拓扑基本群

拓扑基本群

2019-09-23 08:31:35

代数拓扑笔记-圆的基本群.pdf

转载于:https://www.cnblogs.com/zhouqimath/p/11542203.html

更多相关内容
《拓扑群引论（第二版）》作者: 黎景辉 / 冯绪宁出版年: 2014年
2019-05-16 09:53:48

黎景辉、冯绪宁编著的《拓扑群引论(第2版)》介绍了拓扑群的基本概念、测度与积分、拓扑群(特别是紧、局部紧的拓扑群)的表示，同时讨论齐性空间、群代数和K理论的一些相关结果。内容由浅入深，直至近代的重要成果。...

收起
高等学校教材代数拓扑基础讲义 [陈吉象编] 2014年版
2019-05-14 06:16:41

全书内容包括：必要的点集拓扑知识，映射的同伦和基本群，单纯复形及其单纯同调群，拓扑空间的奇异同调群，同调群的一些应用，最后有一个关于集合、群和交换群、线性欧氏空间的附录。内容基本上是自包含的。《代数...

收起
点集拓扑讲义
2018-06-04 21:08:06

《点集拓扑讲义(第四版)》讲述点集...最后一章介绍基本群以及它的一些应用，如Jordan分割定理等。本次重版，对全书内容作了适当的增删和整理。《点集拓扑讲义(第四版)》可作为数学类专业拓扑学课程的教材或教学参考书。

收起
《几何与拓扑的概念导引》作者: 古志鸣出版年: 2011年
2019-05-16 17:50:00

　《几何与拓扑的概念导引：现代数学基础》致力于对几何与拓扑的基本概念的解释及基本理论的综述，内容涉及古典几何、微分流形与李群、微分几何、拓扑学、代数曲线。《几何与拓扑的概念导引：现代数学基础》叙述较为...

收起
三角几何的基本群 (1999年)
2021-05-12 05:33:57

利用Building理论获得一种计算某些三角几何的基本群的新的方法。这种方法能够容易地计算出无限多有限三角几何的基拓扑基本群。

收起
拓扑--代数拓扑1
千次阅读 2021-01-28 22:40:28

基础范畴论 1. 范畴：一个范畴C，包括对象类Ob(C)，态射类，表示Ob(C)中的所有对象间的态射构成的类，满足（1）态射复合性：是复合，记作，简记为fg ...Top：拓扑空间与连续映射； Man：拓...

基本群

（1）群：结合律、单位元、逆元

幺半群（Monoid）：结合律、单位元e，不要求逆元

Abel群：满足交换律的群，也称交换群

（2）群同态： $f: (G, \ast) \to (H,\cdot)$ ，满足 $f(x\ast y)=fx \cdot fy, \, f \,0_{G}=0_{H}$ ，这里 f 称为底层函数。是双射的群同态称为群同构，源群和目标群都是同一个群时，称为自同构。群同构关系是群之间的等价关系

同态的像： $imf=f(G)$ ，是H的正规子群；

同态的核：单位元的原像， $kerf=f^{-1}(0)$ ，是G的子群；

同态的上核： $cokerf=H/f(G)$ ，是商群

（3）同伦：设 $f, g: X \to Y$ 是两个连续映射， $I=[0,1]$ 是单位区间，如果存在一个连续映射 $F: X \times I \to Y$ ，满足对所有x都有 $F(x,0)=f(x), \, F(x,1)=g(x)$ ，则映射F称为 f 和 g 之间的一个同伦，记作 $f \simeq g$ 。如果 g 是常值映射，则称 f 是零伦的。直观地说，同伦就是连续的形变；

道路同伦： $f, g: I \to X$ 是两条道路，都以 $x_{0}$ 为起点，以 $x_{1}$ 为终点，若存在连续映射 $F: I \times I \to X$ ，使得对所有 $s \in I, t \in I$ ，都有 $F(s,0)=f(s), \, F(s,1)=g(s)$ 和 $F(0,t)=x_{0}, F(1,t)=x_{1}$ ，则称 f 和 g 是道路同伦的，记作 $f \simeq_{p} g$ ；

同伦等价：两个拓扑空间之间存在映射 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to X$ 满足 $f \circ g\simeq id_{Y}, \, g \circ f \simeq id_{X}$ ，则称拓扑空间X和Y同伦等价，或者说它们有相同的伦型，记作 $f: X\simeq Y$ 。也称f和g同伦等价，g是f的同伦逆。注意若把条件改为相等 $f \circ g= id_{Y}, \, g \circ f = id_{X}$ 则为同胚

（4）道路乘积： $f: [0,1] \to X$ 是从点 $x_{0}$ 到 $x_{1}$ 的道路， $g: [0,1] \to X$ 是从点 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 的道路，定义f与g的乘积 $f \ast g$ 为道路h

$h(s)=\left\{\begin{matrix} f(2s), & s \in [0, 1/2] \\ g(2s-1), & s \in [1/2,1] \end{matrix}\right.$

根据粘合引理，h是连续的，它是从点 $x_{0}$ 到 $x_{2}$ 的一条道路，其前半段为f，后半段为g。它们的同伦类的乘积为 $[f] \ast [g]=[f \ast g]$ 。

该乘积运算 $\ast$ 满足结合律、单位元为常值道路 $e_{x}: I \to \left \{ x \right \}$ 即将I变为单点x、f的逆元为 $\bar{f}(s)=f(1-s)$ ，该运算 $\ast$ 称为广群。但不是群，因为 $[f] \ast [g]$ 不一定有定义，当f的终点与g的起点重合 $f(1)=g(0)$ 时， $[f] \ast [g]$ 则有定义，则就是群。

（5）基本群（一维同伦群）：设点 $x_{0}$ 是空间X中的一点，所有以 $x_{0}$ 为基点的回路（即起点和终点都是 $x_{0}$ 的道路）的道路同伦类组成的集合，对道路乘积运算 $\ast$ 会构成一个群，称为空间X关于基点 $x_{0}$ 的基本群，记作 $\pi_{1}(X, x_{0})$

n维同伦群：道路映射的定义改为用n维立方体 $I^{n}$ ，而不是单位区间I，基点与立方体边界对应，即带基点的道路写成 $\alpha: (I^{n}, \partial I^{n}) \to (X, x_{0})$ ，与它道路同伦的等价类全体记为 $\pi_{n}(X, x_{0})$ ，这就n维同伦群

一维同伦群不一定是Abel群，但高维同伦群一定是Abel群。同伦群的计算一般都很困难

（6）单连通：如果X是道路连通空间，并且对某一点 $x_{0} \in X$ ，其基本群为平凡群即 $\pi_{1}(X, x_{0})=\left \{ e \right \}$ ，则称X是单连通的

（7）连续映射的诱导同态：对连续映射 $f: X \to Y$ ，和基点 $y_{0}=f(x_{0})$ ，定义基本群之间的映射 $f_{\ast}: \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y, y_{0})$ 为 $\forall [\alpha] \in \pi_{1}(X,x_{0}) \Rightarrow f_{\ast}([\alpha])=[f \circ \alpha] \in \pi_{1}(Y,y_{0})$ ，这个映射 $f_{\ast}$ 是群同态，称为 f 关于基点 $x_{0}$ 的诱导同态。诱导同态具有函子性质，即拓扑空间范畴与基本群范畴之间存在保持结构的函子

（8）覆叠空间：设 $p: E \to X$ 是拓扑空间之间的连续满射，如果X中每一个点 x 处都存在领域U被p均匀地覆盖，也即 $p^{-1}(U)=\bigcup_{i}V_{i}$ ，其中 $\left \{ V_{i} \right \}$ 是E中互不相交的开集族，并且p在 $V_{i}$ 上的限制 $p|_{V_{i}}: V_{i} \to X$ 是同胚，那么称E是X的覆叠空间，p称为覆叠映射，p也称为是E和X之间的一个局部同胚。 $\left \{ V_{i} \right \}$ 称为 $p^{-1}(U)$ 的一个片状分拆。覆叠空间一种特殊的纤维丛

对任意点 $x \in X$ ， $p^{-1}(x)$ 是E中的离散点集，称为点x上的纤维丛。如果 $p^{-1}(x)$ 恰有k个元素，则E称为X的k-重覆叠空间；

覆叠空间的定义表明p是局部同胚的，这说明E和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果E是连通的且X是单连通的，则在整体上也成立，并且覆叠映射p变为同胚，纤维上的同胚；

具体表现：如果E是道路连通的，则X也是道路连通的；如果X是Hausdorff、正则、完全正则或者局部紧致的Hausdorff空间，则E也有同样的拓扑性质；如果X是紧致的，并且对任意点 $x \in X$ ， $p^{-1}(x)$ 是有限的，则E也是紧致的

（9）映射提升：设 $p: E \to B$ 是映射， $f: X \to B$ 是连续映射，若存在映射 $\tilde{f}: X \to E$ 满足 $p \circ \tilde{f}=f$ ，即下图可交换，则称 $\tilde{f}$ 为f 的一个提升

（10）覆叠映射的提升对应：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，定义映射 $\phi: \pi_{1}(B, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0})$ ，把 $\phi([f])$ 映为它的提升的终点即 $\tilde{f}(1)$ ，映射 $\phi$ 称为由覆叠映射p诱导的提升对应

（11）奇映射（保持对径点的映射）：点x的对径点为-x，映射 $h:S^{n} \to S^{m}$ 称为奇映射或保持对径点的映射，如果对所有 $x \in S^{n}$ ，有 $h(-x)=-h(x)$

（12）收缩核：是具有特殊性质的子空间。设X是拓扑空间，A是X子空间，若存在连续映射 $r: X \to A$ 使得当 $x \in A$ 时，r(x)=x，则称A为X的收缩核，称映射 r 为X到A的一个收缩；

形变收缩核：是一类特殊的收缩核。若存在收缩映射 $r: X \to A$ 和包含映射 $i: A \to X$ （即对任意 $a \in A$ 有 i(a)=a）使得 $i \circ r \simeq id_{X}$ ，则称A为X的形变收缩核，同伦映射 $H: X \times I \to A$ 称为X到A的形变收缩，它表示X可以连续地形变成A；

强形变收缩核：若同伦映射 $H: X \times I \to A$ 是X到A的形变收缩，若对任意 $x \in A, t \in I$ ，有H(x, t)=x，则称A为X的强形变收缩核。直观地说，当形变过程中A的点都不变动时，A就是X的强形变收缩核；

可缩空间：与独点空间同伦等价的空间，即到自身的恒等映射是零伦的

（13）锥形：设X是拓扑空间，在积空间 $X \times I$ 中定义关系 ~ 为， $X \times \left \{ 1 \right \}$ 的点彼此等价，而 $X \times (I-\left \{ 1 \right \})$ 中的点只与自身等价，~ 是等价关系，由这一等价关系定义的商空间称为锥形，记作 $CX=X \times I / \sim$ 。直观地，CX是将 $X \times I$ 中所有形如(x,1)的点捏成同一点得到的，这个点称为锥形的顶点。 $(x,t) \in X \times I$ 在锥形CX中的像记作 [x,t]

（14）曲面：2维流形。即具有可数基的Hausdorff空间，它的每一点有一个邻域同胚于 $R^{2}$ 中的某一个开子集

（15）射影空间 $P^{n}$ ：是n维球面 $S^{n}$ 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间，商映射为 $p: S^{n} \to P^{n}$ 。特别地，n=2 时表示射影平面 $P^{2}$ 。注意射影平面不能嵌入到 $R^{3}$ 中

主要定理：

（1）一个群同态 $f: G \to H$ 是一个同构，当且仅它有一个双边逆元，即存在一个同构 $g: H \to G$ ，使得 $g \circ f = Id_{G}, \, f\circ g=Id_{H}$

（2）同伦的性质：

映射同伦、道路同伦、拓扑空间同伦等价都是等价关系；道路 f 的同伦等价类记作 $[f]$ ；

若A是欧氏空间 $R^{n}$ 中的一个凸子空间，则A中任何两条道路都是同伦的；

直线同伦：从任一拓扑空间到欧氏空间的凸子集的两个映射 $f, g: X \to R^{n}$ 是同伦的。实际上 $F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$ 就是f与g的一个同伦，这也称为直线同伦。当f和g是道路时，F也是一个道路同伦；

在单连通空间中，任何两条有公共起点和终点的道路都是道路同伦的

（3）凸集的基本群： $\pi_{1}(R^{n}, x_{0})$ 是平凡群（即一个单位元构成的群 $\left \{ e \right \}$ ）；如果X是 $R^{n}$ 中的凸集，那么 $\pi_{1}(X, x_{0})$ 也是平凡群。特别地，单位球 $B^{n}=\left \{ x \,|\, x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}<1 \right \}$ 的基本群是平凡群；

（4）基本群同构的条件：若空间X是道路连通的，对X中任意两点 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ ，基本群 $\pi_{1}(X, x_{0})$ 同构于与 $\pi_{1}(X, x_{1})$ ，可见这时所有基本群 $\pi_{1}(X, x)$ 都是同构的；

注意这些群不能在不涉及基点的情况下等同起来，因为从 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 的不同道路可以给出两个群之间不同的同构。一般地，基本群 $\pi_{1}(X, x_{0})$ 与 $\pi_{1}(X, x_{1})$ 的同构与道路选择无关，当且仅当基本群是交换群

（5）覆叠映射性质：

如果 $p: E \to X$ 是覆叠映射，则p是局部同胚，即E中每个点处都有一个邻域被p同胚地映射到X的一个开子集上，但反过不一定成立；

如果 $p: E \to X$ 是覆叠映射， $X_{0}$ 是X的子空间， $E_{0}=p^{-1}(X_{0})$ ，则p的限制 $p_{0}: E_{0} \to X_{0}$ 也是覆叠映射；

两覆叠空间的积空间也是覆叠空间，即积空间映射 $p_{1} \times p_{2}: E_{1} \times E_{2} \to X_{1} \times X_{2}$ 是覆叠映射；

圆周 $S^{1}$ （1维球面）：一维实数轴是圆周的覆叠空间，映射 $p: R \to S^{1}$ 定义为 $p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x)$ ，它称为标准覆叠映射；

环面 $T=S^{1} \times S^{1}$ ：2维平面是环面的覆叠空间，用上述圆周的覆叠映射p，定义积映射 $p \times p: R^{2} \to S^{1} \times S^{1}$ 为 $(x,y) \to (cos2\pi x, sin2\pi x) \times (cos2\pi y, sin2\pi y)$ ，它就是一个环面 $S^{1} \times S^{1}$ 的覆叠映射。注意 $S^{1} \times S^{1}$ 是 $R^{4}$ 的子空间，难于形象化，但它与 $R^{3}$ 中轮胎环面是同胚的，因而称为环面

8字形空间：设 $b_{0}$ 为 $S^{1}$ 中的点，则环面的子空间 $B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1})$ 是一个在一点处相交的两个圆周的并，称为8字形空间。无限网络 $E_{0}=(R \times Z) \cup (Z \times R)$ 就是它的一个覆叠空间，覆叠映射正好为 $p \times p$ 的限制 $p \times p: E_{0} \to B_{0}$

（6）道路提升引理：如果 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，则B中任何一条以 $b_{0}$ 为起点的道路 $f: [0,1] \to B$ 在E中都有唯一的一条以 $e_{0}$ 为起点的道路 $\tilde{f}: [0,1] \to E$ 作为它的提升。B中任何一个道路同伦映射 $F: I^{2} \to B, \, F(0,0)=b_{0}$ 在E中都有唯一的一个道路同伦映射 $\tilde{F}: I^{2} \to E, \, \tilde{F}(0,0)=e_{0}$ 是 F 的提升。若B中的两条道路是道路同伦的，则它们在E的提升也是道路同伦的

（7）提升对应定理：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，如果E是道路连通的，则p的提升对应 $\phi: \pi_{1}(B, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0})$ 是满射，如果E是单连通的，则 $\phi$ 是双射

（8）广义提升对应定理：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，则p的诱导同态 $p_{\ast}: \pi_{1}(E,e_{0}) \to \pi_{1}(B, b_{0})$ 是单同态；同态的像为 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 的子群，记作 $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ ，则p的提升对应诱导的商映射 $\Phi: \pi_{1}(B, b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(b_{0})$ 是单射（即 $H_{0}$ 的右陪集构成的族到 $p^{-1}(b_{0})$ 的映射），并且当E道路连通时， $\Phi$ 是双射；如果 f 是B中以 $b_{0}$ 为基点的回路，则 $[f] \in H_{0}$ 当且仅当 f 的提升为E中一条以 $e_{0}$ 为基点的回路

（9）圆周的基本群： $\pi_{1}(S^{1}, x_{0}) \cong Z$ ，即单位圆周 $S^{1}$ 的基本群同构于整数加法群，因而也是无限阶循环群（注意群的所有元素可由一个元素来生成时称为循环群。无限阶循环群同构于整数加法群，k阶循环群同构于整数模k同余类加法群 Z/k）

证明思路：利用覆叠映射 $p: R \to S^{1}$ 和提升对应是双射的特征

（10）零伦的充要条件：映射 $f: X \to Y$ 是零伦当且仅当f可以扩张到锥形CX上；连续映射 $f: S^{n} \to Y$ 是零伦当且仅当它可扩张到球 $B^{n+1}$ 上

（11）非收缩定理：对每一个n，不存在收缩映射 $r: B^{n+1} \to S^{n}$

证明思路：对2维的情况可用基本群来证，更高维的情况需要用到同调群

推论：内射 $j: S^{n} \to R^{n+1}-0$ 不是零伦的，恒等映射 $i: S^{n} \to S^{n}$ 也不是零伦的

（12） $B^{n}$ 上每个非蜕化的向量场 $v(x)=\sum_{i=1}^{n}v_{i}(x)\vec{e_{i}}, \, x \in B^{n}$ 必定在 $S^{n-1}$ 的某一点处直指内向（即指向球心方向），也在 $S^{n-1}$ 的某一点处直指外向（即球心方向相反的方向）

（13）Brouwer不动点定理：每一个连续映射 $f: B^{n} \to B^{n}$ 至少有一个不动点。可推广到凸紧集上，即每个欧氏空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点；

Schauder不动点定理：这是更一般的推广。每个巴拿赫空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点

（14）Frobenius定理（经典形式）：每一个 $n \times n$ 阶正实数矩阵必有正的特征根

（15）如果 $h: S^{n} \to S^{n}$ 是零伦的，则 h 必有一个不动点，同时h也必将某一个点 x 映为它的对径点 -x

（16）代数基本定理：实系数或复系数的 n>0 次方程 $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_{1}x+a_{0}=0$ 至少有一个（实的或复的）根

证明思路：

第一步，考虑由 $f(z)=z^{n}$ 定义的映射 $f:S^{1} \to S^{1}$ ，其中z为复数。证明它的诱导同态 $f_{\ast}$ 是一个单射；

第二步，定义映射 $g: S^{1} \to R^{2}-0$ 为 $g(z)=z^{n}$ ，证明g不是零伦的；

第三步，证明特殊情形，若方程满足条件 $\left | a_{n-1} \right |+...+\left | a_{1} \right |+\left | a_{0} \right |<1$ ，则在单位球体 $B^{2}$ 中有一个根；

第四步，证明一般情形

（17）不存在连续的奇映射 $g: S^{n+1} \to S^{n}$ ，即存在奇映射 $S^{m} \to S^{n}$ 的必要条件是 $m \leq n$

（18）Borsuk-Ulam定理：若 $f: S^{n} \to R^{n}$ 是连续映射，则存在一点 $x \in S^{n}$ 使得 $f(x)=f(-x)$

推论： $S^{n}$ 不能嵌入到 $R^{n}$ 中， $R^{n}$ 的任何子集都不与 $S^{n}$ 同胚；

推论：如果用 n+1 个开集来覆盖球面 $S^{ n}$ ，那么其中一定有一个开集含有一对对径点（与博苏克-乌拉姆定理等价）；

气象定理：任意时刻地球表面总有一对对径点处的温度和气压分别相等，这里假设温度和气压的变化是连续的。这是上述定理在n=2的情形。

（19）Stone-Tukey定理（火腿三明治定理）：如果 $A_{1},...,A_{n}$ 是 $R^{n}$ 中的有界可测集，则在 $R^{n}$ 中存在一个 n-1 维超平面平分这些集合中的每一个，即每个集合都被平分成测度相等的两个子集。特别地，对 $R^{2}$ 中两个有界多边形区域，在 $R^{2}$ 中必存在一条直线平分这两个区域的每一个

推广（Gromov）：一个n元不超过d次的多项式由 $\binom{n+d}{d}$ 个参数决定。因此给定 $\binom{n+d}{d}-1$ 个可测开集，存在某个由不超过d次的多项式定义的超曲面将这些集合一一平分。

（20）形变收缩的性质：

如果A是拓扑空间X的形变收缩核，则A与X同伦等价；

空间X是可缩空间的充要条件是X的任意一点是它的形变收缩核；由此可缩空间都是道路连通的；

任何凸集都是可缩空间；

锥形的顶点是它的强形变收缩核，从而锥形是可缩的；

若A是X的一个形变收缩核， $x_{0} \in A$ ，则内射 $j: (A, x_{0}) \to (X, x_{0})$ 诱导出基本群之间的同构，即 $j_{\ast}: \pi_{1}(A,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0})$ 是群同构。特别地，内射 $j: S^{n} \to R^{n+1}-0$ 诱导出基本群之间的同构；

8字形空间 $B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1})$ ，以及 $\theta$ 空间 $\theta=S^{1}\cup (0 \times [-1,1])$ ，都是穿双孔平面 $R^{2}-p-q$ 的形变收缩核，因而它们有相同的伦型，但是其中一个不同胚于另一个的形收缩核，这说明了同伦等价与同胚的区别；

（21）一些拓扑不变量：

基本群是同伦不变量：如果两个拓扑空间之间的映射 $f: X \to Y$ 是同伦等价，那么诱导同态 $f_{\ast}: \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y, f(x_{0}))$ 是群同构。同伦不变量当然也是同胚不变量；

连通分支个数是同伦不变量：同伦等价的拓扑空间的连通分支个数相同，即连通分支个数是拓扑空间的同伦不变量

（22）Fuchs定理：两个空间X和Y同伦等价当且仅当存在一个空间Z和两个嵌入映射 $h: X \to Z, \, k: Y \to Z$ ，使得h(X), k(Y) 都是Z的形变收缩核。也就是当且仅当X,Y分别同胚于同一个空间Z的两个形变收缩核

（23）Van Kampen定理的特殊情形：若X是两个开集的并即 $X=U\cup V$ ， $U \cap V$ 是道路连通的， $x_{0} \in U\cap V$ ，映射 $i: U \to X, \, j: V \to X$ 都是内射，则诱导同态 $i_{\ast}: \pi_{1}(U,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0})$ 和 $j_{\ast}: \pi_{1}(V,x_{0}) \to \pi_{1}(X, x_{0})$ 的像生成 $\pi_{1}(X,x_{0})$

推论：若X是两个开集的并即 $X=U\cup V$ ， $U \cap V$ 非空且是道路连通的，如果U和V都是单连通的，则X也是单连通的

（24）球极投影：穿孔球面 $S^{n}-p$ 同胚于 $R^{n}$ 。设 $p=(0,...,0,1) \in R^{n+1}$ 为 $S^{n}$ 的北极，定义映射 $f: (S^{n}-p) \to R^{n}$ 为 $f(x)=f(x_{1},...,x_{n+1})=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_{1},...,x_{n+1})$ ，则 f 就是一个同胚，f 称为球极投影，北极p称为投影中心。连接 $S^{n}-p$ 上的点x与北极点p的直线与n维平面 $R^{n} \times 0 \subset R^{n+1}$ 交于点 $f(x) \times 0$ ，从而把点x一一地映为 $f(x) \times 0$

以 $R^{3}$ 中的2维球面 $S^{2}$ 到平面的球极投影为例。设球的半径为r，过球心O且与ON（N为北极点，是投影中心）垂直的平面α作为投影平面，过球面上的任意一点P和极N的直线与投影平面α的交点为P′，则点P到点P′的映射就称为球极投影。球极投影在现代几何与复分析中起到非常重要的作用。

球极投影的性质：

反演性：球极投影是一种特殊的双曲型反演，反演的极是投影中心N，设点S与S′也是球极投影的对应点，则有 $NP\cdot NP^{'}=NS\cdot NS^{'}=2r^{2}$ ，反演球的球心为N，半径为 $\sqrt{2} \, r$ ；

保圆性：球面上不过投影中心的圆与投影平面上一个圆相对应，过投影中心的圆与投影平面上一条直线相对应；

保角性：投影的时候，球面上两个弧线之间的夹角保持不变。

（25）球面的基本群：当 $n \geq 2$ 时，球面 $S^{n}$ 是单连通的，因而其基本群是平凡群

（26）当 $m\neq n$ 时， $R^{m}$ 与 $R^{n}$ 不同胚

（27）乘积空间的基本群： $\pi_{1}(X \times Y, x_{0} \times y_{0}) \cong \pi_{1}(X,x_{0}) \times \pi_{1}(Y,y_{0})$

（28）某些曲面的基本群：

环面 $T=S^{1} \times S^{1}$ ： $\pi_{1}(S^{1} \times S^{1}, x_{0}) \cong Z \times Z$ ，它是秩为2的自由Abel群，由两个生成元 $\alpha, \beta$ 及其单一关系 $\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ 组成的表示；

射影空间 $P^{n}$ ：射影空间 $P^{n}$ 是紧致的，并且商映射 $p: S^{n} \to P^{n}$ 是覆叠映射。由 $S^{n}$ 的单连通性可知 $\phi: \pi_{1}(P^{n}, b_{0}) \to p^{-1}(b_{0})$ 是双射， $p^{-1}(b_{0})$ 是二元素集，因而基本群 $\pi_{1}(P^{n}, x)$ 是2阶群，它是整数模2同余类的加法群 Z/2 （注意素数阶群一定是循环群）；

8字形空间 $B_{0}=(S^{1} \times b_{0}) \cup (b_{0} \times S^{1})$ ：基本群 $\pi_{1}(B_{0}, x)$ 是由两个生成元生成的自由群，它是非交换群。注意8字形空间是环面的子空间；

双环面 $T^{2}=T \sharp T$ ：基本群 $\pi_{1}(T^{2}, x)$ 是非交换群，注意8字形空间是双环面的一个形变收缩核

（29）2维球面、环面、射影平面、双环面从拓扑上看都是不同的，即它们互不同胚

平面分割定理

（1）连通空间的分割：设X是连通空间， $A\subset X$ ，如果 X-A 是不连通的，则称A分割X。如果 X-A 有n个连通分支，称A将X分割成n个分支

（2）弧：同胚于单位区间 [0,1] 的空间A。A中的两个点p和q称为A的端点，如果p, q使得A-p和A-q都是连通的。A中的其他点称为A的内点

简单闭曲线：同胚于单位圆周 $S^{1}$ 的空间

（3）（有限）线性图：一个Hausdorff空间G，可以表示成有限多段弧的并，其中每对弧最多交于一个公共端点。这些弧称为G的边，这些弧的端点称为G的顶点。G的每条边因为是紧致的，所以在G中是闭的。G的拓扑维数为1

（4）完全图：每对互异顶点都一条边连接的线性图。n个顶点的完全图记作 $G_{n}$

（5）气水电图：有6个顶点的特殊二分图。顶点集分割成两个子集A, B，它们各有3个顶点，A中的每个顶点与B中所有顶点都有边连接

（6）环绕数：设 $f: [0,1] \to R^{2}$ 是 $R^{2}$ 中的回路，点a不是 f 的像点， $p: R \to S^{1}$ 是标准覆叠映射 $p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x)$ ，定义道路 $g: [0,1] \to S^{1}$ 为

$g(s)=\frac{f(s)-a}{\left \| f(s)-a \right \|}$

则 g 是 $S^{1}$ 中的回路，这样它在 R 中的道路提升的两端之差 $\tilde{g}(1)-\tilde{g}(0)$ 是整数，这个整数称为f关于点a的环绕数，记为 n(f, a)

（7）自由同伦：若连续映射 $F: I \times I \to X$ 对任意的 t 有 F(0, t)=F(1, t)，那么对每一个 t ，映射 $f_{t}(s)=F(s,t)$ 是X中的回路，映射 f 称为 $f_{0}, f_{1}$ 之间的一个自由同伦。自由同伦是回路之间的同伦映射，在同伦的形变过程中回路的基点允许移动

（8）简单回路：若 f 是X中的回路，并且 f(s)=f(t) 当且仅当 s=t 或 s, t中一个为0另一个为1，则称 f 是简单回路。如果 f 是一条简单回路，则它的像集是X中一条简单闭曲线

（9）逆时针回路/顺时针回路：对 $R^{2}$ 中的简单回路 f，如果对 $R^{2}-f(I)$ 的有界分支中的任意一点 a 有 n(f, a) = +1，则称 f 为逆时针回路；如果 n(f, a) = -1 则称 f 为顺时针回路。可见标准回路 $p(x)=(cos2\pi x, sin2\pi x)$ 是逆时针回路

主要定理：

（1）零伦引理：设紧致空间A到穿双孔球面的连续映射为 $f: A \to R^{2}-a-b$ ，如果点a和b属于 $S^{2}-f(A)$ 的同一分支，那么 f 是零伦的

（2）同伦扩张引理：设X的闭子空间A到 $R^{n}$ 的开子空间Y的连续映射为 $f: A \to Y$ ，且 $X \times I$ 是正规的，如果 f 是零伦的，则 f 可扩张为一个连续映射 $g: X \to Y$ ，并且 g 也是零伦的

（3）Borsuk引理：设紧致空间A到穿双孔球面的映射 $f: A \to R^{n}-a-b$ 是一个连续单射，如果 f 是零伦的，则点a和b属于 $S^{n}-f(A)$ 的同一分支上

证明思路：可以用非收缩定理来证

（4）Jordan分割定理： $S^{n}$ 中任意同胚于 $S^{n-1}$ 的子空间C都会分割 $S^{n}$ 。特别地， $S^{2}$ 中一条简单闭曲线分割 $S^{2}$ 。（推广：如果 $S^{2}$ 的两个连通闭子集 $A_{1}, \, A_{2}$ 只交于两点，则它们的并 $C=A_{1} \cup A_{2}$ 分割 $S^{2}$ ）

（5）不分割定理： $S^{n}$ 中的任意紧致可缩子空间都不会分割 $S^{n}$ 。特别地， $S^{n}$ 中任意同胚于单位区间[0,1]或某一个球 $B^{m}$ 的子空间A都不会分割 $S^{n}$ 。（推广：如果 $S^{2}$ 的两个闭子集 $D_{1}, \, D_{2}$ 都不分割 $S^{2}$ ，并且 $S^{2}-(D_{1} \cap D_{2})$ 是单连通的，则它们的并 $C=D_{1} \cup D_{2}$ 不分割 $S^{2}$ ）

证明思路：2维的情况可用基本群和覆叠映射来证，高维的情况用同调群来证

（6）Jordan曲线定理： $S^{n}$ 中任意同胚于 $S^{n-1}$ 的子空间C都会分割 $S^{n}$ 为两个分支 $W_{1}, W_{2}$ ，C是这两个分支的公共边界，即 $C=\overline{W_{1}}-W_{1}=\overline{W_{2}}-W_{2}$ 。特别地， $S^{2}$ 中的一条简单闭曲线C恰好将 $S^{2}$ 分割成两个分支，并且C是它们的公共边界。（推广：如果 $S^{2}$ 的两个连通子集 $C_{1}, \, C_{2}$ 都不分割 $S^{2}$ ，并且只交于两点，则它们的并 $C_{1} \cup C_{2}$ 将 $S^{2}$ 分割成两个分支）

（7）Schoenflies定理：若C是 $S^{2}$ 中的一条简单闭曲线，U和V是 $S^{n}-C$ 的两个分支，则 $\bar{U}$ 和 $\bar{V}$ 同胚于单位闭球 $B^{2}$ 。注意如果不对空间C到 $S^{n}$ 的嵌入加一些条件，该定理不能推广到高维。Alexander角球就是一个反例

（8）如果 $S^{n}$ 的某一个闭子空间C将 $S^{n}$ 分割为k个分支，那么每一个同胚于（甚至同伦等价于）C的子空间也会将 $S^{n}$ 分割成为k个分支

（8）区域不变性定理：若U是 $R^{n}$ 中的任意开集， $f: U \to R^{n}$ 是任意连续的单射，则 $f(U)$ 是 $R^{n}$ 中的开集，并且 f 是一个嵌入映射

这是欧氏空间的一个内蕴性质，数学分析中的反函数定理是在增加了 f 是连续可微并且有非奇异Jacobi矩阵的条件下得到的

（9）单连通开集的刻画：设U是 $R^{2}$ 中的一个单连通开集，如果C是包含在U中的一条简单闭曲线，那么 $R^{2}-C$ 的每一个有界分支都包含于U

（10）气水电图不嵌入平面，5个顶点的完全图也不能嵌入平面

（11）Kuratowski定理：线性图G不能嵌入平面，当且仅当G包含一个子图是气水电图或5个顶点的完全图

（12）若C是 $S^{2}$ 中一条简单闭曲线，p和q属于 $S^{2}-C$ 的不同分支，那么内射 $j:C \to S^{2}-p-q$ 诱导的群同态 $j_{\ast}: \pi_{1}(C,x_{0}) \to \pi_{1}(S^{2}-p-q, x_{0})$ 是同构

（13）环绕数的性质：设 $f: [0,1] \to R^{2}-a$ 是 $R^{2}-a$ 中的一条回路，

若 $\bar{f}$ 是 f 中的逆，则 $n(\bar{f}, a)=n(f,a)$ ；

若 f 通过 $R^{2}-a$ 中的回路自由同伦于 g，则 n(f, a) = n(g, a)；

若a和b属于 $R^{2}-f(I)$ 的同一个分支，则 n(f, a) = n(f, b) ；

若 g 是 $R^{2}$ 中的简单回路，当点a属于 $R^{2}-g(I)$ 的一个无界分支时 n(g, a) = 0，当a属于一个有界分支时 $n(g,a)=\pm 1$

（14）环绕数与复积分的关系：设 f 是复平面上的一条分段可微的回路，a是一个不在f的像中的点，则

$n(f,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{f}\frac{dz}{z-a}$

在复分析中就是用这个等式来定义环绕数

（15）Cauchy积分公式：设C是复平面上的一条分段可微的简单闭曲线，B是 $R^{2}-C$ 的一个有界分支，如果复变函数F(z)在包含B和C的开集 $\Omega$ 上上是解析的，则对B中的每一点 a 都有

$F(a)=\pm \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{F(z)}{z-a}dz$

其中当C是逆时针定向的时上式中的符号取 +，反之则取 -

Van Kampen定理

（1）群的直和：这里我们只考虑Abel群，群G的运算用加法表示，单位元用0表示。设 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是G的子群的一个加标族，若G中的每个元素x都可表示为群族 $G_{\alpha}$ 中有限个成员之和，即 x 可表示成

$x=x_{\alpha_{1}}+...+x_{\alpha_{n}}=\sum_{\alpha \in J}x_{\alpha}$

其中指标 $\left \{ \alpha_{i} \right \}$ 两两不同，当 $\alpha$ 不是 $\left \{ \alpha_{i} \right \}$ 中的某一个时，约定 $x_{\alpha}=0$ 。则称群族 $G_{\alpha}$ 生成G，群G也称为群族 $G_{\alpha}$ 的和。

如果x的这种表示是唯一的，即对每一个 $x \in G$ ，有且只有一个串 $\left ( x_{\alpha} \right )_{\alpha \in J}$ （该串中仅有有限多个 $x_{\alpha}\neq 0$ ）使得 $x=\sum_{\alpha \in J}x_{\alpha}$ ，则群G称为群族 $G_{\alpha}$ 的直和，记作 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ 。注意由于群的交换性，表示x的字 $(x_{\alpha_{1}},...,x_{\alpha_{n}})$ 中每个因子恰好属于不同的 $G_{\alpha}$ ，如果不满足，通过因子的交换和重组即可满足这样的条件

（2）外直和：设 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是阿贝尔群族，若存在一个阿贝尔群G和一个单同态族 $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G$ ，使得 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha})$ ，则称G为群族 $G_{\alpha}$ 关于单同态族 $i_{\alpha}$ 的外直和。在同构意义下这样的群G是唯一的。注意外直和定义中 $G_{\alpha}$ 不是G的子群族

（3）自由阿贝尔群：设 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ 是阿贝尔群G中的元素族，如果每一个元素 $a_{\alpha}$ 生成G的一个无限循环子群 $G_{\alpha}$ ，并且 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ ，则称G是以元素族 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ 为基的自由阿贝尔群。若G具有有限基，则基元素的个数称为G的秩

（4）挠子群（扭子群）：也叫周期群，若群G的所有元素的阶都是有限的，则称G为挠群（扭群）；反之，若G的所有非平凡元素的阶都是无限的，则称G为无挠群。若G的所有有限阶元素组成G的子群T，则称T是G的挠子群，也称为G的最大周期子群。T是G的特征子群，并且G/T是无挠群。注意群的挠子群一般未必存在，自由阿贝尔群必定是无挠群

（5）群的自由积：考虑一般的群而不只限于Abel群，群G的运算用乘法表示。设 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是G的一个子群族，族中任意两个群的交仅含单位元，若对每一个 $x \in G$ ，有且只有一个含于这些 $G_{\alpha}$ 的元素组成的有限序列 $(x_{1},...,x_{n})$ 使得 $x=x_{1}...x_{n}$ ，则称群G称为群族 $G_{\alpha}$ 的自由积，记作 $G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ ，对有限指标集的情形，也可以写作 $G=G_{1}\ast G_{2}\ast ... \ast G_{n}$ 。注意由于群没有交换性的假定，表示x的字 $(x_{\alpha_{1}},...,x_{\alpha_{n}})$ 不能通过重组因子而达到每一个因子属于不同的 $G_{\alpha}$ 。然而当相邻的因子属于同一个 $G_{\alpha}$ 时可以用其乘积替换，这样不断地约化，最后得到一个约化字，就能满足条件。因此定义中的有限序列总是假定为约化字

（6）外自由积：设 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是群族，若存在一个群G和一个单同态族 $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G$ ，使得 $G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha})$ ，则称G为群族 $G_{\alpha}$ 关于单同态族 $i_{\alpha}$ 的外自由积。在同构意义下这样的群G是唯一的。注意外自由积定义中 $G_{\alpha}$ 不是G的子群族

（7）自由群：设 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ 是群G中的元素族，如果每一个元素 $a_{\alpha}$ 生成G的一个无限循环子群 $G_{\alpha}$ ，并且 $G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ ，则称G为元素族 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ 上的自由群，并且称 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ 为G的一个自由生成元组

（8）交换子子群（换位子群）：用 [x, y] 表示群G中的元素 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ ，它称为x和y的交换子或换位子。由G中所有交换子生成的子群称为G的交换子子群，记作 [G, G]

（9）圆周束：如果X是Hausdorff空间，可以表示成单位圆周 $S^{1}$ 有限个同胚像 $S_{1},...,S_{n}$ 的并，并且存在X的一点p使得只要 $i\neq j$ 便有 $S_{i}\cap S_{j}=\left \{ p \right \}$ ，即点p是它们唯一的公共点，则称X是圆周 $S_{1},...,S_{n}$ 的束

一般的圆周束：设J是指标集（可能为无限集），空间X可以表示成某些同胚于单位圆周的子空间 $S_{\alpha} \, (\alpha \in J)$ 的并，并且存在X的一点p使得只要 $i\neq j$ 便有 $S_{i}\cap S_{j}=\left \{ p \right \}$ ，如果X的拓扑与各个子空间 $S_{\alpha}$ 相通的，也就是说对X的一个子集，如果与每一个 $S_{\alpha}$ 的交为 $S_{\alpha}$ 中的开集，则该子集为X中的开集，这时称X为圆周族 $S_{\alpha}$ 的束

有限圆周束的性质：设 $C_{i}$ 是以 (i, 0) 为圆心，i 为半径的圆周，则X同胚于 $C_{1}\cup ...\cup C_{n}$ ；

一般圆周束的性质：若X是圆周 $S_{\alpha} \, (\alpha \in J)$ 的束，则X是正规Hausdorff空间，X的任意一个紧致子空间都包含在有限多个圆周 $S_{\alpha}$ 的并之中

（10）n-叠小丑帽：设 $n >1$ 为正整数， $r: S^{1} \to S^{1}$ 是以 $2\pi/n$ 为旋转角的旋转变换，它将点 $(cos\theta,sin\theta)$ 映为点 $(cos(\theta+2\pi/n),sin(\theta+2\pi/n))$ ，在单位球 $B^{2}$ 内将 $S^{1}$ 中的每一个点x与点 $r(x),r^{2}(x),...,r^{n-1}(x)$ 等同起来，得到的商空间记为X，称X为n-叠小丑帽

性质：n-叠小丑帽X是紧致的Hausdorff空间，并且同胚于2维射影平面 $P^{2}$ （即 $S^{2}$ 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间）

主要定理：

（1）直和的扩展条件：设子群族 $\left \{ G_{\alpha}\right \}$ 生成阿贝尔群G，则 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ 当且仅当对任意阿贝尔群H和任意同态族 $h_{\alpha}: G_{\alpha} \to H$ ，存在唯一的同态 $h: G \to H$ ，使得对每一个 $\alpha$ ，h 在 $G_{\alpha}$ 上的限制等于 $h_{\alpha}$

（2）直和的性质：

若 $G=G_{1} \bigoplus G_{2}, \, G_{1}=\bigoplus_{\alpha \in J}H_{\alpha}, \, G_{2}=\bigoplus_{\beta \in K}H_{\beta}$ ，且指标集J和K无交，则 $G=\bigoplus_{\gamma \in J \cup K}H_{\gamma}$ ；

若 $G=G_{1} \bigoplus G_{2}$ ，则 $G/G_{2} \cong G_{1}$ 。

（3）直和的存在性：若 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是阿贝尔群族，那么存在一个阿贝尔群G和一个单同态族 $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G$ ，使得 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha})$ 。群G也称为这个群族 $G_{\alpha}$ 的外直和。

（4）直和的唯一性：若 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是阿贝尔群族， $G, \, {G}'$ 都是阿贝尔群， $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G, \, i_{\alpha}^{'}: G_{\alpha} \to G^{'}$ 都是单同态族， $G=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}), \, G^{'}=\bigoplus_{\alpha \in J}i_{\alpha}^{'}(G_{\alpha})$ ，则存在唯一的同构 $\phi : G \to G^{'}$ 使得 $\phi \circ i_{\alpha}=i_{\alpha}^{'}$ 对每一个 $\alpha$ 都成立。

注意外直和定义中 $G_{\alpha}$ 不是G的子群族，但是因为G的存在性和同构意义下的唯一性，有时也将群 $G_{\alpha}$ 与它的像 $i_{\alpha}(G_{\alpha})$ 等同，将G视为通常的直和，而不是外直和，即记作 $G=\bigoplus_{\alpha \in J}G_{\alpha}$

（5）自由Abel群的性质：自由Abel群G的任何子群都是自由Abel群，并且其秩不超过G的秩。若G是以 $\left \{ a_{1},...,a_{n} \right \}$ 为基的自由Abel群，则 n 是由G唯一确定的。两个自由Abel群同构，当且仅当它们的基有相同的基数

（6）自由积的扩展条件：设 $\left \{ G_{\alpha}\right \}$ 是群G的子群族，则 $G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha}$ 当且仅当对任意群H和任意同态族 $h_{\alpha}: G_{\alpha} \to H$ ，存在唯一的同态 $h: G \to H$ ，使得对每一个 $\alpha$ ，h 在 $G_{\alpha}$ 上的限制等于 $h_{\alpha}$

（7）自由积的存在性：若 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是群族，那么存在一个群G和一个单同态族 $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G$ ，使得 $G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha})$

（8）自由积的唯一性：若 $\left \{ G_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}$ 是群族， $G, \, {G}'$ 都是群， $i_{\alpha}: G_{\alpha} \to G, \, i_{\alpha}^{'}: G_{\alpha} \to G^{'}$ 都是单同态族， $G=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}(G_{\alpha}), \, G^{'}=\prod_{\alpha \in J}i_{\alpha}^{'}(G_{\alpha})$ ，则存在唯一的同构 $\phi : G \to G^{'}$ 使得 $\phi \circ i_{\alpha}=i_{\alpha}^{'}$ 对每一个 $\alpha$ 都成立。

这样我们也时常将群 $G_{\alpha}$ 与它的像 $i_{\alpha}(G_{\alpha})$ 等同，将G视为通常的自由积，而不是外自由积，即记作 $G=\prod_{\alpha \in J}G_{\alpha}$

（9）自由积的性质：

若 $G=G_{1} \ast G_{2}, \, G_{1}=\prod_{\alpha \in J}H_{\alpha}, \, G_{2}=\prod_{\beta \in K}H_{\beta}$ ，且指标集J和K无交，则 $G=\prod_{\gamma \in J \cup K}H_{\gamma}$ ；

若 $G=G_{1} \ast G_{2}$ ， $N_{1}, N_{2}$ 分别为 $G_{1}, G_{2}$ 的正规子群，N是G中包含 $N_{1}, N_{2}$ 的最小正规子群，则 $G/N \cong (G_{1}/N_{1}) \ast (G_{2}/N_{2})$ ；

若N是 $G_{1} \ast G_{2}$ 中包含 $G_{1}$ 的最小正规子群，则 $(G_{1} \ast G_{2})/N \cong G_{2}$ ；

（10）自由群的性质：

由一个元素生成的自由群是无限循环群；

由两个或两个以上元素生成的自由群一定是非Abel群；

自由群的每个非幺元都是无限阶元素；

任何一个群是某个自由群的同态像，从而任何一个群都同构于某个自由群的商群；

两个自由群 $G_{1}, G_{2}$ 的自由生成元组分别为 $\left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J}, \, \left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in K}$ ，且指标集J和K无交，则它们的自由积 $G=G_{1} \ast G_{2}$ 也是自由群，并且具有自由生成元组 $\left \{ a_{\alpha}\right \}_{\alpha \in J \cup K}$ ；

自由群G的任何子群都是自由群，但是它的自由生成元组基数可能大于G的自由生成元组基数，甚至有可能是无限的；

两个自由群同构，当且仅当它们的自由生成元组有相同的基数

（11）自由群的泛性质：F是自由群， $f:F \to G$ 是同态， $g:H \to G$ 是满同态，则必存同态 $h:F \to H$ ，使得 $g\circ h=f$

（12）交换子子群性质：对任何群G，交换子子群 [G, G] 是一个正规子群，并且商群 G/[G, G] 是一个Abel群，若 $h: G \to H$ 是G到任意Abel群H的同态，则 h 的核必包含 [G, G] ；

若 $G=G_{1} \ast G_{2}$ ， $G_{1}, G_{2}$ 分别是m阶和n阶循环群，则m和n是由G唯一确定的，并且 G/[G, G] 的阶为 mn

（13）自由群与自由Abel群的关系：若自由群G的自由生成元组为 $\left \{ a_{\alpha}\right \}$ ，则 G/[G, G] 是自由Abel群，并且基为 $\left \{ \left [ a_{\alpha} \right ]\right \}$ ，这里 $\left [ a_{\alpha} \right ]$ 表示 G/[G, G] 中 $a_{\alpha}$ 的陪集

（14）有限Abel群结构定理1：对n阶有限Abel群G，设n的唯一因式分解为 $n=p_{1}^{e_{1}}...p_{t}^{e_{t}}$ ，则有

$G\cong \bigoplus _{i=1}^{t}\left ( \bigoplus _{j=1}^{k_{i}}Z/p_{i}^{m_{ij}} \right )$

其中 $m_{ij}$ 为一组整数，满足 $\sum_{j=1}^{k_{i}}m_{ij}=e_{i} \, (\forall i=1,...t)$ 。即有限交换群可以唯一地表示为一系列以素数方幂为阶的循环群的直和。所有的这些素数方幂阶数 $p_{i}^{m_{ij}}$ 称为G的初等因子。上述分解表明初等因子是所有有限Abel群在同构关系下的完全不变量

（15）有限Abel群结构定理2：对n阶有限Abel群G，存在唯一的一组正整数 $d_{1},...,d_{k}$ 满足整除关系 $d_{1}|d_{2}|...|d_{k}$ ，且 $\prod_{i=1}^{k}d_{i}=n$ ，使得G可以表示为

$G\cong \bigoplus _{i=1}^{k}Z/d_{i}$

这些 $d_{i}$ 称为G的不变因子。注意这个结构定理与上面的结构定理是等价的

（16）有限生成Abel群的结构定理：若G是有限个元素生成的Abel群，则G可分解为一个秩有限的自由Abel子群H和挠子群T的直和，即 $G=H \bigoplus T$ 。H的秩由G唯一确定，因为它是G相对于挠子群的商群的秩，这个数值称为群G的Betti数。子群T可以分解成有限多个阶是素数幂的循环群的直和，这些群的阶数由T唯一确定（从而也由G唯一确定），它们称为G的初等因子

（17）群同构的结论：

两个自由Abel群同构，当且仅当它们的基有相同的基数；

两个自由群同构，当且仅当它们的自由生成元组有相同的基数；

两个有限Abel群同构，当且仅当他们的初等因子相同；

两个有限生成的Abel群同构，当且仅当它们有相同的Betti数和相同的初等因子。

（18）同构问题的不可解性：对非Abel群的同构问题，还没有一个令人满意的答案，这涉及到群表示论。然后即使对有限群的情况，我们也无法确定具有不同表示的两个群是否一定同构或者一定不同构，这就是同构问题的不可解性

（19）Van Kampen定理：将一个拓扑空间的基本群，用覆盖这空间的两个开的且道路连通的子空间的基本群来表示。设X为拓扑空间，有两个开的且道路连通的子空间 $U_{1}, U_{2}$ 覆盖X，即 $X=U_{1}\cup U_{2}$ ， $U_{1} \cap U_{2}$ 也是道路连通的，取一点 $x_{0} \in U_{1} \cap U_{2}$ 作为基本群的基点，设 $U_{1} \cap U_{2}$ 到 $U_{1}$ 及 $U_{2}$ 的包含映射诱导的群同态分别为（省略基点） $i_{1}: \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \to \pi_{1}(U_{1}), \, i_{2}: \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \to \pi_{1}(U_{2})$ ，则X的基本群是 $U_{1},U_{2}$ 的基本群的自由积，即

$\pi_{1}(X) \cong \pi_{1}(U_{1}) \, \ast_{\pi_{1}(U_{1} \cap U_{2})} \, \pi_{1}(U_{2})$

用范畴论表述：拓扑空间的基本群函子保持推出 $U_{1} \hookleftarrow U_{1} \cap U_{2} \hookrightarrow U_{2}$ （注意推出是 $U_{1} \cup U_{2}$ ），即 $\pi_{1}(X)$ 是群范畴中图表 $\pi_{1}(U_{1}) \hookleftarrow \pi_{1}(U_{1} \cap U_{2}) \hookrightarrow \pi_{1}(U_{2})$ 的推出。

更详细的表述：H是一个群， $i_{1}, i_{2}, j_{1}, j_{2}$ 是下面图表所示内射诱导的同态：

如果 $\phi_{1} \circ i_{1} = \phi_{2} \circ i_{2}$ ，则存在唯一的同态 $\Phi: \pi_{1}(X, x_{0}) \to H$ 使得 $\Phi \circ j_{1}=\phi_{1}, \, \Phi \circ j_{2}=\phi_{2}$ 成立。

推论1：如果 $U\cap V$ 是单连通的，则存在一个同构 $k: \pi_{1}(U, x_{0}) \circ \pi_{1}(V,x_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$ ；

推论2：如果V是单连通的，则存在一个同构 $k: \pi_{1}(U, x_{0}) /N \to \pi_{1}(X,x_{0})$ ，其中N是包含同态 $i_{1}:\pi_{1}(U\cap V, x_{0}) \to \pi_{1}(U,x_{0})$ 的像，并且是 $\pi_{1}(U,x_{0})$ 的最小正规子群；

这个定理表明计算一个拓扑空间的基本群，可以把它拆成两个在交处连通的连通开集的并，然后它的基本群由两个开集的基本群和交的基本群以及交到开集、开集到空间的嵌入映射们完全决定。开集的基本群给出生成元，交的基本群给出生成关系。在交不连通的情况下也有表述更复杂的版本，也有其他一些变体。

（20）Van Kampen定理的推广：推广到任意多个开子空间的覆盖。设X是道路连通的拓扑空间， $\left \{ U_{t} \right \}_{t \in I}$ 由道路连通的开集组成，是X的开覆盖，基点 $x_{0}$ 位于所有开集的交集内，对任何 $s,t \in I$ 都有 $m \in I$ 使得 $U_{s} \cap U_{t}=U_{m}$ 。对任意 $U_{s} \subset U_{t}$ 设 $i_{st}: \pi_{1}(U_{s}) \to \pi_{1}(U_{t})$ 是该包含映射诱导的群同态；对所有 $s \in I$ ， $j_{s}: \pi_{1}(U_{s}) \to \pi_{1}(X)$ 是由 $U_{s} \subset X$ 诱导的群同态，H是任意一个群， $\phi_{s}: \pi_{1}(U_{s}) \to H$ 是群同态。那么 $\pi_{1}(X)$ 具有下述泛性质：

如果对所有 $s \in I$ 当 $U_{s} \subset U_{t}$ 时有 $\phi_{t} \circ i_{st}=\phi_{s}$ ，那么存在唯一的群同态 $\Phi: \pi_{1}(X) \to H$ ，使得对所有 $s \in I$ 都有 $\Phi \circ j_{s} =\phi_{s}$ ，这个泛性质唯一地确定了 $\pi_{1}(X)$

（21）圆周束的基本群：设X是圆周 $S_{\alpha} \, (\alpha \in J)$ 的束，p是这些圆周的公共点，则 $\pi_{1}(X,p)$ 是一个自由群。若 $S_{\alpha}$ 中的回路 $f_{\alpha}$ 为 $\pi_{1}(S_{\alpha},p)$ 的生成元，则回路族 $\left \{ f_{\alpha} \right \}$ 是 $\pi_{1}(X,p)$ 的一个自由生成元组

（22）设X是一个Hausdorff空间，A是X中的一个道路连通的闭子空间，连续映射 $h: B^{2} \to X$ 将 $\partial B^{2}=S^{1}$ 映到A，将 $Int B^{2}$ 一一地映到X-A， $a=h(p), \, p \in S^{1}$ 为基点， $k: (S^{1}, p) \to (A, a)$ 为限制h而得到的映射，则内射诱导的同态 $i_{\ast}: \pi_{1}(A,a) \to \pi_{1}(X,a)$ 是一个满射，并且它的核是 $\pi_{1}(A,a)$ 中包含 $k_{\ast}: \pi_{1}(S^{1}, p) \to \pi_{1}(A, a)$ 的像的最小正规子群

（23）环面 $T=S^{1} \times S^{1}$ 的基本群： $\pi_{1}(S^{1} \times S^{1}, x_{0}) \cong Z \times Z$ ，它是秩为2的自由Abel群，由两个生成元 $\alpha, \beta$ 及其单一关系 $\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ 组成的表示

（24）n-叠小丑帽的基本群：是一个n阶循环群

（25）若G是一个有限表示的群，则存在一个紧致的Hausdorff空间X，其基本群同胚于G。实际上X为2维CW复形

曲面分类

（1）黏合边的商空间：平面多边形区域P各边的一个标记，是指P的边集到某一集合S的映射，集合S称为标签集。P的每条边给定一个定向（即有向的边，用端点的排列表示）和一个标签，在P中定义如下等价关系：Int P中的每个顶点仅与自身等价，对具有相同标签的两条边，从其中一条边到另一条边的正线性映射（即保持定向的同胚映射）为h，并且前一条边上的点x与后一条边上的点 h(x) 等价，这样的关系确定P中的一个等价关系，通过这个等价关系得到的商空间X，称为按给定定向和标记黏合P的各边得到的商空间

（2）边的定向标记表：设平面多边形区域P的各顶点为 $p_{0},p_{1},..,p_{n} \, (p_{n}=p_{0})$ ， $a_{1},...,a_{m}$ 是P的各边的两两不同的标签，其中 $a_{i_{k}}$ 是边 $p_{k-1}p_{k}$ 的标签，当该边的定向是从 $p_{k-1}$ 到 $p_{k}$ 时令 $\varepsilon_{k}=1$ ，反之则 $\varepsilon_{k}=-1$ 。这样P的各边和标记表示为

$w=(a_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(a_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(a_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}}$

形式符号 $w$ 称为P的各边的一个长度为n的标记表，它只是由一系列标签和指数 $+1, \, -1$ 组成，指数 $+1$ 一般可以省略

（3）曲面（2-维流形）：具有可数基的Hausdorff空间，它的每一点都有一个邻域同胚于 $R^{2}$ 中的某一个开子集

（4）常见曲面的标记表：

单位球 $B^{2}$ ：三角形区域通过标记表 $baa^{-1}$ 得到的空间；

单位球面 $S^{2}$ ：矩形通过标记表 $aa^{-1}bb^{-1}$ 得到的空间；

环面 $S^{1} \times S^{1}$ ：矩形通过标记表 $aba^{-1}b^{-1}$ 得到的商空间，商映射为 $p \times p: I \times I \to S^{1} \times S^{1}$ ；

射影平面 $P^{2}$ ：它是单位球面 $S^{2}$ 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间，由于矩形同胚于单位球面，因此它是矩形通过标记表 $abab$ 得到的空间；

Mobius带：矩形通过标记表abac黏合相应边所得到的空间。Mobius不是一个曲面，它是一个带边曲面，它同胚于射影平面 $P^{2}$ 挖掉一个开圆盘而得到的空间；

n-重环面：由4n条边的多边形区域借助于标记表 $(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})...(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})$ 所得到的空间，称为环面的n-重连通和，或简称为n-重环面，记作 $T_{n}=T \sharp ... \sharp T$ ，或者 $nT^{2}$ ，它是紧致的Hausdorff空间；

m-重射影平面：由 2m (m>1)条边的多边形区域借助标记表 $(a_{1}a_{1})(a_{2}a_{2})...(a_{m}a_{m})$ 所得到的空间，称为射影平面的m-重连通和，或简称为m-重射影平面，记作 $P_{m}=P^{2} \sharp ... \sharp P^{2}$ ，或者 $mP^{2}$ ，它是紧致的Hausdorff空间；

Klein瓶：矩形区域通过标记表 $aba^{-1}b$ 黏合相应边所得到的空间。它同胚于2-重射影平面 $P^{2} \sharp P^{2}$ ；

（5）一维同调群：设X是道路连通空间，定义其基本群关于交换子子群的商群 $H_{1}(X)=\pi_{1}(X, x_{0})/[\pi_{1}(X,x_{0}),\pi_{1}(X,x_{0})]$ ，这个群称为X的一维同调群，它是一个Abel群。定义中省略了基点，因为两个不同基点的基本群的阿贝尔化之间存在唯一的一个道路诱导同构

（6）标记表的初等运算：标记表之间的初等运算包括切割、黏合、置换、翻转、换标签、删除、反删除

（7）标记表的等价：两族多边形区域的两个标记表是等价的，如果可以经过一系列的初等运算将其中一个标记表化为另一个。由于每一个初等运算的逆运算也是一个初等运算，所以上述关系是一个等价关系

（8）恰当标记表：设 $w_{1},...,w_{k}$ 为多边形区域 $P_{1},...,P_{k}$ 的标记表，如果上述标记表中每个标签恰好出现两次，则称为恰当标记表

（9）环形标记表/射影形标记表：对单一多边形区域的一个恰当标记表 $w$ ，如果对 $w$ 中的每一个标签，指数+1和-1各出现一次，则称 $w$ 为环形标记表，否则称为射影形标记表

（10）三角剖分：设X是一个紧致Hausdorff空间，X中的一个子空间A如果同胚于平面上的一个闭三角形区域T，则A称为X中的一个三角形，同胚记为 $h: T \to A$ 。X的一个三角剖分是X中的三角形的一个族 $A_{1},...,A_{n}$ ，它们的并为X，并且任两个的交 $A_{i} \cap A_{j}$ ，或者为空，或者是 $A_{i},A_{j}$ 的公共顶点，或者是两者的公共边。此外，设 $h_{i}:T_{i} \to A_{i}$ 为相应于 $A_{i}$ 的同胚，当 $A_{i} \cap A_{j}$ 为它们的一个公共边e时，要求映射 $h_{j}^{-1}h_{i}$ 是 $T_{i}$ 的边 $h_{i}^{-1}(e)$ 与 $T_{j}$ 的边 $h_{j}^{-1}(e)$ 之间的一个线性同胚。如果X有一个三角剖分，则称X是可三角剖分的

（11）带边曲面（带边2-维流形）：具有可数基的Hausdorff空间，它的每一点都有一个邻域同胚于上半平面 $H^{2}=\left \{ (x_{1},x_{2}) \,|\, x_{2}\geq 0 \right \}$ 中的一个开子集。X的边界 $\partial X$ 是由X中没有邻域同胚于 $R^{2}$ 的开子集的那些点x组成的集合

例子： $R^{2}$ 中的闭单位球是一个带边2-维流形

（12）具有k个洞的2-维流形：是边界有k个分支的带边2-维流形。设 $U_{1},...,U_{k}$ 是2-维流形X中一个无交的开集族，对每一个i 存在单位球到 $U_{i}$ 的同胚 $h_{i}: B^{2} \to U_{i}$ ， $B_{\varepsilon}$ 是半径为 1/2 的开球，则空间 $Y=X-\bigcup_{i=1}^{k}h_{i}(B_{\varepsilon})$ 是一个带边2-维流形，并且 $\partial Y$ 有 k 个分支。空间Y称为有k个洞的X

主要定理：

（1）设X是有限个多边形区域根据它们的一个标记表黏合相应的边所得的空间，则X是一个紧致的Hausdorff空间

（2）设平面多边形区域P各边的一个标记表为 $w=(a_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(a_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(a_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}}$ ，X是相应的商空间， $\pi: P \to X$ 是相应的商映射，如果 𝛑 将P的所有顶点映射为X的一点 $x_{0}$ ，并且 $a_{1},...,a_{k}$ 为标记表中所有互不相同的标签，则 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 同构于有 k 个生成元 $\alpha_{1},...,\alpha_{k}$ 的自由群G关于包含着元素 $(\alpha_{i_{1}})^{\varepsilon_{1}}(\alpha_{i_{2}})^{\varepsilon_{2}}...(\alpha_{i_{n}})^{\varepsilon_{n}}$ 的最小正规子群N的商群，即 $\pi_{1}(X,x_{0}) \cong G/N$

（3）n-重环面的基本群：若X是n-重环面，G是由2n个生成元 $\alpha_{1},\beta_{1},...,\alpha_{n},\beta_{n}$ 生成的自由群，N是包含着元素 $[\alpha_{1}, \beta_{1}][\alpha_{2}, \beta_{2}]...[\alpha_{n}, \beta_{n}]$ （这里 $[\alpha, \beta]=\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ ）的最小正规子群，则 $\pi_{1}(X, x_{0}) \cong G/N$ ，并且n>1时它不是一个Abel群

（4）m-重射影平面的基本群：若X是m-重射影平面，G是由m个生成元 $\alpha_{1},...,\alpha_{m}$ 生成的自由群，N是包含着元素 $(\alpha_{1})^{2}(\alpha_{2})^{2}...(\alpha_{m})^{2}$ 的最小正规子群，则 $\pi_{1}(X, x_{0}) \cong G/N$ ，并且m>1时它不是一个Abel群

（5）若N是群F的正规子群， $q: F \to F/N$ 是投射，则投射同态 $p: F \to F/[F,F]$ 诱导一个同构 $\phi: q(F)/[q(F),q(F)] \to p(F)/p(N)$

（6）n-重环面的一维同调群： $H_{1}(X)$ 是秩为2n的自由阿贝尔群

m-重射影平面的一维同调群： $H_{1}(X)$ 的挠子群 T(X) 的阶为2，并且 $H_{1}(X)/T(X)$ 是秩为 m-1 的自由阿贝尔群

（7）设 $T_{n}, P_{m}$ 分别表示n-重环面和m-重射影平面，则曲面 $S^{2},T_{1},T_{2},...,P_{1},P_{2}$ 中的任何两个都不同胚

（8）标记表的初等运算性质：设m个无交的多边形区域 $P_{1},...,P_{m}$ 的标记表分别为 $w_{1},...,w_{m}$ ，X是通过这些标记表得到的商空间，则标记表的初等运算（包括切割、黏合、置换、翻转、换标签、删除、反删除）不会改变它们对应的商空间X （同胚意义下）

（9）若 $w$ 是一个射影型标记表，则 $w$ 等价于一个具有相同长度且形如 $(a_{1}a_{1})(a_{2}a_{2})...(a_{k}a_{k})w_{1}$ 的标记表，其中 $k\geq 1$ ， $w_{1}$ 为空或者环型的

（10）设 $w$ 是形如 $w=w_{0}w_{1}$ 的一个恰当标记表，其中 $w_{1}$ 为环型标记表并且没有相同的标签相邻，则 $w$ 等价于形如 $w_{0}w_{2}$ 的标记表，其中 $w_{2}$ 与 $w_{1}$ 具有相同的长度，并且形如 $w_{2}=aba^{-1}b^{-1}w_{3}$ ， $w_{3}$ 是环型的或者为空

（11）设 $w$ 是形如 $w=w_{0}(cc)(aba^{-1}b^{-1})w_{1}$ 的一个恰当标记表，则 $w$ 等价于标记表 $w^{'}=w_{0}(aabbcc)w_{1}$

（12）紧致连通曲面分类定理：设X是紧致连通曲面，则X同胚于通过成对地黏合平面多边形区域的边所得的商空间，从而同胚于 $S^{2}$ 、n-重环面 $T_{n}$ 、或m-重射影平面 $P_{m}$

（13）紧致曲面的分类：

每一个紧致曲面都是可三角剖分的；

若X为可三角剖分的紧致曲面，则X同胚于平面上两两无交的三角形区域的一个族通过成对地黏合边所得的空间；

若X为可三角剖分的紧致连通曲面，则X同胚于通过成对地黏合某平面多边形区域的边所得的空间，从而同胚于 $S^{2}$ 、n-重环面 $T_{n}$ 、或m-重射影平面 $P_{m}$ 。

（14）带边曲面的分类：设Y为可三角剖分的紧致连通的带边曲面，若边界 $\partial Y$ 有k个分支，则Y同胚于有k个洞的X，其中X是 $S^{2}$ 、n-重环面 $T_{n}$ 、或m-重射影平面 $P_{m}$

覆叠空间分类

（1）覆叠空间的等价：设 $p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B$ 都是覆叠映射，若存在一个同胚 $h: E \to E^{'}$ 使得 $p=p^{'} \circ h$ ，则称 $p, p^{'}$ 是等价的，同胚 h 称为覆叠映射之间的等价，也称为覆叠空间之间的等价

（2）群的共轭：设 $H_{1},H_{2}$ 是群G的子群，若存在某元素 $a \in G$ 使得 $H_{2}=a \cdot H_{1} \cdot a^{-1}$ ，则称 $H_{1},H_{2}$ 共轭。也就是说，将x映为 $a \cdot x \cdot a^{-1}$ 的同构恰好将群 $H_{1}$ 映为群 $H_{2}$ ，共轭是G的子群族上的一个等价关系，子群H所在等价类称为群H的共轭类

（3）万有覆叠空间：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射，若E是单连通的，则E称为B的万有覆叠空间。注意B的任意两个万有覆叠空间是等价的

（4）覆叠变换群：对覆叠映射 $p: E \to B$ ，这个覆叠空间到自身一个等价称为覆叠变换，覆叠变换的复合、逆都是覆叠变换，所以覆叠变换全体组成的集合是一个群，称为覆叠变换群，记作 $\mathcal{C}(E,p,B)$

（5）正规化子构成的群：设H是群G子群，H在G中的正规化子定义为 $N(H)=\left \{ g \,|\, gHg^{-1}=H \right \}$ ，N(H)是包含H并且H是它的正规子群，N(H)也是G中以H为正规子群的最大子群

（6）覆叠变换诱导的对应：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ， $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ ，则提升对应的商映射 $\Phi: \pi_{1}(B,b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(e_{0})$ 是一个双射。定义覆叠变换诱导的对应 $\Psi: \mathcal{C}(E,p,B) \to p^{-1}(e_{0})$ 为对每一个覆叠变换 $h:E \to E$ ，有 $\Psi(h)=h(e_{0})$ 。由于h被它在 $e_{0}$ 的值唯一确定，因此 $\Psi$ 是一个单射

（7）正则覆叠映射：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ， $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ ，若 $H_{0}$ 是 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 正规子群，则p称为正则覆叠映射

（8）群作用的轨道空间：设X是一个空间，G是从空间X到自身的同胚群（即所有同胚映射 $f:X \to X$ 构成的群）的一个子群，对任意 $x \in X, \, g \in G$ ，定义等价关系 $x\sim g(x)$ ，X在该等价关系下的商空间 X/G 称为X在群G作用下的轨道空间，x的等价类称为x的轨道

（9）处处不连续的群作用：设G是空间X的所有同胚构成的群，如果群G在X上的作用，满足对任意 $x \in X$ 和非单位元 $g \in G$ ，都存在x的邻域U使得 $g(U)$ 与U无交，则称群G在X上的作用是处处不连续的。可见当 $g_{0}\neq g_{1}$ 时便有 $g_{0}(U)$ 与 $g_{1}(U)$ 无交

（10）处处没有不动点的群作用：设G是空间X上的同胚群，如果群G在X上的作用，满足对任意的非单位元（即非恒等映射） $g \in G$ ，都没有不动点，则称群作用G是处处无不动点的

（11）透镜空间：将3维的单位实球面 $S^{3}=\left \{ x \in R^{4} \,:\, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}=1 \right \}$ 看作两个复变数的空间 $C^{2}$ 中的单位球面 $S^{3}=\left \{ (z_{1},z_{2}) \in C^{2} \,:\, \left | z_{1} \right |^{2} + \left | z_{2} \right |^{2}=1 \right \}$ ，对互素的正整数 $(n,k)=1$ ，定义映射 $h: S^{3} \to S^{3}$ 为 $h(z_{1},z_{2})=(z_{1}e^{2\pi i/n}, z_{2}e^{2\pi ik/n})$ ，h 是 $S^{3}$ 的同胚群中的元素，则h生成同胚群的一个n阶循环子群 $G=Z_{n}$ ，并且G是处处没有不动点的，轨道空间 $S^{3}/G$ 称为 (n,k) 型透镜空间，记作 $L(n,k)$ ，它是紧致的3-维流形

推广到高维：给定互素的正整数 $(p,q_{1},...,q_{n})=1$ ，将单位实球面 $S^{2n-1}$ 看作复空间 $C^{n}$ 中的单位球面，定义映射 $h: S^{2n-1} \to S^{2n-1}$ 为 $h(z_{1},...,z_{n})=(z_{1}e^{2\pi iq_{1}/p}, ...,z_{n}e^{2\pi iq_{n}/p})$ ，则h生成 $S^{2n-1}$ 的同胚群的一个p阶循环子群 $G=Z_{p}$ ，并且G是处处没有不动点的，轨道空间 $S^{2n-1}/G$ 称为 $(p,q_{1},...,q_{n})$ 型透镜空间，记作 $L(p,q_{1},...,q_{n})$ ，它是紧致的2n-1维流形

（12）半局部单连通性：在空间B中，如果对每一个 $b \in B$ ，存在 b 有一个邻域U，使得内射 $i: U \to B$ 诱导出平凡同态 $i_{\ast}: \pi_{1}(U,b) \to \pi_{1}(B,b)$ ，则称空间B是半局部单连通的

注意该条件弱于真正的局部单连通性，因为局部单连通性意指b的每一个邻域包含着b的某一个单连通的邻域U

主要定理：

（1）广义提升对应定理：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，则p的诱导同态 $p_{\ast}: \pi_{1}(E,e_{0}) \to \pi_{1}(B, b_{0})$ 是单同态；同态的像为 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 的子群，记作 $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ ，则p的提升对应诱导的商映射 $\Phi: \pi_{1}(B, b_{0})/H_{0} \to p^{-1}(b_{0})$ 是单射（即 $H_{0}$ 的右陪集构成的族到 $p^{-1}(b_{0})$ 的映射），并且当E道路连通时， $\Phi$ 是双射；如果 f 是B中以 $b_{0}$ 为基点的回路，则 $[f] \in H_{0}$ 当且仅当 f 的提升为E中一条以 $e_{0}$ 为基点的回路

（2）广义提升引理：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射， $f: Y \to B$ 是连续映射， $p(e_{0})=f(y_{0})=b_{0}$ ，如果Y是道路连通且局部道路连通的，则 f 存在唯一的提升 $\tilde{f}: Y \to E$ ，使得 $\tilde{f}(y_{0})=e_{0}$ 成立当且仅当 $f_{\ast}(\pi_{1}(Y,y_{0}))\subset p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))$

（3）覆叠映射等价的存在性：设 $p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B$ 都是覆叠映射， $p(e_{0})=p^{'}(e_{0}^{'})=b_{0}$ ，则存在唯一的等价 $h: E \to E^{'}$ ，使得 $h(e_{0})=e_{0}^{'}$ 成立当且仅当两个群 $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), \, H_{0}^{'}=p_{\ast}^{'}(\pi_{1}(E^{'},e_{0}^{'}))$ 相等

（4）覆叠映射等价的充要条件：设 $p: E \to B, \, p^{'}: E^{'} \to B$ 都是覆叠映射， $p(e_{0})=p^{'}(e_{0}^{'})=b_{0}$ ，则 $p, p^{'}$ 等价当且仅当 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 的两个子群 $H_{0}=p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0})), \, H_{0}^{'}=p_{\ast}^{'}(\pi_{1}(E^{'},e_{0}^{'}))$ 共轭

例子：

圆周 $S^{1}$ ：一个覆叠映射为 $p: R \to S^{1}$ ，另一个为 $p: R \to S^{1}$ ， $\pi_{1}(S^{1}, b_{0})$ 是整数加法群，是一个交换群，其两个子群共轭当且仅当它们相等。因此 $S^{1}$ 的每一个道路连通的覆叠空间都与R或 $S^{1}$ 等价，即同胚于R（这时该空间基本群为Z的平凡子群，因为R是单连通的），或者同胚于 $S^{1}$ （这时该空间基本群为Z的子群 $G_{n}$ ，即由n的所有倍数组成的子群）；

环面 $T=S^{1} \times S^{1}$ ：若E是T的覆叠空间，则E或者同胚于 $R^{2}$ ，或者同胚于 $S^{1} \times R$ ，或者同胚于T

（5）覆叠映射的性质：

引理1：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射，B是道路连通且局部道路连通的，若 $E_{0}$ 为E中的一个道路连通分支，则p的限制 $p_{0}: E_{0} \to B$ 也是覆叠映射；

引理2：设p, q, r都是连续映射， $p=r \circ q$ ，如下图：

若p和r都是覆叠映射，则q也是覆叠映射。若p和q都是覆叠映射，则r也是覆叠映射；

引理3：设 $p: E \to B$ 是覆叠映射，E是单连通的，则对任何一个覆叠映射 $r: Y \to B$ ，存在一个覆叠映射 $q: E \to Y$ 使得 $r \circ q=p$

这说明为啥E称为万有覆叠空间，它覆叠了B的所有其他覆叠空间；

引理4：设 $p: E \to B$ 是万有覆叠映射， $p(e_{0})=b_{0}$ ，则 $b_{0}$ 有一个邻域U，使得内射 $i: U \to B$ 诱导出平凡同态 $i_{\ast}: \pi_{1}(U,b_{0}) \to \pi_{1}(B,b_{0})$

例子：

无限耳环：设 $C_{n}$ 是平面上以 (1/n, 0) 为圆心，1/n为半径的圆周，则 $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_{n}$ 称为无限耳环，原点 (0, 0) 是这些圆周的唯一公共点。无限耳环不存在万有覆叠空间

（6）覆叠变换诱导对应的性质：映射 $\Psi$ 的像等于 $\pi_{1}(B,b_{0})/H_{0}$ 的子群 $N(H_{0})/H_{0}$ 在 $\Phi$ 下的像，即 $\Psi(\mathcal{C}(E,p,B))=\Phi(N(H_{0})/H_{0})$ ，因此一一映射 $\Phi^{-1} \circ \Psi: \mathcal{C}(E,p,B \to N(H_{0})/H_{0}$ 是两个群之间的一个同构

（7）覆叠变换群的同构：若 $p: E \to B$ 是万有覆叠映射，则它的覆叠变换群与空间B的基本群同构，即 $\mathcal{C}(E,p,B) \cong \pi_{1}(B,b_{0})$

（8）正则覆叠映射的充要条件：若空间X是道路连通与局部道路连通的，G是空间X的所有同胚构成的群，则商映射 $\pi: X \to X/G$ 是一个覆叠映射当且仅当G在X上的作用是处处不连续的。此时覆叠映射 $\pi$ 是正则的并且G是覆叠变换群

（10）群作用的处处不连续与处处无不动点关系：若G是Hausdorff空间X的处处没有不动点的有限同胚群，则G的作用是处处不连续的

（11）透镜空间的分类：透镜空间的基本群为 $\pi_{1}(L(p,q))\cong Z_{p}$ （规定 $Z_{1}=1, Z_{0}=Z$ ）。两个透镜空间同伦等价 $L(p_{1},q_{1}) \simeq L(p_{2},q_{2})$ 当且仅当 $p_{1}=p_{2}$ 。两个透镜空间同胚 $L(p_{1},q_{1}) \cong L(p_{2},q_{2})$ 当且仅当 $p_{1}=p_{2}$ ，并且 $q_{1}\equiv \pm q_{2}(mod \, p_{1})$ 或者 $q_{1}q_{2} \equiv \pm 1(mod \, p_{1})$ 。特别地， $L(1,0)=S^{3}, \, L(0,1)=S^{2} \times S^{1}, \, L(1,q) \cong S^{3}$

（12）设空间B是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的， $b_{0} \in B$ ，则对 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 中任意的子群H，存在一个覆叠映射 $p: E \to B$ 以及点 $e_{0}=p^{-1}(b_{0})$ ，使得 $p_{\ast}(\pi_{1}(E,e_{0}))=H$

（13）万有覆叠空间的存在性：空间B有一个万有覆叠空间当且仅当B是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的

（14）设空间X是道路连通、局部道路连通且半局部单连通的，如果X是具有可数基的正则空间，则 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 是可数的；如果X是紧致Hausdorff空间，则 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 是有限生成的，从而也是可数的

在群论中的应用

（1）线性图：一个线性图X是由一些弧 $A_{\alpha}$ （可能为无限条）构成的一个族的并，满足两条弧的交 $A_{\alpha} \cap A_{\beta}$ 或者为空，或者是这两条弧的一个公共端点，并且X的拓扑与这些子空间 $A_{\alpha}$ 的拓扑相通。这些弧称为X的边，弧的端点称为X的顶点。由X的顶点构成的集合记作 $X^{0}$ ，它是X的一个闭的离散子空间

（2）子图：设X是一个线性图，Y是由X中的一些边的并构成的子空间，这时Y在X中的闭的，并且也是一个线性图，Y称为X的子图

（3）树：图X的一个子图T如果是连通的，并且没有闭的约化边路径，则称T是一棵树。如果X没有树以T为真子集，则称树T是极大的树

（4）Euler示性数：有限线性图X的Euler示性数，定义为X的顶点个数减去边的个数，它是一个拓扑不变量，记作 $\chi(X)$

（5）群的指数：H是群G的子群，如果H在G中的右陪集族 G/H 是有限的，则其基数称为H在G中的指数

主要定理：

（1）线性图的性质：

每一个线性图都是正规空间，因此也是一个Hausdorff空间；

设X是一个线性图，如果C是X的一个紧致子空间，则X中存在一个有限子图Y包含着C，如果C是连通的，则Y也可以选成连通的；

如果X是一个线性图，则X是局部道路连通的和半局部单连通的

（2）图的覆叠空间：设 $p: E \to X$ 是覆叠映射，X是线性图，如果 $A_{\alpha}$ 是X的一条边，B是 $p^{-1}(A_{\alpha})$ 的一个道路分支，则p是B到 $A_{\alpha}$ 的一个同胚，从而空间E也是一个线性图，以所有空间 $p^{-1}(A_{\alpha})$ 的所有道路分支为它的边

（3）图的连通性：图X是连通的当且仅当X的每一对顶点能由X中的一条边路径连接

（4）树的连通性：每一棵树都是单连通的，因而它的基本群是平凡群

（5）极大树的性质：

如果X是连通图，则X中的一棵树T是极大的当且仅当它包含X的所有顶点；

如果X是一个线性图（注意可能有无限条边），则X中的每一棵树 $T_{0}$ 都包含在一棵极大的树中

（6）图的基本群：设X是连通图但不是一棵树，则X的基本群是一个非平凡的自由群。实际上，该基本群的一个自由生成元组与X中那些不在极大树T中的边集构成双射

（7）自由群F的子群H必定也是自由群

证明思路：设自由群F的自由生成元组为 $\left \{ \alpha \,|\, \alpha \in J \right \}$ ，X是圆周束 $S_{\alpha} (\alpha \in J)$ ，将X构造成一个线性图，利用它的覆叠空间 $p: E \to X$ 也是线性图，则E的基本群也是自由群

（8）如果X是有限的连通的线性图，则X的基本群的自由生成元组的基数为 $1-\chi(X)$

（9）设F是一个有n+1 个自由生成元的自由群，H是F的一个子群，如果H在F中的指数为k，则H有 kn+1 个自由生成元

（10）Euler示性数是拓扑不变量：有限线性图X的Euler示性数是一个拓扑不变量，实际上它是同伦不变量，即在同伦等价的映射下Euler示性数保持不变

参考书籍：

（1）拓扑学：第2版，James R.Munkres

收起

展开全文
几何学观止-基本群部分(20181129)1
2022-08-04 13:22:54

第一章点集拓扑单位分拆.连续函数环 .拓扑构造.点拓扑构造 .复形 .记号表 .习题 .第二章曲线曲面曲线论 .曲面论 .自然标架法 .正交标架法 .曲面上

收起
拓扑--代数拓扑2
千次阅读 2021-01-30 21:36:01

单纯复形的同调群（1）几何独立（仿射独立）：N维欧氏空间中的一个点集称为几何独立或仿射独立的，如果等式仅在每一个纯量时才成立。这等价于中的向量集线性独立（2）n-维平面：设为中的一个几何独立点集，...

单纯复形的同调群

（1）几何独立（仿射独立）：N维欧氏空间 $R^{N}$ 中的一个点集 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 称为几何独立或仿射独立的，如果等式

$\sum_{i=0}^{n}t_{i}a_{i}=0 \,\, and \,\, \sum_{i=0}^{n}t_{i}=0$

仅在每一个纯量 $t_{i}=0$ 时才成立。这等价于 $R^{N}$ 中的向量集 $a_{1}-a_{0},...,a_{n}-a_{0}$ 线性独立

（2）n-维平面：设 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 为 $R^{N}$ 中的一个几何独立点集，由它确定的点x的集合 $\left \{x=\sum_{i=0}^{n}t_{i}a_{i} \,\,|\,\, \sum_{i=0}^{n}t_{i}=1 \right \}$ ，称为n-维平面P，其中 $t_{i}$ 是一些标量。这可以写成

$x=a_{0}+\sum_{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{0})$

因此P可以描述成由点集 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 确定的平面，或者说过点 $a_{0}$ ，并且与向量 $a_{1}-a_{0},...,a_{n}-a_{0}$ 平行的平面

（3）单形（单纯形）：设 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 为 $R^{N}$ 中的一个几何独立点集，点集 $\sigma=\left \{x=\sum_{i=0}^{n}t_{i}a_{i} \,\,|\,\, \sum_{i=0}^{n}t_{i}=1, t_{i}\geq 0, t_{i} \in R \right \}$ 称为由 $a_{0},...,a_{n}$ 张成的n维单形，记作 $\sigma$ ，这n+1个点称为单形的顶点。由 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 的子集张成的任何单形都称为 $\sigma$ 的面

1维单形 $x=ta_{0}+(1-t)a_{1}, \, 0\leq t\leq 1$ 是连接 $a_{0}, a_{1}$ 的线段；2维单形是三角形；3维单形是四面体

（4）凸集：对 $R^{N}$ 的子集A，如果A中任意两点x,y，连接它们的线段都在A中，就称A是凸的

（5）n维单位球 $B^{n}$ ： $\left \| x \right \|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\leq 1$ ，特别地， $B^{1}$ 就是单位区间 [0, 1]， $B^{0}$ 就是一个点；

单位球面 $S^{n-1}$ ： $\left \| x \right \|=1$ ，特别地， $S^{0}=\left \{ x \in E^{1} \,|\, \left | x \right |=1 \right \}$ 由两点-1, 1构成

（6）单纯复形： $R^{N}$ 中的一个单形族 $K=\left \{ \sigma_{\alpha} \,|\, \alpha \in J \right \}$ ，满足K的单形的每一个面都在K中，K的任何两个单形的交是它们之中每个单形的面（也可表述为任意两个单形内部不相交），则称K为单纯复形；

子复形：L是K的一个子集族，且包含其成员的所有面，则L自身也是一个单纯复形，称为K的子复形；

p维骨架：K中的至多p维的所有单形组成的子复形，称为p维骨架，记作 $K^{(p)}$ 。集族 $K^{(0)}$ 称为复形K的顶点；

K的维数：定义为K中单形的最大维数，记作 dimK。

（7）可剖空间（底空间）：单形族K中各单形的并记作 $\left | K \right |$ ，它是 $R^{N}$ 的子集，对每个单形给出它作为 $R^{N}$ 子空间的自然拓扑，这样用 $\left | K \right |$ 中的闭子集族就可以定义一个拓扑，因为有限并和任意交都封闭。这样的拓扑空间 $\left | K \right |$ 称为K的可剖空间

多面体：单纯复形K的可剖空间 $\left | K \right |$ ，称为多面体

（8）凝聚拓扑：设X是一个空间， $\mathcal{C}$ 是X的子空间组成的集族，且它们的并等于X，即 $X=\bigcup_{C \in \mathcal{C}}C$ 。若一个集合A在X中是闭集当且仅当对每一个 $C \in \mathcal{C}$ ， $A\cap C$ 在C中都是闭集，则称X的拓扑是关于集族 $\mathcal{C}$ 凝聚拓扑

性质：多面体 $\left | K \right |$ 的拓扑是各个单形子空间 $\sigma \in K$ 组成的集族的凝聚拓扑

（9）多面体 $\left | K \right |$ 的三个特殊子空间：

星形  ：顶点 $v$ 在复形K中的星形，是那些以 $v$ 为一个顶点的单形的内部之并，记作 $Stv$ 。它是开集，并且是道路连通的；

闭星形：是星形的闭包 $\overline{St}v$ ，它是复形K的以 $v$ 为一个顶点的单形之并，也是K的一个子复形的可剖空间。 $\overline{St}v$ 也是道路连通的；

链环：集合 $\overline{St}v - Stv$ 称为链环，记作 $Lkv$ ，它是 $\overline{St}v$ 与 $Stv$ 的余集的交，也是K的一个子复形的可剖空间。 $Lkv$ 不一定是道路连通的。

（10）局部有限复形：复形K的每个顶点只属于有限多个单形，则称K是局部有限的复形。也就是说，一个复形K是局部有限的，当且仅当每个闭星形 $\overline{St}\,v$ 是K的一个局部有限子复形的可剖空间

（11）单纯映射：设 K, L是两个复形， $f: K^{(0)} \to L^{(0)}$ 是一个映射，如果每当K的顶点 $v_{0},...,v_{n}$ 张成K的一个单形时， $f(v_{0}),...,f(v_{n})$ 都是L的一个单形的顶点，那么 f 能扩张成一个连续映射 $g: \left | K \right | \to \left | L \right |$ ，使得 $x=\sum_{i=0}^{n}t_{i}v_{i} \Rightarrow g(x)=\sum_{i=0}^{n}t_{i}f(v_{i})$ ，则g称为由顶点映射f诱导的（线性）单纯映射；

单纯同胚： $f: K^{(0)} \to L^{(0)}$ 是一个双射，使得K的顶点 $v_{0},...,v_{n}$ 张成K的一个单形当且仅当 $f(v_{0}),...,f(v_{n})$ 张成L的一个单形，则诱导单纯映射 $g: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 称为K与L的一个单纯同胚

（11）抽象复形：一个非空有限集组成和集族T，满足如果A是T的元素，那么A的每个非空子集也是T的元素。T的元素A称为T中的单形，A的非空子集称为A的一个面。T的顶点集V是T中单点元素的并，即顶点都是0维单形 $\left \{ v \right \} \in T$ 。T的一个子族若是复形，则称为T的子复形

（12）顶点格式：设V是单纯复形K的顶点集，V中所有能张成K的一个单形的子集 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 组成的集族 H，称为K的顶点格式。实际上这样的集族H就是一个抽象复形，而K是它的一个几何实现

几何实现：若单纯复形K的顶点格式与抽象复形T同构，则称K是T一个几何实现。在线性同构的意义下抽象复形的几何实现是唯一的

（13）自由群：群运算用加法表示。设X是群G的一个生成元集，如果对任意互不相等的 $x_{1},...,x_{t} \in X$ ，都有 $m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + ... + m_{t}x_{t} \neq e$ ，其中 $m_{1},...,m_{t}$ 是任意非零整数，则称X为群G的一个自由生成元集。存在自由生成元集的群G，称为自由群；如果G的每个元素g都能唯一地写成X中元素的有限乘积 $g=m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + ... + m_{t}x_{t}$ ，称为X的中元素为群G的基，也称X生成群G。X为有限集时，称G是有限生成的。基X中的元素个数称为G的秩，记作 $rank(G)$

（14）定向单形： $\sigma$ 为一个p维单纯形，它的 p+1 个顶点有 (p+1)! 种不同排列次序，定义相差一个偶置换的两个排列为一种等价关系，这些排列可以分为两个等价类，同一个等价类中的任意两个排列之间相差一个偶置换。而不同等价类之间的任意两个排列相差一个奇置换，这样的两个排列称为单纯形 $\sigma$ 的两个互为相反的定向，指定了定向的单形就叫做定向单形。我们把定向单形记作 $[v_{0},...,v_{p}]$ ，或简写为 $v_{0}v_{1}...v_{q}$ ，这表示以排列 $v_{0},...,v_{p}$ 为定向的单形。注意与 $\sigma$ 的定向相反的单形记作 $-\sigma$ 。对于 0,...,p 的任意置换 $\theta$ ， $[v_{0},...,v_{1}]=sign\theta \,[(v_{\theta(0)},...,v_{\theta(q)}]$ ，当 $\theta$ 为偶置换时 $sign\theta=1$ ，当 $\theta$ 为奇置换时 $sign\theta=-1$ 。0维单形即单个点只有一种定向

例子：

三个顶点的2维单形 s=[a,b,c]，顶点排列有6种abc, bca, cab, acb, cba, bac，前三个定向相同，后三个定向也相同，两组之间则定向相反，可记作 abc=bca=cab=-acb=-cba=-bac

（15）单纯链：设K是一个有限单纯复形，K中全体p维定向单形的一个线性组合 $c=n_{1}\sigma_{1} + n_{2}\sigma_{2} + ...+ n_{s}\sigma_{s} \, (n_{i} \in Z)$ 称为一个p维单纯链，如果系数 $n_{j}=0$ ，这一项自然可以略去。p维单纯链也可以把它理解为p维定向单形集合到整数的一个函数 c 。对单个的单形 $\sigma$ ，其基本链 c 定义为函数 $c(\sigma)=1$ ，若 $\sigma^{'}$ 是 $\sigma$ 的相反定向则 $c(\sigma^{'})=-1$ ，对所有其他的定向单形 $\tau$ 则 $c(\tau)=0$ ，基本链可直接写作 $\sigma$ ，这样p维单纯链就是各个基本链的一个线性组合，它满足关系 $c+(-c)=0$ ；

单纯链群：所有p维单纯链构成的集合记作 $C_{p}(K)$ 。设另一个p维单纯链为 $d=m_{1}\sigma_{1} + m_{2}\sigma_{2} + ...+ m_{s}\sigma_{s}$ ，定义两个链的和为 $c+d=\sum_{i=1}^{s}(n_{i}+m_{i})\sigma_{i}$ ， $C_{p}(K)$ 关于此加法构成一个群，称为K的p维单纯链群。当 p<0 或 $p>dimK$ ，约定它为平凡群 $C_{p}(K)=0$ 。一个n维复形K有 n+1 个链群 $C_{0}(K), C_{1}(K),...,C_{n}(K)$ ；

单纯链群性质：链群 $C_{p}(K)$ 是自由Abel群，所有的p维定向单形 $\left \{ \sigma_{1},...,\sigma_{s} \right \}$ 构成它的基；

无穷链的单纯链群：对于无限的复形，可以类似地定义p维无穷单纯链，基于无穷链构成的链群为 $C_{p}^{\infty}(K)$ ，它也是Abel群，但一般不是自由的

（16）边缘算子：一个p维定向单形 $\sigma=[v_{0},...,v_{p}]$ 的边缘定义为 $\partial_{p}(\sigma)=\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[v_{0},...,\hat{v_{i}},...,v_{p}]$ ，其中 $[v_{0},...,\hat{v_{i}},...,v_{p}]$ 表示去掉顶点 $\hat{v_{i}}$ 所得的 p-1 维定向单形，称为 $\sigma$ 的一个顺向面。即p维定向单形的边缘就是将每个 p-1 维面给以定向，然后再把它们相加而得到的 p-1 维链；

对任意p维链 $x \in C_{p}(K), \, x=\sum_{i=1}^{s}n_{i}\sigma_{i}$ ，定义 $\partial_{p}(x)=\sum_{i=1}^{s}n_{i} \partial_{p} \sigma_{i} \in C_{p-1}(K)$ ，不难验证对任意 $x,y \in C_{p}(K)$ ，有

$\partial_{p}(x)+\partial_{p}(-x)=0$

$\partial_{p}(x+y)=\partial_{p}(x)+\partial_{p}(y)$

$\partial_{p}(kx)=k\partial_{p}(x), \, k \in Z$

因此算子 $\partial_{p}$ 是一个同态 $\partial_{p}: C_{p}(K) \to C_{p-1}(K)$ ，称为链群 $C_{p}(K)$ 的边缘算子或边缘同态，约定当 $p\leq 0$ 时它是平凡同态，而且 $\partial_{0}=0$ 。 $\partial_{p}(\sigma)$ 的定义与定向单形的顶点的顺序无关，边缘算子在 $C_{p}(K)$ 上的作用也与p维单形的定向选取无关；

边缘算子性质： $\partial_{p} \circ \partial_{p+1}=0$ ，即对任意 $x \in C_{p+1}(K)$ 有 $\partial_{p} \partial_{p+1}(x)=0$ ；

例子：

对1维定向单形 $s=[a_{0},a_{1}]$ 有 $\partial_{1}[a_{0}a_{1}]=a_{1}-a_{0}$ ；

对2维定向单形 $s=[a_{0},a_{1},a_{2}]$ 有 $\partial_{2}[a_{0}a_{1}a_{2}]=\partial_{2}[a_{1}a_{2}a_{0}]=\partial_{2}[a_{2}a_{0}a_{1}]=a_{1}a_{2}-a_{0}a_{2}+a_{0}a_{1}$ ， $\partial_{2}[a_{0}a_{2}a_{1}]=\partial_{2}[a_{2}a_{1}a_{0}]=\partial_{2}[a_{1}a_{0}a_{2}]=a_{2}a_{1}+a_{1}a_{0}+a_{0}a_{2}=\partial_{2}[-a_{0}a_{1}a_{2}]$ ，这里 $a_{1}a_{2}$ 表示定向单形 $[a_{1}a_{2}]$ 的简写；

对3维单形有 $\partial_{3}(a_{0}a_{1}a_{2}a_{3})=a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}a_{2}a_{3}-a_{0}a_{2}a_{3}+a_{0}a_{1}a_{3}-a_{0}a_{1}a_{2}$ 。

（17）单纯闭链：对 $x \in C_{p}(K)$ ，如果 $\partial_{p}(x)=0$ ，则称 x 为K上的一个p维单纯闭链；

单纯边缘链：对 $x \in C_{p}(K)$ ，如果存在 $y \in C_{p+1}(K)$ ，使得 $x=\partial_{p+1}(y)$ ，则称 x 为K上的一个p维单纯边缘链；

单纯闭链群：复形K的所有p维单纯闭链，也就是 $\partial_{p}: C_{p}(K) \to C_{p-1}(K)$ 的核 $ker \, \partial_{p}$ ，称为K的p维单纯闭链群 $Z_{p}(K)$ ，即 $Z_{p}(K)=ker \, \partial_{p}=\left \{ x \in C_{p}(K) \,|\, \partial_{p}(x)=0 \right \}$ ，它是单纯链群 $C_{p}(K)$ 的一个Abel子群。约定 $Z_{0}(K)=C_{0}(K)$ ，当 p<0 或 $p>n=dimK$ 时 $Z_{p}(K)=0$ ；

单纯边缘链群：复形K上的所有p维单纯边缘链，也就是 $\partial_{p+1}: C_{p+1}(K) \to C_{p}(K)$ 的像 $im \, \partial_{p+1}$ ，称为K的p维单纯边缘链群 $B_{p}(K)$ ，即 $B_{p}(K)=im \, \partial_{p+1}=\left \{ \partial_{p+1}(y) \,|\, y \in C_{p+1}(K) \right \}$ ，它也是单纯链群 $C_{p}(K)$ 的一个Abel子群。当 p<0 或 $p>n=dimK$ 时 $B_{p}(K)=0$ ；

（18）单纯同调群：由边缘算子性质 $\partial_{p}B_{p}(K)=\partial_{p}\partial_{p+1}(y)=0$ ，因此任意一个单纯边缘链都是单纯闭链， $B_{p}(K)$ 是 $Z_{p}(K)$ 的Abel子群，这样可以定义一个商群 $H_{p}(K)=Z_{p}(K)/B_{p}(K)=ker \, \partial_{p} / im \, \partial_{p+1}$ ，称为K的p维单纯同调群。它是有限生成的自由Abel群。它与单形的定向选取无关，是由复形K的可剖空间 $\left | K \right |$ 决定的；

复形的Betti数和挠系数：同调群 $H_{p}(K)$ 的Betti数和挠系数称为复形K的p维Betti数和p维挠系数

无穷链的单纯同调群：如果复形K是局部有限的，则可以类似的定义边缘算子 $\partial_{p}: C_{p}^{\infty}(K) \to C_{p-1}^{\infty}(K)$ ，它也满足边缘算子的性质，由此得到无穷链上的同调群 $H_{p}^{\infty}(K)=ker \, \partial_{p}^{\infty} / im \, \partial_{p+1}^{\infty}$

（19）同调类：由p维闭链 $z \in Z_{p}(K)$ 所确定的 $H_{p}(K)$ 中的元素 $[z]=z+B_{p}(K) \in H_{p}(K)$ ，称做复形K上的一个p维同调类，z是同调类 [z] 的一个代表。 $[x]=[y] \in H_{p}(K)$ 的充要条件是 $x,y \in Z_{p}(K)$ 且 $x \sim y$ ；

同调群的加法运算： $H_{p}(K)$ 的元素就是所有p维同调类，对任意 $[x],[y] \in H_{p}(K), \, k \in Z$ ，根据商群的定义， $[x]+[y]=[x+y], \, [kx]=k[x]$ ，这就是同调群上的加法运算；

同调关系：两个p维链 $x,y \in C_{p}(K)$ 如果它们的差为p维边缘链 $x-y \in B_{p}(K)$ ，即存在 $z \in C_{p+1}(K)$ ，使得 $x-y=\partial_{p+1}(z)$ ，这时它们有相同的同调类，我们称x同调于y，记作 $x\sim y$ 或 $x-y \sim 0$ 。特别地，当 $x=\partial_{p+1}z$ 时称x同调于零，或者称x形成边界；

（20）承载子复形：设L是K的子复形，如果K中的p维链 $x=n_{1}\sigma_{1} + n_{2}\sigma_{2} + ...+ n_{s}\sigma_{s} \, (n_{i} \in Z)$ 在所有不是L中的定向单形上取值都为0，即链x在L的所有单形上的取值都不为0，并且L是满足该条件是最大子复形，就称链x由子复形 L 承载。

（21）增广同态（增广映射）：设 $\left \{ v_{0},v_{1},...,v_{s} \right \}$ 是复形K的所有顶点， $C_{0}(K)$ 中的0维链可表示为 $x=\sum_{i=0}^{s}n_{i}v_{i}$ 。定义满同态 $\varepsilon: C_{0}(K) \to Z$ 为对K的每个顶点 $v$ 置 $\varepsilon(v)=1$ ，对每个0维链则有 $\varepsilon(x)$ 等于x在K的顶点上的值之和，即 $\varepsilon(x)=\varepsilon(\sum_{i=0}^{s}n_{i}v_{i})=\sum_{i=0}^{s}n_{i}$ ，而当x是1维链时有 $\varepsilon(\partial x)=0$ ， $\varepsilon$ 称为 $C_{0}(K)$ 的增广同态。注意若K是连通的则有 $ker \, \varepsilon =B_{0}(K)$ ；

约化同调群：商群 $\widetilde{H_{0}}(K)=ker \, \varepsilon / im \, \partial_{1}$ 称为K的零维约化同调群。当 p>0 时约定 $\widetilde{H_{p}}(K)$ 就是通常的单纯同调群 $H_{p}(K)$

（22）复形上的锥形：设K是欧氏空间 $E^{J}$ 中的一个复形，w是 $E^{J}$ 中的一点，使得从w出发的每一条射线与 $\left | K \right |$ 至多交于一点，K上的以w为顶点的锥定义为所有形如 $wa_{0}...a_{p}$ 的单形以及这些单形的所有面构成的集族，其中 $a_{0}...a_{p}$ 是K的单形。锥形记作 $w \ast K$ ，K称为该锥的底。锥形是一个复形。同底的两个锥形之并 $(w_{0} \ast K) \cup (w_{1} \ast K)$ 也是一个复形，称为双角锥，记作 S(K)

（23）零调复形（正合复形）：若复形的所有维数的约化同调群都为零，则该复形是零调的，或正合的

（24）相对链群：如果 $K_{0}$ 是复形K的子复形，则商群 $C_{p}(K, K_{0})=C_{p}(K)/C_{p}(K_{0})$ 称为K模 $K_{0}$ 的相对链群，也称为复形偶 $(K,K_{0})$ 的相对链群，它是自由群，以所有形如 $\left \{ \sigma_{i} \right \}=\sigma_{i} + C_{p}(K_{0})$ 的陪集为基，其中 $\sigma_{i}$ 是在K中但不在 $K_{0}$ 中的p维定向单形；

相对链群的边缘算子： $\partial_{p}: C_{p}(K, K_{0}) \to C_{p-1}(K, K_{0})$ ；

相对闭链群： $Z_{p}(K,K_{0})=ker \, \partial_{p}$ ；

相对边缘链群： $B_{p}(K,K_{0})=im \, \partial_{p+1}$ ；

相对同调群：复形偶 $(K,K_{0})$ 的相对同调群定义为 $H_{p}(K,K_{0})=Z_{p}(K,K_{0})/B_{p}(K,K_{0})$

（25）带任意系数的链群：之前的链群定义使用的是整数系数，实际可以用任意Abel群G的元素作为系数。复形K的一个带G中系数的p维链为 $x=\sum_{i=1}^{s}g_{i}\sigma_{i}, \, g_{i} \in G$ ，其中 $\left \{ \sigma_{i} \right \}$ 是所有p维定向单形。可用 $g\sigma (g \in G)$ 表示定向单形 $\sigma$ 的基本链，它在 $\sigma$ 上的值为g，在 $\sigma$ 的相反定向上的值是 -g 。所有p维链构成集合 $C_{p}(K;G)$ ，表示带G中系数的链群；

带G中系数的链群边缘算子： $\partial_{p}: C_{p}(K;G) \to C_{p-1}(K;G)$ ，由 $\partial_{p}(g\sigma)=g \partial_{p}(\sigma)$ 加以定义；

带G中系数的闭链群： $Z_{p}(K;G)=ker \, \partial_{p}$ ；

带G中系数的边缘链群： $B_{p}(K;G)=im \, \partial_{p+1}$ ；

带G中系数的同调群： $H_{p}(K;G)=Z_{p}(K;G)/B_{p}(K;G)$ ；

带G中系数的相对同调群： $H_{p}(K,K_{0};G)$

（26）自由Abel群同态的矩阵：设G和F是秩为n和m的自由Abel群，它们的基分别为 $a_{1},...,a_{n}$ 和 $b_{1},...,b_{m}$ ， $f: G \to F$ 是一个同态，则存在唯一的一组整数 $\lambda_{ij}$ 满足 $f(a_{j})=\sum_{i=1}^{m}\lambda_{ij}b_{i}$ ，把 $m \times n$ 矩阵 $\left ( \lambda_{ij} \right )$ 称为 f 关于G和F的基的矩阵

（27）链复形：一个链复形 $\mathcal{C}=\left \{ A_{n},d_{n} \right \}$ 是Abel群或模范畴上的一个连通序列，即（Abel群或模）对象序列通过一系列同态相连，使得每两个连接的映射的复合为零 $d_{n}d_{n+1}=0$ 。写成如下形式

$... \to A_{n+1} \overset{d_{n+1}}{\rightarrow} A_{n} \overset{d_{n}}{\rightarrow} A_{n-1} \to ... \to A_{1} \overset{d_{1}}{\rightarrow} A_{0}\overset{d_{0}}{\rightarrow} 0$

如果对 n<0 都有 $A_{n}=0$ ，则称 $\mathcal{C}$ 是非负链复形。如果对每个n， $A_{n}$ 都是自由Abel群，则称 $\mathcal{C}$ 是自由链复形。

链复形的同调群：n维同调群定义为 $H_{n}(\mathcal{C})=ker(d_{n})/im(d_{n+1})$ 。如果 $H_{n}(\mathcal{C})$ 是有限生成的，则把它的Betti数和挠系数称为 $\mathcal{C}$ 的n维Betti数和挠系数。如果对所有的 i 都有 $H_{i}(\mathcal{C})=0$ ，则称链复形是零调的，或正合的；

链复形的弱边缘群：设 $Z_{n}=ker(d_{n})$ 是闭链群， $B_{n}=im(d_{n+1})$ 是边缘群，则集合 $W_{n}=\left \{ a \in A_{n} \,|\, ma=d_{n+1}(b) \in B_{n}, b \in A_{n+1}, m \in Z_{+} \right \}$ ，即所有某个非零倍数属于 $B_{n}$ 的 $A_{n}$ 中的元素组成的集合，它是 $A_{n}$ 的子群，称为链复形的n维弱边缘群。显然 $B_{n} \subset W_{n} \subset Z_{n} \subset A_{n}$

例子：

单纯链复形：单纯链群族 $\left \{ C_{p}(K) \right \}$ 与同态族 $\left \{ \partial_{p} \right \}$ 写成序列 $... \to C_{p}(K) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} C_{p-1}(K) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} C_{0}(K) \overset{\partial_{0}}{\rightarrow} 0$ ，此序列就是一个单纯链复形，记作 $\mathcal{C}(K)=\left \{ C_{p}, \partial_{p} \right \}$ ，其同调群即为 $H_{p}(K)=Z_{p}(K)/B_{p}(K)=ker \, \partial_{p} / im \, \partial_{p+1}$ ；

增广链复形：在单纯链复形 $\mathcal{C}(K)$ 的-1维处添加增广同态 $\varepsilon: C_{0}(K) \to Z$ ，即 $... \to C_{p}(K) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} C_{p-1}(K) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} C_{0}(K) \overset{\varepsilon}{\rightarrow} Z \to 0$ ，称为增广链复形，记作 $\left \{ \mathcal{C}, \varepsilon \right \}$ 。如果所有 i 都有 $H_{i}(\left \{ \mathcal{C}, \varepsilon \right \})=\widetilde{H}_{i}(\mathcal{C})=0$ ，则称增广链复形是零调的或正合的；

增广链复形的同调群：即为原链复形 $\mathcal{C}$ 的约化同调群，记作 $H_{i}(\left \{ \mathcal{C}, \varepsilon \right \})$ 或 $\widetilde{H}_{i}(\mathcal{C})$ 。

（28）链映射：设 $\mathcal{C}=\left \{ C_{p}, \partial_{p} \right \}, \, \mathcal{C}^{'}=\left \{ C_{p}^{'}, \partial_{p}^{'} \right \}$ 是两个链复形，一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是一族同态 $f_{p}: C_{p} \to C_{p}^{'}$ 使得 $\partial_{p}^{'} \circ f_{p}=f_{p-1} \circ \partial_{p}$ 对所有p都成立；

保持增广的链映射：设 $\left \{ \mathcal{C}, \varepsilon \right \}, \, \left \{ \mathcal{C}^{'},\varepsilon^{'} \right \}$ 是两个增广链复形，当 $\varepsilon^{'} \circ f_{0}=\varepsilon$ 时，称链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是保持增广的；

链映射的诱导同态：一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 诱导同调群的同态 $(f_{\ast})_{p}: H_{p}(\mathcal{C}) \to H_{p}(\mathcal{C}^{'})$ ，称为p维诱导同态；

单纯链映射 $f_{\sharp}$ ：只定义在一个单纯映射上的链映射。设 $f: K \to L$ 是单纯映射，如果 $v_{0},...,v_{p}$ 是K的一个单形，那么点 $f(v_{0}),...,f(v_{p})$ 张成L的一个单形，同态 $(f_{\sharp})_{p}: C_{p}(K) \to C_{p}(L)$ 定义为当 $f(v_{0}),...,f(v_{p})$ 互不相同时 $(f_{\sharp})_{p}([v_{0},...,v_{p}])=[f(v_{0}),...,f(v_{p})]$ ，否则 $(f_{\sharp})_{p}([v_{0},...,v_{p}])=0$ ，通常省略维数下标简写为 $f_{\sharp}$ ，注意交换表达式 $[v_{0},...,v_{p}]$ 中的两个顶点将会改变等式右边的符号。 $f_{\sharp}$ 称为 f 诱导的p维单纯链映射。 $f_{\sharp}$ 会把闭链映到闭链，把边缘链映到边缘链。由此可见，单纯链映射是一种特殊的链映射，把各个维数下的单纯链映射 $f_{\sharp}$ 组成一个同态族 $\left \{ f_{\sharp} \right \}$ ，则就是通常的链映射，称它为单纯映射 f 诱导的链映射；

单纯链映射 $f_{\sharp}$ 也会诱导同调群的同态 $f_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ ，以及约化同调群的同态 $f_{\ast}: \widetilde{H_{p}}(K) \to \widetilde{H_{p}}(L)$ ，它们称为单纯映射 $f: K \to L$ 的p维诱导同态

（29）链同伦：如果 $f,g: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是定义在同一对链复形之间的两个链映射，那么 f 到 g 的一个链同伦定义为一族同态 $D_{p}:C_{p} \to C_{p+1}^{'}$ 使得对所有 p 都有 $\partial_{p+1}^{'}D_{p} + D_{p-1}\partial_{p}=g_{p}-f_{p}$ ，可简写为 $\partial^{'} D + D \partial = g-f$ 。链同伦是链映射集合上的等价关系，链映射的复合在链同伦类上诱导一个完全确定的复合运算。链同伦记作 $f \simeq g$ ；

单纯链同伦：特殊的链同伦，即只定义在单纯映射上的链同伦。设 $f,g: K \to L$ 是两个单纯映射，如果对每个p都有一个同态 $D_{p}: C_{p}(K) \to C_{p+1}(L)$ 满足等式 $\partial_{p+1}D_{p} + D_{p-1}\partial_{p}=(g_{\sharp})_{p}-(f_{\sharp})_{p}$ ，可简写为 $\partial D + D \partial = g_{\sharp}-f_{\sharp}$ ，那么D称为 $f_{\sharp}, \, g_{\sharp}$ 之间的一个单纯链同伦，记作 $f_{\sharp} \simeq g_{\sharp}$ 。可以用下列图表表示

链等价（链同伦等价）：对一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ ，如果存在一个链映射 $g: \mathcal{C}^{'} \to \mathcal{C}$ 使得 $g \circ f, \, f \circ g$ 分别链同伦于 $\mathcal{C}, \, \mathcal{C}^{'}$ 上的恒等映射，即 $g \circ f \simeq id_{C}, \, f \circ g \simeq id_{C^{'}}$ ，则称链映射 f 是一个链等价，g 称为 f 的链同伦逆。

（30）单纯映射的连接：设 $f,g: K \to L$ 都是单纯映射，如果对K的每个定向单形 $\sigma=v_{0},...,v_{p}$ ，诸点 $f(v_{0}),...,f(v_{p}),g(v_{0}),...,g(v_{p})$ 张成L的一个单形 $\tau$ ，则称这个单纯映射是相连接的。其中单形 $\tau$ 可能具有从0到2p+1的任何一种维数，这取决于上面这些点中有多少是互不相同的。另外两个单形 $f(\sigma), g(\sigma)$ 都是单形 $\tau$ 的面

（31）定向链复形：由相对链群组成的链复形 $\mathcal{C}(K,K_{0})=\left \{ C_{p}(K,K_{0}),\partial_{p} \right \}$ ，称为复形偶 $(K,K_{0})$ 的定向链复形。它是自由的，也是非负的，但是一般没有增广

（32）零调承载子：对两个复形 K,L，函数 $\Phi: K \to L$ 如果满足对K的每个单形 $\sigma$ ， $\Phi(\sigma)$ 是非空的零调的子复形，并且当 s 是 $\sigma$ 的一个面时有 $\Phi(s) \subset \Phi(\sigma)$ ，就称 $\Phi$ 是一个K到L的零调承载子；

设 $f: C_{p}(K) \to C_{q}(L)$ 是一个同态， $\Phi: K \to L$ 是零调承载子，如果对K的每个p维定向单形 $\sigma$ ， $\Phi(\sigma)$ 是链 $f(\sigma)$ 的承载子复形，就称 f 由 $\Phi$ 承载

（33）有序单纯同调群：

p维有序单形：设K是一个单纯复形，K的顶点构成的p+1元组 $(v_{0},...,v_{p})$ ，这些顶点不必是互不相同，称为K的一个p维有序单形。有序列单形与定向单形不同的是顶点可以相同，例如若 vw 是K的一个一维定向单形，那么（v, w, w, v) 是K的一个3维有序单形；

p维有序单纯链群：由K的p维有序单形生成的自由Abel群。它是由所有p维有序列链作为群的元素，以自然的方式定义加法运算，而得到的群，记作 $C_{p}^{'}(K)$ ；

边缘算子：定义有序单形的边缘运算 $\partial_{p}^{'}(v_{0},...,v_{p})=\sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}(v_{0},...,\hat{v}_{i},...,v_{p})$ ，由此可确定一个同态 $\partial_{p}^{'}: C_{p}^{'}(K) \to C_{p-1}^{'}(K)$ 。有性质 $\partial_{p}^{'} \circ \partial_{p+1}^{'}=0$ ；

有序单纯链复形： $\mathcal{C}^{'}(K)=\left \{ C_{p}^{'}(K), \partial_{p}^{'} \right \}$ ，可以通过对K的每个顶点定义 $\varepsilon^{'}(v)=1$ 而把它增广；

有序单纯同调群： $H_{p}(\mathcal{C}^{'}(K))=ker \, \partial_{p}^{'} / im \, \partial_{p+1}^{'}$ ；

有序链映射：设 $f: K \to L$ 是一个单纯映射，定义 $f_{\sharp}^{'}: \mathcal{C}^{'}(K) \to \mathcal{C}^{'}(L)$ 为 $f_{\sharp}^{'}((v_{0},...,v_{p}))=(f(v_{0}),...,f(v_{p}))$ ，则 $f_{\sharp}^{'}$ 是链映射。对相对有充链群，相应的有 $f_{\sharp}^{'}: \mathcal{C}^{'}(K,K_{0}) \to \mathcal{C}^{'}(L,L_{0})$ 。它们诱导的同态为 $f_{\ast}^{'}: H_{p}(\mathcal{C}^{'}(K)) \to H_{p}(\mathcal{C}^{'}(L))$ ，以及 $f_{\ast}^{'}: H_{p}(\mathcal{C}^{'}(K,K_{0})) \to H_{p}(\mathcal{C}^{'}(L,L_{0}))$

（34）单纯链群与有序链群之间的链映射：选取单纯复形K的顶点的一种偏序，使得它在K的每个单形的顶点上诱导一个线性序，对给定的序 $v_{0}<v_{1}<...<v_{p}$ ，定义 $\phi: C_{p}(K) \to C_{p}^{'}(K)$ 为 $\phi([v_{0},...,v_{p}])=(v_{0},...,v_{p})$ ，即把定向单形映为有序单形。定义 $\varphi: C_{p}^{'}(K) \to C_{p}(K)$ 为   $\varphi((v_{0},...,v_{p}))=[v_{0},...,v_{p}]$ 若 $v_{i}$ 是互不相同的，否则 $\varphi((v_{0},...,v_{p}))=0$ 。那么 $\phi, \, \varphi$ 都是保持增广的链映射，并且它们是链等价的。它们的诱导同态为 $\phi_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K))$ ，和 $\varphi: \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K)) \to \widetilde{H}_{p}(K)$

定理：

（1）单形的性质：

单形 $\sigma$ 是 $R^{N}$ 中的紧致凸集，它是包含 $\left \{ a_{0},...,a_{n} \right \}$ 的最小凸集；

$\sigma$ 的内部是凸集并且在平面P中是开集，它是闭包是 $\sigma$ ；

n维单形 $\sigma$ 与n维单位球 $B^{n}$ 之间存在一个同胚，并且它把边界 $Bd \, \sigma$ 映射到单位球面 $S^{n-1}$ 上；

（2）更强的结论：若U是 $R^{n}$ 中的有界凸集，则对任意给定的一点 $\omega \in U$ ，每一条从 $\omega$ 出发的射线都与 $Bd U=\bar{U}-U$ 恰好交于一点；并且在 $\bar{U}$ 与 $B^{n}$ 之间存在一个同胚把 BdU映射到 $S^{n-1}$ 上

证明思路： $f(x)=\frac{x}{\left \| x \right \|}$ 是 $R^{n}-0$ 到 $S^{n-1}$ 上的连续映射，它在BdU上的限制是同胚，把其逆映射 $f^{-1}: S^{n-1} \to BdU$ 扩张成最终的同胚 $G: B^{n} \to \bar{U}$ ，定义为

$G(x)=\left\{\begin{matrix} \left \| f^{-1}(\frac{x}{\left \| x \right \|}) \right \|x, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{matrix}\right.$

（3）复形的性质：

如果L是复形K的子复形，那么 $\left | L \right |$ 是多面体 $\left | K \right |$ 的闭子空间；特别地，若单形 $\sigma \in K$ ，那么 $\sigma$ 是K的闭子空间；

多面体到空间X的映射 $f: \left | K \right | \to X$ 是连续的，当且仅当对每个单形 $\sigma \in K$ ， $f|_{\sigma}$ 都是连续的；

多面体 $\left | K \right |$ 是Hausdorff空间、是正规空间；

如果复形K是有限的，那么 $\left | K \right |$ 是紧致的；反之如果 $\left | K \right |$ 的一个子集A是紧致的，那么存在K的某个有限子复形 $K_{0}$ ，使得 $A \subset \left | K_{0} \right |$ ；

复形K是局部有限的，当且仅当可剖空间 $\left | K \right |$ 是局部紧致的；

复形K是局部有限的，当且仅当可剖空间 $\left | K \right |$ 是可度量化的。

（4）抽象复形的性质：每个抽象复形同构于某个单纯复形的顶点格式；两个单纯复形线性同构当且仅当它们的顶点格式作为抽象复形是同构的

（5）自由Abel群同态的扩张性质：如果Abel群G有一个基 $\left \{ g_{\alpha} \right \}$ ，那么从集合 $\left \{ g_{\alpha} \right \}$ 到一个Abel群H的的任何函数f都可以扩张成从G到H的一个同态；

直和的扩张性质：如果Abel群是子群族 $\left \{ G_{\alpha} \right \}$ 的直和，对每个下标都有从 $G_{\alpha}$ 到Abel群H的同态 $f_{\alpha}$ ，则 $\left \{ f_{\alpha} \right \}$ 可以唯一地扩张成G到H的一个同态

（6）直和的一个必要条件：如果Abel群是子群族 $\left \{ G_{\alpha} \right \}$ 的直和，那么就有同态 $j_{\beta}: G_{\beta} \to G, \, \pi_{\beta}: G \to G_{\beta}$ ，使得 $\pi_{\beta} \circ j_{\alpha}$ 当 $\alpha\neq \beta$ 是零同态，当 $\alpha = \beta$ 时是恒等同态

（7）自由Abel群的性质：如果F是秩为n，基为 $\left \{ e_{1},...,e_{n} \right \}$ 的自由Abel群，那么它的任何子群R都是秩为 $r \leq n$ 的自由Abel群，并且存在整数 $t_{1},...,t_{n} (t_{i}>1)$ ，使得 $\left \{ t_{1}e_{1},...,t_{n}e_{n} \right \}$ 是R的一个基， $t_{1} \,|\, t_{2} \,|\, ... |\, t_{n}$ ，即 $t_{i}$ 整除 $t_{i+1}$ ，其中整数 $t_{1},...,t_{n} (t_{i}>1)$ 是由F和R唯一确定的，尽管基 $\left \{ e_{1},...,e_{n} \right \}$ 不是唯一的

（8）有限生成Abel群的结构定理：若G是有限个元素生成的Abel群，T是它的挠子群，则G可分解为一个秩为 r 的自由Abel子群H和挠子群T的直和，即 $G=H \bigoplus T$ ；存在阶分别为 $t_{1},...,t_{k} (t_{i}>1)$ 的有限循环群 $T_{1},...,T_{k}$ ，使得 $t_{1} \,|\, t_{2} \,|\, ... |\, t_{k}$ 并且 $T=T_{1} \oplus ... \oplus T_{k}$ ，数 r 和 $t_{1},...,t_{k}$ 是由G唯一确定的，r 称为群G的Betti数， $t_{1},...,t_{k}$ 称为群G的挠系数或不变因子；

这个定理说明任何有限生成的Abel群G都能写成循环群的有限直和 $G \cong (Z \oplus ... \oplus Z) \oplus (Z/t_{1} \oplus ... \oplus Z/t_{k})$ ，其中 $t_{i}>1$ 并且 $t_{1} \,|\, t_{2} \,|\, ... |\, t_{k}$ ；

另外一种表述：因为 m,n 互素时有 $Z/m \oplus Z/n \cong Z/mn$ ，即任何有限循环群都能写成阶是素数幂的循环群的直和，于是上述定理可以表述成对任何有限生成的Abel群G，有 $G \cong (Z \oplus ... \oplus Z) \oplus (Z/a_{1} \oplus ... \oplus Z/a_{s})$ ，其中每个 $a_{i}$ 都是素数的幂，这些素数幂 $a_{1},...,a_{s}$ 由G唯一确定，称为G的初等因子

（9）多连通复形的同调群：如果复形K是r个连通分支的非交并，即 $K=\bigcup_{i=1}^{r}K_{i}, \, K_{i} \cap K_{j}=\varnothing$ ，每一个子复形 $K_{i}$ 连通，那么

$H_{p}(K) \cong H_{p}(K_{1}) \oplus H_{p}(K_{2}) \oplus ... \oplus H_{p}(K_{r})$

（10）零维同调群的计算：复形K的零维单纯同调群 $H_{0}(K)$ 是自由Abel群，如果 $\left \{ v_{i} \right \}_{i \in J}$ 是从 $\left | K \right |$ 的每一个分支取一个顶点组成的集合，那么

$H_{0}(K) \cong \bigoplus_{i \in J}Z$

对每个 i ，链 $v_{i}$ 的同调类 $[v_{i}]=v_{i}+B_{0}(K) \in H_{0}(K)$ 就构成 $H_{0}(K)$ 的一个基。特别地，当K是单连通的时， $H_{0}(K) \cong Z$ 。

零维约化同调群的计算： $\widetilde{H_{0}}(K)$ 也是自由Abel群，并且 $\widetilde{H_{0}}(K) \oplus Z \cong H_{0}(K)$ ，如果 $\left | K \right |$ 是连通的则 $\widetilde{H_{0}}(K)=0$ ，这时即有 $H_{0}(K) \cong Z$ ，每一个顶点 $v_{i}$ 的同调类都可以作为 $H_{0}(K)$ 的生成元；如果 $\left | K \right |$ 是不连通的，设 s 是一个固定的指标，那么链 $v_{i}-v_{s} \, (i \neq s)$ 的同调类就构成 $\widetilde{H_{0}}(K)$ 的基

（11）锥形的同调群：锥形是零调的，即对所有p恒有 $\widetilde{H_{p}}(w \ast K)=0$ ，可见 $H_{0}(w \ast K) \cong Z, \, H_{p}(w \ast K) =0 (p>0)$ ；

n维单形及其边缘的同调群：设 $\sigma$ 是一个n (n>0) 维单形， $K_{\sigma}$ 是 $\sigma$ 及其面组成的复形，那么 $K_{\sigma}$ 是零调的，即 $\widetilde{H_{p}}(K_{\sigma})=0$ 。设 $\Sigma^{n-1}$ 表示可剖空间为 $Bd \, \sigma$ 的复形，那么 $\widetilde{H}_{n-1}(\Sigma^{n-1}) \cong Z$ ，即为无限循环群，链 $\partial_{n} \sigma$ 是它的自由生成元；对 $i\neq n-1$ ，有 $\widetilde{H}_{i}(\Sigma^{n-1}) =0$

（12）复形的切除定理：若K是复形， $A \subset K$ 是子复形， $U \subset A$ 是A中的开子集，从K和A分别切除U后的子空间 $K-U \subset K, A-U \subset K$ 仍然是子复形，那么复形偶 (K-U, A-U) 与 (K, A) 的相对同调群是同构的，即 $H_{p}(K-U,A-U) \cong H_{p}(K,A)$

（13）自由Abel群同态的矩阵标准形：设G和F是秩为n和m的自由Abel群， $f: G \to F$ 是一个同态，那么存在G和F的基使得 f 关于这些基的矩阵具有如下标准形式

$B= \left[ \begin{array}{ccc|c} b_{1} && 0 & \\ & \ddots & & 0 \\ 0 && b_{s} & \\ \hline & 0 & & 0 \end{array} \right]$

其中 $b_{i}\geq 1$ 并且 $b_{1} \,|\, b_{2} \,|\, ... \,|\, b_{s}$

证明思路：从任意选取G和F的基开始，设A为这些基的矩阵，通过对A和行和列不断地进行矩阵的初等运算（交换两行、某一行乘以-1、或者某一行乘以整数q加到另一行上，列的运算也类似），以修改这些基，最终化为标准形

（14）自由链复形的标准基定理：如果 $\left \{ C_{p}, \partial_{p} \right \}$ 是一个链复形，并且每个群 $C_{p} (p\geq 0)$ 都是有限秩的自由Abel群，那么对每个 $C_{p} (p\geq 0)$ 都存在直和分解 $C_{p}=U_{p} \oplus Z_{p}=U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p}$ ，其中 $U_{p}$ 是一个p-1维弱边缘群的子群即 $\partial_{p}(U_{p}) \subset W_{p-1}$ ， $V_{p}$ 是p维闭链群的子群即 $\partial_{p}(V_{p})=0$ ， $W_{p}$ 是p维弱边缘群。并且存在 $U_{p}$ 和 $W_{p-1}$ 的的基使得同态 $\partial_{p}: U_{p} \to W_{p-1}$ 关于这些基有如下形式的矩阵

$B= \left[ \begin{array}{ccc} b_{1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 && b_{s} \\ \end{array} \right]$

其中 $b_{i}\geq 1$ 并且 $b_{1} \,|\, b_{2} \,|\, ... \,|\, b_{s}$ 。注意 $W_{p}$ 和 $Z_{p}=V_{p} \oplus W_{p}$ 是由 $C_{p}$ 唯一确定的子群，但是子群 $U_{p}$ 和 $V_{p}$ 不是唯一确定的

（15）有限复形同调群的可计算性：一个有限复形K的同调群是可以有效计算的。由于存在分解 $C_{p}(K)=U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p}$ ，其中 $Z_{p}=V_{p} \oplus W_{p}$ ，因此有

$H_{p}(K)=Z_{p}/B_{p} \cong V_{p} \oplus (W_{p} /B_{p}) \cong (Z_{p}/W_{p}) \oplus (W_{p}/B_{p})$

群 $Z_{p}/W_{p}$ 是自由Abel群， $W_{p}/B_{p}$ 是挠群，归结为计算这两个群。

计算算法：考虑边缘同态 $\partial_{p+1}: C_{p+1}(K) \to C_{p}(K)$ 的矩阵，这个矩阵的元素取集合 $\left \{ 0,1,-1 \right \}$ 中的值。将该矩阵化为标准形，则 $Z_{p+1}$ 的秩等于零列的列数， $W_{p}$ 的秩等于非零行的行数，存在一个同构 $W_{p}/B_{p} \cong Z/b_{1} \oplus Z/b_{2} \oplus ... \oplus Z/b_{s}$ ，其中 $b_{i}\geq 1$ 并且 $b_{1} \,|\, b_{2} \,|\, ... \,|\, b_{s}$ 。因此 $\partial_{p+1}$ 的矩阵标准形给出K的p维挠系数 $b_{1},...,b_{s}$ ，它们就是矩阵中那些大于1的元素。它也给出 $W_{p}$ 的秩，而 $\partial_{p}: C_{p}(K) \to C_{p-1}(K)$ 的矩阵标准形给出 $Z_{p}$ 的秩，这样 $rank(Z_{p}/W_{p}) = rank(Z_{p})-rank(W_{p})$ ，得到K的p维Betti数

（16）链映射的性质：

如果 $i: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是恒等链映射，那么 $(i_{\ast})_{p}: H_{p}(\mathcal{C}) \to H_{p}(\mathcal{C})$ 是恒等同态；

如果 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}, \, g: \mathcal{C}^{'} \to \mathcal{C}^{''}$ 都是链映射，那 $g \circ f$ 也是链映射，并且 $(g \circ f)_{\ast}=g_{\ast} \circ f_{\ast}$ ；

单纯链映射 $f_{\sharp}$ 与边缘同态 $\partial$ 可交换，即 $\partial f_{\sharp}([v_{0},...,v_{p}])=f_{\sharp} \partial([v_{0},...,v_{p}])$ ；

若 $i: K \to K$ 是恒等单纯映射，那么 $i_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(K)$ 是恒等同态；若 $f: K \to L, \, g: L \to M$ 都是单纯映射，那么 $(g \circ f)_{\ast}=g_{\ast} \circ f_{\ast}$ ，即下列图表交换

它说明单纯映射的p维诱导同态具有函子性质，即 $H_{p}$ 是单纯复形范畴到Abel群范畴的一个函子；

单纯链映射 $f_{\sharp}$ 保持增广同态 $\varepsilon$ ，即对 $\varepsilon_{K}: C_{0}(K) \to Z, \, \varepsilon_{L}: C_{0}(L) \to Z$ 有 $\varepsilon_{L} \circ f_{\sharp}=\varepsilon_{K}$ ，它也诱导约化同调群的同态 $f_{\ast}: \widetilde{H_{p}}(K) \to \widetilde{H_{p}}(L)$ 。

（17）链同伦的性质：

如果两个链映射 $f,g: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是链同伦的，那么它们诱导的同态 $f_{*}, g_{*}$ 是相等的，即它们诱导同一个同态；

如果 f 是一个链等价，且具有同伦逆 g ，那么 $f_{\ast}$ 和 $g_{\ast}$ 是互逆的同调同构；

如果单纯链映射 $f_{\sharp}$ 和 $g_{\sharp}$ 之间存在一个单纯链同伦，那么它们诱导的普通同调群或约化同调群的同态 $f_{*}, g_{*}$ 都是相等的；

单纯链同伦的存在性：如果 $f,g: K \to L$ 是相连接的单纯映射，那么 $f_{\sharp}$ 和 $g_{\sharp}$ 之间就存在一个单纯链同伦；

在相对同调中的应用：链同伦的性质在相对同调的单纯映射上也成立。设 $f,g: (K,K_{0}) \to (L,L_{0})$ 是两个复形偶的单纯映射，并且是相连接的，那么对所有p均有同态 $D: C_{p}(K,K_{0}) \to C_{p+1}(L,L_{0})$ 使得 $\partial D + D \partial = g_{\sharp}-f_{\sharp}$ ，这说明 $f_{*}, g_{*}$ 作为相对同调群的同态是相等的

（18）零调承载子定理：设 $\Phi: K \to L$ 是零调承载子， $f,g: \mathcal{C}(K) \to \mathcal{C}(L)$ 是两个保持增广的链映射，如果 f 和 g 都是由 $\Phi$ 承载的，那么 f, g 之间就存在一个链同伦D，并且D也由 $\Phi$ 承载

（19）复形K上的锥 $w \ast K$ 在有序同调中是零调的

同调群的拓扑不变性

（1）星形条件：设 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 是一个连续映射，如果对复形K的每个顶点 $v$ ，复形L都有一个顶点w 使得 $h(St\, v)\subset St\,w$ ，就称 h 满足星形条件

（2）单纯逼近：设 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 是一个连续映射，如果存在一个单纯映射 $f: K \to L$ 使得对K的每个顶点 $v$ ， $h(St \, v) \subset St \, f(v)$ ，则把 f 称为 h 的一个单纯逼近；

性质：f 可以看作是按某种意义接近h，即给定 $x \in \left | K \right |$ ，则有L的一个单形 $\tau$ 使得 $h(x) \in Int\, \tau$ 且 $f(x) \in \tau$

（3）重分：设K是欧氏空间 $E^{J}$ 中的一个复形，如果有一个复形L满足L的每个单形均包含在K的一个单形中，K的每个单形都是L的有限个单形的并，则L称为K的一个重分。这些条件蕴涵着 $\left | K \right |, \, \left | L \right |$ 作为集合是相等的，作为拓扑空间也是相等的

（4）p+1维骨架的重分：设 $L_{p}$ 是复形K的p维骨架的一个重分， $\sigma$ 是K的一个p+1维单形，集合 $Bd\,\sigma$ 是K的p维骨架的子复形，因此也是 $L_{p}$ 的一个子复形。对内点 $w_{\sigma} \in Int \, \sigma$ ，锥 $w_{\sigma} \ast Bd \, \sigma$ 是一个底空间为 $\sigma$ 的复形，定义

$L_{p+1}=L_{p} \cup \left ( \bigcup_{\sigma \in K} w_{\sigma} \ast Bd\,\sigma \right )$

其中 $\sigma$ 遍历K的所有p+1维单形。则 $L_{p+1}$ 是一个复形，称为从点 $w_{\sigma} \in Int \, \sigma$ 作 $L_{p}$ 上的星形而得到的 $K^{(p+1)}$ 的重分

（5）重心：单形 $\sigma=v_{0}...v_{p}$ 的重心定义为

$\hat{\sigma}=\sum_{i=0}^{p}\frac{1}{p+1}v_{i}$

它是 $Int \, \sigma$ 中的一点，并且到 $\sigma$ 所有顶点的重心坐标都相等。一般地 $\hat{\sigma}$ 是 $\sigma$ 的形心，例如对1维单形 $\hat{\sigma}$ 就是它的中点

（5）重心重分：定义复形K的骨架的一系列重分如下，令 $L_{0}=K^{(0)}$ 是K的0维骨架，一般地设 $L_{p}$ 是K的p维骨架的重分，那么定义 $L_{p+1}$ 是从K的p+1维单形的重心作 $L_{p}$ 上的星形而得到的p+1维骨架的重分，即

$L_{p+1}=L_{p} \cup \left ( \bigcup_{\sigma \in K} \hat{\sigma} \ast Bd \, \sigma \right )$

其中 $\sigma$ 遍历K的所有p+1维单形，点 $\hat{\sigma}$ 为 $\sigma$ 的重心。所有维数骨架重分的并 $\bigcup_{p=0}^{dimK}L_{p}$ 是K的一个重分，把它称为K的第一次重心重分，记作 sdK。复形sdK又能构造它的重心重分sd(sdK)，记作 $sd^{2}K$ ，这个复形称为K的第二次重心重分。一般地可以定义 $sd^{n}K$

（6）覆盖维数：若对空间X的每一个开覆盖A，都有一个加细的开覆盖B使得X中的任何点都不会在B的多于 m+1 个元中，满足这个条件的最小整数 m，称为X的覆盖维数。这也称X具有有限的覆盖维数

（7）保持子复形不动的重心重分：设 $K_{0}$ 是复形K的子复形，定义K的骨架的一系列重分如下，令 $J_{0}=K^{(0)}$ 是K的0维骨架，一般地，设 $J_{p}$ 是K的p维骨架的一个重分，并且 $K_{0}$ 的每个不超过p维的单形属于 $J_{p}$ 。定义 $J_{p+1}$ 是 $J_{p}$ 和所有属于 $K_{0}$ 的p+1维单形 $\sigma$ ，以及 $\sigma$ 遍历K的所有不在 $K_{0}$ 中的p+1维单形时的锥 $\hat{\sigma} \ast Bd \, \sigma$ 的并，即

$J_{p+1}=J_{p} \cup \left ( \bigcup_{\sigma \in K_{0}}\sigma \right ) \cup \left ( \bigcup_{\sigma \in K \, \wedge \, \sigma \notin K_{0}} \hat{\sigma} \ast Bd \, \sigma \right )$

所有维数骨架的重分的并 $\bigcup_{p=0}^{dimK}J_{p}$ 是K的一个子复形，记作 $sd(K/K_{0})$ ，把它称为保持 $K_{0}$ 不动的K的第一次重心重分。类似地，这个重分过程可以重复进行，复形 $sd(sd(K/K_{0})/K_{0})$ 称为保持 $K_{0}$ 不动的K的第二次重心重分，记作 $sd^{2}(K/K_{0})$ 。一般地可以定义 $sd^{n}(K/K_{0})$

（8）广义重心重分：对复形K的每一个正维数的单形 $\sigma$ ，定义函数 $N(\sigma)$ 为一个非负整数。构造K的一个重分如下，令 $L_{0}=K^{(0)}$ 是K的0维骨架，一般地设 $L_{p}$ 是K的p维骨架的重分，对K的每个p+1维单形 $\sigma$ ， $Bd\,\sigma$ 是K的p维骨架的子复形，因此是 $L_{p}$ 的一个子复形。保持 $Bd\,\sigma$ 不动对锥 $\hat{\sigma} \ast Bd\, \sigma$ 进行 $N(\sigma)$ 次重心重分，得到 $sd^{N(\sigma)}(\hat{\sigma} \ast Bd\, \sigma/Bd \, \sigma)$ 。定义 $L_{p+1}$ 是所有这样的锥重分以及 $L_{p}$ 的并，即

$L_{p+1}=L_{p} \cup \left ( \bigcup_{\sigma \in K} sd^{N(\sigma)}(\hat{\sigma} \ast Bd\, \sigma/Bd \, \sigma) \right )$

其中 $\sigma$ 遍历K的所有p+1维单形，点 $\hat{\sigma}$ 为 $\sigma$ 的重心。 $L_{p+1}$ 是K的p+1维骨架的一个重分。所有维数骨架重分的并 $\bigcup_{p=0}^{dimK}L_{p}$ 是K的一个重分，把它称为K关于函数 $N(\sigma)$ 的广义重心重分

（9）重心重分算子：设sdK是K的首次重心重分，把重分算子记为 $sd: C_{p}(K) \to C_{p}(sdK)$ ，称之为重心重分算子；

重心重分算子有归纳公式： $sd(v)=v, \, sd(\sigma)=[\hat{\sigma}, sd(\partial \sigma)]$

（10）连续映射的诱导同态：对任意复形之间的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ ，存在K的一个重分 $K^{'}$ 使得 h 有一个单纯逼近 $f: K^{'} \to L$ ，设 $\lambda: \mathcal{C}(K) \to \mathcal{C}(K^{'})$ 是重分算子，则 h 诱导同调群的同态 $h_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ 定义为 $h_{*}=f_{\ast} \circ \lambda_{\ast}$ ；

注意，如果 $g: K^{'} \to K$ 是 $\left | K \right |$ 到自身的恒等映射的一个单纯逼近，那么 $\lambda_{\ast}, \, g_{\ast}$ 互逆，因此也可以定义为 $h_{*}=f_{\ast} \circ (g_{\ast})^{-1}$

（11）同伦：设 $f, g: X \to Y$ 是两个连续映射， $I=[0,1]$ 是单位区间，如果存在一个连续映射 $F: X \times I \to Y$ ，满足对所有x都有 $F(x,0)=f(x), \, F(x,1)=g(x)$ ，则映射F称为 f 和 g 之间的一个同伦，记作 $f \simeq g$ 。如果 g 是常值映射，则称 f 是零伦的。直观地说，同伦就是连续的形变，F可以看作是当t从0变到1时，f连续地变形到g；

直线同伦：从任一拓扑空间X到欧氏空间的凸子集的两个映射 $f, g: X \to R^{n}$ 是同伦的。实际上 $F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$ 就是f与g的一个同伦，这也称为直线同伦。当f和g是道路时，F也是一个道路同伦；

同伦等价：两个拓扑空间之间存在映射 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to X$ 满足 $f \circ g\simeq id_{Y}, \, g \circ f \simeq id_{X}$ ，则称拓扑空间X和Y同伦等价，或者说它们有相同的伦型，记作 $X \simeq Y$ 。也称f和g同伦等价，g是f的同伦逆。注意若把条件改为相等 $f \circ g= id_{Y}, \, g \circ f = id_{X}$ 则为同胚

（12）收缩核：是具有特殊性质的子空间。设X是拓扑空间，A是X子空间，若存在连续映射 $r: X \to A$ 使得当 $x \in A$ 时，r(x)=x，则称A为X的收缩核，称映射 r 为X到A的一个收缩；

形变收缩核：是一类特殊的收缩核。若存在收缩映射 $r: X \to A$ 和包含映射 $i: A \to X$ （即对任意 $a \in A$ 有 i(a)=a）使得 $i \circ r \simeq id_{X}$ ，则称A为X的形变收缩核，同伦映射 $H: X \times I \to A$ 称为X到A的形变收缩，它表示X可以连续地形变成A；

强形变收缩核：若同伦映射 $H: X \times I \to A$ 是X到A的形变收缩，若对任意 $x \in A, t \in I$ ，有H(x, t)=x，则称A为X的强形变收缩核。直观地说，当形变过程中A的点都不变动时，A就是X的强形变收缩核；

可缩空间：与独点空间同伦等价的空间，即到自身的恒等映射是零伦的

（13）商映射：设X, Y为拓扑空间，若 $f: X \to Y$ 是连续的满射，并且U是Y的开子集当且仅当 $f^{-1}(U)$ 是X的开子集，则称 f 是一个商映射

（14）拓扑和：设空间E是不相交子空间 $E_{\alpha}$ 之并，其中每个 $E_{\alpha}$ 在E中是开的（闭的），则称E是各空间 $E_{\alpha}$ 的拓扑和，写作 $E=\sum E_{\alpha}$

（15）锥形：这里定义一般拓扑空间上的锥形。设X是拓扑空间，在积空间 $X \times I$ 中定义关系 ~ 为， $X \times \left \{ 1 \right \}$ 的点彼此等价，而 $X \times (I-\left \{ 1 \right \})$ 中的点只与自身等价，~ 是等价关系，由这一等价关系定义的商空间称为锥形，记作 $CX=X \times I / \sim$ 。直观地，CX是将 $X \times I$ 中所有形如(x,1)的点捏成同一点得到的，这个点称为锥形的顶点。 $(x,t) \in X \times I$ 在锥形CX中的像记作 [x,t]

（16）球面映射的映射度：设 $f: S^{n} \to S^{n} \, (n\geq 1)$ 是连续映射， $f_{\ast}: H_{n}(S^{n}) \to H_{n}(S^{n})$ 是诱导同态，如果 $\alpha$ 是无限循环群 $H_{n}(S^{n}) \cong Z$ 的两个生成元之一（注意Z有且只有两个生成元a与-a，例如1和-1），那么存在唯一的整数d使得 $f_{\ast}(\alpha)=d\alpha$ ，整数d不依赖于生成元的选取，这是因为 $f_{\ast}(-\alpha)=d(-\alpha)$ ，把整数d称为映射 f 的度，记作 deg(f) ；

映射度的简单性质：

恒等映射的度是1，即 $deg(id_{S^{n}})=1$ ；

如果 f 能扩张成一个连续映射 $g:B^{n+1} \to S^{n}$ ，那么 deg(f)=0；

如果 $f \simeq h$ ，那么 deg(f)=deg(h)；

$deg(f \circ h)=deg(f) \cdot deg(h)$

（17）对径映射：映射 $a: S^{n} \to S^{n} \, (n\geq 1)$ 定义为对所有点x， $a(x)=-x$ ，这个映射称为对径映射

（18）切向量场：设 $X: S^{n} \to E^{n+1}$ 是一个连续映射，使得对任意球面上的点 $v \in S^{n}$ 与向量 $X(v)$ 垂直，则称 $X(v)$ 是点v处一个切向量，X是 $S^{n}$ 上的切向量场。如果对每个点 $v \in S^{n}$ ， $X(v)\neq 0$ ，则X称非零切向量场

（19）自由Abel群同态的迹：设G和F是秩为n，以 $a_{1},...,a_{n}$ 为基自由Abel群，同态 $\phi : G \to G$ 的矩阵A的迹 trA，即为 $\phi$ 的迹，记作 $tr \phi$ 。 $tr \phi$ 的值不依赖于基的选取，因为 $\phi$ 关于另一个基的矩阵为 $B^{-1}AB$ ，其中B为某个方阵，而 $tr(B^{-1}(AB))=tr((AB)B^{-1})=trA$ ；

链映射的迹：对有限复形K上的链映射 $\phi : C_{p}(K) \to C_{p}(K)$ ，由于 $C_{p}(K)$ 是有限秩的自由Abel群，因而 $\phi$ 的迹是有定义的，记作 $tr(\phi, C_{p}(K))$ ；

链映射诱导同态的迹：对有限复形K，同调群 $H_{p}(K)$ 未必是自由Abel群，但如果 $T_{p}(K)$ 是它的挠子群，那么群 $H_{p}(K)/T_{p}(K)$ 一定是自由Abel群。设链映射 $\phi : C_{p}(K) \to C_{p}(K)$ 的诱导同态为 $\phi_{\ast}: H_{p}(K)/T_{p}(K) \to H_{p}(K)/T_{p}(K)$ ，这个诱导同态的迹记作 $tr(\phi_{\ast}, H_{p}(K)/T_{p}(K))$

（20）Euler示性数：有限复形K的Euler示性数定义为

$\chi(K)=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, rank(C_{p}(K))$

即K的各个维数单形个数（即单纯链群的秩）的交错和；

拓扑空间的Euler示性数：如果拓扑空间X有一个三角剖分 $h: \left | K \right | \to X$ ，则X的Euler示性数定义为剖分复形K的Euler示性数；

流形的Euler示性数：定义为和它同胚的一个复形的Euler示性数

例子：

对球面 $\chi(S^{2})=2$ ；平面的Euler示性数为2；实心球和圆盘的Euler示性数为1；圆周和环面的Euler示性数为0

（21）Lefschetz数：对有限复形K上的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | K \right |$ ，将数

$\Lambda(h)=\sum_{p}(-1)^{p} \, tr(h_{\ast}, H_{p}(K)/T_{p}(K))$

称为 h 的Lefschetz数

（22）2维拓扑多面体：是 $R^{3}$ 中有限个多边形的族，其中每两个多边形至多相交于一条公共边或一个公共点，这样构成的复形可剖空间B称为2维拓扑多面体，每个多边形称为B的一个面，其顶点称为B的顶点，相交的公共边称为B的边。由于每个多边形是2维的，因而B是2维的；

组合正则多面体：如果2维多面体B的所有面都具有同样多的边数（n边形），每条边恰好属于两个面，每个顶点处有同样多的边数（m条边），则称该多面体是组合正则的；

正多面体：同胚于球面 $S^{2}$ 的组合正则多面体称为正多面体

主要定理：

（1）单纯逼近的复合：若 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 有单纯逼近 $f: K \to L$ ， $k: \left | L \right | \to \left | M \right |$ 有单纯逼近 $g: L \to M$ ，那么 $g \circ f$ 是 $k \circ h$ 的单纯逼近

（2）重分的性质：若 $K^{'}$ 是K的一个重分，那么对 $K^{'}$ 的每个顶点w，都有K的一个顶点v使得 $St(w,K^{'}) \subset St(v,K)$

（3）复形 sdK 等于所有形如 $\hat{\sigma_{1}}\hat{\sigma_{2}}...\hat{\sigma_{n}}$ 的单形的集合，其中 $\sigma_{1} \succ \sigma_{2} \succ ... \succ \sigma_{n}$ 。记号 $\sigma_{1} \succ \sigma_{2}$ 表示 $\sigma_{2}$ 是 $\sigma_{1}$ 的一个真面

（4）重心重分的性质：若K是一个带度量的有限复形，对任意 $\epsilon>0$ ，存在一个 n 使得 $sd^{n}K$ 中的每个单形的直径都小于 $\epsilon$

这个定理说明有限复形可以重心重分成一系列无限小的单形

（5）有限复形的覆盖维数：m维有限复形的覆盖维数恰好是m

（6）有限单纯逼近定理：对K为有限复形的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ ，存在一个 n 使得 h 有一个单纯逼近 $f: sd^{n}K \to L$

（7）一般单纯逼近定理：对任意复形之间的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ ，存在K的一个重分 $K^{'}$ 使得 h 有一个单纯逼近 $f: K^{'} \to L$

（8）若 $K^{'}$ 是K的一个重分，那么恒等映射 $i: \left | K \right | \to \left | K \right |$ 有一个单纯逼近 $g: K^{'} \to K$ ，并且对单形 $\tau \in K^{'}, \, \sigma \in K$ ，若 $\tau \subset \sigma$ ，则 $g(\tau) \subset \sigma$

（9）代数重分定理：设 $K^{'}$ 是K的一个重分，存在唯一的一个保持增广的链映射 $\lambda: \mathcal{C}(K) \to \mathcal{C}(K^{'})$ ，使得对每个 $\sigma$ ， $\lambda(\sigma)$ 均由 $K^{'}(\sigma)$ （表示可剖空间是 $\sigma$ 的 $K^{'}$ 的子复形）承载。如果 $g: K^{'} \to K$ 是恒等映射的一个单纯逼近，那么 $\lambda, g_{\sharp}$ 是链同伦等价的，因而诱导同态 $\lambda_{\ast}, \, g_{\ast}$ 是同构的。 $\lambda$ 称为重分算子；

在相对同调中的应用：上述定理在相对同调中也成立。设 $K_{0}$ 是复形K的子复形，设 $K^{'}$ 是K的一个重分， $K_{0}^{'}$ 是 $K_{0}$ 的诱导重分。那么重分算子 $\lambda$ 诱导一个链映射 $\lambda: \mathcal{C}(K,K_{0}) \to \mathcal{C}(K^{'},K_{0}^{'})$ 。如果 $g: (K^{'},K_{0}^{'}) \to (K,K_{0})$ 是恒等映射的一个单纯逼近，那么 $\lambda, g_{\sharp}$ 是链同伦等价的

（10）诱导同态的函子性质：恒等映射 $i: \left | K \right | \to \left | K \right |$ 诱导恒等同态 $i_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(K)$ 。如果 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |, \, k: \left | L \right | \to \left | M \right |$ 都是连续映射，那么 $(k \circ h)_{\ast}=k_{\ast} \circ h_{\ast}$ ，同样的结果对约化同调群也成立；

在相对同调中也成立：如果 $h: (\left | K \right |,\left | K_{0} \right |) \to (\left | L \right |,\left | L_{0} \right |), \, k: (\left | L \right |,\left | L_{0} \right |) \to (\left | M \right |,\left | M_{0} \right |)$ 都是连续映射，那么在相对同调中有 $(k \circ h)_{\ast}=k_{\ast} \circ h_{\ast}$

（11）单纯同调群的拓扑不变性：如果复形之间的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 是一个同胚，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ 就是一个同构，同样的结果对约化同调群也成立；

在相对同调中也成立：如果 $h: (\left | K \right |,\left | K_{0} \right |) \to (\left | L \right |,\left | L_{0} \right |)$ 是同胚，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(K,K_{0}) \to H_{p}(L,L_{0})$ 是一个同构

（12）复形之间同伦的性质：

若K是复形， $I=[0,1]$ 是单位区间，那么积空间 $\left | K \right | \times I$ 的拓扑关于子空间 $\sigma \times I \, (\sigma \in K)$ 是凝聚的，并且 $\left | K \right | \times I$ 是一个多面体，即它是复形 $K \times I$ 的可剖空间；

如果 $h,k: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 是同伦的，那么 $h_{\ast},k_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ 相等，同样的结果对约化同调群也成立。同样的结果在相对同调中也成立；

如果 $f: K \to L$ 是连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 的一个单纯逼近，那么 f 同伦于 h；

（13）单纯同调群的同伦不变性：如果复形之间的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 是一个同伦等价，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ 就是一个同构。由此可知，复形的p维Betti数和挠系数也是同伦不变量

（14）单位球面 $S^{n-1}$ 是穿孔欧氏空间 $R^{n}-0$ 的形变收缩核，因而当 $m\neq n$ 时， $R^{m}$ 与 $R^{n}$ 不同胚

（15）形变收缩的性质：

如果A是拓扑空间X的形变收缩核，则A与X同伦等价；

空间X是可缩空间的充要条件是X的任意一点是它的形变收缩核；由此可缩空间都是道路连通的；

任何凸集都是可缩空间；

锥形的顶点是它的强形变收缩核，从而锥形是可缩的；

如果 $\left | K \right |$ 是可缩的，那么复形K的零调的。

（16）Fuchs定理：两个空间X和Y同伦等价当且仅当存在一个空间Z和两个嵌入映射 $h: X \to Z, \, k: Y \to Z$ ，使得h(X), k(Y) 都是Z的形变收缩核。也就是当且仅当X,Y分别同胚于同一个空间Z的两个形变收缩核

（17）商映射的分离性质：

如果 $p: X \to Y$ 是一个商映射，C是一个局部紧致的Hausdorff空间，那么 $p \times i_{C}: X \times C \to Y \times C$ 是一个商映射；

如果 $p: A \to B, \, q: C \to D$ 都是商映射，A和D都是局部紧致的Hausdorff空间，那么 $p \times q: A \times C \to B \times D$ 是商映射；

如果X的拓扑关于子空间 $X_{\alpha}$ 是凝聚的，Y是局部紧的Hausdorff空间，那么 $X \times Y$ 的拓扑关于子空间 $X_{\alpha} \times Y$ 是凝聚的。特别地， $\left | K \right | \times I$ 的拓扑关于子空间 $\sigma \times I (\sigma \in K)$ 是凝聚的；

设 $w \ast K$ 是复形K上的一个锥，那么由 $\pi(x,t)=(1-t)x+tw$ 定义的映射 $\pi: \left | K \right | \times I \to \left | w \ast K \right |$ 是一个商映射，它把 $\left | K \right | \times 1$ 坍缩到一点 $w$ ，而在其他情况下则是一对一的。

（18）非收缩定理：对每一个n，不存在收缩映射 $r: B^{n+1} \to S^{n}$

（19）Brouwer不动点定理：每一个连续映射 $f: B^{n} \to B^{n}$ 至少有一个不动点。可推广到凸紧集上，即每个欧氏空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点；

Schauder不动点定理：这是更一般的推广。每个巴拿赫空间中的凸紧子集到自身的连续映射至少有一个不动点

（20）球面映射度的性质：

Hopf定理：两个球面映射 $f,g: S^{n} \to S^{n}$ 是同伦的，当且仅当它们的映射度相等 $deg(f)=deg(g)$ ；

$S^{n}$ 的对径映射 $a: S^{n} \to S^{n}$ 的映射度是 $(-1)^{n+1}$ ；

如果 $h: S^{n} \to S^{n}$ 的映射度不等于 $(-1)^{n+1}$ ，那么h至少有一个不动点；

如果 $h: S^{n} \to S^{n}$ 的映射度不等于1，那么存在一点 $x \in S^{n}$ 使得 h(x)=-x，即h把点x映射到它的对径点-x ；

当且仅当n为奇数时， $S^{n}$ 有非零切向量场；

对任意一个奇数n，记 $n+1=2^{4a+b}(2k+1), \, a,b,k \in Z_{+}, 0\leq b \leq 3$ ，那么在球面 $S^{n}$ 上有且最多有 $8a+2^{b}-1$ 个线性无关的切向量场

（23）Hopf迹数定理：若 $\phi : C_{p}(K) \to C_{p}(K)$ 是有限复形K上的链映射，那么

$\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, tr(\phi, C_{p}(K))=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, tr(\phi_{\ast}, H_{p}(K)/T_{p}(K))$

（24）Euler示性数的同伦不变性： $\beta_{p}=rank(H_{p}(K)/T_{p}(K))$ 是有限复形K的p维Betti数，那么

$\chi(K)=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \beta_{p}$

可见Euler示性数是同伦不变量，因此也是拓扑不变量

（24）Lefschetz不动点定理：对有限复形K上的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | K \right |$ ，如果Lefschetz数 $\Lambda(h) \neq 0$ ，那么 h 必有不动点

（25）对有限复形K上的连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | K \right |$ ，如果 $\left | K \right |$ 是零调的，那么 h 必有不动点

（26）对 $R^{n}$ 中的紧致光滑曲面M，如果M有非零切向量场，那么Euler示性数 $\chi(M)=0$

（27）2维拓扑多面体的Euler示性数：对2维拓扑多面体B， $\chi(B)=F-E+V$ ，其中F, E, V 分别是面、边、顶点的个数

（28）Euler公式：对和球面 $S^{2}$ 同胚的任意2维多面体B，有 $\chi(B)=\chi(S^{2})=F-E+V=2$ 。特别地，只有五种正多面体，即正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体

相对同调群和Eilenberg-Steenrod公理

（1）正合序列：Abel范畴（例如Abel群或模的范畴）中的一列对象及其间的态射所组成的有限或无限序列，该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。即态射系列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \to \, ...$

如果满足 $im(f_{n})=ker(f_{n+1})$ ，则称该序列在 $A_{n}$ 处正合。如果该序列的每处都正合，则称为正合序列。群对象的指标集为整数集的双向无限的正合序列，称为长正合序列；

连通序列：如果对每个 n 有 $f_{n}f_{n-1}=0$ ，则该序列为连通序列。正合序列一定是连通序列，但反过来不一定成立

（2）短正合序列：具有下列形式的正合序列 $0 \to A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C \to 0$ ，称为短正合序列。有时B也称为C经由A的扩张；

性质：根据Abel范畴的性质，对任何一个短正合序列，f 一定为单射，且g 一定为满射，且f 的像会等于g 的核 im(f)=ker(g)，因此诱导出一个同构 $C \cong B/im(f)$

（3）序列的同态：设有两个序列

$... \to A_{n-1} \to A_{n} \to A_{n+1} \to \, ...$

$... \to B_{n-1} \to B_{n} \to B_{n+1} \to \, ...$

这两个序列间的同态是一族同态 $\alpha_{i}: A_{i} \to B_{i}$ ，使得由映射组成的每个方形图表

都是交换的。当每个 $\alpha_{i}$ 是同构时，序列的同态成为序列的同构

例子：两个链复形序列的同态就是一个链映射

（4）正合序列的分裂：对短正合序列 $0 \to A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C \to 0$ ，若满足分裂引理的条件，则称这个序列是分裂的

（5）联系同态（边界映射）：对于相对同调，由相对链群的边缘算子 $\partial_{p}: C_{p}(K, K_{0}) \to C_{p-1}(K, K_{0})$ 诱导的同态 $\partial_{\ast}: H_{p}(K,K_{0}) \to H_{p-1}(K_{0})$ ，称为联系同态。其中 $H_{p-1}(K_{0})$ 是 $H_{p-1}(K_{0}, \varnothing)$ 的简写

（6）链复形的短正合序列：对链复形 $\mathcal{C}=\left \{ C_{p}, \partial_{C} \right \}, \, \mathcal{D}=\left \{ D_{p}, \partial_{D} \right \}, \, \mathcal{E}=\left \{ E_{p}, \partial_{E} \right \}$ 和链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, g: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ ，如果对每一个维数 p ，序列 $0 \to C_{p} \overset{f}{\rightarrow} D_{p} \overset{g}{\rightarrow} E_{p} \to 0$ 都是群的正合序列，则称序列 $0 \to \mathcal{C} \overset{f}{\rightarrow} \mathcal{D} \overset{g}{\rightarrow} \mathcal{E} \to 0$ 是链复形的短正合序列

（7）正合函子：设 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 是Abel范畴， $T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是加法函子，如果T保持正合序列，即对每个 $\mathcal{C}$ 上的正合序列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \to \, ...$

取T的像得到 $\mathcal{D}$ 上的序列

$... \overset{T(f_{n-1})}{\rightarrow} T(A_{n-1}) \overset{T(f_{n})}{\rightarrow} T(A_{n}) \overset{T(f_{n+1})}{\rightarrow} T(A_{n+1}) \to \, ...$

仍为正合序列，则称T为正合函子。

此外，若短正合序列 $0 \to A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C \to 0$ 取T的像并截去尾端零对象后的序列 $0 \to T(A) \overset{T(f)}{\rightarrow} T(B) \overset{T(g)}{\rightarrow} T(C)$ 仍是正合序列，则称T为左正合函子。类似地，若 $T(A) \overset{T(f)}{\rightarrow} T(B) \overset{T(g)}{\rightarrow} T(C) \to 0$ 仍是正合序列，则称T为右正合函子。正合性等价于左正合性＋右正合性

（8）拓扑空间偶范畴（容许空间类）：设 $\mathcal{A}$ 是拓扑空间偶 (X, A) 的集合，满足如果 (X, A) 属于 $\mathcal{A}$ ，那么偶 (X, X), (X, ∅), (A, A), (A, ∅) 和 $(X \times I, A \times I)$ 也都属于 $\mathcal{A}$ ；有一个单点空间P使得 (P, ∅) 属于 $\mathcal{A}$ ，则把 $\mathcal{A}$ 称为同调论的一个容许空间类，以空间偶 (X, A) 为对象，空间偶之间的连续映射 $h: (X, A) \to (Y, B)$ 为态射，则 $\mathcal{A}$ 也称为拓扑空间偶范畴

紧致空间偶：把X和A均为紧致的空间偶 (X, A) 称为紧致空间偶

（9）切除对：设 $X=X_{1} \cup X_{2}$ ，如果拓扑空间偶的包含映射 $i: (X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \to (X,X_{2})$ 诱导同调的同构 $H_{n}(X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \cong H_{n}(X,X_{2})$ ，则称 $\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$ 是这个同调论的一个切除对， $(X,X_{1},X_{2})$ 称为正合三元组

（10）可三角剖分的拓扑空间偶：设A是拓扑空间X的子空间，对空间偶 (X, A)，如果存在一个复形K和K的子复形 $K_{0}$ ，以及一个同胚 $h: (\left | K \right |,\left | K_{0} \right |) \to (X,A)$ ，则称 (X, A) 是一个可三角剖分偶， $(\left | K \right |,\left | K_{0} \right |)$ 是它的一个三角剖分。如果A是空集，则称X是一个可三角剖分空间；

可三角剖分偶范畴：对象是可三角剖分偶 (X, A)，态射是可三角剖分偶之间的连续映射 $h: (X, A) \to (Y, B)$

（11）范畴：一个范畴C，包括对象类Ob(C)，态射类 $Hom_{C}(A, B)$ ，表示Ob(C)中的所有对象间的态射构成的类，满足

态射复合性： $Hom_{C}(Y,Z) \times Hom_{C}(X,Y) \to Hom_{C}(X,Z)$ 是复合，记作 $(f,g) \mapsto f \circ g$ ，简记为fg ；

态射结合律： $f(gh)=(fg)h$ ；

存在单位态射（恒等态射）：对任意 $X,Y \in Ob(C)$ ，存在单位元 $1_{X} \in Hom_{C}(X,X), \, 1_{Y} \in Hom_{C}(Y,Y)$ ，使得对任意 $f \in Hom_{C}(X,Y)$ 满足 $f \circ 1_{X}=f=1_{Y} \circ f$ 。注意恒等态射 $1_{X}$ 若存在则是唯一的。

注意范畴是比集合抽象层次更高的数学结构。

（12）代数拓扑中的常见范畴：

Top：拓扑空间范畴，拓扑空间与连续映射；

Man：拓扑流形范畴，拓扑流形与连续映射；

hTop：拓扑同伦范畴，拓扑范畴中的连续映射之间的同伦关系是一个等价关系，由此得到商范畴 Top/~，称为拓扑同伦范畴，对象是拓扑空间X，态射是映射的同伦类 $[f]: X \to Y$ ；

复形范畴：单纯复形和单纯映射；

复形可剖空间范畴：单纯复形的可剖空间，以及它们之间的连续映射；

复形同伦范畴：对象是单纯复形K，态射是连续映射的同伦类 $[f]: K \to L$ ；

链复形范畴：链复形和链映射；

增广链复形范畴：增广链复形和它们之间的链映射；

链同伦范畴：对象是链复形，态射是链同伦类 $[f]: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ ；

Abel群短正合序列范畴：Abel群的短正合序列，和这种序列的同态。对长正合序列也有相应的范畴；

链复形短正合序列范畴：链复形的短正合序列，和这种序列的同态；

拓扑空间偶范畴：拓扑空间偶 (X, A) ，和空间偶之间的连续映射 (f, g) ，可简记为 $h: (X, A) \to (Y, B)$ ；

可三角剖分偶范畴：对象是可三角剖分偶 (X, A)，态射是可三角剖分偶之间的连续映射 $h: (X, A) \to (Y, B)$ 。

（13）函子：是范畴间保持结构的映射，可理解为范畴间的同态。一个从范畴 $\mathcal{C}$ 到范畴 $\mathcal{D}$ 的函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 由如下信息给出：

把对象映为对象： $X \in \mathcal{C} \Rightarrow F(X) \in \mathcal{D}$ ；

把态射映为态射： $f: X \to Y \in \mathcal{C} \Rightarrow F(f): F(X) \to F(Y) \in \mathcal{D}$ ；

保持态射的复合性： $f,g \in Hom(\mathcal{C}) \Rightarrow F(g \circ f)=F(g) \circ F(f)$ ；

保持单位态射（恒等态射）： $F(1_{X})=1_{F(X)}$ 。

因为态射是协变（共变）的，这样的函子也叫协变函子。

反变函子：把协变函子定义中的第2条态射箭头反过来，即 $f: X \to Y \in \mathcal{C} \Rightarrow F(f): F(Y) \to F(X) \in \mathcal{D}$ ，则F称为反变函子。也可以将反变函子定义为在对偶范畴 $\mathcal{C}^{op}$ 上的协变函子。

（14）代数拓扑中的一些函子：

几何实现函子：从抽象复形到几何复形的一个函子；

链复形函子：复形范畴到链复形范畴的函子，将复形K映为链复形 $\mathcal{C}(K)$ ，将单纯映射 $f: K \to L$ 映为链映射 $f_{\sharp}: C_{p}(K) \to C_{p}(L)$ ；

同调函子：拓扑同伦范畴到Abel群范畴的函子，将拓扑空间X映为同调群 $H_{p}(X)$ ，将连续映射的同伦类 $[f]: X \to Y$ 映为同调群的同态 $f_{*}: H_{p}(X) \to H_{p}(Y)$ ，这就定义了一种同调论；

正合同调函子：链复形短正合序列范畴到长正合同调序列范畴的函子，由之字形引理可知，每个链复形短正合序列诱导一个长正合同调序列，并且短正合序列的同态诱导长正合同调序列的同态，之字形引理的函子性恰好说明这是一个函子；

直和函子：Abel群族到Abel群的函子，对Abel群族中的各个群进行直和运算。类似地还有直积函子；

Abel化函子：通过群G的换位子群 [G, G]，将群G Abel化，这就定义了一个函子 $G \to G/[G,G]$ ，它是群范畴到Abel群范畴的函子；

Stone-Cech紧致化函子：从完全正则空间到紧致Hausdorff空间的函子，每个完全正则空间X都可以通过Stone-Cech紧致化，变为一个紧致的Hausdorff空间，记作 $\beta(X)$

（15）自然变换：是将一个函子变为另一个函子，使相关范畴的内在结构（就是态射间的复合）得以保持，因此可以将自然变换视为函子间的映射。对两个平行函子 $F,G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ，一个从F到G 的自然变换 $\eta: F \to G$ ，表示对 $\mathcal{C}$ 中每个对象，给出一个在 $\mathcal{D}$ 的对象间的态射 $\eta_{X} : F(X) \to G(X)$ ，称为η在X处的分量，使得对 $\mathcal{C}$ 中每个态射 $f: X \to Y$ 都有 $\eta_{Y} \circ F(f)=G(f) \circ \eta_{X}$ ，该式可表达为交换图：

从F到G 的自然变换 η ，也可表达为态射族 $\eta_{X} : F(X) \to G(X)$ 在X中是自然的。自然变换也可记为 $\eta: F \Rightarrow G$ ，注意如果F和G都是反变函子，将上述交换图表中的水平箭号方向反转。

若对 $\mathcal{C}$ 中每个对象X，自然变换的分量即态射 $\eta_{X}$ 是 $\mathcal{D}$ 中的同构 $F(X)\cong G(X)$ ，则称 η 为自然同构，并称函子F和G是自然同构的，记作 $F \cong G$

自然变换本质上是指一系列来源不同的箭头（一个来源于F，另一个来源于G），每对箭头确保图可交换，即箭头间的复合仍然得以保持，这就是"自然性"的体现。

例子：

联系同态 $\partial_{\ast}: H_{p}(X,A) \to H_{p-1}(A, \varnothing)$ 就是同调函子 $H_{p}$ 到同调函子 $H_{p-1}$ 的一个自然变换

主要定理：

（1）分裂引理：在任意Abel范畴中，给定一个具有映射q 与r 的短正合序列 $0 \to A \overset{q}{\rightarrow} B \overset{r}{\rightarrow} C \to 0$ ，则下列陈述等价：

左分裂：q有回缩，即存在映射 $B\overset{t}{\rightarrow} A$ 使得 tq 是A的恒等映射 $1_{A}$ ；

右分裂：r有截面，即存在映射 $C\overset{u}{\rightarrow} B$ 使得 ru 是C的恒等映射 $1_{C}$ ；

直和：B同构于A和C的直和 $A \oplus C$ ，并且q是A的自然内射，r是到C的投影。

如果上述任一条件成立，则称短正合序列为分裂的

（2）对短正合序列 $0 \to A \overset{q}{\rightarrow} B \overset{r}{\rightarrow} C \to 0$ ，如果C是自由Abel群，则这个序列是分裂的

（3）正合序列的可分解性：任意长正合序列可以分解为短正合序列。长正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造分解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

$... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} A_{n-1} \overset{f_{n}}{\rightarrow} A_{n} \overset{f_{n+1}}{\rightarrow} A_{n+1} \to \, ...$

设 $Z_{n}=Ker(f_{n+1})=Im(f_{n})=Coker(f_{n-1})$ ，其中 $2\leq n\leq 4$ ，这就给出了一个短正合序列

$0 \to Z_{n} \to A_{n} \to Z_{n+1} \to 0$

（4）蛇引理：对Abel范畴（例如Abel群或模的范畴）中的任意行正合的交换图表

即每一行都是正合序列，那么存在态射 $d:ker\,c \to coker\,a$ ，使得联系a, b, c的核与上核的序列

是正合序列。此外，若 f 是单射，则 $ker\,a \to ker\,b$ 亦然；若 g 是满射，则 $coker\,b \to coker\,c$ 亦然。

在同调代数中，蛇形引理是通过短正合序列构造长正合序列的关键工具，依此构造的同态通常称作联系同态。上述构造出来的长正合序列可以通过下图中的"蛇形"来说明：

（5）蛇引理的函子性（自然性）：对Abel范畴中的任意行正合的交换图表

利用蛇引理两次，一次在“前”一次在“后”，则产生两条长正合序列，它们满足以下交换图

可见蛇引理构造的不同长正合序列具有函子性，或者说自然性（自然变换的意思）

（6）五引理：对Abel范畴或群范畴中的任意行正合的交换图表

如果 l 是满射 q 是单射，m, p 是同构，那么 n 是同构。注意五引理不只对Abel范畴成立，对群范畴也成立。

证明思路：使用图追踪法

（7）短五引理：五引理对短正合序列的特例。对Abel范畴或群范畴中的任意行正合的交换图表

如果 $\alpha, \gamma$ 都为单态，那么 $\beta$ 也为单态；如果 $\alpha, \gamma$ 都为满态，那么 $\beta$ 也为满态；如果 $\alpha, \gamma$ 都为同构，那么 $\beta$ 也为同构。注意短五引理不只对Abel范畴成立，对群范畴也成立。

证明思路：使用五引理，也可以使用蛇引理

（8）九引理：对Abel范畴中的任意交换图表

如果所有列和底下两行是正合的，则顶上一行也是正合的。如果所有列和顶上两行是正合的，则底下一行也是正合的。由于图表关于对角线是对称的，把行和列互换后结论仍然成立。

类似地，有十六引理、二十五引理，等等。

证明思路：用图追踪法，或者套用蛇引理

（9）之字形引理（Zig-zag Lemma）：对一般的链复形 $\mathcal{C}=\left \{ C_{p}, \partial_{C} \right \}, \, \mathcal{D}=\left \{ D_{p}, \partial_{D} \right \}, \, \mathcal{E}=\left \{ E_{p}, \partial_{E} \right \}$ ，若序列 $0 \to \mathcal{C} \overset{f}{\rightarrow} \mathcal{D} \overset{g}{\rightarrow} \mathcal{E} \to 0$ 是链复形的短正合序列，则存在一个链复形的长正合同调序列

$... \to H_{p}(\mathcal{C}) \overset{f_{*}}{\rightarrow} H_{p}(\mathcal{D}) \overset{g_{\ast}}{\rightarrow} H_{p}(\mathcal{E}) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(\mathcal{C}) \overset{f_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(\mathcal{D}) \to ...$

其中 $f_{\ast}, g_{\ast}$ 是链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \, g: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ 的诱导同态，而联系同态 $\partial_{\ast}$ 是由 $\mathcal{D}$ 中的边缘算子 $\partial_{D}$ 诱导的。

一般地，设 $\mathcal{A}=\left \{ A_{n}, \partial_{\bullet} \right \}, \, \mathcal{B}=\left \{ B_{n}, \partial_{\bullet}^{'} \right \}, \, \mathcal{C}=\left \{ C_{n}, \partial_{\bullet}^{''} \right \}$ 是三个链复形，满足 $0 \to \mathcal{A} \overset{f}{\rightarrow} \mathcal{B} \overset{g}{\rightarrow} \mathcal{C} \to 0$ 是短正合序列，下面的交换图

每行是都是正合的，每列都是链复形，那么存在一族同调群的联系同态 $\delta_{n}:H_{n}(\mathcal{C}) \to H_{n-1}(\mathcal{A})$ ，使得下面的序列是长正合同调序列

其中 $\alpha_{\ast}, \beta_{\ast}$ 是由链映射 $\alpha_{n}, \beta_{n}$ 诱导的同态。

之字形引理是对链复形的每个短正合序列，可以导出它的同调群的一个长正合序列，这是计算同调群的一种有效方法。引理适用于一般的链复形，并没有限定它是自由的或非负的，因此并不只限于单纯同调群的应用

证明思路：使用图追踪法，或直接套用蛇引理。实际上蛇引理是之字形引理的变体版本

（10）复形偶的正合同调序列：之字形引理在相对同调中的特例。若 $K_{0}$ 是复形K的子复形，那么存在一个长正合同调序列

$... \to H_{p}(K_{0}) \overset{i_{*}}{\rightarrow} H_{p}(K) \overset{\pi_{\ast}}{\rightarrow} H_{p}(K,K_{0}) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(K_{0}) \to ...$

其中 $i_{\ast}, \, \pi_{\ast}$ 分别是由包含映射 $i: K_{0} \to K$ 和 $\pi: (K, \varnothing) \to (K, K_{0})$ 诱导的同态，而 $\partial_{\ast}$ 是由边缘算子 $\partial_{p}: C_{p}(K, K_{0}) \to C_{p-1}(K, K_{0})$ 诱导的联系同态。在约化同调中也有类似的长正合同调序列

$... \to \widetilde{H}_{p}(K_{0}) \overset{i_{*}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p}(K) \overset{\pi_{\ast}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p}(K,K_{0}) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p-1}(K_{0}) \to ...$

证明思路：将之字形引理应用于单纯链群或相对链群链复形 $\mathcal{C}(K_{0}), \mathcal{C}(K), \mathcal{C}(K,K_{0})$ 的短正合序列，其中的链映射诱导出同调群的同态，最终得到同调序列

（11）之字形引理的函子性（自然性）：对链复形范畴中的任意行正合的交换图表

其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 是链映射，利用之字形引理两次，一次在“前”一次在“后”，则产生两条长正合同调序列，它们满足以下交换图

可见之字形引理构造的不同长正合同调序列具有函子性，或者说自然性

（12）正合同调序列的同态：如果 $h: (K,K_{0}) \to (L,L_{0})$ 是复形偶之间的一个单纯映射，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(K,K_{0}) \to H_{p}(L,L_{0})$ 给出 $(K,K_{0})$ 的正合同调序列到 $(L,L_{0})$ 的正合同调序列的一个同态；如果对 i=p 和 i=p-1 ， $h_{\ast}:H_{i}(K) \to H_{i}(L)$ 和 $h_{\ast}:H_{i}(K_{0}) \to H_{i}(L_{0})$ 都是同构，那么 $h_{\ast}: H_{p}(K,K_{0}) \to H_{p}(L,L_{0})$ 也是同构。这两个结果对约化同调也成立，对一般的连续映射 $h: (\left | K \right |,\left | K_{0} \right |) \to (\left | L \right |,\left | L_{0} \right |)$ 也成立

（13）Mayer-Vietoris序列：设K是一个复形，若 $K_{0},K_{1}$ 是它的子复形并且 $K=K_{0} \cup K_{1}$ ， $A=K_{0} \cap K_{1}$ ，那么就有一个同调正合序列

$... \to H_{p}(A) \to H_{p}(K_{0}) \oplus H_{p}(K_{1}) \to H_{p}(K) \to H_{p-1}(A) \to ...$

称为 $(K_{0},K_{1})$ 的梅耶－菲托里斯序列。如果A是非空，那么在约化同调中也存在类似的正合序列。

在相对同调中，对子复形 $L_{0} \subset K_{0} \subset K, \, L_{1} \subset K_{1} \subset K$ ，也有类似的同调的正合序列

$... \to H_{i}(K_{0} \cap K_{1}, L_{0} \cap L_{1}) \to H_{i}(K_{0},L_{0}) \oplus H_{i}(K_{1},L_{1}) \to H_{i}(K_{0} \cup K_{1}, L_{0} \cup L_{1}) \to ...$

称为相对Mayer-Vietoris序列

（14）Mayer-Vietoris序列的同态：如果 $h: (K,K_{0},K_{1}) \to (L,L_{0},L_{1})$ 是复形三元组之间的一个单纯映射，其中 $K=K_{0} \cup K_{1}, \, L=L_{0} \cup L_{1}$ ，那么 h 诱导Mayer-Vietoris序列的同态。这个结果对一般的连续映射 $h: (\left | K \right |,\left | K_{0} \right |,\left | K_{1} \right |) \to (\left | L \right |,\left | L_{0} \right |,\left | L_{1} \right |)$ 也成立

（15）双角锥的同调群：如果 $S(K)=(w_{0} \ast K) \cup (w_{1} \ast K)$ 是复形K上的一个双角锥，那么对所有的p，均有一个约化同调群的同构 $\widetilde{H}_{p}(S(K)) \cong \widetilde{H}_{p-1}(K)$

（16）Eilenberg-Steenrod公理：是拓扑空间上的同调论的共有性质。同调论可以定义为从拓扑空间偶范畴 $\mathcal{A}$ 到Abel群范畴AbGrp的一族协变函子 $H_{n}$ ，对每个整数 n 它把空间偶 (X, A) 映为Abel群 $H_{n}(X,A)$ （称为同调群），把每个连续映射 $h: (X, A) \to (Y, B)$ 映为同调群的同态 $(h_{\ast})_{n}: H_{n}(X,A) \to H_{n}(Y,B)$ （称为诱导同态），还要定义一个自然变换 $\partial_{\ast}: H_{n}(X,A) \to H_{n-1}(A, \varnothing)$ 称为联系同态（也称为边界映射），它们满足以下公理：

1）公理1（单位公理）：如果 $i: (X,A) \to (X,A)$ 是恒等映射，那么诱导同态 $i_{\ast}: H_{n}(X,A) \to H_{n}(X,A)$ 是恒等同态；

2）公理2（复合公理）： $(k \circ h)_{\ast}= k_{\ast} \circ h_{\ast}$ ；

3）公理3（自然变换公理）：联系同态 $\partial_{\ast}: H_{n}(X,A) \to H_{n-1}(A, \varnothing)$ 是协变函子 $H_{n}$ 的自然变换。也就是空间偶映射 $f: (X,A) \to (Y,B)$ 满足 $\partial_{\ast} \circ f_{\ast}=(f|_{A})_{\ast} \circ \partial_{\ast}$ ，即下列图表交换

4）同伦公理：如果两个映射 $h,k: (X,A) \to (Y,B)$ 是同伦的，即存在一个映射 $F:(X \times I, A \times I)\to (Y,B)$ 使得 $F(x, 0)=h(x), \, F(x,1)=k(x)$ 对所有 $x \in X$ 成立，那么 $h_{\ast}=k_{\ast}$ ；

5）切除公理：对任意空间偶 (X, A) 和X的开子集U，如果U的闭包包含在A内部中即 $\overline{U} \subset Int\,A$ ，那么空间偶的包含映射 $i: (X-U,A-U) \to (X,A)$ 诱导一个同构 $H_{n}(X-U,A-U) \cong H_{n}(X,A)$ ；

6）维数公理：如果P是单点空间，那么 $H_{n}(P)=0 \, (n\neq 0)$ ， $H_{0}(P) \cong Z$ ， $H_{0}(P)$ 称为系数群；

7）正合公理：对任意空间偶 (X, A) ，同调群序列 $... \to H_{n}(A) \overset{i_{*}}{\rightarrow} H_{n}(X) \overset{\pi_{\ast}}{\rightarrow} H_{n}(X,A) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{n-1}(A) \to ...$ 是长正合序列，其中 $i_{\ast}, \, \pi_{\ast}$ 分别是由包含映射 $i: A \to X$ 和 $\pi: (X, \varnothing) \to (X, A)$ 诱导的同态，而 $\partial_{\ast}$ 是由边缘算子 $\partial_{p}: C_{p}(X, A) \to C_{p-1}(X,A)$ 诱导的联系同态；

8）可加性公理：如果 $X=\coprod_{\alpha}X_{\alpha}$ 是拓扑空间族 $X_{\alpha}$ 的非交并，那么 $H_{n}(X) \cong \bigoplus_{\alpha}H_{n}(X_{\alpha})$

公理的意义：

可以证明只要符合艾伦伯格－斯廷罗德公理的同调论都会有共同的结果，例如单纯同调论、奇异同调论、梅耶－菲托里斯序列。如果省略其中的维数公理，那么其余的公理所定义的是广义同调论（超同调论），它与常义同调论的区别在于单点空间在许多维数下具有非零的同调。最早发现的广义同调论有微分拓扑中的配边理论、向量丛中的拓扑K-理论。

为处理非紧致的拓扑空间，通常还需要一条附加的公理：

9）紧支集公理：对任意空间偶 (X, A) ，存在一个紧致子空间偶 $(X_{0},A_{0})$ ，使得任意同调类 $a \in H_{n}(X,A)$ 在由包含映射 $i: (X_{0},A_{0}) \to (X,A)$ 诱导的同态 $i_{\ast}: H_{n}(X_{0},A_{0}) \to H_{n}(X,A)$ 的像中，即存在 $b \in H_{n}(X_{0},A_{0})$ 使得 $i_{\ast}(b)=a$

（17）单纯同调论的切除对：如果X是复形K的可剖空间， $X=X_{1} \cup X_{2}$ ，并且 $X_{1}, X_{2}$ 是K的子复形的可剖空间，那么 $(X_{1},X_{2})$ 是单纯同调论的切除对；

任意同调论的切除对：设 $X=X_{1} \cup X_{2}$ ， $(X_{1},X_{1} \cap X_{2})$ 和 $(X,X_{2})$ 都是拓扑空间偶，如果 $\left \{ Int\,X_{1}, Int\,X_{2} \right \}$ 覆盖X，并且 $X_{1}$ 在X中闭的，那么 $(X_{1},X_{2})$ 对于任何满足艾伦伯格－斯廷罗德公理的同调论是一个切除对

（18）可三角剖分偶范畴上的单纯同调论满足艾伦伯格－斯廷罗德公理

（19）可三角剖分空间的切除定理：设A是拓扑空间X的子空间，U是X的子集并且 $U \subset Int\,A$ ，如果空间偶 (X, A) 和 (X-U, A-U) 都是可三角剖分的，那么包含映射 $(X-U, A-U) \to (X,A)$ 诱导同构 $H_{p}(X-U,A-U) \cong H_{p}(X,A)$ ；

注意这里并没有要求U是开子集，也没有要求 $\overline{U} \subset Int\,A$ ，因此它是比切除公理更强的形式

（20）设 $i: (X_{0},A_{0}) \to (X,A)$ 是可剖分偶的包含映射，其中 $(X_{0},A_{0})$ 是空间偶 (X, A) 的一个紧致子空间偶，如果同调类 $a \in H_{p}(X_{0},A_{0})$ 满足 $i_{\ast}(a)=0$ ，那么存在一个紧偶 $(X_{1},A_{1})$ 和包含映射 $(X_{0},A_{0}) \overset{j}{\rightarrow} (X_{1},A_{1}) \overset{k}{\rightarrow} (X,A)$ ，使得 $j_{\ast}(a)=0$

这说明可三角剖分偶的单纯同调满足紧支集公理

（21）给定有限生成Abel群的一个序列 $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ ，其中 $G_{0},G_{n}$ 是自由的，并且 $G_{0}$ 是非平凡的，那么存在一个n维有限复形K，使得对所有 $i=0,...,n$ 均有 $H_{i}(K) \cong G_{i}$ ；

给定有限生成Abel群的一个序列 $G_{0},G_{1},...$ ，其中 $G_{0}$ 是自由的和非平凡的，那么存在一个无限维或有限维的复形K，使得对每个 i 均有 $H_{i}(K) \cong G_{i}$

奇异同调论

（1）p维标准单形：欧氏空间 $E^{p}$ 中以下p+1个点 $e_{0}=(0,...,0), e_{1}=(1,0,...,0), ..., e_{p}=(0,...,0,1)$ 为几何独立点集，以它们为顶点生成的单形记作 $\Delta_{p}=[e_{0},e_{1},...,e_{p}]$ ，称为p维标准单形。点 $v \in \Delta_{p}$ 的重心坐标是 $v=\sum_{i=0}^{p}\lambda_{i}e_{i}=(\lambda_{0},\lambda_{1},...,\lambda_{p})$ 。 $\Delta_{p}$ 有p+1个p-1维的面，它们是标准单形 $[e_{0},...,\hat{e_{i}},...,e_{p}], \, (i=0,...,q)$ ；

p维奇异单形：标准单形到拓扑空间的一个连续映射 $\sigma: \Delta_{p} \to X$ ，称为X中的一个p维奇异单形。奇异单形不必是嵌入的，它甚至可以退化为一点，只要 $\sigma$ 连续即可。奇异单形可以通过标准单形的重心坐标表示为 $\sigma(\lambda_{0},...,\lambda_{p})$ 。0维奇异单形是X中的一点，1维奇异单形是X中的一条道路；

线性奇异单形：取欧氏空间 $E^{J}$ 的p+1个点 $a_{0},...,a_{p}$ ，它们不心是几何独立的，存在唯一的连续映射 $\sigma: \Delta_{p} \to E^{J}$ 将顶点 $e_{i}$ 映到 $a_{i}$ ，即 $\sigma(\sum_{i=0}^{p}\lambda_{i}e_{i})=\sum_{i=0}^{p}\lambda_{i}a_{i}$ ，这样的奇异单形 $\sigma$ 称为 $E^{J}$ 中由点 $a_{0},...,a_{p}$ 确定的线性奇异单形，记作 $l(a_{0},...,a_{p}): \Delta_{p} \to E^{J}$ ；

p-1维面确定的线性奇异单形：在重心坐标下，映射 $d_{i}: \Delta_{p-1} \to \Delta_{p}$ 定义为 $d_{i}(\lambda_{0},...,\lambda_{p-1})=(\lambda_{0},...,\lambda_{i-1},0,\lambda_{i+1},...,\lambda_{p})$ ，它同胚地将 $\Delta_{p}$ 映射到 $\Delta_{p}$ 的一个p-1维面，易见 $d_{i}$ 就是p-1维线性奇异单形 $l(e_{0},...,\hat{e}_{i},...,e_{p})$ ；

（2）p维奇异链：拓扑空间X上的有限个p维奇异单形以整数为系数的形式和 $x=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\sigma_{i}$ ，称为X上的一个p维奇异链；

p维奇异链群：X上的全体p维奇异链的集合记作 $S_{p}(X)$ ，以自然的方式定义奇异链的加法， $n\sigma + m \sigma^{'}=(n+m)\sigma$ 当且仅当 $\sigma, \sigma^{'}$ 是相等的奇异单形，则 $S_{p}(X)$ 是一个以所有p维奇异单形为基的自由Abel群，称为p维整系数奇异链群。当p<0时 $S_{p}(X)=0$ ，当p>dimX时 $S_{p}(X)$ 是有定义的，这与复形的单纯链群不同

（3）边缘算子：由标准单形 $\Delta_{p}=[e_{0},e_{1},...,e_{p}]$ 定义的p维奇异单形 $\sigma: \Delta_{p} \to X$ ，它的边缘定义为 $\partial_{p}(\sigma)=\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}\sigma \circ l[e_{0},...,\hat{e}_{i},...,e_{p}]$ ，其中复合映射 $\sigma \circ l[e_{0},...,\hat{e}_{i},...,e_{p}]: \Delta_{p-1} \to X$ 是X的一个p-1维奇异单形。即边缘就是将每个 p-1 维奇异单形给以定向，然后再把它们相加而得到的 p-1 维奇异链；

对任意p维奇异链 $x \in C_{p}(X), \, x=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\sigma_{i}$ ，定义 $\partial_{p}(x)=\sum_{i=1}^{s}n_{i} \partial_{p} \sigma_{i} \in S_{p-1}(X)$ ，不难验证对任意 $x,y \in S_{p}(X)$ ，有

$\partial_{p}(x)+\partial_{p}(-x)=0$

$\partial_{p}(x+y)=\partial_{p}(x)+\partial_{p}(y)$

$\partial_{p}(kx)=k\partial_{p}(x), \, k \in Z$

因此算子 $\partial_{p}$ 是一个同态 $\partial_{p}: S_{p}(X) \to S_{p-1}(X)$ ，称为奇异链群 $S_{p}(K)$ 的p维边缘算子或边缘同态，约定当 $p\leq 0$ 时它是平凡同态，而且 $\partial_{0}=0$ ；

边缘算子性质： $\partial_{p} \circ \partial_{p+1}=0$ ，即对任意 $x \in S_{p+1}(X)$ 有 $\partial_{p} \partial_{p+1}(x)=0$

（4）奇异链复形：奇异链群族 $\left \{ S_{p}(X) \right \}$ 与边缘同态族 $\left \{ \partial_{p} \right \}$ 写成序列 $... \to S_{p}(X) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} S_{p-1}(X) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} S_{0}(X) \overset{\partial_{0}}{\rightarrow} 0$ ，此序列称为X的奇异链复形，记作 $\mathcal{C}(X)=\left \{ S_{p}, \partial_{p} \right \}$ ；

p维奇异闭链群： $Z_{p}(X)=ker \, \partial_{p}=\left \{ x \in S_{p}(X) \,|\, \partial_{p}(x)=0 \right \}$ ;

p维奇异边缘链群： $B_{p}(X)=im \, \partial_{p+1}=\left \{ \partial_{p+1}(y) \,|\, y \in S_{p+1}(X) \right \}$

p维奇异同调群：即奇异链复形的同调群 $H_{p}(X)=ker \, \partial_{p} / im \, \partial_{p+1}=Z_{p}(X)/B_{p}(X)$

（5）奇异同调类：由p维奇异闭链 $z \in Z_{p}(X)$ 所确定的 $H_{p}(X)$ 中的元素 $[z]=z+B_{p}(X) \in H_{p}(X)$ ，称为拓扑空间X上的一个p维奇异同调类，z是同调类 [z] 的一个代表。 $[x]=[y] \in H_{p}(X)$ 的充要条件是 $x,y \in Z_{p}(X)$ 且 $x \sim y$ ；

同调群的加法运算： $H_{p}(X)$ 的元素就是所有p维奇异同调类，对任意 $[x],[y] \in H_{p}(X), \, k \in Z$ ，根据商群的定义， $[x]+[y]=[x+y], \, [kx]=k[x]$ ，这就是奇异同调群上的加法运算；

同调关系：两个p维奇异链 $x,y \in S_{p}(X)$ 如果它们的差为p维奇异边缘链 $x-y \in B_{p}(X)$ ，即存在 $z \in S_{p+1}(X)$ ，使得 $x-y=\partial_{p+1}(z)$ ，这时它们有相同的同调类，我们称x同调于y，记作 $x\sim y$ 或 $x-y \sim 0$ 。特别地，当 $x=\partial_{p+1}z$ 时称x同调于零，或者称x形成边界；

（6）增广同态：对拓扑空间X， $S_{0}(X)$ 中的0维奇异链可表示为0维奇异单形即X中的点的形式和 $x=\sum_{i=0}^{k}n_{i}x_{i}$ 。定义满同态 $\varepsilon: S_{0}(X) \to Z$ 为对每个点 $x_{i}$ 置 $\varepsilon(x_{i})=1$ ，对每个0维奇异链则有   $\varepsilon(x)=\varepsilon(\sum_{i=0}^{k}n_{i}x_{i})=\sum_{i=0}^{k}n_{i}$ ， $\varepsilon$ 称为奇异链群 $S_{0}(X)$ 的增广同态。注意若X是道路连通的则有 $ker \, \varepsilon =B_{0}(X)$ ；

增广奇异链复形：在奇异链复形 $\mathcal{C}(X)$ 的-1维处添加增广同态 $\varepsilon: S_{0}(X) \to Z$ ，得到的序列 $... \to S_{p}(X) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} S_{p-1}(X) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} S_{0}(X) \overset{\varepsilon}{\rightarrow} Z \to 0$ ，称为增广奇异链复形，记作 $\left \{ \mathcal{C}(X), \varepsilon \right \}$ ；

约化奇异同调群：即增广链复形 $\left \{ \mathcal{C}(X), \varepsilon \right \}$ 的同调群，记作 $H_{p}(\left \{ \mathcal{C}(X), \varepsilon \right \})$ 或 $\widetilde{H}_{p}(X)$ ，即当p=0时 $\widetilde{H}_{0}(X)=ker\, \varepsilon /im \, \partial_{1}, \, H_{0}(X)=\widetilde{H}_{0}(X) \oplus Z$ ，当 $p \neq 0$ 时 $\widetilde{H}_{p}(X)=H_{p}(X)$ 。拓扑空间的约化同调群能更好地描述这个拓扑空间有几维的“洞”（因为道路连通的拓扑空间没有零维的洞，此时它的零维约化同调群也为零）；

零调空间：如果拓扑空间X的约化奇异同调群在所有维数下都为0，就称X是零调的。注意有些书上是用常义同调群为零来定义零调的

（6）奇异链映射 $f_{\sharp}$ ：设 $f: X \to Y$ 是拓扑空间的连续映射，奇异链群同态 $(f_{\sharp})_{p}: S_{p}(X) \to S_{p}(Y)$ 定义为对X上的p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ 有 $(f_{\sharp})_{p}(T)=f \circ T$ ，得到Y上的一个p维奇异单形。通常省略维数下标简写为 $f_{\sharp}$ ， $f_{\sharp}$ 称为 f 诱导的p维奇异链映射。 $f_{\sharp}$ 会把闭链映到闭链，把边缘链映到边缘链；

$f_{\sharp}$ 也会诱导同调群的同态 $f_{\ast}: H_{p}(X) \to H_{p}(Y)$ ，以及约化同调群的同态 $f_{\ast}: \widetilde{H_{p}}(X) \to \widetilde{H_{p}}(Y)$ ，它们称为连续映射 $f: X \to Y$ 的p维诱导同态；

性质：奇异链映射 $f_{\sharp}$ 与边缘同态 $\partial$ 可交换，即 $\partial f_{\sharp}(T)=f_{\sharp} \partial(T)$

（7）星凸空间：给定子空间 $X \subset E^{J}$ 及任意一点 $w \in X$ ，如果对异于 w 的每一点 $x \in X$ ，从x到w的线段都在X中，就称X关于点w是星凸的

（8）奇异链的括号算子：对X的一个p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ ，定义一个p+1维奇异单形 $[T,w]: \Delta_{p+1} \to X$ ，它把从点 $x \in \Delta_{p}$ 到 $e_{p+1}$ 的线段线性地映射到从T(X)到点w的线段。对X上的p维奇异链 $x=\sum_{i=1}^{k}n_{i}T_{i}$ ，则定义 $[x,w]=\sum_{i=1}^{k}n_{i}[T_{i}, w]$ ，得到一个p+1维奇异链。注意 [T, w] 是连续的，如果T是线性奇异单形 $l(a_{0},...,a_{p}): \Delta_{p} \to E^{J}$ ，那么 [T, w] 就是线性奇异单形 $l(a_{0},...,a_{p},w): \Delta_{p+1} \to E^{J}$

（9）相对奇异同调群：

相对奇异链群：如果A是拓扑空间X的子空间，则商群 $S_{p}(X, A)=S_{p}(X)/S_{p}(A)$ 称为X模A的相对奇异链群，也称为空间偶(X, A)的相对奇异链群，它是自由群，以所有形如 $T_{i} + S_{p}(A)$ 的陪集为基，其中 $T_{i}: \Delta_{p} \to X-A$ 是在K中但不在A中的p维奇异单形；

相对奇异链群的边缘算子： $\partial_{p}: S_{p}(X, A) \to S_{p-1}(X, A)$ ；

相对奇异闭链群： $Z_{p}(X,A)=ker \, \partial_{p}$ ；

相对奇异边缘链群： $B_{p}(X,A)=im \, \partial_{p+1}$ ；

相对奇异同调群：空间偶 (X, A) 的相对同调群定义为 $H_{p}(X,A)=Z_{p}(X,A)/B_{p}(X,A)$ ；

（10）相对奇异链映射：设 $f: (X,A) \to (Y,B)$ 是拓扑空间偶的连续映射，则同态 $f_{\sharp}: S_{p}(X,A) \to S_{p}(Y,B)$ 称为 f 诱导的相对奇异链映射，它与边缘算子 $\partial_{p}$ 可交换，因而它诱导同态 $f_{\ast}: H_{p}(X,A) \to H_{p}(Y,B)$ ；

链映射：设 $\mathcal{C}=\left \{ C_{p}, \partial_{p} \right \}, \, \mathcal{C}^{'}=\left \{ C_{p}^{'}, \partial_{p}^{'} \right \}$ 是两个奇异链复形，一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是一族同态 $f_{p}: C_{p} \to C_{p}^{'}$ 使得 $\partial_{p}^{'} \circ f_{p}=f_{p-1} \circ \partial_{p}$ 对所有p都成立，即下列图表中每个方形都是交换的

保持增广的链映射：设 $\left \{ \mathcal{C}, \varepsilon \right \}, \, \left \{ \mathcal{C}^{'},\varepsilon^{'} \right \}$ 是两个增广链复形，当 $\varepsilon^{'} \circ f_{0}=\varepsilon$ 时，称链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是保持增广的；

链映射的诱导同态：一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 诱导同调群的同态 $(f_{\ast})_{p}: H_{p}(\mathcal{C}) \to H_{p}(\mathcal{C}^{'})$ ，称为p维诱导同态；

（11）链同伦：如果 $f,g: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ 是链复形之间的两个链映射，那么 f 到 g 的一个链同伦定义为一族同态 $D_{p}:C_{p} \to C_{p+1}^{'}$ 使得对所有 p 都有 $\partial_{p+1}^{'}D_{p} + D_{p-1}\partial_{p}=g_{p}-f_{p}$ ，可简写为 $\partial^{'} D + D \partial = g-f$ 。链同伦是链映射集合上的等价关系，链映射的复合在链同伦类上诱导一个完全确定的复合运算。链同伦记作 $f \simeq g$ ，可以用下列交换图表示

诱导链映射的链同伦：对空间偶的两个连续映射 $f,g: (X,A) \to (Y,B)$ ，如果对每个p都有一个同态 $D_{p}: C_{p}(X,A) \to C_{p+1}(Y,B)$ 满足等式 $\partial_{p+1}^{'}D_{p} + D_{p-1}\partial_{p}=(g_{\sharp})_{p}-(f_{\sharp})_{p}$ ，可简写为 $\partial D + D \partial = g_{\sharp}-f_{\sharp}$ ，那么D称为诱导链映射 $f_{\sharp}, \, g_{\sharp}$ 之间的一个链同伦，记作 $f_{\sharp} \simeq g_{\sharp}$ ，可用下列图表表示（其中 K=(X,A)，L=(Y,B) ）

链等价（链同伦等价）：对一个链映射 $f: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{'}$ ，如果存在一个链映射 $g: \mathcal{C}^{'} \to \mathcal{C}$ 使得 $g \circ f, \, f \circ g$ 分别链同伦于 $\mathcal{C}, \, \mathcal{C}^{'}$ 上的恒等映射，即 $g \circ f \simeq id_{C}, \, f \circ g \simeq id_{C^{'}}$ ，则称链映射 f 是一个链等价，g 称为 f 的链同伦逆

（12）重心重分算子：设X是一个拓扑空间，用归纳法定义一个同态 $sd_{X}: S_{p}(X) \to S_{p}(X)$ ，若 $T: \Delta_{0} \to X$ 是0维奇异单形，则定义 $sd_{X}(T)=T$ ；假设维小于p时 $sd_{X}$ 已被定义，对恒等映射 $i_{p}:\Delta_{p} \to \Delta_{p}$ ，标准单形 $\Delta_{p}$ 关于其重心 $\widehat{\Delta}_{p}$ 是星凸的，利用奇异链的括号算子定义 $sd_{\Delta_{p}}(i_{p})=(-1)^{p}[sd_{\Delta_{p}}(\partial \, i_{p}), \widehat{\Delta}_{p}]$ ，于是对X上的任意p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ ，定义 $sd_{X}(T)=T_{\sharp}(sd_{\Delta_{p}}(i_{p}))$ ，这里 $T_{\sharp}: S_{p}(\Delta_{p}) \to S_{p}(X)$ 是链映射。 $sd_{X}$ 称为X的首次重心重分算子。类似地可以定义多次重心重分的算子 $sd^{m}T$

（13）重分奇异链群：设 $\mathcal{A}$ 是拓扑空间X的一个子集族，其子集的内部覆盖X，奇异链群 $S_{p}^{\mathcal{A}}(X)$ 表示由 $\mathcal{A}$ 小的奇异单形（即奇异单形的像在 $\mathcal{A}$ 的一个元素中）生成的 $S_{p}(X)$ 的子群，称为重分奇异链群；

重分奇异链复形： $\mathcal{C}^{\mathcal{A}}(X)$ 表示链群为 $S_{p}^{\mathcal{A}}(X)$ 的奇异链复形，称为重分奇异链复形，它是 $\mathcal{C}(X)$ 的子链复形。因此有重分奇异链复形的包含映射 $i: \mathcal{C}^{\mathcal{A}}(X) \to \mathcal{C}(X)$ ，它表示一族重分的包含同态 $i_{p}: S_{p}^{\mathcal{A}}(X) \to S_{p}(X)$

（14）零调模：设 $G: \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ 是从范畴 $\mathcal{C}$ （拓扑空间范畴或拓扑空间偶范畴）到增广链复形范畴 $\mathcal{A}$ 的函子，它把对象 $X \in ob(\mathcal{C})$ 映为增广链复形 $... \to G_{p}(X) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} G_{p-1}(X) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} G_{0}(X) \overset{\varepsilon}{\rightarrow} Z \to 0$ ， $G_{p}(X)$ 表示它的p维群，把连续映射 $f: X \to Y$ 映为链映射 $f_{\sharp}: G_{p}(X) \to G_{p}(Y)$ ， $\mathcal{U}$ 是 $\mathcal{C}$ 的对象的一个子集，称为模或模对象。如果对每个 $X \in \mathcal{U}$ ，G(X) 都是零调的，则称函子G关于集族 $\mathcal{U}$ 是零调的， $\mathcal{U}$ 称为函子G的一个零调模。如果对每个整数p，存在 $\mathcal{U}$ 中的对象子集 $\left \{ M_{\alpha} \right \}_{\alpha \in J_{p}}$ 和每个群的一个元素 $i_{\alpha} \in G_{p}(M_{\alpha})$ 构成的子集 $\left \{i_{\alpha} \right \}_{\alpha \in J_{p}}$ ，满足对给定的X，当 $\alpha$ 遍历 $J_{p}$ ，f 遍历 $hom(M_{\alpha},X)$ 时，各元素 $G(f)(i_{\alpha}) \in G_{p}(X)$ 互不相同并且形成 $G_{p}(X)$ 的一个基，则称函子G关于集族 $\mathcal{U}$ 是自由的， $\mathcal{U}$ 称为函子G的一个自由模

例子：

拓扑空间范畴到奇异链复形范畴的函子 $X \overset{G}{\rightarrow} \mathcal{C}(X), \, f \overset{G}{\rightarrow} f_{\sharp}$ ，令 $\mathcal{U}=\left \{ \Delta_{p}: p=0,1,... \right \}$ 为各维数标准单形的合集，则 $\mathcal{U}$ 是零调的，也是自由的，因为存在 $\mathcal{U}$ 的一个对象 $\left \{ \Delta_{p} \right \}$ 和一个恒等奇异单形链 $i_{p}: \Delta_{p} \to \Delta_{p}, \, i_{p} \in C_{p}(\Delta_{p})$ ，满足当T遍历所有连续映射 $\Delta_{p} \to T$ 时，各元素 $T_{\sharp}(i_{p})=T$ 形成 $C_{p}(X)$ 的一个基；

拓扑空间偶范畴到奇异链复形范畴的函子 $(X, Y) \overset{G}{\rightarrow} \mathcal{C}(X,Y), \, (f,g) \overset{G}{\rightarrow} (f \times g)_{\sharp}$ ，令 $\mathcal{U}=\left \{ (\Delta_{p},\Delta_{p}): p,q=0,1,... \right \}$ 为各维数标准单形的合集，由于 $(\Delta_{p},\Delta_{q})$ 是可缩的，则 $\mathcal{U}$ 是零调的，同时它也是自由的，因为存在 $\mathcal{U}$ 的一个对象 $\left \{ (\Delta_{p},\Delta_{q}) \right \}$ 和对角映射 $d_{p} \in S_{p}(\Delta_{p} \times \Delta_{q}), \, d_{p}(x)=(x,x)$ 的集合 $\left \{ d_{p} \right \}$ ，满足当 f, g 分别遍历所有连续映射 $\Delta_{p} \to X$ 和 $\Delta_{p} \to Y$ 时， $(f \times g)_{\sharp}(d_{p})$ 遍历所有映射 $\Delta_{p} \to X \times Y$ ，即遍历 $S_{p}(X \times Y)$ 的基

（15）切除对：设拓扑空间 $X=X_{1} \cup X_{2}$ ，如果拓扑空间偶的包含映射 $i: (X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \to (X,X_{2})$ 诱导同构 $i_{\ast}:H_{p}(X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \cong H_{p}(X,X_{2})$ ，则称 $\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$ 是这个同调论的一个切除对， $(X,X_{1},X_{2})$ 称为正合三元组

（16）锥形：这里定义一般拓扑空间上的锥形。设X是拓扑空间，在积空间 $X \times I$ 中定义关系 ~ 为， $X \times \left \{ 1 \right \}$ 的点彼此等价，而 $X \times (I-\left \{ 1 \right \})$ 中的点只与自身等价，~ 是等价关系，由这一等价关系定义的商空间称为锥形，记作 $CX=X \times I / \sim$ 。直观地，CX是将 $X \times I$ 中所有形如(x,1)的点捏成同一点得到的，这个点称为锥形的顶点。 $(x,t) \in X \times I$ 在锥形CX中的像记作 [x,t] ;

双角锥：拓扑空间X的双角锥是 $X \times [-1,1]$ 通过把子集 $X \times 1, \, X \times (-1)$ 各自等同于一个点而得到的商空间，记作 S(X)

（16）定向单形与有序单形之间的链映射：选取单纯复形K的顶点的一种偏序，使得它在K的每个单形的顶点上诱导一个线性序，对给定的序 $v_{0}<v_{1}<...<v_{p}$ ，定义 $\phi: C_{p}(K) \to C_{p}^{'}(K)$ 为 $\phi([v_{0},...,v_{p}])=(v_{0},...,v_{p})$ ，即把定向单形映为有序单形。定义 $\varphi: C_{p}^{'}(K) \to C_{p}(K)$ 为   $\varphi((v_{0},...,v_{p}))=[v_{0},...,v_{p}]$ 若 $v_{i}$ 是互不相同的，否则 $\varphi((v_{0},...,v_{p}))=0$ 。那么 $\phi, \, \varphi$ 都是保持增广的链映射，并且它们是链同伦等价的。它们的诱导同态为 $\phi_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K))$ ，和 $\varphi: \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K)) \to \widetilde{H}_{p}(K)$   ，实际均为同构

（17）有序单形到奇异单形的链映射：设K是单纯复形， $C_{p}^{'}(K)$ 是K的p维有序单纯链群， $S_{p}(\left | K \right |)$ 是剖分空间 $\left | K \right |$ 的p维奇异链群，定义 $\theta: C_{p}^{'}(K) \to S_{p}(\left | K \right |)$ 为 $\theta((v_{0},...,v_{p}))=l(v_{0},...,v_{p})$ ，即对K的有序单形 $(v_{0},...,v_{p})$ 指派一个把 $\Delta_{p}=[e_{0},e_{1},...,e_{p}]$ 映入 $\left | K \right |$ ，并且把 $e_{i}$ 映到 $v_{i}$ 的线性奇异单形 $l(v_{0},...,v_{p}): \Delta_{p} \to \left | K \right |$ ， $\theta$ 是一个链映射并且是保持增广的。若 $K_{0}$ 是K的子复形，则对应地有保持增广的链映射 $\theta: C_{p}^{'}(K,K_{0}) \to S_{p}(\left | K \right |, \left | K_{0} \right |)$ 。它们诱导的同态为 $\theta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K)) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |)$ ，以及 $\theta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(\mathcal{C}^{'}(K, K_{0})) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |,\left | K_{0} \right |)$ ，实际上均为同构

（18）定向单形到奇异单形的链映射：设 $\mathcal{C}(K)$ 是单纯复形K的单纯链复形， $\mathcal{C}(\left | K \right |)$ 是剖分空间 $\left | K \right |$ 的奇异链复形，选取K的顶点的一种偏序，使得它在K的每个单形的顶点上诱导一个线性序，对给定的序 $v_{0}<v_{1}<...<v_{p}$ ，映射 $\eta: \mathcal{C}(K) \to \mathcal{C}(\left | K \right |)$ 或者写作 $\eta: C_{p}(K) \to S_{p}(\left | K \right |)$ ，定义为 $\eta([v_{0},...,v_{p}])=l(v_{0},...,v_{p})$ ，即把定向单形映为线性奇异单形 $l(v_{0},...,v_{p}): \Delta_{p} \to \left | K \right |$ 。 $\eta$ 是一个链映射，它保持增广并且与包含映射交换。实际上 $\eta$ 恰好是复合映射

$\mathcal{C}(K) \overset{\phi}{\rightarrow} \mathcal{C}^{'}(K) \overset{\theta}{\rightarrow} \mathcal{C}(\left | K \right |)$

若 $K_{0}$ 是K的子复形，则对应地有保持增广的链映射 $\eta: C_{p}(K,K_{0}) \to S_{p}(\left | K \right |, \left | K_{0} \right |)$ 。显然 $\eta$ 依赖于所选取的K的顶点序，但诱导同态 $\eta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |)$ ，以及 $\eta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K,K_{0}) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |,\left | K_{0} \right |)$ 却不依赖于此，因为 $\eta_{\ast}=\theta_{\ast} \circ \phi_{\ast}$ ，并且它们均为同构

（18）局部同调群：设X是Hausdorff空间，X在一点 $x \in X$ 处的局部同调群是相对奇异同调群 $H_{p}(X,X-x)$

（19）流形：一个Hausdorff空间X，每一点都有一个邻域同胚于Euclid空间 $R^{m}$ 中的一个开集，则称X为m维流形。注意这里并没有要求X具有可数基这样的条件；

带边流形：一个Hausdorff空间X，每一点都有一个邻域同胚于Euclid半空间 $H^{m}=\left \{ (x_{1},...,x_{m}) \,|\, x_{i}\geq 0 \right \}$ 中的一个开集，则称X为m维带边流形。m维流形自然是m维带边流形。 $H^{m}$ 本身就是一个m维带边流形，边界为 $Bd\,H^{m}=R^{m-1} \times 0$ ；

带边流形的坐标卡：带边流形X中的开集U到 $H^{m}$ 中的开集V的一个同胚 $h: U \to V$ ，称为X上的一个坐标卡；

带边流形的边界：设X是一个m维带边流形，如果X的一点x在x的一个坐标卡下被映射到 $Bd \, H^{m}$ 的一点，那么它在每一个这样的坐标卡下都被映射到 $Bd \, H^{m}$ 的一点，把这样的点称为X的边界点，所有这样的点的集合称为带边流形X的边界，记作 $Bd\,X$ ，而 $Int \, X=X-Bd \, X$ 称为X的内部；

带边流形的维数：设X是一个m维带边流形，则m是由X唯一确定的，因为它是唯一的整数使得对于X中的至少一个点x，群 $H_{m}(X,X-x)$ 是非平凡的，m称为带边流形的维数。

例子：

$R^{n}$ 中的单位球 $B^{n}$ 是一个n维带边流形，并且 $Bd \, B^{n}=S^{n-1}$ ；

n维单形 $\sigma$ 是一个n维带边流形，因为存在 $\sigma$ 到 $B^{n}$ 的一个同胚，它把 $\sigma$ 所有真面的并Y，映射到 $S^{n-1}$ ，Y就是 $\sigma$ 的边界，即 $Bd \, \sigma$ ，而 $Int \, \sigma=\sigma-Y$ 是内部

（20）分离空间：设A是拓扑空间X的子空间，即 $A\subset X$ ，如果 X-A 是不连通的，则称空间A分离空间X。如果 X-A 有n个连通分支，称A将X分离成n个连通分支

（21）m维胞腔：同胚于m维单位球 $B^{m}$ 的空间，称为m维胞腔。若它同胚于 $Int \, B^{m}$ ，则称为m维开胞腔

（22）商空间：设 $(X, \tau)$ 是拓扑空间， $\sim$ 是X上的一个等价关系，所有等价类的集合是X的一个划分，记作 $X/\sim$ ，称为X关于 $\sim$ 的商集。把X上的点映射到它所在的等价类，得到的映射 $p: X \to X/\sim$ 称为称为粘合映射，它是一个商映射。商集上的子集族 $\tilde{\tau}=\left \{ V \subset X/\sim \,|\, p^{-1}(V) \in \tau \right \}$ 就是 $X/\sim$ 的一个拓扑，称为X关于 $\sim$ 的商拓扑， $(X/\sim, \tilde{\tau})$ 称为商空间。

直观上，商空间表明原来空间上属于同一个等价类的所有点（一个点集），在新的空间上都被粘合为一个点（用一个等价类表示），因此商空间 $X/\sim$ 也常称为X的粘合空间，或分解空间

（22）上半连续的分解：如果 $X^{\ast}$ 是一个将拓扑空间X分成一些闭子集的划分，并且商映射 $p: X^{\ast} \to X$ 是闭映射（即把每个闭集映为闭集），则 $X^{\ast}$ 是X的一个商空间，称为X的一个上半连续的分解。这意味着对X的每个闭子集A，集合 $p^{-1}p(A)$ 在X中也是闭的，称为A的饱和。这时X的正规性就蕴涵着 $X^{\ast}$ 的正规性

（23）粘着空间：设X,Y是不相交的拓扑空间，A是X的闭子集， $f: A \to Y$ 是连续映射，定义一个商空间为把每个集合 $\left \{ y \right \} \cup f^{-1}(y), \, y \in Y$ 等同于一点，其他的点 $x \in X-A$ 等同于自己而构成的 $X \cup Y$ 的商空间，也即把X划分成这些集合以及 $x \in X-A$ 的单点集 $\left \{ x \right \}$ ，这个商空间记作 $X \cup_{f} Y$ ，称为由 f 决定的粘着空间，商映射记作 $p: X \cup Y \to X \cup_{f} Y$ 。

直观地说，粘着空间 $X \cup_{f} Y$ 是把X中的点集A与Y中的点集 f(A) 粘着在一起而形成的粘合空间

（24）CW复形（胞腔复形）：由一个Hausdorff空间X和一个作为X划分的不相交开胞腔族（维数不必统一） $\left \{ e_{\alpha} \right \}$ 构成，即 $X=\coprod_{\alpha \in J}e_{\alpha}$ ，它们满足条件：

1）闭包有限性：每个m维胞腔 $e_{\alpha}$ 都存在一个连续映射 $f_{\alpha}: B^{m} \to X$ （称为特征映射），它把单位球内部 $Int \, B^{m}$ 同胚地映射到 $e_{\alpha}$ 上，把单位球边界 $Bd \, B^{m}=S^{m-1}$ 映射到有限个低于m维的开胞腔的并之中；

2）弱拓扑：X具有关于闭胞腔族 $\left \{ \bar{e}_{\alpha} \right \}$ 的弱拓扑，即每个子集A在X中是闭的，当且仅当它与每个闭胞腔的交 $A \cap \bar{e}_{\alpha}$ 在 $\bar{e}_{\alpha}$ 中是闭的。

开胞腔族为有限的CW复形，称为有限CW复形，有限CW复形必定是紧致的。CW复形X中开胞腔的最大维数，称为X的维数。 $\left \{ e_{\alpha} \right \}$ 也称为X的一个胞腔分解。

注意上述两个条件蕴涵了 $f_{\alpha}(B^{m})=\bar{e}_{\alpha}, \, f_{\alpha}(Bd\, B^{m})=\bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha}$ ，并且 $\bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha}$ 必定属于有限个低于m维的开胞腔的并之中。因此，特征映射也可以写作 $f_{\alpha}: (B^{m}, S^{m-1}) \to (\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha})$ 。

直观地说，CW复形是由一些（有限多个或无穷多个）开胞腔从低维到高维逐层堆积而成的Hausdorff空间，它表示从一族闭胞腔通过构造适当的粘着商空间而粘合起来的空间。单纯复形是CW复形的特例。同伦论中往往需要在拓扑空间上定义满足某种条件的连续映射，这对非常一般的拓扑空间来说很难着手。但对于CW复形，则可以从低维到高维，在一个一个胞腔上给出定义，即采用“逐层扩张”的方式得到所需要的连续映射。如果扩张到某一层遇到阻碍，就产生阻碍上闭链，阻碍上同调类等概念，这样就能利用同调来讨论关于连续映射的扩张或同伦等问题。

（25）正则胞腔复形：一个CW复形X，如果特征映射 $f_{\alpha}$ 能取成同胚（即 $f_{\alpha}: B^{m} \to \bar{e}_{\alpha}$ 是同胚），并且 $f_{\alpha}(Bd\, B^{m})=\bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha}$ 恰好等于有限个低于m维的开胞腔的并，则称X为正则胞腔复形。正则胞腔是可三角剖分的；

CW复形的子复形：CW复形X中的由开胞腔的并构成的闭子空间，称为X的一个子复形；

CW复形的p维骨架：CW复形X中的至多p维开胞腔的并构成的子空间，是X的一个子复形，称为X的p维骨架，记作 $X^{p}$ ；

可三角剖分的CW复形：对CW复形X，若存在一个复形K，使得X的每一个骨架 $X^{p}$ 能被K的一个子复形三角剖分，则称X是一个可三角剖分的CW复形

（26）CW复形的胞腔链群：若X是一个CW复形，定义相对奇异同调群 $D_{p}(X)=H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 为X的p维胞腔链群；

边缘算子： $\partial_{p}: D_{p}(X) \to D_{p-1}(X)$ 定义为复合映射 $H_{p}(X^{p},X^{p-1}) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(X^{p-1}) \overset{j_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(X^{p-1}, X^{p-2})$ ，其中同态 $j_{\ast}$ 是包含映射 $j: (X^{p-1}) \to (X^{p-1},X^{p-2})$ 诱导的；

胞腔链复形：把链复形 $\mathcal{D}(X)=\left \{ D_{p}(X), \partial_{p} \right \}$ 称为X的胞腔链复形， $D_{p}(X)$ 也是胞腔链复形的胞腔链群；

性质： $\partial_{p} \circ \partial_{p-1}=0$ ，这可以由 $H_{p-1}(X^{p-1}) \overset{j_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(X^{p-1}, X^{p-2}) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-2}(X^{p-2})$ 是正合的而得出

注意当X是可三角剖分的CW复形时，为方便计算 $H_{p}$ 也可以使用单纯同调群，因为它同构于奇异同调群

（27）p维定向开胞腔：对CW复形X的每一个p维开胞腔 $e_{\alpha}$ ，群 $H_{p}(\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha})$ 是无限循环群，把这个群的两个生成元称为 $e_{\alpha}$ 的两种定向，p维开胞腔是指定了一种定向的 $e_{\alpha}$ 。胞腔链群 $D_{p}(X)=H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 是一个自由Abel群，X的每一个p维定向开胞腔，在包含映射的诱导同态 $H_{p}(\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha}) \to H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 之下的像，就构成 $H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 的一个基；

实际上，当X是可三角剖分的CW复形，三角剖分为 $h: \left | K \right | \to X$ ，设 $H_{p}$ 表示单纯同调，则胞腔链群 $H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 是单纯链群 $C_{p}(K)$ 的子群，它是由K的所有被 $X^{p}$ 承载且其边缘被 $X^{p-1}$ 承载的p维链组成

（28）n维实射影空间：是n维球面 $S^{n}$ 中对每一个点 x 等价于它的对径点 -x 而得到的商空间，称为n维实射影空间，记作 $P^{n}$ 或 $RP^{n}$ 。商映射 $p: S^{n} \to P^{n}$ 是一个闭映射。实射影空间是正规的Hausdorff空间， $RP^{n-1}$ 是 $RP^{n}$ 的闭子空间。特别地，n=2 时表示射影平面 $P^{2}$ ，注意射影平面不能嵌入到 $R^{3}$ 中，而 $P^{0}$ 是单点；

无穷维实射影空间：射影空间的递增序列 $P^{0} \subset P^{1} \subset ...$ 的凝聚并，记作 $P^{\infty}$ ，称为无穷维实射影空间；

复数空间：所有复数点 $z=(z_{1},...,z_{n})$ 组成的空间，记作 $C^{n}$ ，显然有同胚 $\rho: C^{n} \to R^{2n}$ ，其定义为 $\rho(z_{1},...,z_{n})=(Re z_{1},Im z_{1},...)$ ，称之为实化算子。定义 $\left | z \right |=\left \| \rho(z) \right \|=\left [ \sum_{i=1}^{n}z_{i}\overline{z}_{i} \right ]^{1/2}$ ；

n维复球面：把适合 $\left | z \right |=1$ 所有点 $z=(z_{1},...,z_{n})$ 组成的 $C^{n+1}$ 的子空间，称为n维复球面，在实化算子作用下，它对应于2n维的实球面 $S^{2n+1}$ ；

n维复射影空间：在n维复球面 $S^{2n+1} \subset C^{n+1}$ 上，对每一个适合 $\left | \lambda \right |=1$ 的复数 $\lambda$ ，定义复数点的等价关系 $(z_{1},...,z_{n+1}) \sim (\lambda z_{1},...,\lambda z_{n+1})$ ，而得到的商空间，称为n维复射影空间，记作 $CP^{n}$ 。商映射 $p: S^{2n+1} \to CP^{n}$ 是一个闭映射。 $CP^{n}$ 是正规的Hausdorff空间， $CP^{n-1}$ 是 $CP^{n}$ 的闭子空间。 $CP^{0}$ 是单点；

无穷维复射影空间：复射影空间的递增序列 $CP^{0} \subset CP^{1} \subset ...$ 的凝聚并，记作 $CP^{\infty}$ ，称为无穷维复射影空间

（29）群作用的轨道空间：设X是一个空间，G是从空间X到自身的同胚群（即所有同胚映射 $f:X \to X$ 构成的群）的一个子群，对任意 $x \in X, \, g \in G$ ，定义等价关系 $x\sim g(x)$ ，X在该等价关系下的商空间 X/G 称为X在群G作用下的轨道空间，x的等价类称为x的轨道；

处处不连续的群作用：设G是空间X的所有同胚构成的群，如果群G在X上的作用，满足对任意 $x \in X$ 和非单位元 $g \in G$ ，都存在x的邻域U使得 $g(U)$ 与U无交，则称群G在X上的作用是处处不连续的。可见当 $g_{0}\neq g_{1}$ 时便有 $g_{0}(U)$ 与 $g_{1}(U)$ 无交；

处处没有不动点的群作用：设G是空间X上的同胚群，如果群G在X上的作用，满足对任意的非单位元（即非恒等映射） $g \in G$ ，都没有不动点，则称群作用G是处处无不动点的

（30）透镜空间：将3维的单位实球面 $S^{3}=\left \{ x \in R^{4} \,:\, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}=1 \right \}$ 看作两个复变数的空间 $C^{2}$ 中的单位球面 $S^{3}=\left \{ (z_{1},z_{2}) \in C^{2} \,:\, \left | z_{1} \right |^{2} + \left | z_{2} \right |^{2}=1 \right \}$ ，对互素的正整数 $(n,k)=1$ ，定义映射 $h: S^{3} \to S^{3}$ 为 $h(z_{1},z_{2})=(z_{1}e^{2\pi i/n}, z_{2}e^{2\pi ik/n})$ ，h 是 $S^{3}$ 的同胚群中的元素，则h生成同胚群的一个n阶循环子群 $G=Z_{n}$ ，并且G是处处没有不动点的，轨道空间 $S^{3}/G$ 称为 (n,k) 型透镜空间，记作 $L(n,k)$ ，它是紧致的3-维流形；

推广到高维：给定互素的正整数 $(p,q_{1},...,q_{n})=1$ ，将单位实球面 $S^{2n-1}$ 看作复空间 $C^{n}$ 中的单位球面，定义映射 $h: S^{2n-1} \to S^{2n-1}$ 为 $h(z_{1},...,z_{n})=(z_{1}e^{2\pi iq_{1}/p}, ...,z_{n}e^{2\pi iq_{n}/p})$ ，则h生成 $S^{2n-1}$ 的同胚群的一个p阶循环子群 $G=Z_{p}$ ，并且G是处处没有不动点的，轨道空间 $S^{2n-1}/G$ 称为 $(p,q_{1},...,q_{n})$ 型透镜空间，记作 $L(p,q_{1},...,q_{n})$ ，它是紧致的2n-1维流形；

另一种定义方式：对互素的正整数 $(n,k)=1$ ，构造透镜空间 L(n, k) 为球 $B^{3}$ 的商空间如下：把 $B^{3}$ 写成 $B^{3}=\left \{ (z,t) \,|\, z \in C, t \in R, \left | z \right |^{2}+t^{2} \leq 1 \right \}$ 的形式，令 $\lambda=e^{2\pi i/n}$ ，定义映射 $f: S^{2} \to S^{2}$ 为 $f(z, -t)=(\lambda^{k}z, -t)$ ，把 $B^{3}$ 中 $S^{2}$ 的下半球面 $E_{-}^{2}$ 的每一点 (z, t) 与上半球面 $E_{-}^{2}$ 的点 $(\lambda^{k}z, -t)$ 等同起来，这样得到的商空间称为透镜空间 L(n, k)

（31）Euler示性数：如果拓扑空间X的奇异同调群 $H_{\ast}(X)=\bigoplus_{p\geq 0}H_{p}(X)$ （即各维数同调群的直和），满足每个同调群的秩也即Betti数   $\beta_{p}=rank(H_{p}(X)/T_{p}(X))$ 都是有限的，并且只有有限个 $\beta_{p}$ 不等于0，则定义

$\chi(X)=\chi(H_{\ast}(X))=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, \beta_{p}$

为空间X的Euler示性数。由于 $H_{p}(X)$ 是X的同伦不变量，因此 $\beta_{p}$ 与 $\chi(X)$ 都X的同伦不变量。

注意有限单纯复形、有限CW复形、紧致微分流形的Euler示性数都是存在的

（32）Morse函数：设M是一个紧致无边的微分流形， $n=dim \, M$ ， $f: M \to R$ 是M上的可微函数， $x=(x_{1},...,x_{n})$ 是M上的局部坐标

可微函数的临界点：把使得 $df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}d x_{i}=0$ ，即 $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=...=\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=0$ 的点 $x=(x_{1},...,x_{n})$ 称为可微函数 f 的临界点；

正则临界点：如果在临界点处对称矩阵 $\left ( \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \right )$ 是非退化的，称这种临界点是正则的；

Morse函数：如果 f 的所有临界点都是正则的，则称 f 是M上的一个Morse函数；

可微函数在临界点的指数：临界点处的对称矩阵 $\left ( \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \right )$ 的负特征值的个数，称为 f 在这一临界点处的指数

（33）可定向的微分流形：一个n-维微分流形称为可定向的，如果它有一个n阶微分形式 $\omega$ 在流形的每一点都不为零。反之，给定这样一个形式 $\omega$ ，我们说这个流形由 $\omega$ 定向

主要定理：

（1）诱导同态的函子性质：恒等映射 $i: X \to X$ 诱导恒等同态 $i_{\ast}: H_{p}(X) \to H_{p}(X)$ 。如果 $h: X \to Y, \, k: Y \to Z$ 都是连续映射，那么 $(k \circ h)_{\ast}=k_{\ast} \circ h_{\ast}$ ，同样的结果对约化奇异同调群也成立；

在相对同调中也成立：如果 $i: (X,A) \to (X,A)$ 是恒等映射，则 $i_{\ast}$ 是恒等同态，如果 $h:(X,A) \to (Y,B), \, k: (Y,B) \to (Z,C)$ 都是连续映射，那么在相对同调中有 $(k \circ h)_{\ast}=k_{\ast} \circ h_{\ast}$

这说明奇异同调论满足单位公理、复合公理

（2）奇异同调群的拓扑不变性：如果 $h: X \to Y$ 是一个同胚，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(K) \to H_{p}(L)$ 就是一个同构

（3）多连通空间的同调群：设 $\left \{ X_{\alpha} \right \}_{\alpha \in J}$ 是拓扑空间X的全体道路连通分支，那么

$H_{p}(X) \cong \bigoplus_{\alpha \in J}H_{p}(X_{\alpha})$

这说明奇异同调论满足可加性公理

（3）零维同调群的计算：拓扑空间X的零维奇异同调群 $H_{0}(X)$ 是自由Abel群，设 $\left \{ X_{\alpha} \right \}_{\alpha \in J}$ 是X的全体道路连通分支，那么

$H_{0}(X) \cong \bigoplus_{\alpha \in J}Z$

对每个 $\alpha$ ，设 $T_{\alpha}: \Delta_{0} \to X_{\alpha}$ 是一个0维奇异单形（即单点），那么链 $T_{\alpha}$ 的同调类 $[T_{\alpha}]=T_{\alpha}+B_{0}(X_{\alpha}) \in H_{0}(X_{\alpha})$ 构成 $H_{0}(X)$ 的一个基。特别地，当X是道路连通的时， $H_{0}(X) \cong Z$ 。

零维约化奇异同调群的计算： $\widetilde{H_{0}}(X)$ 也是自由Abel群，并且 $\widetilde{H_{0}}(X) \oplus Z \cong H_{0}(X)$ 。如果X是道路连通的则 $\widetilde{H_{0}}(X)=0$ ，这时即有 $H_{0}(X) \cong Z$ ，每一个0维奇异单形 $T_{\alpha}$ 的同调类都可以作为的生成元；如果X是不连通的，设 s 是一个固定的指标，那么链 $T_{i}-T_{s} \, (i \neq s)$ 的同调类就构成 $\widetilde{H_{0}}(X)$ 的一个基

（4）同伦群与同调群的同态：拓扑空间X的基本群与1维奇异同调群之间存在一个同态，即 $\theta: \pi_{1}(X, x_{0}) \to H_{1}(X)$ 是同态，因为X中的一条道路就是一个1维奇异单形，一条闭道路就是一个1维奇异闭链。因此对基本群中的闭道路同伦类 $[x],[y] \in \pi_{1}(X,x_{0})$ ，有 $\theta([x] \ast [y]) =\theta([x]) + \theta([y]), \, \theta([x]^{-1})=-\theta([x])$ ，于是 $\theta([x]^{m} \ast [y]^{n}) =\theta([x]^{m}) + \theta([y]^{n})=[mx+ny] \in H_{1}(X)$ ；

（5）Hurewicz定理：如果拓扑空间X是道路连通的，那么对基本群， $\theta: \pi_{1}(X, x_{0}) \to H_{1}(X)$ 是满同态， $ker\, \theta$ 是 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 的交换子子群（即换位子群），并且有同构 $\pi_{1}(X,x_{0})/ker\, \theta \cong H_{1}(X)$ ，特别地，当 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 本身就是Abel群时有 $\pi_{1}(X,x_{0}) \cong H_{1}(X)$ ；对高维同伦群，如果对任意 $1\leq k \leq n-1$ ， $\pi_{k}(x,x_{0})=\left \{ e \right \}$ 也即为平凡群，那么 $\theta: \pi_{n}(X, x_{0}) \to H_{n}(X), \, n\geq 2$ 是同构

推论：若拓扑空间X是单连通的，则 $H_{1}(X)=0$ 。

Hurewicz定理揭示了同伦群与同调群的关系，特别是当X道路连通且 $\pi_{1}(X)$ 是Abel群时，它与 $H_{1}(X)$ 是同构的。由此可知同伦群一般比同调群要复杂

（6）奇异链的括号算子与边缘算子的关系：设拓扑空间X关于点w是星凸的， $x=\sum_{i=1}^{k}n_{i}T_{i}$ 是X的一个p维奇异链，那么当p>0时， $\partial[x,w]=[\partial x,c]+(-1)^{p+1}x$ ；当p=0时， $\partial [x,w]=\varepsilon(x)T_{w}-x$ ，其中 $T_{w}: \Delta_{0} \to w$ 是0维奇异单形， $\varepsilon: S_{0}(X) \to Z$ 是增广同态

（7）一些零调的空间：若X是 $E^{J}$ 的一个关于点 w 星凸的子空间，那么X在奇异同调中是零调的。特别地，任何单形在奇异同调中都是零调的，任何可缩空间都是零调的，因而任何凸集都是零调的

（8）空间偶的正合同调序列：若A是拓扑空间X的子空间，那么存在一个长正合同调序列

$... \to H_{p}(A) \overset{i_{*}}{\rightarrow} H_{p}(X) \overset{\pi_{\ast}}{\rightarrow} H_{p}(X,A) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} H_{p-1}(A) \to ...$

其中 $i_{\ast}, \, \pi_{\ast}$ 分别是由包含映射 $i: A \to X$ 和 $\pi: (X, \varnothing) \to (X, A)$ 诱导的同态，而 $\partial_{\ast}$ 是由边缘算子 $\partial_{p}: S_{p}(X, A) \to S_{p-1}(X, A)$ 诱导的联系同态。在约化同调中也有类似的长正合同调序列（ $A\neq \varnothing$ ）

$... \to \widetilde{H}_{p}(A) \overset{i_{*}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p}(X) \overset{\pi_{\ast}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p}(X,A) \overset{\partial_{\ast}}{\rightarrow} \widetilde{H}_{p-1}(A) \to ...$

这说明奇异同调论满足正合公理

证明思路：将之字形引理应用于奇异链群链复形的短正合序列

（9）正合同调序列的同态：如果 $h: (X,A) \to (Y,B)$ 是拓扑空间偶之间的一个连续映射，那么诱导同态 $h_{\ast}: H_{p}(X,A) \to H_{p}(Y,B)$ 给出(X, A)的正合同调序列到(Y, B)的正合同调序列的一个同态；如果对 i=p 和 i=p-1 ， $h_{\ast}:H_{i}(X) \to H_{i}(Y)$ 和 $h_{\ast}:H_{i}(A) \to H_{i}(B)$ 都是同构，那么 $h_{\ast}: H_{p}(X,A) \to H_{p}(Y,B)$ 也是同构。这两个结果对约化同调也成立

这说明奇异同调论满足自然变换公理

（10）如果P是单点空间，那么 $H_{p}(P)=0 \, (p \neq 0)$ ，而且 $H_{0}(P) \cong Z$

这说明奇异同调论满足维数公理

（11）对任意空间偶 (X, A) ，存在一个紧致子空间偶 $(X_{0},A_{0})$ ，使得任意同调类 $a \in H_{n}(X,A)$ 在由包含映射 $i: (X_{0},A_{0}) \to (X,A)$ 诱导的同态 $i_{\ast}: H_{n}(X_{0},A_{0}) \to H_{n}(X,A)$ 的像中，即存在 $b \in H_{n}(X_{0},A_{0})$ 使得 $i_{\ast}(b)=a$ 。另外，如果有同调类 $c \in H_{p}(X_{0},A_{0})$ 满足 $i_{\ast}(c)=0$ ，那么存在一个紧偶 $(X_{1},A_{1})$ 和包含映射 $(X_{0},A_{0}) \overset{j}{\rightarrow} (X_{1},A_{1}) \overset{k}{\rightarrow} (X,A)$ ，使得 $j_{\ast}(c)=0$

这说明奇异同调论满足紧支集公理

（12）棱柱算子：设拓扑空间X上有两个包含映射 $i,j: X \to X \times I$ ，其中 $i(x)=(x,0), \, j(x)=(x,1)$ ，即 i 把x映为(x, 0) ，而 j 把x映为(x, 1) 。那么它们的诱导链映射 $i_{\sharp}, j_{\sharp}:S_{p}(X) \to S_{p}(X \times I)$ 之间存在一个链同伦，即对每个非负整数 p，存在一个同态 $D_{p}: S_{p}(X) \to S_{p+1}(X \times I)$ 满足对任意p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ ，都有 $\partial_{p+1}^{'}D_{p}(T) + D_{p-1}\partial_{p}(T)=j_{\sharp}(T)-i_{\sharp}(T)$ ，其中 $\partial_{p+1}^{'}: S_{p+1}(X \times I) \to S_{p}(X \times I)$ 和 $\partial_{p}: S_{p}(X) \to S_{p-1}(X)$ 是边缘算子。同伦算子 $D_{p}$ 把X中的奇异单形链映为 $X \times I$ 中的柱形链，因此也称为X的棱柱算子，记作 $D_{X}$ 。 $D_{X}$ 是自然的（即具有函子性质），即如果 $f:X \to Y$ 是连续映射，那么下列图表是交换的

空间偶的棱柱算子：类似地，对空间偶的包含映射 $i,j: (X,A) \to (X \times I,A \times I)$ ，诱导链映射 $i_{\sharp}, j_{\sharp}:S_{p}(X,A) \to S_{p}(X \times I, A \times I)$ 之间也存在一个链同伦 $D_{X,A}: S_{p}(X,A) \to S_{p+1}(X \times I,A \times I)$

（13）如果两个连续映射 $f,g: (X,A) \to (Y,B)$ 是同伦的，即存在一个映射 $F:(X \times I, A \times I)\to (Y,B)$ 使得 $F(x, 0)=f(x), \, F(x,1)=g(x)$ 对所有 $x \in X$ 成立，那么 $f_{\ast}=g_{\ast}$ 。如果 $A=B=\varnothing$ ，那么该结论在约化同调中也成立

这说明奇异同调论满足同伦公理

证明思路：利用同伦映射 $F:(X \times I, A \times I)\to (Y,B)$ 的诱导链映射 $F_{\sharp}:S_{p+1}(X \times I, A \times I)\to S_{p+1}(Y,B)$ ，它与棱柱算子复合得到同态 $D_{p}=F_{\sharp} \circ D_{X,A}: S_{p}(X,A) \to S_{p+1}(Y,B)$ ，它实际上是链映射 $f_{\sharp},g_{\sharp}: S_{p}(X,A) \to S_{p}(Y,B)$ 之间的一个链同伦，只要验证 $\partial_{p+1}^{'}D_{p} + D_{p-1}\partial_{p}=(g_{\sharp})_{p}-(f_{\sharp})_{p}$ 即可。链同伦的两个映射，其诱导的同调群的同态是相等的，只要验证 $g_{\ast}[z]-f_{\ast}[z]=[g_{\sharp}(z)-f_{\sharp}(z)]=0$ 即可

（14）奇异同调群的同伦不变性：如果拓扑空间偶之间的连续映射 $f: (X,A) \to (Y,B)$ 是一个同伦等价，那么诱导同态 $f_{\ast}: H_{p}(X,A) \to H_{p}(Y,B)$ 是一个同构。该结论对以任意Abel群为系数的奇异同调群也成立

（15）重心重分算子 $sd_{X}$ 是一个保持增广的链映射，并且是自然的，即对任何连续映射 $f: X \to Y$ 都有 $f_{\sharp} \circ sd_{X}=sd_{Y} \circ f_{\sharp}$

（16）重心重分的性质：设 $\mathcal{A}$ 是拓扑空间X的一个子集族，其子集的内部覆盖X，给定p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ ，则存在一个整数m，使得 $sd^{m}T$ 中每个奇异单形都是 $\mathcal{A}$ 小的（即奇异单形的像在 $\mathcal{A}$ 的一个元素中）

（17）给定拓扑空间X和整数m，则存在一个同态 $D_{X}: S_{p}(X) \to S_{p+1}(X)$ ，使得对X的每个p维奇异单形 $T: \Delta_{p} \to X$ ，都有 $\partial D_{X}T + D_{X} \partial T=sd^{m}T-T$ ，并且 $D_{X}$ 是自然的，即对任何连续映射 $f: X \to Y$ 都有 $f_{\sharp} \circ D_{X}=D_{Y} \circ f_{\sharp}$

（18）重分定理：设 $\mathcal{A}$ 是拓扑空间X的一个子集族，其子集的内部覆盖X，那么重分奇异链复形的包含映射 $i: \mathcal{C}^{\mathcal{A}}(X) \to \mathcal{C}(X)$ 诱导的同态 $i_{p}: H_{p}^{\mathcal{A}}(X) \to H_{p}(X)$ 是一个同构，该结论对约化同调群也成立；

在相对同调中也成立：设B是X的子空间， $S_{p}^{\mathcal{A}}(X,B)=S_{p}^{\mathcal{A}}(X)/S_{p}^{\mathcal{A}}(B)$ ，那么包含映射 $i: S_{p}^{\mathcal{A}}(X,B) \to S_{p}(X,B)$ 诱导的同态 $i_{p}: H_{p}^{\mathcal{A}}(X,B) \to H_{p}(X,B)$ 是一个同构

（19）切除定理：设A是拓扑空间X的子空间，U是X的子集并且 $\overline{U} \subset Int\,A$ ，那么包含映射 $(X-U, A-U) \to (X,A)$ 诱导奇异同调群的同构 $H_{p}(X-U,A-U) \cong H_{p}(X,A)$ ；

这说明奇异同调论满足切除公理

这是关于相对同调的一个很有用的定理。它在奇异同调群的计算中很有用，在许多情形下切除一个合适的子空间后更容易计算。或者在许多情形下它使得可以应用归纳法。与长正合同调序列一起，我们可以导出计算同调群的另一个有用的工具Mayer–Vietoris序列

（20）球面的同调群：由切除定理可知相对同调群 $H_{p}(B^{n},S^{n-1})$ 在 p=n 时为无限循环群（即整数加法群Z），在其他情形时为零。因此，当p=0或n时 $H_{p}(S^{n}) \cong Z$ ，当 0<p<n 时 $H_{p}(S^{n})=0$ 。另外 $S^{0}=\left \{ x \in E^{1} \,|\, \left | x \right |=1 \right \}$ 由两点-1, 1构成，因此 $H_{0}(S^{0}) \cong Z \oplus Z$

（21）零调模定理：设 $G,G^{'}: \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ 是从范畴 $\mathcal{C}$ （拓扑空间范畴或拓扑空间偶范畴）到增广链复形范畴 $\mathcal{A}$ 的一对平行函子，这里G把对象 $X \in ob(\mathcal{C})$ 映为增广链复形 $... \to G_{p}(X) \overset{\partial_{p}}{\rightarrow} G_{p-1}(X) \overset{\partial_{p-1}}{\rightarrow} ... \overset{\partial_{1}}{\rightarrow} G_{0}(X) \overset{\varepsilon}{\rightarrow} Z \to 0$ ， $G_{p}(X)$ 表示它的p维群，把连续映射 $f: X \to Y$ 映为链映射 $f_{\sharp}: G_{p}(X) \to G_{p}(Y)$ ， $\mathcal{U}$ 是 $\mathcal{C}$ 的对象的一个子集。如果 $\mathcal{U}$ 是函子G的自由模，是函子 $G^{'}$ 的零调模，那么存在G到 $G^{'}$ 的自然变换 $T_{X}: G \Rightarrow G^{'}$ ，即对每个对象 $X \in ob(\mathcal{C})$ ，有自然变换的分量 $T_{X}:G_{p}(X) \to G_{p}^{'}(X)$ ，它对 $\mathcal{C}$ 中的所有连续映射 $f: X \to Y$ 都有 $T_{Y} \circ G(f)=G^{'}(f) \circ T_{X}$ 。另外，给定两个平行的自然变换 $T_{X}, T_{X}^{'}: G \Rightarrow G^{'}$ ，那么它们之间存在一个自然的链同伦，即对每个p都有一个同态 $D_{X}: G_{p}(X) \to G_{p+1}^{'}(X)$ ，它对 $\mathcal{C}$ 中的所有连续映射 $f: X \to Y$ 都有 $D_{Y} \circ G(f)=G^{'}(f) \circ D_{X}$ 。如果对两个函子 $G,G^{'}$ ， $\mathcal{U}$ 既是自由模也是零调模，那么所有的自然变换 $T_{X}:G_{p}(X) \to G_{p}^{'}(X)$ 都是链等价

（22）Mayer-Vietoris序列：设拓扑空间 $X=X_{1} \cup X_{2}$ ，如果 $\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$ 是一个切除对，也即拓扑空间偶的包含映射 $i: (X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \to (X,X_{2})$ 诱导同构 $H_{p}(X_{1},X_{1} \cap X_{2}) \cong H_{p}(X,X_{2})$ ，那么就有一个正合同调序列

$... \to H_{p}(X_{1} \cap X_{2}) \overset{f_{\ast}}{\rightarrow} H_{p}(X_{1}) \oplus H_{p}(X_{2}) \overset{g_{\ast}}{\rightarrow} H_{p}(X) \to H_{p-1}(X_{1} \cap X_{2}) \to ...$

称为 $\left \{ X_{1},X_{2} \right \}$ 的梅耶－菲托里斯序列。序列中的同态定义为 $f_{\ast}(a)=(i_{\ast}(a), -j_{\ast}(a)), \,\, g_{\ast}(x_{1},x_{2})=k_{\ast}(x_{1})+l_{\ast}(x_{2})$ ，其中涉及到的各个映射如下图，都是包含映射（ $A=X_{1} \cap X_{2}$ ）

如果 $X_{1} \cap X_{2}$ 是非空的，那么在约化同调中也存在类似的正合序列

（23）双角锥的同调群：如果 S(X) 是拓扑空间X上的一个双角锥，那么对所有的p，均有一个约化同调群的同构 $\widetilde{H}_{p}(S(K)) \cong \widetilde{H}_{p-1}(K)$

（24）单纯同调与奇异同调的同构：设K是单纯复形， $K_{0}$ 是K的子复形，它们的定向单形到剖分空间奇异单形的链映射为 $\eta: C_{p}(K) \to S_{p}(\left | K \right |)$ ，那么诱导同态 $\eta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |)$ 是单纯同调与奇异同调之间的一个同构；

在相对同调中也成立：链映射 $\eta: C_{p}(K,K_{0}) \to S_{p}(\left | K \right |, \left | K_{0} \right |)$ 诱导的同态 $\eta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K,K_{0}) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |,\left | K_{0} \right |)$ 是一个同构；

（25）同构 $\eta_{\ast}$ 的可交换性质：单纯同调与奇异同调之间的同构 $\eta_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |)$ ，与边缘算子 $\partial_{p}: C_{p}(K) \to C_{p-1}(K)$ ， $\partial_{p}^{'}: S_{p}(\left | K \right |) \to S_{p-1}(\left | K \right |)$ 诱导的同态 $\partial_{\ast}: \widetilde{H}_{p}(K) \to \widetilde{H}_{p-1}(K)$ ， $\partial_{\ast}^{'}: \widetilde{H}_{p}(\left | K \right |) \to \widetilde{H}_{p-1}(\left | K \right |)$ 可交换；与单纯映射 $f: K \to L$ 和连续映射 $h: \left | K \right | \to \left | L \right |$ 分别诱导的同态 $f_{\ast}: \widetilde{H_{p}}(K) \to \widetilde{H_{p}}(L)$ ， $h_{\ast}: \widetilde{H_{p}}(\left | K \right |) \to \widetilde{H_{p}}(\left | L \right |)$ 可交换。这些性质在相对同调中也成立

（26）局部同调群的局部性质：设X是Hausdorff空间，A是点x的一个邻域，即 $x \in A \subset X$ ，那么 $H_{p}(X, X-x) \cong H_{p}(A,A-x)$ 。因此如果 $x \in X, y \in Y$ 分别有邻域U, V使得 (U, x) 与 (V, y) 同伦等价，即 $(U,x) \simeq (V,y)$ ，那么 $H_{p}(X,X-x) \cong H_{p}(Y,y)$

（27）欧氏空间的局部同调群： $H_{p}(R^{m},R^{m}-x) \cong H_{p}(B,B-x) \cong H_{p}(B^{m},B^{m}-0) \cong H_{p}(B^{m},S^{m-1})$ ，因此当 p=m 时是无限循环群，其他情况下为零；

欧氏上半空间的局部同调群： $H^{m}=\left \{ (x_{1},...,x_{m}) \,|\, x_{i}\geq 0 \right \}$ 表示欧氏空间的上半空间，如果 $x \in Bd\,H^{m}=R^{m-1} \times 0$ ，那么对所有的p， $H_{p}(H^{m},H^{m}-x)=0$ 。如果 $x \in H^{m}$ 且 $x \notin Bd \, H^{m}$ ，那么 $H_{p}(H^{m},H^{m}-x)$ 当 p=m 时是无限循环群，其他情况下为零；

n维流形的局部同调群： $H_{n}(M,M-x) \cong Z$ ，其他情况为零群。 $H_{n}(M,M-x)$ 有两个生成元，每个生成元称为M在x处的一个局部定向

（28）带边流形是可三角剖分的：设 s 是复形K的一个单形，如果点 $x,y \in Int \, s$ ，那么它们的局部同调群同构 $H_{p}(\left | K \right |,\left | K \right |-x) \cong H_{p}(\left | K \right |, \left | K \right |-y)$ 。设X是一个m维带边流形，并且连续映射 $h: \left | K \right | \to M$ 是一个同胚，那么 $h^{-1}(Bd\, M)$ 是K的一个子复形的可剖空间。因此同胚 h 是M的三角剖分

（29）复形的维数是拓扑不变量：设K是一个n维复形，则局部同调群 $H_{p}(\left | K \right |,\left | K \right |-x)$ 当 p>n 时为零，当 p=n 时 $H_{n}(\left | K \right |,\left | K \right |-x)$ 中至少有一个是非平凡的。因此 n 是唯一的整数使得群 $H_{n}(\left | K \right |,\left | K \right |-x)$ 至少有一个非平凡的，复形K的维数是 $\left | K \right |$ 的拓扑不变量

（30）不分离定理：如果B是 $S^{n}$ 中的任意紧致可缩子空间，则 $S^{n}-B$ 是零调的，即 $\widetilde{H}_{p}(X^{n}-B)=0$ ，因此B不会分离 $S^{n}$ 。特别地， $S^{n}$ 中的任意k维胞腔（即同胚于k维单位球 $B^{k}$ 的空间）都不会分离 $S^{n}$ 。（2维球面下的推广：如果 $S^{2}$ 的两个闭子集 $D_{1}, \, D_{2}$ 都不分离 $S^{2}$ ，并且 $S^{2}-(D_{1} \cap D_{2})$ 是单连通的，则它们的并 $C=D_{1} \cup D_{2}$ 不分瞎了眼 $S^{2}$ ）

（31）设 $n>k\geq 0$ ， $h: S^{k} \to S^{n}$ 是一个嵌入映射，那么当 i=n-k-1 时 $\widetilde{H}_{i}(S^{n}-h(S^{k})) \cong Z$ ，其他情况下为零

（32）广义Jordan曲线定理：如果C是 $S^{n}$ 中任意同胚于 $S^{n-1}$ 的子空间，那么 $S^{n}-C$ 恰好有两个连通分支 $W_{1}, W_{2}$ ，C是这两个分支的公共拓扑边界，即 $C=\overline{W}_{1}-W_{1}=\overline{W}_{2}-W_{2}$ 。特别地， $S^{2}$ 中的一条简单闭曲线C恰好将 $S^{2}$ 分离成两个连通分支，并且C是它们的公共边界。（2维球面下的推广：如果 $S^{2}$ 的两个连通子集 $C_{1}, \, C_{2}$ 都不分离 $S^{2}$ ，并且只交于两点，则它们的并 $C_{1} \cup C_{2}$ 将 $S^{2}$ 分离成两个分支）；

欧氏空间中的Jordan曲线定理：如果C是 $R^{n}$ 中任意同胚于 $S^{n-1}$ 的子空间，那么 $R^{n}-C$ 恰好有两个连通分支 $W_{1}, W_{2}$ ，C是这两个分支的公共拓扑边界

（33）Schoenflies定理：如果C是 $S^{2}$ 中的一条简单闭曲线（即同胚于单位圆周 $S^{1}$ 的空间）， $W_{1}, W_{2}$ 是 $S^{n}-C$ 的两个分支，那么 $\overline{W}_{1}$ 和 $\overline{W}_{2}$ 同胚于单位闭球 $B^{2}$ ，即它们都是2维胞腔

（34）Brown-Mazur定理：如果C是 $S^{n}$ 中任意同胚于 $S^{n-1}$ 的子空间， $W_{1}, W_{2}$ 是 $S^{n}-C$ 的两个分支，并且嵌入映射 $h: C \to S^{n}$ 能够被加领，即存在一个嵌入 $H:C\times I \to S^{n}$ 使得 $H(x, 1/2)=h(x)$ 对所有x都成立，那么 $\overline{W}_{1}$ 和 $\overline{W}_{2}$ 同胚于单位闭球 $B^{n}$ ，即它们都是n维胞腔。

注意若嵌入 $h: C \to S^{n}$ 是一个带有极大秩的Jacobi矩阵的可微映射，则加领条件就能满足

（35）区域不变性定理：若U是 $R^{n}$ 中的任意开集， $f: U \to R^{n}$ 是任意连续的单射，则 $f(U)$ 是 $R^{n}$ 中的开集，并且 f 是一个嵌入映射。

这是欧氏空间的一个内蕴性质，数学分析中的反函数定理是在增加了 f 是连续可微并且有非奇异Jacobi矩阵的条件下得到的

（36）商映射的一些分离性质：

设 $p: X \to Y$ 是商映射，如果p是闭映射并且X是正规的，那么Y是正规的；

如果X,Y都是正规空间，那么X的上半连续分解 $X^{\ast}$ 也是正规空间，粘着空间 $X \cup_{f} Y$ 也是正规空间；

如果拓扑空间X是某些子空间 $X_{n}$ 的可数并，X的拓扑关于空间 $X_{n}$ 是凝聚的，每个 $X_{i}$ 是正规的，那么X也是正规的

（37）CW复形的性质：

若CW复形X的胞腔分解为 $\left \{ e_{\alpha} \right \}$ ，那么函数 $f: X \to Y$ 是连续的当且仅当它的每个限制 $f|_{\overline{e}_{\alpha}}$ 是连续的；函数 $f: X \times I \to Y$ 是连续的当且仅当它的每个限制 $F|_{\overline{e}_{\alpha} \times I}$ 是连续的；

CW复形X的任何紧致子集A都只与X的有限多个开胞腔相交，因此A在X的一个有限子复形中；

若K,L是单纯复形，并且K是局部有限的，那么 $\left | K \right | \times \left | L \right |$ 是一个CW复形，其胞腔分解为 $\left \{ Int\, \sigma \times Int\, \tau \,|\, \sigma \in K, \tau \in L \right \}$ ；

若X, Y是CW复形，并且Y是局部紧致的，那么 $X \times Y$ 也是CW复形；

若X, Y是不相交的CW复形，A是X的一个子复形，那么粘着空间 $X \cup_{f} Y$ 也是CW复形，粘着映射 $f: A \to X$ 会把A的每一个p维胞腔映射到Y的一些至多p维的开胞腔的并之中；

若X是CW复形，A是X的可缩子复形，则商映射 $p: X \to X/A$ 是一同伦等价；

若X是CW复形，A是X的可缩子复形， $f,g: A \to Y$ 为一对同伦的映射，那么 $X \cup_{f} Y=X \cup_{g} Y$

（38）常见曲面的胞腔分解：

n维球面 $S^{n}$ ：它是CW复形，有1个n维开胞腔、1个0维胞腔；

环面 $S^{1} \times S^{1}$ ：矩形通过标记表 $aba^{-1}b^{-1}$ 得到的商空间，它是CW复形，有1个2维开胞腔（矩形内部在特征映射下的像）、2个1维开胞腔（矩形开边的像）、1个0维开胞腔（顶点的像）；

Klein瓶：矩形区域通过标记表 $aba^{-1}b$ 黏合相应边所得到的空间。它同胚于2-重射影平面 $2P^{2}$ 。它是CW复形，与环面在每个维数下都有相同的开胞腔数；

射影平面 $P^{2}$ ：它是单位球面 $S^{2}$ 中等同每一个点 x 和它的对径点 -x 而得到的商空间，由于矩形同胚于单位球面，因此它是矩形通过标记表 $abab$ 得到的空间。它是CW复形，在0, 1, 2每一个维数下都有1个开胞腔；

n-重射影平面 $nP^{2}$ ：由 2n (n>1) 条边的多边形区域借助标记表 $(a_{1}a_{1})(a_{2}a_{2})...(a_{n}a_{n})$ 所得到的空间，称为射影平面的n-重连通和，或简称为n-重射影平面。它是CW复形，有1个2维开胞腔、2n个1维开胞腔、1个0维开胞腔（顶点的像）；

n-重环面 $nT^{2}$ ：由4n条边的多边形区域借助于标记表 $(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})...(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})$ 所得到的空间，称为环面的n-重连通和，或简称为n-重环面，数n也称为曲面 $nT^{2}$ 的亏格。它是CW复形，与n-重射影平面有相同的胞腔分解；

n-叠小丑帽：设 $n >1$ 为正整数， $r: S^{1} \to S^{1}$ 是以 $2\pi/n$ 为旋转角的旋转变换，它将点 $(cos\theta,sin\theta)$ 映为点 $(cos(\theta+2\pi/n),sin(\theta+2\pi/n))$ ，在单位球 $B^{2}$ 内将 $S^{1}$ 中的每一个点x与点 $r(x),r^{2}(x),...,r^{n-1}(x)$ 等同起来，得到的商空间记为X，称X为n-叠小丑帽。它同胚于射影平面 $P^{2}$ ，因此与 $P^{2}$ 有相同的胞腔分解

（39）有限维CW复形与粘着空间同胚：若X是一个p维CW复形，X的每一个p维开胞腔 $e_{\alpha}$ 的特征映射为 $f_{\alpha}: B^{p} \to \bar{e}_{\alpha}$ ， $\sum B_{\alpha}=\coprod_{\alpha}B_{\alpha}$ 是所有p维闭球 $B_{\alpha}=B^{p} \times \left \{ \alpha \right \}$ 的拓扑和，那么X同胚于p-1维骨架 $X^{p-1}$ 与p维闭球拓扑和 $\sum B_{\alpha}$ 的粘着空间，即 $X \cong X^{p-1} \cup_{g} \left ( \sum B_{\alpha} \right )$ ，其中粘着映射为 $g: \sum Bd \, B_{\alpha} \to X^{p-1}$ ，因而X是正规的。粘着空间的商映射为 $\pi: X^{p-1} \cup \left ( \sum B_{\alpha} \right ) \to X$ 。反之，若Y是一个至多p-1维的CW复形， $\sum B_{\alpha}$ 是p维闭球的拓扑和， $g: \sum Bd \, B_{\alpha} \to Y$ 是一个连续映射，那么粘着空间 $Y \cup_{g} \left ( \sum B_{\alpha} \right )$ 是一个CW复形，并且Y是它的p-1维骨架

（40）若X是一个CW复形，则对每一个p，骨架 $X^{p}$ 都是 $X^{p+1}$ 的闭子空间，并且X是各个维数的骨架 $X^{0} \subset X^{1} \subset ...$ 的凝聚并，因此X是正规的。反之，若X是诸空间 $\left \{ X_{p} \right \}_{p \in J}$ 的凝聚并，每个 $X_{p}$ 是一个子复形，并且等于 $X_{p+1}$ 的p维骨架，那么X是一个CW复形，并且以 $X_{p}$ 为其p维骨架

（45）若X是CW复形， $e_{\alpha}$ 是X的一个p维开胞腔，那么 $e_{\alpha}$ 的任何特征映射 $f_{\alpha}: (B^{p}, S^{p-1}) \to (\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha})$ 诱导的同态 $(f_{\alpha})_{\ast}: H_{i}(B^{p}, S^{p-1}) \to H_{i}(\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha})$ 是一个同构，由此可知群 $H_{p}(\bar{e}_{\alpha}, \bar{e}_{\alpha}-e_{\alpha})$ 是无限循环群；

若X是CW复形， $\sum B_{\alpha}=\coprod_{\alpha}B_{\alpha}$ 是所有p维闭球 $B_{\alpha}=B^{p} \times \left \{ \alpha \right \}$ 的拓扑和，商映射 $\pi: X^{p-1} \cup \left ( \sum B_{\alpha} \right ) \to X$ 把X表示成与其同构的粘着空间即 $X \cong X^{p-1} \cup_{g} \left ( \sum B_{\alpha} \right )$ ，其中粘着映射为 $g: \sum Bd \, B_{\alpha} \to X^{p-1}$ ，那么 𝛑 诱导的同态 $\pi_{\ast}: H_{i}(\sum B_{\alpha}, \sum Bd\, B_{\alpha}) \to H_{i}(X^{p},X^{p-1})$ 是一个同构

（46）CW复形的胞腔链群：若X是CW复形， $\sum B_{\alpha}=\coprod_{\alpha}B_{\alpha}$ 是所有p维闭球 $B_{\alpha}=B^{p} \times \left \{ \alpha \right \}$ 的拓扑和，那么 $H_{i}(X^{p},X^{p-1}) \cong H_{i}(\sum B_{\alpha}, \sum Bd\, B_{\alpha}) \cong \bigoplus_{\alpha}H_{i}(B_{\alpha}, Bd \, B_{\alpha})$ 。因此 $i \neq p$ 时胞腔链群 $H_{i}(X^{p},X^{p-1})$ 为零， i=p 时 $H_p(X^{p},X^{p-1}) \cong \bigoplus_{\alpha}Z$ ，它是自由Abel群。如果元素b生成 $H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ ，那么当 $f_{\alpha}$ 遍历X的p维胞腔特征映射的一个集合时，元素 $(f_{\alpha})_{\ast}(b)$ 组成 $H_{p}(X^{p},X^{p-1})$ 的一个基

（47）射影空间的胞腔分解：

实射影空间 $RP^{n}$ 和 $RP^{\infty}$ 分别为n维和无穷维CW复形，在每个 j 维数下（对 $RP^{n}$ 为 $0\leq j\leq n$ ）恰有1个开胞腔，并且它的 j 维骨架是实射影空间 $P^{j}$ ；

复射影空间 $CP^{n}$ 和 $RP^{\infty}$ 分别2n维和无穷维CW复形，在每个偶数 2j 维数下（对 $CP^{n}$ 为 $0\leq 2j \leq 2n$ ）恰有1个开胞腔，并且 $CP^{j}$ 是它的 2j 维骨架

（48）紧致曲面（2维紧致流形）和射影空间的同调群：

0维单点集： $H_{0}(X)\cong Z$ ；

环面 $T^{2}=S^{1} \times S^{1}$ ： $H_{0}(T^{2}) \cong H_{2}(T^{2}) \cong Z, \, H_{1}(T^{2}) \cong Z \oplus Z$ ；

Klein瓶： $H_{0}(X) \cong Z, \, H_{1}(X) \cong Z \oplus Z/2, \, H_{2}(X)=0$ ；

n重环面 $nT^{2}$ ：当 p=0或2 时 $H_{p}(nT^{2}) \cong Z$ ，当p=1时 $H_{p}(nT^{2}) \cong \bigoplus_{i=1}^{2n}Z$ ，即秩为2n的自由Abel群；

m重射影平面 $mP^{2}$ ：当 p=0 时 $H_{p}(mP^{2}) \cong Z$ ，当 p=1 时 $H_{p}(mP^{2}) \cong \left ( \bigoplus_{i=1}^{m-1}Z \right ) \oplus Z/2$ ，当 p=2 时 $H_{p}(mP^{2}) =0$ 。可见2重射影平面 $2P^{2}$ 与Klein瓶是同胚的；

n维球面 $S^{n}(n>0)$ ：当p=0或n时 $H_{p}(S^{n}) \cong Z$ ，当 0<p<n 时 $H_{p}(S^{n})=0$ 。另外 $S^{0}=\left \{ x \in E^{1} \,|\, \left \| x \right \|=1 \right \}$ 由两点-1, 1构成，因此 $H_{0}(S^{0}) \cong Z \oplus Z$ ；

n维实射影空间 $P^{n} (n>1)$ ：当 p=0 或者 p=n 且为奇数时 $H_{p}(P^{n}) \cong Z$ ，当 0<p<n 且为奇数时 $H_{p}(P^{n}) \cong Z/2$ ，当p为偶数时 $H_{p}(P^{n})=0$ 。当 p=0 时 $H_{p}(P^{\infty}) \cong Z$ ，当p为奇数时 $H_{p}(P^{\infty}) \cong Z/2$ ，当p为非负偶数时 $H_{p}(P^{\infty}) = 0$ 。特别地，对2维射影平面 $H_{0}(P^{2}) \cong Z, \, H_{1}(P^{2}) \cong Z/2, \, H_{2}(P^{2})=0$ ；

复射影空间 $CP^{n}$ ：当p是偶数且 $0\leq p\leq 2n$ 时 $H_{p}(CP^{n}) \cong Z$ ，其他情况下为零群。当p是非负偶数时 $H_{p}(CP^{\infty}) \cong Z$ ，其他情况下为零群

（49）透镜空间的同调群：透镜空间L(n, k)是一个CW复形，在0,1,2,3每一个维数下各有一个开胞腔。它的同调群为 $H_{0}(L(n,k)) \cong H_{3}(L(n,k)) \cong Z$ ， $H_{1}(L(n,k)) \cong Z/n$ ， $H_{2}(L(n,k))=0$ （规定 $Z/1=1, Z/0=Z$ ）。可见n与m不相等时L(n, k) 与 L(m, q) 不可能同伦等价

（50）透镜空间的分类：两个透镜空间同伦等价 $L(p_{1},q_{1}) \simeq L(p_{2},q_{2})$ 当且仅当 $p_{1}=p_{2}$ 。两个透镜空间同胚 $L(p_{1},q_{1}) \cong L(p_{2},q_{2})$ 当且仅当 $p_{1}=p_{2}$ ，并且 $q_{1}\equiv \pm q_{2}(mod \, p_{1})$ 或者 $q_{1}q_{2} \equiv \pm 1(mod \, p_{1})$ 。特别地， $L(1,0)=S^{3}, \, L(0,1)=S^{2} \times S^{1}, \, L(1,q) \cong S^{3}$

（51）常见空间的Euler示性数：

n重环面 $nT^{2}$ ： $\chi(nT^{2})=2-2n$ ；

m重射影平面 $mP^{2}$ ： $\chi(mP^{2})=2-m$ ；

n维球面 $S^{n}$ ：n为奇数时 $\chi(S^{n})=0$ ，n为偶数时 $\chi(S^{n})=2$ ；

n维实射影空间 $P^{n} (n>1)$ ：n为奇数时 $\chi(P^{n})=0$ ，n为偶数时 $\chi(P^{n})=1$ ；

复射影空间 $CP^{n}$ ： $\chi(CP^{n})=1+n$

（52）Euler示性数的同伦不变性：如果拓扑空间之间的连续映射 $f: X \to Y$ 是一个同伦等价，那么 $\chi(X)=\chi(Y)$

（53）紧致连通曲面分类定理：若X是紧致连通曲面（即紧致连通不带边的2维流形），则X同胚于定向的球面 $S^{2}$ 、定向的n-重环面 $nT^{2}$ 、或不可定向的m-重射影平面 $mP^{2}$ 。进一步如果X是定向的，则 $\chi(X)$ 且是偶数，并且 $X \cong nT^{2}, \, \chi(X)=2-2n \leq 2$ ，当n=0时 $X \cong S^{2}, \, \chi(X)=2$ ；如果 $\chi(X)$ 是奇数，则X是不可定向的，并且 $X \cong mP^{2}, \, \chi(X)=2-m \leq 1$

（54）设 (X, A) 是空间偶，如果 $\chi(X), \chi(A), \chi(X,A)$ 中两个有定义，那么第三个也有定义，且 $\chi(X)=\chi(A)+\chi(X,A)$

（55）对有限复形或多面体K，Euler示性数可以用各维数的单形个数（即单纯链群的秩）来计算：

$\chi(K)=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, rank(C_{p}(K))$

对有限CW复形X，Euler示性数可以用各维数的胞腔个数 $\alpha_{p}$ 来计算，其中 $\alpha_{0}$ 表示胞腔粘合开始时的顶点个数：

$\chi(X)=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{p} \, \alpha_{p}$

（56）Gauss-Bonnet公式：设M是三维欧氏空间 $E^{3}$ 中紧致无边的定向曲面，K是M的Gauss曲率，则

$\chi(M)=\frac{1}{2\pi}\int_{M}K \, d\sigma$

其中 $d\sigma$ 是M上定向体积元。这一公式可以推广到高维的Riemann流形上

（57）用Morse函数计算微分流形的Euler示性数：若M是一个紧致无边的微分流形， $n=dim \, M$ ， $f: M \to R$ 是M上的Morse函数，则

$\chi(M)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}c_{i}$

其中 $c_{i}$ 是Morse函数 f 的指数为 i 的临界点个数

参考书籍：

（1）代数拓扑基础：James R.Munkres

收起

展开全文
拓扑--点集拓扑
千次阅读 2020-12-21 12:02:38

即加法交换群+非零元乘法交换群+分配律（共9条公理）（7）有序域：域有全序关系，并满足性质若 x>y和z>0，则x+z>y+z；若x>y和z>0，则xz>yz （8）线性连续统：集合A上的全序关系注意，这两个性质是实数中全序...

集合论

（1）关系：集合A上的关系是笛卡尔积 AXA 的一个子集C

（2）等价关系：自反性、对称性、传递性

（3）全序关系：可比较性、非自反性、传递性

严格偏序关系：非自反性、传递性

（4）序型：A和B上分别有全序关系 $<_{A},\,<_{B}$ ，若A, B之间存在一个保持各自全序关系的一一映射，则称A和B序型相同

（5）上（下）确界性质：若全序集A的每一个有上（下）界的非空子集必有上（下）确界，则称A有上（下）确界性质。可以证明，A有上确界性质当且仅当它有下确界性质。实数集R满足确界性质，通常称为实数集的确界公理

（6）域：每个非零元都有逆元的交换幺环，记作 $(F,+,\cdot)$ 。即加法交换群+非零元乘法交换群+分配律（共9条公理）

（7）有序域：域 $(F,+,\cdot)$ 有全序关系，并满足性质若 x>y和z>0，则x+z>y+z；若x>y和z>0，则xz>yz

（8）线性连续统：集合A上的全序关系<具有上确界性质；并且若x<y，则存在一个元素z，使得x<z<y。则A称为线性连续统。

注意，这两个性质是实数中全序关系的两个主要性质，从它们可以导出R的许多拓扑性质

（9）归纳集：设J是一个良序集， $J_{0}$ 是J的子集，如果对任意 $\alpha \in J$ ，都有 $S_{\alpha} \subset J_{0} \Rightarrow \alpha \in J_{0}$ ，则称 $J_{0}$ 为归纳集。特别地，对实数集的一个子集A，如果它包含数1，并且只要 $x \in A$ 则必有 $x+1 \in A$ ，则A称为归纳集

（10）可数集：集合A与 $Z_{+}$ 或 $Z_{+}$ 的子集之间存在一个双射，则称A为可数集。若不存在这样的双射，则称为不可数集

（11）良序集：对具有全序关系<的集合A，如果A的任意非空子集有一个最小元，则称A为良序的。良序集必有上确界性质

（12）截：设X是一个全序集，给定 $\alpha \in X$ ，所有小于 $\alpha$ 的元素的集合 $S_{\alpha}=\left \{ x \,|\, x \in X, x<\alpha \right \}$ ，称为X在 $\alpha$ 处的一个截

（13）笛卡尔积： $A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{m}=\prod_{i=1}^{m}A_{i}$ ，每个元素是一个有穷m-串 $(x_{1},...,x_{m})$ ，其中 $x_{i} \in A_{i}$ 。对同一个集合X上的笛卡积 $X^{m}$ ，每个元素也可以看作一个函数 $x: \left \{ 1,2,...,m \right \} \to X$

加标集族的笛卡尔积： $\prod_{i \in J} A_{i}$ ，其中J为指标集，对同一集合的笛卡尔积，可记作 $A^{J}$

$\omega$ -串的集合：即指标集为整个正整数集的的笛卡尔积，记作 $X^{\omega}$ ，每个元素是一个无穷 $\omega$ -串 $(x_{1},x_{2}...)$ ，也可以看作一个函数 $x: Z_+ \to X$

m维欧氏空间： $R^{m}$ ，它是实数的所有m-串的集合

无穷维欧氏空间： $R^{\omega}$ ，它是实数的所有 $\omega$ -串 $(x_{1},x_{2}...)$ 的集合，或者说是所有从正整数集的到实数集的函数构成的集合。它是R的可数无穷积空间

（14）有限特征：对集族 $\mathcal{A}$ ，集合B属于 $\mathcal{A}$ 当且仅当B的每一个有限子集属于 $\mathcal{A}$ ，则称 $\mathcal{A}$ 具有有限特征

主要定理：

（1）确界公理（确界原理）：实数集R中有上（下）界的子集必有上（下）确界，即全序关系<具有上确界性质。记作sup S（inf S）

（2）良序性质：正整数集合 $Z_{+}$ 的每一个非空子集具有一个最小元

（3）强归纳原理：设A是正整数构成的集合， $S_{n}$ 是所有小于n的整数构成的集合，若对每一个正整数n， $S_{n} \subset A$ 蕴涵 $n \in A$ ，则 $A=Z_{+}$

（4）阿基米德性质：对于任何实数x，存在自然数n有n>x。即正整数集 $Z_{+}$ 在R中没有上界。该性质可以用确界公理来证明。实数的完备性蕴含了阿基米德性，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的

（5）有限集/无限集：A为有限集当且仅当不存在A与其真子集之间的一一映射；A为无限集当且仅当存在A与其真子集B之间的一一映射，当且仅当存在一个单射 $f: Z_{+} \to A$ ；有限集的子集基数必小于该有限集的基数；有限集的有限并及有限笛卡尔积都是有限集

（6）可数集的充要条件：B是可数集，等价于存在一个满射 $f: Z_{+} \to B$ ，等价于存在一个单射 $g: B \to Z_{+}$

（7）可数集的一些结论：可数集的子集是可数的；可数集的可数并是可数的；可数集的有限积是可数的；设 $X=\left \{ 0,1 \right \}$ 是二元素集合，则以X中的元素构成的每个 $\omega-$ 无穷序列作为元素的集合 $X^{\omega}$ 不可数

（8）Schroeder-Bernstein定理：如果存在单射 $f:A \to C$ 及 $g: C \to A$ ，则A与C具有相同的基数（势）

（9）最大势不存在：对集合A和幂集P(A)， $|A|< |P(A)|$ ，即不存在单射 $f: P(a) \to A$ ，也不存在满射 $g: A \to P(A)$ 。特别地，对自然数集N和实数集R，有 $|N|<|P(N)|=|R|$ 。

（10）选择公理：给定由两两无交的非空集合构成的一个集族 $\mathcal{A}$ ，存在一个集合C，使得C与 $\mathcal{A}$ 中的每个元素恰好有一个公共元，即对于每一个 $A \in \mathcal{A}$ ，集合 $C \cap A$ 包含着唯一的一个元素。选择公理所述的那个存在的集合C，可以看成是从 $\mathcal{A}$ 的每个集合 A 中选取一个元素而得到

（11）选择函数的存在性：给定非空集合的一个族 $\mathcal{B}$ （未必是两两无交的），则存在一个函数

$c: \mathcal{B} \to \bigcup_{B \in \mathcal{B}}B$

使得对每一个 $B \in \mathcal{B}$ ，都有 $c(B) \in B$ 。函数c称为族 $\mathcal{B}$ 的选择函数

（12）有限全序集具有与 $Z_{+}$ 的一个截 $\left \{ 1,...,n \right \}$ 相同的序型，因而必定的良序集

（13）Zermelo良序定理：任意集合A上都存在一个全序关系，使A成为良序集。良序定理与选择公理是等价的。推论：存在一个不可数的良序集

（14）超限归纳原理：若J是一个良序集，并且 $J_{0}$ 是J的一个归纳子集（即对任意 $\alpha \in J$ ，都有 $S_{\alpha} \subset J_{0} \Rightarrow \alpha \in J_{0}$ ），则 $J_{0}=J$

（15）Hausdorff极大原理：若<是集合A是一个严格偏序关系，则存在A中一个极大全序子集B。极大的意思就是说，对任何真包含B的集合C（ $B \subset C \subset A$ ），C都不是关于 < 的全序集。极大原理与良序定理、选择公理都是等价的

（16）Zorn引理：设A是严格偏序集，若A的每个全序子集都有上界，则A中必有一个极大元。佐恩引理也与良序定理、选择公理等价。

（17）Kuratowski引理：设 $\mathcal{A}$ 为一个集族，以真包含关系作为全序关系，若 $\mathcal{A}$ 的每一个全序子集族 $\mathcal{B}$ 的所有元素之并仍属于 $\mathcal{A}$ ，则 $\mathcal{A}$ 中存在一个元素不真包含于 $\mathcal{A}$ 的任何元素之中。它与良序定理等价

（18）Tukey引理：若集族 $\mathcal{A}$ 是具有有限特征的，则 $\mathcal{A}$ 中存在一个元素不真包含于 $\mathcal{A}$ 的任何元素之中。它与良序定理等价

拓扑空间

（1）拓扑空间（拓扑结构）：集合X上的一个子集族 $\tau$ ，满足 $X, \varnothing$ 包含在 $\tau$ 中（平凡性）； $\tau$ 中的任意多成员并在 $\tau$ 中 $\bigcup \tau_{i} \in \tau$ （任意并）； $\tau$ 中的有限多成员的交在 $\tau$ 中 $\bigcap_{i=1}^{n}\tau_{i} \in \tau$ （有限交），则称子集族 $\tau$ 是X的一个拓扑，X和 $\tau$ 一起称为X的拓扑空间，记作(X, $\tau$ )。 $\tau$ 中的元素称为开集

离散拓扑： $2^{X}$

余有限拓扑： $\tau=\left \{ A \subset X\,|\, A = \varnothing \, or \, X-A \, is \, finite \right \}$ ，

余可数拓扑： $\tau=\left \{ A \subset X\,|\, A = \varnothing \, or \, X-A \, is \, countable \right \}$

（2）拓扑的基：X的子集族 $\mathcal{B}$ 满足对每个元素 $x \in X$ ，至少存在一个包含x的基元素 $B \in \mathcal{B}$ ；若x属于两个元素的交 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ ，则存在包含x的一个元素 $B_{3} \in \mathcal{B}$ 满足 $B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}$ ，则这个族 $\mathcal{B}$ 称为X的某拓扑的一个基

X的所有单点子集的族是X的离散拓扑的基

实数标准拓扑：实数轴上所有开区间的族作为基生成的拓扑，默认的R就是指标准拓扑

实数下限拓扑：实数轴上所有左闭右开区间的族作为基生成的拓扑空间，记作 $R_{l}$ ，称为Sorgenfrey直线。类似地有上限拓扑。积空间 $R_{l} \times R_{l}$ 称为Sorgenfrey平面

实数K-拓扑：设 $K=\left \{ \frac{1}{n}\,|\,n \in Z_{+} \right \}$ ，由所有开区间 (a,b) 和形如 (a,b)-K 的集合的族，作为基生成的拓扑，称为R上的K-拓扑，记作 $R_{K}$

（3）拓扑的子基：设 (X, $\tau$ ) 为拓扑空间， $S \subset \tau$ ，若S的元素的所有有限交的族为 $\tau$ 的基，则称S为拓扑空间 (X, $\tau$ ) 的子基

（4）序拓扑：设X有全序关系，并且多于一个元素。则X的所有开区间(a,b)，所有满足 $a_{0}$ 为X最小元（如果存在的话）的区间 $[a_{0},b)$ ，所有满足 $b_{0}$ 为X最大元（如果存在的话）的区间 $(a, b_{0}]$ 组成的族，是X的某一个拓扑的基，这个拓扑称为序拓扑。注意X可能没有最小元或最大元，所以可能会有一些序拓扑不含其中的某几类，这是允许的

标准拓扑恰好就是在 R 上定义常用序关系给出的序拓扑。 $Z_{+}$ 的序拓扑是离散拓扑

（5）积拓扑：定义 $X \times Y$ 的积拓扑为所有诸如 $U \times V$ （U为X的一开子集，V为Y的一开子集）形式的集族 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑

（6）投影：若映射 $\pi_{1}: X \times Y \to X, \, \pi_{2}: X \times Y \to Y$ 满足 $\pi_{1}(x,y)=x, \, \pi_{2}(x,y)=y$ ，则这两个映射分别定义为笛卡尔积到第一、二分量上的投影

（7）子空间拓扑：设X是一个赋有拓扑 $\tau$ 的拓扑空间。如果 $Y \subset X$ ，则   $\tau_{Y}=\left \{ Y \cap U \,|\, U \in \tau \right \}$ 是一个拓扑，定义为子空间拓扑，并且把赋有这个拓扑的Y称为X的子空间。在此时，Y的开集由X的开集与Y的交组成

（8）凸集：设Y是全序集X的子集，如果对Y中任意一对点 a<b，都有 $(a,b) \subset Y$ ，则称Y是X中的一个凸集

（9）闭集：A的补集X-A是开集，则定义A为闭集

闭包：包含着A的所有闭集的交，称为A的闭包，记作 $\bar{A}$ 。显然闭包一定是闭集

内点：存在开集U，使得 $x \in U \subset A$ ，则称x为A的内点，所有内点的集合称为A的内部（开核），记作 $A^{o}$ ，它等价于A的所有开子集的并，也即A的最大开子集

（10）极限点（聚点）：点x的任意一个邻域与A的交有异于x的点，称x为A的一个极限点或聚点。注意x可以在A中，也可以不在A中。A的所有聚点的集合称为A的导集，记作 ${A}'$

孤立点：A中的非聚点称为A的一个孤立点。即存在一个邻域，其中不含A中除x的其他点

（11）连续映射（连续函数）：设X, Y都是拓扑空间，对映射 $f: X \to Y$ ，如果值域Y中的每个开子集V，其原像 $f^{-1}(V)$ 在X中也是开子集，则 f 称为连续的映射

（12）同胚：设X, Y都是拓扑空间，函数 $f: X \to Y$ 是一个双射，如果f和它的反函数都是连续的，则称f为一个同胚，记作 $X \simeq Y$

不是同胚的连续双射例子：

映射 $f: [0,1) \to S^{1}=\left \{ (x,y) \,|\, x^{2}+y^{2}=1 \right \}$ 定义为 $f(t)=(cos2\pi t, sin2\pi t)$ ，即区间 [0,1)到单位圆周的映射，它是一个连续的双射，但 $f^{-1}$ 不连续

（13）拓扑不变量（拓扑性质）：由集合X的拓扑所得出的X的性质，如果能为所有的同胚映射所共有，即在同胚映射下这种性质仍然能保持，则称它是拓扑性质，也称为拓扑不变量。可见同胚是保持拓扑性质的一一映射。

常见的拓扑不变量：开集性、紧致性、连通性、可度量性

（14）拓扑嵌入：设X, Y是拓扑空间， $f: X \to Y$ 是一个连续的单射，那么限制f的值域得到的映射 ${f}': X \to f(X)$ 是一一映射，若 ${f}'$ 正好是一个同胚，则称 $f: X \to Y$ 是一个X到Y的拓扑嵌入，f也称为嵌入映射

（15）度量： $d: X^{2} \to R$ ，满足正定性、自反性、三角不等式

标准有界度量： $\bar{d}(x,y)=min \left \{ d(x,y), 1 \right \}$ ，称为相应于d的标准有界度量

$R^{n}$ 中的欧氏度量： $d(x,y)=\left \| x-y \right \|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}$

$R^{n}$ 中的平方度量： $\rho(x,y)=max\left \{ \left | x_{1}-y_{1} \right |,...,\left | x_{n}-y_{n} \right | \right \}$

一致度量：设(Y,d)是度量空间， $\bar{d}(a,b)=min \left \{ d(a,b), 1 \right \}$ 是Y上关于d的标准有界度量，给定指标集J，定义 $Y^{J}$ 上的度量 $\bar{\rho}(x,y)=sup\left \{ \bar{d}(x_{\alpha},y_{\alpha}) \,|\, \alpha \in J \right \}$ ，它称为 $Y^{J}$ 上关于d的一致度量，对应的拓扑称为一致拓扑

（16）度量拓扑/度量空间：设d是X的一个度量，则全体 $\epsilon$ -球 $B(x,\epsilon)$ ，其中 $x \in X, \epsilon >0$ 是X的某个拓扑的基，这个拓扑称为X的度量拓扑，(X, d)也称为度量空间

（17）有界集：设A是度量空间(X, d)的一个子集，若存在一个数M，便利对于A中任意两点 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 有 $d(a_{1}, a_{2}) \leq M$ ，则称A是有界的

（18）商映射：设X, Y为拓扑空间，若 $f: X \to Y$ 是连续的满射，并且U是Y的开子集当且仅当 $f^{-1}(U)$ 是X的开子集，则称 f 是一个商映射

（19）商拓扑/商空间：设 $(X, \tau)$ 是拓扑空间， $\sim$ 是X上的一个等价关系，所有等价类的集合是X的一个分拆，记作 $X/\sim$ ，称为X关于 $\sim$ 的商集。把X上的点映射到它所在的等价类，得到的映射 $p: X \to X/\sim$ 称为称为粘合映射，它是一个商映射。商集上的子集族 $\tilde{\tau}=\left \{ V \subset X/\sim \,|\, p^{-1}(V) \in \tau \right \}$ 就是 $X/\sim$ 的一个拓扑，称为X关于 $\sim$ 的商拓扑， $(X/\sim, \tilde{\tau})$ 称为商空间。注意这个拓扑也是使p连续的最大拓扑

直观上，商空间表明原来空间上属于同一个等价类的所有点（一个点集），在新的空间上都被粘合收缩为一个点（用一个等价类表示），因此商空间 $X/\sim$ 也常称为X的粘合空间，或分解空间

主要定理：
（1）拓扑基的充要条件：对拓扑空间X上的任意开集U，对任意 $x \in U$ 都存在B满足 $x \in B \subset U$ ，所有满足条件的B组成的族就是拓扑的基 $\mathcal{B}$ 。这等价于 $\mathcal{B}$ 的成员是开集且X的每个开子集都是 $\mathcal{B}$ 中一些成员的并

（2）下限拓扑 $R_{l}$ 和K-拓扑 $R_{K}$ 都严格细于标准拓扑，但它们之间不可比较，即互不包含

（3）积拓扑的基：设 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ 分别是拓扑空间X, Y的基，则 $\mathcal{D}=\left \{ B \times C \,|\, B \in \mathcal{B}, C \in \mathcal{C} \right \}$ 是拓扑空间 $X \times Y$ 的基。另外族 $\mathcal{S}=\left \{ \pi_{1}^{-1}(U) \,|\, U \, open \, in \, X \right \} \cup \left \{ \pi_{2}^{-1}(V) \,|\, V \, open \, in \, Y \right \}$ 是 $X \times Y$ 的积拓扑的子基

（4）子空间拓扑的基：若 $\mathcal{B}$ 是X上的拓扑的基，那么 $\mathcal{B}_{Y}=\left \{ B \cap Y \,|\, B \in \mathcal{B} \right \}$ 是Y上子空间拓扑的基

若A是X的子空间，B是Y的子空间，那么 $A \times B$ 的积拓扑即为 $A \times B$ 在 $X \times Y$ 上的子空间拓扑

（5）凸集的拓扑空间：设X是有序拓扑的全序集，  Y是X中的凸集，那么Y的序拓扑与Y在X上的子空间拓扑相同

（6）闭包的充要条件1：设A为拓扑空间X的子集，则 $x \in \bar{A}$ 当且仅当每个x的邻域（即包含x的开集）与A的交集非空。若X的拓扑由一组基生成，则 $x \in \bar{A}$ 当且仅当每一个包含x的基元与A的交集非空

（7）闭包的充要条件2：A的闭包等于A与其所有极限点的并，即 $\bar{A}=A \cup {A}'$

拓扑空间中的子集为闭集当且仅当 $A=\bar{A}$ ，即它包含其所有的极限点

（8）内点的性质：

$A \subset B \Rightarrow A^{o} \subset B^{o}$ ；

$A^{o}$ 就是A的所有开子集的并（也即A的最大开子集）；

A是开集等价于 $A=A^{o}$ ；

$(A \cap B)^{o}=A^{o} \cap B^{o}$ ；

$(A \cup B)^{o} \supset A^{o} \cup B^{o}$

（8）Hausdorff空间的性质：一个序列最多收敛到一个点；任何有限子集都是闭集；具有序拓扑的全序集一定是Hausdorff空间；两个Hausdorff空间的积也是Hausdorff空间；Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间

（9）函数 $f: X \to Y$ 连续的充要条件：等价于对X的每个子集A，有 $f(\bar{A})=\overline{f(A)}$ 。等价于对Y中的每个闭集B， $f^{-1}(B)$ 在X中也是闭集。等价于对每一个元素 $x \in X$ 和每一个f(x)的邻域V，存在x的一个邻域U使得 $f(U) \subset V$

（10）粘合引理：设 $X=A \cup B$ ，A和B都是X中的闭集（或者都是开集也行）， $f: A \to Y, \, g: B \to Y$ 都是连续映射，并且在定义域的重合处即 $A \cap B$ 上恒有 $f(x)=g(x)$ ，则 f 和 g 可以组成一个新的连续映射 $h: X \to Y$ ，定义为

$h(x)=\left\{\begin{matrix} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{matrix}\right.$

注意粘合引理必须要求两个连续映射在定义域的重合处相等，并且定义域被限制为都是闭集（或都是开集），这两个条件缺一不可，这样它们就可以在重合处粘合起来，并保持拓扑的连续性质不变

粘合定理的一般化形式：设 $\left \{ A_{1},...,A_{n} \right \}$ 为X的一个有限闭覆盖，如果映射 $f: X \to Y$ 在每一个 $A_{i}$ 上的限制都连续，那么 f 为连续映射

（11）到积空间的连续映射：设 $f: A \to X \times Y$ ，且 $f(a)=(f_{1}(a), f_{2}(a))$ ，则 f 连续的充分必要条件是 $f_{1}: A \to X, \, f_{2}: A \to Y$ 都连续

（12）度量拓扑：由欧氏度量d或平方度量 $\rho$ 诱导的 $R^{n}$ 的拓扑与 $R^{n}$ 的积拓扑相同。 $R^{J}$ 上的一致拓扑细于积拓扑，粗于箱拓扑，并且当J为无限集时，这三个拓扑两两不同

（13） $R^{\omega}$ 的度量：无穷维欧氏空间 $R^{\omega}$ 是可度量化的。设 $\bar{d}=min \left \{ d(a,b), 1 \right \}$ 是R的标准有界度量，对 $R^{\omega}$ 上的两个点x, y，定义

$D(x,y)=sup\left \{ \frac{\bar{d}(x_{i},y_{i})}{i} \right \}$

则D是 $R^{\omega}$ 的积拓扑的一个度量。

（14）序列引理：设X是一个拓扑空间， $A \subset X$ ，若A中有一个收敛于x的序列，则 $x \in \bar{A}$ 。若X为度量空间，则逆命题也成立，即在度量空间中 $x \in \bar{A}$ 等价于A中有一个收敛于x的序列

（15）一致极限定理：设 $f_{n}: X \to Y$ 是从拓扑空间X到度量空间Y中一个连续函数序列，若 $\left \{ f_{n} \right \}$ 一致收敛于f，则 f 连续

一致收敛的定义：对任意 $\epsilon >0$ ，存在整数N，对 n>N 以及任意 $x \in X$ ，都有 $d(f_{n}(x), f(x))<\epsilon$

（16）商映射的性质：若 $f: X \to Y$ 是商映射，那么 $X/\sim$ 同胚于Y。可见Y是商空间，进一步若 $g: Y \to Z$ 是从商空间Y发出的映射，那么 g 连续当且仅当 $g \circ f$ 连续

连续的满射 $f: X \to Y$ 若还是开映射或闭映射，则它是商映射；

若X紧致，Y是Hausdorff空间，则连续的满射 $f: X \to Y$ 一定是商映射；

商映射的复合也是商映射。

连通性与紧致性

（1）连通空间：拓扑空间X如果不能分为两个非空不相交开集的并，则称它连通

（2）道路连通：X中从点x和点y的一条道路，是指从实直线的某一闭区间 [a, b]到X的一个连续映射 $f: [a,b] \to X$ ，使得 f(a)=x且f(b)=y。如果空间X中任意两点都能用X中的一条道路连接，则称X是道路连通的

（3）拓扑学家的正弦曲线： $S=A \cup B$ ，其中 $A=\left \{ (x, sin \frac{1}{x}) \,|\, x \in (0,1) \right \}, \, B=\left \{ (0, y) \,|\, y \in [-1,1] \right \}$ 。它是连通的，但不是道路连通的，也不是局部连通的

（4）长直线（Alexandroff直线）： $L=\left \{ (x, y) \,|\, x \in S_{\Omega}, \, y \in [0,1) \right \} - \left \{ (a_{0},0) \right \}$ ，其中 $S_{\Omega}$ 为极小不可数良序集， $a_{0}$ 为 $S_{\Omega}$ 中的最小元。即L是由具有字典序的全序集 $S_{\Omega} \times [0,1)$ 中去掉最小元后所得的集合，直观上它是不可数多个[0,1)线段的首尾“粘合”

长直线是道路连通的，并且局部同胚于R，但它不能嵌入到任何的欧氏空间 $R^{n} \, (n\geq 1)$ 中

（5）连通分支：拓扑空间X的一个子集如果连通，并且不是X其余连通子集的真子集，则称它为X的连通分支。这个定义说明连通分支为极大连通子集。

也可以用等价类来定义：若X中存在包含x和y的连通子空间，则规定 $x \sim y$ ，每一个等价类称为X的一个连通分支。类似地也可以定义道路连通分支

（6）局部连通：对x的每一个邻域U，都存在一个连通邻域 $V \subset U$ ，则称x处是局部连通的。若空间X在每一点处都是局部连通的，则称X是局部连通的。类似地可以定义道路局部连通

（7）紧致性：对拓扑空间X，如果X的每一个开覆盖都有有限子覆盖，则称X是紧致的

列紧性：如果X中的每一个序列都有收敛的子序列（即有聚点），则称X是列紧的。在度量空间中，列紧性与紧致性是等价的

（8）一致连续：设 f 是从度量空间 $(X, d_{X})$ 到度量空间 $(Y, d_{Y})$ 的一个函数，若对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ 使得对于X中的任意两点 $x_{0}, x_{1}$ ，都有

$d_{X}(x_{0}, x_{1})<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x_{0}), f(x_{1}))<\epsilon$

则称函数f是一致连续的

（9）局部紧致：若存在X的一个紧致子空间C包含着x的一个邻域，则称在x处是局部紧致的。如果X在每一点处都是局部紧致的，则称X是局部紧致的

（10）紧致化/单点紧致化：若Y是一个紧致的Hausdorff空间，X是Y的真子空间并且其闭包等于Y，则Y称为X的一个紧致化。若Y-X是单点集，则Y称为X的单点紧致化，它是X的极小紧致化，因为它只增加了一个点

两个紧致化等价：两个紧致化 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是等价的，若存在一个同胚 $h: Y_{1} \to Y_{2}$ ，使得对每个 $x \in X$ 都有 h(x)=x

（11）有向集：设 $(D,\leq)$ 是偏序集，若对任意 $x,y \in D$ ，存在 $z \in D$ 满足 $z\geq x, z\geq y$ ，则称D是一个有向集。显然 $Z_{+}$ 是有向集

网：有向集D到X的一个映射 $S: D \to X$ ，称为X中的网，网S也记作 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ 。当 $D=Z_{+}$ 时就通常说的序列

子网：对X中的网 $S=\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ 和   $T=\left \{ y_{i} \right \}_{i \in E}$ ，若存在映射 $\phi:E \to D$ 使得 $T=S\circ \phi$ ，且对任意 $i_{0} \in D$ ，存在 $j_{0} \in E$ ，当 $j \geq j_{0}$ 时有 $\phi(j)\geq i_{0}$ ，则称T为S的子网

（12）网的极限：对X中的网 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ ，如果存在点 $x \in X$ ，满足对x的每个邻域U，存在 $N \in D$ ，使得 $i\geq N$ 蕴含 $x_{i} \in U$ ，则称x是 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ 的一个极限点，或称 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ 收敛于x，记作 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D} \to x$ 。网S的所有极限点记作 limS。若limS非空，则称S在X中收敛。序列收敛就是网收敛的特殊情形

（13）滤子：设 $\mathcal{F}$ 是X的非空子集族，满足三条公理 $\forall F \in \mathcal{F}, F\neq \varnothing$ ；若 $F_{1},F_{2} \in \mathcal{F}$ ，则 $F_{1} \cap F_{2} \in \mathcal{F}$ ；若 $F \in \mathcal{F}, F \subset G \subset X$ ，则 $G \in \mathcal{F}$ ；那么称 $\mathcal{F}$ 为X的一个滤子。滤子的理论也是研究极限理论的一种工具，它和网的理论是等价的

（14）滤子基：设 $\mathcal{B}$ 是X的非空子集族，若满足 $\forall B \in \mathcal{B}, B \neq \varnothing$ ；若 $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$ ，则存在 $B_{3} \in \mathcal{B}$ 使得 $B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}$ ；那么称 $\mathcal{B}$ 为X的一个滤子基

（15）滤子的极限：设 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间X的一个滤子，如果存在点 $x \in X$ ，满足对x的每个邻域U，都存在 $F \in \mathcal{F}$ 使得 $F \subseteq U$ ，则x称为滤子 $\mathcal{F}$ 的极限点，或称 $\mathcal{F}$ 在X中收敛于x，记作 $\mathcal{F} \to x$ 。滤子 $\mathcal{F}$ 的所有极限点集合记作 $lim \mathcal{F}$ 。

聚集点：如果存在点 $x \in X$ ，满足对x的每个邻域U，和 $\mathcal{F}$ 中的每个元素 F，都有 $U \cap F \neq \varnothing$ ，这时 x 称为 $\mathcal{F}$ 的聚集点，所有聚集点的集合记作 $adh \mathcal{F}$ 。注意极限点必然是聚集点，但聚集点不一定是极限点

主要定理：

（1）连通空间的性质：

连通空间在连续映射下的像连通；

若X的连通子空间族的交有一个公共点，则它们的并也是连通的；

若X有一个连通的稠密子集，则X连通；

若A是X的连通子集， $A \subset B \subset \bar{A}$ ，那么B也连通；

连通性可乘，即有限个连通空间的笛卡尔积也是连通的

（2）线性连续统的连通性：具有序拓扑的线性连续统L是连通的，并且L的每一个区间或单向无界区间都是连通的。特别地，实直线R是连通的，R中的每一个区间是连通的

（3）介值定理：从连通空间X到序拓扑空间Y的连续映射 f ，可以取到给定两点 f(a) 和 f(b) 之间的一切值。即对f(a)和f(b)之间的任意一点r，在X中都存在点c使得 f(c)=r

（4）连通分支的性质：每个连通子集必包含在唯一的一个连通分支中。连通分支一定是闭集。局部连通空间的连通分支是开集，也就是说其实它是既开又闭的

（5）紧致空间的判定1：紧致空间的每一个闭子集都是紧致的；Hausdorff空间的每一个紧致子空间都是闭的；紧致空间在连续映射下的像是紧致的；有限个紧致空间的积是紧致的；紧致空间的有限并是紧致的

（6）紧致空间的判定2：若序拓扑X具有上确界性质，则X中的每一个闭区间都紧致的。特别地，实直线R中的任一闭区间都是紧致的

（7）管状引理：对Y是紧致的积空间 $X \times Y$ ，若N是包含薄片 $x_{0} \times Y$ 的一个开集，则X中存在 $x_{0}$ 的一个邻域W，使得N包含着集合 $W \times Y$ 。集合 $W \times Y$ 称为 $x_{0} \times Y$ 的一个管子

（8）Bolzano-Weierstrass定理（聚点定理）：有限维实向量空间 $R^{n}$ 中的一个子集E是列紧的（每个序列都有收敛子序列，即有聚点），当且仅当它是有界闭集。因为有限维赋范向量空间与 $R^{n}$ 同胚，因此在有限维赋范向量空间中也成立

（9）Heine–Borel定理（有限覆盖定理）： $R^{n}$ 中的子集E为紧集等价于E为有界闭集。可推广到一般度量空间，即度量空间的子集是紧集，当且仅当它是完备的并且完全有界的

（10）用紧致性来判定同胚：对连续的双射 $f: X \to Y$ ，若X是紧致的，Y是Hausdorff空间，则 f 是一个同胚

（11）极值定理：若 $f: X \to Y$ 是连续映射，X是紧致的，Y是有序拓扑的全序集，则在X中存在点c和d，使得得对所有的 $x \in X$ ，都有 $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$

（12）Lebesgue数引理：设 $\mathcal{A}$ 为度量空间 (X, d) 的一个开覆盖，若X是紧致集，则存在 $\delta >0$ 使得X的每一个直径小于 $\delta$ 的子集包含在 $\mathcal{A}$ 的某一元素中。数 $\delta$ 称为开覆盖 $\mathcal{A}$ 的一个Lebesgue数

（13）一致连续性定理：设 $f: X \to Y$ 是从紧致度量空间 $(X, d_{X})$ 到度量空间 $(Y, d_{Y})$ 的一个连续映射，则 f 是一致连续的

（14）不可数的判定：设X是非空的紧致的Hausdorff空间，若X中没有孤立点，则X是不可数的。

推论：R中的每一个闭区间都是不可数的

（15）Cantor集：从区间 [0,1]开始，不断在每个区间中去掉中间的三分之一，把这个过程一直进行下去，最后剩下的点所组成的集合就叫作Cantor集，注意每次去掉的都是开区间。下面是递归定义

$A_{0}=[0,1]$

$A_{n}=A_{n-1}-\bigcup_{k=0}^{\infty}\left ( \frac{1+3k}{3^{n}}, \frac{2+3k}{3^{n}} \right )$

它们的交就是Cantor集

$C=\bigcap_{n \in Z_{+}}A_{n}$

Cantor集的性质：

Cantor集的Lebesgue测度为0；

Cantor集是非空有界闭集；

Cantor集是完全集（没有孤立点的闭集）；

Cantor集是无处稠密集（疏朗集），即对任何一个开子集(a,b)，都存在包含于(a,b)的开子集不含Cantor集中的点；

Cantor集是完全不连通的；

Cantor集是紧致集；

Cantor集是不可数集。

（16）空间的紧致化：X是局部紧致的Hausdorff空间的充要条件是存在一个对X的单点紧致化空间Y，即X是Y的子空间，Y-X是单点集，并且Y是紧致的Hausdorff空间。

可见，任何一个局部紧致的Hausdorff空间都可以嵌入到某一个叫做单点紧致化的紧致Hausdorff空间中

（17）用网来研究拓扑空间：

积空间：若在X和Y中分别有 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D} \to x$ 和 $\left \{ y_{j} \right \}_{j \in E} \to y$ ，则在 $X \times Y$ 中有 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D} \times \left \{ y_{j} \right \}_{j \in E} \to x \times y$ ；

闭包的条件：设 $A\subset X$ ，则 $x \in \bar{A}$ 当且仅当存在A中点的一个网收敛于x；

Hausdorff性：若X是Hausdorff空间，则X中的一个网最多收敛于一个点；

连续性：函数 $f: X \to Y$ 是连续的，当且仅当对X中任何收敛于x的网 $\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D}$ ，都有网 $f(\left \{ x_{i} \right \}_{i \in D})$ 收敛于f(x)；

紧致性：X是紧致的当且仅当X的每一个网都有一个收敛的子网。

（18）用滤子来研究拓扑空间：

如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间X的一个滤子，N(x)是点x所有邻域构成的族，则 $x \in lim \mathcal{F} \Leftrightarrow N(x) \subset \mathcal{F}$ ；

Hausdorff性：若X是Hausdorff空间，则X中的滤子 $\mathcal{F}$ 最多收敛于一个点，即如果 $\mathcal{F}$ 收敛，则 $adh \mathcal{F}$ 是单点集，且有 $adh \mathcal{F}=lim \mathcal{F}$ ；

紧致性：X是紧致的，当且仅当X上的任一滤子基都有聚集点即 $adh \mathcal{F} \neq \varnothing$ ；当且仅当X上的所有滤子基都是收敛滤子基的子集；

与网的等价性：如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间X的一个滤子，则存在X中的一个网 f，满足 $adh \mathcal{F}=adh f, \, lim \mathcal{F}=lim f$ 。反过来若f是X中的一个网，则存在X中的一个滤子 $\mathcal{F}$ ，满足 $adh \mathcal{F}=adh f, \, lim \mathcal{F}=lim f$ 。

可数公理和分离公理

（1）邻域基：设 $\mathcal{U}$ 是点x的一个邻域族，若x的每一个邻域都至少包含 $\mathcal{U}$ 的一个成员，则称 $\mathcal{U}$ 为x的一个邻域基

（2）稠密集：对空间X的子集A，如果 $\bar{A}=X$ ，则称A在X是稠密的。等价的说法是X的每一个邻域都含有A中的点

（3）函数分离：对拓扑空间X的两个子集A和B，若存在一个连续函数 $f: X \to [0,1]$ ，使得 $f(A)=0, f(B)=1$ ，则称A和B能用连续函数分离

（4）函数完全分离：若存在一个连续函数 $f: X \to [0,1]$ ，使得 $f^{-1}(0)=A, f^{-1}(1)=B$ ，则称A和B能用连续函数完全分离

（5）可数公理：

C1公理：任一点都有可数邻域基

Lindelof空间：空间的每一个开覆盖都包含可数的子覆盖。这个条件比C2公理弱。若把可数改为有限，则就是紧致空间

可分空间：空间中有可数的稠密子集。这个条件也比C2公理弱

C2公理：X有可数拓扑基。它蕴涵C1公理

（6）分离公理：

T0公理：空间中任意两点拓扑可区分，即一点存在邻域不包含另一点。T0空间也称为Kolmogorov空间

T1公理：空间中任意两点都是可分离的，即各有一个邻域不含另一点。T1空间也称为Frechet空间

T2公理：拓扑空间X的任意两点都是邻域可分离的，即有不相交的邻域，T2空间也称为Hausdorff空间

T2.5公理：任意两点都是闭邻域可分离的，即有不相交的闭邻域，该空间也称为Urysohn空间

正则公理（Regular）：任意一点与不含该点的任一闭集都是邻域可分离的，即有不相交的邻域，该空间称为正则空间

T3公理：正则Hausdorff空间，即点之间、点与闭集之间都是邻域可分离的

完全正则公理：任意一点x和不含x的闭集A都是函数可分离的，即存在一个连续映射 $f: X \to [0,1]$ 使得 f(x)=0, f(A)=1

T3.5公理（完全T3）：完全正则Hausdorff空间，也称为Tychonoff空间

正规公理（Normal）：任意两个不相交的闭集都是邻域可分离的，即有不相交的邻域，该空间称为正规空间

T4公理：正规Hausdorff空间，即点之间、闭集之间都是邻域可分离的

完全正规公理：任意两个相区别的子集都是邻域上可分离的，这等价于每一个子空间都是正规空间

T5公理（完全T4）：完全正规的Hausdorff空间

完美正规公理：任意两个相区别的闭子集都是函数上完全分离的

T6公理（完美T4）：完美正规的Hausdorff空间

注意在T1公理成立的情况下，T4公理可以推出T3公理，T3公理可以推出T2公理。另外，这里T3、T4、T5、T6公理是在加了Hausdorff条件后单独列出来的，这是Bourbaki的定义。很多书上为了讨论的简化，不用加Hausdorff条件，把T3空间、T3.5空间、T4空间、T5空间、T6空间等价地定义为上述正则空间、完全正则空间、正规空间、完全正规空间、完美正规空间

（7）二进分数（二进有理数）：所有分母为2的幂的分数，即 $\frac{a}{2^{b}}$ 的形式，a为正数，b为自然数。二进分数的一个经典应用是用来证明Urysohn引理

（8）拓扑流形：定义为具有可数基的Hausdorff空间，它的每一点x有一个邻域同胚于 $R^{m}$ 中一个开子集。也称为m-维流形

（9）映射的支撑集：定义在X上映射 $f: X \to R$ ，它的支撑集定义为使f取非零值的点集的闭包，记为 $supp(f)=\overline{\left \{ z \in X:f(z) \neq0\right \}}$

（10）单位分拆：对空间X的一个有限开覆盖 $\left \{ U_{1},...,U_{n} \right \}$ ，连续函数序列 $\phi _{i}: X \to [0,1], \, i=1,...,n$ 如果满足，对每一个 i 有 $supp(\phi_{i}) \subset U_{i}$ ，对每一个x有 $\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}(x)=1$ ，则该函数序列称为则 $\left \{ U_{i} \right \}$ 控制的一个单位分拆

（11）逐点有限加标族：X的子集的一个加标族 $\left \{ A_{\alpha} \right \}$ ，如果对每一个 $x \in X$ ，仅仅对于有限多个 $\alpha$ 有 $x \in A_{\alpha}$ ，则称该子集族为逐点有限的加标族

主要定理：

（1）可数公理性质：

若X在x处有可数邻域基，则存在一个可数邻域基 $\left \{ V_{n} \right \}$ ，使得 n<m时有 $V_{n} \supset V_{m}$ ，也就是说如果这个点处有可数邻域基，那么肯定有递降的可数邻域基（基中的元素构成递降的开集套）；

C1空间中 $x \in \bar{A}$ 当且仅当A中有一个收敛到x的序列；

对定义在C1空间X上的映射 $f: X \to Y$ ，f 连续当且仅当对X中的每一个收敛序列 $x_{n} \to x$ ，都有序列 $f(x_{n})$ 收敛于 f(x)；

C2空间必是C1空间，必是Lindelof空间，必是可分空间，反过来不一定成立；

度量空间是C2空间当且仅当它是Lindelof空间或可分空间；

下限拓扑 $R_{l}$ 是Lindelof空间、是可分空间、是C1空间，但不是C2空间；

Sorgenfrey平面 $R_{l} \times R_{l}$ 是是C1空间、是可分空间、是Tychonoff空间，但不是C2空间、也不是Lindelof空间。

（2）分离公理性质：

X是T1空间等价于X的有限子集是闭集；

在T1空间中，x为子集A的聚点，则x的任一领域与A的交集为无穷集；

Hausdorff空间中一个序列最多收敛到一个点；

Hausdorff空间中任何有限子集都是闭集、任何紧致子集也都是闭集；

具有序拓扑的空间都是Hausdorff空间，也都是正则空间；

Hausdorff空间的子空间、积空间都是Hausdorff空间；正则空间的子空间、积空间都是正则空间；完全正则空间的子空间、积空间都是完全正则空间；但是正规空间则没有类似的性质；

实数上的K拓扑 $R_{K}$ 是Hausdorff空间，但不是正则空间；

下限拓扑 $R_{l}$ 是T5空间，但不是可度量化的空间；

Sorgenfrey平面 $R_{l} \times R_{l}$ 和积空间 $S_{\Omega} \times \bar{S_{\Omega}}$ 都是完全正则空间但不是正规空间；若J是不可数的则 $R^{J}$ 不是正规空间；

拓扑群都是完全正则空间；

CW复形和拓扑流形都是Tychonoff空间；

正则Lindelof空间都是正规空间；

正则C2空间都是完全正规空间；

度量空间是C1空间、是T6空间也即完美正规的Hausdorff空间；

紧致Hausdorff空间都是正规空间；

序拓扑空间都是正规空间；

线性连续统都是正规空间；

（3）Kuratowski十四集定理：对拓扑空间X中任一子集A, 通过从A开始取若干次闭包或补集，最多能产生14个不同的集合

（4）二进分数的性质：

在实数轴上是稠密集，并且与其他稠密集（例如有理数集）相比是相对较小的稠密集；

任何实数都可以用 $\frac{\left \lfloor 2^{i}x \right \rfloor}{2^{i}}$ 形式的二进分数无限逼近；

二进分数的和、积、差也是二进分数，而商则一般不是二进分数，因此二进分数集构成有理数集Q的一个子环

（5）Urysohn引理：正规空间中不相交的闭集被函数分离，即对正规空间X上的任意两个不相交的闭集A, B，存在一个从X到实值闭区间[a, b]的连续映射 $f: X \to [a,b]$ ，它在A和B上分别取值为a, b，即f(A)=a，f(B)=b。

乌雷松引理有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧致豪斯多夫空间都是正规的。

证明思路：只需考虑单位区间[0,1]的情形即可。对(0,1)内的每个二进分数r，根据X的正规性构造特定的开子集 U(r)，定义 $f(x)=inf \left \{ r: x \in U(r) \right \}$ ，对所有的 $x \in X$ 。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 f 是连续的，且具有性质 $f(A) \subseteq \left \{ 0 \right \}, \, f(B) \subseteq \left \{ 1 \right \}$

（6）Urysohn度量化定理：正则C2空间是可度量化的空间。即每一个有可数基的正则空间可以嵌入到无穷维欧氏空间 $R^{\omega}$ 中。注意这只是可度量化的一个充分条件

证明思路：利用X是正则的且有一组可数基的假定就可以证明，X能嵌入一个度量空间Y之中，因此X与一个Y的子空间同胚。由于度量空间Y的子空间是可度量化的，于是得出X是可度量化的。将Y取作无穷维欧氏空间 $R^{\omega}$ 的子空间 $[0,1]^{\omega}$ 即可，它有一致度量 $\bar{\rho}(x,y)=sup\left \{ \left | x_{i}-y_{i} \right | \right \}$ 。通过乌雷松引理，存在一个可数连续函数序列 $f_{n}: X \to [0,1]$ ，以此构造映射 $F: X \to [0,1]^{\omega}, \, F(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x), ...)$ ，证明它是一个嵌入映射，即F是连续的单射，并且F是从X到像集F(X)的一个同胚

（7）完全正则空间的充要条件：拓扑空间X是完全正则空间，当且仅当对某一指标集J，X同胚于 $[0,1]^{J}$ 的了一个子空间

（8）Tietze扩张定理：设X是一个正规空间，A是X的一个闭子集，则任何一个连续映射 $f: A \to [a,b]$ 都可以扩张为从整个空间X到[a, b]的一个连续映射，任何一个连续映射 $f: A \to R$ 都可扩张为从整个空间X到R的一个连续映射

证明思路：构造一个定义在X上的连续函数序列 $\left \{ f_{n} \right \}$ ，使得它一致收敛，并且 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在A上的限制随着n的增长逼近 f，于是极限函数是连续的，它在A上的限制等于 f

（9）有限单位分拆的存在性：正规空间X的任一有限开覆盖都存在对应的有限单位分拆

（10）流形的嵌入：一个m-维流形可以嵌入到 $R^{N}$ 中，其中N是某一个正整数

（11）收缩引理：对正规空间的一个逐点有限加标开覆盖 $\left \{ U_{1},U_{2},... \right \}$ ，则存在X的一个加标开覆盖 $\left \{ V_{1},V_{2},... \right \}$ ，使得 $\overline{V_{n}} \subset U_{n}$

（12）Tychonoff定理：任意个紧致空间的乘积空间都是紧致的。注意这里"任意个"包括了可数无穷个或不可数无穷个，这时它等价于选择公理或Zorn引理

（13）Stone-Cech紧致化：设X是完全正则空间，则存在X的一个紧致化Y（即使得 $\bar{X}=Y$ 的紧致Hausdorff空间Y），满足条件：对每一个有界连续函数 $f: X \to R$ 都可以唯一地扩张为从Y到R的连续函数。这样的紧致化Y在等价意义下是唯一的，称为X的Stone-Cech紧致化，记作 $\beta(X)$ 。它是X的极大紧致化，也就是说X的每一个紧致化都等价于 $\beta(X)$ 的一个商空间

Stone-Cech紧致化的重要性质：从X到任意紧致Hausdorff空间C的连续映射 $f: X \to C$ ，有唯一的一个连续映射 $g: \beta(X) \to C$ 为它的扩张

度量化定理和仿紧致性

（1）局部有限族：对拓扑空间X的一个子集族 $\mathcal{A}$ ，若X中的每一点都存在一个邻域只与 $\mathcal{A}$ 的有限多个成员相交，则称 $\mathcal{A}$ 是局部有限族。类似地可以定义局部有限的加标族。局部有限族的每个元素的闭包构成的族也是局部有限的

（2）可数局部有限族：X的子集族 $\mathcal{B}$ ，若可以表示成可数个局部有限族 $\mathcal{B}_{n}$ 的并，即 $\mathcal{B}=\bigcup_{n \in Z_{+}}\mathcal{B}_{n}$ ，则 $\mathcal{B}$ 称为可数局部有限族。这一概念也叫做 $\sigma$ -局部有限族，其中 $\sigma$ 表示"可数并"

（3） $G_{\sigma}$ 集：如果空间X的一个子集等于X的可数个开子集的交，则称A为X中的一个 $G_{\sigma}$ 集。有可数局部有限基的正则空间X一定是正规空间，并且每一个闭子集都是X的 $G_{\sigma}$ 集

（4）局部离散族：对拓扑空间X的一个子集族 $\mathcal{A}$ ，若X中的每一点都存在一个邻域最多与 $\mathcal{A}$ 中的一个元素相交，则称 $\mathcal{A}$ 是局部离散族

（5）可数局部离散族：X的子集族 $\mathcal{B}$ 若等于可数个局部离散族的并，则称为可数局部离散族，也称为 $\sigma$ -局部离散族

（6）仿紧致性：如果X的任意一个开覆盖 $\mathcal{A}$ 都有一个局部有限的加细开覆盖 $\mathcal{B}$ ，则称X是仿紧致的

（7）局部可度量化：如果空间X的每一点x有一个邻域U在子空间拓扑下是可度量化的，则称X是局部可度量化的

主要定理：

（1）Nagata-Smirnov度量化定理：拓扑空间X是可度量化的，当且仅当它是有可数局部有限基（即存在一个基 $\mathcal{B}$ 由可数个局部有限族的并构成 $\mathcal{B}=\bigcup_{n \in Z_{+}}\mathcal{B}_{n}$ ）的正则空间

（2）Bing度量化定理：拓扑空间X是可度量化的，当且仅当它是有可数局部离散基的正则空间

（3）仿紧致性的性质：

仿紧致的Hausdorff空间都是正规空间；

仿紧致空间的闭子空间是仿紧致的；

度量空间都是仿紧致的；

正则Lindelof空间是仿紧致的；

若J是不可数的，则 $R^{J}$ 不是仿紧致的；

（4）Smirnov度量化定理：空间X是可度量化的，当且仅当X是局部可度量化的仿紧致Hausdorff空间

完备度量空间和函数空间

（1）Cauchy列（基本列）：度量空间(X, d)中的序列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，如果满足 $\forall \epsilon >0,\exists N\in Z, \, s.t. \,\, m,n>N, d(x_{n},x_{m})<\epsilon$ 。注意在一般度量空间中Cauchy列不一定收敛

（2）完备度量空间：任意Cauchy列都收敛的度量空间，当然也要求X中的任一收敛序列必定是一个Cauchy列，即完备性要求其逆命题也成立。注意完备性不是拓扑性质，它不是在同胚下保持不变的性质

（3）有界函数：如果函数 $f: X \to Y$ 的像集 f(X) 是度量空间 (Y, d) 的一个有界子集，则称函数 f 为有界的

（4）常用度量定义：

标准有界度量： $\bar{d}(x,y)=min \left \{ d(x,y), 1 \right \}$ ，称为相应于d的标准有界度量。特别地，R的标准有界度量为 $\bar{d}(a,b)=min \left \{ \left | a-b \right |, 1 \right \}$

$R^{n}$ 中的欧氏度量： $d(x,y)=\left \| x-y \right \|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}$

$R^{n}$ 中的平方度量： $\rho(x,y)=max\left \{ \left | x_{1}-y_{1} \right |,...,\left | x_{n}-y_{n} \right | \right \}$

（5）一致度量：设(Y,d)是度量空间， $\bar{d}(a,b)=min \left \{ d(a,b), 1 \right \}$ 是Y上关于d的标准有界度量，给定指标集J，定义 $Y^{J}$ 上的度量 $\bar{\rho}(f,g)=sup\left \{ \bar{d}(f({\alpha}), g({\alpha})) \,|\, \alpha \in J \right \}$ ，它称为 $Y^{J}$ 上关于d的一致度量。注意这里的 $Y^{J}$ 的元素使用了函数记号，而不是串记号

（6）上确界度量：设(Y,d)是度量空间，在由X到Y的有界函数 $f: X \to Y$ 构成的集合 $\mathcal{B}(X, Y)$ 定义度量 $\rho(f,g)=sup\left \{ d(f(x), g(x)) \,|\, x \in X \right \}$ ，称为上确界度量。注意如果X是紧致的，则每一个连续函数 $f: X \to Y$ 都是有界的，这时上确界度量就定义在连续函数集合 $\mathcal{C}(X, Y)$ 上

它与一致度量满足关系： $\bar{\rho}(f,g)=min\left \{ \rho(f,g), 1 \right \}$ ，即一致度量 $\bar{\rho}$ 是关于上确界度量 $\rho$ 的标准有界度量

（7）度量空间的完备化：设X是一个度量空间，若 $h: X \to Y$ 是从X到完备度量空间Y的一个等距嵌入，则Y的子空间 $\overline{h(X)}$ （即h的像集的闭包）是一个完备度量空间，它称为X的一个完备化

（8）Peano空间：若一个Hausdorff空间是单位闭区间[0,1]的连续映射下的像，则称之为Peano空间

（9）等度连续：设(X,d)是度量空间， $\mathcal{F}$ 是函数空间 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的一个子集，在点 $x_{0} \in X$ 处，若对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $x_{0}$ 的一个邻域U，使得对所有 $x \in U$ 和所有 $f \in \mathcal{F}$ ，都有 $d(f(x), f(x_{0}))<\epsilon$ ，则称函数族 $\mathcal{F}$ 在 $x_{0}$ 处等度连续。若X的每一点处都等度连续，则称 $\mathcal{F}$ 是等度连续的。直观上，等度连续表示连续函数序列在自变量变动时，它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。

（10）完全有界：对度量空间(X,d)，若对任意 $\epsilon >0$ ，存在一个由 $\epsilon$ -球构成的X的有限覆盖，则称X完全有界。完全有界蕴涵了通常的有界

（11）一致有界/逐点有界（点态有界）：设(X,d)是度量空间， $\mathcal{F}$ 是函数空间 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的一个子集

一致有界：只限于实值连续函数集 $\mathcal{C}(X, R)$ 。存在常数M>0，对所有 $x \in X, \, f \in \mathcal{F}$ ，都有 $\left | f(x) \right |\leq M$ ，则称 $\mathcal{F}$ 一致有界。注意一致有界蕴涵了逐点有界；

逐点有界：对所有 $x \in X$ ，Y的子集 $\mathcal{F}_{x}=\left \{ f(x) \,|\, f \in \mathcal{F} \right \}$ 关于d是有界的，则称 $\mathcal{F}$ 是逐点有界的。

（12）逐点收敛拓扑：对X中的一点x和Y中的一个开集U，定义 $\mathcal{C}(X, Y)$ 中的子集 $S(x,U)=\left \{ f \,|\, f \in \mathcal{C}(X,Y), f(x) \in U \right \}$ ，所有集合 S(x, U)构成 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的拓扑的一个子基，这个拓扑称为 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的逐点收敛拓扑

（13）紧致收敛拓扑：设X是拓扑空间，(Y,d)是度量空间，给定 $\mathcal{C}(X, Y)$ 中的一个元素 f、X的一个紧致子空间C、以及一个数 $\epsilon >0$ ，令 $B_{C}(f, \epsilon)$ 表示 $Y^{X}$ 中所有满足下式的元素g构成的集合：

$sup\left \{ d(f(x),g(x)) \,|\, x \in C \right \}<\epsilon$

这些集合 $B_{C}(f, \epsilon)$ 组成了 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的一个拓扑基，称这个拓扑为 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的紧致收敛拓扑，或称为紧致集合上的一致收敛拓扑

（14）紧致开拓扑：设X和Y是拓扑空间，对X的紧致子集C，和Y的开子集U，定义 $S(C,U)=\left \{ f \,|\, f \in \mathcal{C}(X,Y), f(C) \subset U \right \}$ ，所有集合 S(C,U)组成了 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的一个拓扑的子基，这个拓扑称为紧致开拓扑。

注意如果Y是度量空间，则紧致开拓扑与紧致收敛拓扑一致，也就是说在这种情况下，函数序列 $\left \{ g_{n} \right \}$ 在紧致开拓扑中收敛到 f，当且仅当对X的所有紧致子集C， $\left \{ g_{n} \right \}$ 都在C上一致收敛到 f 。

紧致开拓扑是定义在两个拓扑空间之间的所有连续映射的集合上的一种拓扑。紧致开拓扑是函数空间上的常用拓扑之一，在同伦理论和泛函分析中有应用

（15）赋值映射：设X是局部紧致的Hausdorff空间， $\mathcal{C}(X,Y)$ 有紧致开拓扑，映射 $e: X \times \mathcal{C}(X,Y) \to Y$ 定义为 $e(x,f)=f(x)$ ，它称为赋值映射。赋值映射是连续的

（16）稠密集：A是X的子集，若X的任意开子集都与A相交，则称A在X中稠密，也称A是稠密集。注意A稠密当且仅当 $\bar{A}=X$

稀疏集（疏朗集、无处稠密集）：X的任意开子集都含有一个开子集与A不相交，则称A在X中是稀疏集，或无处稠密集。稀疏集的补集是稠密集，但反过来不一定成立

（17）第一纲集/第二纲集：若A是可数个稀疏集的并，则称A为第一纲集，否则称A为第二纲集（即不是可数个稀疏集的并）

（18）Baire空间：若拓扑空间X中可数个稠密开集的交仍然是稠密集，则称X为Baire空间

（19）拓扑维数：拓扑空间X的拓扑维数是 n ，当且仅当 n 是最小的整数使得以下陈述成立：对于X任意的一个有限开覆盖A，都存在另一个有限开覆盖B，使得 B是A的精细，且X内的每个点都只属于至多 n+1 个B的元素。拓扑维数又称勒贝格维数，记作 dimX

（20）弧A：同胚于单位闭区间 I=[0, 1] 的一个空间。A的端点是指使得 $A-\left \{ p \right \}, \, A-\left \{ q \right \}$ 是连通子集的点p和q；

有限线性图G：一个Hausdorff空间，可以表示成有限多段弧的并，其中每对弧最多交于一个公共端点。这些弧称为G的边，这些弧的端点称为G的顶点。G的每条边因为是紧致的，所以在G中是闭的。G的拓扑维数为1

（21）几何独立（仿射独立）： $R^{n}$ 中的一个点集 $\left \{ x_{0},...,x_{k} \right \}$ 称为几何独立或仿射独立的，如果等式

$\sum_{i=0}^{k}a_{i}x_{i}=0, \,\, and \,\, \sum_{i=0}^{k}a_{i}=0$

仅在每一个 $a_{i}=0$ 时才成立。这等价于 $R^{n}$ 中的向量集 $x_{1}-x_{0},...,x_{k}-x_{0}$ 线性独立

（22）k-维平面：设 $\left \{ x_{0},...,x_{k} \right \}$ 为 $R^{n}$ 中的一个几何独立点集，由它们确定的点x的集合 $\left \{x=\sum_{i=0}^{k}t_{i}x_{i} \,\,|\,\, \sum_{i=0}^{k}t_{i}=1 \right \}$ ，称为k-维平面P。这可以写成

$x=x_{0}+\sum_{i=1}^{k}a_{i}(x_{i}-x_{0})$

因此P可以描述成由点集 $\left \{ x_{0},...,x_{k} \right \}$ 确定的平面，或者说过点 $x_{0}$ ，并且与向量 $x_{1}-x_{0},...,x_{k}-x_{0}$ 平行的平面

主要定理：

（1）常见的完备度量空间：

欧氏空间 $R^{k}$ ：在通常的欧氏度量d和平方度量 $\rho$ 下都是完备的；

无穷维欧氏空间 $R^{\omega}$ ：根据R的标准有界度量 $\bar{d}(a,b)=min \left \{ \left | a-b \right |, 1 \right \}$ ，定义 $R^{\omega}$ 上的度量 $D(x,y)=sup\left \{ \frac{\bar{d}(x_{i},y_{i})}{i} \right \}$ ，则在该度量下 $R^{\omega}$ 是完备的；

任意积空间 $Y^{J}$ ：若(Y,d)是完备度量空间，则空间 $Y^{J}$ 在相应于d的一致度量 $\bar{\rho}(f,g)=sup\left \{ \bar{d}(f({\alpha}), g({\alpha})) \,|\, \alpha \in J \right \}$ 下也是完备的；

连续函数空间和有界函数空间：若X是拓扑空间，(Y, d) 是度量空间，则连续函数集 $\mathcal{C}(X, Y)$ 和有界函数集 $\mathcal{B}(X, Y)$ 在一致度量下都是 $Y^{X}$ 中的闭集，因此如果Y是完备的，则这两个空间在一致度量下也是完备的；

n维单位球面： $S^{n}=\left \{ (x_{1},...,x_{n}) \,|\, x_{i} \in R, \, \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1 \right \}$ ，它同胚于 $R^{n-1}$ 的单点紧致化；

n维单位开球： $D^{n}=\left \{ (x_{1},...,x_{n}) \,|\, x_{i} \in R, \, \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}<1 \right \}$ ，它同胚于 $R^{n}$ ；

Banach空间：完备的赋范向量空间；

Hilbert空间：带有内积的完备向量空间。定义为 $H=\left \{ (x_{i})_{i \in Z_{+}} \,|\, x_{i} \in R, \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}^{2}<+\infty \right \}$ ，其上的度量为 $d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}, y_{i})^{2}}$ 。每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间；

（2）闭集套定理：若X是完备度量空间，且有一列非空递降闭子集 $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq ...$ ，则它们的交集 $A=\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}$ 非空；若 $diam A_{i} \to 0(i \to \infty)$ ，则A是单点集

（3）度量空间的完备化：对每个度量空间(X,d)，都存在从X到某个完备度量空间Y的等距嵌入 $h: X \to Y$ ，而像集的闭包 $\overline{h(X)}$ 就是X的一个完备化，在等距意义下X的完备化是唯一的

等距：即两点间的度量距离与它们像之间的度量距离是相等的

（4）Peano曲线：设单位区间 $I=[0,1]$ ，则存在一个连续映射 $f: I \to I^{2}$ ，它的像填满了整个正方形 $I^{2}$

（5）Hahn-Mazurkiewicz定理：Hausdorff空间X是紧致的，连通的、局部连通的C2空间，当且仅当存在一个从单位区间I=[0,1]到X的连续满射 $f: I \to X$

常用推论：存在连续的满射 $f: I \to I^{n}, \, g: R \to R^{n}, \, h: I \to I^{\omega}$ ，但不存在连续满射 $f: R \to R^{\omega}$

（6）Heine–Borel定理（有限覆盖定理）：度量空间是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的

（7）函数空间三种拓扑的关系：设X是一空间，(Y,d)是度量空间，对函数空间 $Y^{X}$ 上的三种拓扑，它们的关系为一致拓扑包含了紧致收敛拓扑，紧致收敛拓扑包含了逐点收敛拓扑。若X是紧致的，则前两个拓扑是一致的。若X是离散的，则后两个拓扑是一致的

（8）Arzela-Ascoli定理：若X是一个紧致Hausdorff空间，Y是完备度量空间，那么 $\mathcal{C}(X, Y)$ 的子集 $\mathcal{F}$ 在紧致开拓扑中是紧致的，当且仅当它是等度连续且逐点有界的闭集。

由此可见，函数集 $\mathcal{F}$ 是紧致的 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{F}$ 是等度连续且逐点有界的闭集 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{F}$ 中的所有序列都有一致收敛的子序列（即列紧的，在度量空间中它与紧致性等价）。

这是泛函分析中一个基本结果，它给出了从紧致度量空间映到度量空间的连续函数集是紧集的一个充分必要条件，后来由Frechet推广到一般的紧致Hausdorff空间上。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是复分析中的Monter定理的证明中的重要组成部分。此外，调和分析和群表示论中的Peter–Weyl定理的一个证明中用到了此定理。

证明思路：根据条件，函数序列 $\mathcal{F}$ 如果一致收敛，则收敛到一个连续映射 f，由 f 的一致连续性和收敛的一致性，可以证明 $\mathcal{F}$ 是等度连续的。另外由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。充分性要用对角线认证法来证

总结：

度量空间中列紧性（即序列收敛）的条件：Bolzano-Weierstrass定理，列紧性 $\Leftrightarrow$ 有界闭集；

度量空间中紧集的条件：Heine–Borel定理，紧致性 $\Leftrightarrow$ 完备且完全有界；特别地，对欧氏空间则有紧集 $\Leftrightarrow$ 有界闭集；

函数空间中紧集的条件：Arzela-Ascoli定理，紧致性 $\Leftrightarrow$ 等度连续且逐点有界。

（9）Baire纲定理：若X是局部紧致Hausdorff空间或是完备度量空间，则X中任意可数个稠密开集的交仍然是稠密集；X中的非空开集都是第二纲集；X中的第一纲集无内点。

注意定理中的条件是或的关系，一个不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间，也存在一个不可度量化的局部紧致豪斯多夫空间（不可数福特空间）。定理中的几条结论是等价的，互相蕴涵，满足其中一条性质的拓扑空间称为Baire空间。定理给出了局部紧致Hausdorff空间、完备度量空间的一个重要特征，即它们必是第二纲集。贝尔纲定理是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具，是闭集套定理的发展与提高，在证明许多存在定理时是很有用的。例如可以用来证明开映射定理、闭图像定理和一致有界原理（共鸣定理）。

证明思路：需要选择公理的某种形式，实际上该定理与选择公理的一个较弱的版本——相依选择公理等价。

（10）Baire空间性质：Baire空间X在连续开映射 $f: X \to Y$ 下的像f(X)也是Baire空间；Baire空间的开子空间也是Baire空间；若X有稠密的Baire子空间则X是Baire空间；有理数集Q不是Baire空间；正整数集 $Z_{+}$ 是Baire空间；R的任意闭子空间是Baire空间；无理数集是Baire空间；Cantor集是Baire空间；流形是Baire空间

（11）Baire纲定理的一些应用：

每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。特别地，实数集是不可数的；

从Baire空间X到度量空间(Y,d)的一个连续函数序列 $f_{n}: X \to Y$ ，如果对X中的每个点x，该函数序列都收敛到 $f(x): X \to Y$ ，那么 f 连续点的集合在X中稠密。可见，取 f= [0,1]，则f必定在[0,1]的无限多个点处连续；

若D是R的可数稠密子集，则没有函数 $f: R \to R$ 恰好在D的所有点处连续；

无处可微连续函数的存在性：设 $h: [0,1] \to R$ 是连续函数，任意给定 $\epsilon >0$ ，则存在一个函数 $g: [0,1] \to R$ 满足 $\left | h(x)-g(x) \right |<\epsilon , \, \forall x \in X$ ，并且g是连续且无处可微的。

（12）Banach-Steinhaus定理（共鸣定理、一致有界原理）：若X是完备度量空间，实值连续函数集 $\mathcal{C}(X, R)$ 的子集 $\mathcal{F}$ 在X上逐点有界，则X中存在开子集U，使得 $\mathcal{F}$ 在U上一致有界。

另一种表述：逐点有界的线性算子必定一致有界

（13）若拓扑空间是由有限个闭子空间的并构成 $X=Y_{1} \cup ... \cup Y_{k}$ ，并且每个闭子空间都是有限维的，则 $dimX=max\left \{ dimY_{1},...,dimY_{k} \right \}$

（14）嵌入定理：若X是拓扑维数为m的紧致可度量化空间（也可以放宽到具有可数基的局部紧致Hausdorff空间），则它可以嵌入到 $R^{2m+1}$ 中，并且这个数 $N=2m+1$ 是满足能够嵌入的最小值

这个定理是Baire纲定理的一个应用

（15）单位闭区间 I=[0,1] 的拓扑维数为1； $R^{m}$ 的任意紧致子集的拓扑维数最多为m； $R^{m}$ 中任意包含闭三角区域的紧致子空间的拓扑维数恰好等于m；有限线性图都能嵌入到 $R^{3}$ 中，但不能嵌入到 $R^{2}$ 中；

（16）流形的拓扑维数：每一个m-维流形的拓扑维数恰好等于m；每一个m-维流形可嵌入到 $R^{2m+1}$ 中作为一个闭子空间

（17）可嵌入的充要条件：空间X能嵌入到 $R^{N}$ （N是一个非负整数）中作为一个闭子空间，当且仅当X是具有可数基的局部紧致Hausdorff空间，并且是有限拓扑维数

参考书籍：

（1）拓扑学：第2版，James R.Munkres

收起

展开全文
网络拓扑图及企业网络设计基本流程
万次阅读 多人点赞 2020-07-20 23:37:54

网络拓扑图及企业网络设计基本流程认识网络常见的路由协议分类：常见路由协议类型：网络层次结构：TCP/IP协议网络拓扑图企业网络设计基本流程网络设计基本原则网络拓扑设计原则网络设计的方法和思路网络架构安全域和...

收起
基本群性质：同胚不变量，同伦不变量
2021-05-13 14:58:05

基本群是(X,x0)到π1(X,x0)的映射设拓扑空间之间有映射f：(X,x0)→(Y,y0)设σ为X中的道路，则f∗σ为Y中的起点终点为y0的闭路基本群是(X,x_0)到\pi_1(X,x_0)的映射\\ 设拓扑空间之间有映射f：(X,x_0)\rightarrow (Y,...

收起
拓扑传播学初探 (2006年)
2021-05-27 03:54:05

本文将拓扑学方法应用传播学,开辟了传播学的一个新方向———拓扑传播学。本文给出了信息传播渠道的一个严格数学定义,分别...本文把 Osgood传播系统看作是一个拓扑空间,在此基础上建立了 Osgood传播系统的基本群模型

收起
拓扑学+计算机,拓扑学是什么
2021-06-23 07:23:48

满意答案拓扑由几何拓扑十九世纪形门数支属于几何范畴关拓扑些内容早十八世纪现候发现些孤立问题拓扑形占着重要位数关于哥尼斯堡七桥问题、面体欧拉定理、四色问题等都拓扑发展史重要问题哥尼斯堡(今俄罗斯加宁格勒)...

收起
拓扑--代数拓扑3
千次阅读 2021-01-31 22:43:50

p维相对上同调群：上链映射：单纯映射诱导链映射，它的对偶称为上链映射，其诱导上同调群的同态为（8）奇异上同调群：(X, A) 为拓扑空间偶，A为X的子空间，G是一个Abel群 p维奇异上链群：，它是自由...

收起
复杂网络学习笔记：networkx实现网络的基本拓扑性质
2021-12-19 21:15:05

很显然整个网络是不连通的，因为只要有一个人没有朋友或者说只要有一小群人没有除了这群人之外的朋友那么整个网络就不连通。由此可见，对于大规模网络来说，连通性非常脆弱，只要单个节点或者小部分节点的行为都有...

收起

算法
基于改进二进制粒子群算法的配电网重构（matlab代码）
2022-05-07 21:16:48

配电网重构是指在满足配电网运行基本约束的前提下，通过改变配电网中一个或多个开关的状态对配电网中一个或多个指标进行优化。本代码以一种改进二进制粒子群算法为例，进行配电网的重构研究。本代码目标函数为配电...

收起
拓扑对叶量子爱因斯坦引力的影响
2020-04-05 07:09:12

我们使用适合重力的... 我们的工作是对背景拓扑S1×Td上重力重归一化群流的早期研究的补充（Biemans等人Phys Rev D 95：086013，2017，Biemans等人arXiv：1702.06539，2017），并确定该流基本上是独立的背景拓扑。

收起
后生动物遗迹的拓扑结构与演化* (1999年)
2021-05-14 02:50:48

后生动物遗迹的拓扑结构可归并为3族、8种基本拓扑型、3种组合拓扑型和21种拓扑遗迹类，它们与习性类有较好的成因联系。中元古代以来后生动物遗迹的演化过程在质上经历了由简单到复杂，由低级到高级的发展、演变过程...

收起
三种常用的ZBrush重新拓扑技术了解一下
2022-04-22 13:22:23

ZBrush重新拓扑或一般如何重新拓扑模型，是所有3D雕刻师或3D建模师必须掌握的一件事。

收起

zbrush
酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及设计).docx
2022-06-20 22:40:08

酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及设计).docx酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及设计).docx酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及设计).docx酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及设计).docx酒店网络安全解决方案-(网络拓扑及...

收起
拓扑学+计算机,吴国平: 拓扑学到底有多重要? 在数学中占据多高的地位?
2021-06-23 07:22:48

原标题：吴国平: 拓扑学到底有多重要? 在数学中占据多高的地位?如果吴老师给大家一个三角形，你会想到什么？边长、角度、周长、面积、三角形的稳定性等等，这些都是大家很容易想到的地方。如下图：现在我们把这个...

收起
【几何学笔记】基本群与同伦
2020-12-07 16:13:34

拓扑同胚(homeomorphism)：在拓朴学上的同胚，在代数学上即为同构。同胚是指一个连续的一对一的满映射，而且其逆映射...基本群：设环道，其同伦类记作，内以为基点的环道同伦类的全体在乘积之下构成一个群。叫做基

收起
鱼群算法、蚁群算法PPT
2022-03-09 21:00:29

（人工）鱼群算法：1.1 鱼群算法的概述；1.2 鱼群算法的基本原理；1.3 鱼群算法的应用；1.4 鱼群算法的优缺点蚁群算法：2.1 蚁群算法的起源；2.2 蚁群算法的基本原理；2.3 蚁群算法的应用；2.4 蚁群算法的优缺点

收起
拓扑的定义和性质
千次阅读 2021-10-07 18:08:40

拓扑：拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的...

收起
吴国平: 拓扑学到底有多重要? 在数学中占据多高的地位?
2021-06-29 03:14:25

代数拓扑学分为了六章，分别是： 基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。由于篇幅有限，一篇文章不能对拓扑学进行更加细致化的讲解，不到之处，敬请谅解。...

收起
重温基础网络拓扑原理
2020-05-23 12:06:30

重温基础网络拓扑原理前言适用人群网络基础从网线直连到交换机连接(二层网络)IP与网关(三层网络)路由(Router,依然是三层网络)简单描述正向代理与反向代理前言最近一段时间的工作偏运维开发，相对于纯粹的后端开发...

收起
AFPSO(自适应模糊粒子群优化Adaptive fuzzy particle swarm optimization).zip
2022-04-15 10:31:02

（AFPSO）提出从自动调谐三个方面改进基本算法参数、种群拓扑和突变特征。刘，董，等。“使用自适应模糊粒子群优化的水轮机调节系统的精确参数估计。” 能源，第一卷。12，没有。20，MDPI AG，2019 年 10 月，第 ...

收起
常见的五种计算机网络拓扑结构分析
万次阅读 2021-06-16 02:31:05

第十期安防弱电资料包内容后台有朋友问到计算机的拓扑结构，今天我们就来看下几种常见的计算机网络结构。拓扑结构一般指点和线的几何排列或组成的几何图形。计算机网络的拓扑结构是指一个网络的通信链路和结点的几何...

收起
[宫水三叶的刷题日记]：（图论）拓扑排序1
2022-08-03 11:17:08

声明：任何形式的转载请转载请保留出处保留出处 Wiki。

收起