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  • 拉普拉斯方程基本解
    2021-04-25 12:36:52

    拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现

    维普资讯 http://doc.wendoc.com

    第2 1卷第 3期

    20 0 8年 6月

    四川理工学院学报 (自然科学版 )

    J 0URNAL OF S CHUAN I UNI VERS OF IY I

    V 1 1N . o. o3 2

    J n2 0 u. 8 0

    S I N E& E G N E N NA U AL S I N E E I I N1 CE C N I E RI G( T R C E C D T O

    文章编号: 6 3 1 4 2 0 ) 3 0 0— 2 1 7— 5 9( 0 8 0— 0 1 0

    拉普拉斯方程有限差分法的 M T A A L B实现

    谢焕田,艳吴

    (临沂师范学院数学系,东临沂 2 6 0 )山 70 5

    要:文章基于区域转化的思想,通过 MTA编程实现了四分之一圆域上拉普拉斯方程的有限差分方法, ALB

    数值实验表明了方法的可行性和正确性。

    关键词:拉普拉斯方程;限差分;a lb有 M t a

    中图分类号:0 4 . 212 8文献标识码:A

    众所周知,拉普拉斯方程

    上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。参照文献【,出有 1给】限差分法数值计算的基本步骤: () 1区域的离散或子区域的划分。 ()值函数的选择。 2插 () 3方程组的建立。 ()程组的求解。 4方

    告+。等一

    是最简单的椭圆型偏微分方程之一,定解问题的数值其

    解法主要有有限元法和有限差分法等,统上人们认为传

    有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的定

    解问题但有限元法计算步骤较为复杂和抽象,功能强大的成熟软件 MA L B弥补了这一缺点但其中的 P E工 TA D具箱仅能计算边界条件为常数的边值问题,于以上情鉴

    况,文考虑如下边值问题本

    u

    2问题的转化

    首先,不规则求解区域力转换为规则区域,将令:

    roO=s O cs, r n,则直角坐标系下的四分之一单位圆域力 y i () 1

    就转化为如下的带状区域

    厂= (,) r 1 {r 1 , 0 0 7}

    +

    o y

    = 0

    x )力,∈ Y

    f,,∈ 0 力且 x O =

    “,= 5,∈,{,力且 yO . =

    I6S 0 5, x 2x x 1 -+ ∈力且 xy l+=

    其中 {, l+ yx 1 x 0>}

    ),>, Oo且 y

    ( 2 )

    其次, x roO=s O入方程 ()行化简,将=cs, r n带 y i 1进此

    时拉普拉斯方程形如

    1 8

    首先利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转化,进而通过 M T A A L B编程实现了上述边值问 题的极坐标下的有限差分方法,数值实验结果表明了此

    方法的可行性和正确性。

    _+ 1 ( _ r ) 0

    ( 3 )

    3问题的分析

    按照有限差分法的求解步骤,首先将带状区域 fr ) r 1

    h和 h。令,

    1有限差分法的介绍

    有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一, 其基本思想是把连续问题离散化,即首先对求解区域作网格剖分,有限个网格节点代替连续区域;次将微用其

    r ( O ), 01, ir .h i,2…,=+ 5,=,=+ ), O1 -J 1 o2/ 1口=, -,,=zJ^ j,-- h r

    利用中心差商公式得到逼近方程 (1 3的差分方程[ 2 1

    分算子离散化,从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题,解方程组就可以得到原问题在离散点

    一【 r

    h

    峙一

    J】 - . v 0

    有了以上格式就可以得到代数方程组进行求解。

    收稿日期:20 .— 080 0 34基金项目:国家自然科学基金( 6 18 ) 1 706 0

    作者简介:谢焕田 (9 2)男, 18一,山东临沂人,硕士,主要从事偏微分方程数值解方面的研究。

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    前言

    调和方程的基本解以及边界元方法中某积分的解析结果。

    调和方程

    u ( x 1 , . . . , x n ) = f ( r ) u(x_1, ..., x_n) = f(r) u(x1,...,xn)=f(r) (其中 r = x 1 2 + . . . + x n 2 r = \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2} r=x12+...+xn2 )是 n n n 维调和函数 (即满足方程 ∂ 2 u ∂ x 1 2 + . . . , + ∂ 2 u ∂ x n 2 = 0 \frac{\partial^2u}{\partial{x_1^2}} + ..., + \frac{\partial^2u}{\partial{x_n^2}} = 0 x122u+...,+xn22u=0),证明如下等式成立
    f ( r ) = c 1 + c 2 r n − 2          ( n ≠ 2 ) f(r) = c_1 + \frac{c_2}{r^{n-2}} \ \ \ \ \ \ \ \ (n \neq 2) f(r)=c1+rn2c2        (n=2)
    f ( r ) = c 1 + c 2 l n 1 r        ( n = 2 ) f(r) = c_1 + c_2ln\frac{1}{r} \ \ \ \ \ \ (n = 2) f(r)=c1+c2lnr1      (n=2)
    其中 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2 为任意常数。
    证明:
    u = f ( r ) ,     ∂ u ∂ x i = f ′ ( r ) ⋅ ∂ r ∂ x i = f ′ ( r ) ⋅ x i r u = f(r), \ \ \ \frac{\partial{u}}{\partial{x_i}} = f^{'}(r) \cdot \frac{\partial r}{\partial x_i} = f^{'}(r) \cdot \frac{x_i}{r} u=f(r),   xiu=f(r)xir=f(r)rxi

    ∂ 2 u ∂ x i 2 = f ′ ′ ( r ) ⋅ x i 2 r 2 + f ′ ( r ) ⋅ 1 r − f ′ ( r ) ⋅ x i 2 r 3 \frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2_i}} = f^{''}(r) \cdot \frac{x^2_i}{r^2} + f^{'}(r) \cdot \frac{1}{r} - f^{'}(r) \cdot \frac{x^2_i}{r^3} xi22u=f(r)r2xi2+f(r)r1f(r)r3xi2

    ∑ i = 1 n ∂ 2 u ∂ x i 2 = f ′ ′ ( r ) ⋅ ∑ i = 1 n x i 2 r 2 + f ′ ( r ) ⋅ n r − f ′ ( r ) ⋅ ∑ i = 1 n x i 2 r 3 = f ′ ′ ( r ) + n − 1 r f ′ ( r ) \sum^{n}_{i = 1} \frac{\partial^2u}{\partial{x^2_i}} = f^{''}(r) \cdot \frac{\sum^{n}_{i = 1}{x^2_i}}{r^2} + f^{'}(r) \cdot \frac{n}{r} - f^{'}(r) \cdot \frac{\sum^{n}_{i = 1}{x^2_i}}{r^3} = f^{''}(r) + \frac{n-1}{r} f^{'}(r) i=1nxi22u=f(r)r2i=1nxi2+f(r)rnf(r)r3i=1nxi2=f(r)+rn1f(r)
    即方程 Δ u = 0 \Delta u = 0 Δu=0 化为 f ′ ′ ( r ) + n − 1 r f ′ ( r ) = 0 f^{''}(r) + \frac{n-1}{r} f^{'}(r) = 0 f(r)+rn1f(r)=0

    f ′ ′ ( r ) f ′ ( r ) = − n − 1 r            ( 1 ) \frac{f^{''}(r)}{f^{'}(r)} = -\frac{n-1}{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) f(r)f(r)=rn1          (1)

    所以

    f ′ ( r ) = A 1 r − ( n − 1 )            ( 2 ) f^{'}(r) = A_1r^{-(n-1)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) f(r)=A1r(n1)          (2)

    n ≠ 2 n \neq 2 n=2,积分得

    f ( r ) = A 1 − n + 2 r − n + 2 + c 1 f(r) = \frac{A_1}{-n+2} r^{-n+2} + c_1 f(r)=n+2A1rn+2+c1

    n ≠ 2 n \neq 2 n=2, 则 f ( r ) = c 1 + c 2 r n − 2 f(r) = c_1 + \frac{c_2}{r^{n-2}} f(r)=c1+rn2c2

    n = 2 n = 2 n=2,则 f ′ ( r ) = A 1 r f^{'}(r) = \frac{A_1}{r} f(r)=rA1 f ( r ) = c 1 + A 1 l n r f(r) = c_1 + A_1lnr f(r)=c1+A1lnr

    n = 2 n = 2 n=2,则 f ( r ) = c 1 + c 2 l n 1 r f(r) = c_1 + c_2ln\frac{1}{r} f(r)=c1+c2lnr1

    上面的证明中 (1) 到 (2) 的推导如下:
    可令 z = f ′ ( r ) z = f^{'}(r) z=f(r), 则等式 (1) 变成 z ′ z = − n − 1 r \frac{z^{'}}{z} = -\frac{n-1}{r} zz=rn1

    下面就类似求常微分方程 d y d x = P ( x ) y \frac{dy}{dx} = P(x)y dxdy=P(x)y 的通解。
    变量分离法:
    d y y = P ( x ) d x \frac{dy}{y} = P(x) dx ydy=P(x)dx
    两边积分,即得
    l n ∣ y ∣ = ∫ P ( x ) d x + c 1 ln \left | y \right | = \int P(x) dx + c_1 lny=P(x)dx+c1
    这里 c 1 c_1 c1 是任意常数,由对数定义,即有
    ∣ y ∣ = e ∫ P ( x ) d x + c 1 \left | y \right | = e^{\int P(x)dx + c_1} y=eP(x)dx+c1

    y = ± e c 1 ⋅ e ∫ P ( x ) d x y = \pm e^{c_1} \cdot e^{\int P(x)dx} y=±ec1eP(x)dx
    ± e c 1 = c \pm e^{c_1} = c ±ec1=c 得到
    y = c e ∫ P ( x ) d x y = ce^{\int P(x)dx} y=ceP(x)dx

    边界元方法的基本知识

    二维空间的拉普拉斯方程的基本解为

    u s ∗ ( r ) = − 1 2 π l n r u^*_s(r) = -\frac{1}{2\pi}lnr us(r)=2π1lnr

    q s ∗ ( r ) = ∂ u s ∗ ∂ n ⃗ = − ( r ⃗ , n ⃗ ) 2 π r 2 q^*_s(r) = \frac{\partial u^{*}_s}{\partial {\vec{n}}} = -\frac{(\vec{r}, \vec{n})}{2\pi r^2} qs(r)=n us=2πr2(r ,n )

    三维空间的拉普拉斯方程的基本解为

    u s ∗ ( r ) = 1 4 π r u^*_s(r) = \frac{1}{4\pi r} us(r)=4πr1

    q s ∗ ( r ) = ∂ u s ∗ ∂ n ⃗ = − ( r ⃗ , n ⃗ ) 4 π r 3 q^*_s(r) = \frac{\partial u^{*}_s}{\partial {\vec{n}}} = -\frac{(\vec{r}, \vec{n})}{4\pi r^3} qs(r)=n us=4πr3(r ,n )

    积分计算

    如下图所示计算积分

    I = ∫ L r ⃗ ⋅ n ⃗ r 2 d l I = \int_{L} \frac{\vec{r} \cdot \vec{n}}{r^2} dl I=Lr2r n dl

    其中 r ⃗ = ( x , y ) ,       L = A B ‾ \vec{r} = (x, y), \ \ \ \ \ L= \overline{AB} r =(x,y),     L=AB

    经计算可得
    I = β ,         其 中 β 为 线 段 O A 与 线 段 O B 的 夹 角 的 弧 度 值 I = \beta, \ \ \ \ \ \ \ 其中 \beta 为 线段OA 与线段 OB的夹角的弧度值 I=β,       β线OA线OB

    在这里插入图片描述
    注:可用如下网址验证 Integral Calculator
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 一、引言在本文内作者首先用样板法求取得给定边值的拉普拉斯方程的数字。这种方法原理上基本与Runge(1)及Collatz(2)所用的方法相同,也是我的差分方程法(3)的一个特例;实际上用样板来计算...
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    球坐标系下的拉普拉斯方程解

    1. 球坐标系下的拉普拉斯方程形式
      1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ u ∂ r ) + 1 r 2 s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ u ∂ θ ) + 1 r 2 s i n 2 θ ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2\dfrac{\partial u}{\partial r})+\dfrac{1}{r^2sinθ}\dfrac{\partial}{\partial θ}(sin\theta\dfrac{\partial u}{\partial \theta})+\dfrac{1}{r^2sin^2\theta}\dfrac{\partial^2u}{\partial φ^2}=0 r21r(r2ru)+r2sinθ1θ(sinθθu)+r2sin2θ1φ22u=0
    2. 分离线量 r r r,角量 θ 、 φ \theta、\varphi θφ
      u ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) u(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi) u(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ),代入方程后分离变量
      得到 1 R d d r ( r 2 d R d r ) = − 1 Y s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ Y ∂ θ ) − 1 Y 1 s i n 2 θ ∂ 2 Y ∂ φ 2 \dfrac{1}{R}\dfrac{d}{dr}(r^2\dfrac{dR}{dr})=\dfrac{-1}{Ysin\theta}\dfrac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta \dfrac{\partial Y}{\partial \theta})-\dfrac{1}{Y}\dfrac{1}{sin^2\theta}\dfrac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2} R1drd(r2drdR)=Ysinθ1θ(sinθθY)Y1sin2θ1φ22Y
      由于线量、角量各自独立,因此上式的值只能为常数,令此常数为 l ( l + 1 ) l(l+1) l(l+1)
      于是得到两个常微分方程
      其中,关于 r r r的方程易解得 R ( r ) = C r l + D r − ( l + 1 ) R(r)=Cr^l+Dr^{-(l+1)} R(r)=Crl+Dr(l+1)
      关于角量的方程 1 s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ Y ∂ θ ) + 1 s i n 2 θ ∂ 2 Y ∂ φ 2 + Y l ( l + 1 ) = 0 \dfrac{1}{sin\theta}\dfrac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta \dfrac{\partial Y}{\partial \theta})+\dfrac{1}{sin^2\theta}\dfrac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2}+Yl(l+1)=0 sinθ1θ(sinθθY)+sin2θ1φ22Y+Yl(l+1)=0此式称为球函数方程
    3. 分离球函数方程
      Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) Y(\theta,\varphi)=\varTheta(\theta)\Phi(\varphi) Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ),代入球函数方程可得 s i n θ Θ d d θ ( s i n θ d Θ d θ ) + l ( l + 1 ) s i n 2 θ = − 1 Φ d 2 Φ d φ 2 \dfrac{sin\theta}{\varTheta}\dfrac{d}{d\theta}(sin\theta\dfrac{d\varTheta}{d\theta})+l(l+1)sin^2\theta=-\dfrac{1}{\Phi}\dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} Θsinθdθd(sinθdθdΘ)+l(l+1)sin2θ=Φ1dφ2d2Φ同样的,由于θ与φ独立,所以等式的值只能为常数,令此常数为 λ \lambda λ
      于是得到分别关于 φ , θ \varphi,\theta φ,θ的两个方程
      其中φ的构成"本征值问题" λ = m 2 \lambda=m^2 λ=m2 Φ ( φ ) = A c o s m φ + B s i n m φ \Phi(\varphi)=Acosm\varphi+Bsinm\varphi Φ(φ)=Acosmφ+Bsinmφ
    4. 对θ的方程进行变化
      x = c o s θ x=cos\theta x=cosθ,于是得到勒让德方程
      d d x [ ( 1 − x 2 ) d Θ d θ ] + [ l ( l + 1 ) − m 2 1 − x 2 ] Θ = 0 \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)\dfrac{d\varTheta}{d\theta}]+[l(l+1)-\dfrac{m^2}{1-x^2}]\varTheta=0 dxd[(1x2)dθdΘ]+[l(l+1)1x2m2]Θ=0

    柱坐标系下的拉普拉斯方程解

    • 柱坐标系下的拉普拉斯方程形式
      ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ u ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 \rho\dfrac{\partial}{\partial \rho}(\rho\dfrac{\partial u}{\partial \rho})+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial ^2u}{\partial φ^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 ρρ(ρρu)+ρ21φ22u+z22u=0
    展开全文
  • 拉普拉斯方程的格林函数法 数理方程第四章之拉普拉斯方程的格林函数法 行波法:无界空间波动问题,有局限性 分离变量法:各种有界问题,其为无穷级数 积分变换法:各种无界问题,其为无限积分 1.格林函数法:其为...

    拉普拉斯方程的格林函数法

    数理方程第四章之拉普拉斯方程的格林函数法

    在这里插入图片描述

    • 行波法:无界空间波动问题,有局限性
    • 分离变量法:各种有界问题,其解为无穷级数
    • 积分变换法:各种无界问题,其解为无限积分

    1.格林函数法:其解为含有格林函数的有限积分。
    由:在这里插入图片描述
    u(M)=∭τG(M,M0)h(M0)dτ0−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
    G(M,M0)−狄氏格林函数
    2.格林函数:点源函数,点源产生的场和影响若外力f(x,t)只在ξ点,τ时起作用
    在这里插入图片描述
    3.为何引入格林函数法:

    在这里插入图片描述
    (1)解的形式(有限积分)便于理论分析和研究
    (2)以统一的形式研究各类定解问题
    (3)对于线性问题,格林函数一旦求出,就可以算出任意源的场,关键就是求点源

    1.1δ函数

    1.1.1δ函数的引入

    1.物理背景
    在这里插入图片描述

    2.定义:

    在这里插入图片描述

    3.注意:

    (1)δ−密度函数和点源函数
    若在x=x0点放有m质量,总质量m,则ρ(x)=mδ(x−x0)
    若在x=x0点放有电量为q的点电荷,总电量为q,则ρ(x)=qδ(x−x0)

    (2)δ广义函数

    1.1.2δ函数的性质

    设f(x)在(−∞,∞)连续,则

    1.∫∞−∞f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)[∫∞−∞f(x)δ(x)dx=f(0)]
    注意:δ也能表示连续分布的函数
    f(t)=∫∞−∞f(τ)δ(τ−t)dτ=∫baf(τ)δ(τ−t)dτ

    附:判断函数相等的一种方法:

    设f(x)与g(x)都是定义在(a,b)区间上的函数,若对于定义在(a,b)区间上的任意连续函数φ(x)都有如下等式成立:∫baf(x)φ(x)dx=∫bag(x)φ(x)dx,则必有:f(x)=g(x),特别:若∫baφ(x)g(x)dx=0,则必有g(x)=0

    2.若定义ddxδ(x)=δ′(x)−δ函数的导数,则

    (1)∫∞−∞f(x)δ′(x−x0)dx=−f′(x0)
    (2)(x−x0)δ′(x−x0)=−δ(x−x0)
    (3)∫∞−∞f(x)δ(n)(x−x0)dx=(−1)nf(n)(x0)

    3.δ[φ(x)]=∑i=1nδ(x−xi)|φ′(xi)|,其中φ(xi)=0

    1.1.3高维δ函数

    1.定义:

    在这里插入图片描述

    1.1.4例题

    1.∫21sinxδ(x−12)dx=0

    2.∫21sinxδ(x)dx=0
    3.∫∞−∞∫∞−∞sin(x+y)δ(x+2)δ(y−1)dxdy=sin(−1)
    4.长为1,密度为ρ的弦两端固定,初位移为零,初始时刻在x=x0点受到一横向冲量I0.试写出弦的横震动的定解问题.
    在这里插入图片描述

    1.2泊松方程的狄氏问题

    在这里插入图片描述

    1.2.1格林公式

    1.为何引入格林公式

    (1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
    (2)我们要求解的三类数值方程中均含有Δ,格林公式是将未知函数,从微分算法Δ下解脱出来的工具.设u(x,y,z),v(x,y,z)在τ中具有连续的二阶导数,在τ¯上具有连续的一阶导数,则有如下格林公式:
    2.格林第一公式
    ∫τuΔvdτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σu∂v∂ndσ(3)
    ∫τvΔudτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σv∂u∂ndσ(4)

    3.格林第二公式

    ∫τuΔvdτ−∫τvΔudτ=∫σ(u∂v∂n−v∂u∂n)dσ(5)
    意义:(1)将u,v,Δu,Δv的值与u,v,∂v∂n,∂u∂n的边值联系起来.
    (2)u,v堆成
    (3)若已知v,Δv=0,及v|σ,则由格林公式可能求得在这里插入图片描述之解.

    4.球面平均值公式

    (1)定义:
    u¯(r,t)=14πr2∬SM0ru(M,t)ds
    =14π∬SM0ru(M,t)dΩdΩ=dsr2=sinθdθdφ
    −u(M,t)在以M0为中心,r为半径的球面SM0r上的平均值.
    (2)显然u(M0,t0)=limr→0u¯(r,t0)

    1.2.2积分公式−格林函数法

    1.(三维)狄氏积分公式:M,M0∈τ
    在这里插入图片描述
    2.狄氏积分公式的物理意义:

    第一项:体内源产生的场的和。
    第二项:边界上源产生的场的和。

    3.(二维)狄氏积分公式

    在这里插入图片描述

    1.2.3小结

    在这里插入图片描述

    1.3格林函数

    1.3.1泊松方程的格林函数

    在这里插入图片描述

    1.3.2狄氏格林函数

    1.三维:

    {ΔG=−δ(x−x0,y−y0,z−z0),M∈τG|σ=0
    令G(M,M0)=F(M,M0)+g(M,M0)
    使ΔF(M,M0)=−δ(M−M0)M∈τ,则
    G(M,M0)=14πr+g−狄氏格林函数
    ⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

    2.二维:

    {ΔG=−δ(x−x0,y−y0)G|l=0
    G=12πln1r+g−狄氏格林函数
    ⎧⎩⎨g=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

    3.狄氏格林函数的物理意义:

    {ΔG=−δ(M−M0),M∈τG|σ=0
    G(M,M0)=14πr+g⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
    G−M点点位⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ε0提供:14πε0ε0r=14πr感应电荷提供v:⎧⎩⎨Δv=0,M∈τ∵v=gv|σ=−14πr|σ
    求G→求M点点位→求感应电荷产生的点位

    对于三维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

    对于二维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

    1.3.3用电像法求狄氏格林函数

    1.问题引入:

    求解球内狄氏问题:{Δu=0,ρ<au|ρ=a=f(M)
    解:u(M)=−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
    G(M,M0)=14πr+g;⎧⎩⎨Δg=0,M∈ρ<ag|ρ=a=−14πr|ρ=a
    求u→求G→求M点电位→求感应电荷产生的点位g

    2.用电像法求g:

    (1)分析:若能在σ外的某点M1放一适当的负q,则
    Δ(−q4πε0r1)=0,M∈ρ<a
    使:−q4πε0r1|ρ=a=−14πr|ρ=a
    则g=−qrπε0r1
    ∴求g→a)确定M1的位置;b)确定q大小问题

    (2)求球域的G

    a)r1=?记|OM0|=ρ0,|OM1|=ρ1,使ρ0⋅ρ1=a2,即ρ0a=aρ1
    则称M1为M0关于球面ρ=a的像
    b)q=?1r|σ=?
    ∵ΔOM0M∼ΔOM1M
    ∴ρ0a=aρ1=rr1,即1r|ρ=a=a/ρ0r1|ρ=a
    g=−ε0a/ρ04πε0r1=−a/ρ04πr1,q=ε0aρ0
    G=14πr−a/ρ04πr1,−q=−ε0aρ0是ε0的电像

    (3)电像法:这种在像点放一虚构的点电荷,来等效代替边界面上的感应电荷所产生的点位的方法称之为电像法。

    3.求u(M)

    在这里插入图片描述

    1.3.4注释

    1.cosγ=?

    设I⃗ 为OM→方向单位向量,I0→为OM0→方向单位向量,则
    I⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =sinθcosφi⃗ +sinθsinφj⃗ +cosθk⃗
    I0→=x0i⃗ +y0j⃗ +z0k⃗ =sinθ0cosφ0i⃗ +sinθ0sinφ0j⃗ +cosθ0k⃗
    ∴I⃗ ⋅I⃗ 0=|I⃗ ⋅I⃗ 0|cosγ=cosγ
    =sinθcosφsinθ0cosφ0+sinθsinφsinθ0sinφ0+cosθcosθ0
    在这里插入图片描述

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    1.3.5小结

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