Notes

使用拉普拉斯变换可以将微分方程转变为代数方程，而使用MATLAB求解代数方程则简单的多。

EXAMPLE

由于初始条件为0，对上述微分方程进行拉普拉斯变换得到：

化简得到：

使用MATLAB求解留数，极数以及直接项k:

>> num = [2];
>> den = [1 2 10 0 0 0];
>> [r,p,k] = residue(num,den)

r =

   0.0060 - 0.0087i
   0.0060 + 0.0087i
  -0.0120 + 0.0000i
  -0.0400 + 0.0000i
   0.2000 + 0.0000i


p =

  -1.0000 + 3.0000i
  -1.0000 - 3.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i


k =

     []

可以看到，有三个极数相等，所以有三重根：

对于极点含有共轭复根的情况，我们通常将其合并为一项，然后利用拉普拉斯逆变换转变为正余弦关系式：

拉普拉斯逆变换：

拉氏变换求解

求解mx''(t) + kx(t) = f(t)

这个方程的物理意义是： 单自由度系统无阻尼受迫振动

对各向进行拉氏变换
L[mx''] = m/s*[s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)]
L[kx] = k/s*X(s)
L[f(t)] = F(s)

得
m*s*X(s)-m*x(0)-m*x'(0)/s+kX(s)/s = F(s)
(m*s+k/s)*X(s) - m*x(0) - m*x'(0)/s = F(s)
X(s) = F(s)/[ms+k/s] + [m*x(0) + m*x'(0)/s]/[ms+k/s]

x(t) = L^-1[X(s)]
x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[m*s*x(0) + m*x'(0)]/[ms^2+k]}
x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}，wn^2=k/m

设激励 f(t) = F0*sinwt 则F(s)=F0/s*w/(s^2+w^2)
x(t) = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}
x(t)_1 = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]}
x(t)_2 = L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}

x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt

x(t)_2 = L^-1{s*x(0)/[s^2+wn^2]} + L^-1{x'(0)/[s^2+wn^2]}
x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t

x(t) = x(t)_1 + x(t)_2

用到的变换公式

振动力学中的精确解

x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt
x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t 
x(t) = x(t)_1 + x(t)_2