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  • 拓扑排序 迪杰斯特拉
    2019-08-13 22:04:30

    遇到floyd优化了也时间超限的题
    只会floyd很难受
    又去学了迪杰斯特拉算法
    其实和最下生成树prim基本差不多
    就是遍历做标记然后循环,把最短的记录下来,遇到更短的就换掉

    还有拓扑用数组容量不够了100000*100000
    改用用链表解决了
    把二维数组换成 一个结构体数组然后再用指针不断地指子项这样的

    更多相关内容
  • 例如:上图中v0-v8有9个点,可以看做不同的地点,现在要规划出v0到其它某个点地点的最短路线规划构建最短路径中比较常见的一种算法即为dijstra(迪杰斯特拉)算法二、dijstra(迪杰斯特拉)算法算法思路:dijstra算法...

    一、图的最短路径从某顶点出发,沿图的边到达另一顶点所经过的路径中,各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径

    61ea5078c95b1dbee0571ddd0067545a.png

    图的最短路径有许多重要的应用。

    例如:上图中v0-v8有9个点,可以看做不同的地点,现在要规划出v0到其它某个点地点的最短路线规划

    构建最短路径中比较常见的一种算法即为dijstra(迪杰斯特拉)算法

    二、dijstra(迪杰斯特拉)算法

    算法思路:

    dijstra算法思路有点类似前一篇文章中的prim算法,先构建图的邻接矩阵,然后定义一个临时的一维数组,一维数组用来存储v0到每个顶点的最短路径

    将一维数组初始化成v0到每个顶点的值。其次定义另外一个数组用来存储已经访问过的顶点

    在临时一维数组中找到未被访问且最短的一条路径

    将找到最短路径的顶点与该顶点可访问边进行遍历,若最短路径与边之和小于一维数组中存储的最短路径,则将这个和覆盖成这个顶点的最短路径

    循环3,4直至遍历完所有顶点为止

    构建邻接矩阵

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    10// 初始化图

    int[] graph0 = new int[]{0, 1, 5, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

    int[] graph1 = new int[]{1, 0, 3, 7, 5, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

    int[] graph2 = new int[]{5, 3, 0, MAX_WEIGHT, 1, 7, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

    int[] graph3 = new int[]{MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT, 0, 2, MAX_WEIGHT, 3, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

    int[] graph4 = new int[]{MAX_WEIGHT, 5, 1, 2, 0, 3, 6, 9, MAX_WEIGHT};

    int[] graph5 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT, 3, 0, MAX_WEIGHT, 5, MAX_WEIGHT};

    int[] graph6 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 3, 6, MAX_WEIGHT, 0, 2, 7};

    int[] graph7 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 9, 5, 2, 0, 4};

    int[] graph8 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 5, 4, 0};

    算法代码

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    42/**

    * 图的最短路径(图中两个顶点的最短距离),迪杰斯特拉算法

    * 算法思想:类似prim算法,定义一个一维数组,用来存储V0到某点的最短路径

    */

    public void shortestPathDijstra() {

    // 定义一维数组用来存储V0到每个点的最短路径,找到比原来更短的则直接覆盖

    int[] paths = new int[vertexSize];

    // 先将数组初始化

    System.arraycopy(matrix[0], 0, paths, 0, vertexSize);

    isVisited[0] = true;

    for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {

    // 在已经存在的路径中找到一条未被访问且最短的路径

    int min = MAX_WEIGHT;

    int minIndex = -1;

    for (int j = 1; j < vertexSize; j++) {

    if (!isVisited[j] && paths[j] < min) {

    min = paths[j];

    minIndex = j;

    }

    }

    if (minIndex == -1) {

    continue;

    }

    isVisited[minIndex] = true;

    // 找到的最短路径节点的可使用边中,判断是否比已经存在的最短路径短,是则进行覆盖

    for (int k = 1; k < vertexSize; k++) {

    if (!isVisited[k] && (min + matrix[minIndex][k] < paths[k])) {

    paths[k] = min + matrix[minIndex][k];

    }

    }

    }

    for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {

    System.out.println("V0到V" + i + "的最短路径为:" + paths[i]);

    }

    }

    即可得到v0到每个点的最短路径的值

    f1ebd9a90e9a55e476a0a881a0953abd.png

    三、拓扑排序对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。

    简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。

    对以下有向图进行拓扑排序,顶点可以看待成每项不同的任务,有的任务可以直接执行,例如v0、v1、v3,有的任务得等到上级任务全部执行完成才可执行,例如v4必须等到v0和v1都完成之后才可执行

    cd90791057191e1f6ca06993ad8a4a26.png

    排序思路:

    观察可以发现顶点入度为0则代表可以直接执行

    完成一个任务之后可消除出度的边,即他的next节点则少了一个入度

    带next节点入度也为0之后就可执行

    循环1,2,3遍历完所有的顶点即可排序完成

    排序代码:

    构建每个顶点的邻接表

    ccb2276185c45edd444996df49736d49.png

    算法代码

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    32/**

    * 拓扑排序

    * 思路:定义一个栈,存放入度为0的节点,入度为0则代表可以执行,执行之后则出度的那个节点就减少一个入度,循环直至栈为空

    */

    private void topologicaSort() {

    Stack stack = new Stack<>();

    // 先将入度为0 的节点压入栈中

    for (int i = 0; i < adjList.length; i++) {

    if (adjList[i].in == 0) {

    stack.push(i);

    }

    }

    int count = 0;

    // 循环出栈输出,直至栈为空

    while (!stack.isEmpty()) {

    int index = stack.pop();

    System.out.println("顶点:" + adjList[index].data);

    count++;

    for (EdgeNode edgeNode = adjList[index].firstEdge; edgeNode != null; edgeNode = edgeNode.next) {

    if (--adjList[edgeNode.adjVert].in == 0) {

    // 若输出之后的顶点入度也没0,则压入栈中

    stack.push(edgeNode.adjVert);

    }

    }

    }

    if (count != numVertexes) {

    System.out.println("拓扑排序失败!!!!");

    }

    }

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  • 再输入那P条单向边,现在就变成了一个有向无环图,我们一边拓扑排序一边迪杰斯特拉,连有向边的时候用一个数组计算每个强连通分量的入度,将入度为0的点塞进一个队列中,然后对队列内的点挨个跑迪杰斯特拉迪杰...

    道路与航线

    题目描述:

    n个点,R条双向边,P条单向边,双向边的权值都是正的,单向边的权值有正有负,给你一个起点,问起点到每个点的最短路是多少

    思路1:

    第一眼就看出来是SPFA板子题,但是敲上去发现SPFA被卡死了,但是用SLF优化一下SPFA就过了

    思想是:将队列换成双端队列,塞点的时候先和队首比较一下,如果dis小于队首的dis,就把他塞到队首,否则塞到队尾

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    #define endl '\n'
    #define inf 0x3f3f3f3f
    #define mod 1000000007
    #define m_p(a,b) make_pair(a, b)
    #define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
    #define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
    
    typedef long long ll;
    typedef pair <int,int> pii;
    
    #define MAX 300000 + 50
    int n, m1, m2;
    int s;
    int a, b, c;
    
    int tot;
    int head[MAX];
    struct ran{
        int to, nex, val;
    }tr[MAX];
    inline void add(int u, int v, int c){
        tr[++tot].to = v;
        tr[tot].val = c;
        tr[tot].nex = head[u];
        head[u] = tot;
    }
    int dis[MAX];
    bool vis[MAX];
    void SPFA(){
        deque<int>q;q.push_back(s);vis[s] = 1;
        mem(dis, inf);dis[s] = 0;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();q.pop_front();vis[u] = 0;
            for(int i = head[u]; i; i = tr[i].nex){
                int v = tr[i].to;
                if(dis[v] > dis[u] + tr[i].val){
                    dis[v] = dis[u] + tr[i].val;
                    if(!vis[v]){
                        vis[v] = 1;
                        if(q.empty() || dis[v] > dis[q.front()])q.push_back(v);
                        else q.push_front(v);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            if(dis[i] == inf)cout << "NO PATH\n";
            else cout << dis[i] << endl;
        }
    }
    
    void work(){
        cin >> n >> m1 >> m2 >> s;
        for(int i = 1; i <= m1; ++i){
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c);
            add(b, a, c);
        }
        for(int i = 1; i <= m2; ++i){
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c);
        }
        SPFA();
    }
    
    
    int main(){
        io;
        work();
        return 0;
    }
    
    
    
    

    思路2:

    如果SPFA怎么优化都过不去的话怎么办?

    题面最有意思的一个点是双向边的都是正权值,单向边的都是负权值,而我们不用迪杰斯特拉的原因是它不能跑负权值,那我们可以先将双向边的那些点进行缩点操作,因为是双向边,所以肯定会将原图变成一个个强连通分量,把每个强连通分量看成一个新点,这是图论中连通性问题常见的用法。再输入那P条单向边,现在就变成了一个有向无环图,我们一边拓扑排序一边迪杰斯特拉,连有向边的时候用一个数组计算每个强连通分量的入度,将入度为0的点塞进一个队列中,然后对队列内的点挨个跑迪杰斯特拉,迪杰斯特拉塞点之前先判断一下vu是不是在一个连通块内,如果是才可以塞进去。如果vu不在一个连通块内,记得更新v所在的连通块的入度,入度为0时要及时入队

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    #define endl '\n'
    #define inf 0x3f3f3f3f
    #define mod 1000000007
    #define m_p(a,b) make_pair(a, b)
    #define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
    #define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
    
    typedef long long ll;
    typedef pair <int,int> pii;
    
    #define MAX 300000 + 50
    int n, m1, m2, s;
    int a, b, c;
    
    int num;
    int head[MAX];
    struct ran{
        int to, nex, val;
    }tr[MAX];
    inline void add(int u, int v, int c){
        tr[++num].to = v;
        tr[num].val = c;
        tr[num].nex = head[u];
        head[u] = num;
    }
    
    
    
    vector<int>v[MAX];
    int tot;
    int id[MAX];
    void dfs(int u){
        id[u] = tot;
        v[tot].push_back(u);
        for(int i = head[u]; i; i = tr[i].nex){
            int v = tr[i].to;
            if(!id[v])dfs(v);
        }
        return;
    }
    queue<int>qq;
    int du[MAX];
    int dis[MAX];
    bool vis[MAX];
    void dijkstra(int p){
        priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>>q;
        for(auto x : v[p])q.push(m_p(dis[x], x));
        while (!q.empty()) {
            auto [d, u] = q.top();q.pop();
            if(vis[u])continue;
            vis[u] = 1;
            for(int i = head[u]; i; i = tr[i].nex){
                int v = tr[i].to;
                if(dis[v] > dis[u] + tr[i].val){
                    dis[v] = dis[u] + tr[i].val;
                    if(id[v] == p)q.push(m_p(dis[v], v));
                }
                if(id[v] != p){
                    --du[id[v]];
                    if(!du[id[v]])qq.push(id[v]);
                }
            }
        }
    }
    
    void work(){
        cin >> n >> m1 >> m2 >> s;
        for(int i = 1; i <= m1; ++i){
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c);
            add(b, a, c);
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            if(!id[i]){
                ++tot;
                dfs(i);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= m2; ++i){
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c);
            ++du[id[b]];
        }
        for(int i = 1; i <= tot; ++i){
            if(!du[i])qq.push(i);
        }
        mem(dis, inf);
        dis[s] = 0;
        while (!qq.empty()) {
            dijkstra(qq.front());qq.pop();
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            if(dis[i] > inf / 2)cout << "NO PATH\n";
            else cout << dis[i] << endl;
        }
    }
    
    
    int main(){
        io;
        work();
        return 0;
    }
    
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  • 思路:根据题意我们可以吧双向的道路变成团,用航道连接不同的团形成一个DAG图,然后我们按拓扑排序去跑每个团里的迪杰斯特拉。 #pragma GCC optimize(2) #include using namespace std; typedef long long ll; #...

    在这里插入图片描述
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    思路:根据题意我们可以吧双向的道路变成团,用航道连接不同的团形成一个DAG图,然后我们按拓扑排序去跑每个团里的迪杰斯特拉。

    #pragma GCC optimize(2)
    #include<bits/stdc++.h>
     
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    #define SIS std::ios::sync_with_stdio(false)
    #define space putchar(' ')
    #define enter putchar('\n')
    #define lson root<<1
    #define rson root<<1|1
    typedef pair<int,int> PII;
    typedef pair<int,PII> PIII;
    const int mod=1e9+7;
    const int N=2e5+5;
    const int inf=0x7f7f7f7f;
    
    int gcd(int a,int b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
     
    ll lcm(ll a,ll b)
    {
        return a*(b/gcd(a,b));
    }
     
    template <class T>
    void read(T &x)
    {
        char c;
        bool op = 0;
        while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
            if(c == '-')
                op = 1;
        x = c - '0';
        while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
            x = x * 10 + c - '0';
        if(op)
            x = -x;
    }
    template <class T>
    void write(T x)
    {
        if(x < 0)
            x = -x, putchar('-');
        if(x >= 10)
             write(x / 10);
        putchar('0' + x % 10);
    }
    ll qsm(int a,int b,int p)
    {
        ll res=1%p;
        while(b)
        {
            if(b&1)
                res=res*a%p;
            a=1ll*a*a%p;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }
    struct node
    {
        int to,nex,w;
    }edge[N];
    int tot,bcnt;
    int n,tr,tp,s;
    vector<int> block[N];
    int head[N],id[N],din[N];
    int dis[N],vis[N];
    queue<int> q;
    void add(int u,int v,int w)
    {
        edge[tot].to=v;
        edge[tot].w=w;
        edge[tot].nex=head[u];
        head[u]=tot++;
    }
    
    void dfs(int u,int bid)
    {
        id[u]=bid;
        block[bid].push_back(u);
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nex)
       {
           int v=edge[i].to;
            if(!id[v])dfs(v,bid);
       }
    
    }
    void dij(int x)
    {
        priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> >heap;
        for(auto v:block[x])heap.push({dis[v],v});
        while(heap.size())
        {
            auto now=heap.top();heap.pop();
            int distance=now.first,ver=now.second;
            if(vis[ver])continue;
            vis[ver]=1;
            for(int i=head[ver];~i;i=edge[i].nex)
           {
               int v=edge[i].to,w=edge[i].w;
               if(dis[v]>dis[ver]+w)
               {
                   dis[v]=dis[ver]+w;
                   if(id[v]==id[ver])heap.push({dis[v],v});
               }
               if(id[v]!=id[ver]&&--din[id[v]]==0)q.push(id[v]);
           }
    
        }
    }
    void topusort()
    {
        memset(dis,inf,sizeof dis);
        dis[s]=0;
        for(int i=1;i<=bcnt;i++)
        {
            if(!din[i])q.push(i);
        }
        while(q.size())
        {
            int t=q.front();q.pop();
            dij(t);
        }
    
    }
    
    
    int main()
    {
        memset(head,-1,sizeof head);
        scanf("%d%d%d%d",&n,&tr,&tp,&s);
        while(tr--)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(a,b,c);add(b,a,c);
        }
    
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!id[i])dfs(i,++bcnt);
        }
        while(tp--)
        {
             int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(a,b,c);
            din[id[b]]++;
        }
        topusort();
    
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(dis[i]>inf/2)puts("NO PATH");
            else printf("%d\n",dis[i]);
        }
       
       
    
       
       return 0;
    
    }
    
    
    

    思路:SPFA的优化

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N=200005;
    const int mod=1e9+7;
    const int M=(1<<10)+5;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    int n,T,R,S;
    struct node
    {
        int to,nex,w;
    }edge[N];
    int head[N],tot,dis[N],vis[N];
    void add(int u,int v,int w)
    {
        edge[++tot].to=v;
        edge[tot].w=w;
        edge[tot].nex=head[u];
        head[u]=tot;
    
    }
    void spfa()
    {
        memset(dis,inf,sizeof dis);
        deque<int> q;
        dis[S]=0;
        q.push_back(S);
        vis[S]=1;
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();
            q.pop_front();
            vis[x]=0;
            for(int i=head[x];~i;i=edge[i].nex)
            {
                int v=edge[i].to;
                if(dis[v]>dis[x]+edge[i].w){
                    dis[v]=dis[x]+edge[i].w;
                    if(!vis[v]){
                        vis[v]=1;
                    if(q.empty()) q.push_back(v);
                    else{
                        if(dis[v]<dis[q.front()])q.push_front(v);
                        else q.push_back(v);
                    }
                    }
                }
            }
        }
    
    }
    int main()
    {
        memset(head,-1,sizeof head);
        scanf("%d%d%d%d",&n,&T,&R,&S);
        for(int i=0;i<T;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
            add(v,u,w);
        }
        for(int i=0;i<R;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
        }
        spfa();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(dis[i]!=inf){
                printf("%d\n",dis[i]);
            }
            else{
                printf("NO PATH\n");
            }
        }
        return 0;
    
    
    }
    
    
    展开全文
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    2018-12-10 15:07:53
    拓扑排序的算法思想和迪杰斯特拉算法思想,浅显易懂,附代码
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空空如也

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拓扑排序 迪杰斯特拉