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  • 拉普拉斯求微分方程
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    2019-12-07 15:32:33


    宏村

    概述

    常微分方程的一般形式的拉普拉斯变换推导。

    方程表述

    Y ′ = A Y + B (1) Y^{'} = AY + B \tag{1} Y=AY+B(1)
    其中 Y ′ = [ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] Y^{'} = \begin{bmatrix}y_1^{'}(t)\\y_2^{'}(t)\\\vdots\\y_n^{'}(t)\end{bmatrix} Y=y1(t)y2(t)yn(t) Y = [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] Y = \begin{bmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{bmatrix} Y=y1(t)y2(t)yn(t) A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann B = [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] B=\begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} B=b1(t)b2(t)bn(t),分别带入等式(1)得

    [ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] + [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] (2) \begin{bmatrix} y_1^{'}(t)\\ y_2^{'}(t)\\ \vdots\\ y_n^{'}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} \tag{2} y1(t)y2(t)yn(t)=a11a21an1a12a22an2a1na2nanny1(t)y2(t)yn(t)+b1(t)b2(t)bn(t)(2)
    将等式(2)展开得
    { y 1 ′ ( t ) = a 11 y 1 ( t ) + a 12 y 2 ( t ) + ⋯ + a 1 n y n ( t ) + b 1 ( t ) y 2 ′ ( t ) = a 21 y 1 ( t ) + a 22 y 2 ( t ) + ⋯ + a 2 n y n ( t ) + b 2 ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) = a n 1 y 1 ( t ) + a n 2 y 2 ( t ) + ⋯ + a n n y n ( t ) + b n ( t ) (3) \left \{ \begin{array}{rl} y_1^{'}(t) = a_{11}y_1(t) + a_{12}y_2(t) + \cdots+a_{1n}y_n(t) + b_1(t)\\ y_2^{'}(t) = a_{21}y_1(t) + a_{22}y_2(t) + \cdots+a_{2n}y_n(t) + b_2(t)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ y_n^{'}(t) = a_{n1}y_1(t) + a_{n2}y_2(t) + \cdots+a_{nn}y_n(t) + b_n(t)\\ \end{array} \right. \tag{3} y1(t)=a11y1(t)+a12y2(t)++a1nyn(t)+b1(t)y2(t)=a21y1(t)+a22y2(t)++a2nyn(t)+b2(t)yn(t)=an1y1(t)+an2y2(t)++annyn(t)+bn(t)(3)
    对等式(3)进行拉普拉斯变换得
    { s Y 1 ( s ) − y 1 ( 0 ) = a 11 Y 1 ( s ) + a 12 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 1 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) s Y 2 ( s ) − y 2 ( 0 ) = a 21 Y 1 ( s ) + a 22 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 2 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) ⋮ s Y n ( s ) − y n ( 0 ) = a n 1 Y 1 ( s ) + a n 2 Y 2 ( s ) + ⋯ + a n n Y n ( s ) + B n ( s ) (4) \left \{ \begin{array}{rl} sY_1(s) - y_1(0)= a_{11}Y_1(s) + a_{12}Y_2(s) + \cdots+a_{1n}Y_n(s) + B_1(s)\\ sY_2(s) - y_2(0)= a_{21}Y_1(s) + a_{22}Y_2(s) + \cdots+a_{2n}Y_n(s) + B_1(s)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ sY_n(s) - y_n(0)= a_{n1}Y_1(s) + a_{n2}Y_2(s) + \cdots+a_{nn}Y_n(s) + B_n(s)\\ \end{array} \right. \tag{4} sY1(s)y1(0)=a11Y1(s)+a12Y2(s)++a1nYn(s)+B1(s)sY2(s)y2(0)=a21Y1(s)+a22Y2(s)++a2nYn(s)+B1(s)sYn(s)yn(0)=an1Y1(s)+an2Y2(s)++annYn(s)+Bn(s)(4)
    将等式(4)写成矩阵形式为
    s [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] + [ B 1 ( s ) B 2 ( s ) ⋮ B n ( s ) ] + [ y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) ⋮ y n ( 0 ) ] (5) s \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} B_1(s)\\ B_2(s)\\ \vdots\\ B_n(s)\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} y_1(0)\\ y_2(0)\\ \vdots\\ y_n(0)\\ \end{bmatrix} \tag{5} sY1(s)Y2(s)Yn(s)=a11a21an1a12a22an2a1na2nannY1(s)Y2(s)Yn(s)+B1(s)B2(s)Bn(s)+y1(0)y2(0)yn(0)(5)
    由等式(5)得
    s Y ( s ) = A Y ( s ) + B ( s ) + y ( 0 ) (6) sY(s) = AY(s) + B(s) + y(0) \tag{6} sY(s)=AY(s)+B(s)+y(0)(6)

    s I n Y ( s ) − A Y ( s ) = B ( s ) + y ( 0 ) (7) sI_nY(s) - AY(s) = B(s) + y(0) \tag{7} sInY(s)AY(s)=B(s)+y(0)(7)

    Y ( s ) = ( s I n − A ) − 1 ( B ( s ) + y ( 0 ) ) (8) Y(s) = (sI_n - A)^{-1}(B(s) + y(0) ) \tag{8} Y(s)=(sInA)1(B(s)+y(0))(8)

    参考

    1. Laplace变换与常微分方程
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  • 使用拉普拉斯变换求解微分方程

    Notes

    使用拉普拉斯变换可以将微分方程转变为代数方程,而使用MATLAB求解代数方程则简单的多。

    EXAMPLE

    1
    由于初始条件为0,对上述微分方程进行拉普拉斯变换得到:
    2
    化简得到:
    3

    使用MATLAB求解留数,极数以及直接项k:

    >> num = [2];
    >> den = [1 2 10 0 0 0];
    >> [r,p,k] = residue(num,den)
    
    r =
    
       0.0060 - 0.0087i
       0.0060 + 0.0087i
      -0.0120 + 0.0000i
      -0.0400 + 0.0000i
       0.2000 + 0.0000i
    
    
    p =
    
      -1.0000 + 3.0000i
      -1.0000 - 3.0000i
       0.0000 + 0.0000i
       0.0000 + 0.0000i
       0.0000 + 0.0000i
    
    
    k =
    
         []
    

    可以看到,有三个极数相等,所以有三重根:
    4
    对于极点含有共轭复根的情况,我们通常将其合并为一项,然后利用拉普拉斯逆变换转变为正余弦关系式:

    5
    拉普拉斯逆变换:
    6

    展开全文
  • 拉普拉斯变换求解分段函数的常微分方程的方法如下:拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”...

    用拉普拉斯变换求解分段函数的常微分方程的方法如下:

    拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

    206f1f0bc2526a5dfa21f9ec494e3b75.png

    (式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

    电路分析实例:

    在“电路分析”中,元件的伏安关系可以在复频域中进行表示,即电阻元件:V=RI,电感元件:V=sLI,电容元件:I=sCV。如果用电阻R与电容C串联,并在电容两端引出电压作为输出,那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))。

    于是响应的拉普拉斯变换Y(s)就等于激励的拉普拉斯变换X(s)与传递函数H(s)的乘积,即Y(s)=X(s)H(s)如果定义:f(t)是一个关于t的函数,使得当t<0时候,f(t)=0;s是一个复变量;

    ç是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt;F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

    则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出:

    d33cf2fdc613e001555b333389850072.png

    扩展资料:

    意义与作用

    为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

    拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

    引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

    展开全文
  • 拉普拉斯变换的定义 几种典型信号的拉氏变换 拉氏变换的积分下限 拉氏变换的基本性质 拉氏反变换 微分方程的求解 拉氏变换求解微分方程的一般步骤 拉氏变换求解微分方程的一般步骤
  • 使用拉普拉斯变换求解常微分方程
  • 这个方程的物理意义是: 单自由度系统无阻尼受迫振动 对各向进行拉氏变换 L[mx''] = m/s*[s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)] L[kx] = k/s*X(s) L[f(t)] = F(s) 得 m*s*X(s)-m*x(0)-m*x'(0)/s+kX(s)/s = F(s) (m*s+k/s)*X(s) ...

    拉氏变换求解

    求解mx''(t) + kx(t) = f(t)

    这个方程的物理意义是: 单自由度系统无阻尼受迫振动

    对各向进行拉氏变换
    L[mx''] = m/s*[s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)]
    L[kx] = k/s*X(s)
    L[f(t)] = F(s)


    m*s*X(s)-m*x(0)-m*x'(0)/s+kX(s)/s = F(s)
    (m*s+k/s)*X(s) - m*x(0) - m*x'(0)/s = F(s)
    X(s) = F(s)/[ms+k/s] + [m*x(0) + m*x'(0)/s]/[ms+k/s]

    x(t) = L^-1[X(s)]
    x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[m*s*x(0) + m*x'(0)]/[ms^2+k]}
    x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]},wn^2=k/m

    设激励 f(t) = F0*sinwt 则F(s)=F0/s*w/(s^2+w^2)
    x(t) = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}
    x(t)_1 = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]}
    x(t)_2 = L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}

    x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt

    x(t)_2 = L^-1{s*x(0)/[s^2+wn^2]} + L^-1{x'(0)/[s^2+wn^2]}
    x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t

    x(t) = x(t)_1 + x(t)_2

    用到的变换公式




    振动力学中的精确解

    x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt
    x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t 
    x(t) = x(t)_1 + x(t)_2
     

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拉普拉斯求微分方程