精华内容
下载资源
问答
  • 机器人完整动力学拉格朗日动力学方程,内含完成代码。
  • 拉格朗日动力学动力学总公式M(q)部分势能部分 动力学总公式 M(q)q¨+c(q,q˙)+g(q)=uM(q) \ddot{q} +c(q, \dot{q})+g(q)=uM(q)q¨​+c(q,q˙​)+g(q)=u M(q) 表示广义机器人的惯性矩阵,对称的,正定的,∀q⇒\...


    请务必先看此处!!!!!

    本文没有理论分析,是直接开干!!!

    公式部分详细介绍了公式及各参数及其由来

    例题部分详细写了公式各部分的详细计算和使用

    代码部分则是实现了例题部分的Matlab代码

    相关资料部分写了主要的参考来源

    本文最佳食用方式!

    快速浏览公式部分都有什么东西,以确保后续要用时你能找到

    直接去例题部分,跟着推导一边,需要用到啥公式再去公式部分查找,再详细看具体的公式解释

    然后去看代码实现,你手推一遍之后就会很容易看懂公式,争取能自己写出来不同题目的代码

    想进一步了解的,请看相关资料部分,老卢卡主页的Robotics里面的course material部分有PPT和历次的考试题

    题是真的难的一匹。。。期中八成要挂了,跪地吐血

    果然挂了,吐血


    动力学总公式

    中间的推导过程略过,感兴趣得朋友可以自行去查看资料

    M ( q ) q ¨ + c ( q , q ˙ ) + g ( q ) = u (动力学总公式) M(q) \ddot{q} +c(q, \dot{q})+g(q)=u \tag{动力学总公式} M(q)q¨+c(q,q˙)+g(q)=u()

    • M(q) 表示广义机器人的惯性矩阵,对称的,正定的, ∀ q ⇒ \forall q \Rightarrow q总是可逆的,求法请继续往下看

    • q ¨ = [ q ¨ c 1 . . . q ¨ c n ] \ddot{q}=\begin{bmatrix} \ddot{q}_{c1} \\ ... \\ \ddot{q}_{cn} \end{bmatrix} q¨=q¨c1...q¨cn 表示连杆质心C的角加速度, q = [ q c 1 . . . q c n ] q=\begin{bmatrix} q_{c1} \\ ... \\ q_{cn} \end{bmatrix} q=qc1...qcn表示角度, c c c 表示连杆质心C

    • c ( q , q ˙ ) c(q, \dot{q}) c(q,q˙) 表示 Coriolis力的系数

    • g ( q ) g(q) g(q) 表示重力项

    动能部分

    i i i 个单个连杆的总动能公式

    T i = 1 2 m i v i T v i + 1 2 ω i T I c i ω i ( 1, K o ¨ nig定理 ) T_{i} = \frac{1}{2}m_{i} v_{i}^{T}v_{i}+\frac{1}{2} \omega_{i}^{T}I_{ci}\omega_{i} \tag{1, König定理} Ti=21miviTvi+21ωiTIciωi(1, Ko¨nig)

    各部分参数详细解析:

    • v v v 表示连杆质心 C i C_{i} Ci 的线速度

    • ω \omega ω 表示连杆质心 C i C_{i} Ci的角速度

    • I c i = [ I c i , x x I c i , y y I c i , z z ] I_{ci} = \begin{bmatrix} I_{ci,xx}& & \\ & I_{ci,yy}& \\ & & I_{ci,zz} \end{bmatrix} Ici=Ici,xxIci,yyIci,zz

    势能部分

    i i i 个单个连杆的总势能公式

    U = − m i g 0 d i U = - m_{i} g_{0} d_{i} U=mig0di

    • m i m_{i} mi表示连杆质量

    • g 0 g_{0} g0表示重力加速度,一般为 9.81 m / s 2 9.81m/s^{2} 9.81m/s2

    • d i d_{i} di表示初始连接点到连杆质心C的 d c i d_{ci} dci g 0 g_{0} g0 方向的分量,一般 d i = d c i c o s ( θ ) d_{i} = d_{ci}cos(\theta) di=dcicos(θ)

    M(q)部分

    整个机器人的总动能为:

    T = T 1 + . . . + T n (2) T = T_{1}+ ... +T_{n} \tag{2} T=T1+...+Tn(2)

    另有:

    T = 1 2 q ˙ T M ( q ) q ˙ (3) T = \frac{1}{2} \dot{q}^{T} M(q) \dot{q} \tag{3} T=21q˙TM(q)q˙(3)

    • q ˙ = [ q ˙ c 1 . . . q ˙ c n ] \dot{q}= \begin{bmatrix} \dot{q}_{c1} \\ ... \\ \dot{q}_{cn} \end{bmatrix} q˙=q˙c1...q˙cn 表示角速度

    ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3) 相等,只有M(q)为未知数,则可求得M(q)

    c ( q , q ˙ ) c(q,\dot{q}) c(q,q˙)部分

    c k ( q , q ˙ ) = q ˙ T C k ( q ) q ˙ c_{k}(q,\dot{q})=\dot{q}^{T}C_{k}(q)\dot{q} ck(q,q˙)=q˙TCk(q)q˙

    C k ( q ) = 1 2 ( ∂ M k ∂ q + ( ∂ M k ∂ q ) T − ∂ M ∂ q k ) (4) C_{k}(q)=\frac{1}{2}(\frac{\partial M_{k}}{\partial q} + (\frac{\partial M_{k}}{\partial q})^{T}- \frac{\partial M}{\partial q_{k}}) \tag{4} Ck(q)=21(qMk+(qMk)TqkM)(4)

    这里的 M k M_{k} Mk 的详细解释请参见下方的例题

    g(q)部分

    g ( q ) = ∂ U ∂ q (5) g(q)=\frac{\partial U}{\partial q} \tag{5} g(q)=qU(5)

    PR机械臂例题

    在这里插入图片描述

    • 第一步,先仔细看题目(废话),然后写出每个连杆质心的位置坐标 P,比如该题为:

    P c 1 = ( q 1 − d c 1 0 0 ) P_{c1}=\begin{pmatrix} q_{1}-d_{c1} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} Pc1=q1dc100

    P c 1 = ( q 1 + d c 2 c o s ( q 2 ) d c 2 s i n ( q 2 ) 0 ) P_{c1}=\begin{pmatrix} q_{1}+d_{c2}cos(q_{2}) \\ d_{c2}sin(q_{2}) \\ 0 \end{pmatrix} Pc1=q1+dc2cos(q2)dc2sin(q2)0

    • 第二步,对 P 的时间 t 求导(其实这里的 q i = q i ( t ) q_{i}=q_{i}(t) qi=qi(t),只是简写为q)得其线速度, 写出其角速度(同理,对q的时间求导), ω 1 = 0 \omega_{1}=0 ω1=0,因为是P类连杆,压根没角速度:

    P c 1 ˙ = ( q 1 ˙ 0 0 ) \dot{P_{c1}}=\begin{pmatrix} \dot{q_{1}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} Pc1˙=q1˙00

    P c 2 ˙ = ( q 1 ˙ − d c 2 s i n ( q 2 ) q 2 ˙ d c 2 c o s ( q 2 ) q 2 ˙ 0 ) \dot{P_{c2}}=\begin{pmatrix} \dot{q_{1}}-d_{c2}sin(q_{2})\dot{q_{2}} \\ d_{c2}cos(q_{2})\dot{q_{2}} \\ 0 \end{pmatrix} Pc2˙=q1˙dc2sin(q2)q2˙dc2cos(q2)q2˙0

    ω 1 = ( 0 0 0 ) \omega_{1}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ω1=000

    ω 2 = ( 0 0 q 2 ˙ ) \omega_{2}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \dot{q_{2}} \end{pmatrix} ω2=00q2˙

    • 第三步,将上述结果带入式(1),求得动能:

    T 1 = 1 2 m 1 q 1 ˙ 2 T_{1} = \frac{1}{2} m_{1} \dot{q_{1}}^2 T1=21m1q1˙2

    T 2 = 1 2 m 2 ( q 1 ˙ 2 + d c 2 2 q 2 ˙ 2 − 2 d c 2 s i n ( q 2 ) q 1 ˙ q 2 ˙ ) + 1 2 I c 2 , z z q 2 ˙ 2 T_{2}=\frac{1}{2} m_{2} (\dot{q_{1}}^2+d_{c2}^{2}\dot{q_{2}}^2-2d_{c2}sin(q_{2}) \dot{q_{1}} \dot{q_{2}})+\frac{1}{2}I_{c2,zz}\dot{q_{2}}^2 T2=21m2(q1˙2+dc22q2˙22dc2sin(q2)q1˙q2˙)+21Ic2,zzq2˙2

    • 第四步,将T带入式(3),求得M(q):

    在这里插入图片描述

    • 第五步,将M 带入式(4)求得 C k ( q ) C_{k}(q) Ck(q) 继而求得 c ( q , q ˙ ) c(q, \dot{q}) c(q,q˙)

    在这里插入图片描述

    • 第六步,按说该求势能部分的,但是这个机械臂是平面的,没有势能,所以 g(q)=0, 所以这一步就是将上边求得的式子带入动力学总公式

    在这里插入图片描述

    Matlab代码实现

    clear all
    close all
    clc
    
    %% 定义各种要用的符号
    
    syms m1 m2 m3 m4 real     %各连杆质量
    syms d1 d2 d3 d4 real     %各质心长度
    syms L1 L2 L3 L4 L h real %各连杆长度
    syms I1xx I1yy I1zz real  
    syms I2xx I2yy I2zz real 
    syms I3xx I3yy I3zz real  
    syms I4xx I4yy I4zz real  
    syms q1 q2 q3 q4 real     %角
    syms qv1 qv2 qv3 qv4 real %角速度
    syms qa1 qa2 qa3 qa4 real %角加速度
    syms u1 u2 u3 u4 g0 real  
    
    
    %% 定义下要用的东西
    
    q = [q1; q2];
    qv = [qv1; qv2];
    qa = [qa1; qa2];
    %% 求T1
    
    pc1 = [q1-d1; 0;0];
    vc1=diff(pc1,q1)*qv1+diff(pc1,q2)*qv2;
    T1 = 1/2*m1*(vc1'*vc1);
    
    
    %% 求T2
    
    pc2 = [q1+d2*cos(q2); d2*sin(q2);0];
    vc2=diff(pc2,q1)*qv1+diff(pc2,q2)*qv2;
    T2a = 1/2*m2*(vc2'*vc2);
    
    om2 = [0; 0; qv2];
    T2b = 1/2*om2'*diag([I2xx I2yy I2zz])*om2;
    
    T2=T2a+T2b;
    
    %% 求总T
    
    T = simplify(T1 + T2)
    
    %% 求M
    
    M(1,1)=diff(T,qv1,2);
    M(2,2)=diff(T,qv2,2);
    TempB12=diff(T,qv1);
    M(1,2)=diff(TempB12,qv2);
    M(2,1)=M(1,2);
    M=simplify(M)
    
    %% 求c
    
    M1=M(:,1);
    C1=(1/2)*(jacobian(M1,q)+jacobian(M1,q)'-diff(M,q1))
    M2=M(:,2);
    C2=(1/2)*(jacobian(M2,q)+jacobian(M2,q)'-diff(M,q2))
    
    c1=qv'*C1*qv;
    c2=qv'*C2*qv;
    c=[c1;c2]
    
    %% 最终结果
    
    M*qa+c == [u1; u2]
    

    相关资料

    理论来源于本人机器人学课程的教授——机器人领域老牛:Prof. Alessandro De Luca

    老卢卡机器人运动学视频:B站 YouTube

    老卢卡机器人动力学视频:B站 YouTube

    代码来源于这个好心的老哥

    展开全文
  • 使用拉格朗日动力学,这些坐标根据F = ma以逼真的方式随时间变化,但是好像还有所有约束力使坐标系具体化。关节的存在:铰链,棱柱形,刚性连接等。所有导数都具有有限的差异,因此非常简单。 在3个视频中,我通过...
  • 机器人学之动力学笔记【11】—— 拉格朗日法建立动力学方程

    机器人学之动力学笔记【11】—— 拉格朗日 动力学方程

    1. 拉格朗日法

    之前我们学习了如何使用牛顿-欧拉法(基于力和力矩分析)建立机械臂的动力学方程,这一节要学习拉格朗日法(基于能量分析)建立机械臂的动力学方程。
    在这里插入图片描述
    动能
    每一个杆件的动能 = 移动动能 + 转动动能
    整个系统动能 = 所有杆件动能之和
    动能是角度和角速度的函数,写成通用矩阵式
    在这里插入图片描述
    势能
    每个杆件的势能 = 每个杆件的重力势能 + 零势能点
    整个系统势能 = 所有杆件势能之和
    势能是角度的函数
    在这里插入图片描述
    定义 Lagrangian 表达式
    在这里插入图片描述
    定义运动方程表达式:Lagrangian 对 θ(dot) 求偏导后求微分 - Lagrangian 对 θ 求偏导
    展开后就是第二个式子

    2. 举例:An RP Manipulator

    在这里插入图片描述

    第一个杆件的速度在这里插入图片描述,则移动动能 = 在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    第二个杆的移动动能要注意,一个分量是由在这里插入图片描述造成的,另一个分量是由在这里插入图片描述造成的,所以移动动能是在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    有了动能有了位能之后,直接代入拆解后的各个部分计算
    在这里插入图片描述
    整理出来
    在这里插入图片描述
    利用 State-Space representation 拆开理解
    在这里插入图片描述

    3. 转换到笛卡尔空间下

    我们写出来的动力学方程是 joint space 下的方程式,也就是我们知道了每个手臂关节的状态在这里插入图片描述在这里插入图片描述就可以知道达成这个运动状态所需要的关节的扭力是多少。

    在笛卡尔空间下面,在看末端点的加速度状态的时候,末端点的加速度和力的关系是什么?那现在就可以使用之前学习过的雅克比矩阵把本来的方程式转换到笛卡尔空间下面的运动方程式

    在这里插入图片描述
    之前学过,joint torque 和 end effector 的 force 之间存在一个雅克比矩阵
    在这里插入图片描述
    整理出来得到上式,再拆解开来。

    重新回看之前双旋转自由度机械臂的例子,之前是用牛顿-欧拉法去做,并且找到了一下三个矩阵
    在这里插入图片描述
    我们现在想做的事是把它换到笛卡尔空间下面,在机器人学之运动学笔记【8】—— 微分运动学中我们已经得到了雅克比矩阵 J(θ) ,所以它的逆矩阵和导数如下:
    在这里插入图片描述
    然后就是代公式,找到这个机械臂在笛卡尔空间下面的表达法:
    在这里插入图片描述
    像之前一样将科式力和离心力也拆解出来,拆解的更彻底一点
    在这里插入图片描述
    代入求解:
    在这里插入图片描述

    4. 考虑能量损耗

    在这里插入图片描述
    注意:
    我们在推导拉格朗日方程的时候认为力做的功都转换为了动能和势能,过程中没有损耗。但是在实际机械臂中,没有摩擦是不可能的。这里引入阻尼力损耗的概念,那另外一个就是库仑摩擦,基本上是一个定值,但是它在静止时和运动时是不一样的,分为静摩擦和动摩擦

    展开全文
  • 基于平面二连杆的操作臂拉格朗日动力学推导 考试周到了,最近一段时间许多杂事忙的不可开交,适逢实验室要做汇报,就捣鼓了一下动力学方面的东西。做二连杆的意义在于其简单,正好可以用他做动力学分析,或者说...

    基于平面二连杆的操作臂拉格朗日动力学推导

    考试周到了,最近一段时间许多杂事忙的不可开交,适逢实验室要做汇报,就捣鼓了一下动力学方面的东西。做二连杆的意义在于其简单,正好可以用他做动力学分析,或者说进一步可以作为设计控制算法的基础吧。

    开始之前,先说明一下,下面的推导过程是我自己推导了的,是没有错误的,可以放心借鉴。然后就是由于我是在word里面用公式编辑器打的,这里不好打公式,我就把word原版以贴图的方式展现给大家

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 本篇主要讲解一下如何用拉格朗日方程法对3r操作臂建立动力学方程。(例题https://blog.csdn.net/weixin_45106952/article/details/118851868) 首先说明一下操作臂的动能表达式,第i个连杆的动能k(i)可以表达为 第...

    本篇主要讲解一下如何用拉格朗日方程法对3r操作臂建立动力学方程。

    1. 首先说明一下操作臂的动能表达式,第i个连杆的动能k(i)可以表达为
      在这里插入图片描述
      第一个式子是连杆质心的线速度动能,第二个式子是连杆由于旋转的角速度动能,线速度动能很好求,但是角动能有点难,要仔细,角速度和线速度在这篇文章里已经写了,在此就不在求了,(角速度和线速度要仔细审核,否则。。。)。https://blog.csdn.net/weixin_45106952/article/details/118873549?spm=1001.2014.3001.5501
      总动能就是各连杆动能之和:
      在这里插入图片描述
    2. 第i个连杆势能表达
      在这里插入图片描述
      其中第二项是一个常数,即该连杆最大势能(第一项最大值)
      总势能亦为个各连杆势能之和:
      在这里插入图片描述
    3. 拉格朗日函数,即机械系统的动能和势能的差值,在此,操作臂的拉格朗日方程可表示为

    操作臂的动力学方程为:
    在这里插入图片描述
    动力学方程也可写成这种形式在这里插入图片描述

    注意这这三个方程里面的的theta不是单指角度,它指的是变量,比如说如果是一个拉伸杆,那么它没有转角,只有轴线方向的位移,这时theta指的是位移变量了,后面求导也是对位移这个变量求导。

    1. 依旧以3r操作臂为例子https://blog.csdn.net/weixin_45106952/article/details/118851868
      先计算总动能和总势能,呈下:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      先求偏导,这里对theta求偏导,是将theta和theta’看作互不相干的变量
      在这里插入图片描述
      代入动力学方程
      在这里插入图片描述
      这里有个二阶偏导,注意这里是对t进行二阶偏导,方程里面的theta和theta’都要进行对t求导,和上一步求导区分开。
      可求得
      在这里插入图片描述
      动力学方程一般形式为
      在这里插入图片描述
      所以可化简为:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2. 也可使用matlab机器人工具箱验证分析,建议直接带入数值计算对比,matlab的simplify函数化简的函数和自己求得的不同(需要进行二次化简,很麻烦),matlab代码参考这篇文章,收获颇多。
      https://zhuanlan.zhihu.com/p/340718520

    展开全文
  • 针对在大气层内携带有效载荷的飞行器多体分离过程的姿态动力学特性,采用拉格朗日动力学原理选取相应的广义坐标,建立了分离体的姿态动力学模型,推导得出了分离体的姿态动力学方程,并探索了分离体姿态动力学方程组的...
  • 哈密顿原理和拉格朗日的推导: 第六章拉格朗日动力学. 书籍: 机械工业出版社的《机器人学导论》145页开始 《Rigid Body Dynamics Algorithms》 《MODERN ROBOTICS MECHANICS, PLANNING, AND CONTROL》 文献: A New ...
  • 这个代码是机器人动力学方程的matlab代码实现,使用拉格朗日方法。 此代码是根据霍伟编著的《机器人动力学与控制》一书中的公式改写的。 参考网址:https://www.jianshu.com/p/6d04539f1cfe 参考网址中提供的代码...
  • 机器人动力学-拉格朗日方程

    千次阅读 2020-03-12 21:57:54
    利用Lagrange方程建立力学系统的运动微分方程,可以推导出系统的动力学方程。
  • 动力学建模~拉格朗日建模

    千次阅读 2020-07-13 10:29:17
    动力学普遍方程及拉格朗日方程 这个可以看看
  • 拉格朗日法建立六轴机器人TX90动力学模型 机器人动力学方程(二):拉格朗日法 尚书提供的代码直接运行存在未定义,此资源可正常运行
  • 针对目前国内生产的该类机器人在大转角工作状态下存在的扭矩阻尼随转角的变化呈现非线性模型不确定,致使机器人的运动范围较小的状况,提出了一种采用第二类拉格朗日方程建立的码垛机器人动力学模型。通过对该种机器人...
  • 动力学建模-拉格朗日方程 很好,感觉例子不错
  • 机器人动力学

    2018-11-05 16:03:26
    机器人运动学,机器人动力学;拉格朗日动力学;倒立摆。
  • 流体动力学拉格朗日法和欧拉法

    千次阅读 2019-12-23 22:31:04
    流体运动 拉格朗日方法 拉格朗日法着眼于研究各个流体质点的运动,描述的流体质点至始至终的运动过程以及它们的物理量随时间t的变化规律。 欧拉方法 欧拉法着眼于空间点,描述的是各个时刻,各个空间点(场论...
  • 自平衡立方体的动力学建模用到了拉格朗日方法,让我想起无人机的动力学建模也用到了拉格朗日方法。 https://wenku.baidu.com/view/3636767bbfd5b9f3f90f76c66137ee06eff94ef6.html
  • 机器人动力学方程 机器人动力学方程是描述机器人力和运动之间的关系的方程。只描述力和运动的关系,不考虑产生运动的力和扭矩。 欧拉 - 拉格朗日方程 欧拉-拉格朗日方程(OL)描述了处于完整约束下,并且约束力满足...
  • 为了更好的把9.1节所推导的欧拉-拉格朗日方程应用在机器人上,我们可以在满足下面两个条件的情况下把欧拉-拉格朗日方程特殊化: 条件1.动能可以表示为以下二次方程的形式 nxn的惯性矩阵D(q)是对称的正定矩阵 ...
  • 第9讲机器人动力学 机器人动力学问题 机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关, 还与机器人的结构形式质量分布执行机构 的位置传动装置等因素有关 机器人动态性能由动力学方程描述,动力学是 考虑上述因素,研究物体...
  • 提出了拉格朗日高阶中心型守恒气体动力学格式。用产生于当前时刻子网格密度和当前时刻网格声速的子网格压力构造了子网格力,用加权本质无震荡方法构造的高阶子网格力构造了高阶空间通量,借助时间中点通量的泰勒展开...
  • 先说一下教科书上抽象的定义: 本节我们推导一组描述受...(别问我什么意思,我从原版教材上翻译过来的)其实说白了这里会从一个最简单的例子讲解求解机器人运动的第一个方法:欧拉——拉格朗日法 1.1 一维系...
  • 本节我们用前面学到的欧拉-拉格朗日方程分析法来分析四种不同结构的机械臂,并尝试着推导对应的动力学方程。这些例子由简入深,我们先从一个双连杆机械臂开始,最后到一个具有五个连杆的机械臂。这里建议大家自己...
  • 2.动力学分析-拉格朗日

    千次阅读 2020-08-05 20:57:37
    拉格朗日法利用系统能量的微分求出力和力矩,适用于较为复杂下的系统,比如六关节机器人。 拉格朗日函数为: L=K-P 其中K是系统动能,P是系统势能,L是拉函数。 L对直线位移、角位移和时间求微分可得: 其中Fi是...
  • 0. 基础知识 1. 牛顿—欧拉递推动力学方程 2. 拉格朗日动力学方程
  • 在本文中,纯动力学k本质模型的拉格朗日密度描述了暗能量的行为,该暗能量的行为由Cooray和Huterer(Astrophys J 513:L95,1999),Zhang和Wu(Mod Phys Lett)提出的四个参数化状态方程描述。 A 27:1250030,2012...
  • #资源达人分享计划#
  • 动力学拉格朗日一部分的推导过程

    千次阅读 2019-05-30 17:28:01
  • 首先根据机床的结构特点将拉格朗日动力学方程展开成表示在笛卡尔坐标中的标准形式,并将机床按照其结构特点分为动平台、三个驱动支链和平行约束机构三个子系统,然后分别推导了三个子系统的动能和势能的计算模型,在...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,175
精华内容 470
关键字:

拉格朗日动力学