数学中，拉普拉斯方程是以Pierre-imon Laplace命名得二阶偏微分方程，它首先研究它的性质。”这通常写成：

其中是拉普拉斯算子和 是一个标量函数。拉普拉斯方程和泊松方程是椭圆偏微分方程得最简单例子。拉普拉斯方程解得一般理论被称为潜在理论。拉普拉斯方程得解是谐波函数，它在许多科学领域都很重要，特别是电磁学，天文学和流体动力学领域。

“拉普拉斯算子：数学中拉普拉斯算子获Laplacian算子是微分算子给定的发散的梯度a的功能上欧几里德空间”

“微分算子：在数学中，微分算子是一个运算符，被定义为微分算子得函数。作为符号首先，将差异视为接受函数并返回另一个函数得抽象操作得是有帮助的。本文主要考虑线性运算符，这是最常见得类型，然而，也存在非线性微分算子”

“微分算子：在数学中，微分算子是一个运算符，被定义为微分算子得函数。作为符号受限，将差异视为接受函数并返回另一个函数得的抽象操作是有帮助得。本文主要考虑线性运算符，这是最常见的类型，然而，也存在非线性微分算子，例如Schwarzian导数。

定义： 在数学中，微分算子是定义微分运算之函数得算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助得，它接受一个函数到另一个函数。当然也有理由不单限制于线性算字；例如施瓦茨倒数是一个熟知得非线性算子

记号：最常用得微分算子是取倒数自身。这个算子得常用记号包括：d/dx,D，这里指明了变量。一阶导数如上所示，但当取更高阶n次导数时，下列替代性记号是有用得：.记号D得发明与使用归于奥利弗.亥维赛，他在研究微分方程中考虑的如下形式得微分算子 ，另一个常见得微分算子是拉普拉斯算子 ，另一个算子是Θ算子，定义为，有时这也称为齐次算子，因为他的本征函数是关于z得单项式：在n个变量中齐次算子由给出。与单变量一样，Θ得本征空间是齐次多项式空间。”

性质：

1. 微分是线性的，即

        

2.任何以函数为系数之D得多项式也是一个微分算子。我们可以通过法则

          

3.复合微分算子。需要注意：首先算子D2中任何函数系数必须具有D1所要求得可微次数。为了得到这样运算的一个环，

我们必须假设所用得系数得所有阶倒数。第二，这个环是不交换的：一个算子gD一版与Dg不同，事实上我们有例，如在量子力学得基本关系中得基本关系：Dx-xD=1

但这些算子得子环：D的常系数多项式是交换的。他可以从另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

4.微分算子也服从位移定理，即

 

算子得伴随

......

"

"泊松方程:   泊松方程是椭圆型的偏微分方程，在机械工程和理论物理中具有广泛的应用。例如，它出现在描述由给定电荷或质量密度分布引起的势场; 在已知潜在场的情况下，可以计算重力场或静电场。它是拉普拉斯方程的推广，在物理学中也经常出现。该式以法国数学家，几何学家和物理学家 SiméonDenisPoisson（西蒙丹尼斯·泊松）命名。

方程式：，其中是拉普拉斯算子，和f和φ是真实的或复杂的-valued功能上得歧管

......"

“位势理论（位势论 Potential theory ）：在数学和物理中潜在理论是谐波函数得研究。

“位势理论”，这个术语是在19世纪得物理学中创建出来的，当时人们意识到当时一致的两种基本自然力，即重力和静电力，可以用称为引力势和静电势得函数建模。他满足泊松方程或在真空中--满足拉普拉斯方程。潜在理论与泊松方程理论之间存在相当大的重叠，以至于无法区分这两领域。两者一般强调一下区别：潜在莅临关注的是函数的性质而不是等式得性质。例如，关于谐波函数得奇点得结果将被认为属于潜在的理论，而关于解如何依赖于便捷数据得结果将被认为属于拉普拉斯方程得理论。这不是一个硬性的区别，并且在实践中，两个领域之间存在相当大的重叠，其中一个方法和结果在另一个领域中使用。

现代势理论也与概率和马尔科夫链理论密切相关。在连续的情况下，这与分析理论密切相关。在有限状态空间的情况下，可以通过状态空间上引入电网来引入这种连接，其中点之间得电阻与转移概率和与电势成比例得密度成反比。即便在有限得情况下，潜在理论中拉普拉斯算子得模拟lK也有其自身得最大原理，唯一性原理，平衡原理

......”。

“谐波函数：在数学，数学物理和理论随机过程，一个谐波函数是两次两次可微函数其中ü是一个开子集得

，无处不在得ü。这通常写成要么

（......待完成）”

参考链接：

谐波函数：https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

拉普拉斯方程：https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation

位势论：https://en.wikipedia.org/wiki/Potential_theory

泊松方程：https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation

拉普拉斯方程的格林函数法

数理方程第四章之拉普拉斯方程的格林函数法

• 行波法:无界空间波动问题,有局限性
• 分离变量法:各种有界问题,其解为无穷级数
• 积分变换法:各种无界问题,其解为无限积分

1.格林函数法:其解为含有格林函数的有限积分。
由:得
u(M)=∭τG(M,M0)h(M0)dτ0−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
G(M,M0)−狄氏格林函数
2.格林函数:点源函数,点源产生的场和影响若外力f(x,t)只在ξ点,τ时起作用

3.为何引入格林函数法:

(1)解的形式(有限积分)便于理论分析和研究
(2)以统一的形式研究各类定解问题
(3)对于线性问题,格林函数一旦求出,就可以算出任意源的场,关键就是求点源

1.1δ函数

1.1.1δ函数的引入

1.物理背景

2.定义:

3.注意:

(1)δ−密度函数和点源函数
若在x=x0点放有m质量,总质量m,则ρ(x)=mδ(x−x0)
若在x=x0点放有电量为q的点电荷,总电量为q,则ρ(x)=qδ(x−x0)

(2)δ广义函数

1.1.2δ函数的性质

设f(x)在(−∞,∞)连续,则

1.∫∞−∞f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)[∫∞−∞f(x)δ(x)dx=f(0)]
注意:δ也能表示连续分布的函数
f(t)=∫∞−∞f(τ)δ(τ−t)dτ=∫baf(τ)δ(τ−t)dτ

附:判断函数相等的一种方法:

设f(x)与g(x)都是定义在(a,b)区间上的函数,若对于定义在(a,b)区间上的任意连续函数φ(x)都有如下等式成立:∫baf(x)φ(x)dx=∫bag(x)φ(x)dx,则必有:f(x)=g(x),特别：若∫baφ(x)g(x)dx=0,则必有g(x)=0

2.若定义ddxδ(x)=δ′(x)−δ函数的导数,则

(1)∫∞−∞f(x)δ′(x−x0)dx=−f′(x0)
(2)(x−x0)δ′(x−x0)=−δ(x−x0)
(3)∫∞−∞f(x)δ(n)(x−x0)dx=(−1)nf(n)(x0)

3.δ[φ(x)]=∑i=1nδ(x−xi)|φ′(xi)|,其中φ(xi)=0

1.1.3高维δ函数

1.定义：

1.1.4例题

1.∫21sinxδ(x−12)dx=0

2.∫21sinxδ(x)dx=0
3.∫∞−∞∫∞−∞sin(x+y)δ(x+2)δ(y−1)dxdy=sin(−1)
4.长为1，密度为ρ的弦两端固定,初位移为零,初始时刻在x=x0点受到一横向冲量I0.试写出弦的横震动的定解问题.

1.2泊松方程的狄氏问题

1.2.1格林公式

1.为何引入格林公式

(1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
(2)我们要求解的三类数值方程中均含有Δ,格林公式是将未知函数,从微分算法Δ下解脱出来的工具.设u(x,y,z),v(x,y,z)在τ中具有连续的二阶导数,在τ¯上具有连续的一阶导数,则有如下格林公式:
2.格林第一公式
∫τuΔvdτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σu∂v∂ndσ(3)
∫τvΔudτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σv∂u∂ndσ(4)

3.格林第二公式

∫τuΔvdτ−∫τvΔudτ=∫σ(u∂v∂n−v∂u∂n)dσ(5)
意义:(1)将u,v,Δu,Δv的值与u,v,∂v∂n,∂u∂n的边值联系起来.
(2)u,v堆成
(3)若已知v,Δv=0,及v|σ,则由格林公式可能求得之解.

4.球面平均值公式

(1)定义:
u¯(r,t)=14πr2∬SM0ru(M,t)ds
=14π∬SM0ru(M,t)dΩdΩ=dsr2=sinθdθdφ
−u(M,t)在以M0为中心，r为半径的球面SM0r上的平均值.
(2)显然u(M0,t0)=limr→0u¯(r,t0)

1.2.2积分公式−格林函数法

1.(三维)狄氏积分公式:M,M0∈τ

2.狄氏积分公式的物理意义:

第一项:体内源产生的场的和。
第二项:边界上源产生的场的和。

3.(二维)狄氏积分公式

1.2.3小结

1.3格林函数

1.3.1泊松方程的格林函数

1.3.2狄氏格林函数

1.三维：

{ΔG=−δ(x−x0,y−y0,z−z0),M∈τG|σ=0
令G(M,M0)=F(M,M0)+g(M,M0)
使ΔF(M,M0)=−δ(M−M0)M∈τ,则
G(M,M0)=14πr+g−狄氏格林函数
⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

2.二维:

{ΔG=−δ(x−x0,y−y0)G|l=0
G=12πln1r+g−狄氏格林函数
⎧⎩⎨g=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

3.狄氏格林函数的物理意义:

{ΔG=−δ(M−M0),M∈τG|σ=0
G(M,M0)=14πr+g⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
G−M点点位⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ε0提供:14πε0ε0r=14πr感应电荷提供v:⎧⎩⎨Δv=0,M∈τ∵v=gv|σ=−14πr|σ
求G→求M点点位→求感应电荷产生的点位

对于三维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

对于二维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

1.3.3用电像法求狄氏格林函数

1.问题引入:

求解球内狄氏问题:{Δu=0,ρ<au|ρ=a=f(M)
解:u(M)=−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
G(M,M0)=14πr+g;⎧⎩⎨Δg=0,M∈ρ<ag|ρ=a=−14πr|ρ=a
求u→求G→求M点电位→求感应电荷产生的点位g

2.用电像法求g:

(1)分析:若能在σ外的某点M1放一适当的负q,则
Δ(−q4πε0r1)=0,M∈ρ<a
使:−q4πε0r1|ρ=a=−14πr|ρ=a
则g=−qrπε0r1
∴求g→a)确定M1的位置;b)确定q大小问题

(2)求球域的G

a)r1=?记|OM0|=ρ0,|OM1|=ρ1,使ρ0⋅ρ1=a2,即ρ0a=aρ1
则称M1为M0关于球面ρ=a的像
b)q=?1r|σ=?
∵ΔOM0M∼ΔOM1M
∴ρ0a=aρ1=rr1,即1r|ρ=a=a/ρ0r1|ρ=a
g=−ε0a/ρ04πε0r1=−a/ρ04πr1,q=ε0aρ0
G=14πr−a/ρ04πr1,−q=−ε0aρ0是ε0的电像

(3)电像法:这种在像点放一虚构的点电荷，来等效代替边界面上的感应电荷所产生的点位的方法称之为电像法。

3.求u(M)

1.3.4注释

1.cosγ=?

设I⃗ 为OM→方向单位向量,I0→为OM0→方向单位向量,则
I⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =sinθcosφi⃗ +sinθsinφj⃗ +cosθk⃗
I0→=x0i⃗ +y0j⃗ +z0k⃗ =sinθ0cosφ0i⃗ +sinθ0sinφ0j⃗ +cosθ0k⃗
∴I⃗ ⋅I⃗ 0=|I⃗ ⋅I⃗ 0|cosγ=cosγ
=sinθcosφsinθ0cosφ0+sinθsinφsinθ0sinφ0+cosθcosθ0

1.3.5小结

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生活给了你一块阴影，必会在不远的地方撒下阳光

下课

圆柱坐标系统中亥姆霍兹方程的解

《微波与光电子学中的电磁理论》读书笔记1

亥姆霍兹方程：

亥姆霍兹方程（英语：Helmholtz equation）是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下：
其中 ∇是哈密顿算子，k是波数，A是振幅。（来源：百度百科）

为将矢量亥姆霍兹方程化简为标量亥姆霍兹方程，这里采用了波格尼斯位函数法：（或许会在另一篇博客中专门写）
找到两个标量函数U(x),V(x), 使得E3只是U的函数，H3只是V的函数，各场分量与U，V有如下关系（此关系在本推导中未用到）：
U和V满足二阶偏微分方程：

$\nabla$²_T为u1，u2的拉普拉斯运算：

在柱坐标系统中，令u3为z，只讨论U的方程，用分离变量法，
代入上面关于U的二阶偏微分方程，除以U，分离变量，得到

圆柱坐标系统中，

因此原式

在这里成为式（1）：


（分离变量）
代入式（1），得：

因此有（v为分离常数，物理意义是角量子数？）：

结合之前的Z的方程：

解以上三个方程即可给出圆柱坐标中亥姆霍兹方程一般解：

NB: 本人并不是光学专业，博文中如有哪部分理解阐释不到位，还希望各位积极斧正，和您的交流也是学习和巩固的过程。