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  • 拉格朗日定理求极值
    千次阅读
    2020-04-10 11:41:11

    条件极值

    下面给出关于条件极值的定义
    无条件极值:如果对于自变量的限制,只有区域D,而没有其它限制,那么这种类型的极值问题就称为无条件极值问题。
    有条件极值:有除了区域D以为的约束条件调制自变量,则称为有条件极值问题。

    拉格朗日乘数法

    拉格朗日乘数法是一个不需要将隐函数显化而直接求条件极值的方法。
    推导如下:
    我们假设函数z=f(x,y),对于该函数的限制条件为φ(x,y)=0;
    假设函数z在(x0,y0)处取得极值,(x0,y0)在某一邻域内f(x,y)和φ(x,y)具有一阶连续偏导数,并且φy(x0,y0)!=0,由隐函数存在定理可知,方程φ(x,y)=0,可以确定一个连续且具有连续导数的函数t(x),将其带入z=f(x,y)得到z=f(x,t(x));
    由一元函数取得极值的必要条件可得:dz/dx|(x=x0)=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dy/dx|(x=x0)=0;
    对φ(x,y)=0用隐函数求导得到dy/dx|x=x0=(-φx(x0,y0))/(φy(x0,y0)),将该式子带入到dz/dx中得到:
    fx(x0,y0)-fy(x0,y0)*φ(x0,y0)/(φy(x0,y0))=0;
    我们令fy(x0,y0)/φy(x0,y0)=-入,
    即可得到拉克朗日数乘法的公式
    F’x=ƒ’x(x,y)+λφ’x(x,y)=0
    F’y=ƒ’y(x,y)+λφ’y(x,y)=0
    F’λ=φ(x,y)=0
    将三个方程联立,即可解出可能为极值点的点。

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  • 拉格朗日求条件极值

    千次阅读 2015-09-15 22:29:43
    拉格朗日求条件极值对于无条件极值可以直接对各偏导数等于0求解或者使用梯度下降法求解,而对于条件极值,一般会先转化成拉格朗日乘数法形式,再求解。而对于不等式的约束条件,还需要转化成对偶问题进行求解 下面...

    拉格朗日求条件极值

    对于无条件极值可以直接对各偏导数等于0求解或者使用梯度下降法求解,而对于条件极值,一般会先转化成拉格朗日乘数法形式,再求解。而对于不等式的约束条件,还需要转化成对偶问题进行求解
    下面举一个例子,说明这一流程:
    拉格朗日乘数法求极值


    http://www.moozhi.com/topic/show/54a8a261c555c08b3d59d996

    展开全文
  • 拉格朗日法求解——条件极值问题

    千次阅读 2021-04-01 15:29:37
    文章目录一、问题描述二、拉格朗日手工求解方法三、拉格朗日编程求解方法 一、问题描述 二、拉格朗日手工求解方法 三、拉格朗日编程求解方法 代码如下 from sympy import * x,y,z,k=symbols('x,y,z,k') a,b,c=...

    一、问题描述

    在这里插入图片描述

    二、拉格朗日手工求解方法

    在这里插入图片描述

    三、拉格朗日编程求解方法

    代码如下

    from sympy import *
    x,y,z,k=symbols('x,y,z,k')
    a,b,c=symbols('a,b,c')
    f=8*x*y*z
    g=x**2/a**2+y**2/b**2+z**2/c**2-1
    L=f+k*g
    dx=diff(L,x)
    print("dx=",dx)
    dy=diff(L,y)
    print("dy=",dy)
    dz=diff(L,z)
    print("dz=",dz)
    dk=diff(L,k)
    print("dk=",dk)
    dx=8*y*z+2*k*x/a**2
    dy=8*x*z+2*k*y/b**2
    dz=8*x*y+2*k*z/c**2
    dk=x**2/a**2+y**2/b**2+z**2/c**2-1
    m=solve([dx,dy,dz,dk],[x,y,z,k])
    print(m)
    x=sqrt(3)*a/3
    y=sqrt(3)*b/3
    z=sqrt(3)*c/3
    k=-4*sqrt(3)*a*b*c/3
    f=8*x*y*z
    print("最大值为:",f)
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述

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  • 拉格朗日乘数法是一种直接计算解决条件极值的方法; 拉格朗日乘数法的定义如下: 设有 f(x,y),φ(x,y)f(x, y), \varphi(x,y)f(x,y),φ(x,y) 两个函数,并且两者都有一阶连续偏导数,则做拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=...

    一、拉格朗日乘数法简介

    在日常的生产生活中,当我们要要安排生产生活计划的时候,常常会在现实物理资源约束的条件下,计算得到收益最大或者损失最小的计划; 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值;拉格朗日乘数法是一种直接计算解决条件极值的方法;

    拉格朗日乘数法的定义如下:

    设有 f ( x , y ) , φ ( x , y ) f(x, y), \varphi(x,y) f(x,y),φ(xy) 两个函数,并且两者都有一阶连续偏导数,则做拉格朗日函数为

    F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x,y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(xy)
    令函数F的各个偏导数 F x = 0 , F y = 0 , F λ = 0 F_{x} = 0, F_{y} = 0, F_{λ} = 0 Fx=0,Fy=0,Fλ=0,计算各个偏导数并联立方程得到

    { f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0 \left\{\begin{matrix} f_{x}(x,y) + \lambda \varphi_{x}(x,y)=0 \\ f_{y}(x,y) + \lambda \varphi_{y}(x,y)=0 \\ \varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right. fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0
    由此方程组解出拉格朗日函数稳定点 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0},y_{0},λ_{0}) (x0y0λ0),则 ( x 0 , y 0 ) (x_{0},y_{0}) (x0y0) 就是函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在附加条件 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 下的可能极值点;

    二、拉格朗日乘数法的推导

    目标函数

    f ( x , y ) = 0 (1) f(x, y) = 0 \tag{1} f(x,y)=0(1)

    约束条件

    φ ( x , y ) = 0 (2) \varphi(x,y) = 0 \tag{2} φ(xy)=0(2)
    如果函数(1)在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 得到极值,那么首先会满足约束条件

    φ ( x 0 , y 0 ) = 0 (3) \varphi(x_{0},y_{0}) = 0 \tag{3} φ(x0y0)=0(3)
    f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(xy)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) (x0,y0) 的某个邻域内有连续偏导数,且满足

    φ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 \varphi_{y}(x_{0},y_{0}) \ne 0 φy(x0y0)=0
    由隐函数存在定理,式(2)在点 $(x_{0}, y_{0}) $ 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且具有连续导数的函数 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) ,并且有 y 0 = f ( x 0 ) y_{0}=f(x_{0}) y0=f(x0),以及

    d y   d x ∣ x = x 0 = − φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) (4) \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} \tag{4}  dxdyx=x0=φy(x0,y0)φx(x0,y0)(4)
    y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 带入公式(1)得到

    z = f ( x , y ( x ) ) (5) z = f(x, y(x)) \tag{5} z=f(x,y(x))(5)
    公式(5)也同公式(1)在 $(x_{0}, y_{0}) $ 处取的极值,有一元函数取得极值的必要条件可得

    d z   d x ∣ x = x 0 = f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) d y   d x ∣ x = x 0 = 0 (6) \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=0 \tag{6}  dxdzx=x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0) dxdyx=x0=0(6)
    将公式(4)带入公式(6)得到

    f x ( x 0 , y 0 ) − f y ( x 0 , y 0 ) ⋅ φ x ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) = 0 (7) f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0 \tag{7} fx(x0,y0)fy(x0,y0)φy(x0,y0)φx(x0,y0)=0(7)
    为了解出 $(x_{0}, y_{0}) $ ,引入辅助变量

    λ 0 = − f y ( x 0 , y 0 ) φ y ( x 0 , y 0 ) \lambda_{0}=-\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)} λ0=φy(x0,y0)fy(x0,y0)

    则公式(3)和公式(7)均成立等价于

    { f x ( x 0 , y 0 ) + λ 0 φ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ( x 0 , y 0 ) + λ 0 φ y ( x 0 , y 0 ) = 0 φ ( x 0 , y 0 ) = 0 (8) \left\{\begin{array}{l} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda_{0} \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \end{array}\right. \tag{8} fx(x0,y0)+λ0φx(x0,y0)=0fy(x0,y0)+λ0φy(x0,y0)=0φ(x0,y0)=0(8)
    f ( x , y ) , φ ( x , y ) f(x, y), \varphi(x,y) f(x,y),φ(xy) 给定的前提下,我们可以通过公式(8)计算得到 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}) (x0,y0,λ0) ,我们可根据公式(8)的特点构造以下函数

    F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \phi(x, y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)

    可以看到公式(8)等价 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 的以下偏导数

    { F x ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 F y ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 F λ ( x 0 , y 0 , λ 0 ) = 0 \left\{\begin{array}{l} F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \\ F_{\lambda}\left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right)=0 \end{array}\right. Fx(x0,y0,λ0)=0Fy(x0,y0,λ0)=0Fλ(x0,y0,λ0)=0

    通过以上推演过程,函数 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 称为拉格朗日函数,参数λ称为拉格朗日乘数,点 ( x 0 , y 0 , λ 0 ) (x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}) (x0,y0,λ0) 称为 F ( x , y , λ ) F(x, y, \lambda) F(x,y,λ) 的驻点或稳定点.

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