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  • 拉格朗日的麦克劳林公式
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    2020-06-06 15:22:41

    DAY 5.

    1.罗尔定理

    罗尔定理描述如下:

    如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)=0。

    在这里插入图片描述
    例题1

    若方程 a 0 x n + a 1 x n − 1 + . . . + a n − 1 x = 0 a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x = 0 a0xn+a1xn1+...+an1x=0有一个正根, x = x 0 x = x_0 x=x0,试证方程 a 0 n x n − 1 + a 1 ( n − 1 ) x n − 2 + . . . + a n − 1 = 0 a_0nx^{n-1}+a_1(n-1)x^{n-2}+...+a_{n-1} = 0 a0nxn1+a1(n1)xn2+...+an1=0 必有一个小于 x 0 x_0 x0正根。

    解:

    f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + . . . + a n − 1 x f(x) = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x f(x)=a0xn+a1xn1+...+an1x

    因为原方程有一个 x = x 0 x = x_0 x=x0的正根,所以有

    f ( x 0 ) = a 0 x 0 n + a 1 x 0 n − 1 + . . . + a n − 1 x 0 f(x_0) = a_0x_0{^n}+a_1x_0{^{n-1}}+...+a_{n-1}x_0 f(x0)=a0x0n+a1x0n1+...+an1x0 = 0

    而: f ( 0 ) = a 0 0 n + a 1 0 n − 1 + . . . + a n − 1 0 = 0 f(0) = a_00^n+a_10^{n-1}+...+a_{n-1}0 = 0 f(0)=a00n+a10n1+...+an10=0

    由罗尔定理可知:必存在一 ξ ∈ ( 0 , x 0 ) \xi \in (0,x_0) ξ(0,x0) 使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi) = 0 f(ξ)=0

    所以 f ′ ( ξ ) = a 0 n ξ n − 1 + a 1 ( n − 1 ) ξ n − 2 + . . . + a n − 1 = 0 f'(\xi) = a_0n\xi^{n-1}+a_1(n-1)\xi^{n-2}+...+a_{n-1} = 0 f(ξ)=a0nξn1+a1(n1)ξn2+...+an1=0

    ξ = x \xi = x ξ=x时原式证毕

    2.拉格朗日定理

    拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广

    如果函数 f ( x ) f(x) f(x)满足:1) 在闭区间[a,b]上连续;2) 在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) \xi(a<\xi<b) ξ(a<ξ<b),使等式 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b) - f(a) = f'(\xi) (b-a) f(b)f(a)=f(ξ)(ba)成立。

    在这里插入图片描述
    例题2

    设 a > b >0, n>1 证明 n b n − 1 ( a − b ) < a n − b n < n a n − 1 ( a − b ) nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b) nbn1(ab)<anbn<nan1(ab)

    解: 设 F ( x ) = x n F(x) = x^n Fx=xn

    由拉格朗日定理可得:

    F ( a ) − F ( b ) = a n − b n F(a)-F(b) = a^n - b^n F(a)F(b)=anbn = F ′ ( ξ ) ( a − b ) F'(\xi) (a-b) F(ξ)(ab)

    因为: b < ξ < a b<\xi<a b<ξ<a

    所以 b n − 1 ( a − b ) < a n − b n < a n − 1 ( a − b ) b^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <a^{n-1}(a-b) bn1(ab)<anbn<an1(ab)

    且 n > 1

    可得: n b n − 1 ( a − b ) < a n − b n < n a n − 1 ( a − b ) nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b) nbn1(ab)<anbn<nan1(ab)

    3.柯西中值定理

    柯西中值定理是前两者的进一步推广,期末不常考,因为用柯西定理证明的题,用罗尔和拉格朗日都可以证明出来

    在这里插入图片描述

    柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的 y y y 看成 f ( x ) f(x) f(x) , x x x 看成 g ( x ) g(x) g(x) 获得两个参数方程

    { y = f ( x ) x = g ( x ) \begin{cases} y = f(x) \\x = g(x) \\ \end{cases} {y=f(x)x=g(x)

    得到: f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} g(b)g(a)f(b)f(a)=g(ξ)f(ξ)

    例题3

    设 b>a>0 若 f ( x ) f(x) f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)上可导,求证 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in (a,b) ξ(a,b) 使得 f ( b ) − f ( a ) = ξ f ′ ( ξ ) b a f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \frac{b}{a} f(b)f(a)=ξf(ξ)ab

    解:

    g ( x ) = ln ⁡ x , f ( x ) g(x) = \ln x,f(x) g(x)=lnx,f(x)

    由柯西中值定理可知:

    f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) = f ′ ( ξ ) 1 ξ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}} g(b)g(a)f(b)f(a)=g(ξ)f(ξ)=ξ1f(ξ)

    ⇒ \Rightarrow f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) 1 ξ ∗ g ( b ) − g ( a ) f(b)-f(a) = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}*g(b)-g(a) f(b)f(a)=ξ1f(ξ)g(b)g(a)

    ⇒ \Rightarrow f ( b ) − f ( a ) = ξ f ′ ( ξ ) ln ⁡ b a f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \ln{\frac{b}{a}} f(b)f(a)=ξf(ξ)lnab 证毕

    4.泰勒公式及麦克劳林公式

    在这里插入图片描述
    当泰勒公式其中的 x 0 = 0 x_0 = 0 x0=0的时候就变成了麦克劳林公式

    有两个余项:

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    要记住一些常用函数的泰勒公式

    在这里插入图片描述

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    麦克劳林公式是泰勒公式(在,记ξ)的一种特殊形式。 在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成 由此得近似公式 误差估计式变为 在麦克劳林公式中,误差|R

    麦克劳林公式泰勒公式(在 ,记ξ )的一种特殊形式。

    在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成

    由此得近似公式    

    误差估计式变为   

    在麦克劳林公式中,误差|R?(x)|是当x→0时比xⁿ高阶的无穷小。

    若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:

    Tauc公式:     

    其中Rn是公式的余项,可以是如下:

    皮亚诺(Peano)余项

    尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项

    f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)

    拉格朗日(Lagrange)余项

    f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)

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    f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)

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    f(n+1)是f的n+1阶导数

    常用公式

    (1)

     

    (2)

     

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    (4)

     

    (5)

     

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    b64c043cac23155f41589deff7b1ace8.png
    前言: 本人考数二,故只整理了公共部分。数一、三单独考察部分未整理。除必会公式外,还收录了自己做题中较常见的部分公式。

    会一直更新。。。

    5e799ffa1b9b7f13c6844b92c2756727.png

    已更新内容:

    • 极限相关
    • 导数相关
    • 积分相关
    • 三角函数相关
    • 不等式相关
    • 多元函数
    • 其他公式
    • 复合函数相关
    • 二重积分
    • 隐藏条件

    一、极限相关

    泰勒公式

    判断是否正负相间技巧:
    若图像爆炸式增长,则恒正,如 :

    若图像上下波动或增长缓慢,则正负相间,如:

    麦克劳林公式

    常用等价无穷小

    注:

    比阶:

    增长速度:

    洛必达易错点:


    二、导数相关

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    特殊求导:

    导数定义

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    带拉格朗日余项的

    阶泰勒公式

    其他结论

    三、积分相关

    基本积分公式

    关于

    积分

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    六、多元函数

    079a78ca3f124284067cad4b80a30294.png
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    ace55e373dd0bd11c62c4c30041fb146.png

    结论:

    雅可比:


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    对称性

    ①普通对称性:

    ②轮换对称性 :

    15cf37107fa3b888d3abf5ff0930dc9e.png
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    面积

    平面曲线弧长

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    一定要理解,光背公式没用。另:强烈推荐二重积分法求旋转体体积。

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    形心:

    质心:

    曲率:

    曲率半径:

    ff3b5a67298e1532fe5013d8abc8e3d6.png
    K[f1]大于K[f2]

    反函数:

    面积、体积相关:

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    复合函数

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    隐藏条件

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    没有公众号需要关注。散了,散了。

    祝大家也祝自己一战上岸。

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    注:本文提到的任何方法,在高中范围内,使用前均需简证,以免失分!


    索引(Index)

    一、泰勒级数(Taylor Series)

    • 泰勒级数(Taylor Series)的定义
    • 泰勒级数的相关定理

    二、泰勒公式(Taylor's Formula)

    • 泰勒公式(Taylor's Formula)的公式形式
    • 泰勒公式中的余项
    • 常用函数的泰勒公式(含佩亚诺余项)
    • 麦克劳林公式(Maclaurin's Series)
    • 应用举例
    • 泰勒公式(Taylor's Formula)的推导(摘自百度百科)

    一、泰勒级数(Taylor Series)

    1.1 泰勒级数(Taylor Series)的定义

    如果

    具有任意阶导数,则幂级数:
    称为
    处的泰勒级数。

    在泰勒公式中,取

    ,得到的级数
    称为麦克劳林级数。函数
    的麦克劳林级数是
    的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与
    的麦克劳林级数一致。

    注意:如果

    的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛,它不一定收敛于
    。因此,如果
    在某处有各阶导数,则
    的麦克劳林级数虽然能算出来,但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于
    还需进一步验证。

    一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一个奇点。但是如果变量

    是负指数幂的话,仍然可以将其展开为一个级数。例如:
    ,就可以被展开为一个洛朗级数。

    1.2 泰勒级数的相关定理

    下面给出两个泰勒级数的定理。

    定理一:

    设函数

    的某个邻域
    内具有任意阶导数,则函数
    在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项
    满足:

    定理二:

    如果

    在区间
    能展开成泰勒级数
    ,则右端的幂级数是惟一的。

    二、泰勒公式(Taylor's Formula)

    2.1 泰勒公式(Taylor's Formula)的公式形式

    若函数

    在包含
    的某个闭区间
    上具有
    阶导函数,且在开区间
    上具有
    阶导数,则对闭区间
    上任意一点
    ,成立下式:
    展开可得:

    2.2 泰勒公式中的余项

    泰勒公式中的余项

    可以写成以下几种不同的形式:

    2.2.1 佩亚诺(Peano)余项

    这里只需
    阶导数存在。

    2.2.2 施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项

    其中
    。(注意到
    分别对应拉格朗日余项与柯西余项)

    2.2.3 拉格朗日(Lagrange)余项

    其中

    2.2.4 柯西(Cauchy)余项

    其中

    2.2.5 积分余项

    其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

    2.3 常用函数的泰勒公式(含佩亚诺余项)

    2.4 麦克劳林公式(Maclaurin's Series)

    阶连续可导,则下式成立:

    麦克劳林公式是泰勒公式在

    ,记
    的一种特殊形式。

    2.5 应用举例

    • 幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。
    • 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数,并使得复分析这种手法可行。
    • 泰勒级数可以用来近似计算函数的值,并估计误差。
    • 证明不等式。
    • 求待定式的极限。

    2.6 泰勒公式(Taylor's Formula)的推导(摘自百度百科)

    我们知道,根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有:

    于是:
    其中误差
    是在
    的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式:
    来近似地表示函数
    且要写出其误差
    的具体表达式。

    设函数

    满足:
    于是可以依次求出
    ,显然有:

    至此,多项的各项系数都已求出,得:
    以上就是函数的泰勒展开式。
    展开全文
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空空如也

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