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  • 拉格朗日展开
    2019-11-19 10:50:12

    洛谷板子传送门


    题解:

    首先,很显然地,我们需要一个低于 O ( n ) O(n) O(n)的做法。

    考虑设多项式 g d ( x ) = ∏ i = 1 d ( x + i ) g_d(x)=\prod\limits_{i=1}^d(x+i) gd(x)=i=1d(x+i)

    s = ⌊ n ⌋ s=\lfloor\sqrt n\rfloor s=n ,则我们求出 g s ( 0 ) , g s ( s ) , … , g s ( ( s − 1 ) s ) g_s(0),g_s(s),\dots,g_s((s-1)s) gs(0),gs(s),,gs((s1)s),再在最后暴力算不超过 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )个数的乘积即可。

    如果按照根号分块构建多项式然后计算的话可以用多点求值做到 O ( n log ⁡ 2 n ) O(\sqrt n\log ^2 n) O(n log2n)

    可能有人觉得可以通过改变块的大小来优化复杂度,实际上设块的大小为 S S S,你前面求这个多项式还需要分治乘法,后面多点求值还有一个分治操作,也就是你实际上的复杂度是 O ( S log ⁡ 2 S + n S log ⁡ 2 n S ) O(S\log^2S+\frac{n}{S}\log^2\frac{n}{S}) O(Slog2S+Snlog2Sn),显然,复杂度最优当且仅当 S = O ( n ) S=O(\sqrt n) S=O(n ),且复杂度为 O ( n log ⁡ 2 n ) O(\sqrt n\log^2 n) O(n log2n)

    实际上还有更加优秀的 O ( n log ⁡ n ) O(\sqrt n\log n) O(n logn)的做法。

    我们注意到让上面复杂度多一个 log ⁡ \log log 的地方在于分治。

    根据经验,能倍增的话会比分治少一个 log ⁡ \log log,考虑倍增。

    注意我们最后要求的其实就是点值,我们考虑直接由点值得到点值,这个过程也就是插值。

    g d ( x ) g_d(x) gd(x) d d d次多项式需要 d + 1 d+1 d+1个点值。

    假设现在我们有点值序列 P d : g d ( 0 ) , g d ( s ) , g d ( 2 s ) , … , g d ( d s ) P_d:g_d(0),g_d(s),g_d(2s),\dots,g_d(ds) Pd:gd(0),gd(s),gd(2s),,gd(ds),考虑支持两种操作:

    1. P d P_d Pd得到 P d + 1 P_{d+1} Pd+1
    2. P d P_d Pd得到 P 2 d P_{2d} P2d

    如果能够在较低的时间复杂度内支持这两个操作就可以比较方便地进行倍增。

    首先考虑第一个操作:
    容易注意到 g d + 1 ( x ) = g d ( x ) ⋅ ( x + d + 1 ) g_{d+1}(x)=g_d(x)\cdot(x+d+1) gd+1(x)=gd(x)(x+d+1)
    然后 g d + 1 ( ( d + 1 ) s ) g_{d+1}((d+1)s) gd+1((d+1)s)直接暴力计算即可,反正不超过 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )

    考虑第二个操作:

    容易注意到 g 2 d ( x ) = g d ( x ) g d ( x + d ) g_{2d}(x)=g_d(x)g_d(x+d) g2d(x)=gd(x)gd(x+d),所以我们实际上想要求的是两个部分:

    g d ( ( d + 1 ) s ) , g d ( ( d + 2 ) s ) , … , g d ( 2 d s ) g_d((d+1)s),g_d((d+2)s),\dots,g_d(2ds) gd((d+1)s),gd((d+2)s),,gd(2ds)
    g d ( d ) , g d ( s + d ) , … , g d ( 2 d s + d ) g_d(d),g_d(s+d),\dots,g_d(2ds+d) gd(d),gd(s+d),,gd(2ds+d)

    给一点微调,我们发现实际上我们要解决的两个形式相同的问题:

    1. 已知 g d ( 0 ) , … g d ( d s ) g_d(0),\dots g_d(ds) gd(0),gd(ds),求 g d ( 0 + ( d + 1 ) s ) , … g d ( d s + ( d + 1 ) s ) g_d{(0+(d+1)s)},\dots g_d(ds+(d+1)s) gd(0+(d+1)s),gd(ds+(d+1)s)(注意这里比我们要用的多求了一项)
    2. 已知 g d ( 0 ) , … g d ( 2 d s ) g_d(0),\dots g_d(2ds) gd(0),gd(2ds),求 g d ( 0 + d ) , … g d ( 2 d s + d ) 。 g_d(0+d),\dots g_d(2ds+d)。 gd(0+d),gd(2ds+d)

    h ( i ) = g d ( i s ) h(i)=g_d(is) h(i)=gd(is),不难发现上述两个问题本质相同。

    给定点值 h ( 0 ) , h ( 1 ) , ⋯ h ( n ) h(0),h(1),\cdots h(n) h(0),h(1),h(n),求点值 h ( Δ + 0 ) , h ( Δ + 1 ) , ⋯ h ( Δ + n ) h(\Delta+0),h(\Delta+1),\cdots h(\Delta+n) h(Δ+0),h(Δ+1),h(Δ+n)

    点值转点值,实际上这个操作就叫插值,你仔细想一想感觉牛顿插值不太行,考虑拉格朗日插值,注意我们现在要求的点值和原来的点值是肯定没有交集的,所以 x − i x-i xi肯定非0:

    h ( x ) = ∑ i = 0 d h ( i ) ∏ j ≠ i x − j i − j = ∑ i = 0 d h ( i ) ∏ j = 0 d ( x − j ) ( x − i ) ∏ k ≠ i ( i − k ) = ( ∏ j = 0 d ( x − j ) ) ( ∑ i = 0 d h ( i ) ( x − i ) i ! ( d − i ) ! ( − 1 ) d − i ) \begin{aligned} h(x)&=\sum_{i=0}^dh(i)\prod_{j\neq i}\frac{x-j}{i-j}\\ &=\sum_{i=0}^dh(i)\frac{\prod\limits_{j=0}^d(x-j)}{(x-i)\prod\limits_{k\neq i}(i-k)}\\ &=\Big(\prod_{j=0}^d(x-j)\Big)\Big( \sum_{i=0}^d\frac{h(i)}{(x-i)i!(d-i)!(-1)^{d-i}}\Big) \end{aligned} h(x)=i=0dh(i)j=iijxj=i=0dh(i)(xi)k=i(ik)j=0d(xj)=(j=0d(xj))(i=0d(xi)i!(di)!(1)dih(i))

    前面的那个 ∏ \prod 显然可以直接在算出后面的东西之后上一个双指针。

    所以考虑后面的那个东西,容易发现把 1 x − i \frac{1}{x-i} xi1分开之后就是一个卷积,由于每一项都有贡献所以需要平移一下数组,由于平移后卷出来只会用到中间项的系数,所以直接利用循环卷积的特性把后面的丢到前面去来优化常数。由于丢人模数不能用NTT所以写一个MTT。

    目前是luogu上加强数据之后的rk1(看日期,我前面的代码全部都是改数据前的。


    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define re register
    #define cs const
    
    using std::cerr;
    using std::cout;
    
    int mod;
    inline int add(int a,int b){a+=b-mod;return a+(a>>31&mod);}
    inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
    inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
    inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
    inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
    inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
    inline void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    	if(!b){x=1,y=0;return ;}ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    }
    int po(int a,int b){
    	int r=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
    	if(b&1)r=mul(r,a);return r;
    }
    inline int inv(int a){
    	return po(a,mod-2);
    }
    
    namespace MTT{
    	struct cp{
    		double x,y;cp(){}cp(double _x,double _y=0):x(_x),y(_y){}
    		friend cp operator+(cs cp &a,cs cp &b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    		friend cp operator-(cs cp &a,cs cp &b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    		friend cp operator*(cs cp &a,cs cp &b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
    		void operator+=(cs cp &b){x+=b.x,y+=b.y;}
    		void operator-=(cs cp &b){x-=b.x,y-=b.y;}
    		void operator*=(cs cp &b){*this=*this*b;}
    		void operator*=(double b){x*=b,y*=b;}
    		void operator/=(double b){x/=b,y/=b;}
    		cp conj()cs{return cp(x,-y);}
    	};cs double PI=acos(-1),PI2=2*PI;
    	cp omega(int i,int k){return cp(cos(PI2*i/k),sin(PI2*i/k));}
    	
    	cs int bit=17,SIZE=1<<bit|7;
    	int r[SIZE];cp *w[bit+1];
    	void init_omega(){
    		for(int re i=1;i<=bit;++i)w[i]=new cp[1<<(i-1)];
    		for(int re d=1;d<=bit;++d){
    			cp wn=omega(1,1<<d);
    			for(int re i=0;i<(1<<(d-1));++i)
    			w[d][i]=(i&31)?w[d][i-1]*wn:omega(i,1<<d);
    		}
    	}
    	void DFT(cp *A,int l){
    		for(int re i=0;i<l;++i)
    		if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);
    		for(int re i=1,d=1;i<l;i<<=1,++d)
    		for(int re j=0;j<l;j+=i<<1)
    		for(int re k=0;k<i;++k){
    			cp &t1=A[j+k],&t2=A[i+j+k];
    			cp t=t2*w[d][k];t2=t1-t,t1+=t;
    		}
    	}
    	void init_rev(int len){
    		for(int re i=1;i<len;++i)r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    	}
    	void mul(int *a,int *b,int len,int *c){
    		static cp A[SIZE],B[SIZE],C[SIZE],D[SIZE];
    		for(int re i=0;i<len;++i){
    			A[i]=cp(a[i]&0x7fff,a[i]>>15);
    			B[i]=cp(b[i]&0x7fff,b[i]>>15);
    		}init_rev(len);DFT(A,len),DFT(B,len);
    		for(int re i=0;i<len;++i){
    			int u=(len-i)&(len-1);
    			C[i]=(A[i].conj()+A[u])*cp(0.5,0)*B[u];
    			D[i]=(A[i].conj()-A[u])*cp(0,0.5)*B[u];
    		}DFT(C,len),DFT(D,len);
    		for(int re i=0;i<len;++i){
    			ll x=C[i].x/len+0.5,y=(C[i].y+D[i].x)/len+0.5,z=D[i].y/len+0.5;
    			x%=mod,y%=mod,z%=mod;c[i]=(x+(y<<15)%mod+(z<<30)%mod)%mod;
    		}
    	}
    }
    
    cs int N=1<<18|7;
    int ifc[N];
    void init_fac(int n){
    	int fac=1;for(int re i=2;i<=n;++i)Mul(fac,i);
    	ifc[n]=inv(fac);
    	for(int re i=n;i;--i)ifc[i-1]=mul(ifc[i],i);
    }
    
    void calc(int *a,int *b,int n,int k){
    	static int f[N],g[N],h[N],p[N],ip[N];
    	int len=1;while(len<=n+n)len<<=1;int t=dec(k,n);
    	for(int re i=0;i<=n;++i)f[i]=mul(a[i],mul(ifc[i],ifc[n-i]));
    	for(int re i=n-1;i>=0;i-=2)f[i]=mod-f[i];
    	for(int re i=0;i<=n+n;++i)g[i]=add(i,t);
    	p[0]=g[0];
    	for(int re i=1;i<=n+n;++i)p[i]=mul(p[i-1],g[i]);
    	ip[n+n]=inv(p[n+n]);
    	for(int re i=n+n;i;--i)ip[i-1]=mul(ip[i],g[i]);
    	g[0]=ip[0];
    	for(int re i=1;i<=n+n;++i)g[i]=mul(ip[i],p[i-1]);
    	for(int re i=n+1;i<len;++i)f[i]=0;
    	for(int re i=n+n+1;i<len;++i)g[i]=0;
    	MTT::mul(f,g,len,h);
    	int res=1,p1=dec(k,n),p2=k;
    	for(int re i=0;i<=n;++i)Mul(res,add(t,i));
    	for(int re i=0;i<=n;++i)g[i]=add(p1,i);
    	p[0]=g[0];
    	for(int re i=1;i<=n;++i)p[i]=mul(p[i-1],g[i]);
    	ip[n]=inv(p[n]);
    	for(int re i=n;i;--i)ip[i-1]=mul(ip[i],g[i]);
    	g[0]=ip[0];
    	for(int re i=1;i<=n;++i)g[i]=mul(ip[i],p[i-1]);
    	for(int re i=0;i<=n;Inc(p2,1),++i)
    	b[i]=mul(h[i+n],res),Mul(res,mul(g[i],p2+1));
    }
    
    int solve(int bl){
    	static int a[N],b[N];
    	int s=0,iv=inv(bl),res=1;init_fac(bl);
    	for(int re p=bl;p;p>>=1)++s;a[0]=1,--s;
    	for(int re p=0;s>=0;--s){
    		if(p){
    			calc(a,b,p,p+1);
    			for(int re i=0;i<=p;++i)a[p+1+i]=b[i];
    			a[p<<1|1]=0;calc(a,b,p<<1,mul(p,iv));
    			p<<=1;for(int re i=0;i<=p;++i)Mul(a[i],b[i]);
    		}
    		if(bl>>s&1){
    			for(int re i=0;i<=p;++i)Mul(a[i],add(mul(bl,i),p+1));
    			p|=1,a[p]=1;
    			for(int re i=1;i<=p;++i)Mul(a[p],add(mul(bl,p),i));
    		}
    	}
    	for(int re i=0;i<bl;++i)Mul(res,a[i]);
    	return res;
    }
    int calc_fac(int n){
    	int bl=sqrt(n),res=solve(bl);
    	for(int re i=bl*bl+1;i<=n;++i)
    	Mul(res,i);return res;
    }
    int fac(int n){
    	if(n>mod-1-n){
    		int res=inv(calc_fac(mod-1-n));
    		return (mod-1-n)&1?res:mod-res;
    	}return calc_fac(n);
    }
    
    int n;
    void work(){
    	MTT::init_omega();
    	int T;scanf("%d",&T);
    	while(T--){
    		scanf("%d%d",&n,&mod);
    		cout<<fac(n)<<"\n";
    	}
    }
    
    void file(){
    #ifdef zxyoi
    	freopen("factorial.in","r",stdin);
    #endif
    }
    signed main(){file();work();return 0;}
    
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  • 数学-泰勒展开拉格朗日

    千次阅读 2021-03-01 10:31:52
    泰勒展开 基础思想:无限的努力可以逼近成功。 通俗描述:仿造一条曲线,首先仿造它的初始点,然后是它的斜率,然后是它的二阶斜率。。不断递进。 数学定理: 链接:...

    泰勒展开

    基础思想:无限的努力可以逼近成功。
    通俗描述:仿造一条曲线,首先仿造它的初始点,然后是它的斜率,然后是它的二阶斜率。。不断递进。
    数学定理:
    链接:https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784
    来源:知乎

    先算个一阶的。可以看出,除了在 这个点,其他的都不重合,不满意。再来个二阶的。可以看出,在 这个点附近的一个小范围内,二者都比较相近。再来个四阶的。可以看出,仍然是在 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是,此时二者重合的部分扩大了。到这里,不光是泰勒,我们普通人也能大概想象得到,如果继续继续提高阶数,相似范围继续扩大,无穷高阶后,整个曲线都无限相似。插个图,利用计算机可以快速实现。

    有一条解析式很复杂的曲线,我可以用多项式仿造一条曲线, 那么
    f ( x ) ≈ g ( x ) = g ( x 0 ) + f 1 ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f 2 ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x) \approx g(x) =g(x_0)+\frac{f^1(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^2(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+......+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f(x)g(x)=g(x0)+1f1(x0)(xx0)+2f2(x0)(xx0)2+......+nfn(x0)(xx0)n
    泰勒指出:在实际操作过程中,可根据精度要求选择n值,只要n不是正无穷,那么,一定要保留上式中的约等号。若想去掉约等号,可写成下面形式:
    f ( x ) = g ( x ) = g ( x 0 ) + f 1 ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f 2 ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . . . . f(x) = g(x) =g(x_0)+\frac{f^1(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^2(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...... f(x)=g(x)=g(x0)+1f1(x0)(xx0)+2f2(x0)(xx0)2+......

    佩亚诺然后将误差的值通过泰勒展开中最小的一项进行限定。并求坐商。
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20210301104318490.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzM4MDI0MDk3,size_16,color_FFFFFF,t_70

    拉格朗日

    基础思想:只要事物曾经运动过,这其中必然有一个可以衡量它运动状态的已知量。->只要问题存在解决方案,则必然在其中存在一个合理评价标准下的最优解。
    同等量级的无穷小可以相互替换以尝试简化结果。
    通俗描述:
    平均速度存在于斜率之中
    仿造一条曲线,首先仿造它的初始点,然后是它的斜率,然后是它的二阶斜率。。不断递进。

    数学定理:
    作者:「已注销」
    链接:https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    首先,跟佩亚诺一样,先把误差项写出来,并设误差项为 :误差项 中每一项都是俩数的乘积,假如是你,你肯定是想两边同时除掉一个 ,对吧,为了简单,把 设为 :所以除过之后,就成了:等等,这一串东西看着怎么眼熟?咦?这不是柯西老哥推广的我的中值定理么?剩下的不就是……:红框中,脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼,让我们不禁感慨,拉格朗到底日了什么,脑海里才会想到柯西。拉格朗日写到这里卡住了,不知道你们有没有这种经验,反正我思考一道数学题的时候,会尝试着把思路进行到底,直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞,拉格朗日继续复制这种思路,想看看能不能继续往下写:先看分子再看分母好巧合,又可以用一次柯西的中值定理了。总之,按照这种方法,可以一直求解下去,最终的结果就是:至此,拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项,而且比配诺亚更加先进的地方在于,不一定非要让 趋近于 ,可以在二者之间的任何一个位置 处展开,及其好用。

    总结

    数学家很有可能也是哲学家,遇到不懂的公式,尽量搜索一下其原理,这样也会便于理解和使用。

    展开全文
  • 拉格朗日插值公式的完全展开。可以方便地编程实现
  • 基于VB及MATLAB展开拉格朗日插值多项式.pdf
  • 随着Internet,无线传感器技术,云计算和移动Internet的集成发展,人们对物联网的研究和应用给予了很多关注... 此外,我们使用泰勒展开公式来校正未知节点的坐标。 此外,这种定位方法已经通过建立实际环境进行了验证。
  • 当前的文章致力于确定拉格朗日算子的扰动展开拉格朗日描述了经典的,相对论的,点状粒子,这些粒子受到非最小标准模型扩展(SME)参数化的洛仑兹违背。 最近采用了一种迭代技术,并将其应用于违反洛伦兹的标量场...
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    拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开),在机器学习支持向量机等算法模型中有使用此定理。 一、定理描述 如果函数x满足: (1)在闭区间[a,b]...

    目录

    一、定理描述

    二、拉格朗日中值定理及几何意义

    1.拉格朗日中值定理:

    2.几何意义:

    3.需要注意的地方(逆命题不成立)

    三、应用举例


    拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开),在机器学习支持向量机等算法模型中有使用此定理。

    一、定理描述

    如果函数x满足:

    (1)在闭区间[a,b]上连续;

    (2)在开区间(a,b)上可导;

    在开区间(a,b)内至少有一点\varepsilon(a<\varepsilon<b)使等式f(b)-f(a)=f'(\varepsilon )(b-a)成立。

    其他形式

    \varepsilon=a+\theta (b-a)(0<\theta <1),令a=xb=x+\Delta x,则有\varepsilon =a+\theta (x+\Delta x-x)=x+\theta \Delta xf'(\varepsilon )\Delta x=\Delta y

    \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\cdot \Delta x(0<\theta <1),此式为有限增量公式。

    我们知道函数的微分dy=f'(x)\Delta x是函数的增量\Delta y的近似表达式,一般情况下只有当\left | \Delta x \right |很小的时候,dy\Delta y之间的近似度才会提高;而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量\Delta x\left | \Delta x \right |不一定很小)时,函数增量\Delta y的准确表达式,这就是改公式的价值所在。

    二、拉格朗日中值定理及几何意义

    1.拉格朗日中值定理:

    若函数f(x)在(a,b)可导,则在(a,b)至少存在一点c,使f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    2.几何意义:

    函数y=f(x)在[a,b]上的图形是连续光滑曲线,弧AB上至少有一点P,曲线P点的切线平行于弦AB,如图

    证明:令g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Rightarrow g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g(a)=g(b)=0,根据罗尔定理在(a,b)内至少存在一点c,使

    g'(c)=0\Rightarrow f'(c)-\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0

    3.需要注意的地方(逆命题不成立)

    拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如f(x)=x^{3}x=0处的斜线斜率为0,但f(x)不存在割线使割线斜率等于0。

    注:割线、切线、切割线三者都是针对圆而言的:
    1、割线:就是圆外一点引出一条直线与圆有两个交点的线,叫割线;
    2、切线:就是圆外一点引出一条直线与圆有一个交点的线,叫切线;
    3、切割线:是从同一点出发,引出一条割线和一条切线。

    三、应用举例

    已知函数f(x)=aln(x+1)-x^{2}在(1,2)内任意取两个实数p,q,且p\neq q,不等式\frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}< 1恒成立,则实数a的取值范围为?

    解法一:常规解法

    x_1=p+1,x_2=q+1

    因为p,q\in (1,2),所以x_1,x_2\in (2,3) 

    \frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}< 1

    不妨设x_1>x_2

    f(x_1)-f(x_2)< x_1-x_2

    f(x_1)-x_1< f(x_2)-x_2

    g(x)=f(x)-x 

    则有g(x_1)<g(x_2) 

    因为x_1>x_2

    所以g(x)(2,3)内单调递减

    g(x)=aln(x+1)-x^{2}-x 

    g(x)'=\frac{a}{x+1}-2x-1(x>-1) 

    需证明当x\in (2,3)时,\frac{a}{x+1}-2x-1\leq 0恒成立

    解法二:拉格朗日中值定理

    \frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}< 1

    \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(x_0)

    f'(x_0)\leq 1 

    只需证明当x\in (2,3)时,\frac{a}{x+1}-2x\leq 1恒成立 

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  • 拉格朗日力学

    2021-08-02 22:53:05
    拉格朗日力学 广义坐标和位形空间 变分原理 拉格朗日量的性质 自由质点的拉格朗日函数 质点系的拉格朗日函数 封闭质点系 非封闭质点系 守恒定律 能量 动量 封闭系统 非封闭系统 角动量 广义坐标和位形空间 N N N维...

    广义坐标和位形空间

    N N N维系统有 N N N个独立的广义坐标,每组广义坐标 ( q 1 , q 2 , ⋯   , q N ) (q^1, q^2, \cdots, q^N) (q1,q2,,qN)确定系统的一个位形(configuration),因此广义坐标又称位形变量。所有可能的位形的集合称为系统的位形空间,是个 N N N维流形。系统的演化( q i q^i qi随时间 t t t的变化)对应于位形空间中一条以 t t t为参数的曲线 η ( t ) \eta(t) η(t),其参数式为 q i = q i ( t ) q^i = q^i(t) qi=qi(t)。曲线的切矢代表演化的速度,其坐标分量 q ˙ i ( t ) ≡ d q i ( t ) d t \dot q^i(t) \equiv \frac{dq^i(t)}{dt} q˙i(t)dtdqi(t)就是通常所称的广义速度。设 Q 0 ≡ η ( t 0 ) , Q 1 ≡ η ( t 1 ) Q_0 \equiv \eta(t_0), Q_1 \equiv \eta(t_1) Q0η(t0),Q1η(t1) t 1 > t 0 t_1 > t_0 t1>t0,则 η ( t ) \eta(t) η(t)介于 Q 0 Q_0 Q0 Q 1 Q_1 Q1之间的一段反映系统从初始位形 Q 0 Q_0 Q0到终了位形 Q 1 Q_1 Q1的演化。从 Q 0 Q_0 Q0 Q 1 Q_1 Q1的每一曲线称为一条路径,由 N N N个排了序的一元函数 q i ( t ) q^i(t) qi(t)决定,满足
    ( q 1 ( t 0 ) , ⋯   , q N ( t 0 ) ) = Q 0 ,   ( q 1 ( t 1 ) , ⋯   , q N ( t 1 ) ) = Q 1 (q^1(t_0), \cdots, q^N(t_0)) = Q_0, ~ (q^1(t_1), \cdots, q^N(t_1)) = Q_1 (q1(t0),,qN(t0))=Q0, (q1(t1),,qN(t1))=Q1
    所有路径中只有 η ( t ) \eta(t) η(t)才是演化曲线,才代表由动力学规律决定的演化过程。一个最简单的粒子是牛顿力学中由一个自由质点构成的系统,其位形空间就是 R 3 \R^3 R3,任给 Q 0 Q_0 Q0 Q 1 Q_1 Q1(满足 t 0 < t 1 t_0 < t_1 t0<t1)后,两点之间的直线便是演化曲线。

    变分原理

    系统的拉格朗日量 L L L是广义坐标 q i q^i qi和广义速度 q ˙ i \dot q^i q˙i的函数,即 L = L ( q i , q ˙ i , t ) L = L(q^i, \dot q^i, t) L=L(qi,q˙i,t)。对于每一条路径 { q 1 ( t ) , ⋯   , q N ( t ) } \{q^1(t), \cdots, q^N(t)\} {q1(t),,qN(t)} L L L又通过宗量 q i , q ˙ i , t q^i, \dot q^i, t qi,q˙i,t成为 t t t的一元函数,其积分 S S S称为该路径的作用量
    S : = ∫ t 0 t 1 L ( q i ( t ) , q ˙ i ( t ) , t ) d t S := \int_{t_0}^{t_1}L(q^i(t), \dot q^i(t), t)dt S:=t0t1L(qi(t),q˙i(t),t)dt
    演化曲线的不同之处由变分原理给出,它要求演化曲线的作用量取最小值。考虑任一(从 Q 0 Q_0 Q0 Q 1 Q_1 Q1的)单参路径族 q i = q i ( t , λ ) q^i = q^i(t, \lambda) qi=qi(t,λ),参数 λ = 0 \lambda = 0 λ=0给出演化路径 η ( t ) \eta(t) η(t), λ ≠ 0 \lambda \ne 0 λ=0则给出其他路径。族中曲线的作用量 S S S由于 q i , q ˙ i q^i, \dot q^i qi,q˙i依赖于 λ \lambda λ而成为 λ \lambda λ的函数
    S ( λ ) = ∫ t 0 t 1 L ( q i ( t , λ ) , q ˙ i ( t , λ ) , t ) d t S(\lambda) = \int_{t_0}^{t_1}L(q^i(t, \lambda), \dot q^i(t, \lambda), t)dt S(λ)=t0t1L(qi(t,λ),q˙i(t,λ),t)dt
    于是 S S S在单参族内的求最小值问题便归结为一元函数 S ( λ ) S(\lambda) S(λ)的求导问题
    d S ( λ ) d λ ∣ λ = 0 = ∫ t 0 t 1 d L d λ ∣ λ = 0 d t = ∫ t 0 t 1 ( ∂ L ∂ q i ∂ q i ∂ λ + ∂ L ∂ q ˙ i ∂ q ˙ i ∂ λ ) ∣ λ = 0 d t \frac{dS(\lambda)}{d\lambda}|_{\lambda = 0} = \int_{t_0}^{t_1}\frac{dL}{d\lambda}|_{\lambda = 0}dt = \int_{t_0}^{t_1}(\frac{\partial L}{\partial q^i}\frac{\partial q^i}{\partial\lambda} + \frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\partial\dot q^i}{\partial\lambda})|_{\lambda = 0}dt dλdS(λ)λ=0=t0t1dλdLλ=0dt=t0t1(qiLλqi+q˙iLλq˙i)λ=0dt
    δ S ≡ d S ( λ ) d λ ∣ λ = 0 ,   δ q i ≡ ∂ q i ( t , λ ) ∂ λ ∣ λ = 0 ,   δ q ˙ i ≡ ∂ q ˙ i ( t , λ ) ∂ λ ∣ λ = 0 \delta S \equiv \frac{dS(\lambda)}{d\lambda}|_{\lambda = 0}, ~ \delta q^i \equiv \frac{\partial q^i(t, \lambda)}{\partial \lambda}|_{\lambda = 0}, ~ \delta\dot q^i \equiv \frac{\partial\dot q^i(t, \lambda)}{\partial \lambda}|_{\lambda = 0} δSdλdS(λ)λ=0, δqiλqi(t,λ)λ=0, δq˙iλq˙i(t,λ)λ=0,并把 δ S , δ q i \delta S, \delta q^i δS,δqi δ q ˙ i \delta\dot q^i δq˙i分别称为 S , q i S, q^i S,qi q ˙ i \dot q^i q˙i在所选单参族内的变分,则上式对应如下变分关系
    δ S = ∫ t 0 t 1 ( ∂ L ∂ q i δ q i + ∂ L ∂ q ˙ i δ q ˙ i ) d t \delta S = \int_{t_0}^{t_1}(\frac{\partial L}{\partial q^i}\delta q^i + \frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta\dot q^i)dt δS=t0t1(qiLδqi+q˙iLδq˙i)dt
    其中 ∂ L ∂ q i \frac{\partial L}{\partial q^i} qiL ∂ L ∂ q ˙ i \frac{\partial L}{\partial\dot q^i} q˙iL ∂ L ∂ q i ∣ λ = 0 \frac{\partial L}{\partial q^i}|_{\lambda = 0} qiLλ=0 ∂ L ∂ q ˙ i ∣ λ = 0 \frac{\partial L}{\partial\dot q^i}|_{\lambda = 0} q˙iLλ=0的简写。因为演化曲线 η ( t ) \eta(t) η(t) λ = 0 \lambda = 0 λ=0,变分原理的含义就是所有单参路径族的 δ S \delta S δS都为零。下面导出 δ S = 0 \delta S = 0 δS=0(对所有单参族)的等价条件。由于对 λ \lambda λ求导和对 t t t求导可交换顺序,被积函数的第二项可改写为
    ∂ L ∂ q ˙ i δ q ˙ i = ∂ L ∂ q ˙ i d d t δ q i \frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta\dot q^i = \frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{d}{dt}\delta q^i q˙iLδq˙i=q˙iLdtdδqi
    由分部积分法得
    ∫ t 0 t 1 ∂ L ∂ q ˙ i δ q ˙ i d t = ( ∂ L ∂ q ˙ i δ q i ) ∣ t 0 t 1 − ∫ t 0 t 1 δ q i d d t ∂ L ∂ q ˙ i d t \int_{t_0}^{t_1}\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta\dot q^idt = (\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta q^i)|_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1}\delta q^i\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}dt t0t1q˙iLδq˙idt=(q˙iLδqi)t0t1t0t1δqidtdq˙iLdt
    因为所有曲线的起、止点都是 Q 0 Q_0 Q0 Q 1 Q_1 Q1,所以有
    δ q i ∣ t 0 = lim ⁡ λ → 0 1 λ [ q i ( t 0 , λ ) − q i ( t 0 , 0 ) ] = lim ⁡ λ → 0 1 λ [ Q 0 − Q 0 ] = 0 \delta q^i|_{t_0} = \lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda}[q^i(t_0, \lambda) - q^i(t_0, 0)] = \lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda}[Q_0 - Q_0] = 0 δqit0=λ0limλ1[qi(t0,λ)qi(t0,0)]=λ0limλ1[Q0Q0]=0
    δ q i ∣ t 1 = 0 \delta q^i|_{t_1} = 0 δqit1=0。因而上式右边第一项为零,带入 δ S \delta S δS的表达式,就有
    δ S = ∫ t 0 t 1 ( ∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ˙ i ) δ q i d t \delta S = \int_{t_0}^{t_1}(\frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^i})\delta q^idt δS=t0t1(qiLdtdq˙iL)δqidt
    于是 η ( t ) \eta(t) η(t)为演化曲线的必要条件为
    ∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ˙ i = 0 \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^i} = 0 qiLdtdq˙iL=0
    此方程称为欧拉-拉格朗日方程。

    拉格朗日量的性质

    力学中的欧拉-拉格朗日方程
    ∂ L ∂ q = d d t ∂ L ∂ q ˙ \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q} qL=dtdq˙L
    是牛顿第二运动定律 F = d p d t F = \frac{dp}{dt} F=dtdp的推广。其中 ∂ L ∂ q \frac{\partial L}{\partial q} qL称为广义力, ∂ L ∂ q ˙ \frac{\partial L}{\partial\dot q} q˙L称为广义动量。
    拉格朗日量有如下重要的性质

    • 拉格朗日量是可加的,整体的拉格朗日量是部分的拉格朗日量之和。
    • 拉格朗日量乘以一个任意常数,不改变系统的运动方程,这归结为对物理度量单位选择的任意性。
    • 拉格朗日量加上一个关于时间和坐标的任意函数对时间全导数,不改变系统的运动方程。

    因为
    L ′ ( q , q ˙ , t ) = L ( q , q ˙ , t ) + d d t f ( q , t ) L'(q, \dot q, t) = L(q, \dot q, t) + \frac{d}{dt}f(q, t) L(q,q˙,t)=L(q,q˙,t)+dtdf(q,t)
    两边积分就有
    S ′ = S + f ( q ( 2 ) , t 2 ) − f ( q ( 1 ) , t 1 ) S' = S + f(q^{(2)}, t_2) - f(q^{(1)}, t_1) S=S+f(q(2),t2)f(q(1),t1)
    S S S S ′ S' S相差一个常数项,该常数项在应用变分条件时将消失。

    自由质点的拉格朗日函数

    在惯性参考系中,空间可以认为是均匀且各向同性的,时间也是均匀流逝的。此时拉格朗日函数将于坐标和时间无关,而只能是关于速度的函数。由于空间各向同性,拉格朗日函数也必须不依赖速度的方向,因此只能是速度大小的函数,也就是说 L L L是关于 v ⃗ 2 = v 2 \vec v^2 = v^2 v 2=v2的函数。由于 L L L r ⃗ \vec r r 无关,因此 ∂ L ∂ r ⃗ = 0 \frac{\partial L}{\partial \vec r} = 0 r L=0,所以拉格朗日方程可以写为
    d d t ∂ L ∂ v ⃗ = 0 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec v} = 0 dtdv L=0
    因此 ∂ L ∂ v ⃗ \frac{\partial L}{\partial\vec v} v L为一常数。而 ∂ L ∂ v ⃗ \frac{\partial L}{\partial\vec v} v L仅为速度的函数,故速度的大小和方向都不发生改变。这就是牛顿第一运动定律。

    考虑惯性参考系 K K K以无穷小速度 ϵ ⃗ \vec\epsilon ϵ 相对另一惯性参考系 K ′ K' K运动,则有 v ⃗ ′ = v ⃗ + ϵ ⃗ \vec v' = \vec v + \vec\epsilon v =v +ϵ 。拉格朗日函数 L ( v 2 ) L(v^2) L(v2)经过伽利略变换后得到 L ′ L' L,由于在所有惯性参考系中运动方程的形式都相同,因此 L ′ L' L L L L只能相差某个关于时间和坐标的函数的全导数,于是
    L ′ = L ( v ′ 2 ) = L ( v 2 + 2 v ⃗ ⋅ ϵ ⃗ + ϵ 2 ) L' = L(v'^2) = L(v^2 + 2\vec v\cdot\vec\epsilon + \epsilon^2) L=L(v2)=L(v2+2v ϵ +ϵ2)
    将此表达式展开为 ϵ ⃗ \vec\epsilon ϵ 的幂级数,并忽略一阶以上的无穷小量,得
    L ( v ′ 2 ) = L ( v 2 ) + 2 ∂ L ∂ v 2 v ⃗ ⋅ ϵ ⃗ L(v'^2) = L(v^2) + 2\frac{\partial L}{\partial v^2}\vec v\cdot\vec\epsilon L(v2)=L(v2)+2v2Lv ϵ
    只有当右边第二项与速度 v ⃗ \vec v v 呈线性依赖关系时,它才能时时间的全导数。因此 ∂ L ∂ v 2 \frac{\partial L}{\partial v^2} v2L不依赖于速度,即该情况下拉格朗日函数与速度平方成正比
    L = m 2 v 2 L = \frac{m}{2}v^2 L=2mv2
    其中 m m m为常数。
    由上述分析可知,在参考系 K K K以有限速度 V ⃗ \vec V V 相对 K ′ K' K运动的情况下,拉格朗日函数也满足伽利略相对性原理。事实上,
    L ′ = m 2 v ′ 2 = m 2 ( v ⃗ + V ⃗ ) 2 = m 2 v 2 + 2 m 2 v ⃗ ⋅ V ⃗ + m 2 V 2 L' = \frac{m}{2}v'^2 = \frac{m}{2}(\vec v + \vec V)^2 = \frac{m}{2}v^2 + 2\frac{m}{2}\vec v \cdot \vec V + \frac{m}{2}V^2 L=2mv2=2m(v +V )2=2mv2+22mv V +2mV2
    或者
    L ′ = L + d d t ( 2 m 2 r ⃗ ⋅ V ⃗ + m 2 V 2 t ) L' = L + \frac{d}{dt}(2\frac{m}{2}\vec r\cdot\vec V + \frac{m}{2}V^2t) L=L+dtd(22mr V +2mV2t)
    第二项是时间的全导数,可以略去。

    上面的 m m m称为质点的质量,容易看出,质量不可能是负的。因为,根据变分原理,积分
    S = ∫ t 1 t 2 m v 2 2 d t S = \int_{t_1}^{t_2}\frac{mv^2}{2}dt S=t1t22mv2dt
    应该取最小值。假如质量是负的,那么作用量就可以取绝对值任意大的负值,而不可能有最小值。

    质点系的拉格朗日函数

    封闭质点系

    考虑封闭质点系,其质点间有相互作用,但不受外部任何物体作用。为描述这种情形,我们需要在自由质点的拉格朗日函数中增加坐标的某一函数。(考虑到与牛顿力学的相容性)将这个函数记为 − U -U U,则有
    L = ∑ a m a v a 2 2 − U ( r ⃗ 1 , r ⃗ 2 , ⋯   ) L = \sum_a\frac{m_av_a^2}{2} - U(\vec r_1, \vec r_2, \cdots) L=a2mava2U(r 1,r 2,)
    其中 r ⃗ a \vec r_a r a是第 a a a个质点的矢径。这是封闭质点系拉格朗日函数的一般形式。
    函数 U U U称为质点系的势能,而
    T = ∑ a m a v a 2 2 T = \sum_a\frac{m_av_a^2}{2} T=a2mava2
    称为质点系的动能。
    知道拉格朗日函数后就可以建立运动方程
    d d t ∂ L ∂ v ⃗ a = ∂ L ∂ r ⃗ a \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \vec v_a} = \frac{\partial L}{\partial \vec r_a} dtdv aL=r aL
    代入前面得到的拉格朗日函数得:
    m a d v ⃗ a d t = − ∂ U ∂ r ⃗ a m_a\frac{d\vec v_a}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial\vec r_a} madtdv a=r aU
    这种形式的运动方程称为牛顿方程。右端的矢量
    F ⃗ a = − ∂ U ∂ r ⃗ a \vec F_a = -\frac{\partial U}{\partial\vec r_a} F a=r aU
    称为作用在第 a a a个质点上的力。它与 U U U一样,只依赖于所有质点的坐标,而不依赖于速度。因此,上述方程表明,质点的加速度矢量也只是坐标的函数。
    势能可以增减任意常数而不改变运动方程,这是前面讲到过的拉格朗日函数的最后一个性质的特殊情况。

    非封闭质点系

    对于非封闭质点系 A A A,假设它受到运动完全已知的质点系 B B B的作用。这种情况下称 A A A在(由 B B B产生的)给定的外场中运动。因为 B B B是完全已知的,我们可以将质点系 A + B A + B A+B的拉格朗日函数 L L L中广义坐标 q B q_B qB用给定的关于时间的函数代替,由此得到质点系 A A A的拉格朗日函数 L A L_A LA
    假设质点系 A + B A + B A+B是封闭的,则有
    L = T A ( q A , q ˙ A ) + T B ( q B , q ˙ B ) − U ( q A , q B ) L = T_A(q_A, \dot q_A) + T_B(q_B, \dot q_B) - U(q_A, q_B) L=TA(qA,q˙A)+TB(qB,q˙B)U(qA,qB)
    其中前两项分别是系统 A A A B B B的动能,第三项是 A + B A + B A+B的势能。将广义坐标 q B q_B qB用已知的时间函数代替后, T B ( q B , q ˙ B ) T_B(q_B, \dot q_B) TB(qB,q˙B)是只依赖于时间的函数(因此也是某个时间函数的全导数),可以从 L L L中略去。于是
    L A = T A ( q A , q ˙ A ) − U ( q A , q B ( t ) ) L_A = T_A(q_A, \dot q_A) - U(q_A, q_B(t)) LA=TA(qA,q˙A)U(qA,qB(t))
    可见,在外场中的质点系的运动由通常形式的拉格朗日函数描述,仅有的差别就在于势能可能显含时间。例如,对于在外场中运动的单个质点,拉格朗日函数的一般形式为
    L = m v 2 2 − U ( r ⃗ , t ) L = \frac{mv^2}{2} - U(\vec r, t) L=2mv2U(r ,t)
    而运动方程写成
    m v ⃗ ˙ = − ∂ U ∂ r ⃗ m\dot{\vec v} = -\frac{\partial U}{\partial \vec r} mv ˙=r U
    如果一质点在一个场中的任意位置都受到相同的力 F ⃗ \vec F F ,则称这样的外场是均匀的。显然在均匀外场中的势能可以写成
    U = − F ⃗ ⋅ r ⃗ U = -\vec F\cdot\vec r U=F r

    守恒定律

    能量

    由于时间具有均匀性,封闭系统的拉格朗日函数不显含时间。因此其对时间的全导数可以写成
    d L d t = ∂ L ∂ q q ˙ + ∂ L ∂ q ˙ q ¨ \frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q}\dot q + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\ddot q dtdL=qLq˙+q˙Lq¨
    (否则上式右端还应该加上 ∂ L / ∂ t \partial L / \partial t L/t)。利用拉格朗日方程将 ∂ L / ∂ q \partial L / \partial q L/q替换为 d d t ∂ L ∂ q ˙ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} dtdq˙L,得
    d L d t = d d t ∂ L ∂ q ˙ q ˙ + ∂ L ∂ q ˙ d d t q ˙ = d d t ( ∂ L ∂ q ˙ q ˙ ) \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot q + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{d}{dt}\dot q = \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot q) dtdL=dtdq˙Lq˙+q˙Ldtdq˙=dtd(q˙Lq˙)
    或者
    d d t ( q ˙ ∂ L ∂ q ˙ − L ) = 0 \frac{d}{dt}(\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q} - L) = 0 dtd(q˙q˙LL)=0
    由此可知
    E = q ˙ ∂ L ∂ q ˙ − L E = \dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q} - L E=q˙q˙LL
    在封闭系统运动中保持不变,称为系统的能量。由上式,能量于拉格朗日函数的关系是线性的,由拉格朗日函数的可加性可以直接得出能量的可加性。
    能量守恒不仅对于封闭系统成立,对位于定常外场(即不显含时间)中的系统也成立。能量守恒的力学系统也称保守系统。
    由前面已知,封闭(或位于定常外场中的)系统的拉格朗日函数可以写成
    L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) L = T(q, \dot q) - U(q) L=T(q,q˙)U(q)
    其中 T T T是速度的二次函数。利用著名的齐次函数的欧拉定理可得
    q ˙ ∂ L ∂ q ˙ = q ˙ ∂ T ∂ q ˙ = 2 T \dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q} = \dot q\frac{\partial T}{\partial\dot q} = 2T q˙q˙L=q˙q˙T=2T
    因此
    E = T ( q , q ˙ ) + U ( q ) E = T(q, \dot q) + U(q) E=T(q,q˙)+U(q)
    可见,系统的能量可以表示为本质不同的两项之和:依赖于速度的动能和仅依赖于质点坐标的势能。

    动量

    封闭系统

    根据空间均匀性,封闭力学系统在空间中整体平移时,其性质保持不变。因此我们研究一个无穷小平移 ϵ ⃗ \vec\epsilon ϵ ,并求拉格朗日函数保持不变的条件。
    平移就是将系统中所有质点移动相同的位移 ϵ ⃗ \vec\epsilon ϵ 的变换,即矢径 r ⃗ a → r ⃗ a + ϵ ⃗ \vec r_a \to \vec r_a + \vec\epsilon r ar a+ϵ 。在速度不变时,坐标的无穷小的改变使拉格朗日函数产生的变化为
    δ L = ∂ L ∂ r ⃗ a ⋅ δ r ⃗ a = ϵ ⃗ ⋅ ∂ L ∂ r ⃗ a \delta L = \frac{\partial L}{\partial \vec r_a}\cdot\delta\vec r_a = \vec\epsilon\cdot\frac{\partial L}{\partial\vec r_a} δL=r aLδr a=ϵ r aL
    对任意 ϵ ⃗ \vec\epsilon ϵ 要求 δ L = 0 \delta L = 0 δL=0等价于
    ∂ L ∂ r ⃗ a = 0 \frac{\partial L}{\partial\vec r_a} = 0 r aL=0
    根据拉格朗日方程得
    d d t ∂ L ∂ v ⃗ a = 0 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec v_a} = 0 dtdv aL=0
    于是我们可得出结论:封闭力学系统得矢量
    P ⃗ = ∂ L ∂ v ⃗ a = m a v ⃗ a \vec P = \frac{\partial L}{\partial \vec v_a} = m_a\vec v_a P =v aL=mav a
    在运动中保持不变。矢量 P ⃗ \vec P P 称为系统的动量。动量的可加性是显然的。与能量不同之处在于,无论质点之间的相互作用是否可以忽略,系统的动量都等于各个质点的动量之和。

    导数 ∂ L / ∂ r ⃗ a = − ∂ U / ∂ r ⃗ a \partial L / \partial \vec r_a = -\partial U / \partial \vec r_a L/r a=U/r a是作用在第 a a a个质点上的力 F ⃗ a \vec F_a F a。上述讨论表明,作用在封闭系统的所有质点上的力之和等于零:
    ∑ a F ⃗ a = 0 \sum_a\vec F_a = 0 aF a=0
    特别地,当系统只由两个质点组成时, F 1 + F 2 = 0 F_1 + F_2 = 0 F1+F2=0,两个质点的相互作用力大小相等、方向相反。这就是著名的牛顿第三定律。

    非封闭系统

    在没有外场的情况下,动量矢量的三个分量都守恒。然而在有外场的情况下,如果势能不显含某个笛卡尔坐标,则相应的该方向的动量分量守恒。显然,沿着这个不出现在势能中的坐标相应的坐标轴平移不会改变力学系统的性质,动量在该轴上投影守恒。例如,在方向沿着 z z z轴的均匀场中,沿着 x x x y y y轴的动量分量守恒。

    角动量

    各向同性意味着封闭系统整体在空间中任意转动时,力学性质保持不变。因此,我们研究系统整体的无穷小转动并求出拉格朗日函数保持不变的条件。
    我们引入无穷小转动矢量 δ φ ⃗ \delta\vec\varphi δφ ,其大小等于转角 δ φ \delta\varphi δφ,方向沿着转动轴(转动方向与 δ φ ⃗ \delta\vec\varphi δφ 的方向之间符合右手螺旋法则)。
    矢径端点的线位移与转角的关系
    我们首先研究,在系统转动时,从坐标原点(位于转动轴上)指向系统中任意质点的矢径的位移。矢径端点的线位移与转角的关系为
    ∣ δ r ⃗ ∣ = r sin ⁡ θ ⋅ δ φ |\delta\vec r| = r\sin\theta\cdot\delta\varphi δr =rsinθδφ
    位移矢量的方向垂直过 r ⃗ \vec r r δ φ ⃗ \delta\vec\varphi δφ 的平面。显然有
    δ r ⃗ = δ φ ⃗ × r ⃗ \delta\vec r = \delta\vec\varphi \times \vec r δr =δφ ×r
    于是速度相对固定坐标系的增量为
    δ v ⃗ = δ φ ⃗ × v ⃗ \delta\vec v = \delta\vec\varphi \times \vec v δv =δφ ×v
    将这些表达式代入转动时拉格朗日函数不变的条件
    δ L = ( ∂ L ∂ r ⃗ a ⋅ δ r ⃗ a + ∂ L ∂ v ⃗ a ⋅ δ v ⃗ a ) = 0 \delta L = (\frac{\partial L}{\partial\vec r_a}\cdot \delta\vec r_a + \frac{\partial L}{\partial\vec v_a}\cdot \delta\vec v_a) = 0 δL=(r aLδr a+v aLδv a)=0
    并作代换 ∂ L / ∂ v ⃗ a = p ⃗ a , ∂ L / ∂ r ⃗ a = p ⃗ a ˙ \partial L / \partial\vec v_a = \vec p_a, \partial L / \partial\vec r_a = \dot{\vec p_a} L/v a=p a,L/r a=p a˙,得
    p ⃗ a ˙ ⋅ ( δ φ × r ⃗ a ) + p ⃗ a ⋅ ( δ φ × v ⃗ a ) = 0 \dot{\vec p_a}\cdot(\delta\varphi \times \vec r_a) + \vec p_a\cdot(\delta\varphi \times \vec v_a) = 0 p a˙(δφ×r a)+p a(δφ×v a)=0
    注意到混合积的轮换性,我们置换因子的次序并提出 δ φ \delta\varphi δφ
    δ φ ⋅ ( r ⃗ a × p ⃗ a ˙ + v ⃗ a × p ⃗ a ) = δ φ ⋅ d d t ( r ⃗ a × p ⃗ a ) = 0 \delta\varphi\cdot(\vec r_a\times\dot{\vec p_a} + \vec v_a \times\vec p_a) = \delta\varphi\cdot\frac{d}{dt}(\vec r_a \times \vec p_a) = 0 δφ(r a×p a˙+v a×p a)=δφdtd(r a×p a)=0
    δ φ \delta\varphi δφ的任意性可得
    d d t ( r ⃗ a × p ⃗ a ) = 0 \frac{d}{dt}(\vec r_a \times \vec p_a) = 0 dtd(r a×p a)=0
    即在封闭力学系统运动过程中矢量
    M ⃗ = ∑ a r ⃗ a × p ⃗ a \vec M = \sum_a\vec r_a \times \vec p_a M =ar a×p a
    保持不变,这个物理量称为系统的角动量。类似于线动量,这个物理量不依赖于质点之间是否有相互作用,它的可加性是显然的。

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空空如也

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