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  • 拉格朗日动力学建模
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    2021-02-08 20:03:45

    动力学建模-拉格朗日方程      很好,感觉例子不错

    自平衡车模型分析      指出了拉格朗日建模之后的,模型各个部分的物理意义 。不过文档公式排版乱掉了。

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    仿人机器人拉格朗日动力学建模1 仿生分析2 模型假设2.1 单脚支撑与双脚支撑阶段2.2 落地碰撞阶段3 模型建立4 参考文献 1 仿生分析 仿人机器人是基于仿生原理,在机械结构和运动过程上模仿人的行为以达到预期性能的...

    1 仿生分析

    请添加图片描述

    仿人机器人是基于仿生原理,在机械结构和运动过程上模仿人的行为以达到预期性能的机电装置。如图1.1所示,一般地,仿人机器人结构可分为七连杆,主导运动的腿部主要由髋关节、膝关节、踝关节组成,其余为上肢。

    在这里插入图片描述

    与人类似,在机器人行走运动过程中分为三个阶段:单脚支撑、落地碰撞与双脚支撑阶段。机器人处于单脚支撑阶段时,摆动腿膝关节被动摆动,但在落地碰撞进入双脚支撑阶段之前,摆动腿会绷直以更好地支撑身体重量 [ 1 ] ^{[1]} [1]。有研究指出 [ 2 ] ^{[2]} [2],髋关节、膝关节在机器人行走、跑步等常规运动——即单脚支撑与双脚支撑阶段占有主导地位;而踝关节的分析在这两个阶段中并不必要,其作用体现在落地碰撞瞬间的驱动力上

    因此,仿人机器人运动系统模型可以分为两个方面:

    1. 单脚支撑与双脚支撑阶段,此时不考虑踝关节驱动,机器人简化为五连杆模型,如图1.2所示;
    2. 落地碰撞阶段,此时踝关节提供驱动并产生自由度变化。
      仿人机器人的综合模型可视为上述两个方面的叠加 [ 3 ] ^{[3]} [3]

    2 模型假设

    2.1 单脚支撑与双脚支撑阶段

    此时机器人为五连杆模型,转动关节本身产生五个转动自由度 θ i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) \theta _i\left( i=1,2,3,4,5 \right) θi(i=1,2,3,4,5),分别由五个驱动力矩 τ i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) \tau _i\left( i=1,2,3,4,5 \right) τi(i=1,2,3,4,5)作用。假设基坐标系位于髋部,当髋关节位置不变时,机器人的位姿完全由上述五个自由度表征。但当机器人运动产生髋部位移时,基坐标系随之移动,此时需要额外增加两个自由度来描述这种变化,这里把这两个自由度体现在髋部坐标上。综上所述,仿人机器人在单脚支撑和双脚支撑阶段共7个自由度构成关节向量:

    θ = [ θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 θ 5 x z ] T \boldsymbol{\theta }=\left[ \begin{matrix} \theta _1& \theta _2& \theta _3& \theta _4& \theta _5& x& z\\\end{matrix} \right] ^T θ=[θ1θ2θ3θ4θ5xz]T

    5个驱动力矩构成控制输入:

    τ = [ τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 ] T \boldsymbol{\tau }=\left[ \begin{matrix} \tau _1& \tau _2& \tau _3& \tau _4& \tau _5\\\end{matrix} \right] ^T τ=[τ1τ2τ3τ4τ5]T

    在这里插入图片描述

    2.2 落地碰撞阶段

    建立仿人机器人多体动力学模型最重要的一点就是怎样处理脚和地面的接触面。一般地,认为机器人是多刚体系统,且一般地面刚度很大,因此机器人足端与地面为刚性接触。落地碰撞瞬时发生,且为完全非弹性碰撞,从而碰撞前后,机器人仅发生速度突变而没有位置的突变,且碰撞后摆动腿不发生弹起和滑移。有研究采用弹簧防震器和误差项来控制地面和系统的反作用 [ 4 ] ^{[4]} [4];有研究采用Hertz模型来表示地面接触力 [ 5 ] ^{[5]} [5]。这里采用Hertz模型:

    { F l = [ F x l F z l ] = [ F x l K ∣ z l ∣ n + λ z ˙ l ∣ z l ∣ n ] F r = [ F x r F z r ] = [ F x r K ∣ z r ∣ n + λ z ˙ r ∣ z r ∣ n ] \begin{cases} \boldsymbol{F}_l=\left[ \begin{array}{c} F_{xl}\\ F_{zl}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} F_{xl}\\ K\left| z_l \right|^n+\lambda \dot{z}_l\left| z_l \right|^n\\\end{array} \right]\\ \boldsymbol{F}_r=\left[ \begin{array}{c} F_{xr}\\ F_{zr}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} F_{xr}\\ K\left| z_r \right|^n+\lambda \dot{z}_r\left| z_r \right|^n\\\end{array} \right]\\\end{cases} Fl=[FxlFzl]=[FxlKzln+λz˙lzln]Fr=[FxrFzr]=[FxrKzrn+λz˙rzrn]

    其中 K K K为地面刚度系数, λ \lambda λ为阻尼系数, n n n为赫兹系数, ( x l , z l ) (x_l, z_l) (xl,zl) ( x r , z r ) (x_r, z_r) (xr,zr)分别为左、右足的空间坐标,对于关节向量 ,将碰撞时的约束力映射为约束力矩向量(对移动自由度而言为力):

    { τ l = C l F l τ r = C r F r \begin{cases} \boldsymbol{\tau }_l=\boldsymbol{C}_l\boldsymbol{F}_l\\ \boldsymbol{\tau }_r=\boldsymbol{C}_r\boldsymbol{F}_r\\\end{cases} {τl=ClFlτr=CrFr

    3 模型建立

    采用拉格朗日方程建立动力学模型,列出各连杆重心坐标如下:

    { x ˉ 1 = x + l 3 sin ⁡ θ 3 + s 1 sin ⁡ θ 1 x ˉ 2 = x − l 4 sin ⁡ θ 4 − s 2 sin ⁡ θ 2 x ˉ 3 = x + s 3 sin ⁡ θ 3 x ˉ 4 = x − s 4 sin ⁡ θ 4 x ˉ 5 = x − s 5 sin ⁡ θ 5    { z ˉ 1 = z − l 3 cos ⁡ θ 3 − s 1 cos ⁡ θ 1 z ˉ 2 = z − l 4 cos ⁡ θ 4 − s 2 cos ⁡ θ 2 z ˉ 3 = z − s 3 cos ⁡ θ 3 z ˉ 4 = z − s 4 cos ⁡ θ 4 z ˉ 5 = z + s 5 cos ⁡ θ 5 \begin{cases} \bar{x}_1=x+l_3\sin \theta _3+s_1\sin \theta _1\\ \bar{x}_2=x-l_4\sin \theta _4-s_2\sin \theta _2\\ \bar{x}_3=x+s_3\sin \theta _3\\ \bar{x}_4=x-s_4\sin \theta _4\\ \bar{x}_5=x-s_5\sin \theta _5\\\end{cases}\,\, \begin{cases} \bar{z}_1=z-l_3\cos \theta _3-s_1\cos \theta _1\\ \bar{z}_2=z-l_4\cos \theta _4-s_2\cos \theta _2\\ \bar{z}_3=z-s_3\cos \theta _3\\ \bar{z}_4=z-s_4\cos \theta _4\\ \bar{z}_5=z+s_5\cos \theta _5\\\end{cases} xˉ1=x+l3sinθ3+s1sinθ1xˉ2=xl4sinθ4s2sinθ2xˉ3=x+s3sinθ3xˉ4=xs4sinθ4xˉ5=xs5sinθ5zˉ1=zl3cosθ3s1cosθ1zˉ2=zl4cosθ4s2cosθ2zˉ3=zs3cosθ3zˉ4=zs4cosθ4zˉ5=z+s5cosθ5

    其中 s i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) s_i\left( i=1,2,3,4,5 \right) si(i=1,2,3,4,5)为连杆重心位置。

    设髋部为零势能点,则系统总势能为:

    U = ∑ i = 1 5 m i g z ˉ i = − m 1 g ( l 3 cos ⁡ θ 3 + s 1 cos ⁡ θ 1 ) − m 2 g ( l 4 cos ⁡ θ 4 + s 2 cos ⁡ θ 2 ) − m 3 g s 3 cos ⁡ θ 3 − m 4 g s 4 cos ⁡ θ 4 + m 5 g s 5 cos ⁡ θ 5 U=\sum_{i=1}^5{m_ig\bar{z}_i}\\=-m_1g\left( l_3\cos \theta _3+s_1\cos \theta _1 \right) -m_2g\left( l_4\cos \theta _4+s_2\cos \theta _2 \right) -m_3gs_3\cos \theta _3-m_4gs_4\cos \theta _4+m_5gs_5\cos \theta _5 U=i=15migzˉi=m1g(l3cosθ3+s1cosθ1)m2g(l4cosθ4+s2cosθ2)m3gs3cosθ3m4gs4cosθ4+m5gs5cosθ5

    将系统连杆动能分解为平动动能和转动动能,根据 K i = 1 2 m i ( x ˉ ˙ i 2 + z ˉ ˙ i 2 ) + 1 2 J i θ ˙ i 2 K_i=\frac{1}{2}m_i\left( \dot{\bar{x}}_{i}^{2}+\dot{\bar{z}}_{i}^{2} \right) +\frac{1}{2}J_i\dot{\theta}_{i}^{2} Ki=21mi(xˉ˙i2+zˉ˙i2)+21Jiθ˙i2,其中 J i J_i Ji为第 i i i根连杆的转动惯量,可得:

    { K 1 = 1 2 m 1 [ x ˙ 2 + z ˙ 2 + 2 l 3 θ ˙ 3 x ˙ cos ⁡ θ 3 + 2 s 1 θ ˙ 1 x ˙ cos ⁡ θ 1 + 2 l 3 θ ˙ 3 z ˙ sin ⁡ θ 3 + 2 s 1 θ ˙ 1 z ˙ sin ⁡ θ 1 + 2 l 3 s 1 θ ˙ 1 θ ˙ 3 cos ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) + l 3 2 θ ˙ 3 2 + s 1 2 θ ˙ 1 2 ] + 1 2 J 1 θ ˙ 1 2 K 2 = 1 2 m 2 [ x ˙ 2 + z ˙ 2 − 2 l 4 θ ˙ 4 x ˙ cos ⁡ θ 4 − 2 s 2 θ ˙ 2 x ˙ cos ⁡ θ 2 + 2 l 4 θ ˙ 4 z ˙ sin ⁡ θ 4 + 2 s 2 θ ˙ 2 z ˙ sin ⁡ θ 2 + 2 l 4 s 2 θ ˙ 2 θ ˙ 4 cos ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) + l 4 2 θ ˙ 4 2 + s 2 2 θ ˙ 2 2 ] + 1 2 J 2 θ ˙ 2 2 K 3 = 1 2 m 3 [ x ˙ 2 + z ˙ 2 + 2 s 3 θ ˙ 3 x ˙ cos ⁡ θ 3 + 2 s 3 θ ˙ 3 z ˙ sin ⁡ θ 3 + s 3 2 θ ˙ 3 2 ] + 1 2 J 3 θ ˙ 3 2 K 4 = 1 2 m 4 [ x ˙ 2 + z ˙ 2 − 2 s 4 θ ˙ 4 x ˙ cos ⁡ θ 4 + 2 s 4 θ ˙ 4 z ˙ sin ⁡ θ 4 + s 4 2 θ ˙ 4 2 ] + 1 2 J 4 θ ˙ 4 2 K 5 = 1 2 m 5 [ x ˙ 2 + z ˙ 2 − 2 s 5 θ ˙ 5 x ˙ cos ⁡ θ 5 − 2 s 5 θ ˙ 5 z ˙ sin ⁡ θ 5 + s 5 2 θ ˙ 5 2 ] + 1 2 J 5 θ ˙ 5 2 \begin{cases} K_1=\frac{1}{2}m_1\left[ \dot{x}^2+\dot{z}^2+2l_3\dot{\theta}_3\dot{x}\cos \theta _3+2s_1\dot{\theta}_1\dot{x}\cos \theta _1+2l_3\dot{\theta}_3\dot{z}\sin \theta _3+2s_1\dot{\theta}_1\dot{z}\sin \theta _1+2l_3s_1\dot{\theta}_1\dot{\theta}_3\cos \left( \theta _1-\theta _3 \right) +l_{3}^{2}\dot{\theta}_{3}^{2}+s_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2} \right] +\frac{1}{2}J_1\dot{\theta}_{1}^{2}\\ K_2=\frac{1}{2}m_2\left[ \dot{x}^2+\dot{z}^2-2l_4\dot{\theta}_4\dot{x}\cos \theta _4-2s_2\dot{\theta}_2\dot{x}\cos \theta _2+2l_4\dot{\theta}_4\dot{z}\sin \theta _4+2s_2\dot{\theta}_2\dot{z}\sin \theta _2+2l_4s_2\dot{\theta}_2\dot{\theta}_4\cos \left( \theta _2-\theta _4 \right) +l_{4}^{2}\dot{\theta}_{4}^{2}+s_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} \right] +\frac{1}{2}J_2\dot{\theta}_{2}^{2}\\ K_3=\frac{1}{2}m_3\left[ \dot{x}^2+\dot{z}^2+2s_3\dot{\theta}_3\dot{x}\cos \theta _3+2s_3\dot{\theta}_3\dot{z}\sin \theta _3+s_{3}^{2}\dot{\theta}_{3}^{2} \right] +\frac{1}{2}J_3\dot{\theta}_{3}^{2}\\ K_4=\frac{1}{2}m_4\left[ \dot{x}^2+\dot{z}^2-2s_4\dot{\theta}_4\dot{x}\cos \theta _4+2s_4\dot{\theta}_4\dot{z}\sin \theta _4+s_{4}^{2}\dot{\theta}_{4}^{2} \right] +\frac{1}{2}J_4\dot{\theta}_{4}^{2}\\ K_5=\frac{1}{2}m_5\left[ \dot{x}^2+\dot{z}^2-2s_5\dot{\theta}_5\dot{x}\cos \theta _5-2s_5\dot{\theta}_5\dot{z}\sin \theta _5+s_{5}^{2}\dot{\theta}_{5}^{2} \right] +\frac{1}{2}J_5\dot{\theta}_{5}^{2}\\\end{cases} K1=21m1[x˙2+z˙2+2l3θ˙3x˙cosθ3+2s1θ˙1x˙cosθ1+2l3θ˙3z˙sinθ3+2s1θ˙1z˙sinθ1+2l3s1θ˙1θ˙3cos(θ1θ3)+l32θ˙32+s12θ˙12]+21J1θ˙12K2=21m2[x˙2+z˙22l4θ˙4x˙cosθ42s2θ˙2x˙cosθ2+2l4θ˙4z˙sinθ4+2s2θ˙2z˙sinθ2+2l4s2θ˙2θ˙4cos(θ2θ4)+l42θ˙42+s22θ˙22]+21J2θ˙22K3=21m3[x˙2+z˙2+2s3θ˙3x˙cosθ3+2s3θ˙3z˙sinθ3+s32θ˙32]+21J3θ˙32K4=21m4[x˙2+z˙22s4θ˙4x˙cosθ4+2s4θ˙4z˙sinθ4+s42θ˙42]+21J4θ˙42K5=21m5[x˙2+z˙22s5θ˙5x˙cosθ52s5θ˙5z˙sinθ5+s52θ˙52]+21J5θ˙52

    由拉格朗日函数 L = K − U L=K-U L=KU

    { d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 1 ) − ∂ L ∂ θ 1 = ( m 1 s 1 2 + J 1 ) θ ¨ 1 + m 1 l 3 s 1 θ ¨ 3 cos ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) + m 1 s 1 x ¨ cos ⁡ θ 1 + m 1 s 1 z ¨ sin ⁡ θ 1 + m 1 l 3 s 1 θ ˙ 3 2 sin ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 2 ) − ∂ L ∂ θ 2 = ( m 2 s 2 2 + J 2 ) θ ¨ 2 + m 2 l 4 s 2 θ ¨ 4 cos ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) − m 2 s 2 x ¨ cos ⁡ θ 2 + m 2 s 2 z ¨ sin ⁡ θ 2 + m 2 l 4 s 2 θ ˙ 4 2 sin ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 3 ) − ∂ L ∂ θ 3 = ( m 1 l 3 2 + m 3 s 3 2 + J 3 ) θ ¨ 3 + m 1 l 3 s 1 θ ¨ 1 cos ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) + ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) x ¨ cos ⁡ θ 3 + ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) z ¨ sin ⁡ θ 3 − m 1 l 3 s 1 θ ˙ 1 2 sin ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 4 ) − ∂ L ∂ θ 4 = ( m 2 l 4 2 + m 4 s 4 2 + J 4 ) θ ¨ 4 + m 2 l 4 s 2 θ ¨ 2 cos ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) − ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) x ¨ cos ⁡ θ 4 + ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) z ¨ sin ⁡ θ 4 − m 2 l 4 s 2 θ ˙ 2 2 sin ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 5 ) − ∂ L ∂ θ 5 = ( m 5 s 5 2 + J 5 ) θ ¨ 5 − m 5 s 5 x ¨ cos ⁡ θ 5 − m 5 s 5 z ¨ sin ⁡ θ 5 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) − ∂ L ∂ x = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ) x ¨ + m 1 s 1 θ ¨ 1 cos ⁡ θ 1 − m 2 s 2 θ ¨ 2 cos ⁡ θ 2 + ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) θ ¨ 3 cos ⁡ θ 3 − ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) θ ¨ 4 cos ⁡ θ 4    − m 5 s 5 θ ¨ 5 cos ⁡ θ 5 − m 1 s 1 θ ˙ 1 2 sin ⁡ θ 1 + m 2 s 2 θ ˙ 2 2 sin ⁡ θ 2 − ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) θ ˙ 3 2 sin ⁡ θ 3 + ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) θ ˙ 4 2 sin ⁡ θ 4 + m 5 s 5 θ ˙ 5 2 sin ⁡ θ 5 d d t ( ∂ L ∂ z ˙ ) − ∂ L ∂ z = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ) z ¨ + m 1 s 1 θ ¨ 1 sin ⁡ θ 1 + m 2 s 2 θ ¨ 2 sin ⁡ θ 2 + ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) θ ¨ 3 sin ⁡ θ 3 + ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) θ ¨ 4 sin ⁡ θ 4    − m 5 s 5 θ ¨ 5 sin ⁡ θ 5 + m 1 s 1 θ ˙ 1 2 cos ⁡ θ 1 + m 2 s 2 θ ˙ 2 2 cos ⁡ θ 2 + ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) θ ˙ 3 2 cos ⁡ θ 3 + ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) θ ˙ 4 2 cos ⁡ θ 4 − m 5 s 5 θ ˙ 5 2 sin ⁡ θ 5 \begin{cases} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} \right) -\frac{\partial L}{\partial \theta _1}=\left( m_1s_{1}^{2}+J_1 \right) \ddot{\theta}_1+m_1l_3s_1\ddot{\theta}_3\cos \left( \theta _1-\theta _3 \right) +m_1s_1\ddot{x}\cos \theta _1+m_1s_1\ddot{z}\sin \theta _1+m_1l_3s_1\dot{\theta}_{3}^{2}\sin \left( \theta _1-\theta _3 \right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} \right) -\frac{\partial L}{\partial \theta _2}=\left( m_2s_{2}^{2}+J_2 \right) \ddot{\theta}_2+m_2l_4s_2\ddot{\theta}_4\cos \left( \theta _2-\theta _4 \right) -m_2s_2\ddot{x}\cos \theta _2+m_2s_2\ddot{z}\sin \theta _2+m_2l_4s_2\dot{\theta}_{4}^{2}\sin \left( \theta _2-\theta _4 \right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_3} \right) -\frac{\partial L}{\partial \theta _3}=\left( m_1l_{3}^{2}+m_3s_{3}^{2}+J_3 \right) \ddot{\theta}_3+m_1l_3s_1\ddot{\theta}_1\cos \left( \theta _1-\theta _3 \right) +\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \ddot{x}\cos \theta _3+\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \ddot{z}\sin \theta _3-m_1l_3s_1\dot{\theta}_{1}^{2}\sin \left( \theta _1-\theta _3 \right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_4} \right) -\frac{\partial L}{\partial \theta _4}=\left( m_2l_{4}^{2}+m_4s_{4}^{2}+J_4 \right) \ddot{\theta}_4+m_2l_4s_2\ddot{\theta}_2\cos \left( \theta _2-\theta _4 \right) -\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \ddot{x}\cos \theta _4+\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \ddot{z}\sin \theta _4-m_2l_4s_2\dot{\theta}_{2}^{2}\sin \left( \theta _2-\theta _4 \right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_5} \right) -\frac{\partial L}{\partial \theta _5}=\left( m_5s_{5}^{2}+J_5 \right) \ddot{\theta}_5-m_5s_5\ddot{x}\cos \theta _5-m_5s_5\ddot{z}\sin \theta _5\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) -\frac{\partial L}{\partial x}=\left( m_1+m_2+m_3+m_4+m_5 \right) \ddot{x}+m_1s_1\ddot{\theta}_1\cos \theta _1-m_2s_2\ddot{\theta}_2\cos \theta _2+\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \ddot{\theta}_3\cos \theta _3-\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \ddot{\theta}_4\cos \theta _4\\ \,\, -m_5s_5\ddot{\theta}_5\cos \theta _5-m_1s_1\dot{\theta}_{1}^{2}\sin \theta _1+m_2s_2\dot{\theta}_{2}^{2}\sin \theta _2-\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \dot{\theta}_{3}^{2}\sin \theta _3+\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \dot{\theta}_{4}^{2}\sin \theta _4+m_5s_5\dot{\theta}_{5}^{2}\sin \theta _5\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right) -\frac{\partial L}{\partial z}=\left( m_1+m_2+m_3+m_4+m_5 \right) \ddot{z}+m_1s_1\ddot{\theta}_1\sin \theta _1+m_2s_2\ddot{\theta}_2\sin \theta _2+\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \ddot{\theta}_3\sin \theta _3+\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \ddot{\theta}_4\sin \theta _4\\ \,\, -m_5s_5\ddot{\theta}_5\sin \theta _5+m_1s_1\dot{\theta}_{1}^{2}\cos \theta _1+m_2s_2\dot{\theta}_{2}^{2}\cos \theta _2+\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \dot{\theta}_{3}^{2}\cos \theta _3+\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \dot{\theta}_{4}^{2}\cos \theta _4-m_5s_5\dot{\theta}_{5}^{2}\sin \theta _5\\\end{cases} dtd(θ˙1L)θ1L=(m1s12+J1)θ¨1+m1l3s1θ¨3cos(θ1θ3)+m1s1x¨cosθ1+m1s1z¨sinθ1+m1l3s1θ˙32sin(θ1θ3)dtd(θ˙2L)θ2L=(m2s22+J2)θ¨2+m2l4s2θ¨4cos(θ2θ4)m2s2x¨cosθ2+m2s2z¨sinθ2+m2l4s2θ˙42sin(θ2θ4)dtd(θ˙3L)θ3L=(m1l32+m3s32+J3)θ¨3+m1l3s1θ¨1cos(θ1θ3)+(m1l3+m3s3)x¨cosθ3+(m1l3+m3s3)z¨sinθ3m1l3s1θ˙12sin(θ1θ3)dtd(θ˙4L)θ4L=(m2l42+m4s42+J4)θ¨4+m2l4s2θ¨2cos(θ2θ4)(m2l4+m4s4)x¨cosθ4+(m2l4+m4s4)z¨sinθ4m2l4s2θ˙22sin(θ2θ4)dtd(θ˙5L)θ5L=(m5s52+J5)θ¨5m5s5x¨cosθ5m5s5z¨sinθ5dtd(x˙L)xL=(m1+m2+m3+m4+m5)x¨+m1s1θ¨1cosθ1m2s2θ¨2cosθ2+(m1l3+m3s3)θ¨3cosθ3(m2l4+m4s4)θ¨4cosθ4m5s5θ¨5cosθ5m1s1θ˙12sinθ1+m2s2θ˙22sinθ2(m1l3+m3s3)θ˙32sinθ3+(m2l4+m4s4)θ˙42sinθ4+m5s5θ˙52sinθ5dtd(z˙L)zL=(m1+m2+m3+m4+m5)z¨+m1s1θ¨1sinθ1+m2s2θ¨2sinθ2+(m1l3+m3s3)θ¨3sinθ3+(m2l4+m4s4)θ¨4sinθ4m5s5θ¨5sinθ5+m1s1θ˙12cosθ1+m2s2θ˙22cosθ2+(m1l3+m3s3)θ˙32cosθ3+(m2l4+m4s4)θ˙42cosθ4m5s5θ˙52sinθ5

    由拉格朗日方程 τ = d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ ) − ∂ L ∂ θ \boldsymbol{\tau }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\dot{\theta}}} \right) -\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\theta }} τ=dtd(θ˙L)θL结合第二节的理论,关节向量 可视为单脚支撑、双脚支撑阶段与落地碰撞阶段的叠加:

    B τ + τ l + τ r = D 1 ( θ ) θ ¨ + D 2 ( θ ) θ ˙ 2 + D 4 ( θ ) \boldsymbol{B\tau }+\boldsymbol{\tau }_l+\boldsymbol{\tau }_r=\boldsymbol{D}_1\left( \boldsymbol{\theta } \right) \boldsymbol{\ddot{\theta}}+\boldsymbol{D}_2\left( \boldsymbol{\theta } \right) \boldsymbol{\dot{\theta}}^2+\boldsymbol{D}_4\left( \boldsymbol{\theta } \right) Bτ+τl+τr=D1(θ)θ¨+D2(θ)θ˙2+D4(θ)

    其中

    D 1 ( θ ) = [ m 1 s 1 2 + J 1 0 m 1 l 3 s 1 cos ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) 0 0 m 1 s 1 cos ⁡ θ 1 m 1 s 1 sin ⁡ θ 1 m 2 s 2 2 + J 2 0 m 2 l 4 s 2 cos ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) 0 − m 2 s 2 cos ⁡ θ 2 m 2 s 2 sin ⁡ θ 2 ⋮ m 1 l 3 2 + m 3 s 3 2 + J 3 0 0 ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) cos ⁡ θ 3 ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) sin ⁡ θ 3 m 2 l 4 2 + m 4 s 4 2 + J 4 0 − ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) cos ⁡ θ 4 ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) sin ⁡ θ 4 ⋮ ⋱ m 5 s 5 2 + J 5 − m 5 s 5 cos ⁡ θ 5 − m 5 s 5 sin ⁡ θ 5 ⋱ m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 0 ⋯ ⋯ m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ] \boldsymbol{D}_1\left( \boldsymbol{\theta } \right) =\left[ \begin{matrix} m_1s_{1}^{2}+J_1& 0& m_1l_3s_1\cos \left( \theta _1-\theta _3 \right)& 0& 0& m_1s_1\cos \theta _1& m_1s_1\sin \theta _1\\ & m_2s_{2}^{2}+J_2& 0& m_2l_4s_2\cos \left( \theta _2-\theta _4 \right)& 0& -m_2s_2\cos \theta _2& m_2s_2\sin \theta _2\\ \vdots& & m_1l_{3}^{2}+m_3s_{3}^{2}+J_3& 0& 0& \left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \cos \theta _3& \left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \sin \theta _3\\ & & & m_2l_{4}^{2}+m_4s_{4}^{2}+J_4& 0& -\left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \cos \theta _4& \left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \sin \theta _4\\ \vdots& & \ddots& & m_5s_{5}^{2}+J_5& -m_5s_5\cos \theta _5& -m_5s_5\sin \theta _5\\ & \ddots& & & & m_1+m_2+m_3+m_4+m_5& 0\\ & & \cdots& & \cdots& & m_1+m_2+m_3+m_4+m_5\\\end{matrix} \right] D1(θ)=m1s12+J10m2s22+J2m1l3s1cos(θ1θ3)0m1l32+m3s32+J30m2l4s2cos(θ2θ4)0m2l42+m4s42+J40000m5s52+J5m1s1cosθ1m2s2cosθ2(m1l3+m3s3)cosθ3(m2l4+m4s4)cosθ4m5s5cosθ5m1+m2+m3+m4+m5m1s1sinθ1m2s2sinθ2(m1l3+m3s3)sinθ3(m2l4+m4s4)sinθ4m5s5sinθ50m1+m2+m3+m4+m5

    D 2 ( θ ) = [ 0 0 m 1 l 3 s 1 sin ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) 0 0 0 0 0 0 0 m 2 l 4 s 2 sin ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) 0 0 0 − m 1 l 3 s 1 sin ⁡ ( θ 1 − θ 3 ) 0 0 0 0 0 0 0 − m 2 l 4 s 2 sin ⁡ ( θ 2 − θ 4 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − m 1 s 1 sin ⁡ θ 1 m 2 s 2 sin ⁡ θ 2 − ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) sin ⁡ θ 3 ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) sin ⁡ θ 4 m 5 s 5 sin ⁡ θ 5 0 0 m 1 s 1 cos ⁡ θ 1 m 2 s 2 cos ⁡ θ 2 ( m 1 l 3 + m 3 s 3 ) cos ⁡ θ 3 ( m 2 l 4 + m 4 s 4 ) cos ⁡ θ 4 − m 5 s 5 sin ⁡ θ 5 0 0 ] \boldsymbol{D}_2\left( \boldsymbol{\theta } \right) =\left[ \begin{matrix} 0& 0& m_1l_3s_1\sin \left( \theta _1-\theta _3 \right)& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& m_2l_4s_2\sin \left( \theta _2-\theta _4 \right)& 0& 0& 0\\ -m_1l_3s_1\sin \left( \theta _1-\theta _3 \right)& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -m_2l_4s_2\sin \left( \theta _2-\theta _4 \right)& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -m_1s_1\sin \theta _1& m_2s_2\sin \theta _2& -\left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \sin \theta _3& \left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \sin \theta _4& m_5s_5\sin \theta _5& 0& 0\\ m_1s_1\cos \theta _1& m_2s_2\cos \theta _2& \left( m_1l_3+m_3s_3 \right) \cos \theta _3& \left( m_2l_4+m_4s_4 \right) \cos \theta _4& -m_5s_5\sin \theta _5& 0& 0\\\end{matrix} \right] D2(θ)=00m1l3s1sin(θ1θ3)00m1s1sinθ1m1s1cosθ1000m2l4s2sin(θ2θ4)0m2s2sinθ2m2s2cosθ2m1l3s1sin(θ1θ3)0000(m1l3+m3s3)sinθ3(m1l3+m3s3)cosθ30m2l4s2sin(θ2θ4)000(m2l4+m4s4)sinθ4(m2l4+m4s4)cosθ400000m5s5sinθ5m5s5sinθ500000000000000

    D 4 ( θ ) = [ − m 1 g s 1 sin ⁡ θ 1 − m 2 g s 2 sin ⁡ θ 2 − m 3 g s 3 sin ⁡ θ 3 − m 1 g l 3 sin ⁡ θ 3 − m 4 g s 4 sin ⁡ θ 4 − m 2 g l 4 sin ⁡ θ 4 m 5 g s 5 sin ⁡ θ 5 0 0 ] \boldsymbol{D}_4\left( \boldsymbol{\theta } \right) =\left[ \begin{array}{c} -m_1gs_1\sin \theta _1\\ -m_2gs_2\sin \theta _2\\ -m_3gs_3\sin \theta _3-m_1gl_3\sin \theta _3\\ -m_4gs_4\sin \theta _4-m_2gl_4\sin \theta _4\\ m_5gs_5\sin \theta _5\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] D4(θ)=m1gs1sinθ1m2gs2sinθ2m3gs3sinθ3m1gl3sinθ3m4gs4sinθ4m2gl4sinθ4m5gs5sinθ500

    τ l 、 τ r \boldsymbol{\tau }_l\text{、}\boldsymbol{\tau }_r τlτr为碰撞接触约束力矩, B B B为转矩连接矩阵

    4 参考文献

    [1]王健美, 付成龙, 黄元林,等. 基于Matlab的双足机器人动力学仿真及仿生控制平台[J]. 系统仿真学报, 2011(05):977-983.
    [2] Chevallereau C , Abba G , Aoustin Y , et al. RABBIT: A Testbed for Advanced Control Theory[J]. Control Systems IEEE, 2013, 23(5):57-79.
    [3]槐创锋, 刘平安. 七连杆双足机器人建模和控制系统仿真[J]. 计算机仿真, 2010.
    [4]槐创锋, 方跃法. 5连杆双足机器人建模和控制系统仿真[J]. 系统仿真学报, 2008, 27(020):5682-5686.


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  • 机器人完整动力学拉格朗日动力学方程,内含完成代码。
  • 这个代码是机器人动力学方程的matlab代码实现,使用拉格朗日方法。 此代码是根据霍伟编著的《机器人动力学与控制》一书中的公式改写的。 参考网址:https://www.jianshu.com/p/6d04539f1cfe 参考网址中提供的代码...
  • 两自由度机械臂动力学模型的建模与控制
  • 动力学建模~拉格朗日建模

    千次阅读 2020-07-13 10:29:17
    动力学普遍方程及拉格朗日方程 这个可以看看

    动力学普遍方程及拉格朗日方程                  这个可以看看


    《机器人动力学与控制》第九章——动力学 9.1初探欧拉拉格朗日方程法                 讲出求关节力这一作用,有实例可以看看

    求得关节力 


    干货 | 机械臂的动力学(二):拉格朗日法

    大略了解一下拉格朗日力学之后,我们就可以思考怎样用它来求解机械臂的动力学了。我们最重要的工具当然是上面最后一个式子,把它写成向量的形式:

            拉格朗日方程,q是广义坐标,Q是广义力

    第一个问题是,机械臂动力学所用的“广义坐标”是什么?注意到我们想要求的是关节输出的力与关节运动的关系,把关节空间选定为广义坐标看来是非常自然而然的事情(选广义坐标有一定标准,这里不讲)。这样,关节位置向量即为向量q,关节输出的扭矩则是广义力Q。用机械臂常用的符号表示,我们有

    一个重要的点是选取广义坐标(和对应的广义力)


    Lagrangian Equations of Motion, Conservative Forces 

    q是广义坐标,Q是广义力。


    机器人基础原理 东北大学 房立金 / 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)

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  • 三轴平面RRR机械臂拉格朗日动力学仿真

    (8条消息) 机器人学回炉重造(4):动力学仿真(附牛顿-欧拉递归逆动力学算法matlab代码)_xuuyann的博客-CSDN博客_matlab动力学仿真

    本文机械臂参数基于上述文章,利用拉格朗日逆动力学建模推导,通过已知关节的q,dq,ddq获取每个关节所需的tau力矩,仿真有不足或者错误之处希望大家多多提出修改意见。

    自写Matlab实现代码

        clc;
        clear;
    
        th=[10 20 30]*pi/180;
        
        I1=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.5];
        I2=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.2];
        I3=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.1];
        m1=20;
        m2=15;
        m3=10;
        g=[0 ;-9.8 ;0];
        
        [M,C,G,T]=Lagrange(th);
        
        
         
        function [M3,C3,G3,T] = Lagrange(theta)
        syms th1 th2 th3;
        angle = [th1 th2 th3];
        d_angle=[1 ;2 ;3];
        dd_angle=[0.5 ;1 ;1.5];
        [J1,J2,J3,JW1,JW2,JW3] = jisuan(angle);
       
    
        I1=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.5];
        I2=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.2];
        I3=[0 0 0;
            0 0 0;
            0 0 0.1];
        m1=20;
        m2=15;
        m3=10;
        g=[0 ;-9.8 ;0];
        
        %% 求惯性矩阵 M
        M=m1*J1'*J1+JW1'*I1*JW1 +   m2*J2'*J2+JW2'*I2*JW2 +  m3*J3'*J3+JW3'*I3*JW3;
        
        M1 = subs(M, th1, theta(1));
        M2 = subs(M1, th2, theta(2));
        M3 = subs(M2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        M3 = vpa(M3,8);
        
        
        %% 求科氏力矩阵V
        
    
       for i=1:3
           for j=1:3           
               c=0;
                for k = 1:3
                       c=c+1/2*((diff( M(i,j) ,angle(k)))+(diff( M(i,k) ,angle(j)))-(diff( M(j,k) ,angle(i))))*(d_angle(k)); 
                end
                 C(i,j) = simplify(c);
           end
       end
       
        C1 = subs(C, th1, theta(1));
        C2 = subs(C1, th2, theta(2));
        C3 = subs(C2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        C3 = vpa(C3,8);
       
       
        %% 求重力因素矩阵C
        G=-(J1'*m1*g +J2'*m2*g+J3'*m3*g);
        
        G1 = subs(G, th1, theta(1));
        G2 = subs(G1, th2, theta(2));
        G3 = subs(G2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        G3 = vpa(G3,8);
        
        %% 力矩
        T=M3*dd_angle+C3*d_angle+G3;
             
        JT1 = subs(J1, th1, theta(1));
        JT2 = subs(JT1, th2, theta(2));
        JT3 = subs(JT2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        JV1 = vpa(JT3,8);
        
        JT1 = subs(J2, th1, theta(1));
        JT2 = subs(JT1, th2, theta(2));
        JT3 = subs(JT2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        JV2 = vpa(JT3,8);
        
        JT1 = subs(J3, th1, theta(1));
        JT2 = subs(JT1, th2, theta(2));
        JT3 = subs(JT2, th3, theta(3));   
        digits(4)
        JV3 = vpa(JT3,8);
        
       
        end
        
      
        %% 求雅各比矩阵
        function [JV1,JV2,JV3,JW1,JW2,JW3]=jisuan(angle)
          
        th(1) = angle(1);th(2)=angle(2);th(3)=angle(3);%角度
        a=[0 4 3];
        alp=[0 0 0];
        d=[0 0 0];
        
        T0_1=Trans(alp(1), a(1), d(1), th(1));
        T1_2 = Trans(alp(2), a(2), d(2), th(2)); 
        T2_3 = Trans(alp(3), a(3), d(3), th(3));
        T0_2 = T0_1 * T1_2;
        T0_3 = T0_2 * T2_3;
        
        T1_2c = Trans(alp(1), a(2)/2, d(1), th(1));
        T2_3c = Trans(alp(2), a(3)/2, d(2), th(2)); 
        T3_4c = Trans(alp(3), 2/2, d(3), th(3)); 
        
        T0_1c=T0_1 * T1_2c; %到第一个杆质心处的的雅各比矩阵
        T0_2c=T0_2 * T2_3c; %到第二个杆质心处的的雅各比矩阵
        T0_3c=T0_3 * T3_4c; %到第二个杆质心处的的雅各比矩阵
           
        JW1=[0  0  0;
             0  0  0;
             1  0  0];
         
        JW2=[0  0  0;
             0  0  0;
             1  1  0];
         
        JW3=[0  0  0;
             0  0  0;
             1  1  1];
        
        for i = 1:3
         for j = 1:3
            JV1(j, i) = diff(T0_1c(j, 4), th(i));
         end
        end
      
        for i = 1:3
         for j = 1:3
            JV2(j, i) = diff(T0_2c(j, 4), th(i));
         end
        end
        
       for i = 1:3
         for j = 1:3
            JV3(j, i) = diff(T0_3c(j, 4), th(i));
         end
        end  
       
        
        end
        
        
        %% 求齐次变换矩阵
    function T = Trans(alpha, a, d, theta)
    T= [cos(theta)             -sin(theta)            0            a;
        sin(theta)*cos(alpha)  cos(theta)*cos(alpha)  -sin(alpha)  -sin(alpha)*d;
        sin(theta)*sin(alpha)  cos(theta)*sin(alpha)  cos(alpha)   cos(alpha)*d;
        0                      0                      0            1];
    end

    结果输出

    >> T
     
    T =
     
    851.7
    636.7
    296.8
     

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    千次阅读 2021-03-27 13:55:36
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  • 以压电双杆柔性臂为研究对象,采用Euler-Bernoulli梁模型简化机械臂,运用假设模态法描述弹性变形,将压电元件对臂的作用等效为一驱动力矩,依据拉格朗日方程推导耦合动力学方程,并利用Newmark法进行迭代求解。...
  • 并同时计算出来摆杆的转动惯量接着列拉格朗日方程计算动能(转动动能) 计算势能(取铰链处为零势能高度): 计算L计算拉格朗日方程中的中间量 将上述的中间量带入拉格朗日方程,得到动力学模型:变换一下形式: ...
  • 机器人动力学方程 机器人动力学方程是描述机器人力和运动之间的关系的方程。只描述力和运动的关系,不考虑产生运动的力和扭矩。 欧拉 - 拉格朗日方程 欧拉-拉格朗日方程(OL)描述了处于完整约束下,并且约束力满足...
  • 《Matlab/Simulink动力学系统建模与仿真(第2版)》主要介绍了动力学系统中微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型等建立的基础理论,并引入了Simulink仿真技术,为解决复杂动力学问题(特别是不易得到解析解的...
  • 6自由度自由漂浮空间机械臂运动学建模,广义雅克比矩阵 (2013-04-02, matlab, 4KB, 0次).rar
  • 基于多刚体动力学的原理,在分析机械臂的运动学和拉格朗日动力学方程的基础上求解其雅可比矩阵,并采用虚拟样机技术建立了机械臂的三维仿真模型,进行了动力学分析,获得了机械臂的动态特性。通过将获得的动态特性...
  • 第9讲机器人动力学 机器人动力学问题 机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关, 还与机器人的结构形式质量分布执行机构 的位置传动装置等因素有关 机器人动态性能由动力学方程描述,动力学是 考虑上述因素,研究物体...
  • 机器人动力学建模,用拉格朗日方法,得到三个动力学矩阵
  • 二连杆动力学建模,matlab程序非simulink实现,动力学建模通过拉格朗日方程实现。
  • 带闭链的五自由度工业机器人动力学解析模型pdf,带闭链的五自由度工业机器人动力学解析模型
  • 拉格朗日函数方法建立机器人动力学方程,近而确立机器人动力学模型。 基于永磁同步电机建立伺服控制系统,利用机器 人的位置控制与电流相结合的方式完成机器人的动力学控制。 利用自适应控制来完成机器人的位置控制...
  • 针对旋转小球在垂直平面内运动的欠驱动的具有旋转激励的平移振器(TORA ),基于拉格朗日方程,建立其动力学模型.结合部分反馈线性化,采用一个闭环坐标变换将系统动力学转换成严格反馈的级联非线性系统,该级联系统由非...
  • 考虑精密气浮直线电机结构中气固耦合对直线电机运动精度可能产生的影响,用拉格朗日方法建立了精密直线电机12个自由度的动力学模型。仿真计算结果和模态试验结果的主要模态偏差均小于5%,且识别出该系统中气浮轴承在...
  • 机械臂的动力学在机械臂的控制中具有十分重要的意义,建立机械臂的动力学模型,是描述控制系统的依据,也是设计控制器的前提。机械臂。采用牛顿-欧拉法建立机械臂动力学模型时,要计算每个部分加速度,然后消去内...
  • 机械臂动力学——动力学建模

    千次阅读 2021-07-24 03:34:15
    一、动力学基础概念基本动力学模型建模方法牛顿-欧拉法拉格朗日法连杆质量,连杆质心位置矢量,连杆质心惯性矩阵(通过动力学参数识别获得)二、牛顿-欧拉法运动外推:向外迭代计算连杆的角速度、角加速度和线加速度力...
  • 使用拉格朗日算法进行机器人动力学建模,得到M,C,G三个矩阵

空空如也

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