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  • 拉普拉斯微分方程
    2021-04-25 12:36:52

    拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现

    维普资讯 http://doc.wendoc.com

    第2 1卷第 3期

    20 0 8年 6月

    四川理工学院学报 (自然科学版 )

    J 0URNAL OF S CHUAN I UNI VERS OF IY I

    V 1 1N . o. o3 2

    J n2 0 u. 8 0

    S I N E& E G N E N NA U AL S I N E E I I N1 CE C N I E RI G( T R C E C D T O

    文章编号: 6 3 1 4 2 0 ) 3 0 0— 2 1 7— 5 9( 0 8 0— 0 1 0

    拉普拉斯方程有限差分法的 M T A A L B实现

    谢焕田,艳吴

    (临沂师范学院数学系,东临沂 2 6 0 )山 70 5

    要:文章基于区域转化的思想,通过 MTA编程实现了四分之一圆域上拉普拉斯方程的有限差分方法, ALB

    数值实验表明了方法的可行性和正确性。

    关键词:拉普拉斯方程;限差分;a lb有 M t a

    中图分类号:0 4 . 212 8文献标识码:A

    众所周知,拉普拉斯方程

    上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。参照文献【,出有 1给】限差分法数值计算的基本步骤: () 1区域的离散或子区域的划分。 ()值函数的选择。 2插 () 3方程组的建立。 ()程组的求解。 4方

    告+。等一

    是最简单的椭圆型偏微分方程之一,定解问题的数值其

    解法主要有有限元法和有限差分法等,统上人们认为传

    有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的定

    解问题但有限元法计算步骤较为复杂和抽象,功能强大的成熟软件 MA L B弥补了这一缺点但其中的 P E工 TA D具箱仅能计算边界条件为常数的边值问题,于以上情鉴

    况,文考虑如下边值问题本

    u

    2问题的转化

    首先,不规则求解区域力转换为规则区域,将令:

    roO=s O cs, r n,则直角坐标系下的四分之一单位圆域力 y i () 1

    就转化为如下的带状区域

    厂= (,) r 1 {r 1 , 0 0 7}

    +

    o y

    = 0

    x )力,∈ Y

    f,,∈ 0 力且 x O =

    “,= 5,∈,{,力且 yO . =

    I6S 0 5, x 2x x 1 -+ ∈力且 xy l+=

    其中 {, l+ yx 1 x 0>}

    ),>, Oo且 y

    ( 2 )

    其次, x roO=s O入方程 ()行化简,将=cs, r n带 y i 1进此

    时拉普拉斯方程形如

    1 8

    首先利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转化,进而通过 M T A A L B编程实现了上述边值问 题的极坐标下的有限差分方法,数值实验结果表明了此

    方法的可行性和正确性。

    _+ 1 ( _ r ) 0

    ( 3 )

    3问题的分析

    按照有限差分法的求解步骤,首先将带状区域 fr ) r 1

    h和 h。令,

    1有限差分法的介绍

    有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一, 其基本思想是把连续问题离散化,即首先对求解区域作网格剖分,有限个网格节点代替连续区域;次将微用其

    r ( O ), 01, ir .h i,2…,=+ 5,=,=+ ), O1 -J 1 o2/ 1口=, -,,=zJ^ j,-- h r

    利用中心差商公式得到逼近方程 (1 3的差分方程[ 2 1

    分算子离散化,从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题,解方程组就可以得到原问题在离散点

    一【 r

    h

    峙一

    J】 - . v 0

    有了以上格式就可以得到代数方程组进行求解。

    收稿日期:20 .— 080 0 34基金项目:国家自然科学基金( 6 18 ) 1 706 0

    作者简介:谢焕田 (9 2)男, 18一,山东临沂人,硕士,主要从事偏微分方程数值解方面的研究。

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  • 使用拉普拉斯变换求解微分方程

    Notes

    使用拉普拉斯变换可以将微分方程转变为代数方程,而使用MATLAB求解代数方程则简单的多。

    EXAMPLE

    1
    由于初始条件为0,对上述微分方程进行拉普拉斯变换得到:
    2
    化简得到:
    3

    使用MATLAB求解留数,极数以及直接项k:

    >> num = [2];
    >> den = [1 2 10 0 0 0];
    >> [r,p,k] = residue(num,den)
    
    r =
    
       0.0060 - 0.0087i
       0.0060 + 0.0087i
      -0.0120 + 0.0000i
      -0.0400 + 0.0000i
       0.2000 + 0.0000i
    
    
    p =
    
      -1.0000 + 3.0000i
      -1.0000 - 3.0000i
       0.0000 + 0.0000i
       0.0000 + 0.0000i
       0.0000 + 0.0000i
    
    
    k =
    
         []
    

    可以看到,有三个极数相等,所以有三重根:
    4
    对于极点含有共轭复根的情况,我们通常将其合并为一项,然后利用拉普拉斯逆变换转变为正余弦关系式:

    5
    拉普拉斯逆变换:
    6

    展开全文
  • 第一问直接用多项式的封闭性,设为一次微分方程,很容易做。 第二问由拉普拉斯变换,原方程可以变为(s+1)y(p) - y(0) = F(p),移项后有两项,一项是特解,另一项是通解。直接反变换,可以直接写出通解。 ...

    其中右边f(x)的形式不需要知道。我们可以将解表示为卷积形式。

     很容易证明通解是有界函数。只需要证明特解也是有界的即可。用拉普拉斯变换,然后将特解写成卷积的形式。

    第一问直接用多项式的封闭性,设为一次微分方程,很容易做。

    第二问由拉普拉斯变换,原方程可以变为(s+1)y(p) - y(0) = F(p),移项后有两项,一项是特解,另一项是通解。直接反变换,可以直接写出通解。

     

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    微分方程的一般形式的拉普拉斯变换推导


    宏村

    概述

    常微分方程的一般形式的拉普拉斯变换推导。

    方程表述

    Y ′ = A Y + B (1) Y^{'} = AY + B \tag{1} Y=AY+B(1)
    其中 Y ′ = [ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] Y^{'} = \begin{bmatrix}y_1^{'}(t)\\y_2^{'}(t)\\\vdots\\y_n^{'}(t)\end{bmatrix} Y=y1(t)y2(t)yn(t) Y = [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] Y = \begin{bmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{bmatrix} Y=y1(t)y2(t)yn(t) A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann B = [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] B=\begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} B=b1(t)b2(t)bn(t),分别带入等式(1)得

    [ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] + [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] (2) \begin{bmatrix} y_1^{'}(t)\\ y_2^{'}(t)\\ \vdots\\ y_n^{'}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} \tag{2} y1(t)y2(t)yn(t)=a11a21an1a12a22an2a1na2nanny1(t)y2(t)yn(t)+b1(t)b2(t)bn(t)(2)
    将等式(2)展开得
    { y 1 ′ ( t ) = a 11 y 1 ( t ) + a 12 y 2 ( t ) + ⋯ + a 1 n y n ( t ) + b 1 ( t ) y 2 ′ ( t ) = a 21 y 1 ( t ) + a 22 y 2 ( t ) + ⋯ + a 2 n y n ( t ) + b 2 ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) = a n 1 y 1 ( t ) + a n 2 y 2 ( t ) + ⋯ + a n n y n ( t ) + b n ( t ) (3) \left \{ \begin{array}{rl} y_1^{'}(t) = a_{11}y_1(t) + a_{12}y_2(t) + \cdots+a_{1n}y_n(t) + b_1(t)\\ y_2^{'}(t) = a_{21}y_1(t) + a_{22}y_2(t) + \cdots+a_{2n}y_n(t) + b_2(t)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ y_n^{'}(t) = a_{n1}y_1(t) + a_{n2}y_2(t) + \cdots+a_{nn}y_n(t) + b_n(t)\\ \end{array} \right. \tag{3} y1(t)=a11y1(t)+a12y2(t)++a1nyn(t)+b1(t)y2(t)=a21y1(t)+a22y2(t)++a2nyn(t)+b2(t)yn(t)=an1y1(t)+an2y2(t)++annyn(t)+bn(t)(3)
    对等式(3)进行拉普拉斯变换得
    { s Y 1 ( s ) − y 1 ( 0 ) = a 11 Y 1 ( s ) + a 12 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 1 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) s Y 2 ( s ) − y 2 ( 0 ) = a 21 Y 1 ( s ) + a 22 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 2 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) ⋮ s Y n ( s ) − y n ( 0 ) = a n 1 Y 1 ( s ) + a n 2 Y 2 ( s ) + ⋯ + a n n Y n ( s ) + B n ( s ) (4) \left \{ \begin{array}{rl} sY_1(s) - y_1(0)= a_{11}Y_1(s) + a_{12}Y_2(s) + \cdots+a_{1n}Y_n(s) + B_1(s)\\ sY_2(s) - y_2(0)= a_{21}Y_1(s) + a_{22}Y_2(s) + \cdots+a_{2n}Y_n(s) + B_1(s)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ sY_n(s) - y_n(0)= a_{n1}Y_1(s) + a_{n2}Y_2(s) + \cdots+a_{nn}Y_n(s) + B_n(s)\\ \end{array} \right. \tag{4} sY1(s)y1(0)=a11Y1(s)+a12Y2(s)++a1nYn(s)+B1(s)sY2(s)y2(0)=a21Y1(s)+a22Y2(s)++a2nYn(s)+B1(s)sYn(s)yn(0)=an1Y1(s)+an2Y2(s)++annYn(s)+Bn(s)(4)
    将等式(4)写成矩阵形式为
    s [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] + [ B 1 ( s ) B 2 ( s ) ⋮ B n ( s ) ] + [ y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) ⋮ y n ( 0 ) ] (5) s \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} B_1(s)\\ B_2(s)\\ \vdots\\ B_n(s)\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} y_1(0)\\ y_2(0)\\ \vdots\\ y_n(0)\\ \end{bmatrix} \tag{5} sY1(s)Y2(s)Yn(s)=a11a21an1a12a22an2a1na2nannY1(s)Y2(s)Yn(s)+B1(s)B2(s)Bn(s)+y1(0)y2(0)yn(0)(5)
    由等式(5)得
    s Y ( s ) = A Y ( s ) + B ( s ) + y ( 0 ) (6) sY(s) = AY(s) + B(s) + y(0) \tag{6} sY(s)=AY(s)+B(s)+y(0)(6)

    s I n Y ( s ) − A Y ( s ) = B ( s ) + y ( 0 ) (7) sI_nY(s) - AY(s) = B(s) + y(0) \tag{7} sInY(s)AY(s)=B(s)+y(0)(7)

    Y ( s ) = ( s I n − A ) − 1 ( B ( s ) + y ( 0 ) ) (8) Y(s) = (sI_n - A)^{-1}(B(s) + y(0) ) \tag{8} Y(s)=(sInA)1(B(s)+y(0))(8)

    参考

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