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  • 拉普拉斯方程的理论解
    2021-04-23 20:07:40

    用拉普拉斯变换求解分段函数的常微分方程的方法如下:

    拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

    206f1f0bc2526a5dfa21f9ec494e3b75.png

    (式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

    电路分析实例:

    在“电路分析”中,元件的伏安关系可以在复频域中进行表示,即电阻元件:V=RI,电感元件:V=sLI,电容元件:I=sCV。如果用电阻R与电容C串联,并在电容两端引出电压作为输出,那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))。

    于是响应的拉普拉斯变换Y(s)就等于激励的拉普拉斯变换X(s)与传递函数H(s)的乘积,即Y(s)=X(s)H(s)如果定义:f(t)是一个关于t的函数,使得当t<0时候,f(t)=0;s是一个复变量;

    ç是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt;F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

    则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出:

    d33cf2fdc613e001555b333389850072.png

    扩展资料:

    意义与作用

    为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

    拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

    引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

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    数学中,拉普拉斯方程...拉普拉斯方程解得一般理论被称为潜在理论拉普拉斯方程是谐波函数,它在许多科学领域都很重要,特别是电磁学,天文学和流体动力学领域。 “拉普拉斯算子:数学中拉普拉斯算子获Laplac...

    数学中,拉普拉斯方程是以Pierre-imon Laplace命名得二阶偏微分方程,它首先研究它的性质。”这通常写成:

    其中拉普拉斯算子\ varphi 是一个标量函数。拉普拉斯方程和泊松方程是椭圆偏微分方程得最简单例子。拉普拉斯方程解得一般理论被称为潜在理论。拉普拉斯方程得解是谐波函数,它在许多科学领域都很重要,特别是电磁学天文学流体动力学领域

    “拉普拉斯算子:数学中拉普拉斯算子获Laplacian算子是微分算子给定的发散梯度a的功能上欧几里德空间

    “微分算子:在数学中,微分算子是一个运算符,被定义为微分算子得函数。作为符号首先,将差异视为接受函数并返回另一个函数得抽象操作得是有帮助的。本文主要考虑线性运算符,这是最常见得类型,然而,也存在非线性微分算子”

    “微分算子:在数学中,微分算子是一个运算符,被定义为微分算子得函数。作为符号受限,将差异视为接受函数并返回另一个函数得的抽象操作是有帮助得。本文主要考虑线性运算符,这是最常见的类型,然而,也存在非线性微分算子,例如Schwarzian导数。

    定义: 在数学中,微分算子是定义微分运算之函数得算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助得,它接受一个函数到另一个函数。当然也有理由不单限制于线性算字;例如施瓦茨倒数是一个熟知得非线性算子

    记号:最常用得微分算子是取倒数自身。这个算子得常用记号包括:d/dx,D,这里指明了变量。一阶导数如上所示,但当取更高阶n次导数时,下列替代性记号是有用得:.记号D得发明与使用归于奥利弗.亥维赛,他在研究微分方程中考虑的如下形式得微分算子 ,另一个常见得微分算子是拉普拉斯算子 ,另一个算子是Θ算子,定义为,有时这也称为齐次算子,因为他的本征函数是关于z得单项式:在n个变量中齐次算子由给出。与单变量一样,Θ得本征空间是齐次多项式空间。”

    性质:

    1. 微分是线性的,即

            

    2.任何以函数为系数之D得多项式也是一个微分算子。我们可以通过法则

              

    3.复合微分算子。需要注意:首先算子D2中任何函数系数必须具有D1所要求得可微次数。为了得到这样运算的一个环,

    我们必须假设所用得系数得所有阶倒数。第二,这个环是不交换的:一个算子gD一版与Dg不同,事实上我们有例,如在量子力学得基本关系中得基本关系:Dx-xD=1

    但这些算子得子环:D的常系数多项式是交换的。他可以从另一种方式刻画:它由平移不变算子组成。

    4.微分算子也服从位移定理,即

     

    算子得伴随

    ......

    "

    "泊松方程:   泊松方程是椭圆型的偏微分方程,在机械工程和理论物理中具有广泛的应用。例如,它出现在描述由给定电荷或质量密度分布引起的势场; 在已知潜在场的情况下,可以计算重力场或静电场。它是拉普拉斯方程的推广,在物理学中也经常出现。该式以法国数学家,几何学家和物理学家 SiméonDenisPoisson(西蒙丹尼斯·泊松)命名。

    方程式:,其中是拉普拉斯算子,和f和φ是真实的或复杂的-valued功能上得歧管

    ......"

    “位势理论(位势论 Potential theory ):在数学和物理中潜在理论是谐波函数得研究。

    “位势理论”,这个术语是在19世纪得物理学中创建出来的,当时人们意识到当时一致的两种基本自然力,即重力和静电力,可以用称为引力势和静电势得函数建模。他满足泊松方程或在真空中--满足拉普拉斯方程。潜在理论与泊松方程理论之间存在相当大的重叠,以至于无法区分这两领域。两者一般强调一下区别:潜在莅临关注的是函数的性质而不是等式得性质。例如,关于谐波函数得奇点得结果将被认为属于潜在的理论,而关于解如何依赖于便捷数据得结果将被认为属于拉普拉斯方程得理论。这不是一个硬性的区别,并且在实践中,两个领域之间存在相当大的重叠,其中一个方法和结果在另一个领域中使用。

    现代势理论也与概率和马尔科夫链理论密切相关。在连续的情况下,这与分析理论密切相关。在有限状态空间的情况下,可以通过状态空间上引入电网来引入这种连接,其中点之间得电阻与转移概率和与电势成比例得密度成反比。即便在有限得情况下,潜在理论中拉普拉斯算子得模拟lK也有其自身得最大原理唯一性原理平衡原理

    ......”。

    “谐波函数:在数学,数学物理和理论随机过程,一个谐波函数是两次两次可微函数其中ü是一个开子集得

    ,无处不在得ü。这通常写成要么

    (......待完成)”

    参考链接:

    谐波函数:https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

    拉普拉斯方程:https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation

    位势论:https://en.wikipedia.org/wiki/Potential_theory

    泊松方程:https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation

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  • 运用固定点理论,获得了非线性p-拉普拉斯方程径向收敛的有界正的一个新的存在性结果.
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    拉普拉斯方程的格林函数法

    数理方程第四章之拉普拉斯方程的格林函数法

    在这里插入图片描述

    • 行波法:无界空间波动问题,有局限性
    • 分离变量法:各种有界问题,其解为无穷级数
    • 积分变换法:各种无界问题,其解为无限积分

    1.格林函数法:其解为含有格林函数的有限积分。
    由:在这里插入图片描述
    u(M)=∭τG(M,M0)h(M0)dτ0−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
    G(M,M0)−狄氏格林函数
    2.格林函数:点源函数,点源产生的场和影响若外力f(x,t)只在ξ点,τ时起作用
    在这里插入图片描述
    3.为何引入格林函数法:

    在这里插入图片描述
    (1)解的形式(有限积分)便于理论分析和研究
    (2)以统一的形式研究各类定解问题
    (3)对于线性问题,格林函数一旦求出,就可以算出任意源的场,关键就是求点源

    1.1δ函数

    1.1.1δ函数的引入

    1.物理背景
    在这里插入图片描述

    2.定义:

    在这里插入图片描述

    3.注意:

    (1)δ−密度函数和点源函数
    若在x=x0点放有m质量,总质量m,则ρ(x)=mδ(x−x0)
    若在x=x0点放有电量为q的点电荷,总电量为q,则ρ(x)=qδ(x−x0)

    (2)δ广义函数

    1.1.2δ函数的性质

    设f(x)在(−∞,∞)连续,则

    1.∫∞−∞f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)[∫∞−∞f(x)δ(x)dx=f(0)]
    注意:δ也能表示连续分布的函数
    f(t)=∫∞−∞f(τ)δ(τ−t)dτ=∫baf(τ)δ(τ−t)dτ

    附:判断函数相等的一种方法:

    设f(x)与g(x)都是定义在(a,b)区间上的函数,若对于定义在(a,b)区间上的任意连续函数φ(x)都有如下等式成立:∫baf(x)φ(x)dx=∫bag(x)φ(x)dx,则必有:f(x)=g(x),特别:若∫baφ(x)g(x)dx=0,则必有g(x)=0

    2.若定义ddxδ(x)=δ′(x)−δ函数的导数,则

    (1)∫∞−∞f(x)δ′(x−x0)dx=−f′(x0)
    (2)(x−x0)δ′(x−x0)=−δ(x−x0)
    (3)∫∞−∞f(x)δ(n)(x−x0)dx=(−1)nf(n)(x0)

    3.δ[φ(x)]=∑i=1nδ(x−xi)|φ′(xi)|,其中φ(xi)=0

    1.1.3高维δ函数

    1.定义:

    在这里插入图片描述

    1.1.4例题

    1.∫21sinxδ(x−12)dx=0

    2.∫21sinxδ(x)dx=0
    3.∫∞−∞∫∞−∞sin(x+y)δ(x+2)δ(y−1)dxdy=sin(−1)
    4.长为1,密度为ρ的弦两端固定,初位移为零,初始时刻在x=x0点受到一横向冲量I0.试写出弦的横震动的定解问题.
    在这里插入图片描述

    1.2泊松方程的狄氏问题

    在这里插入图片描述

    1.2.1格林公式

    1.为何引入格林公式

    (1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
    (2)我们要求解的三类数值方程中均含有Δ,格林公式是将未知函数,从微分算法Δ下解脱出来的工具.设u(x,y,z),v(x,y,z)在τ中具有连续的二阶导数,在τ¯上具有连续的一阶导数,则有如下格林公式:
    2.格林第一公式
    ∫τuΔvdτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σu∂v∂ndσ(3)
    ∫τvΔudτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σv∂u∂ndσ(4)

    3.格林第二公式

    ∫τuΔvdτ−∫τvΔudτ=∫σ(u∂v∂n−v∂u∂n)dσ(5)
    意义:(1)将u,v,Δu,Δv的值与u,v,∂v∂n,∂u∂n的边值联系起来.
    (2)u,v堆成
    (3)若已知v,Δv=0,及v|σ,则由格林公式可能求得在这里插入图片描述之解.

    4.球面平均值公式

    (1)定义:
    u¯(r,t)=14πr2∬SM0ru(M,t)ds
    =14π∬SM0ru(M,t)dΩdΩ=dsr2=sinθdθdφ
    −u(M,t)在以M0为中心,r为半径的球面SM0r上的平均值.
    (2)显然u(M0,t0)=limr→0u¯(r,t0)

    1.2.2积分公式−格林函数法

    1.(三维)狄氏积分公式:M,M0∈τ
    在这里插入图片描述
    2.狄氏积分公式的物理意义:

    第一项:体内源产生的场的和。
    第二项:边界上源产生的场的和。

    3.(二维)狄氏积分公式

    在这里插入图片描述

    1.2.3小结

    在这里插入图片描述

    1.3格林函数

    1.3.1泊松方程的格林函数

    在这里插入图片描述

    1.3.2狄氏格林函数

    1.三维:

    {ΔG=−δ(x−x0,y−y0,z−z0),M∈τG|σ=0
    令G(M,M0)=F(M,M0)+g(M,M0)
    使ΔF(M,M0)=−δ(M−M0)M∈τ,则
    G(M,M0)=14πr+g−狄氏格林函数
    ⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

    2.二维:

    {ΔG=−δ(x−x0,y−y0)G|l=0
    G=12πln1r+g−狄氏格林函数
    ⎧⎩⎨g=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

    3.狄氏格林函数的物理意义:

    {ΔG=−δ(M−M0),M∈τG|σ=0
    G(M,M0)=14πr+g⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
    G−M点点位⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ε0提供:14πε0ε0r=14πr感应电荷提供v:⎧⎩⎨Δv=0,M∈τ∵v=gv|σ=−14πr|σ
    求G→求M点点位→求感应电荷产生的点位

    对于三维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ

    对于二维:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈σg|l=−12πln1r|l

    1.3.3用电像法求狄氏格林函数

    1.问题引入:

    求解球内狄氏问题:{Δu=0,ρ<au|ρ=a=f(M)
    解:u(M)=−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
    G(M,M0)=14πr+g;⎧⎩⎨Δg=0,M∈ρ<ag|ρ=a=−14πr|ρ=a
    求u→求G→求M点电位→求感应电荷产生的点位g

    2.用电像法求g:

    (1)分析:若能在σ外的某点M1放一适当的负q,则
    Δ(−q4πε0r1)=0,M∈ρ<a
    使:−q4πε0r1|ρ=a=−14πr|ρ=a
    则g=−qrπε0r1
    ∴求g→a)确定M1的位置;b)确定q大小问题

    (2)求球域的G

    a)r1=?记|OM0|=ρ0,|OM1|=ρ1,使ρ0⋅ρ1=a2,即ρ0a=aρ1
    则称M1为M0关于球面ρ=a的像
    b)q=?1r|σ=?
    ∵ΔOM0M∼ΔOM1M
    ∴ρ0a=aρ1=rr1,即1r|ρ=a=a/ρ0r1|ρ=a
    g=−ε0a/ρ04πε0r1=−a/ρ04πr1,q=ε0aρ0
    G=14πr−a/ρ04πr1,−q=−ε0aρ0是ε0的电像

    (3)电像法:这种在像点放一虚构的点电荷,来等效代替边界面上的感应电荷所产生的点位的方法称之为电像法。

    3.求u(M)

    在这里插入图片描述

    1.3.4注释

    1.cosγ=?

    设I⃗ 为OM→方向单位向量,I0→为OM0→方向单位向量,则
    I⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =sinθcosφi⃗ +sinθsinφj⃗ +cosθk⃗
    I0→=x0i⃗ +y0j⃗ +z0k⃗ =sinθ0cosφ0i⃗ +sinθ0sinφ0j⃗ +cosθ0k⃗
    ∴I⃗ ⋅I⃗ 0=|I⃗ ⋅I⃗ 0|cosγ=cosγ
    =sinθcosφsinθ0cosφ0+sinθsinφsinθ0sinφ0+cosθcosθ0
    在这里插入图片描述

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    1.3.5小结

    在这里插入图片描述




    在这里插入图片描述生活给了你一块阴影,必会在不远的地方撒下阳光

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    U和V满足二阶偏微分方程:
    在这里插入图片描述
    ∇ \nabla 2T为u1,u2的拉普拉斯运算:
    在这里插入图片描述
    在柱坐标系统中,令u3为z,只讨论U的方程,用分离变量法,在这里插入图片描述
    代入上面关于U的二阶偏微分方程,除以U,分离变量,得到
    在这里插入图片描述
    圆柱坐标系统中,
    在这里插入图片描述
    因此原式
    在这里插入图片描述
    在这里成为式(1):
    在这里插入图片描述
    分离变量
    (分离变量)
    代入式(1),得:
    在这里插入图片描述
    因此有(v为分离常数,物理意义是角量子数?):
    在这里插入图片描述
    结合之前的Z的方程:
    在这里插入图片描述
    解以上三个方程即可给出圆柱坐标中亥姆霍兹方程一般解:
    在这里插入图片描述

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  • 拉普拉斯变换

    万次阅读 多人点赞 2019-04-26 11:06:15
    本文将从通俗的角度看待拉普拉斯变换。 发明者 奥列弗.赫维赛德,维多利亚时期英国人,全靠自学,听力残疾。很多人熟悉赫维赛德是因为MATLAB有一个赫维赛德(Heaviside)函数。 赫维赛德简化了麦克斯韦方程组:即...
  • 算效率低,易产生阶梯效应,这里采用一种用拉氏锐化算子替代拉普拉斯算子的四阶偏微分方程模型. 实验结 果表明,本方法是一种高效的去除噪声并能很好地保持图像边缘的算法. 关键词:图像去噪; 小波变换; 偏微分方程
  • 特点 方法 ... 微分方程 全响应 可求特的信号 — — 特:输入决定 + 通:系统结构、初态决定 指数基 向量法 稳态响应 正弦周期信号 阻抗模型 变换成指...

空空如也

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拉普拉斯方程的理论解