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  • 方差递推公式

    2017-11-03 10:43:30
    在一般的数学统计过程中,为了求得方差,需要预先知道所有的数据项,然后通过求均值,再通过遍历所有数据项计算平方和的方式求得方差。 但是在大数据、流式处理的场景,是无法预先知道...方差递推公式的计算过程如下:
  • 在一般的数学统计过程中,为了求得方差,需要预先知道所有的数据项,然后通过求均值,再通过遍历所有数据项计算平方和的方式求得方差...方差递推公式的计算过程如下: 整个推导过程是用word结合MathType写的,复制到ma

    在一般的数学统计过程中,为了求得方差,需要预先知道所有的数据项,然后通过求均值,再通过遍历所有数据项计算平方和的方式求得方差。
    但是在大数据、流式处理的场景,是无法预先知道所有数据项的,经常需要在任意时候动态的知道当前所有存量数据的方差,此时如果使用遍历的方式,将耗费大量的计算量,同时,缓存所有的数据也占用大量存储空间。
    所以需要通过递推的方式,通过之前状态的均值、方差、计数、以及当前数据项来计算出当前状态的方差。

    方差递推公式的计算过程如下:
    整个推导过程是用word结合MathType写的,复制到markdown上来太闹心了,直接截图了。
    PS:程序员,不是数学系的,推导过程自己看着好像没啥问题,有错误欢迎指正
    这里写图片描述

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  • 方差计算公式方差迭代计算过程推导术语约定递推公式过程推导术语约定(1)En=1n∑i=1nxiE_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1}En​=n1​i=1∑n​xi​(1)(2)F(n)=∑i=1n(x2−En)F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)}...

    方差计算公式

    方差迭代计算过程推导术语约定

    递推公式

    过程推导

    术语约定

    (1)En=1n∑i=1nxi

    E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1}En​=n1​i=1∑n​xi​(1)

    (2)F(n)=∑i=1n(x2−En)

    F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} \tag{2}F(n)=i=1∑n​(x2−En​)(2)

    (3)V(n)=1n∑i=1n(x2−En)=F(n)n

    V(n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} = \frac{F(n)}{n} \tag{3}V(n)=n1​i=1∑n​(x2−En​)=nF(n)​(3)

    递推公式

    F(n)=∑i=1n(xi2−En)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2由En=1n∑i=1nxi可导出,nEn=∑i=1nxi,故

    F(n) = \sum_{i=1}^ {n}{(x_i^ 2-E_n)} = \sum_{i=1}^ {n}{x_i^ 2}-2\sum_{i=1}^ {n}{x_iE_n}+nE_n^2 \\

    由E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^ {n}x_i可导出,nE_n = \sum_{i=1}^{n}x_i,故F(n)=i=1∑n​(xi2​−En​)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​由En​=n1​i=1∑n​xi​可导出,nEn​=i=1∑n​xi​,故

    (4)F(n)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2=∑i=1nxi2−2nEn2+nEn2=∑i=1nxi2−nEn2

    F(n) = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2}-2\sum_{i=1}^{n}{x_iE_n}+nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - 2nE_n^2 + nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2 \tag{4}F(n)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−2nEn2​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−nEn2​(4)

    另外,平均数的递推公式有

    (5)nEn=(n−1)En−1+xn

    nE_n = (n-1)E_{n-1} + x_n \tag{5}nEn​=(n−1)En−1​+xn​(5)

    过程推导

    F(n)−F(n−1)=(∑i=1nxi2−nEn2)−(∑i=1n−1xi2−(n−1)En−12)=xn2−nEn2+(n−1)En−12

    \begin{aligned}

    F(n)-F(n-1) &= ( \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2)-( \sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2} -( n-1)E_{n-1}^2) \\

    &=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

    \end{aligned}F(n)−F(n−1)​=(i=1∑n​xi2​−nEn2​)−(i=1∑n−1​xi2​−(n−1)En−12​)=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​​

    由(5)知,nEn=(n−1)En−1+xnnE_n = (n-1)E_{n-1} + x_nnEn​=(n−1)En−1​+xn​及(n−1)En−1=nEn−xn(n-1)E_{n-1} = nE_n - x_n(n−1)En−1​=nEn​−xn​,则有:

    F(n)−F(n−1)=xn2−nEn2+(n−1)En−12=xn2−En[(n−1)En−1+xn]+En−1(nEn−xn)=xn2−nEnEn−1+EnEn−1−Enxn+nEn−1En−En−1xn=xn2+EnEn−1−Enxn−En−1xn=(xn−En)(xn−En−1)

    \begin{aligned}

    F(n)-F(n-1) &=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

    &=x_n^2-E_n[(n-1)E_{n-1}+x_n]+E_{n-1}(nE_n-x_n) \\

    &= x_n^2-nE_nE_{n-1}+E_nE_{n-1}-E_nx_n+nE_{n-1}E_n-E_{n-1}x_n \\

    &=x_n^2+E_nE_{n-1}-E_nx_n-E_{n-1}x_n \\

    &=(x_n-E_n)(x_n-E_{n-1})

    \end{aligned}F(n)−F(n−1)​=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​=xn2​−En​[(n−1)En−1​+xn​]+En−1​(nEn​−xn​)=xn2​−nEn​En−1​+En​En−1​−En​xn​+nEn−1​En​−En−1​xn​=xn2​+En​En−1​−En​xn​−En−1​xn​=(xn​−En​)(xn​−En−1​)​

    显然有F(1)=0F(1)=0F(1)=0

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    起源

    对于来自同一总体的随机样本 X1,X2,,Xn1X_1,X_2,\cdots,X_{n-1},我们能够轻易地算出这个样本下的两个统计量:样本均值以及样本方差

    此时,样本均值为:Xˉn1=1n1i=1n1Xi\bar X_{n-1}=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i
    样本方差为:Sn12=1n2i=1n1(XiXˉn1)2S_{n-1}^2=\cfrac{1}{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})^2

    *[样本均值/样本方差]:应当注意的是此处样本均值和样本方差是随机变量而非一个固定的数。因为各个XiX_i都是随机变量,样本均值样本方差都是随机变量的函数,因此都是随机变量了。

    异变

    人类只要还活着,就必须向前进,不要停下来啊!

    ——沃·斯基硕德

    当抽了n-1个样本之后,不满足的人类在同样的总体中,再次使用随机抽样的方法抽得一个新的样本:XnX_n

    由于样本Xn是遵循随机抽样的原则抽出的样本。因此X1,…,Xn互相独立。并且都同分布于总体的分布。

    于是,一个有吸引力的问题诞生了:新抽取的样本,会怎样改变样本均值和样本方差呢?

    我们知道,再次抽取了一个样本后:
    样本均值变为:Xˉn=1ni=1nXi\bar X_{n}=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
    样本方差变为:Sn2=1n1i=1n(XiXˉn)2S_{n}^2=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X_{n})^2

    本源

    样本均值

    对于增加样本之后的样本均值,我们进行适当的展开:
    Xˉn=1n(i=1n1Xi+Xn)=n1nXˉn1+1nXn(1.1)\bar X_n=\cfrac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n-1}X_i+X_n)=\cfrac{n-1}{n}\bar X_{n-1}+\cfrac{1}{n}X_n \tag{1.1}

    由于只考虑样本均值的变化,我只希望出现Xˉn1\bar X_{n-1}以及Xˉn\bar X_n。不希望出现XnX_n。于是我们对上述公式进行变换:

    Xn=nXˉn(n1)Xˉn1(1.2)X_n=n\bar X_n-(n-1)\bar X_{n-1} \tag{1.2}

    样本方差

    由于样本方差的计算需要借助样本均值,所以有了(1.2)式之后,我们就能更好地观察增加一个样本对于方差的改变了。

    在这里,使用一个统计学推导过程中经常能用到的小技巧:

    Sn2=1n1i=1n(XiXˉn)2=1n1i=1n[(XiXˉn1)+(Xˉn1Xˉn)]2S_n^2=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X_{n})^2 \\ =\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(X_i-\bar X_{n-1})+(\bar X_{n-1}-\bar X_n)]^2

    通过加一项减一项,我们成功地把样本方差与改变前后的样本均值联系起来。
    为了表述方便,我们把分数移到等式另一边,并做展开:

    (n1)Sn2=i=1n[(XiXˉn1)2+2(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)+(Xˉn1Xˉn)2](n-1)S_n^2=\sum_{i=1}^n[(X_i-\bar X_{n-1})^2+2(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\+(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2]

    分配加和号:

    (n1)Sn2=i=1n(XiXˉn1)2+2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)+i=1n(Xˉn1Xˉn)2(2.0)(n-1)S_n^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2+2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\+\sum_{i=1}^n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.0}

    • 对于展开式的第一项,我们做如下处理:
      i=1n(XiXˉn1)2=i=1n1(XiXˉn1)2+(XnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2=\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2
      带入变换前的样本方差:
      i=1n(XiXˉn1)2=(n2)Sn12+(XnXˉn1)2(2.1)\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2=(n-2)S_{n-1}^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2 \tag{2.1}

    • 观察中间的交叉项,由于Xˉn1Xˉn\bar X_{n-1}-\bar X_n与计数器ii没有关系,所以可以当做常数提出来:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)i=1n(XiXˉn1)=2(Xˉn1Xˉn)[i=1n1(XiXˉn1)+(XnXˉn1)]2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})\\=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)[\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})+(X_n-\bar X_{n-1})]



    我们把i=1n1(XiXˉn1)\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})展开为:i=1n1Xi(n1)Xˉn1=(n1)Xˉn1(n1)Xˉn1=0\sum_{i=1}^{n-1}X_i-(n-1)\bar X_{n-1}=(n-1)\bar X_{n-1}-(n-1)\bar X_{n-1}=0。带回上式:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)(XnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)(X_n-\bar X_{n-1})

    本来挺优美的一个式子,因为XnX_n的捣乱不美观了,所幸我们在本源篇的开篇有一个(1.2)式,能够消掉Xn,保留我们大家都喜爱的Xˉn1,Xˉn\bar X_{n-1},\bar X_n

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)[nXˉn(n1)Xˉn1Xˉn1]=2n(Xˉn1Xˉn)(XˉnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)[n\bar X_n-(n-1)\bar X_{n-1}-\bar X_{n-1}] \\=2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)(\bar X_{n}-\bar X_{n-1})

    于是得到:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2n(Xˉn1Xˉn)2(2.2)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=-2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.2}

    • 最后一项,加和号里的式子和计数器完全无关,得到:
      i=1n(Xˉn1Xˉn)2=n(Xˉn1Xˉn)2(2.3)\sum_{i=1}^n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2=n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.3}

    将(2.1),(2.2),(2.3)带回到(2.0)
    有:
    (n1)Sn2=(n2)Sn12+(XnXˉn1)22n(Xˉn1Xˉn)2+n(Xˉn1Xˉn)2(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2 -2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2\\+n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2

    进一步使用(1.2),划去Xn:

    (n1)Sn2=(n2)Sn12+(n2n)(Xˉn1Xˉn)2(§1)(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+(n^2-n)(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2\tag{\S1}

    天演

    但是考虑实际时,我们在一次抽样后,算得Xˉn1,Sn12\bar X_{n-1},S_{n-1}^2之后,在进行一次抽样,得到了XnX_n

    如果按照上式的式子,要计算多抽一个样本之后的样本方差时,还得计算一次Xˉn\bar X_n,这增加了计算量。

    如果能用Xˉn1,Sn12,Xn\bar X_{n-1},S_{n-1}^2,X_n来表达Sn2S_n^2,那么一旦抽出一个新的样本,我们就可以立马根据过去的信息推断出新的样本方差,这看上去无疑更具吸引力。

    于是根据(1.1)式,就有:

    (n1)Sn2=(n2)Sn12+n1n(XnXˉn1)2(§2)(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+\cfrac{n-1}{n}(X_n-\bar X_{n-1})^2 \tag{\S2}

    千古

    某位前辈通过努力得到了上式,留给千古之后的后人的东西,就是挖掘他的价值。上式作用有二:

    • 一在于可以通过新抽样的值立马算出新的样本方差,这一点与矩阵求逆的Sherman-Morrison公式有异曲同工之妙。
    • 二在于把样本方差表述为一个与自然数n一一对应的数列。这样涉及某些与样本方差相关的结论证明是时,可以通过该递推公式使用数学归纳法。
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  • 三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg...

    三角函数公式

    两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

    倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

    半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

    和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

    某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

    2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

    13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

    全部

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  • 题目链接:传送门   题意:在n*m的平面上,每个点都具有贡献,问你从(1,1)到(n,m...公式递推很简单。可以忽略。 下一步我们就可以用一个dp[i][j][k]来表示走到(i,j)时序列和为k(序列和不会超过(30+30-...
  • 文章目录一、系统需要优化的状态量二、视觉重投影误差三、预积分模型3.1 IMU 测量值的积分问题3.2 IMU预积分模型的提出3.3 IMU 的预积分误差3.4 预积分的离散形式3.5 预积分量的方差四、状态误差线性递推公式的推导...
  • 该方法是在经典卡尔曼滤波递推公式中的一步验前误差方差阵中引入可在线计算的时变渐消矩阵,从而调节增益K,使之能够不断变化,保证对新息序列的自适应调节,使状态滤波更准确。实验结果表明,较之经典卡尔曼滤波,...
  • 无迹(损)卡尔曼滤波(UKF)理论讲解与实例

    千次阅读 多人点赞 2020-05-15 14:23:10
    前两篇博客的卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波都是都将问题转化为线性高斯模型,所以可以直接解出贝叶斯递推公式中的解析形式,方便运算。但对于非线性问题, 扩展卡尔曼滤波除了计算量大,还有线性误差的影响,有没有别...
  • EM算法训练GMM的Matlab实现过程(总结)

    万次阅读 热门讨论 2012-03-22 17:33:56
    最近看到论文中很多地方提到EM算法,之前对EM算法只是大概知道是一个参数优化算法,而不知道具体的过程,通过... GMM模型估计包括三个参数:混合权重,每个高斯函数的均值以及方差,他们的递推公式如下:  权重的递
  • poj 1191 搜索+剪枝

    2013-05-08 16:44:36
    题目描述: 中文题,棋盘分割。 解题思路: ...搜索所有划分可能。直接搜索肯定会超时,剪枝的思想来源于:计算方差里...貌似有动规做的,递推公式里包含了五维数组。懒得看了。 代码: #include #define N 1
  • Alibaba 阿里巴巴2014笔试题

    千次阅读 2013-09-24 16:12:11
    前天笔试的阿里巴巴,有一道填空题是问如何只...考试的时候知道肯定可以求出来,而且要用迭代(即递推),可惜当时由于时间紧张,推导的公式写错了。在此补上。公式使用LaTeX写的。所以只能截图了。最后给出了C函数。
  • qimochenxu.m

    2021-04-22 15:54:11
    是第i个传感器的观测,是相互独立的、方差各为和的高斯白噪声。 模型中参数的选取如下: ,,。 要求:写出算法分析公式及仿真程序(带注释),并按要求绘图。 (1)求局部递推Kalman滤波器,其中。 绘制图1:曲线;...

空空如也

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方差递推公式