• 拉普拉斯求微分方程
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2019-12-07 15:32:33

概述

常微分方程的一般形式的拉普拉斯变换推导。

方程表述

Y ′ = A Y + B (1) Y^{'} = AY + B \tag{1}
其中 Y ′ = [ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] Y^{'} = \begin{bmatrix}y_1^{'}(t)\\y_2^{'}(t)\\\vdots\\y_n^{'}(t)\end{bmatrix} Y = [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] Y = \begin{bmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{bmatrix} A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} B = [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] B=\begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} ，分别带入等式(1)得

[ y 1 ′ ( t ) y 2 ′ ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] + [ b 1 ( t ) b 2 ( t ) ⋮ b n ( t ) ] (2) \begin{bmatrix} y_1^{'}(t)\\ y_2^{'}(t)\\ \vdots\\ y_n^{'}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ \vdots\\ y_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1(t)\\ b_2(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \end{bmatrix} \tag{2}
将等式(2)展开得
{ y 1 ′ ( t ) = a 11 y 1 ( t ) + a 12 y 2 ( t ) + ⋯ + a 1 n y n ( t ) + b 1 ( t ) y 2 ′ ( t ) = a 21 y 1 ( t ) + a 22 y 2 ( t ) + ⋯ + a 2 n y n ( t ) + b 2 ( t ) ⋮ y n ′ ( t ) = a n 1 y 1 ( t ) + a n 2 y 2 ( t ) + ⋯ + a n n y n ( t ) + b n ( t ) (3) \left \{ \begin{array}{rl} y_1^{'}(t) = a_{11}y_1(t) + a_{12}y_2(t) + \cdots+a_{1n}y_n(t) + b_1(t)\\ y_2^{'}(t) = a_{21}y_1(t) + a_{22}y_2(t) + \cdots+a_{2n}y_n(t) + b_2(t)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ y_n^{'}(t) = a_{n1}y_1(t) + a_{n2}y_2(t) + \cdots+a_{nn}y_n(t) + b_n(t)\\ \end{array} \right. \tag{3}
对等式(3)进行拉普拉斯变换得
{ s Y 1 ( s ) − y 1 ( 0 ) = a 11 Y 1 ( s ) + a 12 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 1 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) s Y 2 ( s ) − y 2 ( 0 ) = a 21 Y 1 ( s ) + a 22 Y 2 ( s ) + ⋯ + a 2 n Y n ( s ) + B 1 ( s ) ⋮ s Y n ( s ) − y n ( 0 ) = a n 1 Y 1 ( s ) + a n 2 Y 2 ( s ) + ⋯ + a n n Y n ( s ) + B n ( s ) (4) \left \{ \begin{array}{rl} sY_1(s) - y_1(0)= a_{11}Y_1(s) + a_{12}Y_2(s) + \cdots+a_{1n}Y_n(s) + B_1(s)\\ sY_2(s) - y_2(0)= a_{21}Y_1(s) + a_{22}Y_2(s) + \cdots+a_{2n}Y_n(s) + B_1(s)\\ \vdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ sY_n(s) - y_n(0)= a_{n1}Y_1(s) + a_{n2}Y_2(s) + \cdots+a_{nn}Y_n(s) + B_n(s)\\ \end{array} \right. \tag{4}
将等式(4)写成矩阵形式为
s [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ⋮ Y n ( s ) ] + [ B 1 ( s ) B 2 ( s ) ⋮ B n ( s ) ] + [ y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) ⋮ y n ( 0 ) ] (5) s \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1(s)\\ Y_2(s)\\ \vdots\\ Y_n(s) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} B_1(s)\\ B_2(s)\\ \vdots\\ B_n(s)\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} y_1(0)\\ y_2(0)\\ \vdots\\ y_n(0)\\ \end{bmatrix} \tag{5}
由等式(5)得
s Y ( s ) = A Y ( s ) + B ( s ) + y ( 0 ) (6) sY(s) = AY(s) + B(s) + y(0) \tag{6}

s I n Y ( s ) − A Y ( s ) = B ( s ) + y ( 0 ) (7) sI_nY(s) - AY(s) = B(s) + y(0) \tag{7}

Y ( s ) = ( s I n − A ) − 1 ( B ( s ) + y ( 0 ) ) (8) Y(s) = (sI_n - A)^{-1}(B(s) + y(0) ) \tag{8}

参考

1. Laplace变换与常微分方程
更多相关内容
• 使用拉普拉斯变换求解微分方程

Notes

使用拉普拉斯变换可以将微分方程转变为代数方程，而使用MATLAB求解代数方程则简单的多。

EXAMPLE

由于初始条件为0，对上述微分方程进行拉普拉斯变换得到：

化简得到：

使用MATLAB求解留数，极数以及直接项k:

>> num = [2];
>> den = [1 2 10 0 0 0];
>> [r,p,k] = residue(num,den)

r =

0.0060 - 0.0087i
0.0060 + 0.0087i
-0.0120 + 0.0000i
-0.0400 + 0.0000i
0.2000 + 0.0000i

p =

-1.0000 + 3.0000i
-1.0000 - 3.0000i
0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i

k =

[]


可以看到，有三个极数相等，所以有三重根：

对于极点含有共轭复根的情况，我们通常将其合并为一项，然后利用拉普拉斯逆变换转变为正余弦关系式：

拉普拉斯逆变换：

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• 拉普拉斯变换求解分段函数的常微分方程的方法如下：拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”...

用拉普拉斯变换求解分段函数的常微分方程的方法如下：

拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

电路分析实例：

在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))。

于是响应的拉普拉斯变换Y(s)就等于激励的拉普拉斯变换X(s)与传递函数H(s)的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；

ç是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：

扩展资料：

意义与作用

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

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拉氏变换求解

求解mx''(t) + kx(t) = f(t)

这个方程的物理意义是： 单自由度系统无阻尼受迫振动

对各向进行拉氏变换
L[mx''] = m/s*[s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)]
L[kx] = k/s*X(s)
L[f(t)] = F(s)

m*s*X(s)-m*x(0)-m*x'(0)/s+kX(s)/s = F(s)
(m*s+k/s)*X(s) - m*x(0) - m*x'(0)/s = F(s)
X(s) = F(s)/[ms+k/s] + [m*x(0) + m*x'(0)/s]/[ms+k/s]

x(t) = L^-1[X(s)]
x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[m*s*x(0) + m*x'(0)]/[ms^2+k]}
x(t) = L^-1{F(s)*s/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}，wn^2=k/m

设激励 f(t) = F0*sinwt 则F(s)=F0/s*w/(s^2+w^2)
x(t) = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]} + L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}
x(t)_1 = L^-1{F0*w/(s^2+w^2)/[ms^2+k]}
x(t)_2 = L^-1{[s*x(0) + x'(0)]/[s^2+wn^2]}

x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt

x(t)_2 = L^-1{s*x(0)/[s^2+wn^2]} + L^-1{x'(0)/[s^2+wn^2]}
x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t

x(t) = x(t)_1 + x(t)_2

振动力学中的精确解

x(t)_1 = - F0/k*(w/wn)/[1-w^2/wn^2]*sinwnt +  F0/k/[1-w^2/wn^2]*sinwt
x(t)_2 = x(0)*coswn*t + x'(0)/wn*sinwn*t
x(t) = x(t)_1 + x(t)_2

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