]^2f(x)dx\\ &=\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2} \end{aligned} P(XE(X)ε)()()=xE(X)εf(x)dxxE(X)εε2[XE(X)]2f(x)dxε21+[XE(X)]2f(x)dx=ε2D(X)

      • 说明:事件 ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε ) (|X-E(X)|\ge \varepsilon) (XE(X)ε) 的概率与 D ( X ) D(X) D(X) 有关,且 D ( X ) D(X) D(X)(即 X X X 取值集中在期望 E ( X ) E(X) E(X) 周围的程度)越小,这个事件概率应越大。

      • 作用:已知 E ( X ) , D ( X ) E(X),D(X) E(X),D(X),而未知 X X X 分布时,可对事件 ( ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε ) (|X-E(X)|\ge \varepsilon) (XE(X)ε) 发生的概率进行估计。

      • 缺点:误差较大

    • 随机变量序列的收敛性

      • 依概率收敛:对 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0,有 lim ⁡ n → ∞ P ( ∣ X n − a ∣ < ε ) = 1 \color{red}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}P(|X_n-a|<\varepsilon)=1 nlimP(Xna<ε)=1,则称随机变量序列 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 依概率收敛于常数 a a a,记为 X n → P a \color{red}X_n\xrightarrow{P} a XnP a

      • 区别

        1. 数列收敛 x n → a x_n\rightarrow a xna ∀ ε > 0 , ∃ N \forall \varepsilon>0,\exist N ε>0,N,当 n > N n>N n>N 时,有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon xna<ε
        2. 随机变量序列收敛 X n → P a X_n\xrightarrow{P} a XnP a ∀ ε > 0 , ∃ N \forall \varepsilon>0,\exist N ε>0,N,当 n > N n>N n>N 时,有 { ∣ X n − a ∣ < ε } = { X n ∈ δ ( a , ε ) } \{|X_n-a|<\varepsilon\}=\{X_n\in \delta(a,\varepsilon)\} {Xna<ε}={Xnδ(a,ε)}.
      • 例题 \color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题} ( X , Y ) ∼ N ( 2 , − 1 ; 1 , 4 ; − 0.5 ) , P { ∣ X + Y ∣ ≥ 6 } ≤    _ _ ? _ _ (X,Y)\sim N(2,-1;1,4;-0.5),P\{|X+Y|\ge 6\}\le \;\_\_?\_\_ (X,Y)N(2,1;1,4;0.5),P{X+Y6}__?__

        解:
        E ( X + Y ) = 0 , D ( X + Y ) = 1 + 4 + 2 × ( − 0.5 ) × 2 × 1 = 3 P { ∣ X + Y ∣ ≥ 6 } ≤ D ( X ) ε 2 = 3 36 = 1 12 E(X+Y)=0,D(X+Y)=1+4+2\times (-0.5)\times 2\times 1=3\\ P\{|X+Y|\ge 6\}\le\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} E(X+Y)=0,D(X+Y)=1+4+2×(0.5)×2×1=3P{X+Y6}ε2D(X)=363=121

    • 切比雪夫不等式的应用:随机变量序列 { X n } , n = 1 , 2 , . . . \{X_n\},n=1,2,... {Xn},n=1,2,...,若 E ( X n ) = μ n , D ( X n ) = σ n 2 E(X_n)=\mu_n,D(X_n)=\sigma_n^2 E(Xn)=μn,D(Xn)=σn2 存在,且满足 n → ∞ n\rightarrow \infty n,有 σ 2 → 0 \sigma^2\rightarrow 0 σ20,则 X n − μ n → P 0 \color{red}X_n-\mu_n\xrightarrow{P}0 XnμnP 0

      • 证明 1 ≥ P ( ∣ X n − μ n ∣ < ε ) ≥ 1 − σ n 2 ε 2 1\ge P(|X_n-\mu_n|<\varepsilon)\ge 1-\dfrac{\sigma_n^2}{\varepsilon^2} 1P(Xnμn<ε)1ε2σn2 两边取极限即可

    6.1.2 大数定律

    大数定律研究对象 ξ n = 1 n ∑ i = 1 n X i \xi_n=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i ξn=n1i=1nXi

    大数定律常用工具:切比雪夫不等式

    大数定律本质 1 n ∑ i = 1 n X i → P E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P} E(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i) n1i=1nXiP E(n1i=1nXi)

    大数定律成立的约束条件:一二阶矩存在;方差趋于零

    意义:平均使得稳定;规律的产生是大量独立或弱相关因素累计的结果。

    • 切比雪夫大数律:对独立随机变量 { X n } \{X_n\} {Xn} 若满足

      1. E ( X n ) , D ( X n ) E(X_n),D(X_n) E(Xn),D(Xn) 都存在

      2. 方差有限,即存在常数 C C C,使得 D ( X k ) ≤ C D(X_k)\le C D(Xk)C,则有 1 n ∑ k = 1 n X k − 1 n ∑ k = 1 n E ( X k ) → P 0 \color{red}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nE(X_k)\xrightarrow{P}0 n1k=1nXkn1k=1nE(Xk)P 0

      • 证明:令 Y n = 1 n ∑ k = 1 n X k Y_n=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k Yn=n1k=1nXk,则
        E ( Y n ) = E ( 1 n ∑ k = 1 n X k ) = 1 n E ( ∑ k = 1 n X k ) = 1 n ∑ k = 1 n E ( X k ) , D ( Y n ) = D ( 1 n ∑ k = 1 n X k ) = 1 n 2 D ( ∑ k = 1 n X k ) = 1 n 2 [ ∑ k = 1 n D ( X k ) + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n r i j D ( X i ) D ( X j ) ] = i . i . d . D ( X n ) n 故 当 n ⟶ ∞ 时 , D ( y n ) ⟶ 0 , 有 Y n − E ( Y n ) → P 0. 即 1 n ∑ k = 1 n X k − 1 n ∑ k = 1 n E ( X k ) → P 0 \begin{aligned} E(Y_n)&=E\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k\right)=\dfrac{1}{n}E\left(\sum\limits_{k=1}^nX_k\right)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nE\left(X_k\right),\\ D(Y_n)&=D\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k\right)=\dfrac{1}{n^2}D\left(\sum\limits_{k=1}^nX_k\right)\\ &=\dfrac{1}{n^2}\left[\sum\limits_{k=1}^nD(X_k)+2\sum\limits_{1\le i<j\le n}r_{ij}\sqrt{D(X_i)}\sqrt{D(X_j)}\right]\xlongequal{i.i.d.}\dfrac{D(X_n)}{n}\\ 故&当n\longrightarrow \infty时,D(y_n)\longrightarrow 0,有Y_n-E(Y_n)\xrightarrow{P}0.\\ 即&\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nE(X_k)\xrightarrow{P}0 \end{aligned}\\ E(Yn)D(Yn)=E(n1k=1nXk)=n1E(k=1nXk)=n1k=1nE(Xk),=D(n1k=1nXk)=n21D(k=1nXk)=n21[k=1nD(Xk)+21i<jnrijD(Xi) D(Xj) ]i.i.d. nD(Xn)nD(yn)0,YnE(Yn)P 0.n1k=1nXkn1k=1nE(Xk)P 0
    • 独立同分布大数律:记 X ‾ = 1 n ∑ k = 1 n X k \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k X=n1k=1nXk,则 X ‾ → P E ( X k ) \color{red}\overline{X}\xrightarrow{P}E(X_k) XP E(Xk),其中 ( X k ) = E ( X ‾ ) (X_k)=E(\overline{X}) (Xk)=E(X)

      • 说明 n n n 充分大时, X ‾ \overline{X} X 在概率意义下取值充分接近 X k X_k Xk 的共同期望。故实际问题可用 X ‾ \overline{X} X 估计 E ( X k ) E(X_k) E(Xk),即多次测量求平均作为期望值。
    • 伯努利大数律 n n n 次伯努利实验中, f n ( A ) → P p \color{red}f_n(A)\xrightarrow{P}p fn(A)P p,其中 f n ( A ) = n A n f_n(A)=\dfrac{n_A}{n} fn(A)=nnA 为事件 A A A 发生的频率 p = P ( A ) p=P(A) p=P(A) A A A 发生的概率

      • 说明:频率 f n ( A ) f_n(A) fn(A) 的稳定值 P ( A ) P(A) P(A) 实际上是频率依概率收敛于 P ( A ) P(A) P(A)。故 n n n 较大时,可用事件频率估计事件发生概率。

    6.2 中心极限定理 Central Limit Theorems

    中心极限定理研究对象:独立的随机变量之和

    中心极限定理本质:任意独立同分布的随机变量之和的极限分布是正态分布

    • 林德伯格-列维中心极限定理(独立同分布):独立同分布的随机变量序列 { X k } \{X_k\} {Xk} E ( X k ) = μ , D ( X k ) = σ 2 > 0 , k = 1 , 2 , . . . E(X_k)=\mu,D(X_k)=\sigma^2>0,k=1,2,... E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2>0,k=1,2,...,记 Y n = ∑ k = 1 n X k − n μ n σ = 1 n ∑ k = 1 n X k − μ σ n Y_n=\dfrac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}=\dfrac{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} Yn=n σk=1nXknμ=n σn1k=1nXkμ,则对任意 x ∈ R x\in R xR,有
      lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P ( Y n ≤ x ) = Φ ( x ) \color{red}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}F_n(x)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}P(Y_n\le x)=\Phi(x) nlimFn(x)=nlimP(Ynx)=Φ(x)

      • 说明:独立同分布的随机变量之和 S n = ∑ k = 1 n X k S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k Sn=k=1nXk 标准化后 Y n = S n − E ( S n ) D ( S n ) Y_n=\dfrac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}} Yn=D(Sn) SnE(Sn) 的分布函数的极限函数是标准正态分布

      • 应用:当 n ⟶ ∞ n\longrightarrow \infty n 时,
        ∑ k = 1 n X k ∼ N ( n μ , n σ 2 ) 1 n ∑ k = 1 n X k ∼ N ( μ , σ 2 n ) ∑ k = 1 n g ( X i ) ∼ N ( ( g ( X ) ) , n D ( g ( X ) ) ) P ( a < ∑ k = 1 n X k ≤ b ) ≈ Φ ( b − n μ n σ ) − Φ ( a − n μ n σ ) \sum\limits_{k=1}^nX_k\sim N(n\mu,n\sigma^2)\\ \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k\sim N(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n})\\ \sum\limits_{k=1}^ng(X_i)\sim N({\color{red}(g(X)),nD(g(X))})\\ P(a<\sum\limits_{k=1}^nX_k\le b)\approx\Phi(\dfrac{b-n\mu}{\sqrt{n}\sigma})-\Phi(\dfrac{a-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}) k=1nXkN(nμ,nσ2)n1k=1nXkN(μ,nσ2)k=1ng(Xi)N((g(X)),nD(g(X)))P(a<k=1nXkb)Φ(n σbnμ)Φ(n σanμ)

    • 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(二项分布):随机变量序列 { X k } ∼ B ( n , p ) , q = 1 − p \{X_k\}\sim B(n,p),q=1-p {Xk}B(n,p),q=1p,则对任意 x ∈ R x\in R xR,有
      lim ⁡ n → ∞ P ( X n − n p n p q ≤ x ) = Φ ( x ) \color{red}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}P(\dfrac{X_n-np}{\sqrt{npq}} \le x)=\Phi(x) nlimP(npq Xnnpx)=Φ(x)

      • 说明:二项分布的渐近正态性

      • 推论 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) XB(n,p),当 n ⟶ ∞ n\longrightarrow\infty n 时,有 P ( a < X ≤ b ) ≈ Φ ( b − n p n p q ) − Φ ( a − n p n p q ) \color{red}P(a<X\le b)\approx\Phi(\dfrac{b-np}{\sqrt{npq}})-\Phi(\dfrac{a-np}{\sqrt{npq}}) P(a<Xb)Φ(npq bnp)Φ(npq anp)

      • 例题 \color{White}\colorbox{Fuchsia}{例题} :某厂生产的产品中,一等品率为 80 % 80\% 80%,用中心极限定理完成

        (1)若一盒产品装有 100 100 100 个,求一盒中至少有 85 85 85 个一等品的概率

        ​ 解:
        X ∼ B ( 100 , 0.8 ) , 则 n p = 80 , n p q = 16 , 近 似 地 X ∼ N ( 80 , 16 ) 设 X 为 一 等 品 数 量 ∴ P ( X ≥ 85 ) ≈ 1 − Φ ( 85 − 80 16 ) = 1 − Φ ( 1.25 ) = 1 − 0.8944 = 0.1056 X\sim B(100,0.8),则np=80,npq=16,近似地X\sim N(80,16)\\ 设 X为一等品数量\\ \therefore P(X\ge 85)\approx 1-\Phi(\dfrac{85-80}{\sqrt{16}})=1-\Phi(1.25)=1-0.8944=0.1056 XB(100,0.8),np=80,npq=16,XN(80,16)XP(X85)1Φ(16 8580)=1Φ(1.25)=10.8944=0.1056
        (2)设一盒装有 n n n 个产品,若要求至少有 70 % 70\% 70% 的产品为一等品概率不低于 0.9772 0.9772 0.9772,则 n n n 至少应该取多少

        ​ 解:
        设 X 为 一 等 品 数 量 , ∴ X ∼ N ( 0.8 n , 0.16 n ) ∴ P ( X ≥ 0.7 n ) ≈ 1 − Φ ( 0.7 n − 0.8 n 0.4 n ) ≥ 0.9772 1 − Φ ( − n 4 ) ≥ Φ ( 2 ) − 2 ≥ − n 4 ∴ n ≥ 64 设 X为一等品数量,\therefore X\sim N(0.8n,0.16n) \\ \begin{aligned} \therefore P(X\ge 0.7n)\approx 1-\Phi(\dfrac{0.7n-0.8n}{0.4\sqrt{n}})&\ge 0.9772\\ 1-\Phi(-\dfrac{\sqrt{n}}{4})&\ge \Phi(2)\\ -2&\ge -\dfrac{\sqrt{n}}{4}\\ \therefore n&\ge 64 \end{aligned} X,XN(0.8n,0.16n)P(X0.7n)1Φ(0.4n 0.7n0.8n)1Φ(4n )2n0.9772Φ(2)4n 64

    • 频率估计概率问题:计算 P ( ∣ μ n n − p ∣ < ε ) = β P(|\dfrac{\mu_n}{n}-p|<\varepsilon)=\beta P(nμnp<ε)=β,其中样本量 n n n,期望概率 p p p,误差 ε \varepsilon ε,事件发生概率 β \beta β知三求一
      ∵ μ n n ∼ N ( p , p q n ) ∴ μ n n − p p q n ∼ N ( 0 , 1 ) ⟹ β = P ( ∣ μ n n − p ∣ < ε ) = F ( p + ε ) − F ( p − ε ) = Φ ( p + ε − p p q n ) − Φ ( p − ε − p p q n ) = 2 Φ ( ε n p q ) − 1 \because \dfrac{\mu_n}{n}\sim N(p,\dfrac{pq}{n})\therefore \dfrac{\dfrac{\mu_n}{n}-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}}\sim N(0,1)\\ \Longrightarrow{\color{red}\beta=P(|\dfrac{\mu_n}{n}-p|<\varepsilon)}=F(p+\varepsilon)-F(p-\varepsilon)=\Phi(\dfrac{p+\varepsilon-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}})-\Phi(\dfrac{p-\varepsilon-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}}) =\color{red}2\Phi(\varepsilon\sqrt{\dfrac{n}{pq}})-1 nμnN(p,npq)npq nμnpN(0,1)β=P(nμnp<ε)=F(p+ε)F(pε)=Φ(npq p+εp)Φ(npq pεp)=2Φ(εpqn )1

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  • 大数定律讨论: 随机变量序列的算术平均 ...棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(二项分布的正太近似): 已知n,y求p(概率) 已知p,n求y(分位数) 已知y,p求n(样本量) 林德伯格中心极限定理: 李雅普诺夫中心极限定理: ...
  • 概率论-中心极限定理

    千次阅读 2020-02-06 21:03:09
    列维-林德伯格中心极限定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量序列,X1,X2⋅⋅⋅独立同分布,且有期望和方差E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2,k=1,2⋅⋅⋅则对于任意实数x,limP(∑k=1nXk−nμnμ≤x)=12Π∫−∞xet22dt 设...
  • 1: 莱维中心极限定理 前提: 独立同分布的中心极限定理 则标准化变量 (D(Y0=1 E(Y) =0) 服从正态分布 2: De Moivre–Laplace 棣莫弗-拉普拉斯定理 相当于上面例子的特例 二项分布 则标准化变量 服从正态分布...
  • 考试复习
  • https://baike.baidu.com/item/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1%EF%BC%88%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%89%88%EF%BC%89/15186920?fr=aladdin
  • 数学上用中心极限定理和大数定律来描述在一定条件下的大量重复实验。 二、定义 2.1 大数定律定义 若ξ1,ξ2,⋯ ,ξn,⋯\xi_1, \xi_2, \cdots,\xi_n, \cdotsξ1​,ξ2​,⋯,ξn​,⋯是随机变量序列,令ηn=ξ1+ξ2+...
  • 大数定律讨论: 随机变量序列的算术平均 ...棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(二项分布的正太近似): 已知n,y求p(概率) 已知p,n求y(分位数) 已知y,p求n(样本量) 林德伯格中心极限定理: 李雅普诺夫中心极限定理: ...
  • 概率论之大数定律和中心极限定理

    千次阅读 2019-04-06 02:38:55
    教材说这是概率论最精彩的一章。。。,我觉得说的不错。。。,感觉需要吃透这几个定理。 1.1切比雪夫不等式 设随机变量XXX的均值EXEXEX及方差DXDXDX存在,则对于任意正数ε\varepsilonε,有不等式 P{∣X−EX∣≥ε}...
  • 总结概率论与数量统计课程每一章的基本概念和公式,最后还有模拟试卷和答案。
  • 概率论 中心极限定理

    2009-10-17 08:57:20
    概率论 中心极限定理 随机变量的函数及其分布 隶莫佛——拉普拉斯中心极限定理
  • (3)棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量 Y 1 , Y 2 , ⋅ ⋅ ⋅ Y_1,Y_2,··· Y1​,Y2​,⋅⋅⋅服从参数为 n , p n,p n,p的二项分布,则对于任何实数 x x x,有       lim ⁡ n → ∞ P { Y n − n p n p q ≤ ...
  • 概率论与数理统计第一章到第八章全部公式,表格呈现,更加详细,更加清晰,保证包含你所学知识的全部内容,是你考前复习,考前突袭的不二之选。
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  • 西工大概率论复习笔记,个人整理的笔记,每年考试内容相差不大,最后的区间估计如果不会推,直接背表就行,多刷题考试很简单。
  • 极限定理

    2019-11-26 15:35:17
    定理 设随机变量X具有数学期望 ,方差 则对任意正数ε,不等式 或 成立。 注意:应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。 马尔可夫不等式 尔可夫不等式把概率关联到数学期望,给出了随机变量的...
  • 3. 中心极限定理 1. 依概率收敛、切比雪夫不等式 之前我们曾提到频率的稳定值记为概率”, 这个“稳定”是何含义? 记为n重贝努里试验中事件A发生的次数, 则/n为事 件A出现的频率. 若在一次试验中A发生的概率为p.当...
  • 11 中心极限定理

    千次阅读 2019-09-09 17:51:40
    此外,据wikipedia上的介绍,包括上面介绍的棣莫弗-拉普拉斯定理在内,历史上前后发展了三个相关的中心极限定理,它们得出的结论及内容分别是: 棣莫弗-拉普拉斯(de Movire - Laplace)定理是中心极限定理的最初...
  • 大数定律 & 中心极限定理 1 大数定律 1.1 依概率收敛 1.2 切比雪夫不等式 1.3 切比雪夫大数定律 1.4 伯努利大数定律 ...2.2 棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为其极限分布) 3 总结 ...
  • - 二项分布的棣莫弗-拉普拉斯近似 强大数定律 马尔可夫和切比雪夫不等式 马尔可夫不等式粗略地讲,该不等式是指,一个非负随机变量如果均值很小,则该随机变量取大值的概率也非常小. 马尔可夫不等式: 例: 设 X ...
  • 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 大数定律与中心极限定理 一、切比雪夫不等式 设随机变量 X X X具有期望 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ,方差 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^{2} D(X)=σ2,则对于任意正数 ξ \xi ξ,...
  • 中心极限定理(Central Limit Theorem,CTL),是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。。 概述 定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。...
  • 概率论(四)大数定律及中心极限定理.md基本概念大数定律切比雪夫不等式随机变量序列{Yn}\{Y_n\}{Yn​}依概率收敛于a切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律中心极限定理列维—林德伯格定理(独立同分布的中心...
  • 傅里叶变换和拉普拉斯变换

    千次阅读 2020-07-22 16:25:39
    三、拉普拉斯变换(原来就是那么回事)拉普拉斯变换可以说是现代工程学使用最广泛的数学工具,它通过数学变换将微积分方程转化成代数方程,为求解连续空间连续时间的方程提供了可能。但是,一般的教材一上来就是...
  • 中心极限定理问题引入,保险问题棣莫弗-拉普拉斯定理用定理计算例1列维-林德贝格定理排队问题,设窗口问题 问题引入,保险问题 棣莫弗-拉普拉斯定理 用定理计算例1 列维-林德贝格定理 排队问题,设窗口...
  • 大数定律与中心极限定理

    千次阅读 2021-09-23 17:27:17
    极限定理概率论的基本理论,在理论研究和应用中起着重要的作用,其中最重要的是称为“大数定律”与“中心极限定理”的一些定理。大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值...

空空如也

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拉普拉斯定理概率论

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