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  • 误差 误差的产生与类型 模型误差-从实际问题中抽象的数学模型有偏差 观测误差-实际测量中产生的误差 截断误差-求近似解 舍入误差-机器字长限制 误差的积累 误差会在实际计算中逐步积累,和蝴蝶效应类似,一个小的...

    数值分析下的误差分析

    误差的产生与类型

    1. 模型误差-从实际问题中抽象的数学模型有偏差
    2. 观测误差-实际测量中产生的误差
    3. 截断误差-求近似解
    4. 舍入误差-机器字长限制

    误差的积累

    1. 误差会在实际计算中逐步积累,和蝴蝶效应类似,一个小的初始误差在通过长时间的积累后会造成很大的误差。如果是负积累则相反。在实际计算中避免误差正向积累,需要我们找到稳定性强的式子去计算结果。

    误差与有效数字

    1. 绝对误差:实际值-近似值,绝对误差限:|绝对误差|
    2. 相对误差:绝对误差/实际值,相对误差限:|相对误差|
    3. 有效数字:一个具体数值的有效数字,从左向右从第一个非零数起有几位数就有几位有效数字。对于近似值,若其绝对误差限小于某一位的半个单位,则该近似值精确到这一位。从这一位起到第一位非零数字有n位则近似值有n位有效数字。

    误差的传播和控制

    1. 四则运算后绝对误差的估计
      在这里插入图片描述
    2. 四则运算后相对误差的估计
      在这里插入图片描述
    3. 函数的误差估计
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    误差的控制

    1. 避免大数吃小数,做加法时从小往大加。
    2. 避免相近数字相减
      在这里插入图片描述
    3. 避免小分母:分母小会造成浮点溢出
      在这里插入图片描述
    4. 先化简,减少计算步骤,避免误差积累。例子如下:
      在这里插入图片描述
    5. 选用稳定的算法,例子如下:
      在这里插入图片描述
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  • 数值分析-误差分析

    2018-10-08 22:16:00
     计算机进行数值计算时产生的误差,然后计算时产生的新误差  比如用计算机用3.14去近似pi 误差限  对于某个算法或者说数学模型,我们会对他得出的答案给一个误差限  误差限一般用于表示一个...

    方法误差与舍入误差

     方法误差

      在用数学模型去预测某个值的时候,由于选取的数学模型产生的误差

      例如使用泰勒展开式求取近似f(x)时,其对应的拉格朗日余项即为方法误差

    舍入误差

      计算机进行数值计算时产生的误差,然后计算时产生的新误差

      比如用计算机用3.14去近似pi

    误差限

      对于某个算法或者说数学模型,我们会对他得出的答案给一个误差限

      误差限一般用于表示一个模型的好坏

      对于一般情况 abs(x* - x) < E   x*为模型输出 x为真实值 E为误差限 (有量刚)  量刚 = 单位

      对于有些情况设误差限被表示为 E / x  但是我们不知道x 所以也常被表示为 E / x*  这种误差限被叫做相对误差限(无量纲)

    误差估计

      设E(x*)表示预测值x*的误差限

      E(x1* + x2*) <= E(x1*) + E(x2*)

      E(x1* × x2*) <= abs(x1*)×E(x2*) + abs(x2)×E(x1*)

      E(x1* / x2*) <= [abs(x1*)E(x2*) + abs(x2*)E(x1*) ] / abs(x2*)2

      这个可以用x1 = x1 * + E(x1*)代入简单证明 

    秦九韶算法 

      一个求多项式的算法

      对于a0xn + a1xn-1 + ... +an

      可以写为(  ( a0x + a1 )*x + a2 ) * x ......

      这样就减少了空间复杂度

    转载于:https://www.cnblogs.com/shensobaolibin/p/9757623.html

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  • 数值分析(1)误差误差分析

    千次阅读 2019-12-11 14:25:10
    数值分析1.误差误差分析第一章有效数有效数字和相对误差误差的数值运算条件数 第一章 有效数 定义:某个数字x∗x^*x∗可以写成下面的形式 x∗=+/−10m∗0.a1a2...an...ap x^*=+/- 10^m*0.a_1a_2...a_n...a_p x∗=+...

    第一章

    有效数

    定义:某个数字xx^*可以写成下面的形式
    x=+/10m0.a1a2...an...ap x^*=+/- 10^m*0.a_1a_2...a_n...a_p
    如果nn是满足
    e=xx1/210mn |e^*|=|x^*-x| \leq 1/2 * 10^{m-n}
    的最大整数,则称xx^*xx的具有nn位有效数字的近似数,当n=pn=p的时候,称xx^*为有效数。

    有效数的一些结论:

    1. 对某有效数而言,末位数的半个单位是其绝对误差限,即有效数本身反映了近似数的绝对误差限。
    2. 对真值进行四舍五入得到的近似数是有效数
    3. 对近似同一真值的近似数而言,有效数字位数越多,其绝对误差限越小。
    4. 有效数的末尾不能随意添加零
    5. 有效数字位数与介于第一位非零数字和小数点之间的零的个数没有关系
    6. 准确值具有无穷位有效数字

    有效数字和相对误差

    xx^* 由n位有效数字,则
    er12a1101n |e^*_r| \leq \frac{1}{2a_1}*10^{1-n}

    er12(a1+1)101n |e^*_r| \leq \frac{1}{2(a_1+1)}*10^{1-n}
    则x^*至少具有n位有效数字

    误差的数值运算

    对于函数yy

    e(f)=f(x)e(x)er(f)=xf(x)f(x)er(x) e(f^*)=f'(x^*)*e(x^*)\\ e_r(f^*)=\frac{x^*f'(x^*)}{f(x^*)}e_r(x^*)

    绝对误差:
    ε(x1±x2)ε(x1)±ε(x2)ε(x1x2)x1ε(x2)+x2ε(x1)ε(x1/x2)x2ε(x1)x1ε(x2)x22 \begin{array}{l}{\varepsilon\left(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}\right) \approx \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)\pm\varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} x_{2}^{*}\right) \approx\left|x_{1}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)+\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} / x_{2}^{*}\right) \approx \frac{\left|x_{2}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{1}^{*}\right)-\left|x_{1}^{*}\right| \varepsilon\left(x_{2}^{*}\right)}{\left|x_{2}^{*}\right|^{2}}}\end{array}

    相对误差:
    εr(x1±x2)x1εr(x1)±x2εr(x2)/x1±x2εr(x1x2)εr(x1)+εr(x2)ε(x1/x2)εr(x1)εr(x2) \begin{array}{l}{\varepsilon_r\left(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}\right)\approx x_1^*\varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)\pm x_2^*\varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)}/{x_1^* \pm x_2^*} \\ {\varepsilon_r\left(x_{1}^{*} x_{2}^{*}\right) \approx \varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)+\varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)} \\ {\varepsilon\left(x_{1}^{*} / x_{2}^{*}\right) \approx\varepsilon_r\left(x_{1}^{*}\right)- \varepsilon_r\left(x_{2}^{*}\right)}\end{array}

    条件数

    绝对误差下函数值f(x)f(x)的条件数:Conda(f)=f(x)Cond_a(f)=|f'(x)|

    相对误差下函数值f(x)f(x)的条件数:Condr(f)=xf(x)f()xCond_r(f)=|x\frac{f'(x)}{f()x}|

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  • 数值分析(2)-误差

    千次阅读 2019-04-14 10:22:37
    文章目录2 误差 in 数值分析2.1 误差的来源和分类2.2 绝对误差、相对误差和有效数字2.3 数值计算中的几个原则 2 误差 in 数值分析 在计算中,计算结果的精确度十分重要,误差就是影响精度的东西 2.1 误差的来源和...

    2 误差 in 数值分析

    在计算中,计算结果的精确度十分重要,误差就是影响精度的东西

    2.1 误差的来源和分类

    误差来源主要有四种:

    • 模型误差

    数学模型,即表示计算的公式或方程,本身就是近似的,就不就不精确,这种情况导致的误差,就叫模型误差。

    • 观测误差

    对物理世界中的参数进行观测时产生的误差,比如测定一个人的身高,无论用多么精密的工具,肯定都会存在误差。

    • 截断误差

    用近似方法所产生的误差,也叫方法误差,比如利用泰勒(Taylor)公式:

    ex=1+x1!+...+xnn!+xn+1(n+1)!eθx e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}

    我们要计算左边的值,那么现实不允许我们计算无穷多项,所以只能近似使用:

    exI=1+x1!+x22!+...+xnn! e^x\approx I = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}

    此时上面公式的截断误差就是:

    R=exI=xn+1(n+1)!eθx,0&lt;θ&lt;1 R=e^x-I=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x} , 0&lt;\theta &lt;1

    • 舍入误差

    由于计算机字长有限和浮点数表示方法的问题,计算机会按照舍入原则对超出其表示精度的数据舍入,导致结果的不精确。

    数值分析中,一般假定模型正确,不考虑模型误差和观测误差。

    模型误差和截断误差的区别

    根据前面所说,这两种误差都是公式上存在误差。

    实际上泰勒公式本身这个模型是精确的,只是我们实际计算的数值方法是近似的,这就是二者区别。数学模型是精确的情况下,为了能够计算(无穷多项是计算不出来的),我们会使用带有截断误差的近似数值方法

    2.2 绝对误差、相对误差和有效数字

    • 绝对误差:

    设x是精确值xx^*的一个近似值:

    e=xx e = x^* -x

    e就称为x的绝对误差,简称误差。如果:

    eε |e|\le \varepsilon

    则称ε\varepsilon为近似值x的绝对误差限或者绝对误差界,简称误差限、误差界

    需要知道的是,绝对误差是无法精确求出来的,因为我们无法知道精确值的真实数值到底是多少。

    同时,绝对误差也存在局限性,因为它没有反应相对于精确之误差所占比例。比如,(1,1.1)、(100,100.1)这两组数都是误差为0.1,但是因为其数值大小不同,误差造成的影响也大有不同。所以便产生了下面概念:

    • 相对误差

    er=ex=xxx e_r = \frac{e}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}

    ere_r就是相对误差,但是同样因为精确值是未知的,所以相对误差也常取:

    er=ex=x1x e_r=\frac{e}{x}=\frac{x^*-1}{x}

    同时,相对误差绝对值的上界er|e_r|;

    εr=εx \varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{|x|}
    erεr |e_r|\le\varepsilon_r

    ε\varepsilon相对误差限相对误差界

    • 有效数字

    书上原话:

    设数x是xx^*的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到该位共有n位,那么就称这n个数字为x的有效数字,也称用x近似xx^*时具有n位有效数字。

    2.3 数值计算中的几个原则

    • 避免两个相近的数相减

    这会让有效数位减少,相对误差放大

    • 防止大数"吃掉"小数

    由于计算机位数限制,和大数在一起,小数可能会被低位溢出掉

    • 绝对值太小的数不宜作除数

    绝对值太小的除法结果,会非常大,可能会导致数据高位溢出

    • 注意简化计算程序,减计算次数

    还是由于计算机位数,每一步计算都会放大误差,积累误差

    • 使用数值稳定性好的算法

    数值稳定:舍入误差积累可控制。

    误差积累必须可控制,否则算法没有实用价值。

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  • 数值分析实验, 关于误差的影响, 附伪代码, 原创手打, 关于计算机中一些关于误差的分析和介绍,以小数减小数所引起的误差为例子进一步分析,关于数值分析中的误差介绍
  • 数值分析---误差

    2020-09-16 23:51:53
    数值计算方法-误差 误差的来源与分类 1.模型误差 数学模型,即表示计算的公式或方程,本身就是近似的,就不就不精确,这种情况导致的误差,就叫模型误差。 2.观测误差 对物理世界中的参数进行观测时产生的误差,...
  • 描述数值计算之中近似值的精确程度 模型误差: 由实际问题抽象到数学模型产生的误差。(一般不可避免) 观察误差: 物理参数通过观测和实验得到而产生的误差。(一般不可避免) 截断误差(方法误差): 因为采用近似...
  • 数值分析--1、误差

    千次阅读 2019-02-26 19:33:53
    误差一般是四种,在数值分析中一般也仅仅只考虑两种误差:截断误差、舍入误差 2、截断误差和舍入误差   3、绝对误差和相对误差 可以得到结论,绝对误差限是不能表示测量结果更好 相对误差:...
  •  方法误差:数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差:例如  舍入误差:对数据进行四舍五入后产生的误差 2、减少误差的几种方法  现在,我们一般用计算机解决计算问题,使用最多的是Matlab软件。...
  • 数值分析一-误差与有效数字

    千次阅读 2020-09-22 22:30:00
    误差与有效数字 一、误差的来源与种类 二、误差分析 三、有效数字 四、算术运算的误差估计 五、病态问题和条件数 一、误差的来源与种类 模型误差(Modeling Error)-从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差 观测误差...
  • 通过正反两个实例的计算,了解利用计算机进行数值计算中舍入误差所引起的数值不稳定性,深入理解初始小的舍入误差可能造成误差积累从而对计算结果的巨大影响。 通过实际编程,了解运算次序对计算结果的影响,了解...
  • 数值分析-目录

    2019-04-14 10:25:14
    数值分析笔记的目录: 一、什么是数值分析 二、数值分析中的误差
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  • 第二次数值分析作业 作者:老李 日期:9-30 目标:写一个拉格朗日插值曲线的函数,并作出绝对误差随插值节点个数的关系的曲线。 思路: 先选择一个区间 用某种办法选定一系列的测试节点(testing node),用于...
  • 数值分析

    千次阅读 2018-07-27 16:30:43
    数值分析 (数学下属学科) 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科,是数学的一个分支,它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象,为计算数学的...
  • 数值计算误差

    千次阅读 2016-05-11 12:12:31
    补充题在MATLAB上执行>> 5.1-5-0.1和>> 1.5-1-0.5,给出执行结果,并简要分析一下产生现象的原因代码:>> x1=5.1-5-0.1 x1 = -3.608224830031759e-16 >> x2=1.5-1-0.5 x12= 0 原因: 浮点数表示时数字时位数有限,以...
  • 数值分析(一) 算法和误差

    千次阅读 2018-06-11 16:03:31
    写在前面:最近看的比较多的主要都关于数学方面主要是数学分析,就想写博客记录一下,给自己做个笔记。并想把数学相关方法与智能计算相关方向一定结合。很多教材基本都使用的Matlab进行编程、我这边主要用C++/java来...
  • 数值分析总结

    千次阅读 2019-06-22 10:06:32
    数值分析第一章 1,相对误差和绝对误差 e∗=x∗−x e^* = x^* - x e∗=x∗−x er∗=(x∗−x)x∗(一般使用估计值x∗−xx) e_r^* = \frac{(x^*-x)}{x^*} (一般使用估计值 \frac{x^*-x}{x}) er∗​=x∗(x∗−x)​...
  • [数值微分]数值微分的误差分析

    千次阅读 2019-09-26 18:22:43
    上篇文章中提到不知道时间间隔...具体内容资料很多不再赘述,然而数值微分对于误差采用的是截断或者舍入的方法,因此数值微分一定存在误差。 然而误差的绝对存在不代表近似值一定小于真实值,随着h值的减小,截断...
  • 这就带来了误差,称它为截断误差,因为截断误差数值计算方法固有的,因此又称方法误差。 例如,函数 可展开为无穷幂级数: 若取级数的起始若干项的部分和作为 时函数的近似计算公式,例如取 则由于它的第四项和...
  • 本节书摘来自华章出版社《数值分析(原书第2版)》一 书中的第2章,第2.3节,作者:(美)Timothy Sauer,更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。 2.3 误差来源 正如我们已经描述的,在高斯消去法...
  • 微分方程数值分析基础:Euler法

    千次阅读 2018-01-05 12:32:24
    数值分析提供了一种渐变的分析手段,但是也要看到,Euler法在多次轮回循环后,极可能积累过量误差,导致计算结果不可靠。误差累积现象和附录1的梯形逼近相似。附录:1,《数值积分的梯形逼近》链接:...
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  • 数值分析 有效数字计算

    千次阅读 2019-08-27 21:00:29
    与高中的有效数字有些不同,数值分析中的有效数字定义如下: 定义 设数x是数x的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位,则称这n个数字为x的有效数字,也称...
  • 数值积分的梯形逼近及误差分析

    千次阅读 2018-01-03 10:12:37
    数值积分的梯形逼近及误差分析引入梯形逼近的原因是,在求解一些函数的反导数时候,过程极为复杂甚至可能就不可能有简单的数学表达式,那么就需要把函数f的积分切成n个连续的小梯形,计算这n个连续的小梯形的黎曼和...

空空如也

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数值分析误差