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  • 数学建模优化模型例题
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    2021-01-15 09:26:25

    本文介绍较简单的优化模型,归结微积分中函数的机制问题,可以直接用微分法求解。

    1. 存贮模型

    工厂订购原料,出售商品,都需要确定贮存量。

    1.1不允许缺货的存贮模型

    经济批量订货公式(EOQ公式)

    用于订货、供应、存贮情形

    每天需求量 r,每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 T天订货一次(周期), 每次订货Q件,当贮存量降到零时,Q件立即到货。

    1.2允许缺货模型

    原理较简单,使用时查阅运筹学存贮论部分。

    2.生猪的出售时机

    问题:饲养场每天投入4元资金,用于饲料、人力、设备,估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元,但是预测每天会降低 0.1元,问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差,对结果有何影响。问题本身较简单,我们主要关注它的敏感性分析和强健性分析。

    敏感性分析:假设一个量不变的情况下,分析另一个参数。

    可以用相对改变量衡量结果对参数的影响。

    强健性分析:模型要考虑非线性和不确定性。

    3.森林救火

    综合考虑森林的损失费和救援费与消防人员之间的关系,以总费用最小来决定排出队员的多少。

    4.消费者的选择

    “消费者追求最大效用”是经济学最优化原理的一条,用数学建模的方法来帮助消费者决定他在市场里的选择。

    效用函数实物交换里的满意度就是这里的效用。

    当消费者购得数量分别为x1和x2的甲乙两种商品时,给消费者带来的效用可以用一个数值来衡量,它是x1和x2的函数,记作u(x1,x2),称为效用函数。利用等高线的概念在x1,x2平面画出效用函数的等值线,称为等效用线。等效用线是一组单调减、下凸、互不相交的曲线。

    效用最大化模型

    设甲乙两商品的单价分别为p1和p2,消费者准备付出的钱数为y,则他购得的商品数满足

    P1x1+p2x2=y

    所谓效用最大化,就是在满足上式得情况下使效用函数最大。

    如果知道了效用函数的解析表达式,那么可以按照二元函数的条件极值求解上述问题。引入拉格朗日乘子

    ,可得最优解满足

    数学中的导数在经济学中一般称为边际,于是两个偏导称为边际效用。上式表明,当商品的效用之比等于它们的价格之比时,效用函数达到最大。

    效用函数的构建

    要对效用最大化模型进行分析,需要有效用函数的解析表达式。给出一个便于构造和检验的充分条件。

    效用最大化的应用举例:征收消费税还是征收入税价格补贴给消费者还是生产者

    5.生产者的决策

    生产者追求最大利润是经济学的另一条最优化原理

    最大利润模型

    众所周知,生产者的利润等于产品的产值减去成本,记生产者对产品的投入量为x,产值和成本都是x的函数,分别记作f(x)和c(x),则利润r(x)为

    r(x)=f(x)-c(x)

    使利润达到最大的投入量x*可以从r’(x*)=0得到

    f'(x*)=c’(x*)

    最大利润在边际产值等于边际成本时达到。这是经济学的一条著名定律。

    6.血管分支

    根据响应原理列方程。

    7.冰山运输

    根据数据列方程。

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    我,今年大四,经管学院(偏文科),从大一上学期开始参加数学建模,前前后后参加了10次建模比赛,但是第10次才拿到了全国一等奖(有点丢人),期间没有看过任何建模相关的课程或培训(绝对没有吹牛逼),所分享的经验全部是我在一次次的建模过程中悟出来的,所以如果不适合勿喷。

    以下文章是我在自己公众号上的原创内容,虽然粉丝不多,但还是有四百多的阅读量,一定程度上得到了老师和学弟学妹的认可。所以在这里想跟其他学弟学妹分享一下,希望通过一些建模“小技巧”真正帮助到大家。因为公众号名称为“递递小佰”,所以文章内的“递递”即是指我本人。

    以下内容阅读完耗时可能有点长,但是递递相信,只要你坚持看完,至少可以保证你拿奖!(还是很有自信的)

    最近几天,可能由于MathorCup数学建模将要开始(现在延期举行,具体时间可以自己从网上搜一下),越来越多的学弟学妹从公众号后台私信递递,想让递递分享一些建模经验。

    “确实,不谦虚的说,递递在大学期间前前后后总共带队参加过10次数学建模,虽然在第10次才拿到了全国一等奖,但是递递觉得,没有前9次的经验积累,也不会有第10次的成功。”

    递递和大家一样,在建模面前都是从小白一步步成长起来,没有专门的参加过建模的培训或者相关课程的学习,因此所有的经验都是递递在一次次参加数学建模的过程中悟出来,所以今天递递不讲建模的具体方法或者编程等“干货”,只讲自己三年来参加建模所悟出的经验,如有不当之处,还望大家见谅,希望递递分享的经验能对大家有用。

    首先,在分享经验之前,先给大家介绍一下什么是数学建模。

    「数学建模」用通俗易懂的话讲就是,1到3个人组队,从3~4个“应用题”中选出一个题,之后独立或在指导老师的指导下,在三天三夜(一般是这么长时间)的时间里,建立一个数学模型来解这道题,最后将你们的数学模型、解题思路、方法、过程以及最终结果以论文形式呈现出来(别担心,论文也有具体格式要求,按部就班的填充即可)。

    其次,递递鼓励大家参加数学建模,尤其是大一大二有保研想法的学弟学妹更应该参加。为什么递递鼓励大家参加呢?其实理由很简单:

    1.数学建模的获奖比率和比赛的频率高,只要掌握一定的方法,就可以获得很多奖,而比赛获奖对保研而言尤为重要

    2.数学建模可以锻炼你的逻辑思维和团队协作能力,能让你结交一些“真朋友”,没准还能找到“女朋友”

    3.获奖的论文稍加修改就可以向一些相关的期刊杂志进行投稿,而且中稿的可能性也会较大

    4.建模当中使用的方法对研究生阶段写论文非常有帮助

    5.越来越多的高校开始看重数学建模,对研究生复试也会有很大帮助

    6.据递递了解,有的企业在面试的过程中也会着重看你的建模比赛,所以对就业也有一定的帮助。

    7.最重要的一点,数学建模性价比高,因为比赛就三天三夜,比赛所用的知识基本上就是你这三天所学习的知识,所以说,虽然过程“痛苦”一点,但是相比于创青春、三创赛之类的团队比赛而言,占用的时间还是少的多,而且获奖比率也会更高。

    再次,给大家澄清几个误区:

    1.我是文科生,数学不好,所以不适合参加数学建模。

    其实说实话,数学建模虽然带着“数学”二字,但是与数学还真没有非常大的关系,很多时候,你需要解答的问题里面可能连一个数字都没有,而且你目前所学的数学知识(如果你不是非数学类学生)在建模的过程中基本上都用不到,所以说,即便你是文科生,就算你高数不及格,也照样不影响你参加数学建模,更何况递递本身就是经管学院(偏文科)。

    2.其他学院的人我认识不多,要不我就从我们专业随便找两个人参加吧。

    这应该是很多建模小白最初的想法,不能说错,但确实有点不妥。千万不要随随便便找俩人就组队,不光建模,像其他的团队比赛也是,找人组队之前一定要有目的性,不是说关系好就可以一块参加比赛,因为比赛需要的是能力而不是关系。同专业的同学能力大多都相同或类似,思维模式也相差不多,而数学建模是需要多方面能力共同发力,至于如何找队友,递递会在后面"支招”。

    3.指导老师很忙,我们还是不麻烦老师了,自己想办法做吧。

    这个想法一定要打消。指导老师的作用本身就是指导你们比赛,你们如果比赛不找老师指导,那找指导老师还有什么意义吗?这不是不尊敬指导老师吗?数学建模的很多问题,单靠本科生的能力,基本上是不可能在短时间内完成的,而指导老师经验丰富,可以给你们一定的指导,而且很有可能你们所需要解决的问题正是指导老师研究的领域,递递想,这也就是为什要设置指导老师的原因。另外,你们比赛获奖也会对指导老师的发展有一定的作用,因此这是互惠互利的比赛,所以不要害怕麻烦老师,你们找老师帮助,他们都会很高兴的,无形之中还能加深师生感情,何乐而不为?

    4.所给的几个题目,一个也不会,然后就害怕,开始想放弃。

    这是一件再正常不过的事情了,别说咱们答题人了,就连出题人可能也没有一个明确的答案,因为他们出的题本身就没有一个准确的答案,他们出题的目的是希望依靠大学生的智慧来解决社会上的某些问题,他们能提供的就是一些真实的信息,不同的人有不同的解决方法,没有谁对谁错,只有谁更合适。而递递觉得,正因如此,数学建模更像是一项很伟大的“工程”,因为你提供的方法说不准哪天就会被应用并且会造福全人类。所以既然都不会,那还怕什么啊!不放弃,可能会失败,但是放弃,一定会失败。

    5.我现在才大一或大二,没什么人脉,要不等大三再参加吧

    这也是一个很可怕的想法,为什么这么说呢?众所周知,数学建模一般是需要三个人组队参加,而这个所谓的“队”是怎么组建起来的呢?因为你很难一开始就能组好一个队,所以最简单粗暴的方法,就是尽可能的找那些建模获奖或者参加了很多次建模的人组队,而这种队伍一般在大二时就会确定下来,而一旦确定下来之后,不出什么意外,队员就不会再改变了。所以等你大三甚至大二下学期再去组队参加,你还是很难找到所谓的“大神”,获奖的可能性可想而知。所以递递建议,从大一就开始参加数学建模比赛。

    6.题目越短、越少的问题是不是越简单

    其实正好相反,题目越短给的信息就越少,题目越少给的思路就越少,所以越短越少的题目越难!(这是一般情况)

    上面提到的这些问题,也是递递在一次次建模当中悟出来的,可能你不同意我的观点,但是这确实是递递的所思所想。递递开头该说的都说的差不多了,接下来就正式进入主题,分享一下递递经过10次建模所总结出来的经验。

    “以下经验是从建模小白开始分享,如果你是建模大神(肯定有比递递厉害的大神),觉得有不当之处,请从后台“指教”递递,万分感谢。”(写了这么多,递递的手都快抽筋了,点个赞鼓励一下递递吧)

    01组建队伍

    递递给大家介绍一下,建模需要什么能力,你就应该知道如何组队了。简单来说,要想顺利完成数学建模,一般需要三种能力,分别是:构建模型、计算机编程、论文写作。而这三种能力所对应的专业学院大家应该就清楚了,最直接的就是数学学院、计算机学院、经管或文法学院。所以理论上来讲,最好的队伍就应该有这三个学院的同学,但现实中却很难组建一支这种队伍,因为你连本学院认识的人都不多,更何况其他学院的呢。

    那怎么办呢?其实最简单的方法就是先找指导老师,递递的建议是找你自己的高数老师(你懂的),因为基本上每个大学生都会有一个高数老师,而高数老师肯定又是数学学院的老师,而在嵙嵙,数院的老师肯定跟计算机学院的老师特别熟悉(至于为什么,可以翻翻嵙嵙的发展史),然后让指导老师帮忙去找队友,因为指导老师的人脉更广,而且更容易寻找到各个学院的“尖子生”。如果你说你本身就是数院的怎么办?你似不似傻,你们学院的老师肯定也教其他学院啊!……这个逻辑,我想递递已经讲清楚了。

    那还有其他的方法吗?当然有了!如果你是经管学院的学生,就算找不到计算机学院的也没事啊,因为经管学院有个专业叫电子商务,这个专业除了学经济和管理之外,还要学编程啊!(因为电子商务和计算机学院也有很深的渊源)你们一个学院的肯定更熟悉!而不光经管学院,我想其他学院可能也会有这么一个“特殊”的专业。

    我想无论你是哪个学院的,你肯定至少占到了三个能力中的一个,剩下的两个队友通过上述两种方法,基本上都可以找到。

    还是那句话,你很难一开始就能组好一个队,如果发现组建的队伍不满意,可以凭借着你有参加建模的经验,再去找其他跟你相似的队友,因为你至少参加过数学建模,即便是没有获奖,那也有点底气,参加了一两次之后,基本上队伍就可以组建起来了,这也就是为什么建议大家从大一就要开始参加数学建模,因为参加的越晚,越难组好队伍。

    递递从大一上就开始参加数学建模,但是当时没有这方面的经验,所以到了大二下才真正组好了队伍,所以我希望大家能更快的组好队伍。

    02参加什么比赛

    我们都知道,建模比赛的种类非常多,但并不是说所有的建模比赛对你都有用处,有些建模比赛可以不用参加。

    在嵙嵙的“科创比赛认定表”(公众号后台回复关键词“科创比赛”即可获得)当中,承认的比赛主要有以下几个:

    1.高教社杯全国大学生数学建模竞赛

    简称“高教杯”(国家级B类)

    2.全国大学生电工数学建模竞赛

    简称“电工杯” (国家级B类,2020年下调至C类)

    3.美国大学生数学建模(国家级B类,2020年下调至C类)

    简称“美赛”

    4. “深圳杯”数学建模挑战赛(国家级C类)

    5.MathorCup高校数学建模挑战赛(国家级C类)

    6. APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛(省级C类)

    简称“亚太杯”

    7.数学中国数学建模国际赛(省级C类)

    简称“小美赛”

    8.五一数学建模竞赛(省级C类)

    9.“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛(省级C类)

    简称“认证杯”

    ……

    在以上比赛中,需要注意的是“美赛”,由于2019年的美赛出了一点问题(具体的自己从网上搜搜),所以很多高校都已经不怎么承认这一比赛,所以如果你是为了保研而参加美赛,递递建议在参加前先问问学院的老师,该比赛还加不加分,否则不仅没用,而且还会浪费很多钱(报名费100美元一个队)。

    另外,省级的数学建模在保研加分中也存在争议,但并不影响综测加分。所以递递建议大家,尽可能的参加国家级的数学建模,但是拿省级的比赛提前练练手也是很不错的。除了以上建模比赛之外,如果有的建模比赛是由国家一级协会(或学会)所举办,大家也可以参加一下,这种比赛一般都会认可的!

    03如何选题

    (1)数学建模比赛,一般都是从ABCD四个题中选择一个进行解决,这四个题目一般涉及三种类型:大数据、离散型、连续型。三中类型各有各的优缺点,如果你们团队的信息处理能力很强,那递递建议选择大数据类型的题目,如果团队的数学能力很强则可以选择另外两种类型。

    (2)选题其实没有大家想象中的那么简单,选对题就是成功的一半。建模中最怕的事情就是,选完题之后,做了一半结果做不下去,然后想换题,这时候却发现为时已晚,没有时间换题了。所以,递递建议,在选题之前,争取把每一道题目都讨论一遍,然后讨论完之后,带着团队的讨论成果,一块去找指导老师,然后结合指导老师的建议,最终定下题目。一般这个过程需要0.5-1天。

    (3)选定题目之后就不要再去更换,当然,你很有可能也没时间去更换了,所以选题一定要谨慎。

    (4)题目出来之后,团队在讨论的同时,也要同步进行查找文献,如果最后实在是不知道该选择哪个题,递递建议就把查到文献最多的题目作为保底。

    如何查文献:

    a.一般从知网上或图书馆查阅相关文献

    b.每个选题查阅3-5篇文章即可

    c.将文献中提到的数学模型尽可能弄明白,实在不行可以把文献中的模型用自己的话描述出来

    d.先看摘要,再大体浏览全文,可以浏览文章引用的参考文献

    e.尽可能找比较新的,质量比较高的论文,以近3年的为宜

    04解题技巧

    因为每一次数学建模的题目都会有所不同,所以递递不可能告诉大家该如何如何解题,而递递觉得带着大家解题也不现实,所以只能把自己在解题过程中积累的一些通用的小技巧或者注意点跟大家分享一下,希望对大家能有所帮助

    (1)选定题目之后,大家再从头到尾把解题思路再理一遍,然后把已经想出的几个小问题分配给各个队友,几道题目同时进行书写,然后负责写论文的队友负责最后的加工打磨,这样可以大大节省时间,然后用节省下的时间再讨论还没有解决的问题,效率会提高很多

    (2)千万不要等把所有的问题解决之后再去书写论文,这样做是非常危险的,因为很有可能写不完

    (3)写论文时尽可能的用术语,参照往年一等奖的格式,尤其是注意数学符号的选择

    (4)论文中出现的数学公式用公式编辑器编辑,千万不要用word自己手动输入,太丑、太不专业了!

    (5)论文的整体布局要数形结合,能用数字就不要用文字,能用表格就不要用数字,能用图形就不要用表格!

    (6)编程时的源代码全部保留,作为附录附在论文后面

    (7)论文字数不要写太多,按要求书写,如果超字数很有可能会扣分

    (8)调格式!调格式!调格式!重要的事情说三遍!最后一定要由同一个人调格式,而且至少要留出2个小时的时间进行调格式!这一点是非常非常重要的,格式美不美观直接决定了评委会不会看下去。即便你们题解的不好,但是你们的格式美观,也依然可以获奖,相反,即便你们的题做的很好,但是格式太丑,也很有可能得不到好结果!

    (9)每一小问尽可能都有一个总结性的答案,别让评委自己找答案

    (10)递递建议第一天不要通宵,如果通宵会严重影响后面的解题效率,可以从第二天或者第三天通宵,如果选择通宵,一定要备好水、衣服等!(要不然很有可能会渴死、冻死,哈哈)

    写在最后

    以上就是递递目前能够想到的关于数学建模的全部经验了,再次重申,以上都是递递的一点点的感受,并不一定具有通用性,但是确实是递递想要告诉各位学弟学妹们的一点真心话,真的希望能够为大家带来帮助,一点点就足够。

    毫不夸张的讲,数学建模真的带给了递递很多东西,有形的无形的都让我受益良多。

    最后的最后,由于疫情影响,MathorCup现已延期,有意参加数学建模的同学一定要关注比赛消息,认真准备吖~

    递递希望每一位参赛者都能够取得理想的成绩!

    好像这个回答确实帮助了很多人,既然这样,那我就再补充最重要的一点,也是可以极大提高获奖概率的一点:

    4个人或6个人组成2支或者3支队,共同选择一个题,然后在一起商量探讨……(我点到为止,不明白的可以私信我)

    提醒一点,绝不要雷同!

    福利!!!!

    此外,递递为初入数学建模的学弟学妹们准备了一份超全的备赛干货(30个常用数学模型)

    从公众号后台回复关键词“数学建模”即可领取!

    原创内容不易,您的赞是对我这种原创作者的最大估鼓励,更是我持续写干货的动力!

    近一个月的时间,有1000多个建模小白从公众号后台领取了「30个数学模型」,但是递递相信,能够坚持看下去的应该不超过0个人。为什么呢?因为真的太枯燥了!

    说实话,这30个模型,我也从来没有认真看过一遍,也就看过其中的几个模型,但是尽管如此,也并不影响递递拿一等奖。

    所以,今天我就想跟大家聊聊「到底该如何利用这30个数学模型」,没领的可以先领一下。

    「01」误区

    在正式开始之前,先说两个大部分人存在的误区:

    (1)我要把30个数学模型都弄懂

    给大家讲个小故事。

    当初第一次拿到这30个数学模型时,我也是充满斗志,立志要把他们都弄懂。我记得很清楚,当时我是大一上学期,学习的第一个模型叫「层次分析法」。

    这个模型一开始并不是很难,基本所有人都可以看懂,当时我就产生了一种错觉“数学建模也不难嘛”,在兴趣的趋势下,我又接连看了两天。

    本来一切都进行的很顺利,结果快学到核心部分时,我突然发现,该方法还需要用《线性代数》里面的“行列式”知识,无奈之下,我只能找我当时的指导老师求助。

    找到指导老师,结果老师淡淡的说了一句“不会,那就自己去学”。因为《线代》是大二才开的课程,当时我确实不会。但是我又真的不想放弃,所以我就真的听了老师的话,从学长那借来《线性代数》就开始「啃」起来。

    学过线代的人都知道,「行列式」是线代最核心的知识点,要想学懂,几乎就要把整本课本学完才可以。为了弄懂,我真就花了两个周把这本书学完了

    (痛苦的过程就不说了,现在想想,我还真的挺佩服当时的自己,哈哈)。

    学会行列式之后,我就继续钻研“层次分析法”。然而,令人绝望的是,更难的知识还在后面,想要学会还需要学很多的东西。当时加上面临考试,所以不得不放弃了……

    讲这个故事的目的,不是想证明自己的学习能力有多强,更不是证明自己当时有多傻。而是想用自己的亲身经历告诉大家:

    如果你是个正常人,并且在没有专业老师的指导下,想要把所有的数学模型弄懂,几乎是一件不可能完成的事情。

    (2)我就专门弄懂其中的两三个模型

    “既然都弄懂不可能,那我专门弄懂两三个模型总可以了吧”,我想这应该是大部分同学内心的想法。

    确实,我不能否认,如果你愿意付出足够的时间,这是完全可以的。

    但是你能保证你真的能弄懂吗?就算你弄懂了,你能保证比赛时一定用得到吗?就算用得到,你能保证可以做出来吗?显然是不可能的。

    「02」解决方法

    洋洋洒洒写了近1500字,然而说的都是有用的废话,还没有说有实用价值的东西,别打我,马上上干货!

    掌握以下四个步骤,保证你能拿奖!

    (1)将所有模型大体浏览一遍,做好分类

    虽然把所有的数学模型弄懂不太可能,但是大体浏览一遍,弄清楚该方法适用于什么问题还是不困难的。

    在浏览的过程中,一定要做好分类工作,比如:

    处理大数据的方法:数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法;

    最优化问题的解决方法:线性规划、多元规划、模拟退火、神经网络等……

    这样做有什么好处呢?

    很简单,如果你把所有的模型都浏览完并做好分类。当参加建模比赛时,你就可以迅速找到你需要用的模型,而且还不止一种模型。

    (2)刻意练习

    在比赛时,很多题目短时间内是很难判断该用哪个数学模型,即便你已经把所有的数学模型都分好类别。

    什么原因呢?

    答案就两个字:不熟。这就好比你把高数中所有的知识点都看完一遍,当你做题时还是经常想不起来该用哪个知识点一样。

    那怎么样才能让自己熟练起来呢?

    你想想你是怎么将你学习的知识点熟练起来的?是不是通过不断地做题,没错,建模也一样。

    要想真正熟练这些数学模型,做到读完题就能知道用什么模型的方法就是——刻意练习。

    怎么刻意练习呢?

    我的建议是,对于每一类型的方法,都至少找一个往年的赛题,尽量找那些质量相对较高的比赛的赛题,如:全国大学生数学建模(高教杯)、深圳杯、美赛、电工杯等。

    如果你觉得这些比赛质量还不够高,那你可以去找一些研究生数学建模赛题。

    找到题目之后,先自己想一想,看看能不能找到解题的方法,之后再找一些一等奖的作品,看看他们是如何解题,如何建模,如何撰写论文。

    (如果你找不到一等奖的作品,可以关注递递,加入我们社群)

    如果找不到试题也没关系,因为30个常用数学模型里面都有练习题,保证让你做个够。

    这个「刻意练习」的过程其实是挺痛苦的,我希望你能坚持下来,只要坚持,就一定可以拿到奖。

    (3)“借鉴”已有的公式

    说了这么多,还是不会建模怎么办?

    没关系!30个常用数学模型里面,对于每个模型都有详细的讲解,并且包含该模型的所有公式,基本上直接将条件带入即可。

    偷偷告诉大家,数学建模中的公式是无法查重的,如果害怕查重,那你可以把数学符号改一改。通过借鉴已有的公式,模型自然就建出来了。

    (4)从最常用的数学模型入手

    我相信大部分人都有这样的感觉:当我们学习某个科目时,我们往往会把前几章学的特别好,而后面的章节,往往学不好。

    最常见的例子就是「背单词」,我们记住的往往都是a、b、c开头的单词,为什么?因为每次当你有背单词的欲望时,你就会从头开始背!说白了,就是我们坚持不下去。

    学习建模也一样,很多人包括我自己在内,也很难坚持下去。

    所以我建议大家从最常见的模型入手,掌握了这些模型,在比赛时用到的可能性也会很大,获奖的可能性也会更大。

    常见的数学模型主要有:神经网络、模拟退火算法、微分方程、回归分析、线性规划、最小二乘法等。

    我觉得我已经聊得差不多了,如果你能做到以上四点,或者你们团队齐心协力做到以上四点,我不敢保证你能拿一等奖,但是对你拿奖还是很有信心的。

    我该说的说完了,昨晚通宵写论文,现在已经困得不行了,有些话说可能说得不像人话,还望大家见谅!

    「03」写在最后

    其实,数学模型不止这30个,还有非常非常多的其他模型,但是绝大多数的赛题都能用这30个模型中的某一个或某几个解答。

    数学建模是一个痛苦的过程。我参加了10次数学建模,但是每次建模时,我都会抱怨“我下次再也不参加了!”

    然而下次还是会继续参加,我想可能这就是数学建模的魅力吧,所以我也希望你能坚持下去。

    原创不易,希望能给递递点个赞,递递会持续写干货!

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    习题六习题六1、某工厂生产四种不同型号的产品,而每件产品的生产要经过三个车间进行加工,根据该厂现 有的设备和劳动力等生产条件,可以确定各车间每日的生产能力(折合成有效工时来表示) 。现 将各车间每日可利用的有效工时数,每个产品在各车间加工所花费的工时数及每件产品可获得利 润列成下表:每件产品所需的加工工时 有效工时1# 2# 3# 4# (小时/日)试确定四种型号的产品每日生产件数使工厂获利润最大。,,,,4321xxxx2、在车辆拥挤的交叉路口,需要合理地调节各车道安置的红绿灯时间,使车辆能顺利、有效地通过。在下图所示的十字路口共有 6 条车道,其中是 4 条直行道,是两条左转弯dcba,,,fe,道,每条车道都设有红绿灯。按要求制定这 6 组红绿灯的调节方案。首先应使各车道的车辆互不 冲突地顺利驶过路口,其次希望方案的效能尽量地高。即各车道总的绿灯时间最长,使尽可能多 的车辆通过。deabf c提示提示:将一分钟时间间隔划分为共 4 个时段,为相应车道的绿4321,,,dddd? ? ? ?? ?fJbJaJ,,,L灯时间。? ?? ?bJaJ?? ?fJ? ?eJ1d2d3d4d? ?dJ6 8 9 10利润(元/件)160 120 1000.8 0.8 1.1 1.2 0.6 0.8 0.7 0.8 0.4 0.5 0.7 0.71# 2# 3#车间J(c)03、某两个煤厂 A 和 B 每月进煤量分别为 60 吨和 100 吨,联合供应三个居民区 C、D、E。这三 个居民区每月对煤的需求量依次分别是 50 吨、70 吨、40 吨。煤厂 A 与三个居民区 C、D、E 的 距离分别为 10 公里、5 公里和 6 公里。煤厂 B 与三个居民区 C、D、E 的距离分别为 4 公里、8 公里和 12 公里。问如何分配供煤量可使运输总量达到最小? 4、某工厂制造甲、乙两种产品,每种产品消耗煤、电、工作日及获利润如下表所示。现有煤 360 吨,电力 200KW.h,工作日 300 个。请制定一个使总利润最大的生产计划。煤(吨)电(KW.h)工作日单位利润(元/吨)甲9437000乙5510120005、棉纺厂的主要原料是棉花,一般要占总成本的 70%左右。所谓配棉问题,就是要根据棉纱的 质量指标,采用各种价格不同的棉花,按一定的比例配制成纱,使其既达到质量指标,又使总成 本最低。棉纱的质量指标一般由棉结和品质指标来决定。这两项指标都可用数量形式来表示。棉 结粒数越少越好,品质指标越大越好。一个年纺纱能力为 15000 锭的小厂在采用最优化方法配棉 前,某一种产品 32D 纯棉纱的棉花配比、质量指标及单价见下表:原料品名单价(元/吨)混合比 (%)棉结(粒) 品质指标混棉单价(元/吨)国棉 1318400256038002100国棉 2297500356535002625国棉 3276700408025002680平均合计1007031757405有关部门对 32D 吨棉纱规定的质量指标为棉结不多于 70 粒,品质指标不小于 2900。请给出配棉 方案。 6、某公司经营两种物品,第一种物品每吨售价 30 元,第二种物品每吨售价 450 元。根据统计,售出第一种物品每吨所需要的营业时间平均是 0.5 小时,每二种物品是 2+0.25小时,其中2x是第二种物品的数量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为 800 小时,试决定使其营业2x额最大的营业计划。7、设有 400 万元资金,要求 4 年内用完,若在一年内使用资金元,可得到利润万元(利xx润不能再使用) ,当年不用的资金可存入银行,年利率为 10%。试制定出资金的使用计划,以使 4 年利润为最大。 8、某工厂向用户提供一种产品,按合同规定,其交货数量和日期是:第一季度末交 40 吨,第二 季度末交 60 吨,第三季度末交 80 吨。工厂的最大生产能力为每季度 100 吨,每季度的生产费用是(元) ,其中为该季度生产该产品的吨数。若工厂生产的多,多余的产22 . 050)(xxxf??x品可移到下季度向用户交货,这样,工厂就要支付存储费,每吨该产品每季度的存储费为 4 元。 问该厂每季度应生产多少吨该产品,才能既满足交货合同,又使工厂所花的费用最少(假设第一 季度开始时该产品无存货) 。 9、现有一节铁路货车,车箱长 10 米,最大载重量为 40 吨,可以运载 7 类货物包装箱。包装箱的长度和重量不同,但宽和高相同且适合装车,每件包装箱不能拆开装卸,只能装或不装。每件 货物的重量、长度与价值如下表所示:货 物长度(cm)重量(吨/件)价值(千元)件 数1550.54082581.7378362.435864492.2367540.63353653.314547664508请给出装货方案,使总的价值最大. 10、某厂拟用集装箱托运两种货物,每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示, 问两种货物各托运多少箱,可使获得利润最大?体 积重 量利 润货 物每箱(立方米)每箱(吨)每箱(千元)甲5220乙4510托运限制241311、一架货运飞机,有效载重量为 24 吨,可运输物品的重量及运费收入如下表所示,其中各物 品只有一件可供选择。问如何选运物品可使运费总收入最多?物 品123456重量(吨)8136957收入(万元)35242312、某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有 7 个位置点可供选择。)7 ,, 2 , 1(L?iAi规定:在东区,由三个点中至多选两个;在西区,由两个点中至少选一个;在321,,AAA54, AA南区,由两个点中至少选一个。投资总额不能超过 70 万元。设备投资费与每年可获利润76, AA见下表。问应选择哪几个点可使年利润为最大?1A2A3A4A5A6A7A设备投资费(万元)13182129112819年终获利润(万元)2125273719332513、在本章例 17 中,如果还规定第四年初完好的机器数为台,应如何安排生产才能使三年总m 产量最高? 关 键 词: 数学 建模 案例 分析 优化 方法 习题

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  • 数学建模之存贮模型详解

    千次阅读 2022-03-21 10:30:32
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    目前持续更新的专栏:

    大家好,我是左手の明天

    今天和大家探讨解决生产与存储问题,属于典型的存贮问题。通过建立模型,求解得到最优生产方案。所谓最优生产方案是指在满足市场需求并充分发挥存货功能的基础上建立一个最佳的生产周期,使总费用最小。

    目录

    一、 问题

    二、 问题分析

    三、 基本假设

    四、 模型的建立与求解

    4.1 问题(1)的求解 

    4.2 问题(2)不允许缺货存贮模型的建立与求解 

    4.2.1 模型建立 

    4.2.2 模型求解 

    4.2.3 结果解释 

    4.3 问题(3)允许存贮模型的建立与求解 

    4.3.1 模型建立 

    4.3.2 模型求解 

    4.3.3 结果解释 

    五、 模型的灵敏度分析

    5.1 敏感性分析 

    5.1.1 周期 T 对生产准备费用 C1的灵敏度分析 

    5.1.2 周期 T 对存储费用的灵敏度分析

    5.1.3 周期 T 对需求速度 𝐫 的灵敏度分析 

    六、 模型的对比分析与评价推广

    6.1 两个模型的对比分析 

    6.2 模型的评价 

    6.2.1 模型的优点 

    6.2.2 模型的缺点 

    6.3 改进与推广 

    6.3.1 模型的改进 

    6.3.2 模型的推广 

    七、总结


    一、 问题

    某工厂为生产某种零件,需要付出生产准备金(假设与产量无关),当产量大于需求量,会出现贮存费。为了简化问题,假设生产能力远大于需求量,这种零件的单位时间需求量为常数,生产准备金为常数,每单位时间的贮存费为常数。

    解决下列问题:

    • 问题(1):若这些常数直接给出,如每日需求量为 100,生产准备金为 5000,每日贮存费为 2。请你测算下,给出不同的若干个生产周期,其平均日花费为多少?
    • 问题(2):如果不允许出现缺货现象,请建立模型,刻画生产周期、产量的关系式,并构建最优生产计划模型;
    • 问题(3):如果允许出现缺货现象,增加缺货时损失费开支,请建立模型,刻画生产周期、产量的关系式,并构建最优生产计划模型;
    • 问题(4):进行两模型的比较分析,评价模型的好坏。

    二、 问题分析

    在生产中遇到的存贮问题一直是工厂要面对的重要问题,产品都有一个贮存量多大才合适的问题。贮存量过大,贮存费用太高;贮存量太小,会导致一次性订购费用增加,或不能及时满足需求。

    在需求量稳定的前提下讨论两个贮存模型:不允许缺货模型和允许缺货模型。来为生产者提供理论依据。

    针对问题(1)进行试算:

    • 我们以此按周期为每天、10 天、60 天进行计算,对结果进行比较分析。

    针对问题(2)不允许缺货情况:

    • 产品需求稳定不变,生产准备费用和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货,确定生产周期和产量,使总费用最小。

    针对问题(3)允许短时间缺货:

    • 虽然这会造成一定的损失,但是如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话,允许缺货就应该是可以采取的策略。

    三、 基本假设

    为了处理的方便,连续模型,即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量。

    • 1. 产品每天的需求量为常数r。
    • 2. 每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为c2。
    • 3. 生产能力为无限大(相对于需求量),当贮存量降到零时,Q件产品立即生产出来供给需求,即不允许缺货。
    • 4. 针对不允许缺货模型将假设 3 改为:生产能力为无限大(相对与需求量),允许缺货,每天每件产品缺货损失费为c3,但缺货数量需在下次生产(或订货)时补足。

    四、 模型的建立与求解

    4.1 问题(1)的求解 

    如果每天安排生产一次,每次生产 100 件,则一天费用为 5000 元;但是如果这样连续生产 x 天,则 x 天总费用为 5000x 元。如果每隔 x 天生产一次,一次生产 100x 件,则生产准备费用为 5000 元,存储费用为

    则每隔 x 天生产一次,这 x 天中总费用为

    平均每天的费用为 

    其函数曲线如下图 1: 

    每天生产一次,每次 100 件,无贮存费,生产准备费 5000,总花费 5000;

    10 天生产一次,每次 1000,贮存费 9000,生产准备费 5000,总花费 14000,平均每天 1400.

    60 天生产一次,每次 6000 件,贮存费 177000,生产准备费 5000,总计 182000,平均每天 3033.33.

    虽然从以上结果看,10 天生产一次比每天和 50 天生产一次的费用少,但是,要得到准确的结论,应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系,即数学模型。

    上面的计算看,生产周期短、产量少,会使贮存费小,准备费大;而周期长、产量多,会使贮存费大,准备费小。所以必然存在一个最佳的周期,使费用最小。显然,应该建立一个优化模型。

    4.2 问题(2)不允许缺货存贮模型的建立与求解 

    4.2.1 模型建立 

    将贮存量表示为时间 t 的函数q(t),t = 0生产 Q 件,贮存量q(0) = Q , q(t)以需求率 r 递减,直到q(T) = 0,如图 2。显然有

     

     一个周期内的贮存费,其中积分恰等于图 1 中三角形 A 的面积QT/2。因为一个周期的准备费是 c1 ,再注意到(1)式,得到一周期的总费用为

    于是每天的平均费用是 

     (6)式即为这个优化模型的目标函数.

    4.2.2 模型求解 

    求 T 使(6)最小.容易得到

    代入(4)式得到

     由(6)式算出最小的总费用为

    (7),(8)式是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ 公式

    4.2.3 结果解释 

    由(7),(8)式可以看到,当准备费 c1 增加时, 生产周期和产量都变大; 当准备费 c2 增加时, 生产周期和产量都变小;当需求量 r 增加时,生产周期变小而产量变大.这些定性的结果都是符合常识的。当然,(7)(8)式的定量关系(如平方根、系数 2 等)凭常识是无法猜出的,只能由数学建模得到。

    得到的模型用于计算开始的问题:以 c1 =5000,c2 =1,r =100代入(7)(9)式可得 T = 10天,C = 1000 元,这里得到的费用 C 与前面计算的 950 元有微小的差别。

    4.3 问题(3)允许存贮模型的建立与求解 

    4.3.1 模型建立 

    因贮存不足时造成缺货时,可认为贮存量函数 q(t) 为负值,如图 3。周期仍记作 T , Q 是每周期初的贮存量,当t = 𝑇1时q(t) = 0,于是有

     

    在 𝑇1 到 T 这段时间缺货时段内需求率 r 不变,q(t)按原斜率继续下降由于规定缺货需补足,所以在t = T时数量为 R 的产品立即到达,使下周期初的贮存量恢复到 Q 。

    与建立不允许缺货模型时类似,一个周期内的贮存费是 𝑐2 乘以图 2 中三角形 A 的面积,缺货损失费则是 𝑐3 乘以图 2 中三角形 B 的面积.计算这两块的面积,并加上准备费 𝑐1 ,得到一个周期的总费用为

     利用(11)式将模型的目标函数—每天的平均费用——记作 T 和 Q 的二元函数

    4.3.2 模型求解 

    利用微分法求 T 和 Q 使C(T, Q)最小,可得(为了与不允许缺货模型相区别,最优解记作 T’,Q’) 

    注意到每个周期的供货量R = rT ',则有

    记 

    与不允许缺货模型的结果(7),(8)式比较不难得到

    4.3.3 结果解释 

    由(15)式,λ > 1 ,故(16)式给出 T’ > T ,Q’ < Q , R > Q,即允许缺货时周期以及供货量应增加,周期初贮存量应减少,缺货损失费 𝑐3 越大(相对于贮存费 𝑐2 ), λ 越小, T’ 越接近 T , Q’ , R 越接近 Q .当 𝑐3 → ∞时 λ → 1,于是𝑇′ → T,𝑄′ → Q,R → Q . 

    五、 模型的灵敏度分析

    5.1 敏感性分析 

    由公式

    对c1, c2, r分别求偏导数,得 

    注:函数改变的百分比/自变量改变的百分比=函数的弹性,即函数y = f(x)在 𝑥0 附近有定义,如果下式成立,

    称(18)为函数y = f(x)在点 𝑥0处的弹性,反映函数 y 随自变量 x 变化的剧烈程度。即自变量变化1%时,函数 y 变化的百分比,若 E(y) 为正,表示增加的百分比;如果 E(y) 为负,表示下降的百分比,总是是反映函数对自变量的灵敏程度。

    下面就用弹性这个概念来计算平均费用对各个参数的灵敏程度。这里𝑐1=5000,𝑐2 = 2,r = 100。

    5.1.1 周期 T 对生产准备费用 C1的灵敏度分析 

    结果说明,当生产准备费用变动 1%时,周期 t 用只是变动 0.5%,说明周期对准备费用反应不灵敏。 

    5.1.2 周期 T 对存储费用的灵敏度分析

     计算结果表明,存储费用每增加 1%,周期 T 则下降 0.5%,反应不太灵敏。

    5.1.3 周期 T 对需求速度 𝐫 的灵敏度分析 

    计算结果表明,存储费用每增加1%,周期 T 则下降0.5%,反应不太灵敏。 

    六、 模型的对比分析与评价推广

    6.1 两个模型的对比分析 

    当产品需求稳定不变,生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货,确定生产周期和产量,使总费用最小,这是不允许缺货模型。

    在某些情况下用户允许短时间的缺货,虽然这会造成一定的损失,但是如果损失费超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话,这时采用允许缺货模型。

    前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况(如炼钢厂对原料的需求),后者适用于像商店购货之类的情形,缺货造成的损失可以允许和估计。

    6.2 模型的评价 

    6.2.1 模型的优点 

    模型一对于小型工厂的存货管理及采购具有很强的实用性,只要能确定市场需求量与固定订货费用和货物单价,单位储存费用,我们就能应用该模型求解最优订货周期,进而确定经济批量,并且能估计出大致平均成本,进行有效的流动资产管理,提高资产利用效率。

    6.2.2 模型的缺点 

    两个模型只对对于两个小模型做了假设与求解,比较单一,实用性就较差。并且用积分形式来确定存储费用有一定的误差,有待改进。

    6.3 改进与推广 

    6.3.1 模型的改进 

    针对该模型的缺点,我们需要重新确定一个函数来表达储存费用,并且还要把其他几个相关的模型也建立出来以满足更多的使用范围。

    6.3.2 模型的推广 

    该模型可广泛应用于各类企业的订货存货管理,帮助其制定订货方案用最少的成本来安排最优的计划,进行有效的流动资产管理,提高资产利用效率,以实现利润的最大化。

    七、总结

    针对问题(1)进行试算得出每天、10 天、60 天为周期的每天费用分别是5000、1400、3033.33 元。可以初步得出生产周期短,产量少,会使贮存费小准备费大;而周期长、量产多,会使贮存费大,准备费小。由此得出存在一个最佳的周期,使总费用最小。但是,要得到更加准确的结论,应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系。

    针对问题(2)(3)我们建立两种模型不允许缺货和允许缺货,假设每天需求量为常数,设定每天生产准备费、贮存费,周期、产量等变量建立相关函数,得到经济订货批量公式(EOQ)。进而带入函数得出最终表达式。

    两种模型适应与不同的生产贮存问题,因此我们进行了模型的对比分析与改进,使他更加合理。最后进行模型推广,帮助生存者制定生产方案用最少的成本来安排最优的计划,进行有效的流动资产管理,提高资产利用效率,以实现利润的最大化。

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