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  • 拉格朗日线性插值matlab
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    2018-07-01 15:07:08

    一、实验内容

    已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。


    二、程序清单与运行结果

    1. 线性插值

    M文件代码如下:

    function y=sin_L(x0,y0,x1,y1,x)
    % sin_L输出sin(x)使用线性插值计算得到的函数值
    % 例如: y=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367)
    %       y = 
    %           0.3304
    %       R = 
    %           9.1892e-06
     
    % 以下为判断输入值是否合法的代码
    if nargin~=5
        error('请输入线性插值的插值节点和插值点')
    end
    if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x) )
        error('输入参数必须是数')
    end
     
    % 核心计算的代码
    y=y0+(y1-y0)*(x-x0)/(x1-x0);
     
    % 以下为求解截断误差的代码
    syms M2; % 因为sin(x)的二阶导数是本身,所以只需要挑出最大的y值,即可的到M2
    if y0>y1
        M2=y0; 
    else
        M2=y1;
    end
    R=M2*abs((x-x0)*(x-x1))/2
    end
    

    运行结果如下:

    2. 抛物插值

    M文件代码如下:

    function y=sin_T(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)
    % sin_T输出sin(x)使用抛物插值计算得到的函数值
    % 例如: y=sin_T(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.36,0.352274,0.3367)
    %       y = 
    %           0.3304
    %       R = 
    %           2.0315e-07
     
    % 以下为判断输入值是否合法的代码
    if nargin~=7
        error('请输入线性插值的插值节点和插值点')
    end
    if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x2)&&isnumeric(y2)&&isnumeric(x) )
        error('输入参数必须是数')
    end
     
    % 核心计算的代码
    y=y0*(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2))+y1*(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2))+y2*(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1));
     
    % 以下为求解截断误差的代码
    y_0=cos(x0); % 因为sin(x)的三阶导数是cos(x),那么只要求出x0,x1,x2的cos值,然后去最大即可得到M3
    y_1=cos(x1);
    y_2=cos(x2);
    syms M3;
    if y_0>y_1
        M3=y_0;
    else
        M3=y_1;
    end
    if y_2>M3
        M3=y_2;
    end
    R=M3*abs((x-x0)*(x-x1)*(x-x2))/6
    end

    运行结果如下


    三、实验总结

    在本次实验中,在实现了sin函数的两个插值程序以后,我尝试把程序的适用范围扩大,甚至可以直接在调用插值程序时输入插值函数直接处理,而不需要再去修改M文件,但由于时间和能力限制,暂时未能实现。
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    目录

     

    线性插值 

    原理

    流程图

     代码

     抛物插值

    原理

    流程图

     代码

     拉格朗日插值

    代码

    牛顿插值

    原理

    代码

    分段线性插值

    代码


    线性插值 

    原理

    流程图

     单个点的线性插值代码

    X=[0.2 0.4];
    Y=[21 25];
    x=0.7;
    x0=X(1)
    y0=Y(1);
    x1=X(2);
    y1=Y(2);
    
    
    L0=(x-x1)/(x0-x1);
    L1=(x-x0)/(x1-x0);
    y=y0*L0+y1*L1;
    

    多个点的线性插值代码

    time = [1 3 8 12 15 20 24];
    tem = [8 9 16 23 22 18 10];
    time_i = 1:0.01:24;
    tem_i = self_interp1(time,tem,time_i,'linear');
    plot(time,tem,'o',time_i,tem_i);
    
    %自己写一个interp1类似功能的接口
    %在这个接口中参数x需要从大到小排列,y随意
    function [yi]=self_interp1(x,y,xi,method)
    % 初始化yi,给它xi对应的列
    col_xi = size(xi,2);
    yi = zeros(1,col_xi);
    % 检测使用的插值方法 这里期望的是'linear'
    if strcmp(method,'linear')
        % 找到每个xi在x序列中的位置
        col_x = size(x,2);
        for i = 1:col_xi,
            for j = 1:col_x-1, 
                % 假如需要计算插值公式
                if x(j+1) > xi(i), 
                    yi(i) = y(j)+(y(j+1)-y(j))/(x(j+1)-x(j))*(xi(i)-x(j));
                    break;
                end
                % 假如插值处的数据已经测得了,就直接把值给它,节约计算资源
                if x(j) == xi(i),
                    yi(i) = y(j);
                    break;
                end
            end
            % 以上没有把最后一个数据点考虑进去,需要加上
            yi(col_xi) = y(col_x);
        end
    else
        error('插值方法请选择(linear)\n');
    end
    end

     抛物插值

    原理

    流程图

     代码

    X=[0.2 0.4 0.6];
    Y=[21 25 23];
    x0=X(1);
    x1=X(2);
    x2=X(3);
    y0=Y(1);
    y1=Y(2);
    y2=Y(3);
    x=0.7;
    
    L0=(x-x1)*(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2);
    L1=(x-x0)*(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2);
    L2=(x-x0)*(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1);
    
    y=y0*L0+y1*L1+y2*L2

     拉格朗日插值

    代码

    x=[0.2 0.4 0.6 0.8];
    y=[21 25 23 20];
    yh=lagrange(x,y,0.7)
    
    function yh=lagrange (x,y,xh)
        n = length(x);
        m = length(xh);
        yh = zeros(1,m); 
        c1 = ones(n-1,1);
        c2 = ones(1,m);
        for i=1:n
          xp = x([1:i-1 i+1:n]);
          yh = yh + y(i)*prod((c1*xh-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2));
        end
    end

    牛顿插值

    原理

     

    代码

    xi=[1 4 9];
    yi=[1 2 3];
    x=7;
    p= Newton_fun(x,xi,yi)
    
    
    function p= Newton_fun(x,xi,yi)
    n=length(xi);
    f=zeros(n,n);
    
    % 对差商表第一列赋值
    for k=1:n      
        f(k)=yi(k);
    end
    % 求差商表
    for i=2:n       % 差商表从0阶开始;但是矩阵是从1维开始存储!!!!!!
        for k=i:n
            f(k,i)=(f(k,i-1)-f(k-1,i-1))/(xi(k)-xi(k+1-i));  
        end
    end
    disp('差商表如下:');
    disp(f);
    
    %求插值多项式
    p=0;          
    for k=2:n
        t=1;
        for j=1:k-1
            t=t*(x-xi(j));
            disp(t)
        end
        p=f(k,k)*t+p;
        disp(p)
    end
    p=f(1,1)+p;
    
    end
    

    分段线性插值

    原理

     

    代码

    x = [1 3 8 12 15 20 24];
    y = [8 9 16 23 22 18 10];
    
    yy=fdxx(x,y,7)
    
    function yy=fdxx(x,y,xx)
        n=size(x,2);
        for i=1:n-1
            if x(i)<xx&&xx<x(i+1)
                L1=(xx-x(i+1))/(x(i)-x(i+1));
                L2=(xx-x(i))/(x(i+1)-x(i));
                yy=L1*y(i)+L2*y(i+1);
                break;
            elseif x(i)==xx
                 yy=y(i);      
            end
        end
        
    end

    分段抛物插值

    原理

    代码

    x = [1 3 8 12 15 20 24];
    y = [8 9 16 23 22 18 10];
    y=fenduanpaowu(x,y,7)
    
    function y=fenduanpaowu(xi,yi,x)
        n=size(xi,2);
        if x<xi(2)
            L1=(x-xi(1))*(x-xi(3))/(xi(1)-xi(2))/(xi(1)-xi(3));
            L2=(x-xi(1))*(x-xi(3))/(xi(2)-xi(1))/(xi(2)-xi(3));
            L3=(x-xi(1))*(x-xi(2))/(xi(3)-xi(1))/(xi(3)-xi(2));
            y=L1*yi(1)+L2*yi(2)+L3*yi(3);
        elseif x>xi(end-1)
            L1=(x-xi(end-1))*(x-xi(end))/(xi(end-2)-xi(end-1))/(xi(end-2)-xi(end));
            L2=(x-xi(end-2))*(x-xi(end))/(xi(end-1)-xi(end-2))/(xi(end-1)-xi(end));
            L3=(x-xi(end-2))*(x-xi(end-1))/(xi(end)-xi(end-2))/(xi(end)-xi(end-1));
            y=L1*yi(1)+L2*yi(2)+L3*yi(3);
       else
            for k=2:n-1
                if xi(k+1)>x  
                    if abs(x-xi(k))<abs(x-xi(k+1))
                        i=k-1;
                        
                    else
                        i=k;
                    end
                    L1=(x-xi(i+1))*(x-xi(i+2))/(xi(i)-xi(i+1))/(xi(i)-xi(i+2));
                    L2=(x-xi(i))*(x-xi(i+2))/(xi(i+1)-xi(i))/(xi(i+1)-xi(i+2));
                    L3=(x-xi(i))*(x-xi(i+1))/(xi(i+2)-xi(i))/(xi(i+2)-xi(i+1));
                    y=L1*yi(i)+L2*yi(i+1)+L3*yi(i+2);
                end
            end
       end
        
    end

    展开全文
  • 实验四用MATLAB实现拉格朗日插值、分段线性插值.pptx
  • matlab插值拉格朗日插值

    千次阅读 2022-02-04 20:36:33
    拉格朗日插值即对所要插值的函数进行拉格朗日多项式拟合 这是matlab插值系列的第二期,第一期:[数值分析拟合]Matlab三次样条插值拟合数据 (以后会有时间的时候再更新更多的插值方法) 这篇文章我推导过程参考过...

    拉格朗日插值即对所要插值的函数进行拉格朗日多项式拟合

    这是matlab插值系列的第二期,第一期:[数值分析拟合]Matlab三次样条插值拟合数据

    (以后会有时间的时候再更新更多的插值方法)

    这篇文章我推导过程参考过了一些其他文章,代码是自己写的,如有不对或者公式打错了欢迎批评指正

    首先,对于所需要插值的自变量x和所需插值的数据点y:

    一、我们先来了解它的插值原理:

            对于在一组数值散点中的任意一点进行插值,找到一个满足相应条件的n次多项式,我们希望能用所有点的函数值去表示它,并且每一点的函数值都与原来的函数值相符合。

            因此,设原数据的每一个点的函数值为y_i,为了组成插值所得到的y(x),前面配凑的系数是l_i,那么则有:

            记从0开始推导,则
            y(x) = l_0y_0+l_1y_1+l_2y_2+...+l_ny_n = \sum_{i=1}^n l_iy_i

            那么由两个点的插值开始,所得的应当是线性插值

    则有 \begin{Bmatrix} l_0(x_0)y_0 +l_1(x_0)y_1=y0\\ l_0(x_1)y_0+l_1(x_1)y_1=y1 \end{Bmatrix} 那么显然有\begin{Bmatrix} l_0(x_0)=l_1(x_1)=1\\ l_0(x_1)=l_1(x_0)=0 \end{Bmatrix}

    对于中间的每一个点,都应当有

    y(x) = y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) =\frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0 +\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1

    整理得到

    y(x) =\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0 +\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1

    那么从0开始,则其插值的系数为

    l_1 = \frac{x-x_1}{x_0-x_1},l_2 = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}, 有l_i(x_j) = \delta_{ij}=\begin{Bmatrix} 1 & i=j\\ 0&i\neq j \end{Bmatrix}

    这时,规律不够明显, 因此我们采用更多的点来进行相关的推导

    当点的个数为n+1时,为了保证l_i(x_j) = \delta_{ij}=\begin{Bmatrix} 1 & i=j\\ 0&i\neq j \end{Bmatrix}依然成立

    首先,为了保证下方条件,分子为

     (图片来自参考文章

    拉格朗日(Lagrange)插值多项式的基函数构造法(详细推导)

    此时,根据\delta_{ij} = 1,可以有n+1个方程,那么由于有n+1个c(c0,c1,c2....cn),则可通过解方程唯一确定对应的c0,解出c0后,即可确定

    l_0(x)= \prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j},y(x) = \sum_{i=0}^{n}l_iy_i

    通过以上的公式推导,下面使用MATLAB来实现上述的计算内容

    先加上我在里面调用的len.m

    %返回一维数组长度(行数或列数其中大的一个,必须是一位数组)
    function [length]=len(A)
    
        s=size(A);
        if s(2)==1
            length=s(1); %取行
        end
        if s(1)==1
            length=s(2);
        end
        if s(1)~=1 && s(2)~=1
            disp('必须是单行向量或单列向量')
            return
        end
                
    end

    编写函数     Lagrange.m计算拉格朗日插值:

    其中许多的注释我用英语写的看着别嫌麻烦哈,这段时间为了学英语我也在天天头皮发麻)   

    % *** Lagrange  interpolation ***
    function L = Lagrange(x,y,x_2)
    % x --origional x vector
    % y --origional y vector need to be interpolated
    % x_2 --the vector x that you want to interpolate to 
    % author:FriedParrot   --2022-2-4
    if len(x) ~= len(y)
        error('The length of x and y should be correspond');
    end
    
    xi = x_2;  %  generate the vector that need to be interpolated
    % define the initial vectors
    L = zeros(1,len(xi));
    
    for i = 1:1:len(xi)  % This is the index of the xi(to be interpolated)
        l = ones(1,len(x));  % it is used every time
        for k = 1:1:len(x)
            for j= 1:1:len(x)
                if j ~= k  % similar to prod but the denominator shouldn't be zero
                    l(k) = l(k) * ( xi(i)-x(j)) / (x(k)-x(j));
                    % the index should be k --the first index of the iteration
                end
            end % cacultte the l_j
            L(i) = L(i) + l(k)*y(k);  % just for every single loop of s
        end
    end
    
    if nargout == 0
        figure('name','Lagrange Interpolation');
        plot(xi,L);
    end
    
    end

    下面加上测试代码以及效果:

    (代码使用外插值,即公式中的范围比数据的范围更广)

    x = [1,2,4,6,8,9];
    y =  cos(x);
    x_2 = 0:0.05:10;
    Lagrange(x,y,x_2);

    插值效果: 

     

    参考文章:

    拉格朗日(Lagrange)插值多项式的基函数构造法(详细推导)

    mathworld里关于Lagrange插值的简介(用翻墙软件可以进)

    《专题一:插值法(1)拉格朗日插值法》

    展开全文
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    目录

    前言

    一、拉格朗日(Lagrange)插值是什么?

    二、matlab实现代码

    1.线性插值:

    2.抛物线插值:

    3.拉格朗日(Lagrange)插值

    总结:


    前言

    本篇内容为个人所学知识分享


    一、拉格朗日(Lagrange)插值是什么?

    对于构造通过n+1个不同的节点x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_n的n次插值多项式L_n(x),假定它满足条件

    L_n(x_j)=y_j,j=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n.

    为了构造L_n(x),我们先定义n次插值基函数。

    若n次多项式l_j(x)(j=0,1,...,n)在n+1个节点x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_n上满足条件

    l_j(x_k)=\left\{\begin{matrix} 1,k=j, & & \\ 0,k\neq j, & & \end{matrix}\right.j,k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n,

    则称这n+1个n次多项式l_0(x),l_1(x),\cdot \cdot \cdot ,l_n(x)为节点x_0,x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n上的n次插值基函数

    l_k(x)=\frac{(x-x_0)\cdot \cdot \cdot(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdot \cdot \cdot (x-x_n)}{(x_k-x_0)\cdot \cdot \cdot(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdot \cdot \cdot (x_k-x_n)},k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n.

    使得插值多项式可以表示为

    L_n(x)=\sum_{k=0}^{n}y_kl_k(x),

    l_k(x)的定义,知

    L_n(x_j)=\sum_{k=0}^{n}y_kl_k(x_j)=y_j,j=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n.

    形如上式的插值多项式L_n(x)便称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。线性插值和抛物线插值只是拉格朗日插值的特殊情况。

    拉格朗日(Lagrange)插值多项式的另外一种表示形式如下:

    L_n(x)=\sum_{k=0}^{n}y_k\frac{w_{n+1}(x)}{(x-x_k)w'_{n+1}(x_k)}.

    其中

    w_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdot \cdot \cdot (x-x_n),

    w'_{n+1}(x_k)=(x_k-x_0)\cdot \cdot \cdot (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdot \cdot \cdot (x_k-x_n).


    二、matlab实现代码

    1.线性插值:

    即n=1的时候,一次的插值函数,即已知条件为两个插值节点及其值

    function y0=Linear_interpolation(x,y,x0)
    %功能:线性插值
    %输入:x为插值节点,y为插值节点对应的值,x0为计算点
    %输出:x0处的值
    y0=y(1)+(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))*(x0-x(1));%点斜式
    y0=y(1)*(x(2)-x0)/(x(2)-x(1))+y(2)*(x0-x(1))/(x(2)-x(1));%两点式
    end

    2.抛物线插值:

    即n=2的时候,二次的插值函数,即已知条件为三个插值节点及其值

    function y0=Parabolic_interpolation(x,y,x0)
    %功能:抛物线插值
    %输入:x为插值节点,y为插值节点对应的值,x0为计算点
    %输出:x0处的值
    y0=y(1)*(x0-x(2))*(x-x(3))/(x(1)-x(2))/(x(1)-x(3))+y(2)*(x0-x(1))*(x0-x(3))...
        /(x(2)-x(1))/(x(2)-x(3))+y(3)*(x0-x(1))*(x0-x(2))/(x(3)-x(1))/(x(3)-x(2));
    end

    3.拉格朗日(Lagrange)插值:

    (一般情况)即已知条件为一串插值节点及其值

    function y0=Lagrange_interpolation(x,y,x0)
    %功能:拉格朗日插值多项式求解
    %输入:x为插值节点,y为插值节点对应的值,x0为计算点
    %输出:x0处的值
    y0=0;
    for m=length(x)%循环作用:不同项作和
        X=1;
        for n=length(x)%循环作用:构成每一项的插值基函数的形式
            if x(m)~=x(n)%判断作用:排除分子为零的循环
               X=X.*(x0-x(n))./(x(m)-x(n));
            else
                continue;
            end
        end
        y0=y(m)*X./(x0-x(m))+y0;
    end
    end

    总结

    拉格朗日插值的插值对象为:一串不同的插值节点,且知道插值节点及其值。

    代码部分由于线性插值和抛物线插值是拉格朗日的特殊情况,所以小编在编写的时候,为了让看起来没有重复,选择了直接按照运算形式编写代码。

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