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  • 拉普拉斯展开定理
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    2020-12-29 08:08:18

    因为你只问了怎么按多行展开。所以我也就只说明如何按多行展开。如果你还要求证明,那你到时候再补充的问我,我再给你回答。

    一个行列式按指定的k行展开,指的是:先找出这k行的全部k阶子式,然后让这些k阶子式都乘以它们的代数余子式,再将所有的这些乘积求和,最后这个和就等于原来那个行列式。这就是行列式按k行进行拉普拉斯展开的定义。

    当然我们,还要解释这个定义当中的一些名词。而且我们还会对k=2进行一个具体的解释。

    首先讲什么是一个行列式中的一部分元素(实际上是由这部分元素组成的矩阵)的一个k阶子式(如定义中的k行的一个k阶子式),它是指在这部分元素中(指在这个矩阵中)选定k行k列,则由这k行k列的交叉点对应的元素组成的行列式。

    再接着讲一个行列式的某个k阶子式的余子式。首先设这个行列式是n阶行列式且n>k>0。因为我们说的那个某个k阶子式一定占有了这个行列式的K个行和K个列,所以将这个行列式的这k个行和这k个列都划去,则这个行列式还剩下了,正好是n-k个行,n-k个列,因此这剩下的n-k个行,n-k个列组成的行列式,就称为某个k阶子式的余子式。

    最后再说明一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。刚才已经讲过了某个k阶子式的余子式。这个代数余子式就是我们讲的那个余子式乘以一个(-1)^m。下面只要算出m等于几就可以了。这就需要我们知道某个k阶子式在原来那个行列式中是在哪几行?哪几列?我们记录这个K阶子式在原来行列式中是在i1行,i2行,i3行,………,ik行;而且是在j1列,j2列,j3列,………,jk列,则m=i1+i2+i3+………+ik+j1+j2+

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    1、余子式

    • 定义:
      • 去掉指定元素所在的行和列后构成的行列式,用 M i j M_{ij} Mij表示。比如下面取第三行第二列元素2的余子式;第一行第四列3的余子式
    • 表示
      • M i j M_{ij} Mij
    • 例:
      在这里插入图片描述

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    • 定义:
      • 就是在余子式前面加上“代数”两个字,也就代表着 ( − 1 ) i j (-1)^{ij} (1)ij符号的意思
    • 表达式:
      • A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} =(−1)^{i+j}{M_{ij}} Aij=(1)i+jMij

    3、按行展开(降阶)

    在这里插入图片描述
    注意:要选择0多的行或者列进行展开
    如上述例子如果选择第二行展开:
    在这里插入图片描述

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    定义:某行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0

    5、拉普拉斯定理

    • 基础概念:
      • k阶子式, k阶余子式,k阶代数余子式,下面以一个四阶行列式来举例:
    • 例:
    • 在这里插入图片描述
      拉普拉斯定理:取定k行,由k行元素组成的所有的k阶子式与代数余子式乘积之和就是行列式的值
      小例子:计算下面行列式的值
      在这里插入图片描述
      采用拉普拉斯定理,取定2行,选择前两行和前两列,结果就为
      在这里插入图片描述

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